richard stanley's twelvefold way

8/6/2019 Richard Stanley's Twelvefold Way

1/7

R i c h a r d S t a n l e y ' s T w e l v e f o l d W a y

A u g u s t 3 1 , 2 0 0 9

M a n y c o m b i n a t o r i a l p r o b l e m s c a n b e f r a m e d a s c o u n t i n g t h e n u m b e r o f w a y s

t o a l l o c a t e b a l l s t o u r n s , s u b j e c t t o v a r i o u s c o n d i t i o n s . R i c h a r d S t a n l e y i n v e n t e d

t h e \ t w e l v e f o l d w a y " t o o r g a n i z e t h e s e r e s u l t s i n t o a t a b l e w i t h t w e l v e e n t r i e s .

S e e h i s b o o k E n u m e r a t i v e C o m b i n a t o r i c s , V o l u m e 1 .

L e t b r e p r e s e n t t h e n u m b e r o f b a l l s a v a i l a b l e a n d u t h e n u m b e r o f u r n s . T h e

f o l l o w i n g t a b l e g i v e s t h e n u m b e r o f w a y s t o p a r t i t i o n t h e b a l l s a m o n g t h e u r n s

a c c o r d i n g t o t h e v a r i o u s s t a t e s o f l a b e l e d o r u n l a b e l e d a n d s u b j e c t t o c e r t a i n

r e s t r i c t i o n s . T h e c o l u m n h e a d e d \ 1 " c o r r e s p o n d s t o r e q u i r i n g t h a t t h e r e

b e n o m o r e t h a n o n e b a l l i n e a c h u r n . S i m i l a r l y , t h e c o l u m n h e a d e d \ 1"

c o r r e s p o n d s t o r e q u i r i n g a t l e a s t o n e b a l l i n e a c h u r n .

B a l l s U r n s u n r e s t r i c t e d 1 1

l a b e l e d l a b e l e d

ub (u)b u!S(b, u)

u n l a b e l e d l a b e l e d

u

b

u

b

u

bu

l a b e l e d u n l a b e l e d

ui=1

S(b, i) [b u] S(b, u)

u n l a b e l e d u n l a b e l e d

ui=1 pi(b) [b u] pu(b)

F o r c o n v e n i e n t c r o s s r e f e r e n c i n g , w e w i l l r e f e r t o e a c h o f t h e c a s e s b y t h r e e

s y m b o l s . T h e r s t c h a r a c t e r i s a n l o r a u d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e b a l l s

1


2/7

a r e l a b e l e d o r u n l a b e l e d . T h e s e c o n d c h a r a c t e r s i m i l a r l y i n d i c a t e s w h e t h e r t h e

u r n s a r e l a b e l e d o r u n l a b e l e d . T h e n a l c h a r a c t e r i s o n e t h e r e g u l a r e x p r e s s i o n

s y m b o l s *, ?, o r + i n d i c a t i n g n o r e s t r i c t i o n s , a t m o s t o n e b a l l p e r u r n , a n d a t

l e a s t o n e b a l l p e r u r n r e s p e c t i v e l y .

1 Labeled balls, labeled urns, unrestricted (ll*)

T h i s i s t h e n u m b e r o f b - t u p l e s o f u t h i n g s . T h e r e a r e u c h o i c e s f o r w h i c h u r n

t h e r s t b a l l s h o u l d g o i n ,

uc h o i c e s f o r w h e r e t h e s e c o n d b a l l s h o u l d g o , a n d

s o f o r t h f o r a t o t a l o f

ubp o s s i b i l i t i e s .

2 Labeled balls, labeled urns, 1 (ll?)

T h e r e a r e

uc h o i c e s f o r w h e r e t o p l a c e t h e r s t b a l l ,

u 1 f o r w h e r e t o p l a c e

t h e s e c o n d b a l l , a n d s o f o r t h f o r a t o t a l o f

u(u 1) (u b + 1) = (u)b

p o s s i b i l i t i e s . (u)b i s a l s o w r i t t e n ub

. T h i s i s s o m e t i m e s r e a d \

ut o

bf a c t o r s "

o r \ t h e

bt h f a l l i n g p o w e r o f

u. "

N o t e t h a t i f u = b t h e n (u)b = u! . A l s o , i f b > u t h e n (u)b = 0 b e c a u s e

t h e r e a r e t o o m a n y b a l l s f o r e a c h u r n t o h o l d o n l y o n e .

3 Unlabeled balls, labeled urns, unrestricted (ul*)

T h e n u m b e r o f w a y s t o c h o o s e

kt h i n g s f r o m a s e t o f s i z e

ni s n

k. T h i s i s

s e l e c t i o n w i t h o u t r e p l a c e m e n t . B y a n a l o g y , S t a n l e y d e n e s

n

k

t o b e t h e

n u m b e r o f w a y s t o c h o o s e

ki t e m s f r o m a s e t o f s i z e

nw i t h r e p l a c e m e n t . T h e

n u m b e r o f w a y s t o d i s t r i b u t e

bu n l a b e l e d b a l l s i n t o

uu r n s i s

u

b

b e c a u s e f o r

2


3/7

e a c h b a l l o n e c a n c h o o s e w h i c h u r n t o p u t i t i n . S i n c e a n u r n c a n b e s e l e c t e d

s e v e r a l t i m e s , t h i s i s c h o o s i n g w i t h r e p l a c e m e n t . ( I t i s i m p o r t a n t t o t h i n k o f

c h o o s i n g u r n s , n o t b a l l s . )

A n o t h e r w a y o f v i e w i n g t h e a n a l o g y a b o v e i s t h a t w h e r e a s

n

k

g i v e s t h e

n u m b e r o f s u b s e t s o f s i z e

kf r o m a s e t o f s i z e

n,

n

k

g i v e s t h e n u m b e r o f

k - e l e m e n t m u l t i s e t s d r a w n o n a s e t o f n e l e m e n t s .

I t t u r n s o u t t h a t n

k

=

n + k 1

k

a n d s o t h e n u m b e r o f w a y s t o d i s t r i b u t e


uu r n s i s

u+b1b

.

T h i s c a n b e p r o v e n v i a F e l l e r ' s s t a r s - a n d - b a r s a r g u m e n t a s f o l l o w s .

I m a g i n e t h e

uu r n s a s t h e s p a c e s b e t w e e n

u + 1 v e r t i c a l b a r s . R e p r e s e n t t h e

b a l l s a s s t a r s b e t w e e n t h e b a r s . F o r e x a m p l e , |*||***| g i v e s a n i l l u s t r a t i o n o f

o n e w a y t o a s s i g n f o u r b a l l s t o t h r e e c e l l s . T h e r e m u s t b e a b a r i n t h e r s t a n d

l a s t p o s i t i o n , b u t o t h e r w i s e t h e r e a r e a s m a n y w a y s t o a s s i g n b b a l l s t o u u r n s

a s t h e r e a r e w a y s t o a r r a n g e t h e s t a r s a n d b a r s . T h e r e a r e

u 1 b a r s t h a t w e a r e

f r e e t o m o v e a n d b s t a r s , f o r a t o t a l o f u + b 1 s y m b o l s . A m o n g t h e u + b 1

p o s i t i o n s f o r t h e s e s y m b o l s , w e c h o o s e b i n w h i c h t o p u t s t a r s a n d l l t h e r e s t

w i t h b a r s . T h u s t h e r e a r e

u+b1

b

p o s s i b i l i t i e s .

I n s o m e s e n s e S t a n l e y ' s n o t a t i o n i s u n n e c e s s a r y s i n c e i t e a s i l y r e d u c e s t o

b i n o m i a l c o e c i e n t s . H o w e v e r , s o m e e q u a t i o n s a r e c l e a n e r a n d m o r e m e m o r a b l e

u s i n g h i s n o t a t i o n .

n

k

i s a l s o t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n

x1 + x2 + xk = n + k

i n p o s i t i v e i n t e g e r s .

3


4/7

4 Unlabeled balls, labeled urns, 1 (ul?)

I f t h e r e c a n b e n o m o r e t h a n o n e b a l l i n e a c h u r n , t h e p r o c e s s r e d u c e s t o

d e t e r m i n i n g w h i c h

bo f t h e

uu r n s w i l l g e t a b a l l , a n d t h e r e a r e

u

b

w a y s t o

c h o o s e b u r n s o u t o f t h e t o t a l o f u u r n s .

5 Unlabeled balls, labeled urns, 1 (ul+)

S t a n l e y g i v e s t h e s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m a s

u

bu

w h i c h r e d u c e s t o

b1

u1

.

S t a n l e y ' s d e r i v a t i o n i s a s f o l l o w s . P u t o n e b a l l i n e a c h u r n . N o w t h e r e a r e

b u b a l l s t h a t c a n b e d i s t r i b u t e d w i t h o u t r e s t r i c t i o n a n d s o b y p r o b l e m ( ul*) ,

t h i s c a n b e d o n e i n

u

bu

w a y s .

F e l l e r d e r i v e s t h e s a m e r e s u l t d i r e c t l y a s f o l l o w s . I m a g i n e t h e u u r n s a s t h e

s p a c e s b e t w e e n

u + 1 b a r s . W e r s t t h i n k o f t h e b s t a r s l i n e d u p a n d d e c i d e

w h e r e t o p l a c e t h e b a r s . W e m u s t p l a c e o n e b a r b e f o r e t h e r s t s t a r a n d o n e

a f t e r t h e l a s t s t a r . T h e r e m a i n i n g u 1 b a r s m u s t b e d i s t r i b u t e d a m o n g t h e

b 1 s p a c e s b e t w e e n s t a r s . T h u s t h e r e a r e b1

u1 p o s s i b i l i t i e s .

6 Labeled balls, unlabeled urns, 1 (lu+)

T h e n o t a t i o n

S(n, k) d e n o t e s S t i r l i n g n u m b e r s o f t h e s e c o n d k i n d . K n u t h u s e s

a n o t a t i o n { I h a v e n o t f o u n d o u t y e t h o w t o r e p r o d u c e i t i n L

A

T

E

X { t h a t l o o k s

l i k e

n

k

w i t h t h e p a r e n t h e s e s r e p l a c e d w i t h c u r l y b r a c e s {}. K n u t h p r o n o u n c e s

h i s s y m b o l \

ns u b s e t

k" a n d c a l l s t h e S t i r l i n g n u m b e r s o f t h e s e c o n d k i n d

\ s u b s e t n u m b e r s . " H i s n o t a t i o n a n d p r o n u n c i a t i o n a r e m o r e m n e m o n i c t h a n

t h e i r t r a d i t i o n a l c o u n t e r p a r t s .

S(n, k) i s d e n e d t o b e t h e n u m b e r o f w a y s t o

p a r t i t i o n

no b j e c t s i n t o

kn o n - e m p t y , u n o r d e r e d s e t s . F o r e x a m p l e ,

S(4, 2) = 7

b e c a u s e t h e r e a r e s e v e n w a y s t o p a r t i t i o n {1,2,3,4} i n t o t w o s e t s :

4


5/7

{1} {2,3,4}

{2} {1,3,4}

{3} {1,2,4}

{4} {1,2,3}

{1, 2} {3, 4}

{1, 3} {2, 4}

{1, 4} {2, 3}

P a r t i t i o n i n g i n t o

us u b s e t s c o r r e s p o n d s t o p u t t i n g b a l l s i n

uu r n s . R e q u i r i n g

t h e s u b s e t s t o b e n o n - e m p t y c o r r e s p o n d s t o r e q u i r i n g e a c h u r n t o h a v e a t l e a s t

o n e b a l l . U n o r d e r e d s u b s e t s c o r r e s p o n d t o u n l a b e l e d u r n s . T h e r e f o r e t h e r e a r e

S(b, u) p o s s i b i l i t i e s .

T h e r e i s n o c o n v e n i e n t f o r m u l a f o r S t i r l i n g n u m b e r s , b u t t h e y m a y b e c o m -

p u t e d v i a t h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n s h i p

S(n, k) = k S(n 1, k) + S(n 1, k 1).

7 Labeled balls, labeled urns, 1 (ll+)

S e e t h e d e v e l o p m e n t o f ( lu+) . A s s u m e r s t t h a t t h e u r n s a r e n o t l a b e l e d . T h e n

t h e r e a r e

S(b, u) p o s s i b i l i t i e s . B u t s i n c e t h e u r n s c a n b e p e r m u t e d u! w a y s

a m o n g t h e m s e l v e s , l a b e l i n g t h e u r n s m u l t i p l i e s t h e n u m b e r o f p o s s i b i l i t i e s b y

u! .

5


6/7

8 Labeled balls, unlabeled urns, unrestricted (lu*)

B y ( lu+) t h e r e a r e S(b, u) w a y s t o d i s t r i b u t e t h e b a l l s i n t o u s u b s e t s w i t h a t

l e a s t o n e b a l l i n e a c h s u b s e t . I f w e a l l o w t h e n u m b e r o f s u b s e t s t o v a r y f r o m 1

t o u, t h e n t h e t o t a l n u m b e r o f p o s s i b i l i t i e s i s t h e s u m o f o v e r e a c h s i z e :

S(b, 1) + S(b, 2) + + S(b, u).

9 Labeled balls, unlabeled urns, 1 (lu?)

I f t h e r e a r e m o r e b a l l s t h a n u r n s , t h e r e i s n o w a y t o p a r t i t i o n t h e b a l l s i n t o

t h e u r n s w i t h n o m o r e t h a n o n e b a l l p e r u r n . I f t h e n u m b e r o f b a l l s i s l e s s

t h a n o r e q u a l t o t h e n u m b e r o f u r n s , t h e r e i s o n e s o l u t i o n : p u t o n e b a l l i n

e a c h u r n . S i n c e t h e u r n s a r e u n l a b e l e d , o n e c a n n o t d i s t i n g u i s h a n y d i e r e n c e

b e t w e e n d i e r e n t w a y s o f d o i n g t h i s . T h e r e f o r e t h e n u m b e r o f w a y s t o d i s t r i b u t e

b ( u n l a b e l e d ) b a l l s i n t o u u n l a b e l e d u r n s w i t h n o m o r e t h a n o n e b a l l i n e a c h

u r n i s [b u], i . e . 1 i f b u a n d 0 o t h e r w i s e .

10 Unlabeled balls, unlabeled urns, 1 (uu?)

T h e a r g u m e n t i n ( lu?) h o l d s h e r e a s w e l l : i f t h e u r n s a r e n o t l a b e l e d , i t d o e s n ' t

m a t t e r t h a t t h e b a l l s a r e l a b e l e d . I f b a l l 1 i s i n o n e u n l a b e l e d u r n a n d b a l l 2 i s

i n a n o t h e r u n l a b e l e d u r n , h o w c o u l d I t e l l i f I s w i t c h e d t h e t w o b a l l s ?

11 Unlabeled balls, unlabeled urns, 1 (uu+)

pk(n) i s d e n e d a s t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f n i n t o k p a r t s , i . e . t h e n u m b e r

o f d i s t i n c t w a y s t o w r i t e

na s t h e s u m o f

kp o s i t i v e i n t e g e r s . T h e o r d e r o f t h e

6


7/7

s u m m a n d s d o e s n o t m a t t e r ; e q u i v a l e n t l y o n e c a n r e q u i r e t h a t t h e s u m m a n d s

b e a r r a n g e d i n n o n - d e c r e a s i n g o r d e r .

P a r t i t i o n i n g b n o n - d i s t i n c t b a l l s i n t o u n o n - d i s t i n c t u r n s c o r r e s p o n d s t o

p a r t i t i o n i n g

bi n t o

us u m m a n d s . R e q u i r i n g a t l e a s t o n e b a l l i n e a c h u r n c o r r e -

s p o n d s t o r e q u i r i n g t h e s u m m a n d s t o b e p o s i t i v e . T h e r e f o r e

bu n l a b e l e d b a l l s

c a n b e d i s t r i b u t e d i n t o u u n l a b e l e d u r n s i n pu(b) w a y s .

T h e r e i s n o c o n v e n i e n t f o r m u l a f o r t h e n u m b e r s

pk(n), b u t t h e y c a n b e

c o m p u t e d v i a t h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n

pk(n) = pk1(n 1) + pk(n k).

12 Unlabeled balls, unlabeled urns, unrestricted

(uu*)

W i t h o u t t h e r e q u i r e m e n t o f a t l e a s t o n e b a l l p e r u r n , t h e n u m b e r o f n o n - e m p t y

u r n s c a n b e a n y n u m b e r b e t w e e n 1 a n d u i n c l u s i v e . T h u s , u s i n g ( uu+) , t h e

n u m b e r o f w a y s t o d i s t r i b u t e


uu n l a b e l e d u r n s i s

p1(b) + p2(b) + + pu(b).

7

richard stanley's twelvefold way

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