RESUMEN PSU MATEMÁTICAS

Números y Proporcionalidad Álgebra y Funciones

lN : números naturales {1, 2, 3...}

Reglas de Divisibilidad

- 2 : si termina en 0 o en cifra

par.

- 3 : la suma de sus cifras es

múltiplo de 3.

- 4 : sus dos últimas cifras son 00

o múltiplo de 4.

- 5 : si termina en 0 o en 5.

- 6 : si lo es por 2 y por 3 a la

vez.

- 7 : la última cifra de la derecha

se multiplica por 2 y se resta

de las cifras restantes, si la

diferencia es 0 o igual a 7,

entonces es divisible.

- 8 : las tres últimas cifras son

000 o es múltiplo de 8.

- 9 : la suma de sus cifras es

múltiplo de 9.

- 10 : si termina en 0.

( )

Grado de un término: se suman los

exponentes de sus letras.

Grado de un polinomio: se considera el

grado del término más alto.

Productos Notables:

( ) =

( )( )

( )( )

( )( )

Factorización:

Trinomio : el producto de

los dos factores hallados es c, la suma

de los dos factores corresponde a b.

Trinomio de un cuadrado perfecto:

Hallar la raíz del primer y segundo

término.

Trinomio cualquiera: el recíproco del

número que acompaña al primer

Números primos : son aquellos

divisibles por 1 y por el mismo

número.

{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23...}

Números compuestos : son aquellos

divisibles por 1, por el mismo y por

otros números.

{4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}

* El 1 no es primo ni compuesto.

Teorema Fundamental de la

Aritmética : Todo número compuesto

se puede descomponer de manera

única como el producto de números

primos.

M.C.M. : El menor número natural

que es múltiplo de cada uno de los

números dados.

M.C.D. : El mayor número natural

que divide a cada uno de los

números dados.

lN0 : números cardinales {0,1,2}

Z : números enteros {-2, -1, 0,1}

Son todos los lN0 más su parte

negativa.

Número par : 2p

Número impar : 2p+1

cuadrado se multiplica por trinomio

completo y éste por el número que

acompaña al primer cuadrado.

Ecuaciones: se encuentran tres tipos de

soluciones o raíces.

a 0, tiene 1 raíz

a y b = 0, infinitas

a=0 y b 0, no tiene

Interpretación Algebráica:

n° par 2x es =

n° impar 2x+1 mayor

que

>

cuociente a/b Menor

que

<

exceso de

a sobre b

a-b

no es

mayor

≤

la mitad x/2 a lo

más

≤

aumen

tado en

a+b no es

menor

≥

de, del al

menos

≥

Par + Par = Par

Par + Impar = Impar

Impar + Impar = Par

* Primos relativos : números cuyo

M.C.D es 1.

Valor absoluto de un entero :

| x | x , si x ≥ 0

-x , si x < 0

Propiedades en Z :

Adición y sustracción : se realiza la

operación conservando el signo del

número mayor.

( a, b, c Z)

Clausura : - (a + b) Z

- (a b) Z

Asociativa : - (a+b)+c = a+(b+c)

- (ab) c = a (bc)

Elemento neutro : - 0 + a = a

- a1 = 1a = a

Desigualdades e Inecuaciones

Tricotomía : si se tienen dos números

reales entonces se cumple solo una de

las siguientes propiedades.

a > b ; a = b ; a < b

Transitiva: a, b, c lR, entonces

i) a < b y b < c a < c

ii) a > b y b > c a > c

Propiedad: al multiplicar por una

cantidad mayor que 0, la desigualdad se

mantiene, si la cantidad es menor que

0, la desigualdad cambia.

Propiedad: al transformar la

desigualdad a sus respectivos

recíprocos, cambia el signo, solo si

estos son números positivos.

Propiedad:

a, b lR+, a < b /( ) =

a, b lR-, a < b /( ) =

Elemento inverso: - a-a=-a+a=0

- no existen

Inversos

multiplicativos

en Z.

Conmutativa : - a + b = b + a

- a b = b a

Distributiva : - a(b+c)=ab + ac

(Q) números racionales : todos

aquellos números que pueden

represetarse como fracción (

)

siendo a y b números enteros y b

distinto de 0.

; a es el numerador y b el

denominador.

Fracción propia : si | a | < | b |

Fracción impropia : si | a | > | b |

Equivalencia de números racionales

ad = bc

Relación de orden:

Número mixto :

Sistema de Inecuaciones: se resuelven

las inecuaciones por separado y luego

se intersectan las soluciones.

Propiedades del valor absoluto:

|x| 0 ; |-x| = |x| ; √ = |x|

Si a>0 [|x| = a (x = a v x = -a)]

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelve la inecuación (<, >) por

separado |a + b|

(a+b) = x ; (a+b) = -x

y se unen los resultados.

Inecuaciones con igual signo =

Inecuaciones con ≠ signo =

Sistema de coordenadas cartesianas y

Ecuaciones Lineales en dos variables:

y (ordenadas)

II I

x (abscisas)

III IV

Ecuación de la Recta: y= mx + n

Opuesto aditivo de

Recíproco o inverso de

= [

]

=

Finito: cantidad limitada

De cifras decimales.

Decimal Infinito periódico:

tiene una parte

entera más el periodo

Infinito semiperiodo:

parte entera, antepe-

riodo y un periodo.

Ej. 0,1 =

; 0,01 =

Ej.

Ej.

(Q*) números irracionales : no

pueden representarse como fracción,

no son exactas ni periodicos.

Ej. √ √ , etc.

Donde m es la pendiente y n el

coeficiente de posición. (punto en el

que intersecta al eje Y)

Dados los puntos (x1,y1) y (x2,y2), la

pendiente se calcula así:

m =

Casos :

m<0 n>0 m>0 n>0

m>0 n=0 m=0 m=∞

* Se ve de izquierda a derecha.

Ecuación de la recta que pasa por dos

puntos : (x1,y1) y (x2,y2)

Ecuación de la recta dado punto-

pendiente: (x1,y1)

y - y1 = m(x - x1)

Aproximaciones :

- Por defecto : más pequeño

que el número original.

- Por exceso : más grande que el

número original.

Redondeo : la cifra de orden n se

deja como está si la siguiente cifra es

menor que 5, y si es mayor o igual a 5

se aumenta una unidad.

Truncamiento : se eliminan las cifras

posteriores a la coma.

Cifras decimales: 1, 2 3 4 5 6

1: unidad

2: décima

3: centésima

4: milésima

5: diez milésima

6: cien milésima

Notación Científica : el producto

entre un número entre 1 y 10 y una

potencia de 10. El exponente de

dicha potencia corresponde a la

cantidad de ceros.

Ej: 10 = 0,02

Ej: 10 = 100

Rectas Paralelas, coincidentes y

perpendiculares:

Paralelas: Cuando las pendientes de las

rectas son iguales y sus coeficientes de

posición distintos.

L1: y = m1x + n1

L2: y = m2x + n2

* Una recta que es paralela al eje x,

tiene pendiente 0.

Coincidentes: Cuando sus pendientes

son iguales y sus coeficientes de

posición también.

Perpendiculares: L1 L2 cuando m1·m2

= -1.

Distancia entre dos puntos:

d =√( ) ( )

Ecuación del punto medio:

(lR) números reales : Q Q*

Q* + Q* = Q*

Q* Q* = depende

Q* : Q* = depende

Razones y Proporciones

Razón : comparación entre dos

cantidades mediante una división.

a : b = K , donde a es el

antecedente y b el consecuente.

Proporción : igualdad de dos razones.

a : b = c : d , donde a y d son

extremos, y b y c son medios.

Teorema Fundamental:

a d = b c

√

√

√

√

Potenciación:

BASE

exponente positiva negativa

par + +

impar + -

Propiedades:

( )

Radicación:

Suma y resta de raíces: Solo se pueden

sumar y restar raíces semejantes.

Producto y división de raíces:

Del mismo índice:

lR Q

lN+

0

lN- Q*

Serie de razones : igualdad entre más

de dos razones.

Proporción discontinua : todos los

términos son distintos y cada uno de

estos se llaman cuarta proporcional.

Proporción contínua : sus términos

medios o extremos son iguales; el

término repetido se llama media

proporcional y los no repetidos,

tercera proporcional.

Proporción directa :

Línea recta que

pasa por el

origen.

Proporción inversa : a b = k

y

Corresponde a

una hipérbola

equilátera.

√

√

√

√

√( ) ( )

√

√

√√

√

√

De distinto índice:

Raíz de una raíz: Se multiplican los

índices.

Potencia de exponente racional:

Propiedad: √ √

√

Propiedad: √ √

√

Racionalización de monomios

irracionales: multiplicar por el mismo

número ambas partes de la fracción.

Proporción compuesta : se deja la

incógnita al medio y si es p.directa se

multiplica cruzado; si es p.inversa se

multiplica hacia al lado y se forma

una ecuación.

Porcentaje e Interés:

a% =

a% del b% de N =

Porcentajes Especiales :

4%

5%

10%

20%

25%

40%

60%

75%

80%

Racionalización de binomios

irracionales: utilizar suma por diferencia

en ambas partes de la fracción.

Producto Cartesiano : Dados los

conjuntos A {1, 2, 3} y B {s, f} entonces,

(AB)={(1s),(1f),(2s),(2f),(3s),(3f)}

Relación : subconjunto de un producto

cartesiano que cumple una o más

condiciones. Por ejemplo, en un dado

{(x,y) ss / 2x = y} , {(1,2), (2,4), (3,6)}.

Funciones : A cada elemento de A le

corresponde uno de B.

AB ; f(x) = y

Conjunto A : Dominio (Dom) o conjunto

de partida. Es la variable independiente

(x) que contiene las preimágenes que se

calculan reemplazando la x por el valor

dado.

Conjunto B : Codominio o conjunto de

llegada.

Recorrido : (Rec) todos los valores

posibles de f(x). Es el subconjunto del

codominio que contiene las imágenes o

variables dependientes (y), que se

calculan igualando al valor que se pide.

(y o f(x) = n)

Para calcular el dominio de una función,

se busca la manera en que ésta no de

un número real.

Problemas de compra y venta :

$ de venta = $ de compra + ganancia

(%) $ de compra

$ de venta = $ de compra – pérdida

(%) $ x

Ganancia = $ final – $ invertido

Interés Simple : Cf = Ci (1 + n)

I. Compuesto :Cf = Ci ( )

interés en fracción o decimal

n número de periodos (días,

meses, años, etc.)

* Recordar :

= cuociente +

Dividendo = divisor cuo + resto

¿Qué me falta para echar a perder la

máquina?

Para calcular el recorrido se iguala la

función a y, despejando x y luego ver

qué número no puede incluirse dentro

de éste.

¿Qué número nunca va a salir de la

máquina?

Clasificación de funciones :

Inyectiva: imagen de B es una de A (no

más de una)

Epiyectiva: Cada elemento de B es

imagen de al menos un elemento de A,

es decir no hay elementos de B solos.

Biyectiva: Inyectiva y epiyectiva a la

vez.

Función Inversa : se despeja la X, y

luego a de éste resultado intercambiar

la x por la y, y la y por la x; la función

obtenida es inversa a la función dada.

Evaluar Funciones: x se reemplaza por

el valor dado.

Geometría Álgebra y Funciones

Ángulos y Triángulos:

360°= 2

Agudo: más de 0° y menos de 90°

Obtuso: + de 90° y - de 180°

Consecutivos: tienen el vértice y un

lado común

Adyacentes: 180°, tienen el mismo

vértice, un lado en común y estos

sobre una recta.

Opuestos por el vértice: =

Complementarios: suman 90°

Suplementarios: suman 180°

Alternos: miden lo mismo

Correspondientes: son iguales

Colaterales: son suplementarios

Triángulos: la suma de dos lados es

siempre mayor que el tercero.

La diferencia positiva es siempre

mayor que el tercer lado. Sus ángulos

interiores suman 180°. Sus ángulos

exteriores suman 360°, un ángulo

exterior es igual a la suma de los

otros dos ángulos interiores.

Aspectos a estudiar en el gráfico de

una función :

Intersección con el eje X: igualar la

función f(x) o y a cero, los valores de x

son los puntos que se intersectarán al

este eje.

Intersección con el eje Y:

reemplazamos el x de la función por 0

y el resultado es el punto de

intersección con el eje y.

Función Afín (ax + b): no pasa por el

origen. Intersecta en (0,b)

a>0 a<0

Función Lineal (ax + (b=0)): pasa por

el origen (0,0). El dominio y el

recorrido son todos los reales.

Bisectriz : incentro (2 ángulos =’s)

Altura :otrocentro (ángulo de 90°)

Transversal de gravedad : centro de

gravedad (lados iguales)

Simetral : circucentro (h + t)

Área: √s(s-a)(s- )(s-c)

s= perimetro/2

Equilátero: (la o)2√

4; h =

la o√

2

Euclídes:

a2= c

2= c

2=

h = a

c

En un triángulo isósceles: h=t=b=s

* tg: divide en el punto medio.

√ 2 4ac

2a

Función Identidad ((a=1)x): asociada a

la proporción directa.

Función Cuadrática (ax2+bx+c): forma

e ará ola,con a ≠ 0, cuyo ominio

son todos los reales y su recorrido

desde el vértice (hacia arriba o abajo)

los puntos de intersección con el eje x

corresponden a las soluciones de la

ecuación dada.

Concavidad: a acompaña al x2, si a >

0, a = , si a < 0, a = .

Intersección con el eje Y: si c>0

entonces la parábola se ubica por

encima del eje x, si c<0, la parábola se

ubica por debajo del eje x.

Intersección con el eje X:

factorización o la siguiente fórmula.

Discriminante ( 2-4ac): determina en

cuántos puntos corta al eje x.

C

D B A

Trigonometría:

sen Cos tg Cotg sec cosec

co

ca

co

ca

ca

co

ca

co

Identidades Fundamentales:

Sec =1

cos

cosec =1

sen

tg =sen

cos

cotg =cos

sen

sen2 cos2 =1

sec2 =1 tg2

cosec2 =1 cotg2

F(x) 30 45 60

sen 1

2 √2

2 √

2

cos √

2 √2

2

1

2

tg √

1 √

Congruencia: trazos de igual longitud

y ángulos de igual medida.

LLL: tres la os omólogos =’s.

LAL: el ángulo formado entre sus

la os omólogos =’s, es =.

x=x1 x22

=

2a

2a, 4ac 2

4a

2a, (

2a)

(x)

(x)=0, (

2a)

Δ > 0 = 2 soluciones reales y ≠

Δ=0 =2 soluciones iguales (1 to)

Δ < 0 = no lo toca (soluciones

imaginarias y ≠)

Eje de Simetría: divide a la parábola

en dos ramas congruentes.

Vértice: hay 3 formas para calcular el

vértice (x,y) los cuales representan el

máximo o el mínimo de la parábola.

ALA: os ángulos =’s y el la o

comprendido entre ellos es el h.

LLA: os ángulos omólogos =’s y el

ángulo opuesto al mayor es =.

Semejanza: (AA) con dos ángulos de

igual medida y que sus tres lados

sean proporcionales.

La razón entre los perímetros de dos

triángulos semejantes = razón entre

elementos homólogos.

La razón entre las áreas de dos

triágulos se. = razón entre sus

e.homólogos al cuadrado.

Equivalencia: igual área.

Polígonos:

d = n-3 (n° diagonales desde un

vértice)

D = ( )

(n° total de diagonales)

Si =180 (n-2) (suma ángulos

interiores de un polígono)

Cuadriláteros: Sus ángulos interiores

y exteriores suman 360°

Se pueden trazar dos diagonales.

Función Valor Absoluto (|x|): su

dominio son todos los reales y el

recorrido todos los reales positivos

más el 0.

|x| a

-a x a

|x|=a

–a=x=a

Función Parte Entera ([x]): su dominio

son todos los números reales y su

recorrido todos los enteros. Solo se

considera la parte entera de la

función.

Función Raíz Cuadrada (√x): el

dominio y el recorrido son todos los

reales positivos y el cero. Función

creciente (lenta).

m= 1 2

2

* P.Oblicuos (Rombo, romboide):

lados y ángulos opuestos son

congruentes, ángulos consecutivos

son suplementarios, diagonales se

dimidian.

Rombo: diagonales no congruentes,

perpendiculares y bisectrices.

Romboide: diagonales no

congruentes, no perpendiculares, no

bisectrices.

* P.Rectos: (Cuadrado, rectágulo):

ángulos interiores 90°

Cuadrado: diagonales congruentes,

perpendiculares y bisectrices.

Rectángulo: diagonales congruentes,

no perpendiculares y bisectrices.

* Trapecios: escalenos (no paralelos

desiguales), isósceles (no paralelos

iguales, basales iguales) y rectángulos

(2 a.rectos)

* Deltoides: diagonales son

perpendiculares, la diagonal mayor

es bisectriz y dimidia a la diagonal

menor.

* Para encontrar la intersección con

el eje Y, hay que igualar X a 0.

* Para encontrar la intersección con

el eje x, hay que igualar y a 0.

Función Exponencial (ax): la función

es siempre creciente (rápido) y se

encontrará siempre sobre el eje x, en

el primer y segundo cuadrante. Su

dominio son todos los reales y el

recorrido todos los reales positivos.

a>1 0<a<1

f(x) = k ax, donde

k = cantidad inicial

a = crecimiento

x = tiempo

= 1 22

Perímetro: 2a+2b

En todo cuadrilátero inscrito en una

circunferencia, los ángulos opuestos

son suplementarios.

En todo cuadrilátero circunscrito a

una circunferencia, las sumas de los

la os o uestos son =’s.

Geometría de Proporciones:

Teorema de Apolonio: a

u=

a b

u v

A B C

División Interior: B

B =

División Exterior:

B =

División Áurea:

B= B

B =1,618.

Función Logarítmica (logax): la

función logaritmica tiene una base

mayor que uno (crecimiento lento),

es inyectiva, los números negativos

no tienen logaritmo y su dominio son

los reales positivos y el recorrido

todos los reales. (intersección en el

eje x es el punto (1,0) en ambas

funciones).

x>0 x<0 0<a<1

Propiedades:

logaa=1

loga1=0

loga( c)= loga logac

loga (

c) = loga - logac

loga( c)=c loga

loga√ n

=1

nloga

loga = logc

logca

aloga =

Estadística y Probabilidades:

Población o universo: total de

individuos u objetos.

B=

A B C D

División Armónica: el total dividirlo

en la suma de las razones dadas.

B

B =

=

Teorema de Thales: paralelas!

A C

= B

B=

B D

A B

C D

Muestra: grupo de la población. (Si es

+50% es representativa).

Frecuencia Absoluta: n° de veces

que se repite el dato.

Medidas de Tendencia Central

Media Aritmética: promedio; se

suman todos los valores y se divide

por el total de casos.

Mediana: está en el centro de una

distribución. Se ordenan los valores y

se divide el total por 2.

Moda: lo que más se repite.

Marca de clase: valor medio de cada

intervalo.

Medidas de Dispersión

Desviación Media: el valor absoluto

de las distancias hacia la media,

dividido en el total de valores

entregados.

Desviación Estándar: la raíz cuadrada

de la distancia entre la media y los

valores al cuadrado, dividido en el

total de casos.

A D

B E

C F

Circunferencias:

· Perímetro: 2 p r

· Área del círculo: p r2

· Á. Sector circular: r2

60

· P. del sector circular: 2 r

60 +2r

· Longitud de Arco: 2 r

60

· Ángulo del centro: arco=ángulo.

<AOC = 2<ABC

√( ) ( )

n

Tabla de frecuencias con clase (con

datos agrupados):

Intervalos [x, y[

Frecuencia Relativa: porcentajes de

cada f.absoluta.

Frecuencia Absoluta Acumulada F.A.

+ la suma de las frecuencias absolutas

de todos los valores anteriores y la

frecuencia relativa (% de la frecuencia

relativa del intervalo + la suma de las

frecuencias relativas de todos los

valores anteriores).

Gráfico circular: los 360º del

círculo representan el 100 % de

los datos clasificados

Probabilidades: 0<p(x)<1, se

representa en % o fracción.

B= B

2

Si los lados de un ángulo son

tangentes a una circunferencia,

entonces los trazos desde el vértice a

los puntos de tangencia son

congruentes.

= -B

2

PA PC = PB PD

PB PA = PD PC

Laplace: casos a ora les

casos osi les

Suceso Imposible: 0

Suceso Seguro: 1

Sucesos Independientes: producto de

ambas p(x).

Probabilidad Total: p(x) de que ocurra

el suceso A o el suceso B o ambos

sucesos.

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Si los eventos son excluyentes (A

B = ):

P(AB)=P(A)+P(B)

Probabilidad Condicionada:

Con reposición: Los eventos son

incluyentes si el suceso B es

independiente de la ocurrencia del

suceso A:

P(AB)=P(A)P(B)

PC2 = PB PA

Ángulos inscritos miden lo mismo

El ángulo del centro mide el doble del

ángulo inscrito.

olución etos

Sin Reposición:

P(AB)=P(A)P(B/A)

* Para saber cuántos elementos

saldrán en un espacio muestral de un

diagrama de árbol: