Las raíces y radicales en libros de texto en Chile (1969–2009)1. Un análisis longitudinal de un contenido matemático específico y de su Transposición Didáctica

Roberto Vidal Cortés2.

Resumen

I. ¿Qué trata la Investigación? Se realizó un análisis de los libros de texto de mayor uso en Chile entre 1969 y 2009, respecto del tratamiento del álgebra de radicales, contenido que presenta rupturas del saber matemático con el saber escolar. El álgebra de radicales es un contenido que presenta confusiones conceptuales en el profesorado de matemáticas (Vidal, 2006). A partir de estos y otros antecedentes, se consideró como un problema de importancia el identificar y caracterizar cómo los libros de texto están proponiendo la enseñanza del álgebra de radicales, observando si las rupturas mencionadas se mantienen en el tiempo o se han subsanado, lo que proporciona el objetivo central de la investigación.

El marco de referencia en que se sustenta la investigación corresponde a la Teoría de la Transposición Didáctica (Chevallard, 1991), pues brinda la óptica necesaria para el estudio de las modificaciones que sufre el saber científico para convertirse en un saber enseñado.

II. ¿Cómo se realizó la Investigación?

La tesis se enmarca en el paradigma cualitativo, que alberga a la investigación histórica en educación, utilizando las técnicas de análisis histórico - crítico y de análisis de contenido. La muestra de libros de texto es intencionada y por conveniencia y estuvo constituida por un total de 20 obras. Para recoger los datos, se elaboraron, validaron y aplicaron dos tipos de matrices, una para recopilar información general de identificación y contexto del libro y otra destinada a recoger los datos para el posterior análisis del tratamiento del álgebra de radicales. Se incorporó también la descripción e interpretación de los programas ministeriales para obtener una segunda fuente, de modo que junto al Saber Erudito de referencia se pudiera establecer una triangulación que levantara la existencia de rupturas en el proceso de transposición didáctica. III. ¿Qué se Obtuvo? Se encontraron discursos contradictorios en un mismo libro de texto, demostraciones de teoremas con errores lógicos, errores conceptuales debidos a recortes del saber erudito que omiten las restricciones de los campos de validez de las propiedades de los radicales, tratamientos en su mayoría axiomáticos o seudo-axiomáticos y actividades mayormente de tipo mecanicista, lo que hace entrever que no se ha superado la visión de las matemáticas en un plano netamente instrumental – operativo (Labarrere y Quintanilla, 2006).

1 Tesis Doctoral defendida en Diciembre de 2009 bajo la dirección del Doctor Mario Quintanilla. Programa de Doctorado en Ciencias de la Educación. Pontificia Universidad Católica de Chile. 2 Doctor en Ciencias de la Educación PUC. Magíster en Didáctica de la Matemática PUCV. Profesor de Matemáticas UMCE. Académico de la Facultad de Educación de la Universidad Alberto Hurtado y de la Universidad de Los Andes.

A nivel evolutivo desde 1969 a 2009, se pudo identificar y caracterizar el tratamiento del álgebra de radicales en los programas ministeriales, del siguiente modo: No introducen errores de tipo conceptual, se pasa de un paradigma estructuralista (1965 – 1981)3 a uno mecanicista (1981 - 2000)4 y luego posterior al año 20005, a una línea que tiende a recuperar las matemáticas desde la resolución de problemas en contacto con el mundo real, pero las presentaciones siguen siendo en su mayoría de tipo expositiva. En relación a los libros de texto, un cambio importante se manifiesta en que la autoría en los dos primeros períodos corresponde a profesores de matemáticas en su mayoría, mientras que en el tercer período predominan matemáticos profesionales. Respecto al álgebra de radicales propiamente tal, hay avances respecto al uso de diversas representaciones al introducir la noción de función raíz cuadrada y raíz cúbica. En el último período se abandonan muchas de las propiedades, siendo la multiplicación y división de radicales las únicas que permanecen en los textos actuales. También disminuyen las demostraciones de las propiedades que en el primer período era materia obligada, pero hay un enmarcado énfasis en situaciones aritméticas más que algebraicas. Referencias Bibliográficas Assude, T. (1992). Un phénomène d’arrêt de la trasnposition didactique. Ecologie d’object «Racine Carrée» et analyse du curriculum. Tesis para optar al grado de Doctor en Didáctica de la Matemática de la Informática. Université Joseph Fourier. Grenoble I. Francia. Bourbaki, N. (1964). Élements de Mathematiques. Álgebre. Hermann. París. Francia. Brousseau, G. (1986): “Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques”. Recherches en Didactiques des Mathématiques, 7 (2), 33 -115. Chevallard, Y., Johsua, M.A. (1991) : « La Transposition didactique du savoir savant au savor enseigné ». La pensee sauvage, editions. Francia. Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997): “Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje”. ICE-Horsori. Barcelona. Chevallard, Y. (1992): “Concepts Fondamentaux de la Didactique: Perspectives apportées par una approche Anthropologique”. Recherches en Didactiques des Mathématiques, 12 (1), 73 -112. Gómez, B. (2000): Los Libros De Texto De Matemáticas. Números, 43-44, 77-80. Labarrere, A. y Quintanilla, M. (2006) La solución de problemas en el aula. Reflexiones sobre los planos de análisis y desarrollo. Revista Pensamiento Educativo, Vol.30, Págs., 121-138, Chile Maz, A. (2000) Tratamiento dado a los números negativos en libros de texto publicados en España en los siglos XVIII y XIX. Granada. Universidad de Granada. Vidal, R. (2006): “Concepciones de los profesores de educación media acerca del objeto de enseñanza Raíz Cuadrada, Una mirada desde la Transposición Didáctica”. Tesis para optar al Grado de Magíster en Enseñanza de las Ciencias con Mención en Didáctica de la Matemática. Instituto de Matemáticas. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Valparaíso, Chile. 3 Primer período 4 Segundo período 5 Tercer Período