RESUMEN PSU MATEMÁTICAS

Números y Proporcionalidad Álgebra y Funciones

lN : números naturales {1, 2, 3...}

Reglas de Divisibilidad

- 2 : si termina en 0 o en cifra par.

- 3 : la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

- 4 : sus dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4.

- 5 : si termina en 0 o en 5.- 6 : si lo es por 2 y por 3 a la

vez.- 7 : la última cifra de la derecha

se multiplica por 2 y se resta de las cifras restantes, si la diferencia es 0 o igual a 7, entonces es divisible.

- 8 : las tres últimas cifras son 000 o es múltiplo de 8.

- 9 : la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

- 10 : si termina en 0.

Números primos : son aquellos

Grado de un término: se suman los exponentes de sus letras.

Grado de un polinomio: se considera el grado del término más alto.

Productos Notables:

(a±b )2=a2±2ab+b2

(a±b )3=a3±3a2b+3ab2±b3

a2+b2=(a+b)(a−b)

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

Factorización:

Trinomio x2+bx+c: el producto de los dos factores hallados es c, la suma de los dos factores corresponde a b.

Trinomio de un cuadrado perfecto: Hallar la raíz del primer y segundo término.

Trinomio cualquiera: el recíproco del número que acompaña al primer cuadrado se multiplica por trinomio

divisibles por 1 y por el mismo número.

{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23...}

Números compuestos : son aquellos divisibles por 1, por el mismo y por otros números.

{4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}

* El 1 no es primo ni compuesto.

Teorema Fundamental de la Aritmética : Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como el producto de números primos.

M.C.M. : El menor número natural que es múltiplo de cada uno de los números dados.

M.C.D. : El mayor número natural que divide a cada uno de los números dados.

lN0 : números cardinales {0,1,2}

Z : números enteros {-2, -1, 0,1}

Son todos los lN0 más su parte negativa.

Número par : 2p

Número impar : 2p+1

completo y éste por el número que acompaña al primer cuadrado.

Ecuaciones: se encuentran tres tipos de soluciones o raíces.

a≠0, tiene 1 raíz ax+b=0 a y b = 0, infinitas

a=0 y b≠0, no tiene

Interpretación Algebráica:

n° par 2x es =

n° impar 2x+1 mayor que

>

cuociente a/b Menor que

<

exceso de a sobre b

a-b

no es mayor

≤

la mitad x/2 a lo más

≤

aumen tado en

a+b no es menor

≥

de, del al menos

≥

*

Primos relativos : números cuyo M.C.D es 1.

Valor absoluto de un entero :

| x | x , si x ≥ 0

-x , si x < 0

Propiedades en Z :

Adición y sustracción : se realiza la operación conservando el signo del número mayor.

( a, b, c Z)

Clausura : - (a + b) Z - (a b) ZAsociativa : - (a+b)+c = a+(b+c)

- (ab) c = a (bc)Elemento neutro : - 0 + a = a

- a1 = 1a = a

Elemento inverso: - a-a=-a+a=0

Desigualdades e Inecuaciones

Tricotomía : si se tienen dos números reales entonces se cumple solo una de las siguientes propiedades.

a > b ; a = b ; a < b

Transitiva: a, b, c lR, entonces

i) a < b y b < c a < cii) a > b y b > c a > c

Propiedad: al multiplicar por una cantidad mayor que 0, la desigualdad se mantiene, si la cantidad es menor que 0, la desigualdad cambia.

Propiedad: al transformar la desigualdad a sus respectivos recíprocos, cambia el signo, solo si estos son números positivos.

Propiedad:

a, b lR+, a < b /()2 = a2<b2

a, b lR-, a < b /()2 = a2>b2

Par + Par = Par

Par + Impar = Impar

Impar + Impar = Par

- no existen

Inversos multiplicativos en Z.

Conmutativa : - a + b = b + a

- a b = b a

Distributiva : - a(b+c)=ab + ac

(Q) números racionales : todos aquellos números que pueden

represetarse como fracción ( ab )

siendo a y b números enteros y b distinto de 0.

ab

; a es el numerador y b el

denominador.

Fracción propia : si | a | < | b |

Fracción impropia : si | a | > | b |

Equivalencia de números racionales

ab= cd

ad = bc

Relación de orden:ab≥cdad ≥bc

Número mixto : Amn

=an+mn

Sistema de Inecuaciones: se resuelven las inecuaciones por separado y luego se intersectan las soluciones.

Propiedades del valor absoluto:

|x| ≥ 0 ; |-x| = |x| ; √ x2 = |x|

Si a>0 [|x| = a (x = a v x = -a)]

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelve la inecuación (<, >) por separado |a + b|

(a+b) = x ; (a+b) = -x

y se unen los resultados.

Inecuaciones con igual signo =

Inecuaciones con ≠ signo =

Sistema de coordenadas cartesianas y Ecuaciones Lineales en dos variables:

y (ordenadas)

II I

x (abscisas)

III IV

Ecuación de la Recta: y= mx + n

Opuesto aditivo de ab=−ab

Recíproco o inverso de ab= [ ab ]

−1

= ba

Finito: cantidad limitada

De cifras decimales.

Decimal Infinito periódico:

tiene una parte entera más el periodo

Infinito semiperiodo:

parte entera, antepe-

riodo y un periodo.

Ej. 0,1 = 1

10 ; 0,01 = 1

100

Ej. 1 ,5=15−19

=149

Ej. 1,4 5=145−1490

=13190

(Q*) números irracionales : no pueden representarse como fracción, no son exactas ni periodicos.

Donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición. (punto en el que intersecta al eje Y)

Dados los puntos (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente se calcula así:

m = y2− y1

x2−x1

Casos :

m<0 n>0 m>0 n>0

m>0 n=0 m=0 m=∞

* Se ve de izquierda a derecha.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos : (x1,y1) y (x2,y2)

y2− y1

x2−x1

=y− y1

x−x1

Ecuación de la recta dado punto-pendiente: (x1,y1)

y - y1 = m(x - x1)

Ej. √2 ,√3 , π , etc.

Aproximaciones :

- Por defecto : más pequeño que el número original.

- Por exceso : más grande que el número original.

Redondeo : la cifra de orden n se deja como está si la siguiente cifra es menor que 5, y si es mayor o igual a 5 se aumenta una unidad.

Truncamiento : se eliminan las cifras posteriores a la coma.

Cifras decimales: 1, 2 3 4 5 6

1: unidad

2: décima

3: centésima

4: milésima

5: diez milésima

6: cien milésima

Notación Científica : el producto entre un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. El exponente de dicha potencia corresponde a la cantidad de ceros.

Ej: 10 10−2 = 0,02

Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares:

Paralelas: Cuando las pendientes de las rectas son iguales y sus coeficientes de posición distintos.

L1: y = m1x + n1

L2: y = m2x + n2

* Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

Coincidentes: Cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición también.

Perpendiculares: L1 L2 cuando m1·m2 = -1.

Distancia entre dos puntos:

d =√(x¿¿2−x1)2+( y¿¿2− y1)

2¿¿

Ecuación del punto medio:

x1−x2

2=y1+ y2

2

Ej: 10 102 = 100

(lR) números reales : Q Q*

Razones y Proporciones

Razón : comparación entre dos cantidades mediante una división.

ab=K a : b = K , donde a es el

antecedente y b el consecuente.

Proporción : igualdad de dos razones.

ab= cd

a : b = c : d , donde a y d son

extremos, y b y c son medios.

Teorema Fundamental:

Potenciación:

BASE

exponente

positiva negativa

par + +

impar + -

Propiedades:

a0=1 a1=a abac=ab−c

ab: ac=ab+c

(a¿¿b)c=abc¿

a−b= 1

ab

ab

−c

=ba

c

Radicación:

Suma y resta de raíces: Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes.

Producto y división de raíces:

Del mismo índice:

3√8 3√27= 3√27 8=3√216=6

lRQ

lN+

0

lN-Q*

Q* + Q* = Q*

Q* Q* = depende

Q* : Q* = depende

ab= cd a d = b c

Serie de razones : igualdad entre más de dos razones.

x+ y+za+b+c

= xa= yb= zc=k

Proporción discontinua : todos los términos son distintos y cada uno de estos se llaman cuarta proporcional.

Proporción contínua : sus términos medios o extremos son iguales; el término repetido se llama media proporcional y los no repetidos, tercera proporcional.

Proporción directa : ab=k

Línea recta que

pasa por el

origen.

Proporción inversa : a b = k

y

Corresponde a

De distinto índice:

2√12 3√36=6√123 6√362=¿

6√ (223 )3 ( 2332 )2=¿

6√21037=66√24 3

Raíz de una raíz: Se multiplican los índices.

√ 3√a= 6√a

Potencia de exponente racional:

n√am=amn

Propiedad: n√a :n√b=n√ ab

Propiedad: n√a n√b=¿ n√ab

Racionalización de monomios irracionales: multiplicar por el mismo número ambas partes de la fracción.

una hipérbola

equilátera.

Proporción compuesta : se deja la incógnita al medio y si es p.directa se multiplica cruzado; si es p.inversa se multiplica hacia al lado y se forma una ecuación.

Porcentaje e Interés:

a% = a

100

a% del b% de N = a

100b

100N

Porcentajes Especiales :

4% 125

5% 120

10% 110

20% 15

25% 14

40% 25

60% 35

75% 34

Racionalización de binomios irracionales: utilizar suma por diferencia en ambas partes de la fracción.

Producto Cartesiano : Dados los conjuntos A {1, 2, 3} y B {s, f} entonces,(AB)={(1s),(1f),(2s),(2f),(3s),(3f)}

Relación : subconjunto de un producto cartesiano que cumple una o más condiciones. Por ejemplo, en un dado {(x,y) ss / 2x = y} , {(1,2), (2,4), (3,6)}.

Funciones : A cada elemento de A le corresponde uno de B. AB ; f(x) = y

Conjunto A : Dominio (Dom) o conjunto de partida. Es la variable independiente (x) que contiene las preimágenes que se calculan reemplazando la x por el valor dado.Conjunto B : Codominio o conjunto de llegada. Recorrido : (Rec) todos los valores posibles de f(x). Es el subconjunto del codominio que contiene las imágenes o variables dependientes (y), que se calculan igualando al valor que se pide. (y o f(x) = n)

Para calcular el dominio de una función, se busca la manera en que ésta no de un número real.

80% 45

Problemas de compra y venta :

$ de venta = $ de compra + ganancia (%) $ de compra

$ de venta = $ de compra – pérdida (%) $ x

Ganancia = $ final – $ invertido

Interés Simple : Cf = Ci (1 + in)

I. Compuesto :Cf = Ci (1+i )n

i=¿ interés en fracción o decimal

n ¿ número de periodos (días, meses, años, etc.)

* Recordar :

dividendodivisor

= cuociente + restodivisor

Dividendo = divisor cuo + resto

¿Qué me falta para echar a perder la máquina?Para calcular el recorrido se iguala la función a y, despejando x y luego ver qué número no puede incluirse dentro de éste.

¿Qué número nunca va a salir de la máquina?

Clasificación de funciones :

Inyectiva: imagen de B es una de A (no más de una)Epiyectiva: Cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, es decir no hay elementos de B solos.Biyectiva: Inyectiva y epiyectiva a la vez.

Función Inversa : se despeja la X, y luego a de éste resultado intercambiar la x por la y, y la y por la x; la función obtenida es inversa a la función dada.

Evaluar Funciones: x se reemplaza por el valor dado.

Geometría Álgebra y Funciones

Ángulos y Triángulos:

360°= 2

Agudo: más de 0° y menos de 90°Obtuso: + de 90° y - de 180°

Consecutivos: tienen el vértice y un lado comúnAdyacentes: 180°, tienen el mismo vértice, un lado en común y estos sobre una recta.

Opuestos por el vértice: =

Complementarios: suman 90°

Suplementarios: suman 180°Alternos: miden lo mismoCorrespondientes: son igualesColaterales: son suplementarios

Triángulos: la suma de dos lados es siempre mayor que el tercero.

La diferencia positiva es siempre mayor que el tercer lado. Sus ángulos interiores suman 180°. Sus ángulos exteriores suman 360°, un ángulo exterior es igual a la suma de los

Aspectos a estudiar en el gráfico de una función :

Intersección con el eje X: igualar la función f(x) o y a cero, los valores de x son los puntos que se intersectarán al este eje.

Intersección con el eje Y: reemplazamos el x de la función por 0 y el resultado es el punto de intersección con el eje y.

Función Afín (ax + b): no pasa por el origen. Intersecta en (0,b)

a>0 a<0

Función Lineal (ax + (b=0)): pasa por el origen (0,0). El dominio y el recorrido son todos los reales.

otros dos ángulos interiores.

Bisectriz : incentro (2 ángulos =’s)

Altura :otrocentro (ángulo de 90°)

Transversal de gravedad : centro de gravedad (lados iguales)

Simetral : circucentro (h + t)

Área: √s (s-a ) (s-b ) (s-c)

s= perimetro/2

Equilátero: ( lado )2 √34

; h = lado √32

Euclídes: a2=p c b2=q c h2 =p q

h = a bc

En un triángulo isósceles: h=t=b=s

* tg: divide en el punto medio.

Función Identidad ((a=1)x): asociada a la proporción directa.

Función Cuadrática (ax2+bx+c): forma de parábola,con a ≠ 0, cuyo dominio son todos los reales y su recorrido desde el vértice (hacia arriba o abajo) los puntos de intersección con el eje x corresponden a las soluciones de la ecuación dada.

Concavidad: a acompaña al x2, si a > 0, a = , si a < 0, a = .

Intersección con el eje Y: si c>0 entonces la parábola se ubica por encima del eje x, si c<0, la parábola se ubica por debajo del eje x.

Intersección con el eje X: factorización o la siguiente fórmula.

-b±√ b2-4ac2a

Discriminante (b2 -4ac): determina en cuántos puntos corta al eje x.

C

D BA

Trigonometría:

Identidades Fundamentales:

Secα=1cosα

cosecα=1sen α

tgα=sen αcos α

cotgα=cosαsenα

sen2 α+cos2α=1 sec2 α=1+tg2 α cosec2 α=1+cotg2 α

Congruencia: trazos de igual longitud y ángulos de igual medida.

LLL: tres lados homólogos =’s.LAL: el ángulo formado entre sus

Δ > 0 = 2 soluciones reales y ≠

Δ=0 =2 soluciones iguales (1pto)

Δ < 0 = no lo toca (soluciones imaginarias y ≠)

Eje de Simetría: divide a la parábola en dos ramas congruentes.

x=x1+x2

2= -

b2a

Vértice: hay 3 formas para calcular el vértice (x,y) los cuales representan el máximo o el mínimo de la parábola.

-b2a

, 4ac- b2

4a

-b2a

, f (-b2a )

d f(x)d f(x)

=0, f (-b2a )

F(x) 30 45 60

sen12

√22

√32

cos √32

√22

12

tg √33

1 √3

sen Cos tg Cotg sec

cosec

coh

cah

coca

caco

hca

hco

lados homólogos =’s, es =. ALA: dos ángulos =’s y el lado comprendido entre ellos es el h.LLA: dos ángulos homólogos =’s y el ángulo opuesto al mayor es =.

Semejanza: (AA) con dos ángulos de igual medida y que sus tres lados sean proporcionales.La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes = razón entre elementos homólogos.

La razón entre las áreas de dos triágulos se. = razón entre sus e.homólogos al cuadrado.

Equivalencia: igual área.

Polígonos:

d = n-3 (n° diagonales desde un vértice)

D = n(n−3)2

(n° total de diagonales)

Si =180 (n-2) (suma ángulos interiores de un polígono)

Cuadriláteros: Sus ángulos interiores y exteriores suman 360°

Se pueden trazar dos diagonales.

Función Valor Absoluto (|x|): su dominio son todos los reales y el recorrido todos los reales positivos más el 0.

|x|≥a -a≥x≥a

|x|=a

–a=x=a

Función Parte Entera ([x]): su dominio son todos los números reales y su recorrido todos los enteros. Solo se considera la parte entera de la función.

Función Raíz Cuadrada (√x) : el dominio y el recorrido son todos los reales positivos y el cero. Función

* P.Oblicuos (Rombo, romboide): lados y ángulos opuestos son congruentes, ángulos consecutivos son suplementarios, diagonales se dimidian.

Rombo: diagonales no congruentes, perpendiculares y bisectrices.Romboide: diagonales no congruentes, no perpendiculares, no bisectrices.

* P.Rectos: (Cuadrado, rectágulo): ángulos interiores 90°Cuadrado: diagonales congruentes, perpendiculares y bisectrices.

Rectángulo: diagonales congruentes, no perpendiculares y bisectrices.

* Trapecios: escalenos (no paralelos desiguales), isósceles (no paralelos iguales, basales iguales) y rectángulos (2 a.rectos)

m=b1+ b2 ∙h

2

* Deltoides: diagonales son perpendiculares, la diagonal mayor es bisectriz y dimidia a la diagonal

creciente (lenta).

* Para encontrar la intersección con el eje Y, hay que igualar X a 0.* Para encontrar la intersección con el eje x, hay que igualar y a 0.

Función Exponencial (ax) : la función es siempre creciente (rápido) y se encontrará siempre sobre el eje x, en el primer y segundo cuadrante. Su dominio son todos los reales y el recorrido todos los reales positivos.

a>1 0<a<1

f(x) = k ax, donde k = cantidad inicial

a = crecimiento

menor.

Perímetro: 2a+2b

A=d1∙d2

2

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de los lados opuestos son =’s.

Geometría de Proporciones:

Teorema de Apolonio: au

=bv

a b

u v

A B C

División Interior: ABBC

=MN

División Exterior:ACBC

=MN

x = tiempo

Función Logarítmica (log a x) : la función logaritmica tiene una base mayor que uno (crecimiento lento), es inyectiva, los números negativos no tienen logaritmo y su dominio son los reales positivos y el recorrido todos los reales. (intersección en el eje x es el punto (1,0) en ambas funciones).

x>0 x<0 0<a<1

Propiedades:

log a a=1

log a 1=0

log a ( b c ) = loga b+ loga c

log a(bc )= loga b- loga c

log a ( bc )=c log a b

log an√b =

1n

loga b

log a b= logc b

logc a

a log a b =b

Estadística y Probabilidades:

Población o universo: total de individuos u objetos.

División Áurea: ACAB

=ABBC

=1,618.

A B C D

División Armónica: el total dividirlo en la suma de las razones dadas.

ABBC

=ADDC

= MN

Teorema de Thales: paralelas!

L1 A C

ACCO

=DBDO

AOOB

=COOD

AOAB

=COCD

L2 B D

L1 A B

L2 C D

Muestra: grupo de la población. (Si es +50% es representativa).

Frecuencia Absoluta: n° de veces que se repite el dato.

Medidas de Tendencia CentralMedia Aritmética: promedio; se suman todos los valores y se divide por el total de casos.

Mediana: está en el centro de una distribución. Se ordenan los valores y se divide el total por 2.

Moda: lo que más se repite.

Marca de clase: valor medio de cada intervalo.

Medidas de Dispersión

Desviación Media: el valor absoluto de las distancias hacia la media, dividido en el total de valores entregados.

¿ x−x|+¿ x−x|…n

Desviación Estándar: la raíz cuadrada de la distancia entre la media y los valores al cuadrado, dividido en el

L1 A D

L2 B E

L3 C F

Circunferencias:

· Perímetro: 2∙p∙r

· Área del círculo: p∙ r2

· Á. Sector circular: π∙ r2∙α360°

· P. del sector circular: 2π∙r∙α360° +2r

· Longitud de Arco: 2π∙r∙α360°

· Ángulo del centro: arco=ángulo.

<AOC = 2<ABC

total de casos.

√( X−X )2+ (X−X )2…n

Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados):

Intervalos [x, y[

Frecuencia Relativa: porcentajes de cada f.absoluta.

Frecuencia Absoluta Acumulada F.A. + la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa (% de la frecuencia relativa del intervalo + la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores).

Gráfico circular: los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados

Probabilidades: 0<p(x)<1, se representa en % o fracción.

Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.

AEB=AB+CD2

CAD=CD-BE2

PA PC = PB PD

PB PA = PD PC

Laplace: casos favorablescasos posibles

Suceso Imposible: 0

Suceso Seguro: 1

Sucesos Independientes: producto de ambas p(x).

Probabilidad Total: p(x) de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Si los eventos son excluyentes (A B = ):

P(AB)=P(A)+P(B)

Probabilidad Condicionada:

Con reposición: Los eventos son incluyentes si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A:

P(AB)=P(A)P(B)

PC2 = PB PA

Ángulos inscritos miden lo mismo

El ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito.

Sin Reposición:

P(AB)=P(A)P(B/A)

* Para saber cuántos elementos saldrán en un espacio muestral de un diagrama de árbol:

SoluciónN°Objetos