Rigid Body Dynamics

Kyoungju ParkKyoungju Park

중앙대학교 첨단영상대학원 박 경 주

In MayaIn Maya

Ri id b d 란?• Rigid body란?– 모양이 불변하는 surface– 애니메이션 도중에 collide (rather than pass

through)D i 시뮬레이션에 사용– Dynamics 시뮬레이션에 사용

• To animate rigid body motion– Fields, keyframes, expressions, rigid body

i lli i i h i l hconstraints or collisions with particles or other rigid bodies

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Constraints(Maya)Constraints(Maya)

움직임을 제한• 움직임을 제한• pins, nails, barriers, hinges 와

springs 과 같은 행동을 시뮬레이션springs 과 같은 행동을 시뮬레이션할 때 사용

• Hinge constraints– Rigid body의 특정 축 방향으로 속박

D hi li k ti t i• Door on a hinge, link connecting train cars, pendulum of a clock

• Y축으로 90도까지만 회전가능하도록 속박박

•

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Running a dynamics simulation(Maya)Running a dynamics simulation(Maya)

A ti• Active– Dynamics (fields, collisions, springs) 에 따른 애

니메이션 수행니메이션 수행– 예) ball 과 plank 가 충돌하면, 중력에 내려가던

ball이 plank 와 충돌후에 rebound 함p

• Passive– Active rigid body 와 충돌가능– Translation 과 rotation attributes 를 셋팅함– 예) 제일 아래 plank 가 충돌 후 아무 반응 없게

셋팅 가능

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Maya 실습: Chap 8 2Maya 실습: Chap 8.2

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Rigid body dynamicsRigid body dynamics

For objects with spatial extentParticle system is not enough

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Rigid body dynamicsRigid body dynamics

Problems

• Unconstrained

Performance is important

simulation– No contact

• Constrained systemC lli i d t t– Collision and contact

C t l i thi !Control is everything!

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Particle simulationParticle simulation

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Rigid body conceptsRigid body concepts

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Position and orientationPosition and orientation• Translation of the body ⎛ ⎞• Translation of the body

x( )x

t y⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

Rotation of the body

z⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• Rotation of the body

xx yx zxr r r⎛ ⎞⎜ ⎟( )

xx yx zx

xy yy zyR t r r rr r r

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒Spacial variables of a rigid body

xz yz zzr r r⎜ ⎟⎝ ⎠

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p g y

Body spaceBody space

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Position and orientationPosition and orientation

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Position and orientationPosition and orientation

• x(t) 와 R(t)를 사용해서body space 를 world space 로 transform

• Body 의 포인트 roi 의• Body 의 포인트 roi 의world coordinate 은?

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Position and orientationPosition and orientation

• Rigid body 가 일정한 밀도라고 가정하면, x(t) 의 물리적 의미는?( ) 의 물리적 의미는– 질량의 중심 over time

• R(t) 의 물리적 의미는?– It’s a bit tricky

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Position and orientationPosition and orientation

B d 의 축을 생각해 면 (1 0 0)• Body space 의 x축을 생각해보면, (1,0,0) 이라는 백터좌표를 가지고 있다. 시간 t 일때 ld di 에서의 이 벡터의 방때 world coordinate 에서의 이 벡터의 방향은?

1⎛ ⎞ ⎛ ⎞1( ) 0

xx

xy

rR t r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

which is the first column of R(t)

축

0 xzr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• 따라서, R(t) 는 body space 의 x, y, z 축을world space at time t 로 나타내게 된다.

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Position and orientationPosition and orientation

• 그러므로 x(t) 와 R(t) 는 시간 t 일 때 rigid body 의 position과 orientation 을 정의한y 의 p 과 을 정의한다

• Next, position 과 orientation 은 시간이p흐름에 따라 어떻게 변화하는가에 관한 정의가 필요!의가 필요!

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velocityvelocity

Linear velocityLinear velocity

Angular velocityCOM(center of mass) 의 위치를 고정한다면

어떤 움직임이든 COM 을 지나가는 축을 기준으로 b d i i 으어떤 움직임이든 COM 을 지나가는 축을 기준으로 body spinning 으로 야기됨

그렇지 않다면 COM 자체가 움직임

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그렇지 않다면, COM 자체가 움직임

Angular velocityAngular velocity

S i 을 t ( )t• Spin 을 vector– Direction?– Magnitude?

( )tω

Magnitude?

• Linear position 과 velocity 는

• Angular position(orientation) 과 angular velocity 는 어

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Angular position(orientation) 과 angular velocity 는 어떤 관계?

Angular velocityAngular velocity

H R( ) d 의 관계는?( )tω• How are R(t) and 의 관계는?( )tω

• Hint:Hint:– 시간 t, world space 에서의

벡터 r(t) 를 고려하면, r(t)의 순각적인 속도 값은

( ) ( ) ( )r t b t t bω ω= = ×( ) ( ) ( )r t b t t bω ω ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t t b t b t a t b aω ω ω ω= × = × + × = × +

중앙대학교 첨단영상대학원 박 경 주( ) ( ) ( )r t t r tω= ×

Angular velocityAngular velocity

의 리적 을 려할때 의 l 어떤 의( )R• R(t) 의 물리적 뜻을 고려할때, 의 column 은 어떤 의미?

( )Rt

• 시간 t 일 때, rigid body 의 x 축방향은(world space) 에R(t) 의 첫번째 column 임R(t) 의 첫번째 column 임

xxrr⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

시간 t 에서 R(t) 의 첫번째 l 의 d i ti 는?

xy

xz

rr⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• 시간 t 에서, R(t) 의 첫번째 column 의 derivative는?

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Angular velocityAngular velocity

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Angular velocityAngular velocity

V t l ti ( ) ( ) ( )r t t r tω ×Vector relation:

Matrix relation:

( ) ( ) ( )r t t r tω= ×

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Perspective of particlePerspective of particle

• Rigid body 가 수많은 수의 조그마한particle 로 이루어져있다고 상상p 이루어져있다 상상– Particle 은 1 부터 N 까지 인덱스 되어지고

각각의 particle 은 body space에서 위치 불– 각각의 particle 은 body space에서 위치 불변시간 t 에서 i 번째 ti l 의 ld 에– 시간 t 에서 i 번째 particle의 world space 에서의 위치는

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Velocity of a particleVelocity of a particle

Angular velocity Linear velocityAngular velocity Linear velocity

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Next classNext class

• Mass, inertia• momentum• Force/torque

And….constrained dynamics(collision/contact)

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