Coordenadas Polares

Luis Blanco

Universidad Fermín Toro

• Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos del plano se pueden representar en coordenadas cartesianas mediante dos números (abscisa, ordenada). En este tema veremos que los puntos del plano también se pueden representar usando otro sistema de referencia, que denominamoscoordenadas polares.

• • En esta unidad se introducen las coordenadas polares y algunos ejemplos que ilustran su utilidad para

representar, mediante ecuaciones con dichas coordenadas, algunas curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras.

• • Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación de las curvas en coordenadas polares,

sólo es preciso definir las mismas de cada punto:r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coordenadas cartesianas x e y.

• En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho), al ángulo se le suele designar por la letra griega q (theta).

• Sistema de Coordenadas• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición

de cualquier punto de un espacio geométricorespecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

• Sistema de Coordenadas Polares• Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la

distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.

Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia. En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida. Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia. Hasta aquí hemos usado siempre coordenadas cartesianas. En ocasiones es conveniente usar otros sistemas de las mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las coordenadas polares, que permiten expresar ciertas curvas en forma mucho más simple que las ecuaciones que ligan sus coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las cartesianas, podemos usar las coordenadas cilíndricas o esféricas.

• En general, es posible definir muchos sistemas de coordenadas en el plano y en el espacio. Más adelante veremos como relacionar una curva o superficie expresada en las cartesianas, con el mismo objeto expresado en otro sistema de las mismas. A esto lo llamamos transformación de coordenadas.

• Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.

• Este sistema de referencia está constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.

• Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy, tomemos después el origen como polo y el semieje no negativo de las x como eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el punto P cuyas coordenadas polares so r y q , escritas como par ordenado ( r, q ), se localiza como sigue.

• Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en sentido contrario de las manecillas del reloj ( si q > 0 ) a partir del semieje positivo de abscisas ( eje polar) como lado inicial.

• Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.• Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| = - r del polo. Se puede describir

la coordenada radial r como la distancia dirigida de P al polo, sobre el lado terminal del ángulo q. • Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q .• Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.• Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares ( 0, q ) representan al origen cualquiera que

sea la coordenada angular q. Por supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r = 0• para ejemplos ver el archivo al final de la unidad• Conversión de Coordenadas• La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de

coordenadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.• Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la

conversión del rectangular al polar y viceversa.• En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas

respectivos.

Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares

Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para numerosos valores de θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos resultantes (x,y). Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en calculadora depende de la ventana de graficación especificada x-y, y también del rango de los valores mostrados de θ. Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificarse algunos valores mostrados de θ correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además, debe identificar el rango de valores de θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta es apropiada. Se deduce que muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares sencillas

• Gráfica de una Ecuación Polar• La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos

(x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.

• Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener siempre presente que representan las coordenadas polares.

• Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no sólo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ.

• Recordemos que θ es la variable independiente y generalmente va de 0 a 2π.

Intersección de Gráficas Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección. Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el área de una región polar. De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con el de encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores de q).

Calcular el Área de una Región Plana en Coordenadas Polares

El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:

Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores, Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .