rijeseni zadaci iggz fizike 1. dio

ZADACI IZ FIZIKE

Rijeeni ispitni zadaci, rijeeni primjeri

i zadaci za vjebu

(1. dio) (4. izdanje)

Zadaci iz fizike (1. dio) 4. izdanje 1

1. Zadana su dva vektora 4 2a i j k= + GG GG i 4 2 3 .b i j k= + +G GG G Odrediti kut izmeu njih.

Rjeenje Kut moemo odrediti na dva naina. Moemo nai zbroj vektora aG i ,b

Gte preko kosinusova

pouka odrediti kut . Drugi nain, koji emo upotrijebiti, poto su nam vektori dati u komponentama, je preko skalarnog umnoka. Skalarni umnoak vektora aG i b

Gje

cosa b ab =GG

Ili, preko skalarnih komponenti

x x y y z za b a b a b a b = + +GG

Iz ova dva izraza moemo dobiti kut vektora

cos x x y y z za b a b a b

ab + +=

( )22 2 2 2 24 2 1 4,58x y za a a a= + + = + + =

( )22 2 2 2 24 2 3 5,39x y zb b b b= + + = + + =

cos 0,6886x x y y z za b a b a b

ab + += =

Traeni kut je

( )arccos arccos 0,6886 133,519 133 31' 9,8'' = = = = 2. Grafiki su prikazana tri vektora u xy ravnini. Izraziti ove vektore, te nai: a) A B C+ +G GG i ;A B C+ +G GG b) ( )A B C G GG i kut izmeu A BG G i ;CG c) ( )A C B G G G i ( ) .A C B G G G

Rjeenje

2 7x yA A i A j i j= + = +G G G G G

5 2x yB B i B j i j= + = G G G GG


3x yC C i C j i j= + = G G G G G

a) ( ) ( ) 4x x x y y yA B C A B C i A B C j j+ + = + + + + + =G G G G GG

4A B C+ + =G GG b) ( ) ( ) ( ) 12x x x y y yA B C A B C A B C = + =G GG

( ) ( )22 11,4x x y yA B A B A B = + =G G

2 2 3,16x yC C C= + =G

( )cos 0,333

A B C

A B C = =

G GGG GG

arccos arccos0,333 70,549 70 32 ' 56,5'' = = = =

c) d) ( ) 00

x x y y

x y

i j kA C B A C A C

B B = =

GG GG G G

( ) ( ) ( )2 40 42x x y y y xA C B A C B k k k = = = G G G

( ) 42A C B =G G G Na slici smo vektor ( )A C B G G G prikazali simbolom koji oznaava da imamo vektor usmjeren okomito na sliku, u smjeru od nas prema slici. (U sluaju da imamo vektor okomito na sliku, u smjeru iz slike prema nama, simbol bi bio .) Iznos vektorskog umnoka na slici je predstavljen povrinom paralelograma ogranienog s A CG G i ,BG te s nasuprotnim paralelnim crtama. 3. Tijelo se giba po ravnoj putanji i na sukcesivnim dionicama puta, jednake duljine s, ima stalne brzine v1, v2, v3,, vn. Kolika je srednja brzina gibanja tijela?


Rjeenje

1 1 2

1 2

1 21 1

1

n

ii nn n

ni

ni i i

ss s s s nv s s st t

v v v v

=

= =

+ + + = = = = + + +

""

4. Tijekom prve polovice vremena gibanja automobil ima brzinu 54 km/h, a tijekom druge polovice vremena brzinu 36 km/h. Kolika je srednja brzina gibanja automobila? Rjeenje

1 1 2 1 2

1 2

1 2 2

n

iin

ii

ss s s s sv t tt t tt

=

=

+ + = = = = + +

1 1 1s v t =

2 2 2s v t =

2 2 2tt t = =

v vv += = =1 2 m km12, 5 45

2 s h

5. Dva amca krenu iz istog mjesta stalnim brzinama 1v

G i 2vG u pravcima koji meusobno

zaklapaju kut . a) Kolika je relativna brzina gibanja amaca? b) Koliko je njihovo rastojanje poslije vremena t0 od polaska?

Rjeenje a) 12 1 2v v v= G G G

2 212 1 2 1 22 cosv v v v v = +

b) 12 0d v t= 6. Dva vlaka, A i B, putuju u suprotnim smjerovima du paralelnih ravnih tranica, s brzinama istog iznosa od 60 km/h. Lagani zrakoplov prelazi iznad njih. Putniku u vlaku A izgleda da se zrakoplov giba pod pravim kutom u odnosu na njihov pravac gibanja, a putniku u vlaku B izgleda da se giba pod kutom od 30 u odnosu na njihov pravac gibanja. Kojim iznosom brzine i pod kojim kutom zrakoplov prelazi tranice ako promatramo njegov let izvan vlakova.


Rjeenje

ZAvG i ZBv

G su vektori relativnih brzina zrakoplova prema vlakovima A i B. Ovi vektori zajedno s vektorima brzina vlakova A i B i zrakoplova konstruiraju trokutove koje vidimo na slici. Vidimo da je:

tg30 ZAA B

vv v

= +

( ) tg30 19,25 m/sZA A Bv v v= + =

tg ZAA

vv

= Kut izmeu pravca gibanja zrakoplova i pravca gibanja vlakova je:

arctg 49 06' 29,8''ZAA

vv

= = Brzina zrakoplova iznosi:

25,46 m/scos

ZAZ

vv = = 7. Izmeu dvije toke koje se nalaze sa iste strane obale, na meusobnom rastojanju od 140 km, usmjeren je motorni amac koji ide niz rijeku i prelazi to rastojanje za 5 h, a kad se kree uz rijeku za 12 h. Odrediti brzinu protjecanja rijeke i brzinu amca u odnosu na vodu. Rjeenje Zamislimo koordinatni sustav kojemu je x os u pravcu kretanja rijeke. Oznaimo brzinu rijeke sa u, a brzinu amca sa v, tako da imamo 1 uvv += (1) gdje je v1 - brzina amca u zamiljenom sustavu kad se kree niz rijeku. A ako se amac kree uz rijeku imamo 2 uvv += (2) gdje je v2 - brzina amca u zamiljenom sustavu kad se kree uz rijeku. S brzinom v1 amac pree put od 140 km za 5 h, slijedi da brzina v1 iznosi


5

1 4

140km 1,4 10 m m7,785h 1,8 10 s s

v = = =

S brzinom v2 amac pree put od 140 km za 12 h, slijedi da brzina v2 iznosi

5

2 4

140km 1,4 10 m m3,2412h 4,32 10 s s

v = = =

Jednadbe (1) i (2) ine sustav dviju jednadbi s dvije nepoznanice. Tako je brzina rijeke

1 2 7,78 3,24 m km2,27 8,1722 2 s h

v vu = = = =

Brzina amca je

1m km7,78 2,27 5,51 19,836s h

= = = =v v u 8. Promatra koji u trenutku polaska vlaka stoji ispred prvog vagona primijetio je da je prvi vagon proao pored njega za 3 s. Koliko vremena e se pored njega kretati n-ti (deseti) vagon? Kretanje vlaka smatrati jednako ubrzanim.

Rjeenje Kad prvi vagon duljine l proe pored promatraa moemo rei da je vlak preao put l kojeg moemo izraziti ovako

212

1 atl =

Isto tako kad dva vagona prou pored promatraa moemo pisati

222

12 atl =

Moemo pisati openiti izraz za n vagona

2

21

natnl =

Sad podijelimo putove koje su proli n vagona i jedan vagon

21

2

nttn =

Dobili smo vrijeme za koje pored promatraa proe n vagona


nttn 1=

Na isti nain izraunamo vrijeme za koje pored promatraa proe (n 1) vagona

1 1 1nt t n =

Na kraju imamo da n-ti (u naem sluaju deseti) vagon proe pored promatraa za vrijeme

s487,01 == nnn ttt 9. Tijelo je baeno vertikalno uvis poetnom brzinom 10 m/s. U trenutku kada tijelo dostigne najviu toku svog kretanja, baci se drugo tijelo vertikalno uvis, istom poetnom brzinom. Na kojoj visini e se tijela sudariti? Otpor zraka zanemariti.

Rjeenje Visina do koje se tijelo popne pri vertikalnom hitcu je

2

0 2gth v t= (1)

A brzina pri vertikalnom hitcu je

0v v gt=

U maksimalnom poloaju brzina tijela je jednaka nuli pa imamo da je

0vtg

=

Uvrstivi ovaj izraz u (1) imamo

gvh2

20= (2)

Tijela e se susresti na nekoj visini h1

21 hhh += (3)

Drugo tijelo pree put h1 za isto vrijeme za koje prvo tijelo pree put h2

22 2

tgh = (4)

201 2

tgtvh = (5)


Iz (4) i (5) slijedi

22

012 hghvh = (6)

Jednadbe (2), (3) i (6) ine sustav od tri jednadbe s tri nepoznanice. Rjeavanjem ovog sustava dobiva se rezultat

m823,383 20

1 == gvh

10. Tijelo slobodno pada s visine h. U toki A ima brzinu Av = 29,43 ms

-1, a u toki B brzinu

Bv = 49,05 ms-1. Kolika je visinska razlika toaka A i B? Za koje e vrijeme tijelo prei put

AB?

Rjeenje

Vrijeme za koje tijelo doe u toku A je

gA

Av

t =

A vrijeme za koje doe u toku B je

gB

Bv

t = Tako e tijelo prei put AB za vrijeme

s2===g

vvttt ABAB

Udaljenost toke A od polazne toke je

2

2A

Agt

h =

Udaljenost toke B od polazne toke je

2

2B

Bgt

h = Duljina puta AB je


( )2 2 78,5m2B A B Agh AB h h t t = = = = 11. Lopta je baena s ruba krova zgrade vertikalno uvis, poetnom brzinom od 30 m/s. Koliku e brzinu imati lopta jednu sekundu nakon njenog prolaska pored ruba krova pri padanju na tlo?

Rjeenje

Lopta e se popeti na visinu H i poeti padati. Kod ruba zgrade imat e brzinu jednaku poetnoj to je lako pokazati. Lopta e se popeti na visinu H

2

2

0tgtvH =

gdje je brzina nula .0=v A poto je

00 gtvgtvv == Ako ovo uvrstimo u izraz za H imamo

gvtgtggtH222

20

222 ===

Iz tog poloaja lopta poinje padati, a brzina joj iznosi

gtvv += 0 dok je 00 =v

Trebamo brzinu izraziti preko visine tj. preko duine puta kojeg prelazi. Duina puta kojeg prevali lopta padajui je

gsttgs 2

2

2

==

Uvrtavajui ovo u izraz za v imamo

gsgsgv 22 ==

Pored ruba zgrade lopta e biti kad prijee put s =H tako da je brzina u tom trenutku

020

222' v

gvggHv ===


Sad moemo uzeti ovu brzinu kao poetnu brzinu i u iduem trenutku e brzina, koju emo oznaiti sa 1v biti zbroj te brzine i brzine koju lopta dobije ubrzavanjem u vremenu t.

11 ' gtvv += dakle sm s

sm

sm

2 81,39181,930 =+=v

12. Tijelo je baeno horizontalno brzinom 20 ms-1. Odrediti radijus putanje tijela 2 s nakon to se poelo kretati. Otpor zraka zanemariti.

Rjeenje Tijelo e se nakon 2 s kretati nekom brzinom vG pod kutom u odnosu prema poetnoj brzini

0vG . U tom trenutku ubrzanje gG moemo rastaviti na tangencijalnu komponentu u pravcu kretanja tijela ta

G , te na radijalnu komponentu .raG Radijalna komponenta ubrzanja iznosi

cos2

gRvar == (1)

gdje je vv

vvx 0cos == (2)

Brzina iznosi

2220 tgvv += (3)

Iz (1), (2) i (3) dobijemo radijus zakrivljenosti

( )32 2 2 200

112,088 mv g t

Rgv+= =

13. Tijelo je baeno pod kutom prema horizontu poetnom brzinom v0. Vrijeme kretanja tijela iznosi 2,4 s. Odrediti najveu visinu na kojoj e se tijelo nai pri tom kretanju. Otpor zraka zanemariti.

Rjeenje

y - komponenta brzine u ovisnosti o vremenu iznosi: 0y yv v gt= (1)


U maksimalnom poloaju brzina tijela yv = 0, tako da je

0yv gt= (2)

Isto tako visina u ovisnosti o vremenu je

2

0 2ygty v t= (3)

Uvrstivi (2) u (3) dobivamo za maksimalni poloaj

22

222

maxgtgtgty == (4)

U tekstu zadatka nam je zadano vrijeme (tD = 2,4 s) kretanja tijela od bacanja do padanja, tako da e tijelo biti u maksimalnom poloaju za pola ovog vremena.

( )2 2max

/ 27,063m

2 8D Dg t gty = = =

14. Pod kutom od 60, prema horizontu, baeno je tijelo poetnom brzinom od 25 m/s. Kroz koliko sekundi e njegova brzina zaklapati sa horizontom kut od 45?

Rjeenje

Odnos komponenti brzina vy i vx odreuje kut koji brzina v zaklapa prema horizontu.

y

x

vtg

v =

==

60cos60sin

450

0

vgtv

vv

tgx

y

Odavde slijedi

s933,060cos4560sin 00 ==

gvtgvt


15. Igra udari loptu pod kutom od 40 prema horizontu dajui joj poetnu brzinu od 20 m/s. Drugi igra, udaljen od prvog 30 m, poinje da tri prema lopti u momentu kad je ona udarena. Koliku najmanju srednju brzinu mora imati drugi igra da bi udario loptu u trenutku pada na zemlju?

Rjeenje Domet do kojeg lopta doe je DxD tvx = (1) gdje je tD vrijeme leta lopte, moemo ga dobiti iz vremena koje je potrebno lopti da se popne do maksimalne visine. U toki maksimalne visine komponenta brzine u y smjeru je nula.

max0 gtv y = (2)

gv

gv

t y sin00max ==

gdje tmax vrijeme potrebno lopti da se popne do maksimalne visine i ono iznosi pola vremena leta lopte tD.

s62,2sin22 0maxD === gvtt (3)

Ako ovo uvrstimo u xD dobijemo domet do kojeg lopta putuje

m16,402sinsin2cos200

0D === gv

gvvx

Put koji igra treba prei do lopte je

m16,102D == xxx

Znai treba se kretati ovom prosjenom brzinom

D

m3,87si

xvt= =

16. Dva tijela baena su istovremeno iz jedne toke na zemlji, i to jedno vertikalno uvis, drugo pod kutom od 45 prema horizontu. Njihove poetne brzine su jednake i iznose 30 m/s. Kolika je udaljenost izmeu tijela poslije vremena od 2 s od trenutka kad su baena?


Rjeenje Vektor poloaja prvog tijela u ovisnosti o vremenu je:

21 1 0

12

r y j v t gt j = = G GG

Vektor poloaja drugog tijela u ovisnosti o vremenu je:

22 2 2 0 0

1cos sin2

r x i y j v t i v t gt j = + = + G G G GG

Razlika ova dva vektora je

( ) ( )12 1 2 2 1 2 0 0cos 1 sinr r r x i y y j v t i v t j = = + = + G G G GG G G A iznos ovog vektora predstavlja udaljenost dvaju tijela u ovisnosti o vremenu

12 1 2r r r= G G

( )22 2 2 2 212 0 0 0cos 1 sin 2(1 sin ) 46 mr v t v t v t = + = = 17. Kuglica mase 0,1 kg udara pod pravim kutom u kruti vertikalni zid brzinom od 20 m/s. Mjesto udara nalazi se na visini od 4,9 m iznad tla. Kuglica se odbija od zida i pada na tlo na horizontalnoj udaljenosti 15 m od zida. Koliki je impuls sile kojim je zid djelovao na kuglicu?

Rjeenje Zid je na kuglicu djelovao impulsom sile I i promijenio joj brzinu s 1v

G na 2.vG

1vG i 2v

G su na istom pravcu ali imaju suprotan smjer. Nakon odbijanja kuglica se giba po putanji horizontalnog hica, dakle, po putanje parabole. Iz visine te putanje moemo odrediti vrijeme padanja

2

2gth =

2htg

= Iznos brzine kuglice nakon odbijanja je

2 15 m/s2gxv x

t h= = =


Impuls sile je

( ) ( )2 1 2 1 3,5 kgm/sI mv mv m v v= = + = 18. Tijelo mase 15 kg koje miruje raspadne se, uslijed eksplozije, na tri jednaka dijela. Jedan dio ode prema sjeveru, drugi prema istoku, oba brzinom 20 ms-1. Kolikom brzinom i u kojem smjeru je odletio trei dio?

Rjeenje

Primjenom zakona ouvanja koliine gibanja imamo 0332211 =++ vmvmvm GGG

===== ivvjvvmmmm GGGG 2211321 ;; 0321 =++ vivjv G

GG

( )ivjvv GGG 213 +=

Iznos ove brzine je

-1ms 28,2822213 =+= vvv

Trei dio je odletio prema jugozapadu brzinom 28,28 ms-1.

19. Saonice sa vreom pijeska, ukupne mase 500 kg kreu se po zamrznutom jezeru brzinom 0,5 m/s. Metak mase 10 g i brzine 400 m/s pogodi sa strane vreu pijeska pod kutom 30 u odnosu na pravac gibanja i zabije se u nju. Kolika je promjena brzine saonica i u kojem smjeru e saonice nastaviti gibanje?

Rjeenje

Na osnovi zakona ouvanja koliine gibanja imamo

( )1 1 2 2 1 2m v m v m m v+ = + G G G


Koliine gibanja rastavimo na x i y komponente:

( )1 1 2 2 1 2x xm v m v m m v+ = +

( )2 2 1 2y ym v m m v= +

2 2mcos 346,4sx

v v = =

2 2msin 200sy

v v = =

Iz gornjih izraza slijedi

m0,5069sx

v = i m0,00399sy

v = Brzina saonica je

2 2 m0,5069

sx yv v v= + =

dakle promjena brzine saonica je

sm0069,01 == vvv s

m107 3

Smjer gibanja je odreen kutom

0,450985 27 8yx

varctg

v = = =D

20. Tijelo mase m1 udari u tijelo mase m2 koje miruje. Odrediti koliki treba biti odnos masa ovih tijela (m1/m2) da bi se pri centralnom elastinom sudaru brzina prvog tijela smanjila tri puta. Izraunati kinetiku energiju drugog tijela poslije sudara ako je poetna kinetika energija prvog tijela 1500 J.

Rjeenje

Koliina gibanja je ouvana

,, vmvmvm 221111 += (1)


gdje su: 1v - brzina tijela mase m1 prije sudara, 1

,v - brzina tijela mase m1 poslije sudara, 2,v -

brzina tijela mase m2 poslije sudara.

Ako u (1) uvrstimo da je3

11

vv , = dobijemo

12

1

32 vv ,2 m

m= (2)

Isto tako, ukupna energija je ouvana

222

2,22

2,11

211

211

,,

vvv mmmEEE

+=+=

(3)

uvrstivi izraze za v ,1 i

,2v dobijemo odnos masa

22

1 =mm

Uvrtavanjem ovog odnosa u (2) i (3) dobivamo

,

2kE

333,1,

2 =kE kJ

21. Koliko se dugo sputa tijelo niz kosinu visine h = 2 m i nagiba = 45 ako je maksimalni kut pri kojem tijelo moe mirovati na kosini = 30?

Rjeenje

Jednadba gibanja za situaciju kad tijelo miruje je

0GT trF F =

sinsin cos tg 0,577cos

mg mg = = = =

Jednadba gibanja za situaciju kad tijelo se tijelo giba GT trF F ma =

1sin cos 2,93 msmg mg ma a = = Vrijeme za koje se tijelo spusti niz kosinu moemo dobiti iz relacije za preeni put


2 2 1,39 ssin 2 sin

h at hs ta = = = =

22. Dva tijela razliitih masa vezana su uetom, kao na crteu i kreu se po razliitim podlogama. Koeficijenti trenja izmeu tijela i odgovarajuih podloga su: 1 i 2. Kakav mora biti odnos masa da bi sustav mirovao? Masa koloture se zanemaruje.

Rjeenje

Jednadba gibanja za tijelo mase m1 je

'1 1Z trm a F F=


2 2 2G T Z trm a F F F=

2 2 sinG TF m g = Iznosi sila zatezanja na oba tijela jednaki su.

'Z ZF F=

Imamo dvije jednadbe s dvije nepoznate. Poto je a = 0 iz gornje dvije jednadbe dobivamo

2 1 1 2 20 sin cosm g m g m g =

Tako da je traeni odnos masa

( )21

2 1

sin cosmm

=

23. Automobil mase 2,5103 kg sputa se cestom nagiba 25. U momentu kada brzina iznosi 30 m/s voza poinje koiti. Koliku silu koenja treba primijeniti da bi se automobil zaustavio na putu od 150 m. (Stalna sila koenja je paralelna nagibu.)

Rjeenje

Na pravcu paralelnom nagibu vrijedi

GT Kma F F=

sinGTF mg =

Kod jednolikog ubrzanog gibanja brzina i prijeeni put su


0v v at= +

2

0 2ats v t = +

Iz ove dvije relacije dobivamo

2

220

220

2 svv aas vv =+=

Kako je na kraju puta 0v = imamo

220 3 ms

2vas

= = Tako je sila koenja ( ) 3sin 17,025 10 NKF m g a= = 24. Dva tijela, mase m1 i m2, vezana su uetom i postavljena na podlogu. Koeficijent trenja izmeu tijela i podloge je . Kolika je sila zatezanja ueta, a koliko ubrzanje sustava?

Rjeenje


G T tr Zm a F F F= 2 2 2 G TF m g= 2 2 sin


Z trm a F F= '1 1 Iznosi sila zatezanja na oba tijela jednaki su.

'Z ZF F=

Imamo dvije jednadbe s dvije nepoznate. Njihovim rjeavanjem dobivamo ubrzanje sustava

m ma gm m

= +2 1

1 2

(sin cos )

Sila zatezanja ueta je


[ ]Z Z m gF F m m m gm m= = ++' 1 2 1 11 2 (sin cos )

25. Na kosini, iji kut je = 30 nalazi se tijelo mase m = 500 kg. Koeficijent trenja izmeu tijela i podloge je = 0,1. Tijelo se gurne niz kosinu brzinom v0 = 2 m/s. Kolikom silom treba djelovati na tijelo da se ono zaustavi poslije vremena t = 5 s?

Rjeenje

Brzina kod jednoliko usporenog kretanja je

0v v at=

Pri zaustavljanju tijela 0v = pa je

0vat

= Jednadba gibanja tijela je (negativan smjer akceleracije smo

GT trma F F F = sinGTF mg =

Traena sila je

0 0sin ( sin cos ) 2227,5 Ntrv vF m mg F m g gt t

= + = + = 26. Kuglicu mase m = 1 kg, objeenu o nit, otklonimo iz ravnotenog poloaja za kut = 30 i pustimo. Izraunati silu zatezanja niti u trenutku prolaska kuglice kroz ravnoteni poloaj.

Rjeenje

Jednadba gibanja za kuglicu u radijalnom pravcu je

2

rZ GNvml

F F ma = =

cosGN mgF = Pa je

2

cosZ lvF m g = +

U trenutku prolaska kroz ravnoteni poloaj ( )0 = sila zatezanja je


2

Z lvF m g = +

Brzinu v u trenutku prolaska kroz ravnoteno poloaj dobit emo koristei zakon ouvanja energije. Nemamo vanjske sile pa nam vrijedi

K PE E + = 0

K PE E =

( )K PE E = 2 10 0

mv mgl v gl= = 2

(1 cos ) 2 (1 cos )2

Uvrtavajui ovaj izraz u izraz za silu zatezanja imamo

( )3 2cos 12,44 NZF mg = =

27. Na platformi kamiona bez bonih strana nalazi se sanduk mase m = 1200 kg. Kolikim najveim ubrzanjem kamion moe krenuti bez opasnosti da sanduk padne s platforme? Koeficijent trenja izmeu sanduka i platforme je = 0,3.

Rjeenje

Na sanduk djeluje inercijska sila ma koja mora biti manja od sile trenja

trma F

mF

a tr Maksimalno ubrzanje kamiona je

2ms943,2 === gmmga

28. Na kosini nagiba = 30 nalaze se dva tijela, ije su mase m1 = 1 kg i m2 = 2 kg. Koeficijent trenja izmeu tijela mase m1 i podloge je 1 = 0,25, a koeficijent trenja izmeu tijela mase m2 i podloge je 2 = 0,1. Odrediti:

a. silu meudjelovanja dvaju tijela i b. minimalnu vrijednost kuta pri kojem e se tijela poeti gibati.


Rjeenje

a) Jednadbe gibanja za prvo i drugo tijelo su:

1 21 1 1G T trF F F m a+ =

2 12 2 2G T trF F F m a =

1 1 sinG TF m g =

2 2 sinG TF m g =

gdje je 12F - sila meudjelovanja izmeu tijela mase m1 i tijela mase m2, zbog koje ova dva tijela ine jedan sustav.

12 21= G GF F

Tijelo 2 silom 21F gura tijelo 1, a tijelo 1 silom 12F koi tijelo 2. Iz jednadbi izrazimo ubrzanje a i uvrstimo u izraz za silu 12F .

( )1 1 2 21 2

sin cosm m

a g gm m

+= +

( )1 2 1 2121 2

cos0,85 N

= =+m m g

Fm m

b) Tijela e se poeti gibati kad su sile u ravnotei. Tada je ubrzanje jednako nuli.

0a =

( )1 1 2 21 2

sin cosm m

g gm m

+= +

( )1 1 2 21 2

tg 0,15m mm m

+= =+ Traeni kut je

arctg 0,15 8,53 8 31' 4 '' = = =

29. Sila stalnog intenziteta F = 1 N daje tijelu ubrzanje a = 10 cm/s2. Ako je prije djelovanja sile tijelo mirovalo izraunati njegovu kinetiku energiju poslije vremena t = 5 s od poetka kretanja.


Rjeenje

Rad vanjske sile jednak je promjeni energije tijela, u ovom sluaju samo kinetike energije ' P KW E E E= = + 0PE = 2 0K KE E = Rad vanjske sile je 'W Fs= Put s moemo odrediti kinematikom jednadbom

2

1,25 m2

ats = = Na osnovi gornjih izraza dobivamo da je kinetika energija 1,25 JKE Fs= =

30. Tijelo, mase m1 = 15 kg, pone da klizi sa vrha kosine, nagibnog kuta = 60. Na kraju kosine, tijelo se zabije u kolica napunjena pijeskom, mase m2 = 90 kg koja miruju na horizontalnoj podlozi. Ako je visinska razlika tijela i kolica u poetnom poloaju h = 10 m, odrediti brzinu kojom e se kretati kolica zajedno sa tijelom. Trenje zanemariti.

Rjeenje

Ukupna mehanika energija nekog sustava je ouvana. Ukupna energija u ovom primjeru jednaka je potencijalnoj energiji tijela na vrhu kosine. Ona se pretvara u kinetiku energiju gibanja tijela.

2

1 11 2

m vm gh = Na dnu kosine brzina tijela e biti -11 2 14msv gh= = Dakle, koliina gibanja tijela na dnu kosine je 1 1m v . Ovu koliinu gibanja moemo rastaviti na dvije komponente, komponentu u pravcu gibanja kolica 1 1xm v i komponentu okomitu na pravac gibanja kolica 1 1ym v . Komponenta 1 1ym v nije ouvana. Primjenom zakona ouvanja koliine gibanja, za komponentu 1 1xm v moemo pisati

( )1 1 1 2 2Xm v m m v= +


Tako je brzina kolica zajedno s tijelom

-112 1

1 2

cos 1msmv vm m

= =+

31. Na jezeru se nalazi amac, duljine 10 m i mase 140 kg, postavljen pramcem (prednji dio amca) okomito na obalu. Udaljenost izmeu obale i pramca je 3,75 m. Da li e amac dodirnuti obalu u toku kretanja ovjeka, mase 60 kg, od pramca amca do krme (zadnji dio amca)? Trenje amca i vode zanemariti.

Rjeenje

Koliina gibanja ovog sustava prije poetka kretanja ovjeka jednaka je nuli. Poto se radi o zatvorenom sustavu ukupna koliina gibanja nakon poetka kretanja ovjeka treba biti jednaka nuli. ovjek se u odnosu na amac giba brzinom v1, a amac se u odnosu na obalu giba brzinom v2. Moemo onda pisati ( )2 1 2 1 2 0m v v m v = Brzina ovjeka u odnosu na amac je

1lvt

= Brzina amca u odnosu na obalu je

2svt

= Iz gornjih izraza moemo izvui

21 2

3 mms lm m

= =+ Dakle, amac nee dodirnuti obalu.


32. Da bi mogao uzletjeti, zrakoplov, mase 4 t, na kraju piste treba da ima brzinu 144 km/h. Duljina piste je 100 m. Kolika je potrebna snaga motora za uzlijetanje zrakoplova ako je njegovo kretanje jednoliko ubrzano? Koeficijent trenja izmeu kotaa i piste iznosi = 0,2.

Rjeenje

Piemo jednadbu gibanja za zrakoplov m trF F ma = Tako je vuna sila motora

m trF ma F= +

Brzinu moemo odrediti iz kinematike jednadbe

asv 22 =

Pa je

2

2mmvF mg

s= +

Tako je potrebna snaga motora

2

61,59 10 W 1,59 MW2mvP F v g mv

s = = + = =

Drugi nain

Veza rada i promjene energije je ' tr P KW W E E E+ = = +

' mW F s=

trW mgs= 2

0;2P K

mvE E = = Iz gornjih izraza dobivamo

2

2mmvF mg

s= +

Tako je potrebna snaga motora


261,59 10 W 1,59 MW

2mvP F v g mv

s = = + = =

33. Kugla mase 1 kg baena je vertikalno uvis, poetnom brzinom 10 m/s. Na koju visinu e kugla odskoiti ako pri udaru u podlogu gubi koliinu topline 10 J?

Rjeenje

Ukupna energija koju lopta ima u poetnom trenutku jednaka je kinetikoj energiji.

1KE E= Promjena energije kugle jednaka je gubitku energije na toplinu. P KE E E Q = + = Tako je 2 1P KE E Q=

Qmvmgh =2

21

2

Visina na koju kugla odskoi je

21

22 4,077 m

2mv Qh

mg= =

34. Zamanjak, polumjera R = 0,8 m, okree se stalnom brzinom 0 = 7,5 rad/s. Pokretaki stroj zamanjaka u jednom trenutku prestane djelovati, ali se on nastavi okretati s usporavanjem jo tijekom vremena t = 24 s. Koliko je kutno ubrzanje zamanjaka, kao i tangencijalno ubrzanje toke na obodu zamanjaka tijekom zaustavljanja? Rjeenje Kutna brzina u ovisnosti o vremenu je = 0 + t Kad se zamanjak zaustavi, = 0, pa imamo 0 = 0 + t 0 = - t Tako da je kutno ubrzanje


0t = = -0,313 rad/s2

Tangencijalno ubrzanje ta R= = -0,25 m/s2 35. Puni homogeni valjak radijusa 7 cm pusti se kotrljanjem, bez klizanja, niz kosinu duljine 2 m i nagibnog kuta 37 . Odrediti kutnu brzinu valjka u podnoju kosine.

Rjeenje

Ukupna mehanika energija valjka na kosini, poto nema djelovanja vanjskih sila, je ouvana 0P KE E E = + =

2 1 2 1 0P P K KE E E E + =

1 2P K kotrljanja translacijeE E E E= = +

2 2

2 2= +I mvmgh

Moment tromosti valjka je 2

2mR , a brzina v R= .

2 2 2 2 2 23

4 2 4 = + =mR mR mRmgh

Tako je kutna brzina na kraju kosine

2 56,60 s3gh

R = =

36. Preko dva homogena valjka prebaena je nit na kojoj vise dva utega. Mase utega su m1 = 2 kg i m2 = 1 kg, a mase valjaka m3 = 1 kg i m4 = 5 kg. Odrediti ubrzanje sustava pod pretpostavkom da nema klizanja.

Rjeenje

Za svako tijelo piemo jednadbu gibanja. Za uteg mase m1

1 1 1Zm g F m a = (1) Za valjak mase m3 izraavamo jednadbu za moment sile


( )'1 1 2 1Z ZM F F R=

1M je moment sile koji djeluje na valjak je

23 1

1 1 1 1 11

; ;2

m R aM I IR

= = =

' 31 2 2Z Z

m aF F = (2) Za valjak mase m4 moment sile je ( )' '2 2 3 2Z ZM F F R=

' ' 42 3 2Z Z

m aF F = (3)

Jednadba gibanja za uteg mase m2 je 3 2 2ZF m g m a = (4) Iz jednadbi (1), (2), (3) i (4) slijedi

-21 2

1 2 3 4

2( ) 1,635 ms2( )

m m gam m m m

= =+ + +

37. Koloturu, mase 10 kg i vanjskog promjera 50 cm, vuemo konopcem koji je namotan na osovinu, polumjera 10 cm, silom od 10 N. Koliki mora biti faktor trenja izmeu podloge i koloture kako bi kolotura klizila bez trenja?

Rjeenje Piemo jednadbu gibanja za koloturu koja klizi

trF F ma =

trF mg= Rezultantni moment sile na koloturu mora biti jednak nuli kako ne bi dolo do okretanja koloture.

0trFr F R = Iz (1) i (3) dobivamo ubrzanje kojim kolotura klizi


( ) 20,3 m/sF R ramR= =

Minimalni faktor trenja izmeu koloture i podloge, kako ne bi dolo do okretanja, mora biti

0,07F mamg

= = 38. Platforma oblika diska mase 90 kg rotira frekvencijom 0,5 s-1 oko okomite osi koja prolazi kroz centar mase. Na rubu platforme stoji djeak mase 30 kg. Kolikom e frekvencijom rotirati platforma ako se djeak pomjeri u sredinu platforme. (Aproksimirati djeaka materijalnom tokom.) Rjeenje Ako nemamo djelovanje momenta sile ukupna kutna koliina gibanja je ouvana.

const.i ii

I =

I11 = I2 2 Ukupni moment tromosti diska i ovjeka na rubu je

22

1 1 2 2RI m m R= +

Ukupni moment tromosti diska i ovjeka u sredini diska je

2

2 1 2RI m=

1 12 = 2 22 =

Uvrstivi izraze za momente i kutne brzine u gornju jednakost imamo

-11 22 1

1

2 4 0,833 sm mm

+= = 39. Dva tijela, jednakih masa m, povezana su uetom kroz otvor na horizontalnoj podlozi. Jedno tijelo se nalazi na podlozi i po njoj rotira, dok drugo visi u zraku. Koliku kutnu brzinu treba imati tijelo koje rotira da bi tijelo koje visi ostalo na istom nivou? Polumjer putanje tijela na podlozi je R. Sva trenja zanemariti.

Rjeenje

Jednadba gibanja za objeeno tijelo je


Zmg F ma = Jednadba gibanja za tijelo na horizontalnoj podlozi je

' 2Z r cpF ma m R F= = =

Iznosi sila zatezanja su jednaki

'Z ZF F=

Uvjet je da objeeno tijelo ostane na istoj visini, dakle 0=a , pa je

2m R mg =

Kutna brzina je

gR

=

40. Knjiga mase m1 = 500 g nalazi se na stolu, a ispod knjige je list papira mase m2 = 50 g. Koeficijent trenja izmeu svih povrina je 0,1. Papir je povuen silom F. Koliki treba biti iznos ove sile kako bismo papir izvukli ispod knjige?

Rjeenje Djelovanjem sile F knjiga i papir se gibaju kao jedno tijelo. Ako iznos sile F preraste graninu vrijednost gibat e se samo papir.

trF F ma =

( ) ( )1 2 1 2F m m g m m a + = + Ubrzanje kojim se gibaju knjiga i papir pod djelovanjem sile F je:

1 2

Fa gm m

= + Knjiga se praktino nalazi u inercijskom sustavu vezanom za papir i na nju djeluje inercijska sila iznosa 1m a . Ako ova sila preraste silu trenja knjiga e se odvojiti od papira.

1in trF F=

1 1m a m g=


a g=

1 2

Fg gm m

= +

( )1 22 1,08 NF g m m= + = 41. Vlak se giba v = 50 km/h po zakrivljenom dijelu staze brzinom. Kuglica objeena o nit u vagonu otklanja se pri tome za kut = 5. Odrediti radijus zakrivljenosti putanje. Rjeenje Vlak koji se giba po zakrivljenoj stazi predstavlja neinercijski sustav. Stoga na kuglicu objeenu u vagonu djeluje inercijska centrifugalna sila

22

cfmvF m r

r= =

Pored inercijske sile na kuglicu djeluje sila tea, te sila zatezanja niti. Iznos vektorskog zbroja inercijske sile i sile tee jednak je iznosu sile zatezanja. Tako moemo pisati

cosZmg F =

sincf ZF F =

Iz gornjih izraza dobivamo

2

226,98 m 227 mtgvr

g = = 42. Stoasto njihalo sastoji se od niti duljine 2 m i kuglice mase 0,5 kg. Njihalo rotira i u sekundi ini dva okreta oko vertikale. Izraunati silu zatezanja u niti i kut poloaja niti u odnosu na vertikalu.

Rjeenje Kuglica se giba po putanji krunice u horizontalnoj ravnini. Horizontalna komponenta sile zatezanja predstavlja centripetalnu silu.

2sinzx z rF F ma m R = = = Poto su


sinR l = i 2 f = Horizontalna komponenta sile zatezanja iznosi

( )22 157,75 NzF m f l= = Vertikalna komponenta sile zatezanja izjednaena je sa silom tee

coszy zF F mg= = Kut poloaja niti u odnosu na vertikalu je

arccos arccos 88,218 88 13' 5,6 ''z

mgF

= = = = 43. Tijelo mase 2 kg vezano je koncem i rotira oko jedne toke u vertikalnoj ravnini u polju Zemljine tee. Izraunati razliku meu silama zatezanja konca kada se tijelo nalazi u najvioj i najnioj toki putanje.

Rjeenje

Jednadba gibanja u radijalnom pravcu za tijelo koje na koncu rotira u vertikalnoj ravnini je

2

Z GN rvF F ma mR

= =

cosGNF mg =

2

cosZ RvF m g = +

U najvioj u toki, oznaenoj s A, gornja jednadba gibanja postaje

2A

ZA RvF m g =

A u najnioj u toki, oznaenoj s B, postaje

2B

ZB RvF m g = +

Razlika ove dvije sile zatezanja je

( )2 2

2B AZB ZAv v

F F F m gR

= = +


Razlika 2 2B Av v se dobije iz zakona o ouvanju energije, iznos potencijalne energije tijela u toki A se pretvara u kinetiku energiju u toki B.

2 2

2 22 42 2

B AB A

mv mv Rmg v v Rg= + = Tako je razlika sila zatezanja 6 117,72 NF mg = = 44. Luster mase 6 kg visi na plafonu koji se moe opteretiti silom od 93,34 N. Luster se otkloni za kut i pusti. Koliki moe biti maksimalni kut otklona da luster ne bi pao?

Rjeenje

Luster u mirovanju optereuje plafon svojom teinom mg. Luster otklonjen za kut djelovat e na plafon dodatnom silom, iznosom centripetalne sile. Jednadba gibanja za luster u radijalnom pravcu je

2

Z GN rvF F ma ml

= =

cosGNF mg = Pa je sila zatezanja

2

cosZ lvF m g = +

'

Z ZF F= U trenutku prolaska kroz ravnoteni poloaj ( )0 = sila zatezanja e biti maksimalna

2

Z lvF m g = +

Brzinu v u trenutku prolaska kroz ravnoteno poloaj dobit emo koristei zakon ouvanja energije. Nemamo vanjske sile pa nam vrijedi

K PE E + = 0

K PE E =

( )K PE E = 2 10 0


mv mgl v gl= =

2

(1 cos ) 2 (1 cos )2

Uvrtavajui ovaj izraz u izraz za silu zatezanja dobivamo

cos 32 2

ZFmg

=

Tako je maksimalni kut otklona

arccos 4532 2

ZFmg

= =

45. Tijelo, mase m = 1 kg, vezano je na kraju niti duljine l = 0,5 m. Nit s tijelom rotira u vertikalnoj ravnini stalnom kutnom brzinom = 10 rads-1. Kolika je zatezna sila niti kad je tijelo u tokama A, B, C i D?

Rjeenje

Jednadba gibanja u radijalnom pravcu za tijelo koje na koncu rotira u vertikalnoj ravnini je

2Z GN rF F ma m l = =

cosGNF mg =

Pa je sila zatezanja ( )2cosZ lF m g = +

Sile zatezanja u traenim tokama su:

( 0 ) : 59,81 NZA F = =

( 90 ) : 50 NZB F = =

( 180 ) : 40,19 NZC F = =

( 270 ) : 50 NZD F = =

46. Letei brzinom v = 600 kmh-1 avion napravi petlju u vertikalnoj ravnini polumjera R = 600 m. Kolikom silom djeluje pilot, mase m = 80 kg, na svoje sjedalo u trenutku kad se avion nalazi u najvioj toki, a kolikom kad se nalazi u najnioj toki putanje?


Rjeenje Moemo pisati jednadbu gibanja za pilota u radijalnom pravcu. Na njega djeluje sila sjedala i sila tee.

2

S GN rvF F ma mR

= =

cosGNF mg = U najnioj toki ( = 0) sila sjedala je

2

4,485 kNSAvF m gR

= + =

A u najvioj toki ( = 180) sila sjedala je

2

2,918 kNSBvF m gR

= =

47. Odrediti vrijeme obilaska Mjeseca oko Zemlje, ako je poznato da je:

a) ubrzanje slobodnog pada na Zemlji (Zemljinom polu) g0 = 9,83 m/s2, b) polumjer Zemlje RZ = 6400 km, c) udaljenost od centra Zemlje do centra Mjeseca 53,84 10d = km

Rjeenje

Centripetalna sila rotacije Mjeseca oko Zemlje je gravitacijska sila izmeu Zemlje i Mjeseca.

2

2m m Zm v m mGR R

= Ako zamijenimo obodnu brzinu Mjeseca s kutnom brzinom moemo izraunati period obilaska Mjeseca oko Zemlje.

0 2Z

Z

mv R g GR

= =

2

20 3 = ZRg R

2 2

0 3

2 = ZRg

T R


2 3

62

0 0

4 2 2,355 10 s 27 dana = = = Z Z

R R RTg R R g

48. Koliku brzinu treba imati umjetni Zemljin satelit koji se kree po krunoj putanji na visini H? Koliki je period kretanja ovog satelita?

Rjeenje: Centripetalna sila rotacije satelita oko Zemlje je gravitacijska sila izmeu Zemlje i satelita.

2

2( )S S Z

Z Z

m v m mGR H R H

=+ + Odavde nalazimo da je traena brzina

Z

Z

mv GR H

= + Period kretanja satelita je

( ) ( )22 2Z ZZZ

R H R HT R Hv Gm

+ += = = +


1. Grafiki su prikazana dva vektora u xy ravnini. Izraziti ove vektore, te nai: a) A C B+ G G G i ;A C B+ G G G b) B D A+ GG G i ;B D A+ GG G c) ( ) ;A B C+ G GG i kut izmeu A B+G G i ;CG d) ( ) ;C D A G GG i kut izmeu C DG G i ;AG e) ( )C D B G G G i ( ) ;C D B G G G f) ( ) ( )C B B A G GG G i ( ) ( ) .C B B A G GG G (Rjeenje: a) 3 ;A C B i j+ = +G G G GG 3,16;A C B+ =G G G b)

5 3 ;B D A i j+ = +G G GG G 5,83;B D A+ =GG G c) ( ) 30;A B C+ = G GG 120 58' 9,7 ''; = d) ( ) 2;C D A = G GG 93 22 ' 8,3''; = e) ( ) 26 ;C D B k = GG G G ( ) 26;C D B =G G G f) ( ) ( ) 32 ;C B B A k = GG GG G ( ) ( ) 32;C B B A =G GG G 2. Brzina gibanja automobila na prvoj polovici puta je 36 km/h, a na drugoj 54 km/h. Kolika je srednja brzina gibanja automobila na putu? (Rjeenje: v = 43,2 km/h) 3. Na prvoj treini puta automobil se kree brzinom v1, a na ostalom dijelu puta brzinom v2 = 54 km/h. Srednja brzina automobila na cijelom putu je v = 36 km/h. Kolika je brzina v1? (Rjeenje: v1 = 21,6 km/h) 4. Tijelo se kree po ravnoj putanji tako to u jednakim sukcesivnim vremenskim intervalima, koji traju t, ima stalne brzine v1, v2, v3,, vn. Kolika je srednja brzina tijela?

(Rjeenje: 1

n

ii

vv

n==

)

5. Lokomotiva se kree brzinom v1 = 54 km/h. Nasuprot njoj naie vlak, duljine l = 150 m, koji se kree brzinom v2 = 36 km/h. Koliko e vremena kompozicija vlaka prolaziti pored strojovoe lokomotive? (Rjeenje: t = 6 s) 6. Ako ubrzanje autobusa pri polasku i koenju ne smije biti vee od 1,2 m/s2, a njegova najvea brzina je 40 km/h, nai najkrae vrijeme za koje e autobus prijei put izmeu dvije susjedne stanice koje se nalaze na udaljenosti od 2 km. (Rjeenje: tmin = 190 s) 7. Od trenutka zapaanja signala stop pa do primjene konice vozau je potrebno vrijeme od 0,7 s. Ako konice automobila mogu ostvariti usporenje od 5 m/s2, izraunati duljinu puta koju e automobil prijei od trenutka zapaanja signala pa do zaustavljanja. Brzina automobila prije poetka koenja iznosila je 100 km/h. (Rjeenje: s = 96,6 m)


8. Automobil i kamion poinju se gibati u isto vrijeme, u istom smjeru, s tim da kamion poinje gibanje na nekoj udaljenosti ispred automobila. Automobil i kamion se gibaju sa stalnim ubrzanjima, iznosa a1 = 2 m/s2 i a2 = 1 m/s2. Automobil dostigne kamion nakon to je kamion preao 32 m. Koliko vremena je bilo potrebno automobilu da dostigne kamion? Kolike su bile brzine automobila i kamiona u tom trenutku? Koliko su automobil i kamion bili udaljeni na poetku gibanja? (Rjeenje: t = 8 s; v1 = 16 m/s, v2 = 8 m/s; d = 32 m) 9. Jedno tijelo slobodno pada s vrha zgrade, visoke 100 m. Jednu sekundu kasnije, drugo tijelo je baeno prema dolje poetnom brzinom v0. Drugo tijelo sustigne prvo tijelo na visini 20 m iznad tla. Kolika je bila poetna brzina v0? (Rjeenje: v0 = 11, 42 m/s) 10. Lopta je baena pod kutom od 60 prema horizontali. Ona slijee 2 m od ruba zgrade visoke 20 m. Rub zgrade je 38 m udaljen horizontalno od mjesta bacanja lopte. Odrediti brzinu kojom je lopta baena. (Rjeenje: v0 = 25, 24 m/s) 11. Tijelo se gurne uz kosinu poetnom brzinom 48 m/s. Ako je nagib kosine 30, odrediti koliki e put tijelo prijei po njoj do zaustavljanja, pod uvjetom da je trenje zanemarivo. (Rjeenje: s = 235 m) 12. Automobil, iji kotai imaju promjer 0,60 m, giba se po ravnom putu brzinom 60 km/h. Pri koenju se automobil zaustavi poslije prijeenog puta od 20 m. Pod pretpostavkom da je usporenje automobila jednoliko, izraunati kutno ubrzanje njegovih kotaa tijekom koenja. (Rjeenje: = - 23,2 rad/s2) 13. Automobil se kree po horizontalnoj krunoj putanji polumjera R = 43 m, tangencijalnim ubrzanjem at = 2 ms-2. Za koje vrijeme e automobil prijei prvi krug ako mu je poetna brzina v0 = 36 kmh-1? (Rjeenje: t1 = 12 s.) 14. Osovina nekog motora okree se stalnom kutnom brzinom 200 rad/s. Koenjem se kutna brzina osovine smanji na 160 rad/s za vrijeme od 4 s. Koliko je srednje kutno ubrzanje i broj uinjenih okretaja za vrijeme koenja? (Rjeenje: -2rads10= i n = /2 = 360 ok) 15. Tijelo, pri gibanju stalnom kutnom brzinom 0 = 4 rad/s, dobije kutno ubrzanje = - 0,5 rad/s2. Kolika e biti kutna brzina tijela nakon:

a) vremena t = 1 s, b) kutnog pomaka od = (/3) rad, c) n = 2 okretaja?

(Rjeenje: a. = 3,5 rad/s; b. = 3,9 rad/s; c. = 1,85 rad/s)


16. Jedno tijelo slobodno pada s visine h = 8000 m, a u isto vrijeme je sa zemlje izbaeno drugo tijelo vertikalno uvis brzinom v0. Kolika treba biti brzina v0 da se tijela susretnu na pola puta? (Rjeenje: v0 = 280 m/s) 17. Tijelo slobodno pada, i u posljednjoj sekundi kretanja pree put koji je jednak putu koji je tijelo prelo za prve 3 s kretanja. Odrediti ukupno vrijeme padanja kao i visinu sa koje je tijelo palo. (Rjeenje: t = 5s; 122,625 mh = ) 18. Kamen se pusti da slobodno pada u bunar. Udar u vodu uje se nakon 2,58 s. Odrediti dubinu bunara. Uzeti da je brzina zvuka c = 340 m/s. (Rjeenje: h = 30,4 m) 19. S iste visine i u istom trenutku ponu padati dvije kuglice, i to jedna kuglica bez poetne brzine, a druga poetnom brzinom v0 = 20 m/s. Prva kuglica padne za drugom nakon t = 2 s. S koje visine su kuglice pale, te koja su vremena padanja kuglica? (Rjeenje: h = 14,1 km; t1 = 53,6 s i t2 = 51,6 s) 20. Tijelo, koje slobodno pada, prijee drugu polovicu puta za vrijeme t = 1 s. a) Koliko je ukupno vrijeme padanja tijela b) S koje visine je tijelo puteno? (Rjeenje: a) t = 3,42 s, b) h = 57,2 m) 21. S tornja visokog 25 m baeno je tijelo vertikalno uvis, poetnom brzinom 10 m/s. Koliko je vrijeme padanja tijela, a kolika njegova brzina pri padu na tlo? (Rjeenje: t = 3,5 s; v = 24,3 m/s) 22. Tijelo se baci u horizontalnom pravcu s visine h = 6 m iznad zemlje. Tijelo padne na udaljenosti l = 10 m od mjesta bacanja. Pod kojim kutom e tijelo pasti na zemlju? (Rjeenje: = 5618') 23. Iz tri toke na vertikalnoj obali istovremeno su izbaene tri jednake kuglice u horizontalnom pravcu, poetnim brzinama v01 = 50 m/s, v02 = 75 m/s i v03 = 100 m/s. Prva kuglica padne na povrinu vode na horizontalnoj udaljenosti 100 m od obale. Ako sve tri kuglice istovremeno padnu na povrinu vode izraunati: a) vrijeme padanja svake kuglice, b) visine h1, h2 i h3 s kojih su kuglice izbaene, c) brzine kuglica v1, v2 i v3 u trenutku pada u vodu. (Rjeenje: a) t1 = t2 = t3 = 2 s; b) h1 = h2 = h3 = 19,6 m; c) v1 = 53,7 m/s, v2 = 77,4 m/s, v3 = 102 m/s) 24. Tijelo je baeno pod kutom = 70 prema horizontu. Za vrijeme tm = 80 s ono dostigne najviu toku. Odrediti poetnu brzinu rakete i poloaj pada rakete. (Rjeenje: v0 = 835 m/s; xD = 45,7 km)


25. Pri lansiranju rakete, mase m = 200 kg, trenutno sagori 1/4 njene mase i kao produkt sagorijevanja izleti u suprotnom smjeru od smjera kretanja rakete. Ako je brzina produkata sagorijevanja u odnosu na raketu v1 = 1800 m/s, kolika je poetna brzina rakete? Na kojoj e udaljenosti od mjesta lansiranja pasti raketa ako je kut prema horizontu pod kojim je izbaena raketa = 30? (Rjeenje: v0 = 600 m/s; xD = 31,78 km) 26. Tijelo, mase 10 g, ispaljeno je u horizontalnom pravcu brzinom v1. Ono se zabija u drveni blok, mase 7 kg, koji se nalazi na glatkoj horizontalnoj podlozi, nakon ega se blok poinje klizati brzinom 0,5 m/s. Odrediti brzinu tijela prije sudara s drvenim blokom i izgubljenu energiju u ovom sudaru. (Rjeenje: v1 = 350,5 m/s; Q = 613,38 J) 27. Nogometni vratar, mase 80 kg, udara loptu, mase 0,5 kg, koja je prema njemu dolazila horizontalno brzinom 1 m/s. Odmah nakon udara lopta se nastavila gibati horizontalno, u suprotnom smjeru, brzinom 0,8 m/s. Pretpostaviti da je udar trajao 0,2 s. Koja je minimalna vrijednost statikog faktora trenja izmeu vatara i tla kako vratar ne bi proklizao. (Rjeenje: = 0,006) 28. Na zaustavljenom eljeznikom vagonu, mase m1 = 8 t, nalazi se raketna rampa s koje rakete polijeu brzinom v0 = 1000m/s. Istovremeno se lansiraju dvije rakete, svaka mase m2 = 80 kg, u horizontalnom pravcu, koji se poklapa s pravcem tranica. Za koliko se pomjeri vagon pri ovome ako je ukupni koeficijent trenja pri gibanju vagona = 0,06? (Rjeenje: s = 339,8 m) 29. Metalna kuglica, mase 10 g, slobodno pada s visine od 30 m. Kuglica padne na glatku metalnu plou, od koje se odbije ne promijenivi iznos brzine. Ako je dodir kuglice s ploom trajao 1 ms, izraunati iznos impulsa sile, kao i veliinu srednje sile kojom kuglica djeluje na plou. (Rjeenje: I = 0,48 kgm/s, F = 485,2 N) 30. Padobranac, mase 50 kg, iskae iz zrakoplova i slobodno pada do trenutka kad postigne brzinu od 20 m/s. Tada otvara padobran, te mu se za 5 s brzina smanji na 5 m/s. Pretpostavljajui da je akceleracija bila stalna odredite ukupnu silu zatezanja u padobranskim nitima i rezultantnu silu na padobranca. (Rjeenje: FZ = 640, 5 N; F = 150 N) 31. U sustavu tijela prikazanom na slici mase tijela su m1 = 10 kg i m2 = 5 kg. Koeficijent trenja izmeu tijela mase m1 i podloge je = 0,2 dok je kut kosine = 30. Odrediti: a) ubrzanje sustava tijela i b) silu zatezanja ueta. (Rjeenje: a. a = 5,4 m/s; b. FZ = 22 N) 32. Automobil, mase m = 4000 kg, kree se brzinom v0 = 120 km/h po horizontalnom putu. Ako je sila trenja pri kretanju automobila Ftr = 10 kN, odrediti duljinu puta koju e automobil prijei poslije prestanka rada motora. (Rjeenje: s = 222,2 m)


33. Skija stoji nepomino na snjenoj padini nagiba 15 u odnosu na horizontalu. Zbog pritiska skija sloj snijega ispod skija se postupno topi, te se smanjuje statiko trenje i u jednom trenutku skija se pone gibati. Kolika je vrijednost statikog koeficijenta trenja u ovom trenutku? Ako vrijednost koeficijenta trenja klizanja izmeu skija i snijega iznosi 0,1 odrediti brzinu skijaa poslije 5 s, te prijeeni put u ovom vremenu. (Rjeenje: S = 0,268; v = 7,95 m/s; s = 19,88 m) 34. Na horizontalnom dijelu puta, duljine s = 3 km, brzina automobila se povea s v1 = 36 km/h na v2 = 72 km/h. Ako je masa automobila m = 1,5 t, a koeficijent trenja izmeu automobilskih guma i puta iznosi = 0,02, odrediti: a) rad koji izvri automobil na tom putu b) srednju snagu koju razvija motor automobila na tom putu. (Rjeenje: a. W = 1,11106 J = 1,11 MJ; b. P = 5,54 kW) 35. S vrha kosine, visine 1 m i duljine 10 m klizi tijelo mase 2 kg. Odrediti kinetiku energiju koju tijelo postie pri dnu kosine ako je faktor trenja klizanja 0,06. (Rjeenje: 7,91JkE = ) 36. Za sustav tijela prikazan na slici i uz date podatke odrediti ubrzanje sustava i silu zatezanja konopca. m1 = 250 g m2 = 500 g = 30 = 45 (Rjeenje: a = 2,989 ms-2; FZ = 1,974 N) 37. Po kosini se giba tijelo mase M. Koeficijent trenja izmeu tijela i podloge je = 0,01. S ovim tijelom je preko koloture povezano drugo tijelo mase m = 2 kg. Treba odrediti masu tijela M ako se ono po kosini giba ubrzanjem 2 m/s2. (Rjeenje: M = 53,17 kg) 38. Tijelo mase m, koje se nalazi na kosini nagiba 40, vezano je uetom preko koloture s tijelom mase 0,5 m, kao to je prikazano na slici. Odrediti koliki treba biti koeficijent trenja izmeu tijela na kosini i podloge da bi tijela mirovala. Trenje u koloturi zanemariti. (Rjeenje: 0,187 = ) 39. Kameni blok, mase 200 kg, nalazi se na kosini nagiba 15. Da bi se blok gibao niz kosinu potrebno je na njega djelovati tangencijalnom silom od 490 N. a) Koliki je koeficijent trenja izmeu bloka i kosine ako je gibanje bloka jednoliko? b) Kolikom silom bi se mogao vui isti blok uz kosinu? (Rjeenje: = 0,52 b) F = 1493 N)


40. Automobil ukupne mase 2103 kg sputa se cestom nagiba 30. U trenutku kad brzina automobila iznosi 20 m/s voza je zapoeo koiti. Koliku silu koenja treba primijeniti da bi se automobil zaustavio na putu od 100 m? Pretpostavlja se stalna sila koenja paralelna nagibu. (Rjeenje: 13,81 kNKF = ) 41. Tijelo je gurnuto poetnom brzinom 10 m/s uz kosinu nagiba 20 u odnosu na horizontalu. Koeficijent trenja iznosi 0,2. Odrediti vrijeme gibanja tijela do trenutka kad se zaustavi i zapone klizanje nazad, te prijeeni put u ovom vremenu. Odrediti vrijeme u kojem se tijelo vrati u poetnu toku. (Rjeenje: t1 = 1,92 s; s = 9,62 m; t2 = 3,57 s) 42. Vlak u zabavnom parku penje se na maksimalnu visinu od 50 m i tuda prolazi brzinom od 0,5 m/s. Zatim se sputa na minimalnu visinu od 5 m, te se ponovno uspinje, sada do visine 30 m. Zanemarujui trenje odrediti brzinu vlaka u ove dvije toke. (Rjeenje: v2 = 29,72 m/s; v3 = 19,82 m/s) 43. Dizalica vertikalno die teret mase 500 kg stalnom brzinom od 2 m/s. Odrediti potrebnu snagu dizalice za ovaj rad. Koliki rad je dizalica uinila ako je teret podignut 20 m? Druga dizalica moe podii isti teret dvostruko veom brzinom. Izraunati snagu i rad te dizalice za podizanje tereta na istu visinsku razliku. (Rjeenje: P1 = 9810 W; W1 = 98100 J; P2 = 19620 W; W2 = 98100 J) 44. Tobogan u zabavnom parku, kojim se giba vlak, na jednom mjestu ima krunu petlju polumjera 20 m. Vlak se sputa s visine h, gdje je bio u mirovanju. Pretpostavljajui da se vlak giba slobodno, bez sile trenja i bez motora, odrediti potrebnu visinu h kako bi vlak proao ovu krunu petlju. (Rjeenje: h = 50 m) 45. Najvee dozvoljeno ubrzanje lifta, mase 600 kg, iznosi 1,2 m/s2. Kolika je: a) najvea sila zatezanja ueta koje nosi lift, b) ova sila kad bi bilo a = g, c) sila zatezanja ueta kad lift stoji, a kolika kad se kree jednoliko? (Rjeenje: a) FZmax = 6,6 kN; b) FZmax = 11,8 kN; c) FZ = 5,9 kN)


46. Vlak se kree po krunom eljeznikom kolosijeku, polumjera R = 0,5 km kutnim ubrzanjem = 0,0049 rad/s2. Koliko je ubrzanje vlaka u trenutku kad je njegova brzina v = 60 km/h? Kolika je tada kutna brzina kotaa vagona ako je njihov polumjer r = 0,5 m? (Rjeenje: a = 2,5 m/s2, = 33,3 rad/s)

47. Disk, polumjera R = 12 cm, pone se okretati kutnim ubrzanjem = 2 rad/s2. Izraunati ubrzanje toke na obodu diska poslije vremena t = 2 s od trenutka poetka kretanja? (Rjeenje: a = 1,935 m/s2) 48. Kota, polumjera R = 20 cm pone se okretati stalnim kutnim ubrzanjem = 6,28 rad/s2. Kolika je brzina i ubrzanje toke na obodu kotaa poslije vremena t = 5 s od poetka kretanja? (Rjeenje: a = 197,2 m/s2) 49. Metalna kugla, polumjera r = 20 cm i mase m = 40 kg, rotira stalnom kutnom brzinom = 2 rad/s oko osi: a) koja prolazi kroz njen centar mase, b) koja se nalazi na udaljenosti d = 2r od prethodne osi. Kolika je kinetika energija kugle u oba sluaja? (Rjeenje: a) Ek = 1,3 J; b) Ek = 14,1 J) 50. Na osovini motora koji stvara moment sile M = 785 Nm, nalazi se cilindar, mase m = 400 kg i polumjera R = 20 cm. Ako motor poe iz mirovanja za koje vrijeme e napraviti prvi okretaj? Kolika je energija predana cilindru za to vrijeme? (Rjeenje: t = 0,358 s; Ek = 4,94 kJ) 51. Koloturu, vanjskog promjera 40 cm, vuemo konopcem koji je namotan na osovinu, promjera 16 cm i ona pri tome klizi ubrzanjem 0,4 m/s2. Koliki mora biti faktor trenja izmeu podloge i koloture kako bi kolotura klizila bez okretanja? (Rjeenje: = 0,027) 52. Na homogeni tanki cilindar mase m1 i polumjera R, namotano je tanko nerastegljivo ue zanemarive mase, na ijem je kraju privezano tijelo mase m2. Zanemarujui trenje u osi cilindra odrediti: a) kutnu brzinu cilindra i b) kinetiku energiju cijelog sustava u funkciji vremena kretanja.

(Rjeenje: a) 1

2

12

gtmRm

= + ; b)

2 22

1

2

2 12

km g tE

mm

= + )

53. Tijelo, mase m = 200 g, vezano konopcem duljine l = 0,5 m, rotira u vertikalnoj ravnini. Izraunati najveu kutnu brzinu rotiranja tijela pod uvjetom da se konopac ne prekine. Maksimalna sila zatezanja koju konopac moe izdrati je FZmax = 295 N. (Rjeenje: max = 54,1 rad/s)


54. Udaljenost od Zemlje do Mjeseca iznosi priblino RZM = 3,85108 m, a period obilaska Mjeseca oko Zemlje je TM = 27,3 dana. Saturnov satelit Diona ima polumjer putanje oko Saturna RSD = 3,78108 m, a period obilaska oko Saturna TD = 2,7 dana. Na osnovu ovih podataka odrediti odnos masa Zemlje i Saturna. (Rjeenje: mZ/mS = 0,01) 55. Planet, mase m, kree se po krunoj putanji oko Sunca brzinom v = 34,9 km/s. Odrediti period obilaska ovog planeta oko Sunca, ako je masa Sunca mS = 21030 kg. (Rjeenje: T 225 dana) 56. Stacionarni Zemljin satelit kree se oko Zemlje po krunoj putanji. a) Koliki je polumjer njegove putanje? b) Koliki su njegova brzina i ubrzanje? (Rjeenje: a) r = 4,2107 m; b) v = 3,02103 m/s, a = 0,22 m/s2 57. Umjetni Zemljin satelit kree se u ekvatorijalnoj ravnini Zemlje na udaljenosti R = 2107 m od njenog centra. Smjer kretanja je od zapada prema istoku (isti je kao i smjer rotacije Zemlje). Jednu istu toku na ekvatoru satelit nadlijee poslije svakih TS = 11,6 h. Kolika je na osnovi ovih podataka masa Zemlje? (Rjeenje: mZ = 5,971024 kg)

rijeseni zadaci iggz fizike 1. dio

Documents