ribwbkii hro-ibb

ribWBKIIHRO-IBB

Toegepaste wiskunde

Vergeet-mij-nietjes

Kromming, zakking, hoekverandering

Relaties

verband tussen verplaatsing en vervorming

Buigingstheorie

Hoekverdraaiing en zakking

Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Stellingen gereduceerd momentvlak

φA = 0

φA = 0

ωA = 0

Methode gereduceerde momentenvlak

Uitkragende ligger met constant momentverloop

M

L

φA = 0

BA

Mmax

M-lijn

Oppervlakte:

Opp.(θ1) = M * L

1e stellingφB = φA + θ1

φB = φA + ML/EI.φB = ML/EI

2e stellingωB = ωA + θ1*a ωB = - M * L * ½ L / EIωB = - ML2 /2 EI

θ1

a = ½ L

Knikje (θ1) omhoog dan positieve hoek

en negatieve zakking

ω

Uitkragende ligger met puntlast op het einde

F

L

φA = 0

BA

M/EI-lijn

Mmax

a = 2/3 L

θ1

Mmax = FL

θ1 = ½ * F* L * L / EI

θ1 = FL2 / 2EI

1e stelling

φB = φA - θ1

φB = 0 - θ1

φB = - FL2 / 2 EI

2e stelling

ωB = ωA + θ1*a

ωB = 0 + θ1*a

ωB = θ1*a

ωB = ½ * F* L2 * 2/3L / EI

ωB = FL3 / 3EI

Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek

en positieve zakking

ω

Uitkragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting

L

φA = 0

BA

M/EI-lijn

Mmax

a = 3/4 L

θ1

q

Mmax = ½ * qL * L

θ1 = 1/3 * ½ qL2 * L / EI

θ1 = 1/6 ql3 /EI

1e stelling

φB = φA - θ1

φB = 0 - θ1

φB = - 1/6 ql3 / EI

2e stelling

ωB = ωA + θ1*a

ωB = 0 + θ1*a

ωB = θ1*a

ωB = 1/6 ql3 /EI * 3/4L

ωB = ql4 / 8 EI

Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek

en positieve zakking

ω

Uitkragende ligger met q- en puntlast

F

L

φA = 0

BA

M/EI-lijn

Mmax

a = 2/3 L

θ1

M/EI-lijn

Mmax

a = 3/4 * ½ L + ½ L = 7/8 L

θ2

q

1

2

Momentenlijn 1

θ1 = ½ FL2/EI

1e stelling

φB1 = - ½ FL2/EI

2e stelling

ωB1 = ½ FL2/EI * 2/3 L

ωB1 = FL3/3EI

Momentenlijn 2θ2 = 1/3 * 1/2 qL2 * ½ L / EIθ2 = qL3 / 12EI1e stellingφB2 = - qL3 / 12EI

2e stelling

ωB2 = qL3 / 12EI * 7/8 LωB2 = 7qL4 / 96EI

ωBtot½ L

Uitkragende ligger met q- en puntlast

F

L

φA = 0

BA

Mmax

M/EI-lijn

q

1

φBtot = (- ½ FL2/EI ) - ( qL3 / 48EI ) 1e stelling

ωBtot = ( FL3/3EI ) + ( 7qL4 / 96EI ) 2e stelling

ωBtot½ L

Ligger met puntlast op 2 steunpunten

M = ¼ FL

Opp= ¼ FL * ½ L = 1/8 FL2

θ1 = FL2 / 8EI

Hoek A en B ongelijk aan nul

Zakking in A en B is nul

Zakking in het midden ongelijk aan nul

ωB = - φA * L – θ1 * ½ L

φA = ( - FL2/8EI * 1/2L) / L

φA = - FL2/16EI

φB = θ1 – φA

φB = FL2/16EI

θ1

½ L

φA

Positieve buiging, onderzijde balk wordt op trek belast.

Knikje positief, zakking negatief

ω

Ligger met puntlast op 2 steunpunten

θ2

½ L

φA

M = ¼ FL

Opp. = ¼ FL * ½ L * ½ = 1/16 FL2

θ2 = FL2/16 EI

2e stelling

ωC = - φA * ½ L – θ2 * 1/6 L

ωC = - (-FL2/16EI * 1/2 L) - FL2/16EI * 1/6 L

ωC = FL2/16EI * 1/2 L - FL2/16EI * 1/6 L

ωC = 2FL3/96EI = FL3/48EI

1/3 * ½ L = 1/6L

Zakking in het midden ω = FL3/48EI

A BC

ω

Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten

A B

qM = 1/8qL2

Opp.= 2/3 * 1/8qL2 * L = 2/24 qL3 = qL3 / 12

θ1 = qL3 / 12EI

2e stelling

ωB = -φA * L – θ1 * 1/2L

φA = - θ1 * 1/2L / L = - ½ θ1

φA = - ½ * qL3 / 12 EI = - qL3 / 24EI

φA = - ½ * qL3 / 12 EI

φA = - qL3 / 24EI

φB = θ1 – φA

φB = qL3 / 24EI

Hoek A en B ongelijk aan nulZakking in A en B is nulZakking in het midden ongelijk aan nul

θ1φA

Lω

Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten

A B

q

θ2φA

L

θ1

a = 3/8 * ½ L

½ L

Opp. = 2/3 * 1/8qL2 * 1/2L = ql3 / 24

θ2 = qL3 / 24EI

2e stelling

ωC = - (-φA * ½ L) – θ2 * a

ωC = qL3/24EI * ½ L – qL3/24EI * 3/8 * 1/2L

ωC = qL4/48EI – 3qL4/384EI

ωC = 8qL4/384EI – 3qL4/384EI

ωC = 5/384 * qL4/EI

Zakking in het midden ω = 5/384 * ql4/EI

ω

Ligger op 2 steunpunten met een moment op het einde

θ1 = ML/2EI

2e stelling

ωB = - φA * L – θ1 * 1/3L

φA = - ML/2EI * 1/3L / L

φA= - ML/6EI

φB = ML/2EI – ML/6EI

φB = ML/3EI

θ2 = 1/2M * ½ L * ½ = ML/8EI

ωC = -(φA * ½ L) – θ2 * 1/3 * ½ L

ωC = ML2/2EI – ML2/48EI

ωC = ML2/16EI

A B

θ2φA θ1

a2 = 1/3 * ½ L

a1 = 1/3 * L

C

L

Opgave#1

6

F=5kN

E = 2,1 * 105 N/mm2

Iy = 934 * 104 mm4

A B

Gevraagd:

a. Is de buiging negatief of positief ?

b. Reactiekrachten

c. D-lijn

d. M-lijn

e. De hoekverandering in A en B

f. De zakking in A en B

d. De zakkingslijn

Oplossing opgave 1

6

F=5kN

A BΣM t.o.v. A = 0

-5 * 6 + M = 0

M = 30 kNm

ΣFv = 0

-Fa + 5 = 0

Fa = 5 kN

Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast

Fa = 5 kN

M = 30 kNm

A B

5

30

D-lijn

M-lijn

+

-

Oplossing opgave 1

6

F=5kN

A BFa = 5 kN

M = 30 kNm

5

30

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

a = 2/3 * 6 = 4

Knikje negatief dan zakking positief

M = FL opp. = ½ FL2 = 90

θ1 = FL2/2EI = 90/EI

Hoekverandering in A = 0

φB = 0 – θ1 = - 90/EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8

EI = 1961.4 kN/m2

φB = -90/1961.4 = - 0.0459 rad

Oplossing opgave 1

6

F=5kN

A BFa = 5 kN

M = 30 kNm

5

30

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

a = 2/3 * 6 = 4

Zakking in A is nul

ωB = φA + θ1 * a

ωB = 90/EI * 4

ωB = 360/EI = 360/1961.4

ωB = 0,184 m = 184 mm

ωB= 184mm

Opgave 2

6

E = 2,1 * 105 N/mm2

Iy = 934 * 104 mm4

A B

Gevraagd:


b. Reactiekrachten

c. D-lijn

d. M-lijn



d. De zakkingslijn

q=5kN/m

Oplossing opgave 2

6

A

q=5kN/mΣM t.o.v. A = 0

-5 * 6 * 3 + M = 0

M = 90 kNm

ΣFv = 0

-Fa + 30 = 0

Fa = 30 kN

Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast

Fa = 30 kN

M = 90 kNm

5

90

D-lijn

M-lijn

+

-θ1

a = 3/4 * 6 = 4.5

Oplossing opgave 2

6

A

q=5kN/m

Fa = 30 kN

M = 90 kNm

5

90

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

Knikje negatief dan zakking positief

M = ½ ql2 opp. = ½ ql2 * l * 1/3

θ1 = ql3/6EI = 180/EI

Hoekverandering in A = 0

φB = 0 – θ1 = - 180/EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8

EI = 1961.4 kN/m2

φB = -180/1961.4 = - 0.0918 rad

a = 3/4 * 6 = 4.5

Oplossing opgave 2

6

A

q=5kN/m

Fa = 30 kN

M = 90 kNm

5

90

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

Zakking in A is nul

ωB = φA + θ1 * a

ωB = 180/EI * 4

ωB = 810/EI = 810/1961.4

ωB = 0,413 m = 413 mm

a = 3/4 * 6 = 4.5

ωB= 413mm

Opgave#3

6

A

F=5kN

B

E = 2,1 * 105 N/mm2

Iy = 934 * 104 mm4

Gevraagd:


b. Reactiekrachten

c. D-lijn

d. M-lijn



d. De zakkingslijn

Oplossing opgave 3

θ1

½ L

φA

6

A

F=5kN

B

ΣM t.o.v. A = 0

-5 * 3 + Fb * 6 = 0

Fb = 2,5 kN

ΣFv = 0

-Fa + 5 – 2,5 = 0

Fa = 2,5 kN

M = ¼ FL = 7.5 kNm

Buiging is positief, onderste vezels worden op trek belast

Fa = 2.5 kN Fa = 2.5 kN

2.5

-2.5

D-lijn

M-lijn

+

-

+

-

7.5

Oplossing opgave 3

θ1

½ L

φA

6

A

F=5kN

B

Fa = 2.5 kN

2.5

-2.5

D-lijn

M-lijn

+

-

+

-

7.5

Knikje positief dan zakking negatief

opp. = ¼ FL * ½ L

θ1 = 1/8 FL2/EI = 22.5/EI

Zakking in A en B is nul

ωB = -φA * L – θ1 * ½ L

φA = - FL2/16EI

φB = θ1 – φA = FL2/16EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8EI = 1961.4 kN/m2

-φA = φB = 11.25/1961.4 = 0.0057 rad

θ2

Oplossing opgave 3

θ1

½ L

φA

6

A

F=5kN

B

Fa = 2.5 kN

2.5

-2.5

D-lijn

M-lijn

+

-

+

-

7.5

Knikje positief dan zakking negatief

opp. = ¼ FL * ½ L * ½

θ2 = 1/16 FL2/EI = 11.25/EI

Zakking in C

ωC = -φA * ½ L – θ2 * 1/3 L

ωC = - (-FL2/16EI) * ½ L – FL2/16EI * 1/6 L

ωC = FL3/32EI)– FL3/96EI

ωC = FL3/48EI = 22.5/EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8EI = 1961.4 kN/m2

ωC = 22.5/1961.4 = 0.0115 m = 115 mm

θ2

ωC= 115mm

a = 1/3 * ½ L

Opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

6

A B M= - 10 kNm

Deel A - B

zakkingslijn

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

19

32

KWISPELEFFECT

BIJLAGEN

Bijlage 2

O

y-as

x-as0 0

2 6,28

1/6 0,52

1/3 1,05

1/2 1,57

2/3 2,09

2,625/6

3,14

3,661 1/6

4,181 1/3

4,711 1/2

1 2/3 5,23

1 5/6 5,76

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

Graden Radialen90°/360° * 2π = 1,57 →1,57 / π = 0,5 →1,57 = 0,5π rad = α / 360 * 2π

Radialen Graden1 ½ π = 4,71 →4,71 / 2π * 360° = 270°α = rad / 2π * 360°

Zwaartepunten - basisgevallen

½ b ½ b

½ h

½ hh

b

A = b * h

Rechthoek

1/3 b 2/3 b

2/3 h

1/3 h

h

A = ½ *b * h

Driehoek

b b

1/4 b 3/4 b

3/10 h

7/10 h

A = 1/3 *b * h

Ex paraboolvlak

Zwaartepunten - basisgevallen

D

½ D

b

3/8 b 5/8 b

3/5 h

2/5 hh

A = πD2 / 4

Circel

A = 2/3 * b * h

Half parabool

3/4π R

R R

2R

R

A = πR2 / 2

Half circel

Oppervlakten en zwaartepuntafstanden

L

1/3L 2/3L

-M/EI

M/EI

lijn

x-as

θ = ML / 2EI


L

1/4L 3/4L

-M/EI

M/EI

lijn

x-as

θ = ML / 3EI

Holle parabool


L

3/8L 5/8L

-M/EI

M/EI

lijn

x-as

θ = 2ML / 3EI

Bolle parabool

Einde

M.J.Roos

Maart 2008

ribwbkii hro-ibb

Documents