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RESPUESTA DINAMICA DE LAS ESTRUCTURAS

Article

CITATION

1READS

1,445

2 authors, including:

Some of the authors of this publication are also working on these related projects:

Base Isolation and Energy Dissipation View project

Sergio Oller

Universitat Politècnica de Catalunya

242 PUBLICATIONS   3,974 CITATIONS   

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RESPUESTA DINAMICA DE LAS

ESTRUCTURAS

Sergio Oller, Eduardo Car

Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la Ingeniería, Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Universitat Politécnica de Catalunya.

(Abril-1999)

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RESPUESTA DINAMICA DE LAS

ESTRUCTURAS

Parte 1

Sergio Oller

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Indice Oscilaciones Forzadas Amortiguadas – Armónicas 1

Ecuación del movimiento 1

Solución particular inhomogénea – Forma (1) 2

Solución particular inhomogénea – Forma (2) 3

Observaciones sobre la respuesta forzada amortiguada 5

Características del movimiento amortiguado-forzado 6

Determinación del amortiguamiento por resonancia 10

Determinación del amortiguamiento por decremento logarítmico 11

Determinación fe las constantes B1-B2 13

Ejemplos sobre Oscilaciones Forzadas Amortiguadas 15

Aislamiento de vibraciones 24

Respuesta al desplazamiento en la base 24

Aislamiento Absoluto - Transmisibilidad absoluta 24

Aislamiento Relativo - Transmisibilidad relativa 28

Fuerza transmitida a la base 31

Ejemplos sobre Oscilaciones Forzadas Amortiguadas 34

Problemas a resolver 44

Anexo

Obtención de las fuerzas del sistema amortiguado 46

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1

Oscilaciones Forzadas Amortiguadas - Armónicas

• Ecuación del Movimiento • Ecuación expresada en Fuerzas,

)sen()()()(

)()()()(

10 tFtuKtuStuM

tFtFtFtF effESI

ω=++

=++

&&&

• Ecuación expresada en aceleraciones,

)(sen)()()( 1 tMF

tuMK

tuMS

tu o ω=++ &&&

)(sen)()(2)( 1211 t

MF

tututu o ω=ω+ων+ &&&

Sol. Compuesta = Sol. Particular Inhomogénea + Sol. General Homogénea

Donde 1ω es la frecuencia natural del oscilador y 1ω es la frecuencia de la forzante.

K

S x

y

Fo )(sin 1tω

Fo

)(sin 1tω

K

S

Feff

FE

FS

FI

u

)()()( tututu gp +=

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2

Solución Particular Inhomogénea

Forma (1):

)sen()( 1 ψ+ω= tAtu p fasedeángulo:=ψ

Sustituyendo esta solución en la ecuación del movimiento y sus derivadas,

)cos()(

)sen()(

)cos()(

131

121

11

ψ+ωω−=

ψ+ωω−=

ψ+ωω=

tAtu

tAtu

tAtu

p

p

p

&&&

&&

&

ψ+ωω=ψ+ωωω+ψ+ωωων−ψ+ωω−

ψ+ω=ψ+ωω+ψ+ωωων+ψ+ωω−

)1cos(01)1cos(1

21)1cos(2

112)1cos(31

)1sen(0)1sen(21)1cos(112)1sen(2

1

tM

FtAtAtA

tM

FtAtAtA

resultan las magnitudes para las constantes de la solución particular,

Factor de Respuesta

2222

0

4)1( αν+α−=

K

FA

Angulo de fase

1

12 :con;

12

tgωω

=αα−αν

−=ψ

y la solución compuesta, resulta ahora:

( )[ ]4444 34444 21

4444444 34444444 21 ATRANSITORIPARTEHOMOGENEASOLUCION

t

PARTICULARSOLUCION

tCetK

Ftu )sen()sen(

4)1()( '

1122220 1 ϕ+ω+

ψ+ω

αν+α−= νω−

donde '

1ω es la frecuencia amortiguada y ϕ es el ángulo de fase entre la resultante del movimiento y el desplazamiento. Las constantes de integración, se obtienen para las condiciones iniciales. Es decir

ϕ⇒

==

=== ,

)0(

)0(0

0

0 Cutu

utut

&&

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3

Solución Particular Inhomogénea

Forma (2):

)cos()sen()( 1211 tBtBtu ppp ω+ω= Solución Particular

Sustituyendo en la ecuación diferencial del movimiento y separando los múltiplos del )(sin 1tω y del )cos( 1tω , se tiene,

( )[ ]( )[ ]

=ωω+νωω+ω−

ω=ωω+νωω−ω−

0)cos(2

)sen()sen(2

1212111

212

11211112

211

tBBB

tMF

tBBB

ppp

oppp

Estas dos relaciones pueden satisfacerse individualmente, porque el )(sin 1tω y el

)cos( 1tω se hacen nulos en tiempos distintos y en fases opuestas. Dividiendo ambas

relaciones por 21ω , cancelando las funciones trigonométricas y reagrupando, se tiene,

να+α−να−

=

να+α−α−

=⇒

=να+α−

=να−α−

2220

2

222

20

1

12

2

02

21

)2()1(

2

)2()1(

1

0)2()1(

)2()1(

KF

B

KF

B

BB

KF

BB

p

p

pp

pp

Sustituyendo en la solución particular, resulta

[ ])cos()2()sen()1()2()1(

1)( 11

2222

0 ttKF

tu p ωνα−ωα−να+α−

=

y la solución compuesta, resulta ahora:

[ ] ( )[ ]444444 3444444 21

44444444444 344444444444 21ATRANSITORIPARTE

HOMOGENEASOLUCION

'12

'11

PARTICULARSOLUCION

112

2220 )cos()sen()cos()2()sen()1(

)2()1(1

)( 1 tBtBettKF

tu t ω+ω+

ωνα−ωα−

να+α−= νω−

Siendo esta ecuación totalmente equivalente a la obtenida por el primer método.

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4

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5

Observaciones sobre la respuesta forzada amortiguada 1. La más evidente es que la solución de la homogénea es la parte transitoria de la

respuesta:

0grandepara 1 →⇒ νω− tet 2. Las constantes de integración ( )ϕ,C o ( )21 , BB se obtienen de las condiciones

iniciales y son independientes de las oscilaciones forzadas. 3. El ángulo ( )ψ de retardo de la respuesta del oscilador respecto de la forzante

armónica, no está influenciado por la magnitud de la fuerza, pero si por la relación de frecuencias ( )α oscilador-forzante y el amortiguamiento critico ν del oscilador.

4. Se define como amplificación dinámica de la respuesta estática a la siguiente

expresión:

222200 4)1(

1f

αν+α−=== K

FA

uA

A

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3COEFICIENTE DE AMPLIFICACION DINAMICA

Relación de frecuencias

Am

plif

icac

ión

diná

mic

a

3

0

f 1 ,α ν 1

f 2 ,α ν 2

f 3 ,α ν 3

f 4 ,α ν 4

f 5 ,α ν 5

f 6 ,α ν 6

f 7 ,α ν 7

f 8 ,α ν 8

50 α

Am

plifi

caci

ón d

inám

ica

Relación de frecuencias

0=ν

2.0=ν

3.0=ν

5.0=ν

7.0=ν

1=ν5.1=ν

15=ν

Af

21 ν−

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6

• Características del movimiento amortiguado-forzado

1) Representación vectorial de la respuesta en estado de régimen.

)sen(4)1(

)( 122220 ψ+ω

αν+α−= t

A

K

Ftu p

4444 84444 76

o bien

[ ])cos()2()sen()1()2()1(

1)( 11

2222

0 ttKF

tu p ωνα−ωα−

να+α−=

2) Calculo del estado de equilibrio durante la respuesta en régimen. Sustituyendo la solución particular )(tu p en la ecuación del movimiento, resulta:

)sen()()()( 10 tFtuKtuStuM ppp ω=++ &&&

donde

[ ])cos()2()sen()1(f)( 11202

A ttKF

tu p ωνα−ωα−

=

luego de algunas operaciones algebraicas, se tiene

0)sen()()()( 10 =ω−++ tFtFtFtF ESI

ψ

t1ω

A

2220

2 )2()1(2

να+α−να−=

KFB

222

20

1 )2()1(

1

να+α−α−

=KF

B

Eje Real

Eje imaginario

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7

siendo:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ])sen()(

)cos()2()sen()1(f)(

)sen()2()cos()1(f2)(

)cos()2()sen()1(f)(

10

112

02

112

02

112

02

tFtF

ttFtF

ttFtF

ttFtF

eff

AE

AS

AI

ω=

ωνα−ωα−=

ωνα+ωα−ν=

ωνα+ωα−−=

ω1t

Fo

Ψ

Ψ Ψ ω1t

ω1t

ω1t FE

FI

FS

)2(f 02 ναFA

)1(f 20

2 α−FA

)1(f2 20

2 α−νFA

αν20

2f4 FA

)2(f 02 ναFA

)1(f 20

2 α−FA ω1t

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3) Influencia de la frecuencia. 3.a) Para frecuencias de forzantes muy bajas. (Grandes Períodos)

001 =α⇒→ω ⇒ 1)2()1(

1f

0222

≅=να+α−

=uA

A

en este caso, el factor de amplificación dinámica Af , hace que la respuesta estática sea igual a la dinámica,

0uA = ¡Carga Estática!

En otras palabras, el oscilador responde en armonía con la forzante. 3.b) Para forzantes con frecuencia igual a la natural del sistema.

111 =α⇒ω≡ω ⇒ 02

1f

uA

A =ν

=

=⇒=ν

∞→⇒→ν

ν=

críticoientoAmortiguam,2

1para

Resonacia,0para:

2 00 u

A

Au

A

3.c) Para forzantes con frecuencia muy alta.

¡GrandeMuy!11 α⇒ω>>ω ⇒ 0f →A

∞→α⇒∞→ω1Si ⇒ 00f →⇒→ AA

El oscilador es incapaz de responder a frecuencias tan altas y por lo tanto queda en estado de reposo.

EL OSCILADOR ES UN FILTRO DE FRECUENCIAS

4) El oscilador como filtro de frecuencias.

El oscilador es un filtro de frecuencias. Sólo responde frente a aciones, cuya frecuencia es cercana a la frecuencia natural propia del oscilador.

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9

Resumiendo:

→ω>>ω

→ω≅ω→ω<<ω

stahay Respue No

DINAMICARESPUESTA

EstáticaRespuesta

11

11

11

Respuesta dinámica: MK

=ω1

⇒ω≅ω

⇒ω≅ω

rigidas sestructuraExita grande!¡

:AltassFrecuencia

flexibles sestructuraExita pequeño!¡

:BajassFrecuencia

11

11

5) Acciones no armónicas.

Estas tres últimas consideraciones son también aplicables a casos de forzantes no armónicas con un contenido de frecuencias dominante DOM)( 1ω . Este es el caso de las acciones sísmicas se puede aplicar el concepto de superposición de armónicas.

∑=

=n

iiisis tFatF

1

)()( siendo )(tFi una fuerza armónica.

La identificación de cada armónica se denomina “análisis armónico” o análisis de Fourier. Este concepto abre el campo para el análisis no armónico a través de la superposición de análisis armónicos.

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10

• Determinación del amortiguamiento por resonancia.

Una forma de obtener el factor de amortiguamiento ν es a través de la amplitud en resonancia. Para ello se hace un barrido de frecuencias, y cuando se captura la máxima amplitud, se deduce lo siguiente:

Se fija las características del oscilador: MK

=ω1

Se hace un barrido de frecuencia de la forzante: 11 20 ω≤ω≤ , y se obtiene

KAFK

Fu

A222

00

0 =ν⇒ν

=

)(tu

A

0u

1 21

1

ωω

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11

• Determinación del amortiguamiento por decremento logarít-mico.

Es un método práctico para determinar experimentalmente el factor de amortiguamiento de un sistema en vibración libre.

Se basa en estudiar la proporción que decrece la amplitud entre dos máximos. Esta proporción, expresada en logaritmos, se denomina: DECREMENTO LOGARITMICO

2'1

'11

111

2

)(ν−

πν

νω+νω−

νω−==== ee

eC

eCCC

r TTt

t

II

I

tomando logaritmo, se obtiene el denominado decremento logarítmico,

ou

C

C

CI

CII

t1 t1+T’1

ou& 1er máximo

2edo máximo

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1009

6.75

4.5

2.25

0

2.25

4.5

6.75

99

9

u( )t

1000 t

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12

( )222

2ln

ln

1

2ln)ln(

π+

±=ν⇒ν−

πν=

==δ

II

I

II

I

II

I

CC

CC

CC

r

0ln1para

0ln0para

→⇒∞→

→=ν

=⇒=

→=ν

IIII

I

IIIII

I

CCC

CCCC

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13

Determinación de las constantes B1 y B2 para problemas forzados Amortiguados

u( )t .F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

sin( ).ω t Ψ .e..ν ω 1 t

.B 1 cos ..ω 1 1 ν2

t .B 2 sin ..ω 1 1 ν2

t

v( )t d

dt.

F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

sin( ).ω t Ψ .e..ν ω 1 t

.B 1 cos ..ω 1 1 ν2

t .B 2 sin ..ω 1 1 ν2

t

v( )t ..F o

.K 1 .2 α2

α4 ..4 ν

2

cos ( ).ω t Ψ ω ...ν ω 1 exp ..ν ω 1 t .B 1 cos ..ω 1 1 ν2

t .B 2 sin ..ω 1 1 ν2

t

Condición de borde para determinar las constantes: t=0

u o .F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

sin( )Ψ B 1 0 Constante B1

v o..

F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

cos ( )Ψ ω ..ν ω 1 B 1..B 2 ω 1 1 ν

2 0

v o..

F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

cos ( )Ψ ω ..ν ω 1 uo .F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

sin( )Ψ ..B 2 ω 1 1 ν2 0

v o..

F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

cos ( )Ψ ω ..ν ω 1 u o ...ν ω 1F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

sin( )Ψ

.ω 1 1 ν2

Const. B2

=0

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14

Condición de borde natural u o 0 v 0 0

B 1.

F o

.K 1 .2 α2

α4 ..4 ν

2

sin( )Ψ

B 2

..F o

.K 1 .2 α2

α4 ..4 ν

2

cos ( )Ψ ω ...ν ω 1F o

.K 1 .2 α2

α4 ..4 ν

2

sin( )Ψ

.ω 1 1 ν2

Resolución de la ecuación bajo las condiciones particulares

u( )t .F o

.K 1 α2

2..4 ν

2

sin( ).ω t Ψ .e..ν ω 1 t

.B 1 cos ..ω 1 1 ν2

t .B 2 sin ..ω 1 1 ν2

t

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15

Ejemplo sobre:

Oscilaciones Forzadas Amortiguadas – Armónicas 1) Dado el oscilador de la figura que cumple con las siguientes relaciones:

1=KF maxeff , 07.0=ν , 5.2=α , 000 == uu & . Obtener la respuesta completa y

observar que cuando entra en estado de régimen, la fuerza y el desplazamiento se encuentran en oposición de fase. Esto implica que si entramos con 07.0=ν y 5.2=α , en la figura que detalla la evolución del ángulo de fase, se obtendrá un desfase entre la forzante y la respuesta de π≅Ψ .

• Ecuación del Movimiento • Ecuación expresada en Fuerzas,

)sen()()()(

)()()()(

10 tFtuKtuStuM

tFtFtFtF effESI

ω=++

=++

&&&

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

0.5

0

0.5

trace 1trace 2

u( )t

F( )t

5000.

t

F (sin 1tω

K

S

Fef

F

F F

u

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16

2) Dado el oscilador de la figura que cumple con las siguientes relaciones:

1=KF maxeff , 0.0=ν , 2.1=α , 000 == uu & . Obtener la respuesta completa y

observar que cuando entra en estado de régimen, se produce una ligera amplificación que no alcanza a llegar a resonancia.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 18005

0

5

trace 1trace 2

u( )t

F( )t

1000.

t

An

gulo

de

Fas

e

Fac

tor

de

amp

lifi

caci

ón d

inám

ica

Relación de frecuencias Relación de frecuencias

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17

Ejemplo sobre: Movimiento amortiguado no forzado Dado un sistema a un grado de libertad, compuesto por un peso de 10kp en el extremo de una barra de acero cuya sección transversal es cuadrada de b=1cm , h=1cm y de longitud L=100cm, se pide: 1) Determinar experimentalmente: a) El decremento logarítmico, b) El período natural, c) Las amplitudes de la oscilación. 2) Determinar analíticamente: a) El período natural del sistema, con y sin amortiguamiento.

b) la respuesta y las amplitudes durante la oscilación.

2) Determinar analíticamente. a) Período natural, con y sin amortiguamiento.

Todas la unidades están expresadas en: fuerzas: [kp] , masa: [kg] , dimensiones: [cm], tiempo: [seg].

b 1 , h 1 , L 100 , g 980 , M10

g , =M 0.010204 , I

.b h3

12 , =I 0.083333

E .2.1 106 ,

K..3 E I

L3 =K 0.525

ω 1KM

=ω 1 7.172866 Entonces:

T 1.2 π

ω 1 =T 1 0.875966

amortiguamiento supuesto: ν 0.1

ω d.1 ν

2ω 1 =ω d 7.136911

Entonces:

T d.2 π

ω d =T d 0.880379

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18

condiciones de borde del problema: u o 3 , up o 1

Cup o

..u o ν ω 1

ω d

2

u o2 =C 3.032332

φ atanu o

upo ..u o ν ω 1

ω d

=.φ180

π81.625673

B 1 u o , B 2up o

..u o ν ω 1

ω d

b) Respuesta y amplitudes durante la oscilación. u ( )t ..exp ..ν ω 1 t C sin .ω d t φ , u( )t .exp ..ν ω 1 t .B 1 cos .ω d t .B 2 sin .ω d t

up1( )t ...ν ω 1 exp ..ν ω 1 t .B 1 cos .ω d t .B 2 sin .ω d t

up2( )t .exp ..ν ω 1 t ..B 1 sin .ω d t ω d..B2 cos .ω d t ω d

up( )t up1( )t up2( )t

upp( )t .exp ..νω1 t ...ν2 ω1

2 B1 cos .ωd t ...ν2 ω12 B2 sin .ωd t .....2 νω1 B1 sin .ωd t ωd

.....2 νω1 B2 cos .ωd t ωd..B1 cos .ωd t ωd

2 ..B2 sin .ωd t ωd2

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 43.5

2.625

1.75

0.875

0

0.875

1.75

2.625

3.5DESPLAZAMIENTO

u( )t

t

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19

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 421

15.75

10.5

5.25

0

5.25

10.5

15.75

21VELOCIDAD

up( )t

t

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4170

127.5

85

42.5

0

42.5

85

127.5

170ACELERACION

upp( )t

t

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20

Ejemplo sobre: Movimiento amortiguado forzado La viga simplemente apoyada de la figura, soporta en su centro un motor que 8000kp. Esta construida en acero y tiene una longitud de L=300 cm y un momento de inercia I=3000 cm4. El motor opera a una velocidad angular de 300 rev/min y su rotor tiene un peso excéntrico de 50kp a una distancia de 25 cm del eje de rotación. Se pide: 1) Calcular la amplitud del movimiento en el centro de la viga en estado de régimen. 2) Calcular la respuesta total en el tiempo del punto central de la viga. 3) Calcular la amplitud máxima en el caso de resonancia y obtener el número de revoluciones a la que se produce dicho estado dinámico. Nota: Considerar que el factor de amortiguamiento de la viga es el 10% del crítico.

)(tu

Fo sen(ϖ1t)

M

K S

M ü

Fo sen(ϖ1t)

)(tu

uK uS &

)(tuFo sen(ϖ1t)

M

Sistema Completo

Sistema - máquina

ω

L

EI M

M1

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21

1) Calcular la amplitud del movimiento en el centro de la viga en estado de régimen. Todas la unidades están expresadas en: fuerzas: [kp] , masa: [kg] , dimensiones: [cm], tiempo: [seg].

I 3000 L 300 e o 25 g 980 E .2.1 106 M8000

g M 1

50

g

ν 0.1 RPM 300 a) Frecuencia Natural

K..48 E I

L3 =K 1.12 104

ω 1KM

=ω 1 37.040518

T 1.2 π

ω 1 =T 1 0.16963

ω d.1 ν

2ω 1 =ω d 36.85485

T d.2 π

ω d =T d 0.170485

S c .2 .K M =S c 604.743157 S .ν S c =S 60.474316 b) Frecuencia de la forzante

ω .RPM .160

.2 π1

=ω 31.415927

c) Relación de frecuencia

αω

ω 1 =α 0.84815

)(tu K S )(tuuK uS &

eo M

M1ü1

(M1 – M1) ü

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22

d) Ecuación del movimiento F o

..M 1 ω2 e o =F o 1.258878 103

AF o

.K 1 α2 2

( )..2 ν α2

=A 0.342762

2) Calcular la respuesta total en el tiempo del punto central de la viga. Para condiciones de bordes naturales:

u o 0 up o 0 Ψ atan..2 ν α

1 α2

B 1

.F o sin( )Ψ

.K 1 α2 2( )..2 ν α 2

, o también: B 1 .A sin( )Ψ , =B 1 0.177306

B 2 .F o

..K 1 α2 2

( )..2 ν α2

1 ν2

( ).α cos( )Ψ .ν sin( )Ψ

o tambien: B 2.A ( ).α cos( )Ψ .ν sin( )Ψ

1 ν2

, =B 2 0.23223

Ecuación del desplazamiento de la masa excéntrica t)sin()()( 11 ω+= oetutu

Ecuación del movimiento de la masa que rota más la que no sufre rotación [ ] 0)( 111 =+++− uKuSuMuMM &&&&& Sustituyendo en esta última la ecuación del desplazamiento de la masa excéntrica,

ωω−=

ωω+=ω+=

t)sin()()(

t)cos()()(t)sin()()(

12

11

11111

o

oo

etutu

etutuetutu

&&&&

&&

resulta, ( )

( ) t)sin(

0t)sin(

1211

12111

ωω=++

=++ωω−+−

43421&&&

&&&&&&&

o

o

o

FeMuKuSuM

uKuSeuMuMuM

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23

up( )t .A sin( ).ω t Ψ u g( )t .exp ..ν ω 1 t .B 1 cos .ω d t .B 2 sin .ω d t u( )t up( )t u g( )t F( )t .F o sin( ).ω t Ψ

0 0.12 0.24 0.36 0.48 0.6 0.72 0.84 0.96 1.08 1.20.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

u p ( )t

u g ( )t

u ( )t

t

3) Calcular la amplitud máxima en el caso de resonancia y obtener el número de revoluciones a la que se pruduce dicho estado dinámico.

ω ω 1 , entonces, RPM ..1

60

.2 π

1

1

ω =RPM 353.710895

α 1 F o ..M 1 ω

2e o =F o 1.75 10

3

AF o

.K 1 α2 2( )..2 ν α 2

=A 0.78125

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24

• Aislamiento de Vibraciones. Dos problemas diferentes :

a) Respuesta al desplazamiento en la base

Caso de estructuras sometidas a movimientos en su cimentación SISMOS – EXPLOSIONES. - Aislamiento Absoluto: Se considera un movimiento armónico en la base de la estructura

a) Respuesta al desplazamiento en la base, b) Fuerza transmitida a la base.

)(tu

)(tus )(tus

2K

2K

M

M

K

S

)(tu)(tus

M ü

)(tu

)(tus

)( suuS && −

)( suuK −

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25

1

11

1

:suelodelmovimientodelfrecuencia,

)cos()(

)sen()(

(INPUT) Forzante ω

ωω=

ω=

tutu

tutu

os

os

&

• Ecuación expresada en Fuerzas,

( ) ( )

( ) ( ) )sen()cos()()()(

)()()()()(

0)()()()()(

0)()()(

111 tuKtuStuKtuStuM

tuKtuStuKtuStuM

tutuKtutuStuM

tFtFtF

oo

ss

ss

ESI

ω+ωω=++

+=++

=−+−+

=++

&&&

&&&&

&&&&

Pudiéndose escribir como,

( ) ( ) )sen()()()( 122

1 β+ω+ω=++ t

F

KSutuKtuStuM

o

o 444 3444 21&&&

donde:

( ) ( ) 112

1

12

1221 +

ωω

=+

ω

=+ω=MS

KuK

SKuKSuF oooo

( ) 12 2 +αν= KuF oo

αν=ω

=β 2)(tan 11

KS

uKuS

o

o

t1ω

t1ω

β ouK

ouS 1ω

oF

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26

La solución particular (de régimen o permanente), es la que corresponde a un movimiento oscilatorio forzado amortiguado.

( )[ ]Ψ+β+ωαν+α−

= tK

Ftu p 12222

0 sen4)1(

)(

Sustituyendo Fo por su magnitud, se obtiene la relación de desplazamientos,

( )[ ]Ψ+β+ωαν+α−

+αν= t

Ku

tu

o

p12222

2

sen4)1(

1)2()(

Se define la TRANSMISIBILIDAD RELATIVA como el grado de aislamiento entre la estructura y el terreno,

1)2(f4)1(

1)2(T 2

2222

2

r +αν=αν+α−

+αν== A

o

maxp

Ku

u

La transmisibilidad también puede interpretarse como una relación de fuerzas,

Sustituyendo ( ) 12 2 +αν= KuF oo en la expresión de la transmisibilidad, resulta

1)2(1)2(

1)2(

T 22

2

r +αν=+αν=

+αν

==o

max

o

maxp

o

maxp

o

maxp

F

F

F

uK

K

F

u

u

u

Por comparación con la anterior, resulta otra forma de definir el factor de amplificación dinámica de la respuesta estática

00f

FF

uA max

A == donde maxF es la Fuerza Estática Equivalente

Del análisis del concepto de transmisibilidad, surge que el amortiguamiento disminuye

la transmisión de fuerzas a la estructura, siempre que 2≤α . Para valores mayores

de 1

ω=α (forzantes con frecuencia mayor que la propia de la estructura), el efecto

del amortiguamiento actúa negativamente sobre la estructura.

Respuesta absoluta del oscilador (respecto del origen de coordenadas)

0Tr → AISLADO 1Tr → No-AISLADO ∞→rT AMPLIFICADO

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27

ν=0

ν=0

ν=0.2

ν=0.3

ν=0.5 ν=0.7

ν=1 ν=1.5

ν=15

2

Am

plifi

cado

A

islad

o

No Aislado

11 ωω=α

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28

- Aislamiento Relativo a la base: Se considera un movimiento armónico en la base de la estructura, pero en vez de considerar que este movimiento activa las fuerzas elásticas FE y de amortiguamiento FS, se admite que actúa sobre las fuerzas de Inercia FI .

)(tu Desplazamiento relativo a la base.

ω−=ωω−=

ωω=ω=

)()sen()(

)cos()(

)sen()(

(INPUT) Forzante211

21

11

1

tututu

tutu

tutu

sos

os

os

&&

&

• Ecuación expresada en Fuerzas,

( ) 0)()()()(

0)()()(

0)()()(

=+++

=++

=++

tuKtuStutuM

tuKtuStuM

tFtFtF

S

T

ESI

&&&&&

&&&

)(tuT

)(tu)(tus

2K

2K

M

2K

2K

M

suelodelmovimientodelfrecuencia:1ω

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29

MtF

tutututu

tFtuMtuKtuStuM

effS

effS

)()()()(2)(

naceleració en tambiéno

)()()()()(

211 =−=ω+νω+

=−=++

&&&&&

&&&&&

donde Feff es la denominada fuerza efectiva que actúa sobre la masa del sistema. Sustituyendo la aceleración del terreno, se tiene

( ) )sen()()()( 121 t

F

uMtuKtuStuM

o

o ωω=++43421

&&&

La solución particular (de régimen o permanente), es la que corresponde a un movimiento oscilatorio forzado amortiguado.

[ ]Ψ+ωαν+α−

= tK

Ftu p 12222

0 sen4)1(

)(

Sustituyendo Fo por su magnitud, se obtiene la relación de desplazamientos,

[ ]Ψ+ωαν+α−

α= t

Ku

tu

o

p12222

2sen

4)1(

)(

Se define la TRANSMISIBILIDAD RELATIVA como el grado de aislamiento entre la estructura y la cimentación,

2

2222

2f

4)1(T R

r α=αν+α−

α== A

o

maxp

Ku

u

Respuesta relativa del oscilador (respecto de la cimentación)

0Tr → AISLADO 1Tr → No-AISLADO ∞→rT AMPLIFICADO

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30

ν=0

ν=0

ν=0.2

ν=0.3

ν=0.5

ν=0.7 ν=1

ν=1.5

ν=15

Am

plifi

cado

A

isla

do

No Aislado

11 ωω=α

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31

b) Fuerza transmitida a la base la base

Caso de estructuras que soportan máquinas y donde se quiere aislar a las estructuras de la excitación producida por las mismas.

)sen()(:(INPUT) Forzante 1 tFtF oeff ω=

• Ecuación expresada en Fuerzas,

)sen()()(2)(

naceleració en tambiéno

)()sen()()()(

1211

1

tM

Ftututu

tFtFtuKtuStuM

o

effo

ω=ω+νω+

=ω=++

&&&

&&&

)(tu

Fo sen(ϖ1t)

M

K S

M ü

Fo sen(ϖ1t)

)(tu

uK uS &

)(tu Fo sen(ϖ1t)

M

Sistema Completo

Sistema - máquina

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32

La solución particular (de régimen o permanente), es la que corresponde a un movimiento oscilatorio forzado amortiguado.

[ ]

[ ]Ψ+ωαν+α−

ω=

Ψ+ωαν+α−

=

tK

Ftu

tK

Ftu

p

p

1222201

122220

cos4)1(

)(

sen4)1(

)(

&

La fuerza transmitida a través del muelle y el amortiguador vale,

[ ]

[ ]44 344 21

&

φ+ω

β+Ψ+ωω+=

Ψ+ωω+Ψ+ω=+=

t

tSKAF

tStKAuSuKF

T

T

1

)(sen)(

tambiéno

)cos()sen(

12

12

111

donde: Observar que el ángulo φ expresa la suma del desfase de la fuerza Ψ y el de la respuesta total de la estructura respecto del desplazamiento β . Sustituyendo en la ecuación de la fuerza, la expresión de la amplitud, resulta,

( )

( )222

2

12

12

222

)2()1(

)2(1

:serámáximosuy

sen)()2()1(

να+α−

να+=

φ+ωω+να+α−

=

omax

T

oT

FF

tSKK

FF

21

2)tan(

α−

να−=Ψ

222

3

2

1

41

2)(tan)(tan1)(tan)(tan

)(tan)tan(

1

2)(tan

2)tan(

αν−α−

να−=

βΨ−β+Ψ

=β+Ψ=φ

α−

να−=Ψ

να=ω

=βK

S

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33

Y se define la TRANSMSIBILIDAD al cimiento con la siguiente relación,

( )222

2

r)2()1(

)2(1T

να+α−

να+==

max

o

T

FF

Aislar la cimentación exige disminuir la transmisibilidad.

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34

Ejemplo sobre: Movimiento amortiguado forzado El pórtico de la figura esta sometido a un movimiento sinuosidad en la base, de valor uo=0,5cm y frecuencia de 5,3rad/seg. Determinar:

a) Transmisión del movimiento al travesaño del pórtico. b) Fuerza cortante máxima en las columnas. c) Momento flector máximo en las columnas y la correspondiente tensión máxima. d) Graficar la respuesta en desplazamientos en el tiempo. e) Encontrar un nuevo diseño sin cambiar la geometría, para que la transmisibilidad sea menor que la unidad. Nota: Considerar que el factor de amortiguamiento del pórtico es el 5% del crítico y la estructura está construida en acero. Todas las unidades están expresadas en [cm], [kp], [kg] y [seg].

a) Transmisión del movimiento al travesaño del pórtico.

I c 2880 , W c 288 , L 600 , h 500 , g 980 , E .2.1 106 , P 7000 M

P

g

ν 0.05 Desp. Impuesto )sen( tuo ω :

u o 0.5 , ω 5.3

a-1) Frecuencia Natural

K

..24 E I c

h3 =K 1.161216 103

ω1

KM

=ω 1 12.750304

)(tus )(tus

L=600

h=500 Ic=2800 Wc=288

Iv=∞

Q

Mf

Mf

Ψ

Q

uo

oc

T

ocf

occ

f

u

Kh

EIQQ

uhEI

h

MQ

uh

EIhEI

M

3213

3

2

242

122

66

==

==

=Ψ=

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35

Entonces:

T 1

.2 π

ω 1 =T 1 0.492787

ω d.1 ν

2ω 1 =ω d 12.734356

Entonces:

T d

.2 π

ω d =T d 0.493404

S c

.2 .K M =S c 182.147193

S.ν S c =S 9.10736

a-2) Relación de frecuencia

α

ω

ω 1 =α 0.415676

a-3) Transmisibilidad Absoluta

T r( )..2 ν α 2 1

1 α2 2( )..2 ν α 2

=T r 1.208398 20% de amplificación

u pMax

.T r u o =u pMax 0.604199 Desp. respecto de la posición de origen

a-4) Transmisibilidad Relativa a la base

T rRα2

1 α2 2( )..2 ν α 2

=T rR 0.208615

u pR .T rR u o =u pR 0.104308 Desp. respecto de la base

a-5) Amplificación dinámica

f A1

1 α2 2( )..2 ν α 2

=f A 1.207355

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36

b) Fuerza cortante máxima en las columnas El cortante máximo a nivel de piso surge a partir del movimiento relativo entre el travesaño y la base.

Q T .K u pR =Q T 121.123568 El cortante por cada columna valdrá entonces,

Q c

Q T

2 =Q c 60.561784

c) Momento flector máximo en las columnas y la correspondiente tensión

máxima.

M fMax ...6 E I c

h2u pR =M fMax 1.514045 10

4

o también:

M fMax.Q ch

2 =M fMax 1.514045 10

4

Resultando la tensión máxima,

σM fMax

W c =σ 52.570993

El cortante máximo podría haberse obtenido a partir del concepto de fuerza efectiva. F eff .M .ω2 u o =F eff 100.321429 F o F eff Q T

.f A F eff =Q T 121.123568 Fuerza estática equivalente

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37

d) Respuesta en desplazamientos en el tiempo.

AF o

.K 1 α2 2( )..2 ν α 2

=A 0.104308

Para condiciones de bordes naturales (desplazamiento y velocidad inicial nula):

Ψ atan

..2 ν α

1 α2

B 1

.F o sin( )Ψ

.K 1 α2 2

( )..2 ν α2

o tambien, B 1 .A sin( )Ψ , =B 1 0.005235

B 2.

F o

..K 1 α2 2( )..2 ν α 2 1 ν2

( ).α cos( )Ψ .ν sin( )Ψ

o tambien, B 2.A ( ).α cos( )Ψ .ν sin( )Ψ

1 ν2 , =B 2 0.043096

Solución particular: u p( )t .A sin( ).ω t Ψ

Solución general: ug( )t .exp ..ν ω 1 t .B1 cos .ω d t .B2 sin .ω d t

Solución completa: u( )t u p( )t u g( )t

Desplazamiento del terreno: u s( )t .u o sin( ).ω t

0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 60.55

0.413

0.275

0.138

0

0.138

0.275

0.413

0.55

u s( )t

u( )t

t

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38

0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 60.15

0.112

0.075

0.037

0

0.037

0.075

0.112

0.15

u p ( )t

u g ( )t

u( )t

Lsup

Linf

t

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39

Ejemplo sobre: Movimiento amortiguado forzado – Pórtico más flexible El pórtico de la figura no ha cambiado su geometría respecto del anterior, sólo ha habido un cambio en las condiciones de vínculo. Esta sometido a un movimiento sinuosidad en la base, de valor uo=0,5cm y frecuencia de 5,3rad/seg. Determinar:

a) Transmisión del movimiento al travesaño del pórtico. b) Fuerza cortante máxima en las columnas. c) Momento flector máximo en las columnas y la correspondiente tensión máxima. d) Graficar la respuesta en desplazamientos en el tiempo. e) Encontrar un nuevo diseño sin cambiar la geometría, para que la transmisibilidad sea menor que la unidad. Nota: Considerar que el factor de amortiguamiento del pórtico es el 5% del crítico y la estructura está construida en acero. Todas las unidades están expresadas en [cm], [kp], [kg] y [seg].

a) Transmisión del movimiento al travesaño del pórtico.

I c 2880 , W c 288 , L 600 , h 500 , g 980 , E .2.1 106

, P 7000 MPg

ν 0.05 Desp. Impuesto )sen( tuo ω :

uo 0.5 , ω 5.3

a-1) Frecuencia Natural

K

..6 E I c

h3

=K 290.304

ω1

KM

=ω 1 6.375152

)(tus)(tus

L=600

h=500 Ic=2800 Wc=288

Iv=∞

Q

Mf

Ψ

Q

uo

{oT

of

of

u

KLEI

QQ

uLEI

L

MQ

uLEI

LEIM

3

3

2

62

3

33

==

==

=Ψ=

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40

Entonces:

T 1

.2 π

ω 1 =T 1 0.985574

ω d

.1 ν2 ω 1 =ω d 6.367178 Entonces:

T d

.2 π

ω d =T d 0.986809

S c .2 .K M =S c 91.073597

S .ν S c =S 4.55368

a-2) Relación de frecuencia

α

ω

ω 1 =α 0.831353

a-3) Transmisibilidad Absoluta

T r( )..2 ν α 2 1

1 α2 2( )..2 ν α 2

=T r 3.137291

u pMax .T r u o =u pMax 1.568646 Desp. respecto de la posición de origen

a-4) Transmisibilidad Relativa a la base

T rRα2

1 α2 2

( )..2 ν α2

=T rR 2.160876

u pR .T rR u o =u pR 1.080438 Desp. respecto de la base

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41

a-5) Amplificación dinámica

f A1

1 α2 2( )..2 ν α 2

=f A 3.126506

b) Fuerza cortante máxima en las columnas El cortante máximo a nivel de piso surge a partir del movimiento relativo entre el travesaño y la base.

Q T .K u pR =Q T 313.655512 El cortante por cada columna valdrá entonces,

Q c

Q T2

=Q c 156.827756

c) Momento flector máximo en las columnas y la correspondiente tensión máxima.

M fMax.

..3 E I c

h2u pR =M fMax 7.841388 10

4

o también:

M fMax.Q c h =M fMax 7.841388 104

Resultando la tensión máxima,

σM fMax

W c =σ 272.27041

El cortante máximo podría haberse obtenido a partir del concepto de fuerza efectiva. F eff .M .ω2 u o =F eff 100.321429 F o F eff

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

fA( )α

α

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42

Q T .f A F eff =Q T 313.655512 Fuerza estática equivalente d) Respuesta en desplazamientos en el tiempo.

AF o

.K 1 α2 2( )..2 ν α 2

=A 1.080438

Para condiciones de bordes naturales (desplazamiento y velocidad inicial nula):

Ψ atan

..2 ν α

1 α2

B 1

.F o sin( )Ψ

.K 1 α2 2( )..2 ν α 2

o también, B 1.A sin( )Ψ , =B 1 0.280831

B 2.

F o

..K 1 α2 2( )..2 ν α 2 1 ν2

( ).α cos( )Ψ .ν sin( )Ψ

o también, B 2.A ( ).α cos( )Ψ .ν sin( )Ψ

1 ν2

, =B 2 0.85438

Solución particular: u p( )t .A sin( ).ω t Ψ

Solución general: ug( )t .exp ..ν ω 1 t .B1 cos .ω d t .B2 sin .ω d t

Solución completa: u( )t u p( )t u g( )t

Desplazamiento del terreno: u s( )t .u o sin( ).ω t

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43

0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 121.5

1.125

0.75

0.375

0

0.375

0.75

1.125

1.5

u s( )t

u( )t

t

0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 121.5

1.125

0.75

0.375

0

0.375

0.75

1.125

1.5

u p( )t

u g( )t

u( )t

Lsup

Linf

t

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44

Problemas a Resolver Problema 1: Una máquina pesa 8000 kp y está montada en la mitad de la luz de una viga de acero simplemente apoyada. La longitud de la viga es de 3m y su módulo de elasticidad es de 2.1x106. El pistón de la máquina tiene un movimiento vertical que produce una fuerza armónica cuya frecuencia es de 9.55 Hz. y una amplitud de 3000 kp. 1. Despreciando el peso propio de la viga, y suponiendo una factor de

amortiguamiento del 10% del crítico, determinar: 1.1. La amplitud del movimiento de la máquina, 1.2. La fuerza transmitida a los apoyos, 1.3. El ángulo de fase, 1.4. La respuesta en el tiempo. 1.5. Dimensionar la viga para que trabaje como máximo a su límite de

elasticidad, ./2400 2cmkpe =σ 2. Considerando el peso propio de la viga, repetir los cálculos anteriores.

Problema 2: Dado un oscilador simple, cuya frecuencia fundamental es ω1: a) Graficar las curvas de transmisibiliad para el caso en que la frecuencia

fundamental de la excitación armónica varíe entre 11 50 ω≤ω≤ . Considerar en cada caso los siguientes amortiguamiento:

9.0,7.0,5.0,3.0,1.0,0=ν . b) Según la gráfica obtenida, calcular la fuerza máxima estática equivalente

para el pórtico de la figura (máximo cortante en la base), sabiendo que la frecuencia de la excitación es de 1Hz, 1000kp y dura 12 segundos.

c) Resolver el mismo problema, considerando la ecuación del movimiento con

todos su términos y obtener el máximo del desplazamiento y la fuerza cortante en la base.

L

EI M

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45

Problema 3: Considérese un depósito de agua cilíndrico como se muestra en la figura. Se quiere obtener la respuesta en el tiempo en forma aproximada a un oscilador a un grado de libertad, bajo el supuesto que actúe una aceleración horizontal armónica de 0.5 de la gravedad y con una frecuencia angular de 40 rad/seg . Considerar en forma desacoplada dos de los principales modos de vibrar de esta estructura.

P=500 Kp.

K=200.kp/cm K=200.kp/cm

ν=0.2

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46

ANEXO Obtención de las fuerzas del sistema amortiguado

up( )t ..f AF oK

.1 α2 sin .w1 t ...2 ν α cos .w 1 t Solución Particular

ddt

..f AF oK

.1 α2 sin .w 1 t ...2 ν α cos .w 1 t =

= ..f AF oK

..1 α2 cos .w 1 t w1....2 ν α sin .w1 t w 1

d

dt..f A

F oK

..1 α2 cos .w1 t w 1....2 ν α sin .w 1 t w1 =

= ..f AF oK

..1 α2 sin .w1 t w 12 ....2 ν α cos .w1 t w 1

2

Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial del movimiento, resulta

.Md

d

2

2tup

.Sd

d tup

.K u p.F o sin( ).w t = 0

...M f AF oK

..1 α2 sin .w1 t w 12 ....2 ν α cos .w1 t w 1

2 +

+ ...S f AF oK

..1 α2 cos .w1 t w1....2 ν α sin .w1 t w 1 +

+ ...K f A

F o

K.1 α2sin .w 1 t ...2 ν α cos .w 1 t .F o sin( ).w t =0

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47

En esta se identifican las siguientes fuerzas,

F I

...M f A

F o

K..1 α2 sin .w 1 t w 1

2 ....2 ν α cos .w 1 t w 12

sin( ).w t

F s

...S f A

F o

K..1 α2 cos .w 1 t w 1

....2 ν α sin .w 1 t w 1

sin( ).w t

F k

...K f A

F o

K.1 α2 sin .w 1 t ...2 ν α cos .w 1 t

sin( ).w t

F ext.F osin( ).w t

sin( ).w t

F ext F o , α w

w1 ,

w1KM

,

K .w 12 M

Sustituyendo esta definiciones en las magnitudes de las fuerzas, resulta: Expresión para la fuerza de inercia:

F I...M f A

F oK

..1 α2 sin .w1 t w 12 ....2 ν α cos .w 1 t w1

2

F I..f A

F o

w 12

..1 α2 sin .w1 t w 12 ....2 ν α cos .w 1 t w1

2

F I..f A F o .sin .w 1 t 1 α2 ...2 ν α cos .w 1 t

Expresión para la fuerza de amortiguamiento:

F s...S f A

F oK

..1 α2 cos .w 1 t w1....2 ν α sin .w 1 t w1

F s..f A

...F o

w 12

2 ν w 1..1 α2

cos .w 1 t w 1....2 ν α sin .w 1 t w 1

F s....2 f A

F o

w 1ν ..1 α2 cos .w 1 t w 1

....2 ν α sin .w 1 t w 1

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48

F s....2 f A F o ν .1 α2

cos .w 1 t ...2 ν α sin .w 1 t Expresión para la fuerza elástica:

F k...K f A

F o

K.1 α

2sin .w 1 t ...2 ν α cos .w 1 t

F k..f A F o

.1 α2sin .w 1 t ...2 ν α cos .w 1 t

Expresión para la fuerza aplicada F ext

.F o sin( ).w t

RESUMEN

[ ]

[ ]

[ ]

[ ])sen()(

)cos()2()sen()1(f)(

)sen()2()cos()1(f2)(

)cos()2()sen()1(f)(

10

112

02

112

02

112

02

tFtF

ttFtF

ttFtF

ttFtF

eff

AE

AS

AI

ω=

ωνα−ωα−=

ωνα+ωα−ν=

ωνα+ωα−−=

ω1

t Fo

Ψ

Ψ Ψ ω1t

ω1t

ω1t FE

FI

FS

)2(f 02 ναFA

)1(f 20

2 α−FA

)1(f2 20

2 α−νFA

αν20

2f4 FA

)2(f 02 ναFA

)1(f 20

2 α−FA

ω1t

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RESPUESTA DINAMICA DE LAS

ESTRUCTURAS

Parte 2

Sergio Oller

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Indice Oscilaciones Forzadas Amortiguadas – No Armónicas 1

Ecuación del movimiento 1

Respuesta a un impulso elemental 2

Oscilador sometido a un impulso en un instante cualquiera 3

Oscilador sometido a una sucesión de impulsos – Int. Duhamel 4

Solución exacta de la integral de Duhamel 6

Solución aproximada de la integral de Duhamel 8

Integración directa de la ecuación del movimiento 10

Solución explícita en diferencias centradas 11

Solución implícita de Newmark 12

Ejemplos de programación 16

Problemas a resolver 22

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1

Oscilaciones Forzadas Amortiguadas – No Armónicas

Oscilador sometido a un impulso elemental.

• Ecuación del Movimiento Se presenta este tema desde un enfoque basado en la respuesta a impulsos elementales • Ecuación expresada en Fuerzas,

)()(

)()()()(

tuMtF

tFtuKtuStuM

s&&

&&&

−=

=++

• Ecuación expresada en aceleraciones,

)()(

)()(2)( 211 tu

MtF

tututu s−==ω+ων+ &&&

K

S

)(tus

t

IMP

UL

SO

AP

LIC

AD

O

t

t )(tu

dtM

tFuo

)(=&

[ ] to eu 1'

1νω−ω&

[ ] to eu 1'

1νω−ω&

dt<<T

RE

SP

UE

ST

A O

BT

EN

IDA

Ft

dt<<T

Oscilación libre

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2

• Respuesta a un impulso elemental, Basado en el teorema del impulso, se puede escribir,

udMdtdtudMdttFdI &&

=

== )(

dtM

tFMdI

ud)(

==& ⇒ dtM

tFMdI

utt

∫∫ ==00

)(&

Debido a que se trata de un impulso inicial, se tienen las siguientes condiciones de contorno:

===

==

0)0(

)0(

o

o

utu

utu &&

Considerando ahora la respuesta libre de un oscilador amortiguado, sometido a una velocidad inicial, se tiene

( )[ ]4444 34444 21

4444444 34444444 21 ATRANSITORIPARTEHOMOGENEASOLUCION

t

PARTICULARSOLUCION

tCetK

Ftu )sen()sen(

4)1()( '

1122220 1 ϕ+ω+

ψ+ω

αν+α−= νω−

Debido a que no actúa una fuerza, sino un impulso inicial y luego se deja vibrar libremente el oscilador, se tiene sólo la parte homogénea de la respuesta

ϕ+ν−ω=→= νω− teCtuF t

o2

1 1sen()(0para 1

de las condiciones de borde con velocidad inicial impuesta y desplazamiento nulo, resulta

ν−ω

ν−ω= νω− te

udtdu to 2

12

1

1sen(1

)( 1&

Sustituyendo oud & en función del impulso, resulta,

dIthteM

dItdu t )(1sen(

1)( 2

12

1

1 =

ν−ω

ν−ω= νω−

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3

donde h(t) es el denominado Impulso Elemental Unitario. Así, el cambio en la respuesta puede también escribirse como,

dttFthdIthtdu )()()()( ==

siendo esta la variación de la respuesta provocada por un cambio en el impulso dI o una carga de duración F(t) dt.

Oscilador sometido a un impulso elemental en un instante τ cualquiera. La respuesta libre se inicia ahora en un tiempo cualquiera, τ+τ= dt1 El nuevo impulso elemental se escribe ahora como )( τ−th , la fuerza como )(τF y el cambio en la respuesta como,

τττ−=τ−= dFthdIthtdu )()()()(

IMP

UL

SO

AP

LIC

AD

O

Ft

dt<<T

Oscilación libre

t1=(τ+dτ) to= τ

τ>≥ 1ttFt

t

t )(tu

dtM

tFuo

)(=&

dt<<T RE

SP

UE

ST

A O

BT

EN

IDA

τ

[ ] )('1

1 τ−νω−ω to eu&

[ ] )('1

1 τ−νω−ω to eu&

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4

Oscilador sometido a una sucesión de impulsos elementales- Integral de Duhamel. Si se tiene un impulso de duración t (finito), este puede descomponerse en una superposición de impulsos elementales de duración dτ. De esta forma, la respuesta total resultará de la superposición de cada una de las respuestas correspondiente a cada impulso elemental (ver figura siguiente).

∫∫∫ τττ−=τ−==tIt

dFthdIthtdutu

ult

000

)()()()()(

Nótese que para cada it , esta integral superpone una nueva oscilación libre, cuyo

dominio va desde ulti ttt <≤ (concepto de convolución). Sustituyendo en esta última

la expresión del impulso elemental unitario h, se tiene,

∫ τ

τ−ν−ω

ν−ω

τ= τ−νω−

tt dte

M

Ftu

0

21

)(2

1

)(1sen(1

)()( 1

Esta integral recibe el nombre de Integral de Convolución de Duhamel. La integral de Duhamel da la respuesta de un sistema dinámico sometido a una fuerza no-armónica. Se basa en la superposición de respuestas producidas por una sucesión continua de impulsos. Para una aceleración en la base de magnitud )(tus&& , resulta una fuerza inercial aplicada

de magnitud )()( tuMtF s&&−= que induce al oscilador a una respuesta del siguiente tipo,

( )∫ ττ−ν−ωτν−ω

−= τ−νω−t

ts dteutu

0

21

)(

21

)(1sen()(1

1)( 1&&

Esta expresión es exacta, pero está limitada a problemas lineales por que utiliza el principio de superposición: descomposición de la carga y composición de la respuesta.

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5

IMP

UL

SO

AP

LIC

AD

O

Impu

lso

1

Impu

lso

2

Impu

lso

n

)()( tuMtF s&&−=

to=0 τ+dτ τ

tult. t t

t1 tn tn-1

t

)(1 tu

tMtF

u oo ∆=

)(1&

Oscilación libre

t1

C1

∆t

t

)(2 tu

tMtF

uo ∆=)( 12&

[ ] )('1

2 11 tto eu −νω−ω&

Oscilación libre

t2

C2

2 ∆t

[ ] )('1

2 11 tto eu −νω−ω&

[ ] )('1

1 1 otto eu −νω−ω&

[ ] )('1

1 1 otto eu −νω−ω&

t

)(3 tu

tMtF

uo ∆=)( 23&

[ ] )('1

3 21 tto eu −νω−ω&

Oscilación libre

t3

C3

3 ∆t

[ ] )('1

3 21 tto eu −νω−ω&

t1

t2

to

++

++

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6

Otra forma de escribir la integral de Duhamel es a partir del desdoblamiento y agrupación de las funciones trigonométricas y exponenciales. Esta forma es muy útil para realizar su evaluación numérica, esto es:

∫ τ

τ−ν−ωτ

ν−ω−= τ−νω−

tt

s dteutu0

21

)(2

1

)(1sen()(1

1)( 1&&

teniendo en cuenta que,

=

τωω−τωω=τω−ωτνω−νω−τ−νω− 111 )(

'1

'1

'1

'1

'1

'1 )sen()cos()cos()sen()sen(

eee

ttttt

la integral de Duhamel se escribe ahora como

[ ])cos()()sen()()( '1

'1'

1

1

ttBttAe

tut

ω−ωω

−=νω−

,

ττωτ=

ττωτ=

τνω

τνω

t

s

t

s

deutB

deutA

0

'1

0

'1

)sen()()(

)cos()()(

1

1

&&

&&

Solución exacta de la integral de Duhamel. En el caso particular en que la carga o la aceleración impuesta pueda definirse mediante una función poligonal, a trazos rectos, puede obtenerse una forma simple para evaluar la integral de Duhamel definida en el párrafo anterior, sin recurrir a una convolución. Definiendo entonces la aceleración como,

1

1

11

)()(:con

),(.)()(

−−

−−

=

−τ+=τ

ii

isis

iiss

tttutu

m

tmtuu&&&&

&&&&

La integral de Duhamel tiene solución exacta para las siguientes condiciones iniciales,

üs(ti-1)

üs(ti)

üs(τ)

ti-1 ti τ

i-1

i

i+1

üs

t

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7

===

==

0)0(

)0(

o

o

utu

utu &&⇒

( )

[ ]

ω−ωω

−=

ττ−ωτω

−=

νω−

τ−νω−∫

)cos()()sen()()(

tambiéno

)(sen()(1

)(

'1

'1'

1

0

'1

)('1

1

1

ttBttAe

tu

dteutu

t

tt

s&&

Sustituyendo en ésta última forma de la integral de Duhamel la linealización de la aceleración arriba mencionada, )(.)()( 11 −− −τ+=τ iiss tmtuu &&&& , se obtiene la forma discreta de las constantes A(t) y B(t), y con estas la primitiva buscada,

( )

( )

( )

( )

των−τω

ωω

+

+των−+των

ω

+=

των−τω

ωω

+

+των−+των

ω

+=

τνω

τνω

i

i

s

sii

i

i

s

sii

t

tmu

mue

tBtB

t

tmu

mue

tAtA

1

'11

1

'1

'1

212

11

1

'11

1

'1

'1

212

11

)cos(2)(

)sen()21()()()(

)sen(2)(

)cos()21()()()(

1

1

&&

&&

&&

&&

))(,)(()( iii tBtAftu =⇒ Derivando la respuesta en desplazamientos, se obtiene la respuesta en velocidades y aceleraciones,

[ ] )()sen()()cos()()( 1'1

'1

1 tuttBttAetu t νω+ω+ω−= νω−&

)()(2)()( 121 tutututu s&&&&& +ων−ω−=

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8

Solución aproximada de la integral de Duhamel. Una buena alternativa es resolver la integral por una suma finita dentro del intervalo

ii ttt ≤≤−1 . Esto permite resolver directamente la integral de Duhamel en su forma clásica, realizando la correspondiente convolución. El coste de resolución no es alto gracias a los actuales ordenadores que se disponen. Regla del Trapecio: Se admite el intervalo de integración ii ttt ≤≤−1 , dividido en “n” partes iguales, tal que

la distancia entre cada punto de división del intervalo será ntth i )( 1−−= . Se aproxima la función integrable mediante un polinomio de Lagrange de primer grado. Esto es,

“n” sub-intervalos: Se aproxima la integral a través

de: ∫∫−

≈ n

o

i

i

x

x

t

tdxxpdttf )()(

1

con: jixfxx

xxxp j

n

ji ij

i i ≠∀−

−= ∑

∏∏

==

= )()(

)()(

0 1

0

1

0

sustituyendo, resulta:

( )

Error

fffffh

dxxpn

o

x

x nno

+

++++++=∫ −121 2222

)( L

t , x

f(ti-1)

f(ti)

i-1

i

f(t)

p(t)

ti-1=xo

f(t)

h h hti=xn

x1 x2 • • •

f(ti-1)

f(ti)

i-1

i

f(t)

p(t)

f(t)

h

ti-1=xo ti=x1 t , x

“n=1” sub-intervalo: Se aproxima la integral a

través de: ∫∫−

≈ 1

1

)()(x

x

t

t o

i

i

dxxpdttf

con: )()()(

)()()(

)( 111

1 xfxxxx

xfxxxx

xpo

oo

o −−

+−−

=

sustituyendo, resulta:

( ) Errorffh

dxxpx

x oo

++=∫1

12)(

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9

Regla de las Parábolas –Simpson-: Se admite el intervalo de integración ii ttt ≤≤−1 , dividido en “n” partes iguales, tal que

“n” es par, la distancia entre cada punto de división del intervalo será ntth i )( 1−−= . Se aproxima la función integrable mediante un polinomio de Lagrange de segundo grado. Esto es,

“n” sub-intervalos: Se aproxima la integral a través

de: ∫∫−

≈ n

o

i

i

x

x

t

tdxxpdttf )()(

1

con: jixfxx

xxxp j

n

ji ij

i i ≠∀−

−= ∑

∏∏

==

= )()(

)()(

0 2

0

2

0

sustituyendo, resulta:

(

) Errorfff

ffffh

dxxp

nnn

ox

x

n

o

++++

++++=

−−

∫12

321

42

4243

)( L

t , x

f(ti-1)

f(ti)

i-1

i

f(t)

p(t)

ti-1=xo

f(t)

h h hti=xn

x1 x2 • • •

“n=2” sub-intervalo: Se aproxima la integral a

través de: ∫∫−

≈2

)()(1

x

x

t

t o

i

i

dxxpdttf

con:

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))(()(

122

11

211

2

21

21

oo

o

o

o

ooo

xfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxp

−−−−

+−−

−−+

+−−

−−=

sustituyendo, resulta:

( ) Errorfffh

dxxpx

x oo

+++=∫2

1143

)(

f(ti-1)

f(ti)

i-1

i

f(t)

p(t)

f(t)

h ti-1=xo ti=x2 t , x x1

h

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10

Integración directa de la ecuación del movimiento. Dada la ecuación del movimiento,

)()()()( tFtuKtuStuM =++ &&&

puede obtenerse la respuesta en forma directa sin necesidad de utilizar el concepto de superposición de impulsos propuesto por Duhamel. Esta ecuación puede resolverse en forma explícita-implícita. Esto es, dada la solución en desplazamientos y velocidades en un tiempo t, se quiere conocer la misma en un tiempo posterior,

∆+α+α−=∆+∆α+∆+=∆+

)()()1()(

)()()(

ttututtu

ttuttuttu&&&

&

donde α es un parámetro que permite pasar de una solución:

• Explícita: se plantea el equilibrio en el instante t. Con 0=α , se obtiene el desplazamiento en el paso posterior dependiente de la velocidad y el desplazamiento en el anterior,

• Implícita: se plantea el equilibrio en el instante t+∆t. Con 1=α , se obtiene el desplazamiento en el paso posterior dependiente de la velocidad en tiempo actual y el desplazamiento en el anterior.

α Método Tipo de solución 0 Dif. Adelante

Forward Euler 1/2 Regla Medio Punto

Crank-Nicholson 2/3 Galerkin

1 Dif. Atrás

Backward Euler

Explícito

Implicito

t t t+∆t t+α ∆t

u(t+∆t) u(t+α ∆t)

u(t) u(t)

u(t+α ∆t) u(t+∆t)

t t t+∆t t+α ∆t

u(t+∆t) u(t+α ∆t)

u(t)

α=0

α=0.5

α=1

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11

Solución explícita en diferencias centradas. Este método permite obtener la respuesta en tt ∆+ , a partir de realizar un equilibrio en el instante de tiempo t . No necesita resolver un sistema de ecuaciones para obtener la solución, sino que esta se obtiene a través de un producto – solución hacia delante -. El método es condicionalmente estable, para criticott ∆<∆ . Estableciendo nuevamente la pendiente en el espacio de velocidades, se tiene la correspondiente aceleración,

t

ttuttutu

∆∆−−∆+

=)(ˆ)(ˆ

)(&&

&& ;

∆−∆+

=∆+

∆∆−−

=

ttuttu

ttu

tttutu

tu

)()()(ˆ

)()()(ˆ

&

&

t

tttutu

ttuttu

tu∆

∆∆−−

−∆

−∆+

=

)()()()(

)(&&

2

)()(2)()(

t

ttututtutu

∆∆−+−∆+

=&&

Sustituyendo en la ecuación diferencial del movimiento,

)()()()( tFtuKtuStuM =++ &&& , con: )()()( tuMtPtF s&&−= resulta una ecuación algebraica en diferencias centradas,

t t t+∆t t- ∆t

u(t+∆t) u(t)

u(t-∆t) t

ttuttutu

∆∆−−∆+

=2

)()()(&

El campo de velocidades resulta de establecer la pendiente entre dos puntos del campo de desplazamientos:

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12

[ ] [ ] )()()()(2

1)()(2)(

12

tFtuKttuttuSt

ttututtuMt

=+∆−−∆+∆

+∆−+−∆+∆

Pudiéndose escribir el equilibrio en el tiempo t , como:

)()(ˆ tRttuM =∆+

siendo:

+∆

=t

S

t

MM

2

[ ] )(2

)(2

)()()( 22 ttut

Mt

StuK

t

MtuMtPtR s ∆−

−∆

+

∆+−= &&

Puede probarse que este método es estable si 12 ω<∆t Nota: Ver programa DIF-FIN Solución implícita de Newmark. Este método permite obtener todas las respuestas –desplazamiento, velocidades y aceleraciones- a partir del equilibrio en tt ∆+ . A diferencia de los métodos explícitos, se parte de la aceleración y se va integrando hasta llegar a la velocidad. Cálculo de la velocidad:

ττ

=τdud

u)(

)(&

&&

∫∫∆+

∆+∆+

ττ+=∆+

ττ=

ττ=

tt

t

tt

t

tt

t

dututtu

duud

duud

)()()(

)(

)(

&&&&

&&&

&&&

Area del diagrama

t t+∆t τ

ü(τ)

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13

Cálculo del desplazamiento: El desplazamiento resulta,

∫ ∫∆+ τ

τ

ττ+τ+=∆+

tt

t o

dduututtu )()()()( &&&

[ ]∫ ∫∫∆ τ∆

τττ+ττ+=∆+t

o o

t

o

ddudututtu )()()()( &&&

[ ] [ ]∫∫ ∫∆∆ τ

τττ−∆++∆+=τττ+∆+=∆+t

o

t

o o

duttttutudduttututtu )()()()()()()()( &&&&&&

Suponiendo una variación lineal en la aceleración, del tipo

( ))()()(f)()( tuttutuu &&&&&&&& −∆+τ+=τ

con: 0)(f ==τ t y 1)(f =∆+=τ tt

ττ

=τdud

u)(

)(&

∫∫∆+

∆+∆+

ττ+=∆+

ττ=

ττ=

tt

t

tt

t

tt

t

dututtu

dudu

dudu

)()()(

)(

)(

&

&

&

Momento de primer orden.

t t+∆t τ

ü(τ)

τ−∆+ )( tt

t t+∆t τ

ü(τ)

τ

Ɵ

f(τ)

1

t t+∆t τ

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14

Sustituyendo esta variación lineal en la ecuación del desplazamiento, se tiene

( )

[ ]

τττ+∆+=∆+

ττ−∆++τ+=∆+

∫ ∫

∫∫∆ τ

∆∆

t

o o

t

o

t

o

dduttututtu

dtuttudtututtu

)()()()(

)(f)()()()()(

&&&

&&&&&&&&

( )

( )[ ]

τ

τ

ττ−∆++∆

+∆+=∆+

ττ−∆++∆+=∆+

∫ ∫

∫∆ τ

t

o o

t

o

d

g

dtuttut

tuttututtu

dtuttuttututtu

43421

&&&&&&&

&&&&&&&&

)(

)(f)()(2

)()()()(

)(f)()()()()(

2

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores:

∆β=τ

ττ

∆γ=ττ

∫ ∫

∫∆ τ

t

t

tdd

td

0

2

0

0

)(f

)(f

resultan las siguientes expresiones para la velocidad y el desplazamiento,

( )

( )

∆β−∆++∆

+∆+=∆+

∆γ−∆++∆+=∆+

22

)()(2

)()()()(

)()()()()(

ttuttut

tuttututtu

ttuttuttututtu

&&&&&&&

&&&&&&&&

f(τ)

1

t t+∆t τ

∫∆

∆γ=ττt

td0

)(f

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15

Reordenando los términos de las ecuaciones anteriores, se tiene:

∆∆+β+∆

β−+∆+=∆+

∆∆+γ+∆γ−+=∆+

44444444 344444444 21

&&&&&

&&&&&&

u

tttuttuttututtu

tttuttututtu

22 )()(21

)()()(

)()()1()()(

De estas dos últimas, se obtiene

( )

∆βγ

−+

βγ

−+∆

∆βγ

=∆+

β−∆−−∆+

∆β=∆+

ttutuut

ttu

tuttututtut

ttu

)()2

1()(1)(

)(121

)()()(1

)(2

&&&&

&&&&&

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de equilibrio dinámico en tt ∆+ , se tiene:

)()()()( ttFttuKttuSttuM ∆+=∆++∆++∆+ &&& ,

con: )()()( ttuMttPttF s ∆+−∆+=∆+ && resulta una ecuación algebraica que describe el equilibrio en el tiempo t , como:

)()( ttRttuJ o ∆+=∆+

siendo:

Kt

St

MJ o +

∆βγ

+

∆β=

2

1

[ ]

βγ

+

βγ

+∆βγ

+

+

β+

∆β+

∆β+∆+−∆+=∆+

ttututut

S

tutut

tut

MttuMttPttR s

)(12

)(1)(

)(121

)(1

)(1

)()()(2

&&&

&&&&&

Puede probarse que este método es incondicionalmente estable si 21≥γ y

( )25.041 γ+≥β . Nota: Ver programa NEW

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16

Ejemplo de programación de la integral de Duhamel. PROGRAM DUHAM-EXACTO C INTEGRACION NUMERICA EXACTA DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL C C V Factor de amortiguamiento critico C W Frecuencia natural no amortiguada C WA Frecuencia natural amortiguada C C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL C aceleraciones *.ACE C C------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) CHARACTER*8 CN C*** LECTURA DE DATOS c LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') READ(1,*)V,W WA=W-DSQRT(1.0-V**2) NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C C*** CALCULO U(1)=0.0 UP(1)=0.0 DO I=2,NPOINTS A0=-ACCELERATION(I-1) T0=TIME(I-1) A1=-ACCELERATION(I) T1=TIME(I) A=A0 B=(A1-A0)/(T1-T0) C0=A/(W**2)-2*V*B/(W**3) C1=B/(W**2) C2=U(I-1)-C0 C3=(UP(I-1)+V*W*C2-C1)/WA T=T1-T0 U(I)=C0+C1*T+C2*DEXP(-V*W*T)*DCOS(WA*T)+ & C3*DEXP(-V*W*T)*DSIN(WA*T) UP(I)=C1+(WA*C3-V*W*C2)*DEXP(-V*W*T)*DCOS(WA*T)- & (WA*C2+V*W*C3)*DEXP(-V*W*T)*DSIN(WA*T) UPP(I)=-W*W*U(I)-2*V*W*UP(I)

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17

WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END Ejemplo de programación de la integral de Duhamel por Trapecios (Convolución). PROGRAM DUHAM-CONVOLUCION C INTEGRACION APROXIMADA DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL - C REGLA DEL TRAPECIO C C V Factor de amortiguamiento critico C W Frecuencia natural no amortiguada C WA Frecuencia natural amortiguada C C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL C aceleraciones *.ACE C C C C C-------------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) COMMON V,W,WA DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) CHARACTER*8 CN FU(T,A,TAU)=A*DEXP(-V*W*(T-TAU))*DSIN(WA*(T-TAU)) FV(T,A,TAU)=A*DEXP(-V*W*(T-TAU))*DCOS(WA*(T-TAU)) C C*** LECTURA DE DATOS c LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') READ(1,*)V,W WA=W-DSQRT(1.0-V**2) NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C*** CALCULO

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18

DO I=2,NPOINTS SUMU=0.0 SUMV=0.0 U(1)=0.0 T0=TIME(I) DO J=2,I A1=ACCELERATION(J-1) T1=TIME(J-1) A2=ACCELERATION(J) T2=TIME(J) DT=T2-T1 F1U=FU(T0,A1,T1) F2U=FU(T0,A2,T2) SUMU=SUMU+0.5*DT*(F1U+F2U) F1V=FV(T0,A1,T1) F2V=FV(T0,A2,T2) SUMV=SUMV+0.5*DT*(F1V+F2V) ENDDO C U(I)=-(1.0/WA)*SUMU UP(I)=-SUMV+V*W*U(I) UPP(I)=WA*SUMU-2.0*V*W*UP(I)-((V*W)**2)*U(I) WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END Ejemplo de programación en diferencias centradas. PROGRAM DIF-FIN C INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO C POR DIFERENCIAS FINITAS C C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL C aceleraciones *.ACE C C---------------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) CHARACTER*8 CN DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) C*** LECTURA DE DATOS c LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN')

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19

READ(1,*)VM0,VD0,VK0 NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C C*** CALCULO T1=TIME(1) T2=TIME(2) DT=T2-T1 A2=ACCELERATION(2) C0=1.0/(DT*DT) C1=0.5/DT C2=2.0*C0 C3=1.0/C2 C U(1)=C3*A2 UP(1)=0.0 UPP(1)=A2 C DO I=2,NPOINTS C C*** CALCULO DEL DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION C T1=TIME(I-1) T2=TIME(I) DT=T2-T1 A2=ACCELERATION(I) C0=1.0/(DT*DT) C1=0.5/DT C2=2.0*C0 C3=1.0/C2 C VME=C0*VM0+C1*VD0 PA=-VM0*A2-(VK0-C2*VM0)*U(I)-(C0*VM0-C1*VD0)*U(I-1) U(I+1)=(1.0/VME)*PA UPP(I)=C0*(U(I-1)-2.0*U(I)+U(I+1)) UP(I)=C1*(-U(I-1)+U(I+1)) C C*** IMPRESION WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END

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20

Ejemplo de programación DE Newmark. PROGRAM NEW C INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO C POR NEWMARK C C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL C aceleraciones *.ACE C C---------------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) CHARACTER*8 CN C*** LECTURA DE DATOS c LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') READ(1,*)VM0,VD0,VK0 NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C C*** CALCULO G=0.5 B=0.25*(0.5+G)**2 U(1)=0.0 UP(1)=0.0 UPP(1)=ACCELERATION(1) DO I=2,NPOINTS C*** Etapa de PREDICCION T1=TIME(I-1) T2=TIME(I) DT=T2-T1 A1=ACCELERATION(I-1) A2=ACCELERATION(I) VJ0=VM0*(1/(B*DT**2))+VD0*(G/(B*DT))+VK0 DF=-VM0*(A2)+VM0*((1.0/(B*DT*DT))*U(I-1)+(1.0/(B*DT))* & UP(I-1) + ((0.5/B)-1.0)*UPP(I-1)) + & VD0*((G/(B*DT))*U(I-1)+((G/B)-1.0)* & UP(I-1) + ((0.5*G/B)-1.0)*UPP(I-1)*DT)

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21

C*** CORRECCION DEL DESPLAZAMIENTO U(I)=(1.0/VJ0)*DF C*** ACTUALIZACION DE LAS VARIABLES DU=U(I)-U(I-1) UP(I)=(G/(B*DT))*DU+(1-(G/B))*UP(I-1)+(1-0.5*G/B)*DT*UPP(I-1) UPP(I)=(1.0/(B*DT**2))*(DU-UP(I-1)*DT)-((0.5/B)-1.0)*UPP(I-1) C*** IMPRESION WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END

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22

Problemas a Resolver Problema 1: Probar numéricamente que la integral de Duhamel converge a la respuesta exacta, para un oscilador armónico sometido a una forzante armónica

)sen()( 1 tFtF o ω= . Problema 2: Suponer un oscilador simple cuya frecuencia angular es de

segrad62,311 =ω y su amortiguamiento es de 08.0=ν , sometido a una fuerza impulsiva en la base, de kpF 1200= , durante segt 02,0=∆ , como se muestra en la figura. Obtener la respuesta en el tiempo mediante:

1. la integral de Duhamel, utilizando su forma exacta y la regla de Simpson. 2. Integración directa de la ecuación del movimiento, utilizando el método de

Newmark. Problema 3: Suponer el oscilador del problema número 2 y obtener la respuesta en el tiempo para las siguientes forzantes:

1. Carga impulsiva triangular: amplitud kpFo 1200= y duración segt 03.0=∆ .

2. Carga impulsiva senoidal: amplitud kpFo 1200= y duración segt 25.0=∆ . 3. Una señal como la que se muestra en la siguiente tabla y figura. Previo a

resolver el problema es necesario rectificar el acelerograma.

1200 kp

Fo

t

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23

-0.8-0.6

-0.4

-0.20

0.2

0.4

0.60.8

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Fuer

za

Tiempo - Seg

'pp.dat' t F/g 0.000 0.00 0.005 0.50 0.010 0.00 0.019 -0.60 0.021 0.00 0.028 1.00 0.030 -0.40 0.033 0.20 0.035 0.25 0.038 -0.70 0.050 0.60 0.070 0.00

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RESPUESTA DINAMICA DE LAS

ESTRUCTURAS

Parte 3 Sergio Oller, Eduardo Car

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�������������� �� ��� ������

��������� ������ ������ ��������

����� ��� ����������� ����������

���������������

�� ����������

��������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� ������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������!������������� ������������������������������������������������������������������� "������������������������ ��"��� ����������������������������������� ������"�������������������� ����������������������!������!���������������#��� ���!��� ����������� �� ��������� �� ������ ���� �������!��� ����� ��� ��� �� ������������ �������������������������������������������������������$������������������� ����� ������ �� ���!��� �� ������� ��������� ���� ��������������� ���������� �� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������%�������������������������������������������������� ������������%��������� ����������������&�����������������������������������!�������������������������������������������������������������������������"���������� ��������"����������������������������"��������������������������'����(���������������%������������������ ������������������������������������������� �������)�!��"�����������������������������������������������������

�� � � ���������� ���������� ��� ������������ ����� � �� �� ���

������!�������������'�� ����������������������������������������������'��������������������!�������������������������������*�������������������'����������������������������%��������������!��������������������*�������������������������������������������������������������������������������������������%������������������� �����������������+������������������,�����

���� �������� ���������������������� ������������� ���

#�����������������������������������%������������!������������"������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ���� ���������!� ����������� �������������!� ��� ������������������������������� �����������������������������������������������������������������

���������+�����������������2/

27,3sm

mV,�

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2

����������������"����������������������!������������������������������������������������ ���������������� ��������������������������������"�������������'���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������� ��� �����"������������ ��������������� ����� �� �����������������������������������������������������������������������������������������������

���� ����� ���������������

������-�"���.������������������������������������ ��������������������%������������!���

Figura 1 Esquema de conexiones

�����'�� ��������!�����������������������������������������'��������������-�"���/��

������� kgmb 724,0= ��!������������������������� kgm 037.0= ����������������������

�� ��� ���������� ��������� �� ��� %���� �������� #��� ��������������� "�� ������� ��� ��'� ���������������-�"���/��

���� ����������� �������� � ��� ������ ����������� �������� ��������� ��������! �����"�

���� �������)�!��"����������������������������������������������������������������������������"��������������(���������������������������������� ����������������"��������������������������"����������������������"����������"������ ������

maxmax VT = (1)

����� maxT �!� maxV �������������������"������� �����!���������������� �����������������

( )2max

0

2

2

1;

2

1uKVdmuT

L

== ∫ � (2)

�����u ����������%�������!� K ��������"��%��#����"��%� K ����������������������������

3

3

l

EIK = (3)

Osciloscopio

Amplificado

Generado

Acelerómetro Excitador

PC adquisición de datos

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3

����� E �������������0��"������������� I �������������!� l ���������"���������'��#����"���������������������'������ bm ����������������������

( )2max3

3

2

1u

l

EIV = (4)

#����"������ ��������������������������������������������������������mb �����'�!��������������������m ������������������

2

0

2

2

1

2

1ymdxu

l

mT

Lb �� +

= ∫ (5)

�����u ��������������������%�������+ ����������,�!�������������������������

( ) ( )φ+ωω−=→φ+ω−= tul

xlxutu

l

xlxu cos

2

3sin

2

3 max3

32max

3

32

� (6)

)����%�����,������!����������������� ( )φ+ω= tuy sinmax ���������������"���

��� �������������������

( )

+ω= bmmuT

140

33

2

1 2max2 (7)

bm

Figura 2 Representación esquemática del fleje

1������ �� ����� �� � ����� ��" ����� �� )�!��"�� �������� �� ��� ��� ��� �� ������"������� ��� ������� ��� ���� ��� ���� ������ ��� �������� ��"���� ��� ������� ������������������

+

=

+

=ωmm

k

mml

IE

b

equ

b 140

33

140

333

31

(8)

����������������������"��%������������ ����� equk ������������������������������'�+���������������,�������������������������������������������"�������������

+ω= mmk b

equ

140332

1 (9)

#�����������������������������������������������������������������!���������������������������������������������������������"�����������������������������

IE,

l

maxu u

x

m

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4

��#� $������ ��������� ����� ����������������� �

#�� �����������������"���������������������������������������������������������"���������� �����%������ ����������������������������������������� ����������������� ���������� �� ���� ��������������� ���������� ��������� �� ��� �������� !� �������� ��������� �� �� �������&� ������������ �� �������� ����� ������ ����� ��� ��������� ���������"���������������������

Figura 3: Esquema y dimensiones de la viga a ensayar

������ ��������������� �!����� ���� ��"�������������� ������

���������������������!��������������%���������� ������������������ A ���������������

��������� 11 /ωϖ=α �+ ��-�"���2,��#������������������%����ϖ ��������������������

�"������������������������������������������!������������ 1ω ������������������������

����������������������� ����������������������������� )(αA ���������������������

����������������������������������������������"����������������

( ) ν=⇒=α

αν+α−==

2

11 para

41

1

0

max

22220

max

u

A

u

Af res

A (10)

����������

max0

2A

u=ν (11)

1������������u0 �������������!����������%��������������������� �"����'�����"��

���������!� Amax �� �������������������� ������������� ��� �"���������������� ������"����������������������

kgm 037.0= kgm 037.0=kgmb 724.0=

Fleje metálico

Sección Transversal

ml 55,0= ml 55,0=

mh 004,0=

mb 02,0=

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5

�����������

Figura 4: Respuesta dinámica en desplazamientos

������ ���������������� ����# � ����� �������� $����������� ������#��%� �����

��� � ����� ��� �������� ��"��������� �� �� � ����� ��������� �� ������ ���������������������� �� ��������� �� ������"������� �� �� ������� �� ��������� �����������"����� ���� � ����� ��"� �� ��� ���������� ��� �������� ��"��������� ���������"����������������"��������������������������������������������� ������������������������%��������������������������������������

tCu υω−= emax (12)

����������� Tt + ��������

)(max e TtCu +ωυ−= (13)

������������������������������� �����������������������������

21

2

)(e

e

e υ−

πυ

+ωυ−

ωυ−

==Tt

t

C

Cr (14)

������������������������������������"���������������������

( )22 ln4

ln

r

r

+π=υ (15)

3����'������������������������������������������������������������� t �!�nT ������������������������������������"���������������������

( )222 ln4

ln

rn

r

+π=υ (16)

��%� $������ ��������� �� ������&���� ������ ����� ��������� ��

#�� ����������������� ������� �� ��� ������� �� �� ���������� ���� ������� �� ����� ������������ ����� ��� �������� �� ��������� 1=α �� #�� ��%�� ������������ �� ���� ���!��� ��������������������������������-�"���/�!������������������"�������������

1 1/ωϖ=α

maxA

0u

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6

( )( ) ( )

( ) 1221

21 2

222

2

0

max

+να=να+α−

να+== AT

r fF

FT (17)

����� maxTF �������%���������������������������������������!��������������� 0F ������

���������������%��������������������������

��'� !������ ��������� � �������� ����� ������������������ ��������������������

�����'�� ������������������������������������������������������%����������������������� �"�����������"����������������������������������� ������������������*��������������������������������������������%�������������������������������������"������

��&��� ����������������%�����

#�������������� ��������������������

( )tFuuu 10211 sin2 ϖ=ω+νω+ ��� (18)

4������������%���������� 0F �����������������%��������������� 0u ��#���������������

������������ ������������������������%����������������

))sin()cos(()(

)sin(4)1(

)(

)()()(

'12

'11

12222

0

1 tBtBetu

tk

Ftu

tututu

tH

equp

pH

ω+ω=

ϕ+ϖαν+α−

=

+=

νω−

(19)

����� 21

'1 1 ν−ω=ω ����������������������������"�����!� 21 yBB �������������������������

�"�������������������������������������������

==

⇒=0

00

0

00 u

ut

� (20)

22

1

1

)sin()cos(

)sin(

ν−

ϕν+ϕα−=

ϕ=

AB

AB

(21)

�����

2222

02

4)1(;

1

2)tan(

αν+α−=

α−να=ϕ

equk

FA (22)

�� � � ���������� ���������� ��� ������������ ���� ������ �� �����������

������!�������������'�� ��������������������������������������������� �"����������5*6�.77��������������������!�������������������������������*��������������������������������������������������������� �"����������������������������������������������������#�����������������������"����������������������������������������%������������������ ��������

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7

���� �������� ���������������������� ������������� ���

#�����������������������������������%������������!������������"��������������������������������������������������������������������������������������������������������"���������������"������������������������$��������������������������������������%����!���������������� �"������ �����������������������������������������������������������������

���������+�����������������2/

27,3sm

mV,�

�����������!����������#�����������$��������������"���������������������������������������������������� �"�� ����������� ����������"���������������� ��������

���� ����� ���������������

������-�"���8������������������������������ ���� ���������������%������������!���

#�� �"�������-�"���8������������������������� kgP 603,28= ��������� ��������!������

���� kgP 20.01 = �������������� ����������"���� rpm20000 ≤ω≤ ��#�� �"��������������

������������������������������%�������� ��������������������������� 3/0.7800 mkg=ρ ��

�����'�� ��������!��������������������������������"�������������������������������������!�������������������������������

���� $������ ��������� �������� ������� ��������� �� � ���� ���� �

#������������������� ����������"��������� �������������%������� ��������������� �������$���������������������� �����������������������'������ �������!������������������������� ���� �������� ����97������������� !������������ �� �����$���������

"������������� ���������������� f ��

��������������

Figura 5: Esquema de conexión

����������

C0 C1

Osciloscopio

Acelerómetro

PC adquisición de datos

Variador

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8

��������������

Figura 6: Esquema de la viga a ensayar

#�� ���������������������������������� ��������!������������������������������������������������������������������������������ ����������"����������������������� ��������

ff

RPM =π

π=

πω=

2

60

60

2

2

60 (23)

#�����������������������������������:������ �������������������� �������!������������������������������������ �������"��������������������� �������$�����������������;%��

��#� ����������� �������� � ��� ����������� ���� (������������ ��������! �����")�

���� �������" �������)�!��"��!�������������������������<�/�����������������������������������������������������������������"���������������������������������� ������������������������������� �������������"�������������������+���������������� ����,����������������������������������*��������������������"��������������������������������������������������������� �"�������������������%������"���%����������������������������'�������'�������������������$�������������������%���������������������� �"����������������������������������������������������������������������!������������������������������������������������������"��% K ����������������

����������+ ��-�"���=,���#��������� bm �����������������������������!�m ���������������������

��������������������!�����%�������� �������)�!��"������������������������"����������'���� �"�$�������*���������������������������������"������������!���� ���������������!��"���"����������

maxmax TV = (24)

�������

IPN kgmb 603,28=

kgm 2,0=20000 ≤ω≤

15.0

m205.1 m20.0 m105.1 m23.0

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9

Figura 7: Esquema de cargas y condiciones de borde

#�� ��"��� ��������� ������� ��� ������� �� ������ ������������ ���� ��������� ��������%�������!������� ��������������������

( )( )

ωωΨ=ωΨ=

tAztzu

tAztzu

101

10

cos)(),(

sin)(),( (25)

��������������������������������"���������������������������

( )tdzz

zEIAdz

z

tzuEItV

ll

12

0

2

2

2200 2

2

cos)(

2

1),(

2

1)( ω

∂Ψ∂=

∂= ∫∫ (26)

∂Ψ∂=

ldz

z

zEIAV

0

2

2

220

max )(

2

1 (27)

������������� �������� �������������������"���������������������������������������������� �������������������"����������������������

( )tdzzEI

zMdz

zEI

tzMtV

ll

12

0

2

0

2

sin)(

)(

2

1

)(

),(

2

1)( ω

== ∫∫ (28)

dzzEI

zMV

l

∫=0

2max

)(

)(

2

1 (29)

�#����"������ ���������������������������������������"���������������

( )( ) ( ) ( )tdzmAdzuzmtTl l

12

0 0

221

20

2 cos2

1

2

1)( ω

Ψω== ∫ ∫� (30)

(����!����������������� �"��!����������!�������%������������

( ) ( )

Ψ+Ψω= ∫ 2

2/0

221

20

max

2

1l

l

b mdzmAT (31)

#����������������������������������������������������"�������������������������������"�������������������+�����������������,�!��������"������ ��������������������������������� ���

PT

q

K

VI VI VI⋅10

z

cml 5.1101 = cml 5.1202 = cma 23=

cml 254=

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10

[ ] [ ]

( )

Ψ+Ψω=

=

=

Ψ∂⇒=

∫ ∫l

lb

l l

mdzm

dzzEI

zMdz

zEITV

0

22/

221

0 0

2

2

2maxmax

)(

)(

)(

(32)

( ) ( )∫

∫Ψ+Ψ

Ψ∂

=ωl

lb

l

mdzm

dzz

EI

0

22/

2

0

2

2

2

21 ( ) ( )∫

∫Ψ+Ψ

=l

lb

l

mdzm

dzzEI

zM

0

22/

2

0

2

)(

)(

(33)

��%� *�+� ���������������������� �����! �����"��

(���������������������%�������������������� �"����������������������%��������������#����������������������������������� ���������������������������������7��

)()()()()()( 021

021

0021

0 zPzzmAzuzmzp ω=Ψω=ω= (34)

#������������������������������"�������

1121

1

21

112

121

121

1 )(

)(

)()( Az

zu

Az

uzu Ψω=

ωΨω=

ωω=

�����

(35)

������ )(1 zu ���������%��������������������������"�� )(0 zP !������ω ����������"������

#����"��������������������������������"��!������� ������������������ )(1 zu� �������

Ψω==

ΨΨω==

∫ ∫

∫ ∫l l

l l

dzzmA

dzuzmT

dzzmAA

dzupV

0 0

2161

2121max

0 0

1041

1010max

)()(2

)()()(

2

1

)(22

1

(36)

&������������ �������" �������)�!��"�����������������������������������������

∫∫

∫∫ =

Ψ

ΨΨ=ω

l

l

l

l

dzzuzm

dzzuP

dzzm

dzzm

0

2

0

0

21

0

10

021

)()(

)(

)()(

)( (37)

��'� ����������� ������������� � ���������� ��� 0Ψ ��

#��������� )(0 zΨ ���������������%��������������%�����������������*�����������

������������������"���� Aϕ ������������!��+ ��-�"���>,�����������������������*����

�����������������������������"��%� ϕK ����������"��������������������������������

�����������������%������� medδ ����������������������"�������������

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11

Figura 8: Esquema de los desplazamientos en el extremo

dzz

M

zEI

zMl Pl P

AP

med

∂∂

+ϕ=δ+δ=δ ∫ϕ0 )(

)( (38)

)���������������

)(

)(

)(

)(

0

lzMl

dzz

M

zEI

zM

lzMK

P

Pl Pmed

P

A

=⋅

∂∂

−δ=

=∫

ϕ (39)

���������������"��%�����������������%������� )(0 zΨ �����������������������������

��������"����������������� ���������������������������������:������+ ��-�"���?�,���

( ) ( )dzszMzEI

zMsl

K

lzMs

l),(

)(

)()()(

0

0 ∫+−==Ψϕ

(40)

����������������������������� )(zM ������������������������� �"��!������������������

����������������%���������������� �"���������������

( )

≤≤+∀

+−+

+≤≤∀−+

≤≤∀

=

lzala

lzPTz

q

alzllza

PTzq

lzz

q

zM

)(22

)(22

02

)(

22

2

222

2

2

2

2

(41)

!����������������� ),( szM ��������������������"���������������������@s”� ���������������������������������-�"���?������������

z

ϕδ

P l1 l2 a

medδ

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12

����������������

Figura 9: Viga bajo carga de peso propio.

��,� $������ ��������� ����� ����������������� �

#�� �����������������"���������������������������������������������������������"���������� �����%������ ����������������������������������������� ������������������������ �� ��� ��������������� ���%��������������!� �����������������!������ ��������������������&����������������������������������"������������������������������"���������������������

'�(��� ��������������� �!����� ���� ��"�������������� �������

���������������������!����������������������������������������������������������%������

��� ��������� A � ����������������������α ϖ ω= 1 1/ ��������������������������%�����

�������������������������

π=ϖseg

radRPM

60

21 (42)

������:�������� ��������������������������������������������������������� %������������������������"�������������������������

( ) ν=⇒=α

αν+α−==

2

11 para

41

1

0

max

22220

max

u

A

u

Af res

A (43)

����������

max0

2A

u=ν (44)

1������������ u0 ����������%������������������ ��� �"����'�����"����������!�

Amax ����������������������������������� �"����������������������"�����������+ ��-�"���2,��

( )

≥∀−≤∀

=szsz

szszM

1

0),(

M

z l1 l2 a

PT

z

s P

)(0 sΨ

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13

'�(��� ���������������� ����# � ����� �������� $����������� ������#��%� ����

��� � ����� ��� �������� ��"��������� �� �� � ����� ��������� �� ������ �����������������������������������������"�������������������� �������������������� ����� ��"� �� ��� ���������� ��� �������� ��"��������� ��� ������"������� ����� ����"��������������������������������������������� ����������������*���������������������������������������������������� �������������� t �!�

Tt + ���������������������"��������������������+ ��&��������<�2�<�,��

( )22 ln4

ln

r

r

+π=υ (45)

3�����!���������������������������������������������������������������������������������������������������������� t �!� Tn �������������������"���������������

������"�������

( )222 ln4

ln

rn

r

+π=υ (46)

��-� $������ ��������� �� ������&���� ������ ����� ��������� ��

#������������������������������������������������������������������������������������������� 1=α ��(������������%���������������������������������!��������������������"�������������

( )( ) ( )

( ) 1221

21 2

222

2

0

max

+να=να+α−

να+== AT

r fF

FT (47)

����� maxTF �� ��� ��%�� ��������� ������� ������������ �� ���� ���!���� �� ������ � 0F � �� ���

���������������%�����������

��.� $�������������� �� ������&���� �������� ��������� �)�

��������������������������������������� ��������������������'����������������������������������������������� ���������������������������%�����������������������'�� ������������������������%�������������������������"������������������!���� �"��� � � (��'�� �����'������������ �� ������������ �� ������� ��� ��"��%� !���� ���������������"��������������!�������"�������������������������������������"�����7�8��������������������������������������������������

Figura 10 Representación del sistema viga motor.

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14

���/� !������ ��������� � �������� ����� ������������������ ��������������������

����������������������������������������%����������������������� �"�����������"������������*�������������������������������%�������������������������������������"������

'��)��� ����������������%�����

Considérese un sistema como el de la Figura 11.

Figura 11: Esquema Motor-Viga + aisladores del motor

��������%�������� ��������!����������������������� ������������������������������"���������������

( )( )( )teuu

teuu

teuu

10211

1011

101

sin

cos

sin

ϖϖ−=

ϖϖ+=ϖ+=

����

�� (48)

#�������������� �������������������������

( )[ ] 0111 =+++−+ ukusumummm equequb ����� (49)

(����!���� 1u� ���������������!�����������"������������������

( ) ( )

( )tuuu

temukusumm

bmm

oem

oF

equequb

1211

10211

sin2

sin

211 ϖ=ω+νω+

ϖϖ=+++

+

ω���

��������

(50)

3��� %��������������%���������� 0F ������������������� ����������%���������������

0u ��

#�����������������:������������������ ������������������������%���������������������

))sin()cos(()(

)sin(4)1(

)(

'12

'11

12222

0

1 tBtBetu

k

Ftu

tH

equp

ω+ω=

ϕ+ϖαν+α−

=

νω−

(51)

������������������� 21 y BB ���������"�������������������������������������������

==

⇒=0

00

0

00 u

ut

� (52)

11 um ��

equis equik

( )ummm b ��1−+

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15

22

1

1

)sin()cos(

)sin(

ν−

ϕν+ϕα−=

ϕ=

AB

AB

(53)

�����

2222

02

4)1(;

1

2)tan(

αν+α−=

α−να=ϕ

equk

FA (54)

� � � �����

A.B�&��C�������(��4����$������������������������������������������� �������������������������$��5D6��5($<2�E�����&��C������$�C�����������������.??=��

A<B�&��C�������F��D����$���������������������������������������$��5D6��C��������.??2��A/B�D��*�%�$�������������������$�) �� �.??<��A2B� D�� &�� � ������� ��� ����� 1�� *������ ��� *������ #�� &� ��%� ����������� ���� ��������

�������������������!���������������������������������"����&�����55�6**��6�������"�����"��������"��.><�+.??>,�?/$.79�

A8B�-��������$�D�����������������������������������������$�*���"����C���"���.?><��A9B�)�����"������F��*�%���$��!����������(��������D��G��H$;����6��0��I�.??/��

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RESPUESTA DINAMICA DE LAS

ESTRUCTURAS

Parte 4

Sergio Oller

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Guía de utilización de programas de dinámica. 2

Programas para el estudio de la dinámica

1. Introducción.

A continuación se hace una presentación de algunos programas que son de utilidad para el estudio de la dinámica. En cada caso se presenta brevemente el manual del programa y también el listado en FORTRAN.

También hay disponible un programa de elementos finitos y cuyo manual, así como unos ejemplos se añaden al final de esta parte 4.

2. Programa en “diferencias finitas”.

El concepto aplicado en este programa debe consultarse en la parte 2 de estas notas.

2.1. Manual de entrada de datos,

------------------------------------------------------------------------ INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO

POR DIFERENCIAS FINITAS (S. Oller) Archivos: Entrada de datos *.DTS Salidas: desplazamiento: *.DES velocidades *.VEL aceleraciones *.ACE

------------------------- Archivo: *.DTS ------------------------------ VM0,VD0,VK0 : Masa, Amortiguamiento, Rigidez TIME(1),ACCELERATION(1) TIME(2),ACCELERATION(2) TIME(3),ACCELERATION(3) . . . TIME(n),ACCELERATION(n)

--------------------------------------------------------------------------

2.2. Código fuente del programa,

PROGRAM DIFFIN1 C---------------------------------------------------------------------- C INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO C POR DIFERENCIAS FINITAS C (S. Oller) C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL

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Guía de utilización de programas de dinámica. 3

C aceleraciones *.ACE C---------------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) CHARACTER*8 CN DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) C*** LECTURA DE DATOS C LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') READ(1,*)VM0,VD0,VK0 NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C C*** CALCULO T1=TIME(1) T2=TIME(2) DT=T2-T1 A2=ACCELERATION(2) C0=1.0/(DT*DT) C1=0.5/DT C2=2.0*C0 C3=1.0/C2 C U(1)=C3*A2 UP(1)=0.0 UPP(1)=A2 C DO I=2,NPOINTS C C*** CALCULO DEL DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION C T1=TIME(I-1) T2=TIME(I) DT=T2-T1 A2=ACCELERATION(I) C0=1.0/(DT*DT) C1=0.5/DT C2=2.0*C0 C3=1.0/C2 C VME=C0*VM0+C1*VD0 PA=-VM0*A2-(VK0-C2*VM0)*U(I)-(C0*VM0-C1*VD0)*U(I-1) U(I+1)=(1.0/VME)*PA UPP(I)=C0*(U(I-1)-2.0*U(I)+U(I+1)) UP(I)=C1*(-U(I-1)+U(I+1)) C C*** Impresion

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Guía de utilización de programas de dinámica. 4

WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END

3. Programa de “Duhamel”.

El concepto aplicado en este programa debe consultarse en la parte 2 de estas notas.

3.1. Manual de entrada de datos,

-------------------------------------------------------------------------

INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO MEDIANTE LA INTEGRAL DE DUHAMEL: DUHAM1: Exacta DUHAM2: Convolución - Regla de los trapecios (S. Oller) Archivos: Entrada de datos *.DTS Salidas: desplazamiento: *.DES velocidades *.VEL aceleraciones *.ACE

-------------------------Archivo: *.DTS --------------------------------

V,W : Factor de amortiguamiento, Frecuencia angular TIME(1),ACCELERATION(1) TIME(2),ACCELERATION(2) TIME(3),ACCELERATION(3) . . . TIME(n),ACCELERATION(n)

-------------------------------------------------------------------------

3.2. Código fuente del programa. Modelo 1,

PROGRAM DUHAM1 C---------------------------------------------------------------------- C INTEGRACION NUMERICA EXACTA DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL C (S. Oller) C V Factor de amortiguamiento critico C W Frecuencia natural no amortiguada C WA Frecuencia natural amortiguada C

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Guía de utilización de programas de dinámica. 5

C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL C aceleraciones *.ACE C---------------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) CHARACTER*8 CN C*** LECTURA DE DATOS c LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') READ(1,*)V,W WA=W*DSQRT(1.0-V**2) NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C C*** CALCULO U(1)=0.0 UP(1)=0.0 DO I=2,NPOINTS A0=-ACCELERATION(I-1) T0=TIME(I-1) A1=-ACCELERATION(I) T1=TIME(I) A=A0 B=(A1-A0)/(T1-T0) C0=A/(W**2)-2*V*B/(W**3) C1=B/(W**2) C2=U(I-1)-C0 C3=(UP(I-1)+V*W*C2-C1)/WA T=T1-T0 U(I)=C0+C1*T+C2*DEXP(-V*W*T)*DCOS(WA*T)+ & C3*DEXP(-V*W*T)*DSIN(WA*T) UP(I)=C1+(WA*C3-V*W*C2)*DEXP(-V*W*T)*DCOS(WA*T)- & (WA*C2+V*W*C3)*DEXP(-V*W*T)*DSIN(WA*T) UPP(I)=-W*W*U(I)-2*V*W*UP(I) WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END

-------------------------------------------------------------------------

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Guía de utilización de programas de dinámica. 6

3.3. Código fuente del programa. Modelo 2,

PROGRAM DUHAM2 C---------------------------------------------------------------------- C INTEGRACION APROXIMADA DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL - C REGLA DEL TRAPECIO -CONVOLUCION C (S.Oller) C V Factor de amortiguamiento critico C W Frecuencia natural no amortiguada C WA Frecuencia natural amortiguada C C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL C aceleraciones *.ACE C C---------------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) COMMON V,W,WA DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) CHARACTER*8 CN FU(T,A,TAU)=A*DEXP(-V*W*(T-TAU))*DSIN(WA*(T-TAU)) FV(T,A,TAU)=A*DEXP(-V*W*(T-TAU))*DCOS(WA*(T-TAU)) C C*** LECTURA DE DATOS c LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') READ(1,*)V,W WA=W*DSQRT(1.0-V**2) NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C*** CALCULO DO I=2,NPOINTS SUMU=0.0 SUMV=0.0 U(1)=0.0 T0=TIME(I) DO J=2,I A1=ACCELERATION(J-1) T1=TIME(J-1) A2=ACCELERATION(J) T2=TIME(J) DT=T2-T1

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Guía de utilización de programas de dinámica. 7

F1U=FU(T0,A1,T1) F2U=FU(T0,A2,T2) SUMU=SUMU+0.5*DT*(F1U+F2U) F1V=FV(T0,A1,T1) F2V=FV(T0,A2,T2) SUMV=SUMV+0.5*DT*(F1V+F2V) ENDDO C U(I)=-(1.0/WA)*SUMU UP(I)=-SUMV+V*W*U(I) UPP(I)=WA*SUMU-2.0*V*W*UP(I)-((V*W)**2)*U(I) WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END

-------------------------------------------------------------------------

4. Programa de “Newmark”.

El concepto aplicado en este programa debe consultarse en la parte 2 de estas notas.

4.1. Manual de entrada de datos,

-------------------------------------------------------------------------

INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO MEDIANTE NEWMARK (S. Oller) Archivos: Entrada de datos *.DTS Salidas: desplazamiento: *.DES velocidades *.VEL aceleraciones *.ACE

------------------------- Archivo: *.DTS -------------------------------- VM0,VD0,VK0 : Masa, Amortiguamiento, Rigidez TIME(1),ACCELERATION(1) TIME(2),ACCELERATION(2) TIME(3),ACCELERATION(3) . . . TIME(n),ACCELERATION(n)

-------------------------------------------------------------------------

4.2. Código fuente del programa.

PROGRAM NEW1

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Guía de utilización de programas de dinámica. 8

C---------------------------------------------------------------------- C INTEGRACION NUMERICA DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO C POR NEWMARK C (S. Oller) C Entrada de datos *.DTS C Salidas: desplazamiento: *.DES C velocidades *.VEL C aceleraciones *.ACE C C---------------------------------------------------------------------- IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPOINTS=100) DIMENSION TIME(MPOINTS),ACCELERATION(MPOINTS) DIMENSION U(MPOINTS),UP(MPOINTS),UPP(MPOINTS) CHARACTER*8 CN C*** LECTURA DE DATOS c LECTURA DE: V, W, NPOINTS WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') OPEN(UNIT=4,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') READ(1,*)VM0,VD0,VK0 NPOINTS=0 DO IP=1,MPOINTS READ(1,*,END=999)TIME(IP),ACCELERATION(IP) NPOINTS=NPOINTS+1 ENDDO 999 CONTINUE C C*** CALCULO G=0.5 B=0.25*(0.5+G)**2 U(1)=0.0 UP(1)=0.0 UPP(1)=ACCELERATION(1) DO I=2,NPOINTS C*** Etapa de PREDICCION T1=TIME(I-1) T2=TIME(I) DT=T2-T1 A1=ACCELERATION(I-1) A2=ACCELERATION(I) VJ0=VM0*(1/(B*DT**2))+VD0*(G/(B*DT))+VK0 DF=-VM0*(A2)+VM0*((1.0/(B*DT*DT))*U(I-1)+(1.0/(B*DT))* & UP(I-1) + ((0.5/B)-1.0)*UPP(I-1)) + & VD0*((G/(B*DT))*U(I-1)+((G/B)-1.0)* & UP(I-1) + ((0.5*G/B)-1.0)*UPP(I-1)*DT) C*** Correccion del desplazamiento U(I)=(1.0/VJ0)*DF C*** Actualizacion de las variables

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Guía de utilización de programas de dinámica. 9

DU=U(I)-U(I-1) UP(I)=(G/(B*DT))*DU+(1-(G/B))*UP(I-1)+(1-0.5*G/B)*DT*UPP(I-1) UPP(I)=(1.0/(B*DT**2))*(DU-UP(I-1)*DT)-((0.5/B)-1.0)*UPP(I-1) C*** Impresion WRITE(2,100)TIME(I),U(I) WRITE(3,100)TIME(I),UP(I) WRITE(4,100)TIME(I),UPP(I) ENDDO STOP 100 FORMAT(2F20.5) END C----------------------------------------------------------------------

5. Programa de “Portic”.

Este programa resuelve pórticos de cortante bajo carga dinámica, utiliza el método modal para la descomposición de la respuesta y el método de Newmark para la resolución en el tiempo de cada uno de los modos propios.

5.1. Manual de entrada de datos,

-------------------------------------------------------------------------

PROGRAMA PORTIC – PORTICOS DE CORTANTE (S. Oller) Archivos: Entrada de datos *.DTS Salidas: Resultados estructura: *.RES Vectores y valores propios: *.SAL

-------------------------------------------------------------------------

Iprint 1 Imprime el archivo de salida 2 (*.res)

0 No IMPRIME

Datos generales Ng IndInp : Numero de grados de libertad del sistema, Indic de entrada de carga: 1 Lee del archivo

2 Calcula con func. senoidal T0 Tf DT C1 W1 : Si IndInp=2 Tiempo inicial, final,Inc. de tiempo, amplitud, frecuencia de la forzante Si IndInp=1 No poner esta linea

Coeficientes para montar la matriz de masa

COEFMAS(1 : Ng) : masa de cada grado de libertad

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Guía de utilización de programas de dinámica. 10

Coeficientes para montar la matriz de rigidez

COEFRIG(1 : Ng) : rigidez de cada piso

Coeficientes de viscosidad

VIS(1 : Ng) : Ng factores de viscosidad

Tabla de tiempos y aceleración de input

TIME(1) , AC(1) TIME(1) , AC(1) . . TIME(NPtime) , AC(NPtime)

-------------------------------------------------------------------------

5.2. Código fuente del programa.

PROGRAM PORTIC C----------------------------------------------------------------- C C ESTE PROGRAMA RESUELVE PORTICOS DE CORTANTE C BAJO CARGA DINAMICA C (S. Oller) C C UTILIZA EL METODO MODAL Y EL METODO DE NEWMARK C C ! alternativa para resolver el problema a 1 grado de libertad ! C C----------------------------------------------------------------- IMPLICIT INTEGER*4 (I - N) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(MPtime=9001,NP=101) DIMENSION VMATmas(NP,NP),VMATrig(NP,NP),VIS(NP), . AUX1(NP,NP),AUX2(NP,NP),AUX3(NP,NP) DIMENSION COEFMAS(NP),COEFRIG(NP) DIMENSION DVAL(NP),DVEC(NP,NP),RES(NP) DIMENSION IEIG(NP) DIMENSION TIME(MPtime),ACC(NP,MPtime),AC(MPtime) DIMENSION U(NP,MPtime),UP(NP,MPtime),UPP(NP,MPtime) DIMENSION TU(NP),TUP(NP),TUPP(NP) DIMENSION TUM(NP),TUPM(NP),TUPPM(NP) CHARACTER*8 CN C C*** PUESTA A CERO DE ALGUNAS MATRICES C DO Ig=1,NP c*** Puesta a cero de los maximos desplazamientos TUM(Ig)=0.0 TUPM(Ig)=0.0 TUPPM(Ig)=0.0 C TU(Ig)=0.0 TUP(Ig)=0.0

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Guía de utilización de programas de dinámica. 11

TUPP(Ig)=0.0 c*** puesta a cero de la matriz de masa DO Jg=1,NP VMATmas(Ig,Jg)=0.0 VMATrig(Ig,Jg)=0.0 AUX1(Ig,Jg)=0.0 AUX2(Ig,Jg)=0.0 AUX3(Ig,Jg)=0.0 ENDDO ENDDO C*** LECTURA DEL NOMBRE DE ARCHIVO WRITE(6,*)' CARGUE EL NOMBRE DEL ARCHIVO, SIN RAIZ >>>>' READ(5,111)CN 111 FORMAT(1A8) C C*** APERTURA DE ARCHIVOS C OPEN(UNIT=1,FILE=CN//'.DTS',STATUS='OLD') ! Todos los Datos OPEN(UNIT=2,FILE=CN//'.RES',STATUS='UNKNOWN') ! Res. Estructura OPEN(UNIT=3,FILE=CN//'.SAL',STATUS='UNKNOWN') ! Res. Autoval.

Autovec OPEN(UNIT=7,FILE=CN//'.DES',STATUS='UNKNOWN') ! Res. DES. (Coord.

Norm.) OPEN(UNIT=8,FILE=CN//'.VEL',STATUS='UNKNOWN') ! Res. VEL. (Coord.

Norm.) OPEN(UNIT=9,FILE=CN//'.ACE',STATUS='UNKNOWN') ! Res. ACE. (Coord.

Norm.) C C*** LECTURA DE DATOS C Lectura de todos los datos del problema READ(1,*)Iprint READ(1,*)Ng,IndInp ! Nro de grados de libertad IF(IndInp.EQ.2)READ(1,*)T0,Tf,DT,C1,W1 IF(Ng.GT.NP) THEN WRITE(6,*) ' NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD > QUE EL MAXIMO ' STOP ENDIF c*** Matriz de Masa READ(1,*)(COEFMAS(Ig),Ig=1,Ng) IF(Iprint.EQ.1)WRITE(2,901) 901 FORMAT(' Matriz de Masa ') DO 2 Ig=1,Ng VMATmas(Ig,Ig)=COEFMAS(Ig) AUX2(Ig,Ig)=VMATmas(Ig,Ig) 2 IF(Iprint.EQ.1)WRITE(2,999)(VMATmas(Ig,Jg),Jg=1,Ng) C*** Matriz de Rigidez READ(1,*)(COEFRIG(Ig),Ig=1,Ng) IF(Iprint.EQ.1)WRITE(2,903) 903 FORMAT(' Matriz de Rigidez ') DO 3 Ig=1,Ng IF(Ig.GT.1) VMATrig(Ig,Ig-1)=-COEFRIG(Ig) VMATrig(Ig,Ig) = COEFRIG(Ig) IF(Ig.LT.NG)VMATrig(Ig,Ig) = VMATrig(Ig,Ig)+COEFRIG(Ig+1)

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Guía de utilización de programas de dinámica. 12

IF(Ig.LT.Ng)VMATrig(Ig,Ig+1)=-COEFRIG(Ig+1) IF(Iprint.EQ.1)WRITE(2,999)(VMATrig(Ig,Jg),Jg=1,Ng) DO 3 Jg=1,Ng 3 AUX1(Ig,Jg)=VMATrig(Ig,Jg) c*** Coeficientes de amortiguamiento para cada grado de libertad READ(1,*) (VIS(Ig),Ig=1,Ng) IF(Iprint.EQ.1)WRITE(2,905) 905 FORMAT(' Coeficiente de Amortiguamiento Inicial ' . 'por cada grado de Libertad ') IF(Iprint.EQ.1)WRITE(2,999)(VIS(Ig),Ig=1,Ng) c*** Forzante NPtime=0 IF(IndInp.EQ.1)THEN !Lee una senal de aceleracion del archivo (1) DO It=1,MPtime READ(1,*,END=1999)TIME(It),AC(It) NPtime=NPtime+1 ENDDO ELSE ! Genera una funcion de aceleracion senoidal NPtime=INT((Tf-T0)/DT) TIME(1)=T0 AC(1)=C1*DSIN(W1*TIME(1)) DO It=2,NPtime TIME(It)=TIME(It-1)+DT AC(It)=C1*DSIN(W1*TIME(It)) ENDDO ENDIF 1999 CONTINUE C*** CALCULO DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES C CALL JACOBI(AUX1,AUX2,DVEC,DVAL,RES,IEIG,AUX3,NP,Ng) C C*** Calculo del vector de Participacion Sismica C DO 90 Ig=1,Ng DO 90 Jg=1,Ng AUX1(Ig,Jg)=0.0 AUX2(Ig,Jg)=0.0 DO 90 Kg=1,Ng AUX1(Ig,Jg)=AUX1(Ig,Jg)+DVEC(Kg,Ig)*VMATrig(Kg,Jg) 90 AUX2(Ig,Jg)=AUX2(Ig,Jg)+DVEC(Kg,Ig)*VMATmas(Kg,Jg) DO 91 Ig=1,Ng RES(Ig)=0.0 DO 91 Jg=1,Ng 91 RES(Ig)=RES(Ig)+AUX2(Ig,Jg)*1.0 DO 92 It=1,NPtime DO 92 Ig=1,Ng 92 ACC(Ig,It)=RES(Ig)*AC(It) C C VERIFICACION C DO 36 Ig=1,Ng DO 36 Jg=1,Ng VMATrig(Ig,Jg)=0.0 VMATmas(Ig,Jg)=0.0

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Guía de utilización de programas de dinámica. 13

DO 36 Kg=1,Ng VMATrig(Ig,Jg)=VMATrig(Ig,Jg)+AUX1(Ig,Kg)*DVEC(Kg,Jg) 36 VMATmas(Ig,Jg)=VMATmas(Ig,Jg)+AUX2(Ig,Kg)*DVEC(Kg,Jg) C DO 15 Ig=1,Ng WRITE(3,850)Ig,DVAL(Ig) WRITE(3,851)Ig,(DVEC(Jg,Ig),Jg=1,Ng) 15 CONTINUE C C ***IMPRESION DE LA MATRIZ DE MASA NORMALIZACION C WRITE(3,*)'* Matriz de MASA Normalizada ' DO 16 Ig=1,Ng 16 WRITE(3,852)(VMATmas(Ig,Jg),Jg=1,Ng) WRITE(3,*)'* Matriz de RIGIDEZ Normalizada ' DO 17 Ig=1,Ng 17 WRITE(3,852)(VMATrig(Ig,Jg),Jg=1,Ng) C C*** CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE RAIGHLEY C BETA=(2.0*VIS(2)*DVAL(2)-2.0*VIS(1)*DVAL(1))/ . ((DVAL(2))**2-(DVAL(1))**2) ALFA=2.0*VIS(1)*DVAL(1)-BETA*(DVAL(1))**2 C C*** RESOLUCION DE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO C C*** CALCULO DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO POR NEWMARK A 1 GRADO DE LIBERTAD C DO 310 It=2,NPtime DO 300 Ig=1,Ng VM0=1.0 VK0=(DVAL(Ig))**2 VD0=ALFA*VM0+BETA*VK0 CALL NEWMARK(It,Ig,VM0,VD0,VK0,TIME,ACC,U,UP,UPP,MPtime,NP) C C*** SUPERPOSICION MODAL C DO 320 Jg=1,Ng TU(Jg)=TU(Jg)+DVEC(Jg,Ig)*U(Ig,It) TUP(Jg)=TUP(Jg)+DVEC(Jg,Ig)*UP(Ig,It) TUPP(Jg)=TUPP(Jg)+DVEC(Jg,Ig)*UPP(Ig,It) 320 CONTINUE 300 CONTINUE C C***OBTIENE LOS DESPLAZAMIENTOS TOTALES MAXIMOS PARA C/GRADO DE LIBERTAD C DO Jg=1,Ng IF(DABS(TU(Jg)).GT.TUM(Jg))TUM(Jg)=DABS(TU(Jg)) IF(DABS(TUP(Jg)).GT.TUPM(Jg))TUPM(Jg)=DABS(TUP(Jg)) IF(DABS(TUPP(Jg)).GT.TUPPM(Jg))TUPPM(Jg)=DABS(TUPP(Jg)) ENDDO C C*** IMPRESION DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO C IF(Iprint.EQ.1)THEN WRITE(2,910)TIME(It) WRITE(2,*)' *-- Coordenada Normal - Desplazamiento' WRITE(2,912) (U(Ig,It),Ig=1,Ng) WRITE(2,*)' -- Desplazamiento TOTAL' WRITE(2,912) (TU(Ig),Ig=1,Ng) WRITE(2,*)' *-- Coordenada Normal - Velocidad'

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Guía de utilización de programas de dinámica. 14

WRITE(2,912) (UP(Ig,It),Ig=1,Ng) WRITE(2,*)' -- Velocidad TOTAL' WRITE(2,912) (TUP(Ig),Ig=1,Ng) WRITE(2,*)' *-- Coordenada Normal - Aceleracion' WRITE(2,912) (UPP(Ig,It),Ig=1,Ng) WRITE(2,*)' -- Aceleracion TOTAL' WRITE(2,912) (TUPP(Ig),Ig=1,Ng) ENDIF 310 CONTINUE C DO Ig=1,Ng WRITE(3,*)' ---MAXIMOS EN C/GRADO DE LIBERTAD--- ' WRITE(3,666)Ig,TUM(Ig) WRITE(3,667)Ig,TUPM(Ig) WRITE(3,668)Ig,TUPPM(Ig) WRITE(3,*)' -------- ' ENDDO C C*** RESPUESTA DE CADA COORDENADA NORMAL EN EL TIEMPO C DO 333 Ig=1,Ng WRITE(7,101)Ig WRITE(8,101)Ig WRITE(9,101)Ig DO 333 It=1,Nptime WRITE(7,100)TIME(It),U(Ig,It) WRITE(8,100)TIME(It),UP(Ig,It) WRITE(9,100)TIME(It),UPP(Ig,It) 333 CONTINUE C C STOP 100 FORMAT(2F12.5) 101 FORMAT(/,'#----> Coordenada Normal: ',I5) 666 FORMAT('Max. DESP. grado:',I5,F12.5) 667 FORMAT('Max. VELO. grado:',I5,F12.5) 668 FORMAT('Max. ACEL. grado:',I5,F12.5) 850 FORMAT(/,1x,I5,2x,' Auto VALOR -- w=',1x,1E12.5) 851 FORMAT( 1x,I5,2x,' Auto VECTOR -- U=',1x,30(1X,1E12.5)) 852 FORMAT(20(1X,1E12.5)) 910 FORMAT('==================== TIEMPO: ',1X,1E12.5,1x,' ==========') 912 FORMAT( 20(1X,1E12.5)) 999 FORMAT( 20(1X,1E12.5)) END C----------------------------------------------------------------- SUBROUTINE JACOBI(A,B,FI,EIGV,D,IEIG,X,NP,N) C***************************************************************** C C ESTA RUTINA CALCULA LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS NORMALIZADOS C C C NP : MAXIMA DIMENSION DEL PROBLEMA (MAX. Nro DE Grados LIBERTAD) C A(NP,NP) : MATRIZ DE ANALISIS DE RIGIDEZ C B(NP,NP) : MATRIZ DE MASA C N : ORDEN DE LA MATRIZ A RESOLVER: N menor o igual que NP C EIGV(NP) : AUTOVALORES EN LOS PRIMEROS N ELEMENTOS C FI(NP,NP) : AUTOVECTORES NORMALIZADOS EN LOS PRIMEROS NxN ELEMENTOS C X(NP,NP) : MATRIZ AUXILIAR C D(NP) : VECTOR AUXILIAR C C*****************************************************************

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IMPLICIT INTEGER*4 (I - N) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION A(NP,NP),B(NP,NP),EIGV(NP),FI(NP,NP),D(NP) DIMENSION IEIG(NP),X(NP,NP) C C*** INICIALIZA LAS MATRICES DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES C NSMAX=50 RTCL=1.0D-16 DO 10 I=1,N IF((A(I,I).GT.0.0) .AND. (B(I,I).GT.0.)) GO TO 4 WRITE(6,2020) STOP 4 D(I)=A(I,I)/B(I,I) 10 EIGV(I)=D(I) DO 30 I=1,N DO 20 J=1,N 20 X(I,J)=0. 30 X(I,I)=1. IF(N.EQ.1) GO TO 1 C C*** COMIENZA LA ITERACION C NSWEEP=0 NR=N-1 40 NSWEEP=NSWEEP+1 EPS=(.01**NSWEEP)**2 DO 210 J=1,NR JJ=J+1 DO 210 K=JJ,N EPTOLA=(A(J,K)*A(J,K))/(A(J,J)*A(K,K)) EPTOLB=(B(J,K)*B(J,K))/(A(J,J)*A(K,K)) IF((EPTOLA.LT.EPS).AND.(EPTOLB.LT.EPS)) GO TO 210 C AKK=A(K,K)*B(J,K)-B(K,K)*A(J,K) AJJ=A(J,J)*B(J,K)-B(J,J)*A(J,K) AB=A(J,J)*B(K,K)-A(K,K)*B(J,J) CHECK=(AB*AB+4.*AKK*AJJ)/4. IF(CHECK) 50,60,60 50 WRITE(6,2020) STOP 60 SQCH=SQRT(CHECK) D1=AB/2.+SQCH D2=AB/2.-SQCH DEN=D1 IF(ABS(D2).GT.ABS(D1)) DEN=D2 IF(DEN) 80,70,80 70 CA=0. CG=-A(J,K)/A(K,K) GO TO 90 80 CA=AKK/DEN CG=-AJJ/DEN C C *** REALIZA LA ROTACION GENERALIZADA PARA TRANSFORMAR EN NULOS LOS C *** ELEMENTOS EXTERNOS A LA DIAGONAL PRINCIPAL C 90 IF(N-2)100,190,100 100 JP1=J+1 JM1=J-1

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KP1=K+1 KM1=K-1 IF(JM1-1)130,110,110 110 DO 120 I=1,JM1 AJ=A(I,J) BJ=B(I,J) AK=A(I,K) BK=B(I,K) A(I,J)=AJ+CG*AK B(I,J)=BJ+CG*BK A(I,K)=AK+CA*AJ 120 B(I,K)=BK+CA*BJ 130 IF(KP1-N)140,140,160 140 DO 150 I=KP1,N AJ=A(J,I) BJ=B(J,I) AK=A(K,I) BK=B(K,I) A(J,I)=AJ+CG*AK B(J,I)=BJ+CG*BK A(K,I)=AK+CA*AJ 150 B(K,I)=BK+CA*BJ 160 IF(JP1-KM1)170,170,190 170 DO 180 I=JP1,KM1 AJ=A(J,I) BJ=B(J,I) AK=A(I,K) BK=B(I,K) A(J,I)=AJ+CG*AK B(J,I)=BJ+CG*BK A(I,K)=AK+CA*AJ 180 B(I,K)=BK+CA*BJ 190 AK=A(K,K) BK=B(K,K) A(K,K)=AK+2.*CA*A(J,K)+CA*CA*A(J,J) B(K,K)=BK+2.*CA*B(J,K)+CA*CA*B(J,J) A(J,J)=A(J,J)+2.*CG*A(J,K)+CG*CG*AK B(J,J)=B(J,J)+2.*CG*B(J,K)+CG*CG*BK A(J,K)=0. B(J,K)=0. C C ** MEJORA DEL AUTOVECTOR DESPUES DE CADA ITERACION C DO 200 I=1,N XJ=X(I,J) XK=X(I,K) X(I,J)=XJ+CG*XK 200 X(I,K)=XK+CA*XJ 210 CONTINUE C C ** MEJORA DE AUTOVALORES C DO 220 I=1,N IF((A(I,I).GT.0.) .AND. (B(I,I).GT.0.)) GO TO 220 WRITE(6,2020) STOP 220 EIGV(I)=A(I,I)/B(I,I) C C ** CHEQUEO DE LA CONVERGENCIA C 230 DO 240 I=1,N

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TOL=RTCL*D(I) DIF=ABS(EIGV(I)-D(I)) IF(DIF.GT.TOL) GO TO 280 240 CONTINUE C C CHEQUEO DE TODOS LOS ELEMENTOS EXTERNOS A LA DIAGONAL C PRINCIPAL EPS=RTCL**2 DO 250 J=1,NR JJ=J+1 DO 250 K=JJ,N EPSA=(A(J,K)*A(J,K))/(A(J,J)*A(K,K)) EPSB=(B(J,K)*B(J,K))/(B(J,J)*B(K,K)) IF((EPSA.LT.EPS).AND.(EPSB.LT.EPS)) GO TO 250 GO TO 280 250 CONTINUE C C LLENA EL TRIANGULO INFERIOR DE LAS MATRICES RESULTANTES C Y ESCALA LOS AUTOVECTORES. C 255 DO 260 I=1,N DO 260 J=1,N A(J,I)=A(I,J) 260 B(J,I)=B(I,J) DO 270 J=1,N BB=SQRT(B(J,J)) DO 270 K=1,N 270 X(K,J)=X(K,J)/BB C DO 3025 I=1,N IEIG(I)=I 3025 CONTINUE C DO 3200 J=1,N AUX=EIGV(J) IAUX=J DO 3100 I=1,N-J IF(EIGV(I+J).GT.AUX) GO TO 3050 AUX=EIGV(I+J) IAUX=I+J 3050 CONTINUE 3100 CONTINUE AUXJ=EIGV(J) EIGV(J)=AUX EIGV(IAUX)=AUXJ C IAUXJ=IEIG(J) IEIG(J)=IEIG(IAUX) IEIG(IAUX)=IAUXJ C 3200 CONTINUE C DO 3250 K=1,N EIGV(K)=SQRT(EIGV(K)) 3250 CONTINUE C C ACTUALIZA LA MATRIZ Y COMIENZA UNA NUEVA ITERACION SI SE PERMITE C C ***** ORDENA LA MATRIZ MODAL DE ACUERDO A LOS AUTOVALORES C DO 3300 I=1,N

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DO 3300 J=1,N FI(I,J)=X(I,IEIG(J)) 3300 CONTINUE C FACT=1 SQFAC=SQRT(FACT) C DO 3275 I=1,N DO 3275 J=1,N FI(I,J)=FI(I,J)/SQFAC 3275 CONTINUE C 1 RETURN 280 DO 290 I=1,N 290 D(I)=EIGV(I) IF(NSWEEP.LT.NSMAX) GO TO 40 GO TO 255 2020 FORMAT(1H ,'*** ERROR EN LA SOLUCION-STOP ',/ .1H ,'LAS MATRICES NO SON DEFINIDAS POSITIVAS'/) END C---------------------------------------------------------------------- SUBROUTINE NEWMARK(It,Ig,VM0,VD0,VK0,TIME, . ACC,U,UP,UPP,MPtime,NP) C***************************************************************** C C ESTA RUTINA CALCULA LA RESPUESTA PARA CADA GRADO DE LIBERTAD C C C***************************************************************** IMPLICIT INTEGER*4 (I - N) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION TIME(MPtime),ACC(NP,MPtime) DIMENSION U(NP,MPtime),UP(NP,MPtime),UPP(NP,MPtime) C IF(It.EQ.2)THEN G=0.5 B=0.25*(0.5+G)**2 U(Ig,1)=0.0 UP(Ig,1)=0.0 UPP(Ig,1)=ACC(1,It) ENDIF C*** Etapa de PREDICCION T1=TIME(It-1) T2=TIME(It) DT=T2-T1 A1=ACC(Ig,It-1) A2=ACC(Ig,It) VJ0=VM0*(1/(B*DT**2))+VD0*(G/(B*DT))+VK0 DF=-VM0*(A2)+VM0*((1.0/(B*DT*DT))*U(Ig,It-1)+(1.0/(B*DT))* . UP(Ig,It-1) + ((0.5/B)-1.0)*UPP(Ig,It-1)) + . VD0*((G/(B*DT))*U(Ig,It-1)+((G/B)-1.0)* . UP(Ig,It-1) + ((0.5*G/B)-1.0)*UPP(Ig,It-1)*DT) C*** Correccion del desplazamiento U(Ig,It)=(1.0/VJ0)*DF

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C*** Actualizacion de las variables DU=U(Ig,It)-U(Ig,It-1) UP(Ig,It)=(G/(B*DT))*DU+(1-(G/B))*UP(Ig,It-1)+(1-0.5*G/B)* . DT*UPP(Ig,It-1) UPP(Ig,It)=(1.0/(B*DT**2))*(DU-UP(Ig,It-1)*DT)- . ((0.5/B)-1.0)*UPP(Ig,It-1) RETURN C END C-----------------------------------------------------------------

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Referencias A. Barbat, S. Oller - Conceptos de calculo de estructuras en las normativas de diseño sismorresistente - CIMNE IS-24 – Ed. A. Barbat - Barcelona, Diciembre 1997. A. Barbat, J. Miquel - Estructuras sometidas a acciones sísmicas - CIMNE Barcelona 1994. M. Paz - Dinámica estructural - Reverté 1992. F. Cesari - Metodi di calcolo nella dinamica delle strutture - Pitagora Bologna 1982. R. Clough and J. Penzien - Dynamics of Structures. Mc Graw-Hill N. York 1977.

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