8

2. Reţele de sprijin pentru ridicări la scări mari 2.1 Generalităţi Un sistem de referinţă geodezic ia naştere prin determinarea sau stabilirea unui corp de referinţă, a unei suprafeţe de referinţă, a unei linii de referinţă, a unui punct de referinţă sau chiar a unei valori iniţiale de referinţă, bine fundamentate matematic sau fizic. Descrierea matematică sau fizică a sistemului de referinţă şi materializarea lui în teren, conduce la reţeaua de sprijin. Când efectuăm măsurători asupra unui obiect din teren, se crează legături matematice sau fizice între acest corp şi reţeaua de sprijin, el fiind descris (definit) ca poziţie planimetrică, altimetrică sau gravimetrică faţă de această reţea. În practica curentă ne confruntăm în esenţă cu determinarea poziţiei spaţiale a obiectelor din teren. Datorită unor limite în precizia de determinare a punctelor, a fost necesară o separare a sistemelor de referinţă planimetrice, altimetrice şi gravimetrice. Dacă pentru determinarea altitudinilor relaţia fizică este primordială (suprafaţa de nivel “zero”, apa să nu curgă între două puncte de aceeaşi cotă etc.), pentru determinarea poziţiei planimetrice, legătura la o suprafaţă matematică bine fundamentată este de importanţă majoră. Pentru a păstra nivelul de precizie al informaţiilor cuprinse în măsurători, în locul unui sistem de referinţă tridimensional (3D) s-a optat pentru un sistem planimetric bidimensional (2D) şi un sistem de altitudini unidimensional (1D). Această separare nu este prea fericită, mai ales în reţele de dimensiuni mici, unde sistemul de referinţă este de regulă local, iar unele date definitorii ale sistemului de referinţă sunt alese sau stabilite arbitrar. Reţelele de sprijin pentru lucrări specifice de topografie inginerească depind de mărimea suprafeţei teritoriului de ridicat, de existenţa şi densitatea detaliilor, de scara şi precizia reprezentării grafice ca produs al ridicării. Din experienţa practică , principalele tipuri de reţele folosite ca bază topografică pentru ridicări la scări mari sunt:

a. Pe suprafeţe mai mari de 25 km2 a.1 Pentru reţeaua planimetrică de sprijin - triangulaţie; - trilateraţie; - poligonometrie de precizie; - drumuiri poligonometrice; - drumuiri obişnuite ca bază de ridicare; a.2 Pentru reţeaua altimetrică de sprijin

- reţea de nivelment geometric sub formă de poligoane şi cu precizia ordinului II-IV; - drumuiri de nivelment geometric şi trigonometric ca bază de ridicare.

b. Pe suprafeţe cuprinse între 2,5 şi 25 km2

b.1. Pentru reţeaua planimetrică de sprijin - reţele poligonometrice; - drumuiri obişnuite ca bază de ridicare;

b.2 Pentru reţeaua altimetrică de sprijin - poligonaţii de nivelment geometric; - drumuiri de nivelment geometric şi tigonometric.

c. Pe suprafeţe mici până la 2,5 km2

- se foloseşte numai baza de ridicare sub formă de drumuiri planimetrice şi nivelitice.

9

2.2 Reţele poligonometrice

Pe suprafeţe relaitv mici sau pentru teritoriile localităţilor se poate renunţa la reţele de triangulaţie sau trilateraţie ca reţele de sprijin, poligonometria oferind posibilitatea realizării unei reţele de sprijin compacte sub formă de poligoane. Aceste reţele constituie în numeroase situaţii baza topografică de sprijin pentru ridicări la scări mari şi de asemenea pentru proiectarea, trasarea şi urmărirea unor lucrări de investiţii de întindere mare (platforme industriale, execuţia sau reabilitarea căilor de comunicaţie, sistematizarea cvartalelor în localităţi, reperaj fotogrametric ş.a.). Staţiile totale care asigură astăzi o precizie ridicată în măsurarea distanţelor şi a unghiurilor, au făcut să crească randamentul lucrărilor de teren, poligonometria fiind o metodă de realizare a reţelelor de sprijin preferată de specialişti în multe aplicaţii.

Drumuirea poligonometrică – reprezintă o drumuire de precizie, laturile (de ordinul sutelor de metri) şi unghiurile fiind măsurate cu o precizie mai mare decât la o drumuire obişnuită, corespunzător scopului urmărit. La capete o drumuire poligonometrică se sprijină pe puncte şi laturi din reţeaua geodezică de ordin superior.

Reţele poligonometrice – reprezintă o conexiune de drumuiri, care au unul sau mai multe puncte comune, numite puncte nodale, care aparţin la două sau mai multe trasee de drumuiri poligonometrice. În foarte multe situaţii, o astfel de reţea poate să substituie cu succes reţelele de triangulaţie sau de trilateraţie.

Condiţii generale pe care trebuie să le îndeplinească drumuirile poligonometrice sunt: - lungimile laturilor să fie cât mai mari, pentru a micşora propagarea erorilor datorate

centrării instrumentelor, măsurării unghiurilor etc. Lungimile laturilor se aleg în anumite limite în funcţie de ordinul drumuirii;

- lungimea totală a unei drumuiri poligonometrice să se încadreze în limitele stabilite prin norme tehnice;

- laturile şi unghiurile trebuie să se măsoare cu o precizie ridicată, pentru a justifica substituirea unei reţele de triangulaţie sau trilateraţie.

Lungimea maximă în km Lungimea unei laturi Extravilan

Ordinul drumuirii

poligonometrice

e.m.p. de

măsurare a

unghiurilor

Eroarea relativă

limită de închidere

liniară

Intravilan

Sc 1:500 Sc.

1:1000 Sc

1:2000 Sc

1:5000

Medie

(m)

Minime

(m)

Maxime

(m)

De precizie superioară

±10cc 1/25000 5 7 10 15 400 250 1000

Ordinul I ± 15cc 1/15000 3 4 6 10 250 100 600 Ordinul II ± 25cc 1/8000 2 2,5 4 6 175 80 400 Ordinul III ± 30cc 1/5000 1 1,5 2,5 4 150 70 300

- drumuirea poligonometrică de precizie superioară înlocuieşte uneori reţeaua de

triangulaţie de ordinul III, IV şi V în special în localităţi, când există dificultăţi în realizarea acesteia;

- drumuirea poligonometrică de ordinul I se sprijină pe puncte din reţeaua de triangulaţie şi/sau puncte din drumuirea polidonometrică de precizie superioară. Traseul este de regulă întins şi se desfşoară în lungul arterelor mari de circulaţie, pe văi, căi de comunicaţie etc.;

- ordinele II şi III au scopul de îndesire a reţelei poligonometrice de ordin superior.

10

2.2.2 Proiectarea reţelelor poligonometrice:

Se realizează de regulă pe planuri la sc. 1:10.000 sau mai mari, cu curbe de nivel, care

conţin toate informaţiile referitoare la reţeaua de triangulaţie şi de nivelment din zonă. Drumuririle de precizie superioară şi ordinul I sunt stabilite încă din faza recunoaşterii

punctelor de triangulaţie ce vor servi ca sprijin pentru reţeaua poligonometrică. Între punctele drumuirilor de ordinul I şi ordin superior se proiectează drumuiri de ordinul II şi apoi analog de ordinul III.

Punctele reţelei poligonometrice se vor amplasa în teren stabil şi concomitent trebuie

asigurate între ele cele mai bune condiţii de vizibilitate. Pentru o reţea planimetrică insă, sau chiar spaţială, când sunt măsurate şi determinate

concomitent şi unghiurile verticale în vederea calculării diferenţelor de nivel, se recomandă metoda măsurătorilor indirecte în compensare. Metoda măsurătorilor indirecte fiind cunoscută, se va reaminti în acest loc doar forma ecuaţiilor de corecţii pentru diferite tipuri de măsurători geodezice.

Ecuaţiile de corecţii pentru o direcţie şi de unghi măsurat: • Pentru 2 direcţii măsurate din A spre punctele I şi K se pot scrie ecuaţiile liniare pentru direcţiile măsurate:

Ecuaţii liniare de direcţie

( ) ( ) AIIAAI

AIAI

AI

AIAAI lyy

DX

xxDY

dzv −−∆

−−∆

+−= δδρδδρ 22

cu :

Adz− - necunoscută de orientare a staţiei A;

( ) ( ) AKKAAK

AKAK

AK

AKAAK lyy

DXxx

DYdzv −−

∆−−

∆+−= δδρδδρ 22

11

IKAx ,,δ− - corecţiile coordonatelor provizorii IKAX ,,0

IKAy ,,δ− - corecţiile coordonatelor provizorii IKAY ,,0

- jil , - termenii liberi calculaţi conform relaţiei cunoscute ,0, jiji θθ −

( ) 0ijDirectia unde iij z+=θ 22 YXD ∆+∆=− din coordonate provizorii.

• Pentru un unghi măsurat în staţia A, se vor scădea cele două ecuaţii, şi va rezulta ecuaţia:

ωωωω δδδδδδ lybxaybxaybxav KKAKKAIIAIIAAA −+⋅+⋅−⋅−⋅+⋅= ,,,,

unde sau folosit notaţiile:

2,

,,2

,

,,2

,

,,2

,

,, ;; ;

KA

KAKA

KA

KAKA

IA

IAIA

IA

IAIA D

Xb

DY

aDX

bD

Ya

∆⋅=

∆⋅=

∆⋅=

∆⋅= ρρρρ

( ) ( )KAIAKAIA bbaaa ,,,, b , −=−= ωω

D = este distanţa orizontală (calculată din coordonatele provizorii) între punctele marcate prin indicii corespunzători. • Ecuaţia pentru o lungime înclinată LA,I măsurate între punctele A şi I:

( ) ( ) ( ) AILAIAI

AIAI

AI

AIAI

AI

AIAIL lzz

LZ

yyLY

xxLX

v ,, −−⋅

∆+−⋅

∆+−⋅

∆= δδδδδδ

cu : LLlL −= 0 diferenţa dintre lungimea calculată din coordonate provizorii :

2220 ZYXL ∆+∆+∆= şi lungimea măsurată. • Ecuaţiile pentru unghiurile zenitale măsurate, notate aici cu β pentru a nu face confuzii cu notaţia uzuală folosită pentru unghiul de orientare a staţiei ( )0

iz . Din relaţia generală cunoscută, unghiul zenital poate fi exprimat ca fiind egal cu:

Z

Darctg∆

=β

rezultă

( ) ( ) ( ) AIAIIA

IAAI

IAIA

IAIAAI

IAIA

IAIAAI lzz

SD

yyDSYZ

xxDSXZ

v ,2,

,

,2

,

,,

,2

,

,,, ββ δδρδδρδδρ −−−−⋅

⋅

∆∆+−⋅

⋅

∆∆=

unde : masuratAIl βββ −= 0

, ;

0β - calculat din coordonatele provizorii conform relaţiei Z

Darctg∆

=β

12

O problemă care ar trebui discutată o reprezintă stabilirea judicioasă a ponderilor.

- Ponderile pentru o direcţie măsurată se vor stabili conform relaţiei

( )( )

ts

ss

p'

2'2'

; 1 αα

α

α == eroarea madie patratică rezultată din compensarea în staţie;

- Ponderile pentru un unghi măsurat αβω pp ⋅= 5,0,..,

- Ponderile pentru lungimile măsurate ( )2'

.

Dm

ssconstp = ; cu '

Dms eroarea medie pătratică de

măsurare a aparatului, scos din cartea tehnică. Const. se va alege o constantă care să conducă la ponderi apropiate de unitate.

Prin metoda măsurătorilor indirecte vom avea deci pentru fiecare măsurătoare efectuată

în reţeaua poligonometrică câte o ecuaţie. Grupând toţi coeficienţii necunoscutelor într-o matrice A, ponderile într-o matrice diagonală P, necunoscutele în vectorul x şi termenii liberi în vectorul l , se ajunge la relaţia matricială cunoscută. lxAv −⋅= cu matricea ponderilor P care defineşte modelul stochastic compensarea are loc sub condiţia min=pvvT şi rezultă sistemul normal: 0=− PlAPAxA TT

din care rezultă: ( ) ( )PlAPAAx TT ⋅=

−1 Corecţiile se vor calcula apoi conform lxAv −⋅= Precizia în reţea va fi calculată cu relaţia cunoscută pentru abaterea standard:

un

PvvsT

−±=0

unde: =n numărul observaţiilor efectuate în reţea =u numărul necunoscutelor

Probleme de singularitate nu vor exista, întrucât reţeaua se sprijină pe puncte vechi, care fixează datumul reţelei. Acest mod de abordare este astăzi des folosit în rezolvarea reţelelor eterogene (direcţii şi unghiuri, cu distanţe măsurate) rezolvarea sistemelor mari care iau naştere prin multitudinea de elemente măsurate, ne mai reprezentând astăzi o problemă. Ca o măsură a preciziei realizate pentru fiecare punct în parte se calculează adesea “abaterea standard totală” (eroarea medie Helmert) 22

YXP sss += care este un invariant al matricei de covarianţă a necunoascutelor ( )YYXXP qqss += 2

02

Din punct de vedere geometric Ps reprezintă jumătate din diagonala dreptunghiului în care este înscrisă elipsa erorilor corespunzătoare punctului respectiv.

13

Cateva aspecte privind precizia interioara si exterioara in retelele de sprijin Eroarea medie a punctelor „ ps ” este adesea preferata în prelucrarile geodezice, întrucât exprima precizia de determinare a unui punct printr-un numar şi spre deosebire de erorile medii ale coordonatelor „ xs ” si „ ys ” este univocă, fiind invariabilă la transformări (invariant al matricei de covarianţă). În cazul prelucrării măsurătorilor prin metoda observaţiilor indirecte, eroarea medie a punctelor, se obţine relativ uşor, coeficienţii de pondere ale punctelor noi, rezultând oricum pe diagonala principală a inversei matricii sistemului normal: nivelitice retele - ,0 hihiH qss

i=

220 iiiiii yxyyxxpi ssqqss +=+= - reţele planimetrice

Majoritatea reţelelor locale, sunt în prezent prelucrate ca reţele libere, fiecare punct din reţea

fiind considerat punct nou. Calculându-se erorile medii ale punctelor în reţeaua liberă, acestea sunt semnificativ mai mici, decât cele dintr-o reţea constransă cu aceeaşi configuraţie. Este interesant de urmărit faptul, că erorile medii ale punctelor cresc atunci când se reduce numarul punctelor de constrângere în reţea acestea devenind brusc şi semnificativ mai mici. Explicaţia acestui fenomen, conduce la întrebarea: care este semnificaţia geometrică a erorilor medii ale punctelor în reţele constrânse şi libere.

a) Semnificaţia geometrică a erorii medii a unui punct într-o reţea constrânsă: - Reţele de nivelment:

Eroarea medie a altitudinii iHs a unui punct nou este egală cu eroarea medie a diferenţei

de nivel dintre punctul nou şi un punct vechi iP . functii) unei (eroarea

iIRN HHRNIIRN ssHHH =⇒−=∆−∆−

- Reţele planimetrice: În reţele planimetrice constrânse, pentru eroarea medie

iPs a unui punct nou iP de coordonate

iPX şi iPY se pot da două explicaţii:

1. Prima rezulta din creşterile de coordonate: APPAPPA YYXXX

iiii−=∆−=∆ A,, Y

conform legii de propagare a erorilor obţinem:

iPiPiPiPA YXX sss == ∆∆ A,, Ys

şi cu aceasta : 2222

,, PiPiiPAiPAi YXYXp sssss +=+= ∆∆ deci eroarea medie a unui punct nou spi este

egala cu radicalul sumei erorilor medii patratice a diferenţelor de coordonate între punctul nou Pi şi un punct vechi oarecare.

14

2. Considerând acum legatura între punctul vechi şi punctul nou exprimat prin coordonate polare:

ii PAPAD ,, si θ

unde ( ) ( )22, APAPPA YYXXD

iii−+−= respectiv

AP

APPA XX

YYarctg

i

i

i −−

=,θ

rezultă prin aplicarea legii de propagare a erorilor:

2,

22,

22

2

2

2

2 sincosiPiiPiiP

i

i

iP

i

iiPA YPAXPAY

PA

APX

PA

APD sss

DYY

sD

XXs ⋅+⋅=

−+

−=

−−− θθ

( )2,

22,

2

,2

2

2

2,

2

2

2,

2 cossin1,

iPiiPii

iP

i

i

iP

i

iiPA YPAXPA

PAY

PA

APX

PA

AP ssD

sD

XXs

DYY

s ⋅+⋅=

−+

−−= θθθ

Dacă considerăm că influenţa erorii orietării actioneaza ca o eroare transversală corespunzătoare distantei

iPAD , , rezultă: 2

,22

,2

, cossin,, iPiiPiiPAiiPA YPAXPAPAq sssDs ⋅+⋅±== θθθ

Deci eroarea medie totală va fi:

) ( )( =+++±=+ 2,

2,

22,

2,

222 cossinsincos,, iPiiiPiiiPAiPA YPAPAXPAPAD ssss θθθθθ

iiPiP PYX sss =+= 22

rezultă deci că eroarea medie totala iPs este egală cu radicalul sumei erorii medii a distanţei şi a

erorii medii a orientării dintre punctul nou iP şi un punct vechi oarecare.

b) Semnificaţia geometrică a erorilor medii a unui punct într-o reţea liberă. - Reţele de nivelment: Semnificaţia geometrică de la punctul a), nu se mai poate folosi neavând puncte vechi. Dacă calculăm însă diferenţa de nivel între un punct nou şi altitudinea medie a tuturor punctelor din reţea (centrul de greutate al altitudinilor, punctelor reţelei atunci obtinem in cazul unei retele cu

pn puncte noi: B – Baricentru

∑=

− −⋅−

=+++

−=∆pn

ii

nB H

nH

nn

nHHH

HH2

121

1111.....

+−

−−

−

−

=∆∆ nBBBB HHHHp

HHHH qn

nqn

nq

nnq

1211111 22

2 12.....1

21

nnn HHHHHH q

nq

nq

n 22211.....1

222++++

sau, grupând convenabil termenii:

15

( )++++−

−=∆∆ nBB HHHHHHHHHH qqqnnqq

121111111.....12

2

( )+++++nHHHHHH qqq

n 22221..........1

2

( )

nnn HHHH qqn

+++ ...................112

În cazul reţelelor libere parantezele sunt egale cu zero şi rezultă:

1111 HHHH qq =∆∆ sau 111 HHH ss =∆∆

Se poate concluziona, că eroarea medie a altitudinii unui punct nou

iHs într-o reţea liberă, este egală cu eroarea medie a diferenţei de nivel între punctul respectiv şi centrul de greutate (cota medie) a tuturor punctelor din reţea. - Reţea planimetrică Urmând raţionamentele de mai sus, se obţine în mod asemănător:

1111 XXXX qqBB=∆∆ respectiv

1111 YYYY qqBB=∆∆

şi deci:

11 XX ssB=∆

11 YY ssB=∆

iiiBiBiYXYXP sssss 2222 +±=+±= ∆∆

sau folosindu-ne de forma de exprimare prin coordonate polare:

( ) ( ) =+++±=+±iiiiii YYiiXXiiqD qqsss θθθθ

θ

22220

22 cossinsincos

iiiii pYYXX sqqs =+±= 0 Se poate concluziona, că într-o reţea planimetrică liberă, eroarea medie

ips a unui punct este egală cu radicalul sumei patratelor erorilor medii ale creşterilor de coordonate între punctul considerat şi centrul de greutate al reţelei - sau cu radicalul sumei patratelor erorilor distanţei şi a orientării dintre punctul considerat iP şi centrul de greutate. Concluzii - Eroarea medie totala a unui punct: iiH qss

i 0= - pentru reţele de nivelment,

iiiii YYXXp qqss += 0 - pentru reţele planimetrice,

16

are semnificaţii total diferite în reţele constrânse şi în reţele libere, deşi forma de exprimare este aceeaşi.

- În reţele de aceeaşi configuraţie, dar prelucrate ca reţea constransă şi liberă, comparaţii între erorile medii totale nu au sens, ele având semnificaţii geometrice diferite.

- Pentru a scoate în evidenţă aceasta deosebire, sp este denumit în reţele libere „eroare medie interioară a punctelor”.

Pe lângă preciziile totale ale punctelor, în reţele locale adesea se mai prezintă şi precizia întregii reţele. Pentru aceasta se foloseşte media patratică a tuturor erorilor punctelor ”n”din reţea.

În reţele constrânse aceasta se numeşte „eroarea medie exterioară a reţelei” , iar

în reţele libere „eroare medie interioara a reţelei”. Comparaţii între aceste doua mărimi nu au sens, ele referindu-se la semnificaţii geometrice total diferite.

Criteriul „siguranţă sau încrederea” ≡„O măsură a calităţii – care se referă la controlul datelor intrate în compensare, dacă sunt afectate de efecte anormale” - O.HEUNK

Toate măsurătorile şi calculele într-o reţea trebuie astfel efectuate, încât valorile obţinute pentru poziţia punctelor să fie de încredere, sigure (controlabile daca sunt afectate de valori externe). Pentru evitarea valorilor externe în setul de observaţii, încă din faza de teren se asigura urmatoarele:

a) măsurători de control; b) transferul controlat al datelor; c) automatizarea fluxului de date; d) utilizarea unor programe verificate care asigură controale intermediare. Parametrii cei mai importanţi pentru analiza siguranţei (încrederii) sunt:

1) contributul la redundanţă (contributul fiecarei masuratori în parte la totalul supradeterminarilor din reţea); 2) încrederea interioară a valorilor măsurate (posibilitatea de control a valorilor masurate)

3) încrederea exterioară a coordonatelor (influenţa maximă a valorii externe nedepistate asupra coordonatelor).

1. Contributul la redundanţă ir : Numărul supradeterminarilor într-o reţea se distribuie asupra tuturor măsurătorilor.

Cotributul la redundanţă pentru o măsuratoare depinde de precizia ei şi de legaturile geometrice din vecinatatea valorii măsurate. El se calculeaza cu relaţia:

( )( )i

iiiVVi ls

lspqrii 2

0

201−=⋅= T

XXll AAQ θ= ; llVV QPQ −= −1

=iiVVq cofactorul corecţiei masuratorii il

=iip ponderea observatiei il

( )ils0 = abaterea standard a valorii măsurate după compensare (a posteriori) ( )ils0 = abaterea standard a valorii măsurate il înainte de compensare (a priori)

( )∑∑ +== YYXXpR qqn

ssn

s 110

2

17

Contributul la redundanţă are următoarea semnificaţie: - ce contribut are o măsuratoare la redundanţa totală - cu ce expresivitate se răsfrânge o eroare din măsuratoarea respectivă, asupra conrecţiei

sale. ir este adimensional şi este mereu cuprins în intervalul (0,1).

“0” înseamnă că nu există supradeterminare pentru determinarea unui punct, iar “1” înseamnă că punctul este 100% supradeterminat şi măsurătoarea redundantă nu contribuie cu nimic la determinarea punctului. Din valoarea contributului la redunţă se poate trage concluzia: câte părţi dintr-o eventuala eroare externă se răsfrânge în corecţia măsurătorii respective. Cu cât ir este mai mare, cu atât şi oeroare se va răsfrânge mai puternic în corecţia corespunzatoare. Pentru a asigura ir cât mai bune (0,3-0,6) este necesar ca în reţea să se asigure măsurători suplimentare independente. 2. Încrederea interioară Încrederea interioară cuprinde aşa numitele procedee şi tehnici de depistare a erorilori mari (valori externe). Controlul reciproc al măsurătorilor se face prin teste statistice. Testarea se face cu valorile corecţiilor iv , folosind relaţia:

( ) ( ) il

i

V

ii rs

vs

vw

ii⋅

==00

de la care se pretinde a avea o distribuţie normală, şi care devine mărimea de testat (statistica). Ea se compara cu V.L.T.D.- valoarea limita pentru testarea datelor (VLDS - valoarea limită pentru “data snooping”[Baarda]). Din experienţa practică, pentru reţele planimetrice de ridicare valoarea limita pentru testarea datelor (V.L.T.D.) este considerată de regulă ca fiind egală cu 3,6. Dacă: iw >VLTD atunci măsurătoare „i” este bănuită a fi afectată de o valoare externă. Pentru a depista o valoare externă, se calculează o valoare limita

il∇ , care depinde de datele

iniţiale ale testului, de precizia de măsurare şi de contributul la redundanţă.

( )ii li

l sr

VLTD0⋅=∇

Erori mari (valori externe) care sunt mai mici decât il

∇ nu mai pot fi depistate. il

∇ fiind dependent de contributul la redundanţă, este bine şi se tinde în lucrările geodezice ca ir să fie cât mai mare pentru a obţine valori

il∇ cât mai mici.

Exemplu: i

ccl ri

6,37 ⋅=∇ pentru un set de directii masurate cu o precizie de 7cc.

ir ( )cc

li∇

0,06 102,9 0,08 89,1 0,1 79,7 0,3 46,0 0,5 36,1 0,8 28,2 1,0 25,2

18

3. Încrederea exterioară: Erorile care sunt mai mici decat

il∇ nu mai pot fi depistate. În cazul cel mai nefavorabil când

eroarea este egala cu il

∇ , eroarea în coordonate sau a unor funcţii ale acestora, se numeste “încrederea exterioară”. Încrederea exterioară a coordonatelor ofera numai informaţii în sensul celor două axe de coordonate. La rotaţii ale sistemului de axe, ar rezulta evident alte valori.

Exemplul 2: Într-o reţea eterogenă (triangulaţie-trilateraţie) s-a modificat succesiv din 5cc

în 5cc valoarea direcţiei P002 – R002. Valoarea măsurată a acestei direcţii a fost 35.2264g. Direcţia a fost depistată ca valoare externă, când a fost modificată cu - 35cc.

NR.OBS. Pct.ST. Pct.Vizat Dir.Comp. V AB.STD. REDUNDANŢA NAB.L NVi (GR.) (cc) (cc) (cc) 1 P002 P005 399.9999 - 1 4 0.85241 40 0.07 2 P006 13.4442 8 4 0.85822 40 0.91 3 P004 12.5463 - 16 4 0.86502 40 1.76 4 P003 24.4800 - 11 4 0.86460 40 1.21 5 R002 35.2269 5 4 0.86603 39 0.55 6 R007 40.8176 4 4 0.86216 40 0.40 7 R001 48.3303 - 8 4 0.85851 40 0.91 8 R001 128.7000 6 6 0.67136 45 0.77 9 R003 322.2175 13 6 0.65092 46 1.63

NR.OBS. Pct.ST. Pct.Vizat Direcţia V AB.STD. REDUNDANŢA NAB.L NVi (GR.) (cc) (cc) (cc)

1 P002 P005 399.9996 - 4 4 0.85241 40 0.46 2 P006 13.4439 5 4 0.85822 40 0.50 3 P004 12.5459 - 20 4 0.86502 40 2.17 4 P003 24.4796 - 15 4 0.86460 40 1.63 5 R002 35.2265 35 4 0.86603 39 3.72 Valoare externă şi depistată după ce a fost modificată cu 35cc 6 R007 40.8172 0 4 0.86216 40 0.04 7 R001 48.3299 - 12 4 0.85851 40 1.34 8 R001 128.6997 3 6 0.67136 45 0.36 9 R003 322.2172 10 6 0.65092 46 1.26

19

3.3. Reţele locale tridimensionale 3.3.1. Mărimi geodezice în reţele tridimensionale Pornind de la principala problemă geodezică, de determinare a coordonatelor unui punct

iP referitor la un punct cunoscut 0P , în cazul reţelelor tridimensionale se vor considera două sisteme de coordonate topocentrice, care au originea în punctul 0P .

Figura 3.1 Axele sunt definite după cum urmează: Sistemul topocentric astronomic: Axa u – este orientată spre Nord astronomic Axa v – este perpendiculară pe axa u şi este orientată spre Est Axa w – este orientată spre zenitul astronomic (în sens opus direcţiei verticalei) Sistemul topocentric elipsoidal: Axa x – este orientată spre Nordul geodezic Axa y – este perpendiculară pe axa x şi este orientată spre Est Axa z – este orientată spre zenitul geodezic (în sensul opus normalei la elipsoid)

Cele două sisteme se deosebesc deci după modul în care este definită direcţia Nord şi zenitul. Ambele deosebiri pot fi interpretate ca deviaţii ale verticalei.

În sistemele topocentrice putem defini poziţia unui punct iP prin coordonatele sale polare:

Sistemul astronomic: Sistemul elipsoidal: A - azimutul astronomic α - azimutul elipsoidal

Az - unghiul zenital corectat cu unghiul de refracţie Ez - unghiul zenital elipsoidal

rS - lungimea spaţială rS - lungimea spaţială

20

O explicitaţie pentru mărimile introduse poate fi urmărită în figura 3.2. Unghiul zenital măsurat z nu apare în figură ci doar unghiul zenital corectat de refracţie Az : β+= zz A cu : =β ungiul de refracţie. În mod similar nu apare drumul optic L - care de fapt se măsoară - ci direct distanţa spaţială.

Figura 3.2

Toate măsurătorile de teren se fac în sistemul astronomic, fiindcă numai acesta este

definit pe baze fizice şi poate fi realizat în realitate. Însă o prelucrare practică a măsurătorilor într-o reţea geodezică, este posibilă numai într-un sistem de referinţă simplu, cum este sistemul elipsoidal.

Trebuie deci să stabilim într-o primă etapă diferenţele unghiulare între sistemul astronomic şi sistemul elipsoidal, şi după aceea să transformăm elementele măsurate.

Deviaţia verticalei

Normala la elipsoid formează cu verticala locului în punctul P un unghi denumit deviaţia verticalei – notat aici cu ε.

Dacă prin punctul P se consideră o sferă cu raza egală cu unitatea, atunci o paralelă la axa Pământului va înţepa această sferă în punctul N. Punctul de intersecţie a sferei cu normala la elipsoid va fi EZ , definit ca poziţie prin : si λϕ

−ϕ latitudinea elipsoidală −λ longitudinea elipsoidală Verticala locului va înţepa sfera în punctul AZ cu unghiurile care-l definesc ΛΦ si , −Φ latitudinea astronomică −Λ longitudinea astronomică.

21

Figura 3.3

În triunghiul sferic AE ZZN ,, poate fi determinată acum deviaţia verticalei ε, respectiv componentele acesteia ξη si :

ϕξ −Φ= (3.1) ( ) ϕλη cos−Λ= şi de aici:

22 ηξε += (3.2) Cele două componente ηξ si pot fi interpretate ca mici unghiuri de rotaţie , cu care se poate face trecerea de la sistemul topocentric elipsoidal în sistemul topocentric astronomic. Cel de-al treilea unghi de rotaţie ψ în jurul axei verticale este unghiul diferenţă între direcţia nord astronomic şi nord geodezic. Acest lucru este plauzibil dacă considerăm un instrument geodezic instalat şi calat în punctul P . Axa principală de rotaţie a instrumentului va coincide cu verticala locului. Faţă de normala la elipsoid, instrumentul va avea o eroare a axei principale ε . Dacă cu teodolitul s-ar viza polul ceresc, atunci componenta η pe direcţia est-vest va fi ca o eroare de neverticabilitate a axei principale pe această direcţie. Întrucât polul ceresc va apare sub unghiul zenital 900, rezultă din relaţia cunoscută de la topografie (influenţa asupra lecturilor de pe limb a înclinării axei principale de rotaţie) ( ) ϕλϕηψ sin ⋅−Λ=⋅= tg (3.3)

3.3.2 Relaţii de transformare între coordonate polare topocentrice

Vom căuta o transformare a coordonatelor polare topocentrice, din sistemul astronomic, în sistemul elipsoidal. Transformarea se poate face referitor la fig. 3.1 conform relaţiilor:

=

=

Ar

Ar

Ar

zSAzSAzS

wvu

usin

sinsincossin

(3.4)

Ecuaţiile de transformare vor fi deci:

22

⋅=⋅=

=

wvu

RuRzyx

x (3.5)

unde R este o matrice de rotaţie (pentru unghi de rotaţii mici):

−−−=

11

1

ηξηψξψ

R (3.6)

Coordonatele polare spaţiale în sistemul elipsoidal, pot fi calculate din coordonatele carteziene:

xyarctg=α (3.7)

z

yxarctgzE

22 += (3.8)

222 zyxSr ++= (3.9) Prin înlocuirea lui (3.4) şi (3.6) în (3.5) şi neglijarea unor termeni nesemnificativi, rezultă relaţiile de legătură: ( ) Φ⋅−⋅⋅−+= tgzctgAAA A ηξηα sincos (3.10) Asin cos ηξ ++= Azz AE (3.11) rr SS = (3.12)

Concluzii: - Distanţa spaţială rS este invariabilă în cadrul transformărilor între două sisteme topocentrice – adică nu este afectată de deviaţia verticalei; - atât azimutul elipsoidal α, cât şi unghiul zenital elipsoidal Ez diferă de mărimile astronomice corespondente. Dacă componentele deviaţiei verticalei ηξ si sunt cunoscute într-un punct, atunci aceste diferenţe între sisteme sunt funcţii ale azimutului şi a unghiului zenital; - independent de mărimea deviaţiei verticalei, termenul al doilea din relaţia (3.10) dispare când vizele sunt orizontale ( )090=Az . - diferenţele dintre coordonatele polare topocentrice astronomice şi elipsoidale tind spre zero, când componentele deviaţiei verticalei ηξ si tind spre zero. 3.3.3. Relaţiile care există între diferenţe de nivel artometrice şi elipsoidale

Din relaţia (3.5) se poate deduce o relaţie între diferenţele de nivel ortometrice şi cele elipsoidale corespondente.

În figura 3.4. (stânga) este definită diferenţa de nivel ortometrică H∆ a unui punct P faţă de punctul 0P . Raţionamentul introdus aici se bazează pe faptul că suprafeţele de nivel – inclusiv suprafaţa de nivel de referinţă – s-au putut aproxima destul de precis prin suprafeţe sferice. Acest lucru ar putea fi îndeplinit în reţele locale, la distanţe între puncte de cca. 3 km.

23

În partea dreaptă a figurii este prezentată în mod similar diferenţa de nivel h∆ elipsoidală. Diferenţa de nivel se referă aici la o suprafaţă paralelă la elipsoidul de referinţă, care pentru zone restrânse poate fi asimilată cu o suprafaţă sferică.

Fig.3.4. Diferenţe de nivel ortometrice şi elipsoidale în sistemele de coordonate

topocentrice. Presupunând acum că cele două suprafeţe de referinţă au aceeaşi rază de curbură, rezultă din figurile 3.4 relaţia:

zh

wH ∆

=∆ (3.13)

Relaţia pentru mărimea z scoasă din (3.5) şi (3.6)

wvuz +⋅−⋅−= ηξ (3.14) poate fi restrânsă sub forma:

vuHh ⋅−⋅−∆=∆ ηξ (3.15) sau,dacă se folosesc coordonatele în sistem elipsoidal:

yxHh ⋅−⋅−∆=∆ ηξ (3.16)

De asemenea se poate remarca din figura 3.4, că în cazul suprafeţelor cu întindere redusă, măsurătorile de nivelment trigonometric oferă diferenţe de nivel ortometrice, când deviaţia verticalei nu este luată în considerare. 3.3.4. Aspecte practice referitoare la măsurătorile efectuate în reţele tridimensionale În reţele tridimensionale toate măsurătorile efectuate într-o reţea pot fi prelucrate în bloc, cum ar fi de exemplu:

- coordonate polare topocentrice: direcţii orientate sau neorientate, unghiuri zenitale şi lungimi spaţiale;

- diferenţe de nivel ortometrice rezultate din nivelment geometric sau în cazuri speciale din nivelment trigonometric.

24

S-a arătat aici cum aceste măsurători pot fi transformate în mărimi elipsoidale. Hotărâtoare rămâne însă concluzia că abordarea tridimensională a unei reţele are sens numai atunci când deviaţia verticalei în punctele reţelei este cunoscută şi acest lucru se întâlneşte destul de rar. Din această dilemă, în funcţie de cerinţele care se ridică, există trei ieşiri:

a) Măsurarea deviaţiei verticalei: În reţelele naţionale, determinarea pe cale astronomică a deviaţiei verticalei rămâne

singură soluţie, densitatea punctelor în care se fac astfel de determinări fiind dependentă de relief. În teren şes este suficientă determinarea deviaţiei verticalei în puncte alese arbitrar, pentru restul putându-se efectua interpolări. În terenuri accidentate densitatea acestor determinări trebuie să fie însă mult mai mare.

b) Apelarea la sisteme de sprijin locale: În reţelele special întocmite pentru lucrări inginereşti se aleg sisteme locale care ulterior

sunt transcalculate în sistemul naţional. Până în prezent s-a remarcat că o separare a sistemelor de referinţă pentru planimetrie şi altimetrie, rămâne încă de actualitate fiindcă:

- elipsoidul ca suprafaţă de referinţă pentru altimetrie nu este adecvat, acesta nefiind o suprafaţă de nivel;

- suprafeţele de nivel nu pot fi reprezentate geometric şi deci nu pot constitui suprafeţe de referinţă pentru planimetrie;

- sisteme de referinţă intermediare nu au fost până în prezent suficient de bine studiate. Este însă de dorit ca sistemele de referinţă pentru planimetrie şi relief să coincidă pe cât

posibil. Această situaţie este realizabilă în următoarele situaţii: - unghiul de deviaţie a verticalei într-un punt fundamental 0P este foarte mic sau chiar

eliminat; - diferenţele dintre cotele ortometrice şi elipsoidale sunt foarte mici şi pot fi egelate în

punctul fundamental 0P . În această situaţie suprafeţele de referinţă pentru planimetrie şi altimetrie se interpătrund în

punctul 0P′ .

Figura 3.5

În sisteme locale înlocuirea elipsoidului de referinţă printr-o sferă, poate fi acceptată fără

diminuarea preciziei. Munca laborioasă pentru determinarea deviaţiei verticalei poate fi eliminată sau redusă,

dacă prelucrările se efectuează în sisteme locale. Suprafeţele de referinţă pentru planimetrie şi altimetrie se deosebesc în acest caz doar printr-un unghi mic δ de curbură a verticalei în punctul fundamental. Deviaţia verticalei rămâne în zone de întindere redusă şi în teren plan de cele mai multe ori sub precizia de măsurare şi poate fi considerată zero.

0==ηξ (3.17)

25

În zone muntoase însă şi pe suprafeţe mai întinse, această simplificare nu este acceptabilă

şi singura soluţie rămâne determinarea deviaţiei verticalei prin metode astronomo-geodezice. c) Sisteme de referinţă quasi-locale, incluse în sistemul de referinţă naţional. În practică, când se lucrează în sistemul de coordonate naţional, adesea se renunţă în

calcule la includerea deviaţiei verticalei, aceasta nefiind de regulă cunoscută. Se remarcă deci că de fapt suntem în situaţia unui sistem de referinţă quasi-local. Se procedează deci voit ca în cazul precedent. Nu vor apare deci nici aici complicaţii, atâta timp cât terenul este plan şi suprafată nu este prea mare.

Complicaţii pot apare atunci când reţeaua este compensată ca o reţea locală şi se încearcă încadrarea ei în reţeaua naţională. Din acest motiv se recomandă ca încadrarea să se efectueze tot timpul printr-o transformare Helmert şi nu prin constrângeri.