resumen matem tica 20holiwiii14 ingenioso cr sbs

23
ALGEBRA Conjunto de los números reales (R): La unión de los números racionales con los irracionales Números Naturales (N: {1, 2,3,...}. Números Enteros (Zሻǣ ሼ...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}. Números Racionales (Q): { / a es entero y b es entero, b 0}. Expansión decimal finita e infinita periódica. Números Irracionales (I): { , π, etc.…) Expansión decimal infinita no periódica. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES Propiedad adición multiplicación Conmutatividad a + b = b + a a b = b a Asociatividad (a + b) + c = a ( b + c) (a b) c = a (b c) Elemento neutro a + 0 = a a 1 = a Inverso a + (-a) = 0 a = 1 (si a 0 ) Distributividad a (b + c) = a b + a c, también (a + b) c = a c + b c Notas: 0 = Neutro aditivo 1 = Neutro Multiplicativo = Inverso multiplicativo de a o recíproco de a -a = Inverso aditivo de a u opuesto de a (a-b)= Diferencia o resta de a y b ( , o también a b) = Cociente de a y b OTRAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES 1) Si a = b y c = d, a + c = b + d y a c = b d 2) Si a = b, entonces a + c = b + c y a c = b c 3) a 0 = 0 4) Si a b = 0, entonces (a = 0) o (b =0) RESUMEN DE BACHILLERATO MATEMÁTICAS 2014 Pasos para realizar operaciones combinadas: 1) Realizamos las operaciones dentro del paréntesis utilizando el siguiente orden: 2) Multiplicaciones y divisiones. (De izquierda a derecha). 3) Sumas y restas (De izquierda a derecha) Ejemplo: (5 6) (4-3 2) + 3[2 - 3 (-3 + 6)]= -1 -2+3 [2-3 0+6] = 2+3[2-0+6]= 2+3 8= 2 + 24= Reglas para operaciones con signos Para a y b números reales cuales quiera que sea: 9 -(-a) = a 9 (-a) b = -(ab) = a (-b) 9 (-a) (-b) =ab 9 (-1) a =a 9 -( a + b )= -a b Operaciones con Fracciones Si a y b son números reales, con b0, entonces: = = - Podemos cancelar factores comunes: = (sabiendo b0, c 0) o Simplificación de la fracción = = o Amplificación de la fracción = = o Si una fracción no se puede simplificar la conocemos como irreducible. Multiplicación de Fracciones: = División de Fr4acciones: = Adición y sustracción de fracciones: + = o + = o - = o + = + = o - = - = Osver FV 1

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ALG

EBR

A

Conj

unto

de

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eros

real

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): L

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ión

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mer

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eros

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es (N

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2,3

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,-3,-2

,-1, 0

, 1, 2

, 3, .

..}.

Núm

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Rac

iona

les

(Q):

{ /

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ent

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nter

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≠ 0

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xpan

sión

dec

imal

fini

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.

Núm

eros

Irra

cion

ales

(I):

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xpan

sión

dec

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infin

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ica.

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dad

adic

ión

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n Co

nmut

ativ

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= b

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ivid

ad

(a +

b) +

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b +

c)

(a •

b) •

c =

a •

(b •

c)

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ento

neu

tro

a +

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• 1 =

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Inve

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a +

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= 0

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0 )

Dis

trib

utiv

idad

a

• (b

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• b

+ a

• c, t

ambi

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= a

• c

+ b

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tro

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Neu

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tiplic

ativ

o

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rso

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ncia

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c = b

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b • c

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RES

UM

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ÁTI

CAS

2014

Paso

s pa

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pera

cion

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-1

• -2

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-3 •

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6]=

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• 8=

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ones

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núm

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ifica

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la fr

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y

V

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cuen

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se

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es

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exp

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es N

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efin

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ces

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ces

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iem

pre

que

a ≠0

.

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, ent

once

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pre

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once

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que

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.

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r pot

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se c

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la b

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lapo

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ia.)

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s ig

ual a

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cia.

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2 )

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)-1 =

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• 4) (

x4 • -

1 y1 •

-1)

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y-1

= (x

12 x

- 4 ) (

y8 y-1

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s

pa

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V

y

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0,0

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núm

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s el

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real

po

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o, o

cer

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s un

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r núm

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real

, la

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sim

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s el

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pn =

x.

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s ca

sos

escr

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os:

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pres

ión

se

lee:

“ra

íz te

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raíz

cúb

ica

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x”

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a ex

pres

ión

se

lee:

“ra

íz c

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a d

e x”

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pres

ión

se

lee:

“ra

íz q

uint

a d

e x”

.

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sión

s

e le

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raíz

ené

sim

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do

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V

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s

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se

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ical

.

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rem

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úmer

os re

ales

y n

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núm

eros

ent

eros

pos

itivo

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3.=

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6. =

s

i n e

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el s

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NCI

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CCIO

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un

núm

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y se

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imos

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ente

man

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com

o

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nes

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brai

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úmer

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cibe

n el

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stan

tes

en la

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pued

e se

r co

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nte

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le, c

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o de

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os

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una

letr

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con

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s po

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su

valo

r, a

unqu

e se

a ar

bitr

ario

, no

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biar

á a

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és d

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scus

ión

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ació

n o

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lem

a; s

in e

mba

rgo

cuan

do h

abla

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de

una

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e es

ta e

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a le

tra

que

pued

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núm

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tene

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a ci

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con

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o de

mer

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l con

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cuy

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tom

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ble

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inio

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la

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.

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omio

s y

Polin

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s

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nes

alge

brai

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lam

ente

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s op

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y m

ultip

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SU

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do

P

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gr

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Cuan

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umam

os y

rest

amos

pol

inom

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ue h

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nar

térm

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sem

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mut

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la a

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la le

y di

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a.

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o m

ás té

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os s

emej

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n su

mar

se o

res

tars

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ando

la p

ropi

edad

dis

trib

utiv

a; p

or

esta

raz

ón, s

e su

man

o r

esta

n lo

s co

efic

ient

es y

se

cons

erva

el f

acto

r lit

eral

.

Ejem

plos

:

Mon

omio

s: a.

3x4 y

+ 5

x4 y =

(3+

4) x

4 y =

8 x

4 yb.

16m

2 + 1

2m2 –

10m

2 = (1

6+12

-10)

m2 =

18 m

2

Polin

omio

s:

a.(3

x2 y +

5xy

- 4xy

2 ) + (5

x2 +

x2 y -

2xy)

=

3x2 y

+ x2 y

+ 5

xy -

2xy

- 4xy

2 + 5

x2 =

x2 y +

3xy

- 4

xy2 +

5x2

b.(-

2ab

+ 3a

2 b +

4a3 b2 +

1) –

(4ab

- 2

a2 b +7

a3 b2

-5)=

(-2a

b +

3a2 b

+ 4a

3 b2 + 1

) + (-

4ab

+ 2

a2 b -7

a3 b2

+5) =

-2ab

- 4a

b +

3a2 b

+ 2

a2 b +

4a3 b2

- 7 a

3 b2 + 1

+ 5

-2ab

- 4a

b +

3a2 b

+ 2

a2 b +

4a3 b2

- 7 a

3 b2 + 1

+ 5

-6ab

+5

a2 b - 3

a3 b2 +

6

Osv

er F

V4

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Mul

tipl

icac

ión

y Fa

ctor

izac

ión

de

Pol

inom

ios

Para

mul

tiplic

ar p

olin

omio

s se

util

iza

vari

as v

eces

la p

ropi

edad

dis

trib

utiv

a. R

ecue

rde

que

a (b

+c)

= a

b +

ac

(b +

c) a

= b

a +

ca

Segú

n es

to te

nem

os q

ue:

(x +

y)(

p +

q) =

(x

+ y)

p +(

x +

y)q

= xp

+yp

+ x

q +

yq

Lo q

ue h

acem

os e

s m

ultip

licar

todo

s lo

s té

rmin

os d

e la

izqu

ierd

a co

n lo

s de

la d

erec

ha y

sum

ar.

Ejem

plos

:

a.x2 y

(xy

2 +2x

-3y)

= (

x2 y )

(xy2 )+

(x2 y

) (2x

) -( x

2 y) (

3y)

= x

3 y3 + 2

x3 y -

3 x2 y2

b.(2

xy +

3 y

2 ) (5x

-2xy

+y)

=(2

xy +

3 y

2 ) (5x

)+ (2

xy +

3 y

2 ) (-2

xy)+

(2xy

+ 3

y2 )(

y)=

10 x

2 y +

15 y

2 x -

4 x2 y2 -

6 y3 x

+2x

y2 + 3

y3

10 x

2 y +1

7 y2 x-

4 x

2 y2 - 6

y3 x +

3 y3

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Fact

oriz

ació

n D

e Po

linom

ios

Form

ulas

Not

able

s

Form

ulas

Not

able

s 1)

(a +

b)2

= a2

+2ab

+b2

5)(a

+ b

)3 = +

3 +

3a

2 + b3

2)(a

- b)

2 =

a2 -2

ab +

b26)

(a +

b) (

a2 +a

b +b

2 )= +

b3

3)(a

+ b

) (a

- b) =

- 7)

(a -

b) (a

2 +a

b +b

2 )=

- b3

4)(a

+ b

)3 = +

3 +

3a

2 + b3

Fact

oriz

ació

n

El p

roce

so d

e fa

ctor

izar

sim

plifi

ca e

l tra

bajo

. El

fact

oriz

ar u

n po

linom

io e

s e

scri

birl

o c

omo

el p

rodu

cto

de o

tros

pol

inom

ios

no c

onst

ante

s. S

i un

polin

omio

se

pued

e es

crib

ir c

omo

el

prod

ucto

de

otro

s po

linom

ios

no to

dos

cons

tant

es, c

ada

uno

de e

stos

se

llam

an fa

ctor

del

pr

imer

o. S

i un

polin

omio

no

se p

uede

fact

oriz

ar s

e di

ce q

ue e

s ir

redu

cibl

e.

Exis

ten

var

ias

form

as d

e fa

ctor

izar

.

Por f

acto

r co

mún

Por F

orm

ula

Not

able

Por A

grup

ació

n

Por I

nspe

cció

n

Fact

or C

omún

Dad

o un

pol

inom

io p

ara

fact

oriz

ar, p

rim

ero

obse

rvam

os s

i sus

térm

inos

con

tiene

n al

gún

fact

or e

n co

mún

. Si e

s as

í, la

ley

dist

ribu

tiva

nos

perm

ite e

scri

bir e

l pol

inom

io c

omo

el p

rodu

cto

de

ese

fact

or c

omún

por

otr

o po

linom

io.

Ejem

plos

: 3 +

6 +

9 =

3•

+ 3

•2 +

3•3

=8

3(

2

() -

4 (

) - 2

() =

() (

- 4

-2) =

(

) (- 3

-) =

- (

) ( 3

+)

Osv

er F

V5

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Form

ula

Not

able

En e

ste

caso

el p

olin

omio

apa

rece

des

arro

llado

y s

i pod

emos

ver

ifica

r que

sus

térm

inos

sa

tisfa

cen

las

cond

icio

nes

de a

lgun

a de

las

form

ulas

not

able

s, y

util

izar

la q

ue c

arre

spon

da p

ara

esta

blec

er la

fact

oriz

ació

n.

Ejem

plos

:

a)4

+ 1

2+

+ 9

=

b) -

= (a

+ b

- ab

)(+

(a+b

)(ab

) +

) =

(a

+ b

- ab

) ( +

2ab

+

+

b +

a +

)

c)3

- 3

= 3

( -

) = 3

( +

)

( -

)

d) =

() (

) = a

mbo

s fa

ctor

es s

on fa

ctor

izab

les:

() =

(x +

z) (

)

() =

(x -

z) (

)

Por l

o ta

nto:

() (

) = (x

+ z

) () (

x - z

) ()

Por

Agr

upac

ión:

En a

lgun

as o

casi

ones

dad

o un

pol

inom

io, s

e pu

ede

agru

par

sus

térm

inos

, fac

tori

zar

cada

gr

upo

y lu

ego

aplic

ar la

técn

ica

del f

acto

r co

mún

, par

a ob

tene

r un

a fa

ctor

izac

ión

del p

olin

omio

da

do.

Ejem

plos

:

a)x

+ bx

- z

– bz

= (

x +

bx) +

( -

z –

bz)

= x

(+

b) +

-z (

+ b

) = (

+

b) (

x - z

)

b) +

-

- =

- +

-

=

+

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Insp

ecci

ón o

tant

eo

Un

proc

edim

ient

o m

uy ú

til p

ara

fact

oriz

ar tr

inom

ios

es e

l co

noci

do c

omo

insp

ecci

ón. E

sta

basa

do d

e la

sig

uien

te re

laci

ón d

ada

para

a,b

,c,d

,x n

úmer

os re

ales

:

: El

pri

mer

coe

ficie

nte

es 1

, ent

once

s de

bem

os b

usca

r dos

núm

eros

cu

yo p

rodu

cto

sea

12 y

cuy

a su

ma

sea

7. E

stos

núm

eros

son

4 y

3, p

or lo

que

el p

olin

omio

se

fact

oriz

a co

mo:

=

=

4x

+3x

= 7x

Ejem

plos

:

a) =

-6x

+x =

-5x

b) =

( +

1)

=

+ 1

+

=

Los

sign

os lo

s sa

brem

os s

egún

la

sum

a lo

req

uier

a pa

ra o

bten

er e

l va

lor

del m

onom

io q

ue s

e ub

ica

en

el c

entr

o de

l tri

nom

io.

Osv

er F

V6

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ecua

cion

es c

uadr

átic

as c

on u

na in

cógn

ita:

Una

ecu

ació

n cu

adrá

tica

o de

seg

undo

gra

do e

n un

a va

riab

le c

on c

oefic

ient

es re

ales

es

una

ecua

ción

que

pue

de e

scri

birs

e co

mo:

= 0

Don

de

son

con

stan

tes

real

es, c

on

≠ 0

.

Alg

unos

eje

mpl

os d

e ec

uaci

ones

cua

drát

icas

:

1. =

0 a

quí

, ,

(el

sig

no d

e c

se in

cluy

e)

2. =

0 a

quí

, ,

3. D

esar

rolla

ndo

la e

xpre

sión

del

lado

izqu

ierd

o te

nem

os

, ,

4.. D

esar

rolla

ndo

a la

izqu

ierd

a te

nem

os

; aho

ra

rest

ando

t

enem

os

= 0

y p

or lo

tant

o =

0.

, ,

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Exis

te u

na fó

rmul

a pa

ra r

esol

ver l

as e

cuac

ione

s cu

adrá

ticas

, per

o pr

imer

o ve

rem

os u

na

form

a m

ás s

impl

e: S

i s

on n

úmer

os r

eale

s, e

nton

ces

= 0

Así

, si t

enem

os u

na e

cuac

ión

de s

egun

do g

rado

=

0 ,

el p

roce

dim

ient

o c

onsi

ste

en

fact

oriz

ar, s

i es

que

se p

uede

, el m

iem

bro

de la

izqu

ierd

a, u

sual

men

te u

tiliz

ando

el m

étod

o de

insp

ecci

ón v

isto

ant

erio

rmen

te. D

e es

ta fa

ctor

izac

ión

se o

bten

drán

dos

fact

ores

line

ales

. Cad

a fa

ctor

se

igua

la a

cer

o y

se o

btie

nen

dos

solu

cion

es d

e la

ecu

ació

n qu

e ev

entu

alm

ente

pod

rán

ser

igua

les.

Est

e m

étod

o fu

ncio

na a

decu

adam

ente

cua

ndo

la e

cuac

ión

tiene

sol

ucio

nes

raci

onal

es.

Ejem

plos

:

a) =

0

Se fa

ctor

iza:

=

=

0 d

e aq

uí o

bten

emos

dos

ecu

acio

nes

linea

les

y

que

se

resu

elve

n se

gún

lo v

isto

en

la s

ecci

ón a

nter

ior:

Así

, el c

onju

nto

solu

ción

de

la e

cuac

ión

es

.

b)

= -

6 pr

imer

o se

des

arro

lla la

ecu

ació

n:

Fact

oriz

amos

en

la ú

ltim

a ec

uaci

ón y

pro

cede

mos

del

mis

mo

mod

o qu

e en

el e

jem

plo

ante

rior

.

Osv

er F

V7

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Así

, el c

onju

nto

solu

ción

de

la e

cuac

ión

es

.

c) F

acto

riza

mos

el l

ado

izqu

ierd

o y

obte

nem

os

El c

onju

nto

solu

ción

de

la e

cuac

ión

es

.

Este

mét

odo

es m

uy s

enci

llo, s

in e

mba

rgo

no e

s ap

licab

le e

n to

dos

los

caso

s. P

or lo

que

ver

emos

la

form

ula

gene

ral l

a cu

al e

s la

más

efe

ctiv

a pa

ra r

esol

ver l

as e

cuac

ione

s cu

adrá

ticas

.

Form

ula

Gen

eral

Una

ecu

ació

n lin

eal t

iene

una

sol

a so

luci

ón. L

os e

jem

plos

ant

erio

res

nos

mue

stra

n do

s so

luci

ones

pa

ra c

ada

ecua

ción

dad

a. E

n ge

nera

l, un

a ec

uaci

ón c

uadr

átic

a pu

ede

tene

r un

a so

la s

oluc

ión

(en

es

te c

aso

se d

ice

que

es u

na s

oluc

ión

dobl

e) o

dos

sol

ucio

nes

dife

rent

es o

, ta

mbi

én,

ning

una

solu

ción

en

R. V

eam

os e

l dis

crim

inan

te p

ara

estu

diar

las

sol

ucio

nes

de la

s ec

uaci

ones

de

segu

ndo

grad

o o

cuad

rátic

as.

Dis

crim

inan

te

Sea

= 0

una

ecu

ació

n de

seg

undo

gra

do. S

e lla

ma

disc

rim

inan

te d

e la

ecu

ació

n al

mer

o, q

ue d

enot

amos

con

el s

ímbo

lo ∆

(se

lee

“ de

lta”)

∆ =

Com

o el

dis

crim

inan

te ∆

de

una

ecua

ción

cua

drát

ica

es

un n

úmer

o, e

nton

ces

pued

e se

r 0,

ne

gativ

o o

posi

tiva.

Su

nom

bre

se d

ebe

a q

ue, d

epen

dien

do d

e su

sig

no, p

odem

os d

eter

min

ar e

l nú

mer

o de

sol

ucio

nes

de la

ecu

ació

n.

MER

O D

E SO

LUCI

ON

ES D

E U

NA

ECU

ACI

ÓN

CU

AD

RÁTI

CA

Sea ∆

el d

iscr

imin

ante

de

una

ecua

ción

cua

drát

ica,

ent

once

s:

Si ∆

es

nega

tivo

(∆ <

0),

la e

cuac

ión

NO

tien

e so

luci

ones

real

es.

Si ∆

=0,

la e

cuac

ión

tien

e U

NA

sol

ució

n re

al ú

nica

.

Si ∆

es

posi

tiva

(∆ >

0),

la e

cuac

ión

tien

e D

OS

solu

cion

es re

ales

.

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plos

:

∆=

= 9

+ 3

2 =

41

∆=

41 >

0. L

a ec

uaci

ón ti

ene

dos

solu

cion

es.

, si

la d

esar

rolla

mos

:

∆=

= 9

-28

= -1

9

∆=

-19<

0. L

a ec

uaci

ón n

o tie

ne s

oluc

ione

s re

ales

.

si l

a de

sarr

olla

mos

:

∆=

= 1

6 -1

6 =0

∆ =

0. L

a ec

uaci

ón t

iene

una

úni

ca s

oluc

ión

real

.

FORM

ULA

GEN

ERA

L P

ARA

RES

OLV

ER U

NA

ECU

ACI

ÓN

CU

AD

RATI

CA

Si ∆

=

> 0

, ent

once

s la

s so

luci

ones

de

la e

cuac

ión

= 0

, co

n ,

son

Obs

erve

que

lo q

ue v

a de

ntro

del

radi

cal e

s pr

ecis

amen

te e

l dis

crim

inan

te; p

or e

sta

razó

n si

él

nega

tivo

no h

ay s

oluc

ione

s re

ales

. Ade

más

, si ∆

=

= 0

, ent

once

s am

bas

solu

cion

es s

on

igua

les

y, e

n es

te c

aso

tene

mos

.

=

=

Osv

er F

V8

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plos

:

1.

Solu

ción

: En

este

cas

o ,

, .

Ento

nces

∆=

=

16 -6

0 =-

44.

Com

o el

dis

crim

inan

te e

s ne

gati

vo n

o tie

ne s

oluc

ione

s re

ales

.

2.Te

nem

os

= -5

=

-5

= -5

=

0 En

tonc

es

, ,

, po

r lo

que

∆=

= 4

9-20

= 2

9.

Lueg

o la

s so

luci

ones

son

:

= 0

,807

5 =

-6,1

93

3.= = =

0

Ento

nces

,

, , p

or lo

que

∆=

=

9 +7

2 =

81. D

e aq

uí l

as s

oluc

ione

s: =

0,8

075

= -6

,193

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Prob

lem

as q

ue r

equi

eren

par

a su

sol

ució

n, e

cuac

ione

s cu

adrá

tica

s co

n un

a in

cógn

ita.

Pode

mos

enc

ontr

ar f

rase

s co

mun

es q

ue s

e ut

iliza

n en

el p

lane

amie

nto

de s

ituac

ione

s pr

oble

mát

icas

, cuy

a tr

aduc

ción

a la

sim

bolo

gía

y el

leng

uaje

m

atem

átic

o de

ben

ser

man

ejad

os

corr

ecta

men

te p

ara

pod

er te

ner

de é

xito

tan

to e

n la

mod

elac

ión

del p

robl

ema

com

o en

su

re

spec

tiva

solu

ción

.

List

a de

fras

es y

la fo

rma

en q

ue p

uede

n se

r tr

aduc

idas

al l

engu

aje

mat

emát

ico:

“Dad

o un

núm

ero

(o u

na c

antid

ad)…

” pa

ra e

llo a

sign

amos

una

letr

a cu

alqu

iera

que

re

pres

enta

rá a

ese

núm

ero

o ca

ntid

ad; p

or e

jem

plo:

.

Las

pala

bras

“su

ma”

, “m

as”

o “a

greg

ar”

se

repr

esen

tan

con

el s

ímbo

lo +

. Por

eje

mpl

o: lo

s en

unci

ados

“la

sum

a de

dos

núm

eros

(o c

anti

dade

s)..”

o “

un n

úmer

o m

ás o

tro”

o “

a u

na

cant

idad

le a

greg

amos

otr

a ca

ntid

ad”

se e

scri

be c

omo

(

dond

e

repr

esen

tan

los

dos

núm

eros

o c

antid

ades

).

Las

pala

bras

“re

sta”

, “su

stra

cció

n” o

“di

fere

ncia

” o

“dis

min

uir”

se

repr

esen

tan

con

el

sím

bolo

- . P

or e

jem

plo:

los

enun

ciad

os “

la d

ifere

ncia

de

dos

núm

eros

(o c

antid

ades

)..”

o “u

n nú

mer

o di

smin

uido

en

otr

o” ,

se e

scri

be c

omo

(

dond

e

repr

esen

tan

los

dos

núm

eros

o c

antid

ades

).

“El p

rodu

cto

(o m

ultip

licac

ión)

de

dos

cant

idad

es (o

núm

eros

)…”

se e

scri

be c

omo

o

(don

de

r

epre

sent

an la

s ca

ntid

ades

).

“ El

dob

le d

e un

a ca

ntid

ad (o

num

ero)

…”

se e

scri

be

“ El

trip

le d

e un

a ca

ntid

ad (o

num

ero)

…”

se e

scri

be

“ Si

ete

vece

s u

na c

antid

ad (o

num

ero)

…”

se e

scri

be

“El s

alar

io d

e M

anue

l es

4 ve

ces

el s

alar

io d

e En

riqu

e”. S

e es

crib

e

Don

de

es

el

sala

rio

de M

anue

l y

es

el s

alar

io d

e En

riqu

e.

“La

sum

a de

un

num

ero

y su

recí

proc

o…”

se e

scri

be c

omo

, pu

es s

i e

s el

núm

ero

ento

nces

su

recí

proc

o es

y

su

sum

a es

.

“El i

ngre

so d

e un

a pe

rson

a qu

e ga

na 2

000

colo

nes

por h

ora

si tr

abaj

a ci

erto

núm

ero

de

hora

s….”

Se

escr

ibe

(Don

de

rep

rese

nta

el n

úmer

o de

hor

as tr

abaj

adas

).

Osv

er F

V9

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Paso

s pa

ra r

esol

ver

el p

robl

ema:

1.

Lea

cuid

ados

amen

te e

l pro

blem

a, p

ara

pode

r co

mpr

ende

r ex

acta

men

te lo

que

se

da

yqu

e se

est

á pi

dien

do. P

uede

ayu

dar

rees

crib

irlo

util

izan

do s

us p

ropi

as p

alab

ras.

2.Si

es

posi

ble

real

ice

un d

ibuj

o o

cuad

ro d

e la

situ

ació

n.3.

Det

erm

ine

con

clar

idad

cuá

les

son

los

dato

s qu

e le

est

án d

ando

y c

uále

s so

n la

sva

riab

les

o in

cógn

itas;

asi

gne

una

letr

a a

cada

incó

gnita

.4.

Esta

blez

ca la

s re

laci

ones

ent

re la

s co

nsta

ntes

y v

aria

bles

, par

a de

term

inar

la e

cuac

ión

oec

uaci

ones

a r

esol

ver.

5.Re

suel

va e

stas

ecu

acio

nes.

6.El

abor

e un

a re

spue

sta

que

cont

este

exa

ctam

ente

a lo

que

se

le p

regu

nta

en e

len

unci

ado.

7.Ve

rifiq

ue s

u re

spue

sta

a la

luz

de la

info

rmac

ión

dada

. Si n

o sa

tisfa

ce la

s co

ndic

ione

sde

l pro

blem

a or

igin

al, r

evis

e dó

nde

podr

ía e

star

el e

rror

en

su p

roce

dim

ient

o,co

rríja

lo y

vue

lva

a ve

rific

ar.

Ejem

plo1

: Cie

rta

nota

se

calc

ula

com

o el

pro

med

io d

e cu

atro

exá

men

es; e

n lo

s tr

es p

rim

eros

Jorg

e ob

tuvo

¿Cu

ál d

ebe

ser l

a n

ota

de s

u cu

arto

exa

men

par

a pr

omed

iar

un

75?

En e

ste

caso

nos

dan

cua

tro

térm

inos

(tre

s no

tas

y el

pro

med

io) y

una

incó

gnita

(la

cua

rta

nota

), de

note

mos

la

cuar

ta n

ota

com

o

. E

l pr

omed

io e

s la

sum

a de

las

cua

tro

nota

s d

ivid

ido

por

cuat

ro.

Asi

es

prom

edio

es:

q

uere

mos

que

es

te p

rom

edio

sea

75,

es

deci

r:

Reso

lvem

os la

ecu

ació

n pa

ra o

bten

er lo

que

nos

pid

en:

Si c

ompr

obam

os la

res

pues

ta. V

erifi

cam

os q

ue c

umpl

e qu

e

La re

spue

sta

será

: Jor

ge d

ebe

obte

ner u

na n

ota

de 8

3 en

el c

uart

o ex

amen

par

a qu

e su

pro

med

io

sea

75.

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Fun

cion

es

En u

na fu

nció

n si

mpl

e es

tará

n in

volu

crad

as d

os v

aria

bles

:

Var

iabl

e in

depe

ndie

nte:

que

var

ía li

brem

ente

.

Var

iabl

e de

pend

ient

e: q

ue v

aría

dep

endi

endo

de

la a

nter

ior.

Se d

ice

que

esta

s fu

ncio

nes

son

de u

na v

aria

ble

porq

ue s

olo

se e

ncue

ntra

una

var

iabl

e in

depe

ndie

nte.

Elem

ento

s de

una

Fun

ción

: Un

conj

unto

llam

ado

dom

inio

y o

tro

codo

min

io, y

una

man

era

o cr

iter

io p

ara

rela

cion

ar e

lem

ento

s de

am

bos

conj

unto

s.

Conc

epto

de

Func

ión:

Una

func

ión

de

dom

inio

A y

cod

omin

io B

es

una

rela

ción

tal q

ue a

cad

a el

emen

to

en A

le h

ace

corr

espo

nder

un

únic

o el

emen

to

en

B.

Para

dis

tingu

ir u

na fu

nció

n d

e do

min

io A

y c

odom

inio

B

se le

e “

es

una

func

ión

de

A e

n B

y s

e ut

iliza

la n

otac

ión:

o

Imág

enes

y P

r im

ágen

es

Si

es

un e

lem

ento

de

A y

e

s un

ele

men

to d

e B

que

se le

asi

gna

a

med

iant

e la

fu

nció

n

, esc

ribi

mos

.

Est

e el

emen

to d

e

se

le ll

ama

imag

en d

e

o v

alor

de

la

func

ión

e

n ;

tam

bién

se

dic

e qu

e e

s pr

eim

agen

de

. D

ecim

os q

ue

es

la v

aria

ble

inde

pend

ient

e y

la v

aria

ble

depe

ndie

nte.

Ejem

plo:

Sea

A y

B ig

uale

s a

N, e

l con

junt

o de

los

núm

eros

nat

ural

es, y

con

side

rem

os u

na re

laci

ón

tal q

ue a

cad

a el

emen

to d

e A

(cad

a nu

mer

o na

tura

l) le

aso

cia

su d

oble

. Ten

emos

por

eje

mpl

o q

ue

a 1

se le

aso

cia

2, a

2 s

e le

aso

cia

4 y

así s

uces

ivam

ente

. Est

a re

laci

ón e

s un

a fu

nció

n, t

al q

ue c

ada

núm

ero

natu

ral t

iene

un

dobl

e y

sola

men

te u

no.

Muc

has

vece

s el

cri

teri

o pa

ra d

eter

min

ar im

ágen

es s

e pu

ede

escr

ibir

med

iant

e un

a ec

uaci

ón.

Tom

ando

el e

jem

plo

ante

rior

, obs

erva

mos

que

la im

agen

de

1 es

2 =

2•1

, la

imag

en d

e 3

es 6

=2•3

. En

tota

l la

imag

en d

e e

s , S

i den

otam

os p

or

a e

sta

func

ión,

ent

once

s la

imag

en

de

es

. Es

deci

r en

est

e ca

so, e

l cri

teri

o qu

e re

laci

ona

un

elem

ento

con

su

imag

en s

e pu

ede

escr

ibir

med

iant

e un

a ec

uaci

ón

de d

os v

aria

bles

o, t

ambi

én,

que

perm

ite c

alcu

lar

la im

agen

de

cual

quie

ra

de lo

s el

emen

tos

del d

omin

io. P

ara

ello

, dad

o un

val

or

cual

quie

ra d

e , l

o re

empl

azam

os e

n la

fórm

ula

para

obt

ener

el v

alor

cor

resp

ondi

ente

de

.

Ejem

plo1

: Se

a A

= R

y B

=R

con

:

R→

R c

on

. Es

ta r

elac

ión

es u

na f

unci

ón

Osv

er F

V10

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

pues

to q

ue p

ara

cada

núm

ero

real

, e

xist

e un

núm

ero

de la

form

a e

n R

y s

olo

uno.

En e

ste

caso

tene

mos

:

= 0

= 2

1

Ejem

plo2

: Sea

:

[1,

] →R

ta

l que

En e

ste

caso

, la

func

ión

tie

ne c

omo

dom

inio

el i

nter

valo

[1,

], el

cod

omin

io R

y d

ispo

nem

os

de u

na fó

rmul

a pa

ra la

asi

gnac

ión

de im

ágen

es; a

l ele

men

to

le a

sign

amos

.

Por

eje

mpl

o:

Ejem

plo2

: Sea

:

R

→ R

co

n . D

eter

min

e ,

, ,

= =

15

= =

0

= =

=

=

=

Ám

bito

o r

ango

Sea

u

na f

unci

ón,

al s

ubco

njun

to d

e B

form

ado

por

todo

s lo

s el

emen

tos

que

son

imag

en d

e al

gún

elem

ento

de

A s

e le

llam

a ám

bito

o r

ango

de

(A).

Dic

ho d

e ot

ra m

aner

a, e

l ám

bito

o r

ango

de

es

el c

onju

nto

form

ado

por t

odas

las

imág

enes

de

los

elem

ento

s de

A.

Ejem

plo:

Sea

A =

y

: A →

N t

al q

ue

par

a ca

da

De

esta

man

era

el ra

ngo

de

es:

=

Dom

inio

Máx

imo

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Recu

erde

que

si s

e tie

ne u

na fu

nció

n d

efin

ida

de u

n co

njun

to A

en

un c

onju

ntoB

, ent

once

s A

se

llam

a el

dom

inio

de

la f

unci

ón. P

or o

tra

part

e, c

uand

o tr

atam

os c

on f

unci

ones

rea

les

de v

aria

ble

real

, usu

alm

ente

el c

rite

rio

se p

uede

esc

ribi

r m

edia

nte

una

fórm

ula

que

no

s pe

rmite

asi

gnar

la

imag

en a

cad

a un

o de

los

elem

ento

s de

l dom

inio

.

Cuan

do s

e de

fine

una

func

ión,

son

el c

rite

rio

com

o el

dom

inio

y e

l cod

omin

io. P

or e

jem

plo,

no

es

lo m

ism

o l

a fu

nció

n de

:

R,

con

,

que

la f

unci

ón

: →

R,

con

. A

unqu

e en

am

bas

la f

orm

ula

de a

sign

ar i

mág

enes

es

la

mis

ma,

sus

dom

inio

s di

fiere

n; e

n pa

rtic

ular

tod

o n

úmer

o m

ayor

que

6 t

iene

una

imag

en b

ajo

y n

o tie

ne im

agen

baj

o

Por

otra

par

te,

obse

rve

que

si u

na f

unci

ón

tie

ne c

omo

fórm

ula

, e

nton

ces,

ob

ligat

oria

men

te d

ebem

os t

ener

,

es d

ecir

y,

por

lo

tant

o, e

l do

min

io m

ás

gran

de q

ue p

odem

os to

mar

par

a e

s

Ejem

plo

1: D

omin

io m

áxim

o de

la fu

nció

n de

finid

a po

r

,

La

fórm

ula

dada

tie

ne s

entid

o si

y s

olo

si e

l sub

radi

cal e

s m

ayor

o ig

ual q

ue 0

. Es

deci

r, d

ebem

os

tene

r

, o s

ea,

o. C

oncl

uim

os q

ue e

l dom

inio

máx

imo

de

es

.

Ejem

plo

2: D

omin

io m

áxim

o de

la fu

nció

n de

finid

a po

r

Para

que

la e

xpre

sión

que

def

ine

a es

ta fu

nció

n te

nga

sent

ido,

deb

emos

tene

r qu

e el

den

omin

ador

tie

ne q

ue s

er d

ifere

nte

de c

ero.

Hac

emos

=

0 →

o

D

e m

aner

a qu

e el

dom

inio

máx

imo

de

es

tá f

orm

ado

por

todo

s lo

s nú

mer

os

real

es

exce

ptua

ndo

1 y

2, e

s de

cir,

es

R-

.

Ejem

plo

3: D

omin

io m

áxim

o de

la fu

nció

n de

finid

a po

r

Deb

emos

ten

er

0.Fa

ctor

izan

do a

la iz

quie

rda

tene

mos

(D

e aq

las

solu

cion

es d

e e

nton

ces

=0

son

o o

y

com

o , e

nton

ces

0 s

e e

stá

en

; est

e es

el d

omin

io m

áxim

o de

la fu

nció

n.

Repr

esen

taci

ón G

ráfic

a de

la fu

nció

n

Osv

er F

V11

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Dad

a un

a fu

nció

n re

al d

e va

riab

le r

eal,

si c

onoc

emos

una

ecu

ació

n qu

e de

fine

la m

aner

a en

que

se

ob

tiene

n la

s im

ágen

es,

pode

mos

, en

m

ucho

s ca

sos,

re

pres

enta

rlas

gr

áfic

amen

te.

Está

re

pres

enta

ción

gr

áfic

a se

re

aliz

a ob

teni

endo

lo

s pa

res

orde

nado

s de

la

fu

nció

n se

gún

las

solu

cion

es d

e su

ecu

ació

n tr

azam

os u

na lí

nea

en lo

s pu

ntos

que

se

form

an d

e lo

s pa

res

orde

nado

s.

La g

ráfic

a de

una

fun

ción

es

de g

ran

utili

dad

ya q

ue n

os p

erm

ite o

bten

er in

form

ació

n s

obre

una

fu

nció

n, n

o so

lam

ente

sob

re l

as i

mág

enes

de

cier

tos

valo

res

espe

cífic

os s

ino

tam

bién

sob

re

aspe

ctos

más

gen

eral

es q

ue s

on im

port

ante

s, e

spec

ialm

ente

en

algu

nas

aplic

acio

nes.

Ejem

plo:

Rep

rese

ntac

ión

Grá

fica

de la

func

ión

Obs

erve

mos

que

si

:

es

la e

cuac

ión

que

defin

e la

fun

ción

, en

tonc

es d

ebem

os

repr

esen

tar

la e

cuac

ión:

.

Par

a di

buja

r la

grá

fica

de l

a ec

uaci

ón d

ebem

os c

onoc

er

algu

nos

punt

os,

en e

ste

caso

al

ser

senc

illa

no o

cupa

mos

muc

hos.

La

sigu

ient

e ta

bla

tien

e lo

s va

lore

s de

: y

los

corr

espo

ndie

ntes

val

ores

de

-2

-1

1 2

-3

-1

3 5

(-2,

-3)

(-1,

-1)

(1,3

) (2

,5)

Ejem

plo

2: A

l dib

ujar

la g

ráfic

a de

, t

al q

ue

Deb

emos

dib

ujar

la g

ráfic

a de

la e

cuac

ión

T

oman

do a

lgun

os v

alor

es d

e y

ca

lcul

ando

sus

imág

enes

, par

a lo

que

con

stru

imos

la ta

bla.

-4-3-2-10123456

-3-2

-10

12

3

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

-1

0 1

2 3

3 0

-1

0 3

(-1,

3)

(0,0

) (1

,-1)

(2,0

) (3

,3)

Dib

ujam

os lo

s pu

ntos

res

ulta

ntes

de

la e

cuac

ión

y lo

s tr

azam

os la

cur

va q

ue lo

s un

e en

la g

ráfic

a.

En e

ste

caso

no

será

una

rect

a, s

ino

que

se fo

rmar

a un

a cu

rva

suav

e.

Func

ión

Line

al

Esta

func

ión

es d

e fo

rma

, don

de “

m”

es c

onoc

ida

com

o pe

ndie

nte

y “b

” co

mo

punt

o de

inte

rsec

ción

. Don

de

son

con

stan

tes

real

es.

Ejem

plo:

.

Es u

na fu

nció

n lin

eal.

Don

de

son

y

.

Cálc

ulo

de d

e la

Pen

dien

te “

m”

Para

() Y

)

Ejem

plo:

Sea

u

na fu

nció

n lin

eal t

al q

ue

= 4

y

; det

erm

inar

su

pend

ient

e.

Cálc

ulo

de d

e “

b”

Para

el c

álcu

lo d

e b

se ti

ene

la s

igui

ente

ecu

ació

n.

Osv

er F

V12

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plo:

Tom

ando

el e

jem

plo

ante

rior

tom

amos

cua

lqui

er p

ar o

rden

ado

y su

stitu

imos

la e

cuac

ión

así

si t

omam

os (2

,-6)

= -2

Rect

as P

aral

elas

: Dos

rect

as s

on p

aral

elas

si s

us p

endi

ente

s so

n ig

uale

s.

Rect

as P

aral

elas

: Las

rect

as s

on p

erpe

ndic

ular

es s

i sus

pen

dien

tes

son

recí

proc

as y

con

sig

nos

opue

stos

.

Inte

rsec

ción

con

los

ejes

. Ej

e “x

” ,0

Ej

e “y

” ,

Ejem

plo:

Régi

men

de

Var

iaci

ón:

Dad

a la

func

ión

linea

l

es

crec

ient

e si

es

cons

tant

e si

es

decr

ecie

nte

si

Hay

dos

cas

os p

arti

cula

res

en d

e la

func

ión

linea

l

La fu

nció

n id

entid

ad:

si

Ejem

plo:

, t

al q

ue

, es

una

func

ión

linea

l. A

quí t

enem

os

La fu

nció

n co

nsta

nte

si

Ejem

plo:

, t

al q

ue

, don

de C

es

un n

úmer

o re

al c

ualq

uier

a, e

s un

a fu

nció

n lin

eal.

Don

de

Crit

erio

de

una

func

ión:

Para

hal

lar

el c

rite

rio

debe

mos

res

olve

r un

sist

ema

de e

cuac

ione

s.

Un

sist

ema

de d

os e

cuac

ione

s lin

eale

s co

n do

s va

riab

les

es:

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Don

de

son

con

stan

tes;

s

on in

cogn

itas.

Una

Sol

ució

n de

l sis

tem

a es

un

par

orde

nado

()

que

es s

oluc

ión,

sim

ultá

neam

ente

, de

amba

s ec

uaci

ones

. Si u

n co

njun

to n

o tie

ne s

oluc

ione

s se

dic

e qu

e es

inco

ncie

nte.

Solu

cion

es d

e un

sis

tem

a de

dos

ecu

acio

nes

linea

les

con

dos

vari

able

s es

:

Mét

odo

de s

usti

tuci

ón: E

ste

mét

odo

cons

iste

en

desp

ejar

una

de

las

incó

gnita

s e

n un

a ec

uaci

ón

y su

stitu

ir e

n la

otr

a ec

uaci

ón. D

e es

ta fo

rma

se o

btie

ne u

na e

cuac

ión

en u

na s

ola

incó

gnit

a; s

e de

term

ina

el v

alor

de

ésta

y s

e ut

iliza

par

a en

cont

rar

el v

alor

de

la o

tra

incó

gnita

.

Ejem

plo:

Des

peja

mos

e

n la

pri

mer

ecu

ació

n :

, lo

sus

titui

mos

en

la s

egun

da e

cuac

ión:

. R

esol

vem

os e

sta

últim

a ec

uaci

ón:

Usa

mos

est

e va

lor

para

enc

ontr

ar

; co

mo

; ent

once

s =2

(-11

)+4=

-18.

Así e

l sis

tem

a tie

ne u

na ú

nica

sol

ució

n= (-

11,1

8)

Osv

er F

V13

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Mét

odo

de e

limin

ació

n ()

o de

Sum

a y

rest

a): E

ste

mét

odo

cons

iste

en

mul

tiplic

ar c

ada

ecua

ción

po

r un

núm

ero

adec

uado

de

mod

o qu

e la

sum

ar a

mba

s ec

uaci

ones

, una

de

las

incó

gnita

s de

sapa

rezc

a ob

teni

éndo

se a

sí u

na e

cuac

ión

con

una

incó

gnita

cuy

o va

lor s

e de

term

ina

y se

usa

pa

ra e

ncon

trar

el v

alor

de

la o

tra

incó

gnita

.

Ejem

plo:

Par

a de

term

inar

el p

unto

de

inte

rsec

ción

de

las

ecua

cion

es

y

.

Es lo

mis

mo

que

reso

lver

el s

igui

ente

sis

tem

a de

ecu

acio

nes.

Y se

gún

el m

étod

o pl

ante

ado,

Par

a qu

e am

bas

ecua

cion

es t

enga

n co

efic

ient

e op

uest

o pa

r ,

mul

tiplic

amos

la p

rim

era

ecua

ción

por

; o

bten

emos

un

nuev

o si

stem

a

Si s

umam

os a

mba

s ec

uaci

ones

obt

enem

os u

na e

cuac

ión

solo

par

a la

incó

gnita

de

=

Así

sus

titui

mos

est

e va

lor e

n cu

alqu

iera

de

las

ecua

cion

es o

rigi

nale

s y

pode

mos

obt

ener

el v

alor

de

. U

tiliz

ando

la p

rim

er e

cuac

ión:

La s

oluc

ión

del s

iste

ma

tiene

una

úni

ca s

oluc

ión=

, po

r ta

nto

las

rect

as s

e co

rtan

en

ese

punt

o

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Func

ión

Cuad

ráti

ca

Una

func

ión

R→

R ta

l que

:

Don

de a

, , s

on c

onst

ante

s re

ales

y a

≠ 0

. La g

rafic

a tie

ne fo

rma

de p

aráb

ola.

Inte

rsec

ción

con

los

ejes

:o

Eje

“y”

(0,c

)o

Eje

“x”

El c

rite

rio

se ig

uala

a 0

y s

e re

suel

ve la

ecu

ació

n cu

arat

ica

para

obt

ener

los

pare

s()y

().

Y co

mo

vim

os a

nter

ior m

ente

en

ecua

cion

es c

uadr

átic

asse

gún

el v

alor

del

∆, y

a se

a es

te >

,<, o

=0,

así

ser

á la

can

tidad

de

inte

rsec

cion

esco

n el

eje

”x”.

Eje

de s

imet

ría:

Es

la re

cta

que

divi

de a

la p

aráb

ola

en d

os p

arte

s ig

uale

s. L

o po

dem

os

calc

ular

con

la fo

rmul

a:

El v

érti

ce d

e la

par

ábol

a: E

ste

es e

l pun

to. L

o po

dem

os c

onsi

dera

r pun

to m

áxim

o si

a

< 0

, y p

unto

mín

imo

si a

> 0

.

Osv

er F

V14

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Conc

avid

ad d

e la

Par

ábol

a:o

Si a

> 0

. Es

cónc

ava

haci

a ar

riba

.o

Si a

< 0

. Es

cónc

ava

haci

a ab

ajo

a >

0; C

onca

va h

acia

arr

iba

y pu

nto

min

imo.

a

< 0

; Con

cava

hac

ia a

bajo

y p

unto

máx

imo.

Inte

rval

os d

e m

onot

onía

a-) S

i es

cónc

ava

haci

a ar

riba

:

es e

stri

ctam

ente

dec

reci

ente

en

es e

stri

ctam

ente

cre

cien

te e

n

a-) S

i es

cónc

ava

haci

a ab

ajo:

es e

stri

ctam

ente

cre

cien

te e

n

es e

stri

ctam

ente

dec

reci

ente

en

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ám

bito

de

la fu

nció

n.

Si

el á

mbi

to e

s Si

e

l ám

bito

es

Ejem

plos

1: P

ara

la F

unci

ón

, tal

que

Tene

mos

. S

i -3

a)Ve

rtie

se:

b)Ej

e de

sim

etrí

a:

c)Co

ncav

idad

:, l

a pa

rábo

la e

s có

ncav

a ha

cia

arri

ba.

d)G

rafic

a:

x

y

Osv

er F

V15

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plos

2: P

ara

la F

unci

ón

, tal

que

Tene

mos

. S

i 1

6

a)Ve

rtie

se:

b)Ej

e de

sim

etrí

a:

c)Co

ncav

idad

:, l

a pa

rábo

la e

s có

ncav

a ha

cia

abaj

o.

d)G

rafic

a:

x

y

4

1

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejer

cici

os y

pro

blem

as c

on fu

ncio

nes

cuad

ráti

cas:

Imág

enes

y P

reim

agen

es:

Si e

nton

ces

-1 e

s pr

eim

agen

de:

Si e

nton

ces

el n

úmer

o 5

es im

agen

de:

169

Prob

lem

as

Par

a re

solv

er lo

s pr

oble

mas

deb

emos

ana

lizar

lo q

ue n

os s

olic

itan

y re

laci

onar

los

con

las

prop

ieda

des

de la

func

ión

cuad

rátic

a.

El p

reci

o P

en m

iles

de c

olon

es p

ara

prod

ucir

“x”

uni

dade

s de

pan

talo

nes

está

dado

por

¿Cu

ál e

s el

mín

imo

prec

io, e

n m

iles

de

colo

nes,

que

se

pued

e al

canz

ar e

n la

pro

ducc

ión

de p

anta

lone

s?

Prim

ero

debe

mos

sac

ar e

l val

or d

e x

que

hace

el p

unto

mín

imo

de la

func

ión

= =2

05

Sigu

iend

o la

s pr

opie

dade

s de

la fu

nció

n cu

adrá

tica

obtu

vim

os q

ue e

s pr

ecio

mín

imo

“P”

que

se

pued

e al

canz

ar e

n la

pro

ducc

ión

de p

anta

lone

s es

365

.

En u

na s

e es

tabl

ece

que

el c

osto

“C”

de

prod

ucir

“x”

art

ícul

os, e

stá

dado

por

. ¿Cu

ál d

ebe

ser

la c

antid

ad d

e ar

tícul

os q

ue s

e de

ben

prod

ucir

par

a ob

tene

r el c

osto

máx

imo?

En

est

e ca

so lo

que

nos

sol

icita

n es

la c

antid

ad q

ue m

axim

iza

el c

osto

por

tant

o es

so

lo o

bten

er e

l val

or d

e “x

” q

ue e

s:

=

=90

Po

r tan

to la

can

tidad

de

artíc

ulos

que

deb

e pr

oduc

ir p

ara

obte

ner

el m

áxim

o co

sto

son

90 a

rtíc

ulos

.

Osv

er F

V16

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Func

ión

Sobr

eyec

tiva

Una

func

ión

ta

l que

todo

ele

men

to e

n el

cod

omin

io ti

ene

al m

enos

una

pr

eim

agen

, es

deci

r (A

) = B

, se

dice

que

es

sobr

eyec

tiva.

Est

o si

gnifi

ca q

ue p

ara

todo

,

exis

te

tal q

ue

.

Ejem

plo:

La

func

ión

tal q

ue

es

sobr

eyec

tiva

pues

to q

ue s

i (e

l

codo

min

io) y

esc

ribi

mos

e

nton

ces

Pero

si l

a fu

nció

n fu

era

tal q

ue

, no

es s

obre

yect

iva.

Si p

or e

jem

plo

tom

amos

3

en

el c

odom

inio

, no

exis

te n

ingú

n nú

mer

o na

tura

l ta

l que

.

Func

ión

Inye

ctiv

a

Una

func

ión

es

inye

ctiv

a si

cad

a el

emen

to d

el c

odom

inio

tien

e a

lo s

umo

una

prei

mag

en, e

s de

cir

para

cad

a e

xist

e a

lo s

umo

un

tal q

ue

.

Ejem

plo:

La

func

ión

ta

l que

e

s in

yect

iva.

Efe

ctiv

amen

te, s

i ,

ento

nces

=

y

por

lo ta

nto

=

.

Pero

si l

a fu

nció

n fu

era

tal q

ue

, no

es in

yect

iva.

Bas

ta v

er q

ue, p

or

ejem

plo

= 9

y, s

in e

mba

rgo

.

Func

ión

Biye

ctiv

a

Es u

na fu

nció

n q

ue e

s a

la v

ez in

yect

iva

y so

brey

ectiv

a .

La fu

nció

n ta

l que

e

s bi

yect

iva

pues

to q

ue e

s in

yect

iva

y so

brey

ectiv

a.

La fu

nció

n ta

l que

n

o es

biy

ectiv

a pu

esto

no

es s

obre

yect

iva.

La fu

nció

n ta

l que

n

o es

biy

ectiv

a pu

esto

que

no

es in

yect

iva.

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Func

ión

Inve

rsa

Una

func

ión

e

s bi

yect

iva.

La

func

ión

tal

que

s

i y

solo

si

est

o e

s fu

nció

n in

vers

a de

.

Eje

mpl

o1: L

a fu

nció

n ta

l que

Su in

vers

a: s

egún

la e

cuac

ión

, es

dec

ir

y d

espe

jam

os

.

Por t

anto

ta

l que

Ejem

plo:

La

func

ión

ta

l que

Su in

vers

a:

y d

espe

jam

os

.

Así

, c

on

.

Osv

er F

V17

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Fun

ción

Exp

onen

cial

y L

ogar

ítm

ica

Func

ión

Expo

nenc

ial

Sea

un

núm

ero

real

pos

itivo

() y

dife

rent

e de

1 (

, y

el e

xpon

ente

e

s la

var

iabl

e in

depe

ndie

nte.

Se ll

ama

func

ión

expo

nenc

ial d

e ba

se

a la

func

ión

tal q

ue

Exi

sten

dos

cas

os

Caso

1:

Dom

inio

:

Rang

o:

Inte

rsec

ción

con

eje

“x”

:no

hay

Inte

rsec

ción

con

eje

“y”

:(0

,1)

Así

ntot

a ho

rizo

ntal

:ej

e “x

” cu

ando

“x”

se

acer

ca a

+

Régi

men

de

vari

ació

n:es

tric

tam

ente

dec

reci

ente

.

De

acue

rdo

al c

odom

inio

:bi

yect

iva

Su g

rafic

a es

:

x

y

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plo:

La fu

nció

n

Elab

oram

os la

tabl

a

-2

-1

0 1

2

(-2,

4)

(-1,

2)

(0,1

) (1

,)

(2,

)

4

2

1

0,5

0,25

4

2

1

0,5

0,25

x

y

Osv

er F

V18

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Caso

1:

Dom

inio

:

Rang

o:

Inte

rsec

ción

con

eje

“x”

:ni

ngun

o

Inte

rsec

ción

con

eje

“y”

:(0

,1)

Así

ntot

a ho

rizo

ntal

:ej

e “x

” cu

ando

“x”

se

acer

ca a

-

Régi

men

de

vari

ació

n:es

tric

tam

ente

cre

cien

te.

De

acue

rdo

al c

odom

inio

:bi

yect

iva

Su g

rafic

a es

:

x

y

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plo:

La fu

nció

n

Elab

oram

os la

tabl

a

-2

-1

0 1

2

(-2,

) (-

1,)

(0,1

) (1

,2)

(2,4

)

Si L

a fu

nció

n e

xpon

enci

al e

s in

yect

iva,

se

cum

ple

que:

0,25

0,5

1

2

4

0,25

0,5

1

2

4

x

y

Osv

er F

V19

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

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o

Func

ión

Loga

rítm

ica

Sea

un

núm

ero

real

y m

ayor

que

cer

o (

) y

dife

rent

e de

1 (

, S

e lla

ma

func

ión

loga

rítm

ica

de b

ase

d

e “x

” a

la fu

nció

n in

vers

a de

la fu

nció

n ex

pone

ncia

l de

base

.E

sto

es, l

a fu

nció

n

tal q

ue

Exi

sten

dos

cas

os

Base

:

Dom

inio

:

Codo

min

io:

Inte

rsec

ción

con

eje

“x”

:(1

,0)

Inte

rsec

ción

con

eje

“y”

:no

hay

Así

ntot

a ve

rtic

al:

eje

“y”

Régi

men

de

vari

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n:es

tric

tam

ente

cre

cien

te e

n

De

acue

rdo

al c

odom

inio

:bi

yect

iva

Su g

rafic

a es

:

x

y

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

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do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plo:

La fu

nció

n

Elab

oram

os la

tabl

a

1 2

4

,-2)

(,-1

) (1

,0)

(2,1

) (4

,2)

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

x

y

Osv

er F

V20

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

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o

Base

:

Dom

inio

:

Codo

min

io:

Inte

rsec

ción

con

eje

“x”

:(1

,0)

Inte

rsec

ción

con

eje

“y”

:no

hay

Así

ntot

a ve

rtic

al:

eje

“y”

Régi

men

de

vari

ació

n:es

tric

tam

ente

dec

reci

ente

en

De

acue

rdo

al c

odom

inio

:bi

yect

iva

Su g

rafic

a es

:

x

y

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

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do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ejem

plo:

La

func

ión

Elab

oram

os la

tabl

a

1 2

4

,2)

(, 1

) (1

,0)

(2,-1

) (4

,-2)

Para

las

gráf

icas

de

otra

s fu

ncio

nes

loga

rítm

icas

las

enco

ntra

rem

os s

imila

res

a la

s an

teri

ores

.

2

1

0

-1

-2

2

1

0

-1

-2

x

y

Osv

er F

V21

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

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do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Prop

ieda

des

loga

rítm

icas

:

1.

Ejem

plo:

2.Ej

empl

o:

3.Ej

empl

o:

4.

Ejem

plo:

5.Ej

empl

o:

6.

Ejem

plo:

:

7. 8..

(En

la c

alcu

lado

ra la

tecl

a ln

lo q

ue h

ace

es c

alcu

lar e

l log

aritm

o en

bas

e e

Cam

bio

de B

ase:

Para

con

vert

ir a

Bas

e 10

un

núm

ero

a, s

e ap

lica:

Ejem

plo:

=2

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ecua

cion

es L

ogar

ítm

icas

con

una

o d

os o

pera

cion

es

Ejem

plo1

:

=

=

=

Ejem

plo2

:

=

-

Esta

s so

n al

guna

s ap

licac

ione

s de

las

prop

ieda

des

loga

rítm

icas

.

La n

otac

ión

expo

nenc

ial s

e pu

ede

pasa

r a

loga

rítm

ica

y v

icev

ersa

, es

deci

r lo

cua

l es

equ

ival

ente

a e

scri

bir

.

Ejem

plo:

Par

a ob

tene

r la

solu

ción

de

la s

igui

ente

ecu

ació

n:

Prim

ero

debe

mos

llev

arla

a la

form

a si

mpl

ifica

da

(Una

vez

con

la e

xpre

sión

redu

cida

, se

aplic

a la

equi

vale

ncia

del

loga

ritm

o a

nota

ción

exp

onen

cial

: →

Osv

er F

V22

RE

SU

ME

N

Ma

te

ti

ca

s

Ba

sa

do

P

ro

gr

am

a

de

E

st

ud

io

s

pa

ra

I

V

y

V

o

Ecua

cion

es E

xpon

enci

ales

Con

su

form

a .

Cuan

do la

incó

gnita

se

encu

entr

a en

el í

ndic

e de

una

raí

z, t

ambi

én s

e la

con

side

ra e

xpon

enci

al, y

a qu

e só

lo b

asta

esc

ribi

rla

com

o ex

pone

nte

frac

cion

ario

. Sea

la e

cuac

ión:

Util

izan

do la

s pr

opie

dade

s de

la r

adic

ació

n, v

amos

a e

scri

birl

a as

í:

Apl

icam

os e

l mét

odo

de ig

uala

ción

de

base

s, p

ara

reso

lver

la e

cuac

ión:

Se e

limin

an la

s ba

ses

y se

tom

a la

ecu

ació

n ig

uala

ndo

los

expo

nent

es y

se

resu

elve

la e

cuac

ión.

Osv

er F

V23