ROMNIAMINISTERUL APRRII NAIONALEACADEMIA TEHNIC MILITARing. MIRONESCU DORUREZUMAT TEZ DE DOCTORAT TEM: CONTRIBUII PRIVIND OPTIMIZAREAI CORECTAREA PERFORMANELOR FUNCIONALE LA UNELE SISTEME ROBOTIZATECONDUCTOR TIINIFIC Cam.(r)prof.univ.dr.ing. Dan Ioan IONESCUBUCURETI20061CUPRINS TEZ DOCTORATIntroducere....................................................................................................... 7CAPITOLUL1CERCETRI ACTUALE N CONSTRUCIA SI UTILIZAREAROBOILOR INDUSTRIALI1.1 Scurt istoric i aplicaii ale roboilor neindustriali ............................................. 151.2 Clasificarea roboilor industriali. Definiii, domenii de utilizare, evoluie ....... 171.2.1Clasificarea manipulatoarelor i roboilor pe generaii....... 191.2.2Clasificare pe categorii........ 201.2.2.1 Roboi automai..... 201.2.2.2 Roboi biotehnici... 221.2.2.3 Roboi interactivi....... 231.3 Domeniulinteligenei artificiale (IA)..... 241.3.1 Istoricul inteligenei artificiale..... 251.3.2 Domenii de cercetare i aplicaii ale inteligenei artificiale..... 261.4 Roboi mobili ..... 271.4.1Roboi telecomandai de intervenie n medii ostile.... 301.4.2Robotul rug warrior pro....... 311.5 Metode avansate de conducere a roboilor i sistemelor flexibile de fabricaie321.5.1 Arhitectura unui sistem robot.. 321.5.2 Modelul matematic al unei articulaii...... 341.5.3 Laborator de fabricaie asistat de calculator.......................................... 351.5.4 Laborator de fabricaie asistat de calculator.......................................... 361.5.4.1 Reele Petri.... 361.5.4.2 Aspecte privind fabricaia flexibil....... 391.6 Sistem robotizat de montaj.. 411.7 Planificarea micrilor robotului industrial..... 42CAPITOLUL2ANALIZA CINEMATIC A MECANISMELORDIN COMPUNEREA ROBOILOR2.1 Determinarea matricei transformrii la schimbareaaxelor de coordonate ........ 462.1.1 Translaia axelor de coordonate .. 462.1.2 Rotaia axelor de coordonate ... 472.2 Determinarea distribuiei de viteze i acceleraii .... 522.3 Proprietile distribuiilor de viteze i acceleraii ............................................. 552.3.1 Proprieti ale calculului matriceal asociat vectorilor ............................ 5522.3.2 Proprietile distribuiilor de viteze i acceleraii ................................... 582.4 Determinarea matricei de rotaie n cazul unei rotaii oarecare........................... 592.5 Cinematica micrii compuse a punctului material ............................................ 642.5.1 Determinarea poziiilor n micarea punctului material ......................... 642.5.2 Viteza absolut i acceleraia absolut ................................................... 662.6 Micarea compus a solidului rigid .................................................................... 672.6.1 Distribuia vitezelor ................................................................................ 672.6.2 Distribuia acceleraiilor.......................................................................... 692.7 Sistemul de coordonate Denavit-Hartenberg..................................................... 702.7.1 Prima metod de alocare a sistemelor de coordonate conform formalismului Denavit-Hartenberg .... 712.7.2 A dou metod de alocare a sistemelor de coordonate conform formalismului Denavit-Hartenberg .... 76CAPITOLUL 3BAZELE TEORETICE ALE DINAMICII ROBOILOR INDUSTRIALI3.1 Formulri matriceale i tensoriale .. 783.1.1 Tensor de inerie ..... 783.1.2 Notaii matriceale.... 793.1.3 Produsul vectorial a doi vectori.. 793.2 Expresia tensorului de inerie.. 803.3 Calculul impulsului unui sistem material. 803.4Calculul momentului cinetic al sistemului material n raport cu un punct O.....813.5 Torsorul de reducere al impuksurilor n cazuri particulare de micare a sistemelor materiale ... 823.6 Teoremele impulsului 843.7 Energia cinetic .. 863.7.1 Rigid n micare de translaie ..... 873.7.2 Rigid n micare de rotaie . 873.8 Rigid n micare general ... 893.9 Sistem deformabil de puncte materiale... 903.10 Teorema energiei cinetice.... 913.11 Legea de conservare a energiei cinetice . 923.12 Masa redus i momentul de inerie redus al unui sistem decorpuri rigide ..933.13 Utilizarea metodelor analitice n determinarea ecuaiilor diferenialeale roboilor industriali.............................................................................................. 973.13.1 Coordonate generalizate. Legturi. Deplasri .......................... 983.13.2 Principiul lui d Alembert ....................................................................993.13.3 Principiul deplasrilor virtuale ........................................................... 1003.13.4 Ecuaiile lui Lagrange . 1003CAPITOLUL 4ARHITECTURA UNUI MODEL DE ROBOT 4R.CINEMATICA I DINAMICA ROBOTULUI4.1 Arhitectura robotului 4R ..................................................................................... 1044.2 Deplasarea varfului efectorului din poziia iniial n poziia de lucru .............. 1104.3 Deplasarea varfului efectorului dup unsegment de dreapt cu ovitez constant ............................................................................................................. 1194.4 Deplasarea varfului efectorului dup un arc de cerc cu o vitez constant ........ 126CAPITOLUL5STAREA DE TENSIUNE I DEFORMAIE N BRAELE ROBOTULUI 4R5.1 Noiuni generale n analiza cu elemente finite ................................................... 1345.2 Ecuaiile micrii n scheme cu creteri . 1345.3 Tensorul tensiunilor i tensorul deformaiilor specifice . 1365.4 Formulri incrementale generale ale problemelor neliniare ... 1395.5 Ecuaia general a M. E. F. (metoda elementelor finite) n analiza neliniar. 1405.6 Elementul SOLID ............................................................................................... 1415.7 Integrarea pe volum ............................................................................................ 1435.8 Calcululprinmetoda elementelor finite a strii de tensiune i deformaii n braele 1 i 2 ale robotului 4R . 144CAPITOLUL 6METODE DE OPTIMIZARE.OPTIMIZAREA CONSTRUCTIV FUNCIONAL A ROBOTULUI INDUSTRIAL 4R 6.1 Extremele funciilor reale de mai multe variabile .............................................. 1536.1.1 Extreme libere sau necondiionate. Forme ptratice. Matricea hessian ............................................................................................... 1556.1.2 Extreme cu legturi sau extreme condiionate .................................... 1566.1.3 Metoda multiplicatorilor lui Lagrange ................................................ 1566.2 Algoritmi iterativi i convergena soluiei .......................................................... 1586.2.1 Proprieti de baz ale soluiilor i algoritmilor .................................. 1596.2.2 Aplicaie n identificarea sistemelor .................................................... 1606.2.3 Condiii de ordinul doi ........................................................................ 1616.3 Convergena global a algoritmilor de descretere ............................................ 1616.3.1 Algoritmi ............................................................................................. 1626.3.2 Proprieti de convergen ................................................................... 1626.4 Cutare unidimensional prin interpolare .......................................................... 1636.4.1 Metoda lui Newton .............................................................................. 1636.4.2 Metoda falsei poziii ............................................................................ 16446.4.3 Interpolare cubic ................................................................................ 1646.4.4 Interpolare ptratic ............................................................................. 1646.5 Determinarea strii de tensiune din angrenajul dintre braul 1 i braul 2 .......... 1656.6 Capacitatea de ncrcare a angrenajului interior cu dini drepi ......................... 1676.7 Optimizarea constructiuv a braului 2 ............................................................... 170CAPITOLUL 7PRECIZIA N FUNCIONAREA ROBOILOR INDUSTRIALI7.1 Noiuni generale................................................................................................. 1807.1.1 Relaia precizie dinamic n funcionarea mecanismelor................... 1807.1.2 Metode i relaii generale de calcul...................................................... 1817.1.3 Abordarea determinist a problemei preciziei....................................... 1827.1.4 Abordarea stohastic a problemei preciziei........................................... 1827.2 Precizia mecanismelor cu prghii. Eroarea teoretic......................................... 1837.3 Studiu de caz. Eroarea deplasrii i eroarea vitezei ......................................... 1857.4 Determinarea preciziei vitezei unghiulare la roile dinate cudantur n evolvent ........................................................................................................... 1887.5 Precizia mecanismelor cu roi dinate .............................................................. 1927.5.1 Influena jocurilor de flanc asupra preciziei ......................................... 1927.5.2 Eroarea de transmitere a roilor dinate ................................................ 1947.5.3 Eroarea de transmitere total ................................................................ 1947.6 Variant constructiv la care eroarea depinde de un singur parametru ............ 1967.7 Calculul erorilor dup metode statistice ........................................................... 1987.7.1 Eroarea de transmitere datorat jocului de flanc .................................. 1997.7.2 Eroarea total de poziie ....................................................................... 199CAPITOLUL 8CONCLUZII I CONTRIBUII8.1 Concluzii ........................................................................................................... 2028.2 Contribuii ......................................................................................................... 205Bibliografie ....................................................................................................... 2115INTRODUCERELucrarea de doctorat analizeaz cinematica mecanismelor din compunerea roboilor, bazele teoretice ale dinamicii roboilor industriali i arhitectura unui model de robot 4R n vederea optimizrii i corectrii performanelor la unele sisteme robotizate.Exist numeroase definiii ale robotului, el reprezentndunautomat universal, destinatefecturiiunorfunciimotoaresauintelectualealeomului. Printrediferiteleclasederoboi unadintrecelemai importanteoformeaz roboii manipulatori, ntre care sunt roboii industriali. nrealizareasistemului deconducerearoboilor industriali i acelulelor de fabricaie flexibil se propune aplicarea unor tehnici ale inteligenei artificiale pentrurealizareanivelelorierarhicesuperioarei aunormetodeavansate, de control predictiv, n materializarea nivelului ierahic inferior. Unrobot industrial este unechipament care nufuncioneaz nmod izolat, ci lucreaz mpreun cu ali roboi i/sau maini unelte, benzi transportoare, ajungndu-se astfel lanoiunea de celulflexibildefabricaie. Dac acest termen este acceptat i folosit adesea mpreun cu acela de sistem de tip CIM(Computer Integrated Manufacturing), conducerea i optimizarea funcionrii unei celulede fabricaie este nc oproblem deschis. Pentru obinerea flexibilitii n utilizare, mpreun cu autonomia i sigurana n funcionare, se inpune o abordare unitar a unei celule de fabricaie robotizat, care s mbine elementele de automatic i cele de inteligen artificial (IA).Lucrarea de doctorat are urmtoarele obiective: Analizafuncionriii structuriigeneraleaunuirobotindustrialn vederea introducerii in procesele de fabricatie;Prezentarea arhitecturii unui robot industrial 4R;Optimizarea constructiv funcional a robotului industrial 4R;Programarea robotului industrial 4R pentru operaiuni de sudur;Planificareamicrii robotului ncoordonatecartezienei generarea traiectoriilor care unesc dou puncte ale spaiului de lucru; Realizarea conducerii simultane a articulaiilor robotului 4R cu motoare electrice pas cu pas;Teza de doctorat conine urmtoarele capitole:Capitolul 1 cercetri actuale n construcia si utilizarea roboilor industriali conine domeniile de aplicare a tehnicii roboilor, ei putnd fi utilizai n industrie, transporturi i agricultur, n sfera serviciilor, n cunoaterea spaiului cosmic, in cercetarea tiintfic, etc. Se prezint o clasificarea pe generaii folosind drept criteriu de baz capacitatea mainii de 6percepere i interpretare a semnalelor din mediul exterior, precum i de adaptare la mediu n timpul procesului de lucru. Se prezint:-Manipulatoarele manuale (prima generaie); -Manipulatoare automate (generaia a doua);-Manipulatoare inteligente (generaia a treia);-Roboii industrialidinprimageneraiesunt manipulatoareautomate programabile, avnd cel puin 3 axe (dintre care cel puin 2 axe sunt programabile prin nvare sau printr-un limbaj simbolic); -Roboii industriali din generaia a doua;-Roboii industriali din generaia a treia sunt dotai cu senzori inteligeni (prelucrare local a informaiei) i utilizeaz elemente de inteligen artificial;-Roboii inteligeni sunt dotai cuprogramedeinteligenartificial avansate, au capacitate de autoinstruire. Aplicareainteligenei artificiale(IA)sereferlamodalitileprincare poatefi imitatinteligenaumancuajutorul calculatoarelorelectronicei a unor programe performante. O definiie operaional a inteligenei artificiale este Testul Turing, careconstntr-oconversaie(discuieprieteneasc-chat), la distan, ntre un om (operator) i un calculator. La sfritul testulu, calculatorul se consider inteligent cnd operatorul nu poate spune dac a dialogat cu un alt operator uman sau cu o main.Roboii carei planificsinguri traiectoriademicaresunt dotai cu funcii de decizie i ncadrai n clasa roboilor inteligeni. Exist roboi la care traiectorianu se planific, este fix i marcat pe teren. n acest caz ei trebuie s evitenumai obstacoleinterpuseaccidental petraseul marcat i sprelucreze informaia de navigaie realiznd astfel urmrirea traiectoriei fixate. Aceti roboimobilinusunt inteligeni, darsunt deosebitdeutilipentruasigurarea transportului n atelierele flexibile ale produciei.Capitolul 2Analiza cinematic amecanismelor dincompunerea roboilor conine date privindmicarea solidului rigid n raport cu un sistem de referin, prinstabilirea poziiilor, vitezelor i acceleraiilor unui sistemde referin, solidar legat desolidul rigid, cuajutorul matricei transformrii la schimbarea axelor de coordonate. Translaia unui sistem de axe de coordonate se definete prin deplasarea sistemului, astfel ca axele s rmn paralele cu ele nsele i de acelai sens.Rotaia axelor de coordonate este definit prin micarea sistemului Oxyz n raport cu0 0 0Ox y z, astfel nct originea s rmn aceeai.Poziia i micarea solidului rigid , fa de sistemul cartezian fix 0 0 0 0O x y z, corespundpoziiei i micrii unui triedruOxyzataat rigidului respectiv.n rotaia axelor de coordonate, n spaiu, intervin nou unghiuri (cosinusuri directoare), cte trei pentru fiecare ax, nou n raport cu cele trei axe iniiale considerate fixe. Aceste nou cosinusuri directoare nu sunt independente ntre ele, ci sunt legate prin relaii fundamentale referitoare la o 7direcie n spaiu.n paragraful 2.7 se utilizeaz sistemul de coordonate Denavit-Hartenberg nanalizacinematicaunui sistemrobotformat dintr-unset debraerigide, conectate ntre ele prin diferite articulaii simple, cum sunt articulaiile de rotaie i articulaiile de translaie, care auunsingur gradde libertate a micrii, unghiul de rotaie pentru articulaiile de rotaie i respectiv,valoarea deplasrii liniare n cazul articulaiilor prismatice.Scopul analizei cinematicii directe estedeadeterminacumulareaefectelor ntregului set devariabile, asociate articulaiilor. Oconveniedealegereaacestorsistemefoartedesntlnitn aplicaiile cu roboi este convenia Denavit-Hartenberg.Capitolul 3 Bazele teoretice ale dinamicii roboilor industriali conine formulri matriceale i tensoriale utile n calculul impulsului unui sistem material, a momentului cinetic al sistemului material n raport cu un punct O i a energiei cinetice. Estecalculat torsorul dereducereal impulsurilor ncazuri particularedemicareasistemelor materialei deduseteoremeleimpulsului (prima teorem a impulsului i teorema momemtului cinetic) pentru un sistem oarecare de puncte materiale irigide n micare, la un timp oarecare.Micarea generalarigidului sepresupune compusdintr-omicare de translaie cu viteza cv a centrului maselor rigidului C i dintr-o rotaie cu viteza unghiular n jurul axei instantaneetrecnd prin centrul C.n studiul de caz 3.1 se consider robotul TRTRT (fig. 3.1.1) pentru care secalculeazenergiilecineticealeansamblurilor cecompunrobotul, innd seama de faptul c fiecare cupl i imprim micarea la toate, ansamblurile care urmeaz de la cupla respectiv, pn la efectorul final.n paragraful 3.13.Utilizarea metodelor analitice n determinarea ecuaiilor difereniale ale roboilor industriali sunt prezentate coordonatele generalizate, legturile i. deplasrile utilizate n mecanica analitic.Sunt formulate analitic:-Principiul lui d Alembert;-Principiul deplasrilor virtuale,i deduse ecuaiile lui Lagrange de spea ntia i de spea a doua.Capitolul 4Arhitecturaunui model de robot 4R. Cinematicai dinamica robotuluiconine onfiguraia general a modelului 4R, prile componente:-baza, platforma; -bra 1, bra 2 i efectorul robotului.Platforma are n compunere dou motoare elcetrice care asigur micare platformei fa de baz (motor 1) i micarea braului 1 fa de platform (motor 2) . Pentrubraelerobotului sunt prezentatesistemeledereferinfixatede acestea, distane ntre axe, poziiile centrelor de mas fa de axele de referin i caracteristicile masice.Micarea robotului 4R, proiectat special pentru a permite realizarea 8obiectivelor tezei de doctorat, se realizeaz n dou etape:- aducerea robotului din poziia iniial, corespunztoare situaiei n care braelerobotuluisuntpoziionatevertical, iarplatformanuesterotitfade baz, pn n poziia de lucru;-realizarea procesului tehnologic pe masa de lucru.Este analizat un proces tehnologic care necesit deplasarea vrfului efectorului dup un segment dedreapt n planul orizontal al mesei de lucru, cu o vitez constant. Pentru un proces tehnologic care necesit deplasarea vrfului efectorului dup un arc de cerc n planul orizontal al mesei de lucru, cu o vitez constant, se determin legile de rotaie ale motoarelor. Capitolul 5 Starea de tensiune i deformaie n braele robotului 4R prezint date privind analiza liniar elastic. Folosind ipotezele micilor deplasri i a liniaritii materialului se ajunge la ecuaia general a metodei elementelor finite.ncazul aplicaiilor neliniare, seremarcdoucategorii deanalizei anume: cazul analizei neliniare statice (se neglijaz att forele masice de inerie ct i cele de amortizare) i cazul analizei dinamice (se ine cont de cel puin una dincategoriile de fore specificate mai sus). nambele cazuri, analiza neliniar se desfoar n timp, desemnndu-se un timp iniial, unul final i un pas de timp pentru parcurgerea intervalului de timp. n cazul deformaiilor mari, variaia tensiunilor i a deformaiilor specifice se iau n consideraie prin folosirea tensorului Piola-Kirchhoff al tensiunilor de ordinul al doilea i a tensorului Green-Lagrange, al deformaiilor specifice. Un alt tensor al tensiunilor care este folosit n analiza neliniar prin metoda elementelor finite, este tensorul vitezei tensiunilor Jaumann. Tensorul deformaiilor specifice folosit mpreun cu tensorul vitezei tensiunilor Jaumann, este tensorul vitezei deformaiilor specifice, sau tensorul vitezei deformaiilor,Capitolul 6Metodedeoptimizare. Optimizareaconstructiv funcional a robotului industrial 4Rconine bazele optimizrii matematice i utilizarea metodelor numerice n optimizarea constructiv funcional a robotului industrial 4R proiectat de autorul tezei de doctorat. Sunt sistematizate date privind extremele funciilor reale de mai multe variabile, extremele libere i cu legturi i metoda multiplicatorilor lui Lagrange.Optimizarea constructiv funcional a robotului industrial 4R se bazeaz pe determinarea capacitii de ncrcare a robotului i pe capacitatea de ncrcare a angrenajului interior cu dini drepi. Solicitrile produse de forele de inerie la micarea de rotaie accelerat a platformei, ale braelor i a efectorului, i de forele de greutate ale braelor i efectorului, precum i momentul de inerie rezistent obinut la micarea de rotaie a platformei, sunt preluate de articulaiile cilindrice dintre braul 1 i platform, braul 1 i braul 2 i braul 2 i efector. Articulaia cea mai solicitat din acest punct de vedere este cea dintre braul 1 i platform.9Scopul optimizrii braului 2 este reducerea masei deci i a momentelor de inerie, prin controlarea grosimii pereilor. Grosimea iniial din construcie este de 5 mm. Calculul de otimizare a grosimii peretelui braului 2, se concretizeaz prindeterminarea grosimii de 2,75mm. Frecvena modului doi de vibraie corespunztoareacestegrosimi estede330,11Hz, fiindsuperioarpragului limit de 330 Hz, eroarea fiind de 0,033%..Capitolul 7Precizianfuncionarearoboilorindustrialiprezint influena parametrilor dinamici i de precizie ai mecanismelor asupra indicilor de performan ai unui sistemmecanic automat. Se evideniazdoiparametri de precizie ai mecanismelor:-eroarea de poziie (deplasare) a mecanismului definit ca diferena ntre poziia (deplasarea) elementelor conduse din mecanismul real (afectat de abateri de prelucrare) i cel ideal la aceeai pozitie (deplasare) a elementelor conductoare, n ambele mecanisme;- eroarea de pozitie (deplasare) a elementului condus n mecanism definit ca diferena ntre poziia (deplasarea) elementelor conduse din mecanismul real i ideal, datorit impreciziei mecanismului, inclusiv a impreciziei pozitiei elementului conducator.O caracteristic de baz a mecanismelor o constituie precizia de transmitere i recepionare a fluxului de semnale.Erorile care pot afecta precizia unui mecanism pot fi: teoretice, de form, constructive i datorate forelor interne. O eroare de calcul minim ntre dou legi, legea de propagare a fluxului de semnale i liniarizarea acesteia, se obine prin soluionarea problemei abaterii prin metoda apropierii uniforme a funciilor.nstudiul de caz din paragraful 7.3 se analizeaz eroarea deplasrii Fx a vrfului efectorului F i eroarea vitezei Fv n cazul n care funcia(t) are perturbaia(t) . Variaia n timp a perturbaiei0 1(t) (t) (t) are reprezentarea grafic din fig. 7.6, iar perturbaia vitezei vrfului F este dat n fig. 7.7. Se analizeaz precizia vitezei unghiulare la roile dinate cu dantur n evolvent la care, din cauza jocurilor din lagre i a erorilor de pas, la module mici apare angrenarea pe muchie.Capitolul 8Concluzii i contribuiiconine principalele concluzii rezultate din lucrareade doctorat i contribuiile originale ale autorului tezei de doctorat.Lucrarea are la baz preocuprile autorului de cercetare teoretic i de modelare, cu ajutorul metodelor numerice, a strii de tensiune i a deformaiilor din elementele componente ale roboilor industriali.Aduc calde mulumiri Conducerii Academiei Tehnice Militare, conductoruluitiinificdomnulCam. prof. univ. dr. ingDanIoanIonescu pentrundrumareapermanentiexigenatiinificpetoatduratapregtirii prin doctorat, cadrelor didactice din ATMcare m-au ndrumat cu ocazia susinerii examenelor i a referatelor de cercetare tiinific,membrilor Catedrei 10de sisteme integrate de aviaie i mecanic din ATM pentru sugestiile date cu privire la elaborarea lucrrii de doctorat, precum i familiei mele pentru sprijinul moral acordat.CAPITOLUL 1CERCETRI ACTUALE N ANALIZAROBOILOR INDUSTRIALI1.1 Scurt istoric i aplicaii ale roboilor neindustrialiNoiuneaderobot dateazdepeste4mii deani. Omul i-aimaginat dispozitivemecanizateinteligentecarespreiaopartensemnatdinefortul fizic depus. Astfel a construit jucarii automate i mecanisme inteligente sau i-a imaginat roboii in desene, crti, filme "SF" etc. Termenul "robot" a fost folosit n 1920 de cehul Karel Capek ntr-o pies numit "Robotul universal al lui Kossum". Ideea era simpl: omul face robotul dupa care robotul ucide omul. Multe filme au continuat s arate c roboii sunt mainrii duntoare i distrugtoare.n1941IsaacAsimovafolosit cuvntul "robotizare"pentrudescrierea tehnologiei roboilori apreziscretereauneiindustriiroboticeputernice. n 1956aluat fiinaprimacompaniecerealizaroboi industriali, iar in1961 Compania de automobile "Genral Motors" "angaja" primul robot industrial. ncepndcu1980asistmlaoexpansiunearoboilor industriali ndiverse industrii.Primele cercetri n domeniul roboticii au fost iniiate ncepnd cu anul 1960. Dupa un avnt substanial al aplicaiilor roboticii n domeniul industrial, cu precadere n industria automobilelor, dup 1990 s-au conturat multiple aplicatii in domeniile neindustriale (nemanufacturiere). Aceast dezvoltare, chiar spectaculoas, n direcia aplicaiilor neindustriale justific trecerea nrevist a principalelor subdomenii ncare roboii nemanufacturieri sau roboii de serviciu i pot gasi aplicabilitate. 1.2 Clasificarea roboilor industriali. Definiii, domenii de utilizare, evoluieRobotul este un sistem automatizat de nalt nivel al crui principal rol este manipularea pieselor i uneltelor, nlocuind aciunea uman.Principaleleaplicaii ncareutilizarearoboilor industriali areavantaje evidente:-sudur prin puncte sau pe contur;-operaii de ansamblare;-vopsire;-turnarea n forme a pieselor mari;-controlul calitii;11-manipularea substanelor toxice, radioactive;Robotul industrial este definit n prezent ca un manipulator tridimensional, multifuncional, reprogramabil, capabilsdeplasezemateriale, piese, unelte sau aparate speciale dup traiectorii programate, n scopul efecturii unor operaii diversificate de fabricaie. Pentru diferitele componente aleroboilor industriali (fig. 1.1.), s-audefinit termeni specifici preluai din literatura anglo saxon. a.b.c.Fig. 1.1Roboiindustriali tip manipulator1.2.1 Clasificarea manipulatoarelor i roboilor pe generaiiClasificarea pe generaii folosete drept criteriu de baz capacitatea mainii de percepere i interpretare a semnalelor din mediul exterior, precum i de adaptare la mediu n timpul procesului de lucru. Deosebim:-manipulatoarele manuale (prima generaie); -manipulatoare automate (generaia a doua);-manipulatoare inteligente (generaia a treia);- roboii industriali dinprimageneraiesunt manipulatoareautomate programabile, avnd cel puin 3 axe (dintre care cel puin 2 axe sunt programabile prin nvare sau printr-un limbaj simbolic); -roboii industriali din generaia a doua;-roboii industriali din generaia a treia sunt dotai cu senzori inteligeni (prelucrare local a informaiei) i utilizeaz elemente de inteligen artificial;- roboii inteligeni sunt dotai cuprogramedeinteligenartificial avansate, au capacitate de autoinstruire. Majoritatea roboilor industriali folosii n prezent sunt din generaia 1 i 2. n funcie de scara evolutiv a treptelor de automatizare roboii industriali se clasific n:Sursa de informaiiEnergia Treapta Descriere10 Main care se autoperfecioneaz:robot cu inteligen artificial12Mediul exteriorElectricHidraulicPneumatic9 Main cu program adaptabil n funciedecondiiile externe: robot cu elemente de inteligen artificial, robot industrial generaia 38 Main care i corecteaz pro-gramul n funcie de condiiile de lucru: main unealt cu comand adaptativProgram variabil(programabilitate)7 Main universal programabil: sistemsaucentrudeprelucrare cu CNC, robot industrial generaia 26 Mainmonooperaieprogramabil: main unealt cu CN, robot industrial generaia 1Program fix5 Main automat pentru operaii multiple: strung cu prelucrare automat, automat de montaj4 Main automat monooperaie: automat de montaj rigid, manipulator automatOmMecanicManual3 Scul mecanizat, main comandat manual, manipulator manual (teleoperator)2 Scul de mn1 Mn1.2.2 Clasificare pe categoriiDin punctul de vedere al relaiei om-robot n timpul desfurrii lucrului roboilor, acestia se impart in trei mari categorii: Roboi automai, Roboi biotehnici, Roboi interactivi.n cazul robotiiorcomandai pas cu pas, prin acionarea de ctre operatorul uman a unui buton sau manet, este pus in funciune unul din gradele de micare ale robotului. Roboiimaster-slave sunt constituii din doua lanuri cinematice deschise, primul lan (master) avnd micarea comandat de operatorul uman, iar al doilea (slave) copiind la scar aceast micare i efectundoperaiiledemanipularepentrucareestedestinat robotul. Inalte cazuri, legaturadintremaster i slave este indirect, printeletransmisie. In ambele cazuri, operatorul uman trebuie s vad tot timpul micarea elementului manipulat de slave, aceasta printr-o fereastr sau pe un ecran display.ncazul roboiior biotehnicisemiautomai, operatorul umanparticip nemijlocit nprocesul decomand, dar nacelasi timpcuel lucreazi un calculator universal sauspecializat. Semnalul decomandalaacestesisteme este dat de operatorul uman, obisnuit printr-o manet de comand ce poate avea 3-6 grade de micare. Semnalul obinut prin apsarea manetei dup un grad de micare oarecare este preluat de calculator, care efectueaz calcule i formeaz 13semnalele de comand pentru fiecare grad de micare al organului de execuie al robotului. Roboii ce acioneaz in medii industriale au captat denumirea de roboi industriali. Ingeneral, acestiasunt roboi automai i ncazuri mai rarese utilizeazinindustriei roboi biotehnici sauinteractivi. Sunt rspndii, in special, roboii programai i, mai puin, cei adaptivi. Roboii inteligeni se afl nfazadencercri nlaboratoaresauaplicaii launeleoperaii demontaj automat. 1.3 Domeniulinteligenei artificiale (IA)Seconsidercobiectul IAsereferlamodalitileprincarepoatefi imitat inteligena uman cu ajutorul calculatoarelor electronice i a unor programe performante.Referitor la inteligena artificial se consider [35, 120] c:- IA este domeniul de studiu care i propune s explice i s modeleze comportamentul inteligent n termenii proceselor de calcul;- IA este de natur interdisciplinar care implic tiina calculatoarelor, matematica, psihologia proceselor cognitive .a.- Ingineresc IA se ocup cu generarea reprezentrilor procedurilor care nmodautomat i autonompermit rezolvareapnacumnumai de oameni;- Obiectul IAeste abordarea inteligenei ca pe uncalcul posibil de efectuat, fezabil.O definiie operaional a inteligenei artificiale este Testul Turing, care const ntr-o conversaie (discuie prieteneasc - chat), la distan, ntre un om (operator) i un calculator. La sfritul testului, calculatorul se consider inteligent cndoperatorul nupoatespunedacadialogat cuunalt operator uman sau cu o main.Se obin urmtoarele concluzii:- IApoatefi descrisdrept domeniual informaticii careseocupcu proiectareai construireasistemelorcapabilesrealizezefuncii ale intelectului uman, cumar fi nvatrea din experien, nelegerea limbajului naturalsau utilizarea unui raionament pentru rezolvarea problemelor;- este mai uor de exprimat ce trebue s fac mainile inteligente dect descrierea a ceea ce trebue s fie ele;- structura arhitectural a calculatoarelor electronice rmne nc foarte diferit de structura sistemelor biologice,- comportamentul inteligent se caracterizeaz prin:-flexibilitate disponibilitatea de adaptare la condiii noi;- feedback(reacie) posibilitateadeacompararezultatele aciunilor cu ateptrile i apoi modificarea corespunztoare a aciunilor;- memoria pentru nmagazinarea informaiilor n vederea utilizrii ulterioare.141.4 Roboi mobili Unul din obiectivele eseniale ale roboticii este elaborarea roboilor autonomi. Asemenea roboi ar putea accepta o descriere natural - formal - (de nivel nalt) a sarcinilor de ndeplinit i executarea comenzilor fr alte intervenii umane. Descrierile necesare vor preciza ce dorete utilizatorul i nu cum s execute comenzile. Roboii capabili s ndeplineasc aceste operaii vor fi dispozitive mecanice versatile, echipate cu senzori de perceperea a mediului i aflate sub controlul unui sistem de calcul [43, 43, 80].Orientarea ntr-un mediu total necunoscut, folosind senzori pentru detectarea obstacolelor i comunicaia cu un calculator aflat la distan sunt dou aspecte importante care trebuie luate n considerare atunci cnd lucrm cu un robot mobil. Fr senzori, roboii nuar putea executa altceva dect sarcini fixate dinainte, repetnd operaiile ce le are de realizat iar i iar, dar dotai cu senzori, roboii au capacitatea de a face mult mai mult dect att.Problemele specifice ce apar la roboii mobili sunt urmtoarele: - evitarea impactului cu obiectele staionare sau n micare;-determinarea poziiei i orientrii robotului pe teren; - planificarea unei traiectorii optime de micare. n cazul unui sistem robotic automat distribuit poziiile spaiale sunt de o extrem importan i de ele depinde ndeplinirea scopurilor dorite i funcionarea ntregului sistem. Cu alte cuvinte, robotul trebuie s fie capabil s-iplanifice micrile, s decid automat ce micri s execute pentru a ndeplini osarcin, nfunciedearanjamentul momentanal obiectelor dinspaiul de lucru. Planificarea micrilor nu const dintr-o problem unic i bine determinat, ci dintr-un ansamblu de probleme dintre care unele sunt mai mult sau mai puin variante ale celorlalte. Evitarea coliziuniicu obstacolefixesaumobile (deexemplu aliroboi mobili) aflatenspaiul delucrual robotului sepoatefaceprinmai multe metode: realizarea unei aprtori mecanice care prin deformare oprete robotul, folosireasenzorilor care msoar distana pn la obstacolele de pe direcia de deplasare, folosirea senzorilor de proximitate, folosirea informaiilor corelate de la mai multe tipuri de senzori. Localizareaobiectelor sepoaterealizai princontact fizic, dar acesta impunerestricii asupravitezei demicareastructurii manipulate. Contactul fizicdintrerobot i obiecteledinmediugenereazforedereaciunecare modific starea robotului. Vitezele mari de lucru facca efectele dinamiceale unui contact fizic cu obstacole sau obiecte manipulate s fie riscante (pot duce la deteriorarea obiectelor sau a robotului). Sistemul senzorial mai este numit i sistemde msurare. El asigur msurarea unor mrimi fizice i eventual perceperea unor modificri semnificative a acestor mrimi. 151.5.3 Laborator de fabricaie asistat de calculatorDezvoltareaunorcercetari privindconducereainteligenti optimala unui sistem flexibil de fabricatie i concretizarea metodelor i algoritmilor intr-un sistem informatic integrat pentru conducerea fabricatiei a condus la realizarea unui sistem integrat de laboratoare pentru studiul domeniului fabricatiei asistate de calculator.n realizarea studiilor teoretice privind analiza si optimizarea sistemelor de fabricatie se inpun:-modelarea sistemului de fabricatie din laboratorul de fabricatie asistata de calculator ca un sistem cu evenimente discrete;-cercetari privind programarea robotilor industriali;-cercetari privind conducerea asistata de calculator a masinilor unelte;- dezvoltarea unui sistemde vedere artificiala pentru conducerea inteligent i optimal a unui sistem flexibil de fabricatie;- cercetari privind folosirea sistemelor expert in planificarea si monitorizarea unui sistem flexibil de fabricatie.Un laborator de fabricaie asistat de calculator are urmtoarea organizare:Fig. 1.8. Arhitectura sistemului de fabricaie flexibil [15, 37 ]1. Robot industrial (IRB 1400), 2. Robot industrial (IRB 2400), 3. Main unealt cu comand numeric (EMCO PC Mill 55 CNC), 4. Sistem de vedere artificial (OptiMaster),5. Conveior, 6. Magazie piese finite, 7. Magazie piese brute, 8.Buffer piese, 9.Controler Robot (IRB 1400), 10. Controler Robot (IRB 2400)1.5.4 Modelarea i analiza sistemelor cu evenimente discrete1.5.4.1 Reele PetriRetelele Petri reprezint o categorie aparte de grafuri. Un graf este complet definit dac se cunosc mulimile nodurilor si arcelor acestuia. Diferena dintreungraf ioreeaPetri constnfaptul c, ncazulacesteia din urm, mulimea nodurilor este nlocuit cu doua mulimi disjuncte [32, 33]:-mulimea locurilor iP, i = 1, ..., n (reprezentate prin cercuri);-mulimea tranziiilorjT, j = 1, ..., m (reprezentate prin bare verticale sau 16prin ptrate).Arcele unei retele Petri sunt unidirecionale. Un arc nu poate lega dect fie o tranzitie de un loc, fie un loc de o tranzitie. La o tranziie sau la un loc pot ajungemai multearce, iar delaotranzitiesaudelaunlocpot plecade asemenea mai multe arce. Un loc i o tranziie pot fi legate prin cel mult un arc. Structura unei reele Petri este astfel complet definit de cele trei mulimi anterioare: a locurilor, a tranziiilor i a arcelor.Fig. 1.9. Retea Petri cu trei locuri i trei tranziiin fig. 1.9 toate arcele au evaluare unitara, cu excepia arcelor de la T2 la P3 i de la T3 la P1, care au evaluarea 2:a(1 1P , T) = a(1 2P , T) = a(1 2T , P) = a(2 3P , T) = a(3 3P , T) = 1;a(2 3T , P) = a(3 2T , P) = 2. (1.3)Matricea de inciden a reelei din fig. 1.9 este 1 1 2A 1 0 10 2 1 _ ,,(1.4)unde elementele 2 2a,i3 1a,au valori nule deoarece intre locul2Pi tranziia 2T, sau intre locul3Pi tranziia1Tnu exist nici un arc; elementele 1,1 1,2 2,3a, a, ai3,3aauvalori negativedeoarecetranziiilecorespunzatoare sunt tranziii deieire(1Ti2Tsunt tranziii deiesiredin1P ,iar3Teste tranziie de iesire din 2P i 3P).Marcajul reelei din fig. 1.9. este M = (2, 1, 0), deoarece locul 1P contine 2jetoane, locul2Pconineunjetoniar locul3Pnuconinenici unjeton.Reguli de funcionare:Fiind dat o reea Petri marcat, se spune c o tranziiejT a acestei reele este activabil pentru marcajul M dac i numai dac, pentru orice loc iPcare este loc de intrare n tranziiajT, marcajul locului iP este mai mare sau la limita egal cu evaluarea arcului dintre iP ijT.Dac o tranziie este activabil atunci ea poate fi activat. Activarea unei tranziii constnmodificareamarcajelorlocurilordeintrarei deieiredin tranziia respectiv.17Laactivareatranziiei jT, marcajul unui lociPdeintrarentranziia respectiva scade cu o cantitate egal cu evaluarea arcului (iP,jT). Daca iP este un loc de ieire din tranziiajT, atunci marcajul su crete cu o cantitate egal cu evaluarea arcului ( jT,iP). Dac un loc al reelei nu este legat de tranziiajT prin nici un arc, la activarea acesteia marcajul locului rmne neschimbat.1.6 Sistem robotizat de montajFolosind noiunile din teoria sistemelor,o unitate de productie se poate considera c este compus dintr-o serie de subsisteme, montajul fiind unul dintre acestea i ocupnd locul final. Costul de productie in construcia de maini este influenat in mare masura (30 % - 40 %) de volumul de munc din montaj, care poate atinge 25 % - 30 % din volumul total. In construcia de aparate, volumul de munca in montaj poate ajunge pina la 40 % - 70 %. Se consider la nivel mondial ca optimizarea acestei munci poate conduce la o puternica economisire a resurselor.Numarul mare al parametrilor ce trebuie inregistrai i luai in considerare ca de fapt problema de rezolvat montajul robotizat conduce la realizri sub form complex a cuplului instalatii periferice - robot industrial. Un rol esenial in asigurarea flexibilitii il reprezint utilizarea elementelor senzoriale i a efectorilor finali specializai pentru compensarea erorilor inerente ce apar.1.7 Planificarea micrilor robotului industrialRobotul fiind o main cu abiliti n micare i/sau de manipulare una din cele mai importante probleme de rezolvat este de a i planifica micrile, ceea ce implicmodelareaspaiului delucru, cuobstacolelepecareleconine, i a robotului, ca entitate de form complex i variabil.Planificarea micrilor poate fi considerat ca problema realizrii algoritmilor pentru a calcula automat o traiectorie continu pentru o mulime de obiecte (posibil legate) astfel nct s se deplaseze de la o poziie la alta evitnd coliziunile cu alte obiecte fixe sau avnd micare proprie.Pentru un robot cu baz fix problema se poate formula mai simplu prin alegereaunei traiectorii feritedecoliziuni pentrubraul robotului, ntredou poziii, n cazul unui spaiu nchis. Reprezentarea parametricReprezentarea parametric trateaz reprezentarea parametric a curbelor i suprafeelor, expunnd modul de abordare a reprezentrii curbelor Bzieri B-spline, precum i construcia poriunilor de suprafa pe baza acestor tipuri de curbe.Ocurbparametricestedefinitprintr-omulimediscretdepuncte cunoscute ca puncte de control mpreun cu un set de funcii de baz.18Aceast metod de specificare a curbei este complet diferit fa de cea matematic normal, care are forma unei funcii implicite.Cercetri recente [ 6, 7]sunt orientate spre:Reprezentarea parametric a curbelor tridimensionale:-curbele cubice Bzier-unirea segmentelor de curbe cubice Bzier-curbele B-spline, uniforme i neuniforme;Reprezentarea suprafeelor cubice biparametrice:-combinarea poriunilor de suprafa Bzier- poriuni de suprafa B-spline-editarea suprafeelor parametrice Reprezentarea parametric a spaiilor de lucru proprii ale roboilor prin utilizarea Matlab:- funcii utilizate n programele Matlab scrise pentru generarea reprezentrilor grafice;-modelarea suprafeelor descrise de efectorul finalProgram de calcul pentru trasarea curbelor BezierParametrii curbei

Parametrii curbeix 1 2 3 4 5 ( ) : y 1 4 5 3 5 ( ) :unde x i y sunt coordonatele punctelor de control.P stack x y , ( ) :Bez t P , ( ) 1 t ( ) P0 t P1 +

1]cols P ( ) 2 ifMi 1 t ( ) Pi t Pi 1 + +

1]i 0 cols P ( ) 2 .. forBez t M , ( )otherwise:Pentru variaiat 0,0.001..1 se obine urmtoarea reprezentare grafic a curbei Bezier:1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2 4.6 500.61.21.82.433.64.24.85.46yTBez t P , ( )1xTBez t P , ( )0,Fig. 1.14 Curb Bezier19CAPITOLUL 2ANALIZA CINEMATIC A MECANISMELORDIN COMPUNEREA ROBOILORSolidul rigid este un sistem de puncte materiale la care distanele dintre acestea rmn constante n timpul micrii i nu i modific poziiile n raport cu un reper fixat de rigid. A cunoate micarea unui solid nseamn a determina, la un moment dat, vectorul de poziie, viteza i acceleraia unui punct oarecare al acestui solid.2.1.1 Translaia axelor de coordonateTranslaia este determinat prin vectorul de poziie al noii origini fa de originea sistemului iniial (fig. 2.1).Relaiile de legtur ntre coordonatele unui punct ( )x y zM , , , fa de sistemul iniial0 0 0 0O x y zi coordonatele aceluiai punct M(x,y,z), fa de sistemul translatat Oxyz, se obin n urma proiectrii ecuaiei vectoriale [43, 84, 125]. 0r +(2.1)Fig.2.1 Sisteme de referinMatriceal, se scrie sub forma:x 0xy 0yz 0z1 0 0 x0 1 0 y0 0 1 z 1111 1111 + 1111 1111 ] ] ] ], (2.3)sau ( ) ( ) [ ] ( )0E r +. (2.4)Poziia i micarea solidului rigid , fa de sistemul cartezian fix 0 0 0 0O x y z, corespundpoziiei i micrii unui triedruOxyzataat rigidului respectiv. Cele ase grade de libertate ale rigidului vor fi determinate de vectorul de poziie0 al originii O i de poziia versorilor mobilii, j ikai axelor Ox, 20Oy i Oz (fig. 2.3).Fig. 2.3. Determinarea gradelor de libertate ale solidului rigidVectorul de poziie al punctului M n raport cu sistemul mobil este [128, 131]:r x i y j z k + + , (2.21)Proieciilevectorului0rpeaxelesistemului fixsepot deducefcnd produsele scalare corespunztoare:( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )T011 21 31 11 21 31T00 12 22 32 12 22 32T13 23 33 13 23 330i rx y z xr j r x y z yx y z zk r, 1 + + 111 1 111 1 + + 111 1 111 + + ] ] ]1 ](2.24)unde:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ; ;; ; ;; ; ;0 33 0 32 0 310 23 0 22 0 210 13 0 12 0 11k k k j k ij k j j j ii k i j i iT T TT T TT T T (2.25)2.2 Determinarea distribuiei de viteze i acceleraiiProdusul scalar a doi vectori1 1i b a poate fi exprimat matriceal sub forma( ) ( )1xT1 1 1x 1y 1z 1y 1x 1x 1y 1y 1z 1z1zba b a a a b a b a b a bb 1 1 1 + + 1 ] 1 ], (2.37)iar cel vectorial[ ] ( )1z 1y1x1 1 1z 1x 1y1y 1x1z0 a aba b a 0 a ba a 0b,11 11 11 11 ] ] (2.38)unde:[ ]1a este matricea antisimetric asociat vectorului1a,( )1b - matricea coloan asociat vectorului 1b.21Poziia punctului M n raport cu sistemul de referin fix 0 0 0 0O x y zeste determinat prin vectorul:( ) ( ) [ ] ( ) r aT+ 0, (2.39)de unde, prin derivare n raport cu timpul, se obine viteza punctului M n raport cu sistemul fix:( ) ( ) [ ] ( ) r aT + 0. (2.40)Pentru a determina proieciile vitezei punctului M n raport cu sistemul de referinmobil (sistemul propriu), senmuletelastngacuoperatorul[ ] a, obinndu-se:[ ] ( ) [ ] ( ) [ ][ ] ( )T0a a a a r + & & &. (2.41)Pe baza relaiei (2.46) expresia vitezei punctului M n raport cu sistemul propriu Oxyz dat de relaia (2.42) devine:( ) ( ) [ ]( ) ,0r V VM + (2.47)unde:[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]z yT T Tz xy x0a a a a 00, 1 1 1 1 ]& &( ) ( ) [ ] ( )x xy yz zM 0M M 0 0 0M 0V VV V V a VV V; . 11 11 11 11 11 ] ]&(2.48)Meniuni1. Ecuaia [ ] =[ a] [ a]T se multiplic la stnga cu matricea [ ]Ta , obinndu-se:[ ] [ ] [ ]T Ta a &, (2.49)respectiv ecuaia [ ] [ ] [ ]T Ta a se multiplic la dreapta cu matricea [ ] a, rezultnd[ ] [ ] [ ]Ta a & , (2.50)dou relaii foarte importante pentru stabilirea regulilor de derivare, n vederea obinerii ecuaiilor cinematice;2. Matricea antisimetric [ ] joac rolul unui operator diferenial aplicat unui vector, exprimat prin proieciile sale pe axele unui sistem de referin mobil (propriu):( ) [ ] [ ] ( ){ }[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )T T d dr a a r a a r rdt dt . (2.51)Pe baza formulei (2.51) se obin, ncazul versorilor mobili i, j, k , relaiile lui Poisson:( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) .dd;dd;ddk ktj jti it (2.52)22innd cont de relaia (2.49), ecuaia (2.40) devine( ) ( ) [ ] [ ] ( )T0a r + & &. (2.53)Acceleraia punctului M, exprimat n raport cu proieciile sale pe axele sistemului de referin fix, se obine prin derivare n raport cu timpul a ecuaiei (2.53), obinndu-se:( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] [ ] [ ]{ }( )T T0T 20a r a ra r . + + + +&& && & &&& &(2.54)2.4Determinarea matricei de rotaie n cazul unei rotaii oarecareSe consider n acest caz rotaia solidului rigid n jurul unei axe oarecare, , cu un unghi [84, 125, 128, 131](fig. 2.6).Fig. 2.6. Rotaia rigidului n jurul axeiSe consider axa de rotaie ( ), definit n raport cu sistemul triortogonal fix 0 0 0 0O x y z, prin cosinuii directori:11 12 13cos , cos , cos i sistemul de referin 1 1 1 1O x y z a crui ax 1 1O x coincide cu axa de rotaie ( ), iar axa 1 1O z este situat n planul 0 0 0O x z. Considerm c un punct Mdefinit n sistemul 2 2 2 2O x y z, de vector( )2Mr, se obine ca rezultat al rotaiei de unghi n jurul axei ( ) din punctul M ce aparinesistemului 1 1 1 1z y x O, devector ( )1Mr . tiindcexpresiaanalitica vectorului de poziie este un invariant fa de rotirea axelor de coordonate, se poate scrie( ) ( )2 1M Mr r,din care, prin multiplicare la stnga cu matricea [ ]T21a, se obine23[ ] ( ) [ ] ( )T T2 121 M 21 Ma r a r. (2.85)Relaia (2.91) devine( ) [ ] [ ] [ ] ( )T T0 0M 10 21 10 Mr a a a r,i deci matricea transformrii este[ ] [ ] [ ] [ ]T T Tr 10 21 10a a a a . (2.92)Matricea [ ]ra, definit de relaia (2.92), definete rotaia solidului rigid n jurul axei ( ), cu unghiul , n raport cu sistemul de referin fix.Notm c cos ,s =sin ,. . . i efectund produsele matriceale,[ ] [ ] [ ]T T T10 21 20c cc c1 0 0 s sa a c s 0 0 c s ac c 0 s cc cs s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 ]i[ ] [ ]T20 10a ac c c c s c c c c scc c cs sc c c cc s c s s s ,s sc s c c c c c s c ccc c0 s ss s 1 + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 ] 1 ]n final, matricea transformrii,[ ]Tra , devine[ ] [ ] [ ] [ ]r r r11 21 31T T Tr r rr 10 21 10 12 22 32r r r13 23 33a a a a , 1 1 1 1 ](2.93)unde:2 2 2r 2112c c c c c c s c c c s c ccs + + +;r21s c c c s c sc cs s + ;2 2 2r312 2 2c c s c c c c c c s c c cc cs s s + + ;r12c c s c c s sc cs + ;r 2 222c s c + ; (2.94)24r32c s s c s c cc cs +;2 2 2r132c c c c c c s c c c c c sc cs + + +;r23s c c c s c sc cs s ;2 2 2r 2332 2 2c c c s c c c c c c s c cc .s s s + + + Semnul pentru este determinat de regula burghiului drept, cnd rotaia are loc n sensul pozitiv al axei ( ).Fiind dat matricea de rotaie, se pot determina cosinusurile directoare i unghiul de rotaie:11 22 331cos2arc + + ,(2.96)( )r r23 32r r31 13r r12 211u2 s 1 1 1 1 ]. (2.97)2.6. Micarea compus a solidului rigid 2.6.1 Distribuia vitezelorSe consider c se cunosc parametrii cinematici ai micrii solidului rugid fa de un sistem mobil1 1 1 1O x y z,precum iparametriicinematici ai micrii acestui sistemde referin n raport cu cel fix0 0 0 0O x y z. Se consider referenialul triortogonal 2 2 2 2O x y z invariabil legat de solidul rigid [30, 43, 67, 84](fig.2.8).Fig. 2.8. Micarea compus a solidului rigidPoziia solidului rigid fa de triedrul 1 1 1 1O x y z este dat prin coordonatele 25originii ( )2 21 21 21O x y z , ,i prinunghiurilelui Euler r r r i ,formatede axele 2 2 2 2 2 2O x O yiO z , cu axele mobile 1 1 1 1 1 1O xO y ,O z ,( ) ( )111]1

111]1

rrrrzyxr ,21212121. (2.119)Matricea de trecere de la sistemul 1 1 1 1O x y z, la sistemul 2 2 2 2O x y z este[ ] [ ]r r r21 ra a a a a 111 ] ] ]. (2.120)Parametrii de poziie ai triedrului mobil1 1 1 1O x y zfa de reperul fix 0 0 0 0O x y z, vor fi coordonatele 10 10 10xy ,z , ale originii 1O i unghiurile lui Euler t t t, , care formeaz matricele coloan:( ) ( )111]1

111]1

ttttzyxr ;10101010, (2.121)iar matricea transformrii [ ] [ ]ta a 10 are componentele date de relaiile (2.108).Poziiapunctului Mfadereferenialul mobil2 2 2 2O x y zestedatde componentele vectorului de poziie2 r , unde( ) [ ]T2 2 2 2r x y z . (2.122)tiind c (fig. 2.8)( ) ( ) ( )1 21 2r r r +,(2.123)( ) ( ) ( )10 1r r +, (2.124)( ) [ ] ( ) ( )T21 21 2 1r a r r + , (2.125)[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]21 10 r ta a a a a se obin proieciile vitezei punctului M pe axele sistemului legat 2 2 2 2O x y z:( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )M 21 10 10 21 21 21 10 1 21 2V a a r a r a r r + + + & &.(2.126)Folosind notaiile:[ ] [ ] [ ] [ ][ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )10 t 21 r10 10 1021 21 21

a r Va r V, ,,, &&(2.127)ecuaia (2.126) capt forma:( ) [ ] ( ) [ ] ( ) { } ( ) [ ] ( ) { }M 21 10 t 1 21 r 2V a V r V r + + +. (2.128)2.6.2 Distribuia acceleraiilorPentrudeterminareaacceleraieipunctului M, sederiveaznraportcu timpulviteza punctului M, obinndu-se26( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]{ } ( )[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]{ } ( )T T 210 10 21 10 10 10 1T T T 210 10 1 10 21 21 21 2r a r a r2 a r a a r + + + ++ + +&& && && && & ,(2.132)Prin multiplicarea la stnga cu[ ] [ ] [ ]10 21a a a, se obine acceleraia punctului M dat prin proieciile sale pe axele sistemului legat 2 2 2 2O x y z:( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]{ }( )[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]{ } ( )2M 21 10 10 21 21 21 10 10 1221 10 1 21 21 2a a a r a r a r2 a r r , + + + ++ + +&& && && &(2.133)Revenind n sistemul fix, prin multiplicare la stnga cu [ ] [ ] [ ]T T T10 21a a a , se obine[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]T T20 21 10 21 21 21 10 21 21T T21 21 10 21a a a aa a + + ++ & & &.(2.135)Pe baza relaiilor (2.129) i (2.134), se poate scrie[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2 2 T 220 20 21 10 10 21 21 21T21 10 21 21a a2 a a + + + + ++ & & &,(2.136)ceea ce permite scrierea acceleraiei punctului M sub forma( )( ) [ ] [ ]{ } ( )22 2M o 20 20 2a a r , + +&(2.137)atunci cnd se cunoate acceleraia originii 2O a sistemului de referin legat de solidul rigid.2.7 Sistemul de coordonate Denavit-Hartenberg Scopul analizei cinematicii directe este de a determina cumularea efectelor ntregului set de variabile, asociate articulaiilor. Dei, este posibil s se deduc modelul geometric direct al unui robot folosind sisteme de coordonate arbitrar asociate articulaiilor unui robot, este util s se sistematizeze alegerea acestor sisteme de coordonate. O convenie de alegere a acestor sisteme foarte des ntlnit n aplicaiile cu roboi este convenia Denavit-Hartenberg[43, 52, 84, 119,125].n cadrul acestei formulri, trecerea de la un sistem de coordonate la altul se face printr-o succesiune de patru transformri distincte: o rotaie i o translaie n jurul axei X, urmat de o rotaie i o translaie n jurul axei Z, sau a doua variant n care succesiunea este invers o rotaie i o translaie n jurul axei Z, urmat de o rotaie i o translaie n jurul axei X. Astfel, n funcie de ordinea axelor n jurul crora se realizeaz cele dou micri posibile, X urmat de Z sau ZurmatdeX, putemspunecexistdoumetodedestabilireamatricilor omogenedetransformare, carediferprinmodul dealocareasistemelor de coordonate ataate articulaiilor i a parametrilor asociai.272.7.1 Prima metod de alocare a sistemelor de coordonate conform formalismului Denavit-HartenbergPrimametoddealocareasistemelordecoordonateesteprezentatn fig.2.9.Fig. 2.9. Conexiunea Denavit-Hartenbergn aceast convenie matricea de transformare omogen de la sistemul i la sistemul i-1 notat cu ii 1T reprezint rezultatul celor patru transformri i anume :1 ii z, z,d x,a x,T T T T Ti i ii i i ii i icos sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0 a 1 0 0 0sin cos 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 1 d 0 0 1 0 0 sin cos 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1111 1111 1111 1111 1111 ] ] ] ]i i i i i i ii i i i i i ii 1 z, z,d x,a x,i i icos cos sin sin sin a cossin cos cos sin cos a sinT T T T T0 sin cos d0 0 0 1 1 1 1 1 1 ](2.138)unde cei patru parametri i i i i,a ,d , , reprezint parametri Denavit-Hartenberg asociatibraului i. Aceast abordare presupune ndeplinirea a dou condiii ce asigur unicitatea matricii de transformare omogen de la sistemul i la sistemul i-1 :-Ipoteza - DH1: axa ix s fie perpendiculara pe axa i 1z -Ipoteza - DH2: axa ix s intersecteze axa i 1z Respectndu-se aceste condiii exist un set unic de parametrii a, d, , astfel nct : ii 1 z, z,d x,a x,T T T T T (2.139)28Cele dou ipoteze (DH1) i (DH2) sunt reprezentate n figura 2.10Fig. 2.10 Reprezentarea ipotezelor ce asigur unicitatea matricii de transformareomogen de la sistemul i la sistemul i-1Conformipotezei (DH1)vectorul r1(primacoloanaamatricei R, care reprezint proiecia lui i1 n sistemul 0) este ortogonal cu vectorul [ ]T0k 0 0 1 , deunderezultcr31=0. ncontinuaretrebuiesartamc existdouunghiuri unice i (ntre0i 2 )astfel nct [43, 52, 84, 119,125]:z xc s c s sR R R s c c c s0 s c, , 1 1 1 1 ]. (2.141)Deoarece coloanele lui R sunt ortonormate, iar r31 = 0 rezult c 2 2 2 211 21 32 33r r 1 r r 1 , + + . (2.142)Relaiile (2.142) conduc la valori unice pentru i astfel nct :( ) ( )11 21r r c s , , i ( ) ( )33 32r r c s , , .(2.143)Odatgasitevalorilelui i , esteusordeverificat celementele rmase din matricea R corespund formei (2.141), folosind faptul c matricea R este o matrice de rotaie.Ceea ce s-a discutat anterior reprezint semnificaiile logice i condiiile necesare aplicrii formalismului Denavit-Hartenberg i a alegerii parametrilor. n plus se pot desprinde i semnificaii fizice ale parametrilor i anume:-a reprezint distana dintre axele 0z i 1z, msurat de-a lungul lui 1x,-unghiul este masurat ntr-un plan perpendicular pe 1x ntre axele 0z i 1z,-parametrul d reprezint distana ntre 0O i intersectia lui 1x cu axa 0z msurat de-a lungul lui 0z,- unghiul reprezintunghiul dintre0xi1xmsurat ntr-unplan perpendicular pe axa 0z.Se poate arta c pentru un sistem manipulator se pot alege ntotdeauna 29sistemele de coordonate 0, 1,..., n n aa fel nct s se respecte cele dou ipoteze Denavit-Hartenberg, (DH1) i (DH2), n condiiile n care se accept posibilitatea c sistemul i s nu aparine n unele situaii articulaiei i. 2.7.2 A dou metod de alocare a sistemelor de coordonate conform formalismului Denavit-HartenbergAdoumetoddealocareasistemelordecoordonatei destabilirea parametrilor Denavit-Hartenberg este prezentat n fig.2.12:Fig. 2.12. Alocarea sistemelor de coordonateRegulile folosite sunt urmtoarele:Sistemul de coordonate cu originea i 1O se va plasa n articulaia "i - 1". Primul sistemde coordonate0 0 0 0O x y zse stabilete nbaza sistemului de micare i nu reflect prima tendin de micare. Sistemul de coordonate n jurul cruia se realizeaz prima micare, de translaie sau de rotaie, este 1 1 1 1O x y z.Axai 1z este axa de micare, adic se alege astfel nct micarea articulaiei i s fie de rotaie n jurul axeii 1z , sau de translaie de-a lungul axeii 1z . Cuaceast regul se stabilesc toate axelei 1z dinarticulaiile robotului.Axai 1x sestabiletede-alungul perpendicularei comunentreaxele i 1z i iz.Axai 1y se alege astfel nct s completeze sistemul cartezian de coordonate i 1 i 1 i 1 i 1O x y z .Parametrii Denavit-Hartenberg sunt dai de urmtorul set de valori:-unghiul i de rotaie n jurul axei i 1x pentru a suprapune vectorul i 1z peste vectorul iz (paralela la iz dusa din i 1O ).-distana ib msurat de-a lungul axei i 1x , de la originea i 1O pn la punctul de intersecie dintre axelei 1x i iz.-unghiul i de rotaie n jurul axei iz pentru a suprapune vectorul i 1x (paralela la i 1x dus din iO peste vectorul ix.30-distanaidmsuratde-alungulaxeiiz, delaorigineaiOpnla punctul de intersecie dintre axele i 1x i iz.Matricea de transformare omogen este :i i i i i i i ii ii ii ii iii x , x ,b z , z ,diiT T T T Tc sbc ss cs c d1 111 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 00 00 1 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 ] ] ] ]i ii i i i ii i i i i iii iic s 0 bc s c c s d ss s s c c d c0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ](2.147)CAPITOLUL 3BAZELE TEORETICE ALE DINAMICII ROBOILOR INDUSTRIALIRoboii industriali sunt structural constituii din lanuri cinematice deschise i se caracterizeaz prin poliprogramabilitatea operaiilor care le execut. Modul de lucru a roboilor industriali depinde de :- numrul gradelor de libertate;- dimensiunile i forma spaiului de lucru;- comand i- indici specifici, dintre care subliniem: mobilitatea, capacitatea de ncrcare, suplee, etc.n stadiul de proiectare este necesar evaluarea acestor indici n vederea obinerii unei optimizri, aspect posibil numai printr-un studiu dinamic al roboilor industriali.3.1 Formulri matriceale i tensoriale3.1.1 Tensor de inerieTensorul de ordinul doix xy xzyx y yzzx zy zJ J JJ J J JJ J J 1 1 1 1 ],(3.1)se numete tensorul momentelor de inerie (tensor de inerie) al sistemului 31material raportat la reperul Oxyz.Fie reperele 1 2 3Ox x x i' ' '1 2 3Ox x x . Se noteaz cu'ij i jcos(Ox , Ox ) ,(3.2)iar formulele de transformare a coordonatelor unui punct fa de cele dou repere sunt.' 'i ij j ji jx x , x i x,(3.3)cu sumare dup indicele care se repet.3.1.2 Notaii matricealea. Vectorul x y zv v i v j v k + + r r r rn reprezentare matriceal are forma:[ ]xyzvv vv 1 1 1 1 ].b. Produsul scalar a doi vectori u v r r:[ ] [ ]Tu v u v r r,(3.4) unde[ ]Tx y zu u , u , u 1 ].3.1.3 Produsul vectorial a doi vectoriFie vectorii [ ]1x1 1y1zvv vv 1 1 1 1 ]i[ ]2x2 2y2zvv vv 1 1 1 1 ].Se ataaz vectorului [ ]1v matricea antisimetric $1z 1y11z 1x1y 1x0 v vv v 0 vv v 0 1 1 1 1 ] 1 ].(3.7)3.3 Calculul impulsului unui sistem materialn cazul unui sistem de puncte materiale, rigide etc. n micare, impulsul total H, launmoment oarecare, estesumavectorialaimpulsurilorprilor componente sale, adic( )n n n ii i i ii c ci 0 i 0 i 0dr d dH m v m m r M r M vdt dt dt _ , , (3.9) mifiind masa unui punct material din sistem,ivviteza punctului material la 32momentul considerat, M masa total a sistemului i cv viteza centrului maselor sistemului. Rezultcimpulsul total al unui sistemnmicareesteimpulsul centrului su de mas n care se presupune concentrat ntreaga mas a sistemului.Dac i Ov v r + i, atunci impulsul are expresia( )Ni O O Ci 1H m v r M v M + + i, sau matriceal:[ ] [ ][ ]oH M v S 1 + ],(3.10)unde 1 ]este matricea antisimetric asociat vectorului , iar[ ]Seste matricea momentului static al sistemului material:z yz xy x000 1 1 1 1 ] 1 ], MMM 1 1 1 1 ].(3.11)Rezult:x ox z yy oy z xz oz y xH v 0 MH M v 0 MH v 0 M 1 111 1 111 + 1 111 1 111 ] ] ] ], MMM 1 1 1 1 ].(3.12)3.4 Calculul momentului cinetic al sistemului material n raport cu un punct OMomentul cinetic total OK n raport cu un punct O, la un timp oarecare, este sumavectorial a momentelor cinetice ale tuturor punctelor materiale, adic:nOi i ii 1K r m v , (3.13)mi fiind masa punctului material Pi din sistem, iir OP este vectorul de poziie al punctului material fadepunctul O, iarivvitezapunctului material la timpul considerat.n cazul i Ov v r + i relaia (3.13) devine:[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]Ni iO o ii 1Ni io ii 1K S v m r rS v m r r 111 ] ] ] 111 ] ] ]$ $ $$ $ $. (3.15)Impulsul total H i momentul cinetictotal0Kalctuiesc torsorul de reducere n O al tuturor impulsurilor sistemului n micare considerat.333.6 Teoremele impulsuluiFie un sistem oarecare de puncte materiale, rigide etc., n micare, la un timp oarecare. SenoteazcuHimpulsul total al sistemului i cuOK momentul su cinetic total n raport cu un punct fix O, fie CKn raport cu centrul C al maselor sistemului. SenoteazcuRrezultantatuturor forelor exterioaredatei de legturcareacioneazsistemulicuOM sumamomentelortuturoracestor fore a raport cu O, sau CMn raport cu C.Prima teorem a impulsului Derivatanraport cutimpul aimpulsului total esteegalcurezultanta forelor exterioare :d legH M ac R R +&(3.39)interioare. A doua teorem a impulsului (Teorema momentului cinetic) Derivata n raport cu timpul a momentului cinetic total (n raport cu O sau C) este egal cu suma momentelor forelor exterioare luat n raport cu acelai punct.nO(C) O(C)i ii 1K M r F &(3.43)nmicarearelativadouateoremaimpulsului seenun: derivata momentului cinetic n raport cu timpul n micarea relativ a sistemului material, n raport cu centrul maselor (ca i cumCar fi fix) este egal cu suma momentelor forelor exterioare n raport cu centrul maselor, adic:n nC i i ir C i ii 1 i 1dK r m v M r Fdt & .(3.52)3.7Energia cineticEnergiacinetictotalEcaunui sistemnmicare, compusdinpuncte materiale irigide, la un moment oarecare pentru o poziie oarecare este suma energiilor cinetice ale tuturor componentelor. n cazul i Ov v r + i relaia (3.54) devine:( )( ) ( )2Ni oi 1N22 2o o C ii 11E m v r21 1M v v M m r2 2 + + + i i. (3.55)Matriceal relaia (3.55) devine:34[ ][ ]( )$[ ]( )$[ ]( )T2o oTNi i ii 11E M v v S21m r r2 1 + + ] 11+ ] ](3.56)Se noteaz Toox oy ozvv , v , v ; , , 1 1 1 ] ]x y z, (3.57)vector cu ase componente; Tx xy xzyx y yzzx zy zM 0 0 0 M M0 M 0 M 0 MMS 0 0 M M M 00 M M J J JJSM 0 M J J JM M 0 J J J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 1 ]$$, (3.58)matrice ptrat de ordinul ase.Utilizndrelaiile(3.57) i (3.58), expresiaenergiei cinetice(3.56), se scrie sub forma:TTo ov v 1 MSE2 JS 1 11 1 11 1 ] ] ]$$. (3.59) 3.8 Rigid n micare general Micarea rigidului se poate presupune compus dintr-o micare de translaie cu viteza cv a centrului maselor rigidului C i dintr-o rotaie cu viteza unghiular n jurul axei instantaneetrecnd prin centrul C (fig. 3.4).Fig. 3.4. Micarea general a rigiduluiViteza v a unui punct P, al crui vector de poziie este CP r , este dat de expresiacv v r + .(3.69)35Energia cinetic a rigidului n micarea general se calculeaz cu relaia 2 2 2 2C C C(V) (V)1 1E v dm v d 2v ( r ) dm2 2 1 + + ] ,(3.70)n care d este distana de la punct pn la axa .Prin urmare2 2c C1 1E M v J .2 2 + (3.72)adic energia cinetic a rigidului se compune din energia sa cinetic pentru o translaie cu vitezaCva centrului maselor i din energia sa cinetic pentru o rotaiecuvitezaunghiular njurul axei instantaneetrecndprincentrul maselor. Relaia(3.72) reprezint formula matematic a teoremei lui Knig.3.10 Teorema energiei cineticeFie unsistemde puncte materiale nmicare, supus la diferite fore exterioare date i de legtur i la diferite fore interioare n dou poziii succesive,poziia A i poziia B, i anume poziia A la un timp tA i poziia B la un alt timp tB > tA.Pentru fiecare punct material care compune acest sistem se scrie teorema energiei cinetice: 2i ii i i1d( m v ) F dr dL2 , (3.76)care prin integrare ntre dou poziii A i B, devine:2 2i B i i B ii i,A B1 1m v m v L2 2 . (3.77)Scriem relaia (3.77) pentru toate punctele materiale ce compun sistemul i nsumm pentru i 1, n . Rezult: n n2 2i iB i iA A Bi 1 i 11 1m v m vL2 2 (3.78)n care n2i iB cBi 11m v E2 reprezint energia cinetic total a sistemului n poziia B,n2i iA cAi 11m v E2 este energia cinetic a sistemului n poziia A iar LABsuma lucrurilor mecanice ale tuturor forelor date, de legtur i interioare ntre poziia A i poziia B.Relaia (3.78) se poate scrie sub forma:B AC C A BE E L ,(3.79)careexprimteoremaenergieicineticeiseenun:variaiaenergieicinetice totale ntre dou poziii ale unui sistem oarecare n micare este egal cu suma lucrurilor mecanice ale tuturor forelor exterioare, date i de legtur, ale forelor interioare, efectuate n deplasarea dintre cele dou poziii.36Studiu de caz 3.1Se consider robotul TRTRT (fig. 3.1.1) la care se cunosc:- Maselecelor5ansamblurielement- cupl corespunztoare, n cadrul masei m5 fiind inclus i masa manevrata de efectorul final.- Momentele de inerie (2) (3)z1 z1J , Jale ansamblurilor 2 i 3 n raport cu axa cuplei de rotaie 2, care este ax O1z1 conform conveniei Denavit Hartenberg.- Momentele de inerie 1 4 1 5(4) (5)z ,O z ,OJ , J ale ansamblurilor 4 i 5 n raport cu axe paralele la axa cuplei 2 i care trec prin centrele lor de greutate.- Momentele de inerie ) 5 ( ) 4 (3 3,z zJ J ale ansamblurilor 4 i 5 n raport cu axa cuplei de rotaie 4, care este ax O3z3.Secalculeaz energiilecinetice aleansamblurilor ce compunrobotul, innd seama de faptul c fiecare cupl i imprim micarea la toate, ansamblurile care urmeaz de la cupla respectiv, pn la efectorul final.Energia cinetica a ansamblului cupla 1 - element lCupla l fiind cupl de translaie, energia cinetic imprimat de ea ansamblului respectiv se calculeaz cu relaia:2c1 1 11E m q2 &.(1)Fig. 3.1.1. Schema robotului TRTRTEnergia cinetica a ansamblului cupla 2 - element 2Micarea acestui ansamblu este determinat att de cupla de translaie l ct i de cupla de rotaie 2 i se calculeaz cu relaia: 12 (2) 2c2 2 1 z 21 1E m q J q2 2 + & &. (2)Similar se vor calcula energiile cinetice a ansamblurilor urmtoare, innd seamadesuccesiuneadecuplederotaiei translaie, precumidelegeade variaie a momentelor de inerie n raport cu axe paralele. Astfel:37Energia cinetic a ansamblului cupla 3 element 32 (3) 2 2c3 3 1 z1 2 3 31 1 1E m q J q m q2 2 2 + + & & &.(3)Energia cinetic a ansamblului cuplui 4 element 432 (4) 2 2 (4) 2c4 4 1 z1 2 4 3 z 41 1 1 1E m q J q m q J q2 2 2 2 + + + & & & &,(4)n care1 4(4) (4) 2z1 4 4 z ,OJ J m L + . (5)Energia cinetic a ansamblului cupla 5 element 512 (5) 2 2 (5) 2 2c5 5 1 z 2 5 3 z3 4 5 51 1 1 1 1E m q J q m q J q m q2 2 2 2 2 + + + + & & & &,(6)unde:1 5(5) (5) 2z1 5 4 5 5 z ,OJ J m (L L q ) + + +.(7)Energiacineticarobotului esteegalcusumaenergiilor cineticeale prilor componente:51c ciiE E,(8)va avea expresia:1 1 4 1 5352 2 (2 3) (4) (5) 2 2c 1 i 2 z 4 4 5 4 5 5 z ,O z ,Oi 152 (4 5) 2 23 i z 4 5 5i 31 1E q m q J J J m L m (L L q )2 21 1 1q m J q m q2 2 2+=+= = + + + + + + + + + + + & && & &.(9)3.13 Utilizarea metodelor analitice n determinarea ecuaiilor difereniale ale roboilor industrialiMecanica analiti cprezint avantajul c d posibilitatea extinderii cmpului deinvestigaieal fenomenelor, nafarafenomenelormecanicela fenomene fizice care pot fi modelate dup cele mecanice. Metoda analitic este mai cuprinztoare, permind o eficien sporit n aplicarea sistemelor de ecuaii difereniale ale mecanicii i scoaterea n eviden a proprietilor deosebit deinteresantei utilealeacestor ecuaii sausistemedeecuaii difereniale.3.13.1 Coordonate generalizate. Legturi. DeplasriCoordonatele generalizate ale unui sistem material sunt parametrii inde-pendeni q1, q2, ...,qscaredetermincomplet configuraiasistemului, adic poziia tuturor punctelor sale n raport cu sistemul de referin ales. Coordonatele generalizate posed caracterul analitic, abstract al unor parametri generali i nu pe cel fizic al celor din geometria euclidian.Numrulgradelordelibertatealeunuisistemmaterialestenumrul 38s de micri independente posibile ale sistemului.Starea unui sistem dinamic este determinat prin poziia (configuraia)i starea de micare n momentul trecerii prin poziia specificat.nmecanica analitic se iaunconsiderare numai legturile fr frecare care se pot exprima cu ajutorul unor relaii matematice. Se disting, de asemenea, legturi unilaterale i legturi bilaterale; primele impun restricia ntr-un singur sens, iar celelalte o impun n ambele sensuri.3.13.2 Principiul lui d Alembertnmecanicanewtonian, pentruastudiamicareaunui punct material supus la legturi se aplic axioma legturilor i ca atare, se introduc forele de legtur alturi de forele active i se consider punctul material liber.nmecanica analitic, d Alembert arat cnumai opartedinforele active produc acceleraia punctului, iar cealalt parte se pierde din cauza legturilor lacareestesupus punctul material. Parteacaresepierdepoart numele de for pierdut i mai este denumit i vectorul lui d Alembert i se noteazcu . Forelepierdutei foreledelegturformeazunsistemn echilibru, adic:LNq,legq 1F 0+ .(3.10)Se mai poate scrie c:( )a LN Na q,leg ikk 1 q 1F F F 0 + + , (3.103)relaie care exprim principiul lui d'Alembert ce poate fi enunat astfel:n mod asemntor se poate reface raionamentul pentru un sistem de puncte materiale sau pentru un corp sau sistem de corpuri. n acest caz,se obin expresiile:a leg iF F F 0 + + ,(3.104)Fa F leg iM M C 0 + + . (3.105)

3.13.4 Ecuaiile lui LagrangePentru deducerea ecuaiilor de micare a unui sistem material cu sgrade de libertate, precizate de cei s parametrii scalariiq , i 1,s , n care vectorul de poziie al unui punct oarecare are forma1 2 sr r (q , q ,..., q , t) ,(3.110)iar deplasarea virtual este 1 2 s1 2 sr r rr q q ... qq q q + + + , (3.111)prinaplicarea principiului deplasrilor virtuale, rezult: 39N sjj j j ij 1 i 1 ir(F m a ) q 0q rrr.(3.112)Deoarece legtura este olonom, deplasrile virtualeiq , sunt independente i se poate considera pe rnd cte una nenul. Procednd n acest mod, se determin un sistem de n ecuaii difereniale de tip:Njj j jj 1 ir(F m a ) 0q rrr, (3.114)care se numesc ecuaiile lui Lagrange de spea I-a. Ele rezolv, n principiu, problema,scrieriidirecte asistemului deecuaiidiferenialeale micriiunui sistem material, n absena forelor de legtur.Din relaia (3.115) rezult:c cii iE E dQ , i 1, sdt q q _ , &. (3.125) Sistemul (3.125) format din s ecuaii difereniale de ordinul doi, care se pot scriepentruunsistemmaterialcusgradedelibertate, poartnumelede ecuaiile lui Lagrange de spea II-a.CAPITOLUL 4ARHITECTURA UNUI MODEL DE ROBOT 4R.CINEMATICA I DINAMICA ROBOTULUI4.1 Arhitectura robotului 4RConfiguraia general a modelului 4R este prezentat n figura 4.1. Prile componente specificate n figur, sunt: baza, platforma, bra 1, bra 2 i efectorul robotului [43, 61, 119].Fig. 4.1 Configuraia robotului 4R40Baza. n figura 4.2 este prezentat baza robotului. Are fixat o roat dinat cu dini drepi cu 100 de dini, modulul 2, unghiul de presiune de 20, limeadinilor de12mm. Coaxial curoatadinatsunt doi rulmeni care asigur o articulaie cilindric ntre baz i platform. Fig. 4.2. BazaPlatforma.n figura 4.3.a este prezentat platforma i sistemul de referin fa de care s-au exprimat coordonatele centului de mas i momentele de inerie.Platformaarencompuneredoumotoareelcetrice(figura4.3.c), care asigur micare platformei fa de baz (motor 1) i micarea braului 1 fa de platform (motor2). n figura4.3.d esteprezentat poziionarealagrului de prindere al braului 1 fa de axa de rotaie a platformei. c. d.Fig. 4.3Platforma robotuluiPe axa motorului 1 este prins o roat dinat cu 17 dini care angreneaz cu roata dinat prins pe baz, asigurnd micarea de rotaie a platformei.Axa lagrului de prindere a braului 1 se afl la cota z = 320 mm fa de sistemul dereferin. Peaxulmotorului2esteprinsoroatdinatcudini drepi, cu20de dini, modulul 1mm, =20, limeade 12mm, care angreneazlainterior cuocoroandinatde100dini, prinsdebraul 1, asigurnd micarea de rotaie a braului 1 fa de baz.Braul 1. n figura 4.4.a este prezentat sistemul de referin al braului 1 i distana ntre axele lagrelor. Caracteristicile masice ale braului 1 sunt:41 a. b.Fig. 4.4 Braul 1Braul 1 are n componen un motor electric (fig. 4.4.b) care antreneaz n miscare de rotaie braul 2, printr-o angrenare cilindric interioar.Pe axul motorului electric este prins o roat dinat cu 20 de dinti, modul 1 mm, = 20 i limea dinilor de 12 mm. Braul 2. n figura 4.5.a este prezentat sistemul de referin al braului 2 i distana ntre axele lagrelor. a. b.Fig. 4.5Braul 2 al robotuluiBraul 2 are n componen un motor electric (fig. 4.5.b) care antreneaz n miscare de rotaie braul 3 mpreun cu efectorul. Efectorul. n figura 4.6.a este prezentat sistemul de referin al braului 2 42i distana ntre axele lagrelor. Fig. 4.6 Efectorul robotului4.2 Deplasarea varfului efectorului din poziia iniial n poziia de lucruSe consider poziia iniial (figura 4.7) corespunztoare situaiei n care braelerobotuluisuntpoziionatevertical, iarplatformanuesterotitfade baz.

a.b.Fig. 4.7 Robotul n poziia iniialConsidernd un sistem de referin fix cu originea n centrul bazei, poziia vrfului efectorului are coordonatele:efectorx 251.5 mm;efectory 298.64 mm;efectorz 1652 mm.Se alege o poziie iniial a vrfului efectorului pentru un proces tehnologic ce urmeaz a fi desfurat de robot. Astfel punctul n care trebuie s ajung vrfului efectorului este: poz.initiala.lucrux 500 mm;poz.initiala.lucruy 600 mm;poz.initiala.lucruz 407 mm.n figura 4.8 este prezentat poziia final a robotului la aducerea 43efectorului n poziia de lucru. Considernd masa de lucru paralel cu planul de coordonate xOy al sistemului de referin fix, se pune condiia ca axa efectorului s fie normal pe acest plan. Fig. 4.8 Poziia final a robotului la aducerea efectorului n poziia de lucruSe prezint n continuare variaiile n timp ale unghiurilor de rotaie ale axelor motorarelor 1, 2, 3 i 4, exprimate n radiani. Pentru motorul 1 prins de platform i care rotete platforma n jurul bazei, se consider:var1 t ( ) y01 t x01 < ifa11 t2 b11 t + c11 + t x11 < t x01 ifa21 t b21 + t x11 t x21 < ifa31 t2 b31 t + c31 +( )t x21 t x31 < ify31 t x31 if:unde coeficienii sunt:a11 25.40668 b11 0 c11 0 a21 3.49066 b21 0.1199 a31 25.40668 b31 34.90659 c31 9.83152 iar timpii suntx01 0 x11 0.0687 x21 0.61826 x31 0.68696 Fig. 4.8 Variatia n timp a unghiului de rotaiea axului motorului 1Pentru motorul 2 prins de platform, care acioneaz braul 1, avem o lege 44asemntoare cu cea a motorului 1, unde coeficienii sunt:a12 674.302 b12 0 c12 0 3a22 3.49066 b22 4.51752 10 a32 674.302 b32 34.90659 c32 0.37044 iar timpii3x02 0 x12 2.58835 10 x21 0.61826 x31 0.68696 Motorul3careesteprinspebraul1iacioneazbraul2, areolege asemntoare cu cea a motorului 1, unde coeficienii sunt:a13 5.21105 b13 0 c13 0 ,a23 3.49066 b23 0.58456 ,a33 5.21105 b33 34.90659 c33 47.93393 ,iar timpii sunt:x03 0 x13 0.33493 x23 3.01435 x33 3.34928 Motorul 4 este prins de braul 2 i acioneaz efectorul, variaia n timp a unghiului de rotaie fiind definit de coeficienii:a14: 99.71413 b14: 0 c14: 0 a24: 3.49066 b24: 0.03055 a34: 99.71413 b34: 34.90656 c34: 2.50502 timpii fiind:x04 0 x14 0.0175 x24 0.15753 x34 0.17503 Componentele vitezei i acceleraiei centrului de mas ale platformei variaz n timp dup legile [20, 26, 29, 43, 53, 80, 121]: Fig. 4.12 Viteza centrului de mas al platformeiVariaia n timp a energiei cinetice a platformei se prezint n figura 4.14.Fig. 4.14 Energia cinetic a platformei45Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale braului 1, variaz n timp dup legile: Fig. 4.15 Componentele vitezei centrului de mas al braului 1Variaia energiei cinetice n timp a braului 1 este:Fig. 4.17 Energia cinetic a braului 1Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale braului 2, variaz n timp dup legile :Fig. 4.18 Componentele vitezei i acceleraiei centrului de mas al braului 2Variaia energiei cinetice n timp a braului 2 este:Fig. 4.20 Energia cinetic a braului 246Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale efectorului, variaz n timp dup legile:Fig. 4.21 Componentele vitezei centrului de mas ale efectoruluiVariaia n timp a energiei cinetice a efectorului este:Fig. 4.23 Energia cinetic a efectorului4.3 Deplasarea varfului efectorului dup un segment de dreaptcu o vitez constantConsiderndu-seunprocestehnologiccarenecesitdeplasareavrfului efectorului dup un o dreapt n planul orizontal al mesei de lucru, cu o vitez constant, se determin legile de rotaie ale motoarelor. Vrful efectorului i schimb pe timpul micrii coordonata dup axa Ox, celelalte coordonate rmnnd constante. Micarea ncepe la timpul iniial t = 4s, perioada[ ]0, 4s fiind corespunztoare poziionrii efectorului (micarea de poziionare se termin dup 3,34928 s). Pentru variaia coordonatei dup axa Ox s-a ales legea prezentat n figura 4.24. Poziia final a vrfului efectorului este punctul de coordonate x=500, y=600i z =407. Legea de variaie a coordonatei dup x, ntre x = -500 i x = 500, este dat de [20, 26, 29, 43, 53, 80, 121]:47unde coeficienii sunt:a1 0.13889 b1 1.11111 c1 497.77778 a2 5.55556 b2 577.77778 3a3 0.13889 b3 56.66667 c3 5.28 10 timpul final fiind de204 s.Fig. 4.24 Legea de variaie a coordonatei dup Ox a vrfului efectoruluiUnghiurile de rotaie ale motoarelor n radiani, variaz dup legile prezentate n figurile 4.25, 4.26, 4.27 i 4.28.

Figura 4.25 Variaia n timp a unghiuluiFigura 4.26 Variaia n timp a unghiului de rotaie al motorului 1 de rotaie al motorului 2

Figura 4.27 Variaia n timp a unghiului Figura 4.28 Variaia n timp a unghiului de rotaie al motorului 3 de rotaie al motorului 4Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale platformei, variaz n timp dup legile:Fig. 4.29 Componentele vitezei centrului de mas ale platformei48Variaia n timp a energiei cinetice a platformei este:Fig. 4.31 Energia cinetic a platformeiComponentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale braului 1, variaz n timp dup legile:Fig. 4.32 Componentele vitezei centrului de mas ale braului 1Variaia n timp a energiei cinetice a braului 1 este:Fig. 4.31 Energia cinetic a braului 1Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale braului 2, variaz n timp dup legile:49Fig. 4.32 Componentele vitezei centrului de mas ale braului 2Variaia n timp a energiei cinetice a braului 2 este:Fig. 4.34 Energia cinetic a braului 2Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale efectorului, variaz n timp dup legile:Fig. 4.35 Componentele vitezei centrului de mas ale efectoruluiVariaia n timp a energiei cinetice a efectorului este:Fig. 4.37 Energia cinetic a efectoruluin figura 4.38 este prezentat filmul micrii robotului, cnd vrful efectorului parcurge o dreapt din planul mesei de lucru. t = 4 st = 44 st = 84 s50 t = 124 st = 164 s t = 204 sFig. 4.38 Poziiile robotului pentru diferite momente de timpn figura 4.39 se prezint traiectoria vrfului efectorului.Fig. 4.39 Traiectoria vrfului efectorului 4.4 Deplasarea varfului efectorului dup un arc de cerc cu o vitez constantConsiderndu-seunprocestehnologiccarenecesitdeplasareavrfului efectorului dup un arc de cerc n planul orizontal al mesei de lucru, cu o vitez constant, se determin legile de rotaie ale motoarelor. Vrful efectorului i schimb pe timpul micrii coordonatele dup axele ox i oy, coordonata z rmnnd constant. Arcul de cerc are deschiderea , centrul cercului fiind situat pe axa Oy [20, 26, 29, 43, 53, 80, 121].Fig. 4.40 Poziia vrfului efectoruluiMicareancepelatimpuliniialt=4s, cndvrfulefectoruluiesten 51punctul de coordonate (-500, 600, 407) i se termin cnd timpul t = 318.159 s, adic vrful efectorului ajunge n punctul de coordonate (500,600,407). Variaia n timp a coordonatelor vrfului efectorului este dat de:x(t) 500cos( (t)) y(t) 600 500 sin( (t)) + Alegnd pentru (t) o variaie definit de legea din figuraFig.4.41 Variaia unghiului n timpundet0 4 s ;t 2 s - timpul de accelerare de la viteza 0 la 5 mm/s, care este egal cu timpul de decelerare;s0 0 - unghiul iniial;s3 - unghiul final n radiani;v0 0.01rad / s - viteza unghiular corespunztoare unei viteze periferice de 5 mm/s la o raz de 500 mm.nfigurile4.42-4.45sunt prezentatevariaiileunghiurilor motoarelen timp care asigur traiectoria impus a vrfului efectorului.52 Figura 4.42 Variaia n timp a unghiuluiFigura 4.43 Variaia n timp a unghiuluide rotaie al motorului 1 de rotaie al motorului 2 Figura 4.44 Variaia n timp a unghiului Figura 4.45 Variaia n timp a unghiuluide rotaie al motorului 3de rotaie al motorului 4Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale platformei, variaz n timp dup legile:(a)Fig. 4.46 Componentele vitezei i acceleraiei centrului de mas ale platformeiVariaia n timp a energiei cinetice a platformei este:Fig. 4.48 Energia cinetic a platformei53Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale braului 1, variaz n timp dup legile:Fig. 4.49 Componentele vitezei centrului de mas ale braului 1Variaia n timp a energiei cinetice a braului 1 este:Fig. 4.51 Energia cinetic a braului 1Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale braului 2, variaz n timp dup legile:Fig. 4.52 Componentele vitezei i acceleraiei centrului de mas ale braului 2Variaia n timp a energiei cinetice a braului 2 este:54Fig. 4.54 Energia cinetic a braului 2Componentele vitezei i ale acceleraiei centrului de mas ale efectorului, variaz n timp dup legile:Fig. 4.55 Componentele vitezei centrului de mas ale efectoruluiVariaia n timp a energiei cinetice a efectorului este:Fig. 4. 57 Energia cinetic a efectoruluin figura 4.58 se prezint poziiile robotului la diferite momente de timp. t = 4 st = 66,8 st = 129,6 s t = 192,4 st = 255,2 st = 320 sFig. 4.58 Poziia robotului la diferite momente de timpTraiectoria descris de vrful efectorului este reprezentat n figura 4.59.55Fig. 4.59 Traiectoria descris de vrful efectoruluiCAPITOLUL5STAREA DE TENSIUNE I DEFORMAIE N BRAELE ROBOTULUI 4R5.2Ecuaiile incrementale ale micriinanalizaneliniarceamai folositcaledeabordarepentruobinerea ecuaiei metodei elementului finit, este cea bazat pe principiul lucrului mecanic virtual. ntruct configuraia structurii cu comportament neliniar poate fi diferit laanumitemomenteipentruaputeafolosiecuaiileobinuitealemecanicii corpului deformabil (relaii de echilibru, .a.), este necesar formularea incremental.Figura 5.1 Configuraia structurii la diferite momente de timpSistemul de referin poate fi unul cartezian staionar, caz n care discretizarea este cunoscut i sub numele de me Lagrangean, sau nestaionar, cea ce conduce la omodelare nelemente finite numit me Eulerian. 56Abordarea Lagrange incremental, se face exprimnd echilibrul corpului lamomentul (t+ t), folosindprincipiul deplasrilorvirtuale, ceacesepoate exprima astfel [82, 87, 88, 95, 138]: + + + + + Vt t t tijt t ijt tt tR dV e(5.1)n care:ijt t + sunt componentele carteziene ale tensorului tensiunilor (Cauchy), ij t te +sunt componentele carteziene ale tensorului deformaiilor specifice infinitezimale, semnific variaia virtual a componentelor respective, astfel:i i i it t ijt t t t t t t tj j j j1 u u 1 u ue2 2x x x x++ + + + _ _ + + , ,(5.2)n relaiile de mai sus, tensiunile Cauchy sunt privite ca fore interne pe unitatea de suprafa n configuraia de la momentul t + t, iar componentele deformaiilor specifice infinitezimale sunt referitoare tot la acest moment, pentru care configuraia este necunoscut. Cuaceastobservaie, membrul drept al relaiei (5.1)reprezintlucrul mecanic virtual al forelor exterioare, avnd expresia:dS u f dV u f Rst tiS Sit t t tiBit t t tt t t t + + + + + + + + (5.3)unde Bit tf +i Sit tf +sunt componentele vectorilor fore aplicate, pe suprafa (S), saudevolum(B), iar uiestecomponenta"i"avectorului deplasrii virtuale.5.8 Calculul prin metoda elementelor finite a strii de tensiune i deformaii n braele 1 i 2 ale robotului 4RSe consider cazul deplasrii efectorului pe arcul de cerc (cap 4). n figura 5.3 sunt prezentate variaiile n timp ale forei rezultante i ale componentelordupaxelesistemului decoordonate, dinarticulaiacilindric dintre platform i braul 1. Fig. 5.3 Variaia forei din articulaia cilindric dintre platform i braul 1Cu linie continu rezultanta, cu liniue componenta dup ox, cu puncte componenta dup oy i cu liniut punct, componenta dup ozSe determin maximul forei rezultante pentru timpul t = 162,08 s.n figurile 5.4, 5.5 i 5.6 se prezint variaia unghiurilor de poziionare a elementelor robotului. Astfel se detrmin pentru momentul de timp 162,08 s o 57rotire de 36,164 a braului 1 fa de vertical, o rotire de 73,322 ntre braele 1 i 2 ale robotului i o rotire de 19,486 ntre braul 2 i efector.Fig. 5.4 Variaia n timp a unghiului dintre axa braului 1 i verticalFig. 5.5 Variaia n timp a unghiului dintre axa braului 1 i braul 2Fig. 5.6 Variaia n timp a unghiului dintre axa braului 2 i efectorDiscretizarea braului 1 este prezentat n figura 5.7. Pentru discretizare s-au folosit elemente tetraedrale cu 4 noduri.Fig. 5.7 Discretizarea braului 2n figura 5.8 se prezint condiiile n deplasri ale braului 2.58Fig. 5.8 Condiiile la limit pentru lagrul dintre braul 1 i braul 2Materialele considerate sunt: pentru buca danturat la interior, iar pentru pereii braul 2 aluminiu. ncrcarea braului 2 se realizeaz prin greutatea proprie a braului i din greutatea efectorului. Datorit acceleraiilor reduse corespunztoare procesului tehnologic, forele de inrie se neglijeaz.nfigura5.9seprezintcmpul deplasrilor, al tensiunilorechivalente Von Misses i al deformaiilor specifice pentru cazul considerat.

Fig. 5.9 Cmpul deplasrilor, tensiunilor i deformaiilor specificeComponentele reaciunii pentru suprafaa cilindric cu diametru 120 mm, de contact cu rulmentul, pus n eviden n figura 5.10, sunt:x1F 96.61 N , y1F 146.01 N .Componentele reaciunii pentru suprafaa cilindric cu diametru 120 mm, de contact cu rulmentul, pus n eviden n figura 5.11, sunt:x2F 14.16 N , y2F 77.98 N .Discretizareabraului 2esteprezentatnfigura5.12i undetaliun figura 5.13. Pentru discretizare s-au folosit elemente tetraedrale cu 4 noduri.59Fig. 5.12 Discretizarea braului 1Condiiilendeplasri alebraului 1sunt prezentatenfigura5.14iar condiiilenforelesunt reprezentate nfigura5.15. ncrcarea suprafeelor cilindrice de contact cu rulmenii s-a realizat printr-o distribuie trigonometric a forei de ncrcare a rulmenilor determinat la braul 2. Fig. 5.14 Condiiile la limit pentru lagrul 5.15 Condiiile la limit pentru lagrul dintre braul 1 i platform dintre braul 1 i braul 2Materialeleconsideratesunt: pentrubucadanturatlainterior, pentru roata dinat mic din care antreneaz braul 2 i pentru arborele ei oel. Pentru braul 1 aluminiu. n figura 5.16 se prezint cmpul deplasrilor i al tensiunilor echivalente Von Misses (vedere din fa i spate). n figura 5.17 se prezint cmpul deformaiilor specifice (vedere din fa i spate).

Fig. 5.16 Deplasrile, tensiunile echivalente Von Misses n vedere fa i spate a braului 160

Fig. 5.17 Deformaia specificn vedere fa i spate a braului 1Se constat o tensiune echivalent mare, de 94 N/mm2, la baza arborelui care transmite micarea de la motorul 3 (figura 5.18). Pentru a diminua valoarea tensiunii i deci i deplasarea roii dinate se adopt o construcie a braului 1 ca cea din figura 5 . Acest form duce la scurtarea lungimii arborelui motorului 3 (fig. 5.19). Fig. 5.18 Varianta iniial a axuluiFig. 5.19 Varianta scurtat a axului motorului 3 motorului 3

Fig. 5.20 Variant constructiv61CAPITOLUL 6METODE DE OPTIMIZARE.OPTIMIZAREA CONSTRUCTIV FUNCIONAL A ROBOTULUI INDUSTRIAL 4ROptimizarea este un principiu fundamental al unei multitudini de probleme complexe de alocare i decizie,care implic selecia de valori pentru o multime de variabile interrelaionate, prin realizarea unui singur obiectiv ales special. Obiectivul este de obicei o functe sau funcional, care este maximizat sau minimizat, cu posibile constrngeri care limiteaz alegerea valorilor pentru variabile.nconstruireaunui model matematiccaredescrieexact complexitatea problemei i careestefezabil dinpunct devederenumerictrebuiestapnit compromisuli dobndirea deabiliti pentru a putea construi modele in mod expert. n acest sens se impune:- identificarea i surprinderea aspectelor importante ale unei probleme;- abilitatea de a distinge modelele fezabile de cele nefezabile prin studierea tehnicilor existente i a teoriei asociate.O msur a complexitaii unei probleme de programare este dimensiunea msurat ntermenii numrului devariabilenecunoscute i/saunumarul de constrangeri.Avndn vedereperformanacalculatoarelor moderne distingem urmatoarele clase de probleme:-dimensiune mic (avnd pn la 5 variabile i/sau constrngeri);-dimensiune medie, avnd intre 5 i 100 variabile;-dimensiunemare, avndmai mult de100poate1000saumai multe variabile.6.1 Extremele funciilor reale de mai multe variabileFie funcia f: A ( )2R Ri a,b A . Punctul (a,b)2A R se numete punct staionar atunci cnd( )( )( )( )' 'x yf a,b f a,bf a,b 0,f a,b 0x y . (6.1) TeoremFie f: A( )2R Ri a,b A un punct staionar. Presupunem c pe o vecintate V a punctului (a, b) funcia admite derivate pariale de ordinul doi continue.Considerm expresia:( ) ( ) ( )22 2 220 0 02 2f a,b f a,b f a,bE s r tx yx y _ ,1. Dac E < 0 atunci (a,b) este un punct de extrem local i anume:62minim cnd ( )22f a,bx > 0,(6.2)imaxim cnd( )22f a,bx < 0. (6.3)2. Dac E>0,punctul (a, b) este punct a, nefiind punct de extrem localGeneralizareFie funcia f: pA R R i ( )0 0 00 1 2 px x , x , , x K,un punct din A [82, 87, 88, 95, 138]. Funcia f are minim local n punctul 0x dac exist ovecintate Va lui0xastfel nct0f (x) f(x ) pentruorice ( )1 2 px x , x , , x V K. Punctul0x este punct de maxim local pentru funcia f dac 0f (x) f(x ) pentru oricex V .n cazul n care