RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICA

Istituto Tecnico Economico “Agostino Bassi” – Lodi

Anno scolastico 2014/2015

Prof. Letterio Cozzo

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LE EQUAZIONI LINEARI IN DUE VARIABILI Un’equazione lineare in due variabili x e y è un’equazione di primo grado per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma:

a x + b y + c = 0 con a, b, c (a e b non entrambi nulli). Teorema A ogni retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano.

Retta

Forma esplicita della retta L’equazione:

y = mx + q e' detta equazione della retta in forma esplicita (la y è sempre al primo membro, la x al secondo membro); m si chiama COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA; q si chiama TERMINE NOTO. Forma implicita della retta L’equazione

ax + by + c = 0

è equazione della retta in forma implicita (la y e la x stanno entrambe al primo membro dell’equazione. Ad esempio, l’equazione:

12x –4y -8 = 0 è l’equazione di una retta in cui

a = 12; b = -4; c = -8

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Possiamo trasformare la retta dalla forma implicita alla forma esplicita: basta risolvere l'equazione rispetto alla y:

12x –4y -8 = 0

isolo la y

–4y = - 12x + 8

divido tutto per –4 - 12 8

y = ---- x + --- = + 3x - 2 –4 –4

cioè:

y = 3x – 2 forma implicita dove m = 3 (coefficiente angolare) ed q = -2 (termine noto) Come si disegna una retta

Vediamo come si disegna una retta con un esempio. Tracciamo la retta di equazione:

2x - 3y + 5 = 0 1. Scrivo l’equazione nella forma esplicita:

-3y = -2x -5 divido per -3

3

5

3

2 += xy

2. costruiamo la seguente tabella:

x 3

5

3

2 += xy

Per rappresentare una retta, basta individuare due punti (per due punti passa una ed una sola retta).

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3. Diamo dei valori alla x e calcoliamo i valori corrispondenti per la y. Mi conviene dare alla x il valore 0:

x 3

5

3

2 += xy

0 3

5

3

50

3

2 =+⋅=y

4. Diamo dei valori alla y e calcoliamo i valori corrispondenti per la x. Mi conviene dare alla y il valore 0:

x 3

5

3

2 += xy

0 3

5

3

50

3

2 =+⋅=y

2

5

2

50

2

3 −=−⋅=x y = 0

2

5

2

3

6

15

2

3

3

5

2

3

3

5

3

2 −=−=

−⋅=⇒−= yyyx yx

5. In definitiva, otteniamo i seguenti punti:

x 3

5

3

2 += xy

0 3

5=y Intersezione asse y

2

5−=x y = 0 Intersezione asse x

5

Il grafico della retta sarà:

Osservazione: metodo alternativo per disegnare la retta

3

5

3

2 += xy

3

50;

− 02

5;

Se l’ascissa aumenta di una certa quantità fissa, l’ordinata cresce anch’essa di una quantità fissa.

Quando l’ascissa aumenta di 1 unità, l’ordinata aumenta di m.

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Le equazioni degli assi

L’equazione dell’asse x è y = 0. L’equazione dell’asse y è x = 0.

Equazione di una retta parallela a un asse

L’equazione di una retta parallela all’asse x è y = k. L’equazione di una retta parallela all’asse y è x = h.

Equazione delle bisettrici una retta parallela a un asse

L’equazione della bisettrice del I e III quadrante è y = x. L’equazione della bisettrice del II e IV quadrante è y = -x.

Retta parallela all’asse x

Retta parallela all’asse y

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Rette parallele

Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. Ad esempio, le rette:

y = -2x + 3 (m1 = -2, q1 = +3) e

y = -2x + 7 (m2 = -2, q2 = +7) sono parallele perché m1 = m2. Infatti, se tracciamo il grafico delle due rette:

y = -2x + 3 y = -2x + 7

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Rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei coefficienti angolari è uguale a -1. Ad esempio, le rette:

y = -2x + 3 (m1 = -2, q1 = +3) e

y = 2

1x + 7 (m2 =

2

1, q2 = +7)

sono perpendicolari perché

m1 · m2 = -2 · 2

1 = -1

Infatti, se tracciamo il grafico delle due rette:

y = -2x + 3

y = 1/2x + 7

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Intersezione di due rette Date due rette di equazione rispettivamente y = mx + q e y = m1x + q1, la loro intersezione (il punto che hanno in comune) si ottiene risolvendo il sistema formato dalle equazione delle due rette.

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LE CONICHE

Introduzione

Noi analizzeremo brevemente le seguenti coniche: • Parabola • Circonferenza

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Parabola

Definizione La parabola è l’insieme dei punti del piano cartesiano che godono della proprietà di essere equidistanti da un punto assegnato, detto fuoco, e da una retta assegnata, detta direttrice . Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

y = ax2 +bx +c

Osservando il grafico si può osservare: 1. Il fuoco di una parabola si trova sull’asse di simmetria; 2. La direttrice e l’asse di una parabola sono perpendicolari tra

loro; 3. Il vertice di una parabola è equidistante dal fuoco e dalla

direttrice; 4. Per ogni punto di una parabola, la sua distanza dal fuoco è

uguale alla sua distanza dalla direttrice.

Formulario

Coordinate del vertice:

∆−−≡a

;a

bV

42 Coordinate del fuoco:

∆−−≡a

;a

bF

4

1

2

Equazione asse di simmetria: a

bx

2−= Equazione della direttrice:

ay

4

1 ∆+−=

dove cab ⋅⋅−=∆ 42

F

V

Asse di simmetria

x

y

0

direttrice

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Se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto: Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso: Rappresentazione grafica della parabola

Per disegnare la parabola di equazione

y = ax2 +bx +c sono necessarie le seguenti informazioni: • concavità (a>0 oppure a<0);

Asse y:

=⇒=

++=cy

0x

cbxaxy 2

• intersezione con gli assi coordinati: (3 punti)

Asse x:

=++⇒=

++=0

02

2

cbxaxy

cbxaxy

• coordinate del vertice:

∆−−≡a

;ab

V42

(1 punto) • C′ simmetrico, rispetto all’asse di simmetria, di C, punto d’intersezione della parabola

con l’asse y: a

bC −=′ . (1 punto)

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Casi particolari dell’equazione y = ax2 + bx + c Consideriamo l’equazione y = ax2 +bx +c, con a, b, c∈R. Esaminiamo i casi particolari in cui uno o due coefficienti siano uguali a zero.

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La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado

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Circonferenza

Definizione La circonferenza è l’insieme dei punti del piano cartesiano che godono della proprietà di essere equidistanti da un punto fisso, detto centro. Equazione della circonferenza dato il centro C(x0, y0) ed il raggio r:

(x - x0)2 +(y - y0)

2 = r2 (1) Esempio Trovare l'equazione della circonferenza avente il centro c(3,4) e raggio 6:

(x - 3)2 + (y - 4)2 = 36 Equazione generale della circonferenza Vediamo ora come si giunge all'equazione generale della circonferenza. Per capirla meglio facciamolo contemporaneamente sia in teoria che su un esempio pratico. Se ho l'equazione di una circonferenza dato il centro ed il raggio dovrò eseguire i calcoli: (x - 3)2 + (y - 4)2 = 36 eseguo i calcoli

(x - xo)2 + (y - yo)2 = r2

eseguo i calcoli x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 36 x2 -2xxo + xo2 + y2 - 2yyo + yo2 = r2

porto tutti i termini prima dell'uguale ed ordino x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 – 36 = 0 x2 -2xxo + xo2 + y2 - 2yyo + yo2 - r2 = 0 Sommo i numeri e faccio le seguenti sostituzioni: • al posto di -2x0 scrivo a • al posto di -2y0 scrivo b • al posto di x0

2 + y02 - r2 scrivo c

x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0 x2 + y2 + ax + by + c = 0 L’equazione generale della circonferenza sarà:

x2 + y2 + ax + by + c = 0 (2) Osservando l’equazione (2) possiamo notare che: • i termini al quadrato x2 e y2 hanno lo stesso coefficiente; • non sono presenti termini del tipo bxy; • il raggio deve essere un numero reale (cioè il quadrato del raggio deve essere un numero

positivo). Relazioni fra coefficienti, centro e raggio Nell'equazione generale della circonferenza (2) abbiamo posto:

-2 x0 = a -2 y0 = b x02 + y0

2 - r2 = c

r

C

P

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Se dato il centro ed il raggio riesco ad arrivare all'equazione della circonferenza, allora devo poter anche tornare indietro: cioè data l'equazione di una circonferenza devo riuscire a trovare il raggio e le coordinate del centro; sarà sufficiente risolvere le uguaglianze scritte qui sopra ricavandone le coordinate del centro ed il raggio:

2

ax 0 −=

2

by0 −= cyxr 2

020 −+=

Rappresentazione grafica di una circonferenza Per disegnare una circonferenza con equazione

x2 + y2 + ax + by + c = 0 si eseguono i seguenti passi:

1. si trovano le coordinate del centro:

2

ax 0 −= ;

2

by0 −= ⇒

−−2

b;

2

aC

2. si calcola il raggio:

cyxr 20

20 −+=

3. si riportano sul piano cartesiano le coordinate del centro e, con distanza uguale al raggio, si traccia la circonferenza.

Casi particolari dell’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 Consideriamo l’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0, con a, b, c∈R. Esaminiamo i casi particolari in cui uno o due coefficienti o il termine noto siano uguali a zero.