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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Daniel Caetano
2018 - 1
MOMENTO ESTÁTICO
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Objetivos
• Conhecer a influência da forma na Resistência dos Materiais
• Compreender o conceito de Momento Estático
• Calcular Momento Estático
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ANTES DE MAIS NADA...
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Para quem faltou... Professor Informações de Contato
Daniel Caetano [email protected]
• Datas/critérios, apresent., exercícios, bibliog...
http://www.caetano.eng.br/
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Material de Estudo
Material Acesso ao Material
Apresentação http://www.caetano.eng.br/ (Resistência dos Materiais II – Aula 1)
Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler) – Págs 568-570
Aula Online Aula 1
Biblioteca Virtual “Resistência dos Materiais”
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RETOMANDO:
RESISTÊNCIA E RIGIDEZ
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Resistência e Rigidez • Tensão x Deformação
σescoamento
σruptura
σadm
𝜎𝑎𝑑𝑚 =𝜎𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎
𝜈𝑠𝑒𝑔
Material νseg
Aço 1,5 a 2
Ferro Fundido 4 a 8
Madeira 2,5 a 7,5
Alvenaria 5 a 20
Aço: ~ fsk
Aço: fsd
Os gráficos e limites para tração são diferentes dos da compressão!
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Resistência e Rigidez • Tensão x Deformação
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Resistência e Rigidez • Resistência x Rigidez
σ
ε
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Forma x Resistência e Rigidez • Tensão x Deformação
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Forma x Resistência e Rigidez • Formas diferentes: resistências diferentes
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Forma x Resistência e Rigidez • Formas diferentes: resistências diferentes
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VERIFICANDO O EQUILÍBRIO
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Verificando o Equilíbrio
• Considere o seguinte elemento:
Onde colocar um apoio para que o halteres fique em equilíbrio?
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Verificando o Equilíbrio
• Visualizando em 2D:
• Para equilíbrio: M1 = M2
• Logo... P1 . L1 = P2 . L2
Onde colocar um apoio para que o halteres fique em equilíbrio?
P1 P2
L1 L2
M1 M2
Mas
M1 = P1 . L1
M2 = P2 . L2
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Verificando o Equilíbrio
• E nesse caso?
• Para equilíbrio: M1 = M2
• Logo... P1 . L1 = P2 . L2
P1 P2
L1 L2
M1 M2
Mas
M1 = P1 . L1
M2 = P2 . L2
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Verificando o Equilíbrio
• E nesse caso?
• Para equilíbrio: M1 = M2
• Logo... P1 . L1 = P2 . L2
• Ou... A1 .δ. L1 = A2 .δ. L2
• Finalmente... A1 . L1 = A2 . L2
P1 P2
L1 L2
M1 M2
Mas
P1 = A1 . δ P2 = A2 . δ
A1 A2
Densidade Superficial (em N/m2)
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Verificando o Equilíbrio
• E nesse caso?
• Para equilíbrio: A1 . L1 = A2 . L2
• Vamos chamar A . L de S (momento estático)
• Assim, para equilíbrio: S1 = S2
• Ou...
L1 L2
A1 A2
S1 - S2 = 0
O segredo para achar o ponto de equilíbrio está no
tal momento estático!
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Verificando o Equilíbrio
• E nesse caso?
• Para equilíbrio: A1 . L1 = A2 . L2
• Vamos chamar A . L de S (momento estático)
• Assim, para equilíbrio: S1 = S2
• Ou...
L1 L2
A1 A2
S1 - S2 = 0 Stotal = S1 – S2
+ -
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“MEDINDO” A FORMA
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Caracterizando uma Forma Plana
• Perímetro
– Retângulo: 2∙b + 2∙h
– Triângulo: a + b + c
– Círculo: 2 ∙∏ ∙r
• Área
– Retângulo: b ∙ h
– Triângulo: b ∙ h / 2
– Círculo: ∏ ∙ r2
• Só isso?
a c
b
h b
h
r
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Momento Estático
• Momento de uma Força
–𝑀 = 𝐹 × 𝑑
• Momento Estático (ou de 1ª Ordem)
– S = A ∙ d
– d: a partir do centro de gravidade
• Maior simetria / antissimetria → menor S
F
d
M
A
d Informação sobre a distribuição de uma área com relação a um eixo de
interesse!
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Momento Estático
• Simetria - distribuição idêntica da área, relativamente a um eixo
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Momento Estático
• Simetria - distribuição idêntica da área, relativamente a um eixo
Momento Estático em Relação ao Eixo de Simetria é ZERO!
A distância tem SINAL!
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Sinal da Distância
• Há convenção de sinais... (veremos depois!)
+ _
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Sinal da Distância
• Há convenção de sinais... (veremos depois!)
+ _
Vamos aprender a calcular o momento estático... Depois
voltamos à questão do centro de gravidade da figura
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CÁLCULO DO MOMENTO ESTÁTICO
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Momento Estático
• Exemplo
• Simétrico a Y? → Sy = 0
• Simétrico a X? → Não!
2
8
x
y
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Momento Estático
• Exemplo
• Sx = ?
• Sx = A ∙ d = (2 ∙ 8) ∙ 1 = 16
2
8
x
d
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Momento Estático
• Exemplo Genérico
• Sx = ?
• 𝑆𝑥 = 𝐴. 𝑑 =
• 𝑆𝑥 = 𝑏. ℎ .ℎ
2=
h
b
x
d
𝑺𝒙 =𝒃. 𝒉𝟐
𝟐
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• E se a área for considerada em duas partes?
• Sx = ?
Sx = A1 ∙ d + A2 ∙ d =
A2
Momento Estático
A1
h
b/2
x
b/2
d
𝑆𝑥 =𝑏
2. ℎ .ℎ
2 + 𝑏
2. ℎ .ℎ
2⇒ 𝑆𝑥 =
𝑏
4. ℎ2 +
𝑏
4. ℎ2 =
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• E se a área for considerada em duas partes?
• Sx = ?
A2
Momento Estático
A1
h
b/2
x
b/2
d
𝑺𝒙 =𝒃. 𝒉𝟐
𝟐 𝑆𝑥 =
𝑏
4. ℎ2 +
𝑏
4. ℎ2 ⇒
𝑆𝑥 = 2.𝑏
4. ℎ2 ⇒
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• E quando há simetria?
• Simétrico a X? → Sx = 0
• Simétrico a Y? → Sy = 0
Momento Estático
x
y
2
8
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EXERCÍCIO
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• Calcule o momento estático da figura abaixo
Exercício
2m
6m
x
1m
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• Calcule o momento estático da figura abaixo
Exercício
6m
x
1m
2m
2m
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MOMENTO ESTÁTICO CALCULADO POR PARTES
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• Calcule o Momento Estático Sx da área Azul
Momento Estático
6
7
x
4
4
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• Calcule o Momento Estático Sx da área Azul
• 𝑆𝑥𝐴𝑧𝑢𝑙 = 𝑆𝑥𝐴1 + 𝑆𝑥𝐴2+ 𝑆𝑥𝐴3
Momento Estático
A1
6
7
x
A2
A3 4
4
Alternativa?
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• Calcule o Momento Estático Sx da área Azul
• 𝑆𝑥𝐴𝑧𝑢𝑙 = 𝑆𝑥𝑅𝑒𝑡𝐴𝑧𝑢𝑙 − 𝑆𝑥𝑅𝑒𝑡𝐵𝑟𝑎𝑛𝑐𝑜
• 𝑆𝑥𝐴𝑧𝑢𝑙 =𝑏1∙ℎ12
2−𝑏2∙ℎ22
2=
• 𝑺𝒙𝑨𝒛𝒖𝒍 =𝟕∙𝟑𝟔
𝟐−𝟒∙𝟏𝟔
𝟐= 126 – 32 = 94
Momento Estático
6
7
x
4
4
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EXERCÍCIOS
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• Calcule o momento estático da figura abaixo
Exercício
10
3
x
5
2
3
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A2
• Calcule o momento estático da figura abaixo
• Sx = SxA1 + SxA2 + SxA3
A3
Exercício
A1 10
3
x
5
2
3
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MOMENTO ESTÁTICO EM REGIÕES PLANAS GENÉRICAS
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Momento Estático
• E se a figura não tiver simetria?
x
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Momento Estático
• E se a figura não tiver simetria?
x
𝑺𝒙 = 𝒅.𝑨
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Momento Estático
• E se a figura não tiver simetria?
x
𝑺𝒙 = 𝒚. 𝒅𝑨 y
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Momento Estático
• E se a figura não tiver simetria?
x
𝑺𝒙 =𝒃. 𝒉𝟐
𝟔
y
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Momento Estático
• Cálculo genérico
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝑆𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴
• Unidade S = [L3]
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• Exemplo
Momento Estático
y
h
b
x
dA
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
dy
dx
y
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• Exemplo
Momento Estático
y
h
b
x
dA
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
dy
dx
y
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• Exemplo
Momento Estático
y
h
b
x
dA
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
dy
dx
y
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• Exemplo
Momento Estático
y
h
b
x
dA
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
dy
dx
𝑦 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
=
y
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• Exemplo
Momento Estático
y
h
b
x
dA
dy
dx
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏
0
ℎ
0
= 𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
=
y
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• Exemplo
Momento Estático
y
h
b
x
dA
dy
dx
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
= 𝑏 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
=
y
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• Exemplo
Momento Estático
y
h
b
x
dA
𝑏 ∙ ℎ2
2
dy
dx
𝑆𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝑦ℎ
0
= 𝑏 ∙𝑦2
2 ℎ0=
y
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MOMENTO ESTÁTICO CALCULADO POR PARTES
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• Calcule o Momento Estático Sx:
• 𝑆𝑥 = 𝑆𝑥𝐴1 + 𝑆𝑥𝐴2+ 𝑆𝑥𝐴3
• 𝑆𝑥 =𝑏1∙ℎ2
2+𝑏2∙ℎ2
6+𝑏3∙ℎ2
6
• 𝑺𝒙 =(𝟑∙𝟕+𝟒+𝟑)∙𝟑𝟔
𝟔= 168
A2 A3
Momento Estático
A1
6
7
x
4 3
=(𝟑 ∙ 𝒃𝟏+ 𝒃𝟐+ 𝒃𝟑) ∙ 𝒉
𝟐
𝟔
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PAUSA PARA O CAFÉ!
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TRANSLAÇÃO DE EIXO NO MOMENTO ESTÁTICO
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Mudando o Eixo de Referência • Como calcular Sx’?
• Integral?
• Será que conhecer Sx ajuda?
x
x’
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Translação de Eixos • Momento Estático (Sx conhecido)
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
y
h
b
x y
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Translação de Eixos • Momento Estático (Sx conhecido)
y
h
b
x
x’
y
d
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝑆𝑥´ = (𝑦 + 𝑑) ∙ 𝑑𝐴𝐴
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Translação de Eixos • Momento Estático (Sx conhecido)
y
h
b
x
x’
y
d
𝑆𝑥´ = (𝑦 + 𝑑) ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑑 ∙ 𝑑𝐴𝐴
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Translação de Eixos • Momento Estático (Sx conhecido)
y
h
b
x
x’
y
d
𝑆𝑥´ = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑑 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑑. 𝑑𝐴𝐴
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Translação de Eixos • Momento Estático (Sx conhecido)
𝑆𝑥´ = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
+ 𝑑. 𝑑𝐴𝐴
y
h
b
x
x’
y
d
![Page 67: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Caetano...Biblioteca Virtual “Resistência dos Materiais” RETOMANDO: RESISTÊNCIA E RIGIDEZ Resistência e Rigidez •Tensão x Deformação σ escoamento](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022053017/5f1b0e8498dd4832d9566884/html5/thumbnails/67.jpg)
Translação de Eixos • Momento Estático (Sx conhecido)
𝑆𝑥´ = 𝑆𝑥 + 𝑑. 𝐴
y
h
b
x
x’
y
d
∆S
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• Como calcular esse momento estático?
• 𝑆𝑥𝐴𝑧𝑢𝑙 = 𝑆𝑥𝑅𝐴 − 𝑆𝑥𝑅𝐵
• Só que 𝑺𝒙𝑹𝑩≠𝒃∙𝒉𝟐
𝟐
Translação de Eixo - Exemplo
6
7
x
4
4
1
y
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• Como calcular esse momento estático?
• Se temos o momento estático de um eixo, podemos calcular em outro
• Sx = Sx1 + d.A
• d → Sinal?
Translação de Eixo - Exemplo
6
7
x
4
4
1
x1
y
d → ↑S se distanciando do centro d → ↓S se aproximando do centro
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• Como calcular esse momento estático?
• Se temos o momento estático de um eixo, podemos calcular em outro
• SxRB = Sx1RB + d . A
• ∆S = ∆y ∙ A = 1 ∙ 16 = 16
Translação de Eixo - Exemplo
6
7
x
4
4
1
x1
y
Sinal SxRB = ?
Sinal ∆S = ?
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• Como calcular esse momento estático?
• Logo...
Translação de Eixo - Exemplo
6
7
x
4
4
1
x1
y
SxRB = Sx1RB + d. A = 𝑏∙ℎ2
2+ 16 =
4∙16
2+ 16 = 48
𝑆𝑥𝐴𝑧𝑢𝑙 = 𝑆𝑥𝑅𝐴 − 𝑆𝑥𝑅𝐵 = 126 − 48 = 78
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SINAL DO MOMENTO ESTÁTICO
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• Depende do “quadrante” da área
Sinal do Momento Estático
x
y
Sx > 0 Sy < 0
Sx < 0 Sy > 0
Sx > 0 Sy > 0
Sx < 0 Sy < 0
𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴
𝑆𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴
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EXERCÍCIOS
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• Calcule o momento estático Sx da figura:
Exercício
10
3
x
5
5
y
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CONSEQUÊNCIAS DO SINAL DO MOMENTO ESTÁTICO
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• Como vimos... O sinal depende do quadrante:
Consequências do Sinal no M.E.
x
y
Sx > 0 Sy < 0
Sx < 0 Sy > 0
Sx > 0 Sy > 0
Sx < 0 Sy < 0
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• Como vimos... O sinal depende do quadrante:
Consequências do Sinal no M.E.
x
y
Sx > 0 Sy < 0
Sx < 0 Sy > 0
Sx > 0 Sy > 0
Sx < 0 Sy < 0
Por isso a simetria leva a momento estático igual a zero!
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• Como vimos... O sinal depende do quadrante:
Sx < 0 Sy > 0
Sx > 0 Sy > 0
Sx = +S
Sx = -S
Consequências do Sinal no M.E.
x
y
Sx > 0 Sy < 0
Sx < 0 Sy < 0
Por isso a simetria leva a momento estático igual a zero!
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• O ponto em que Sx e Sy da área são zero...
Sx < 0 Sy > 0
Sx > 0 Sy > 0
Consequências do Sinal no M.E.
x
y
Sx > 0 Sy < 0
Sx < 0 Sy < 0
É o centro da área: centroide
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• O ponto em que Sx e Sy da área são zero...
Consequências do Sinal no M.E.
x
y
O Momento Estático da região será zero com relação a qualquer eixo que passe
por esse ponto
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Centroide x Baricentro • Distribuição Idêntica da Área / Massa
• Baricentro = Centro de Massa
– Densidade uniforme: centroide = baricentro
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ENCONTRANDO O CENTROIDE/BARICENTRO
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Baricentro de Figuras Planas
• Dados Sx’ e Sy’; baricentro → Sx = 0 e Sy = 0
h
b
x
x’
d
𝑆𝑥 = 𝑆𝑥′ − 𝑑. 𝐴 = 0
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Baricentro de Figuras Planas
• Dados Sx’ e Sy’; baricentro → Sx = 0 e Sy = 0
h
b
x
x’
yg
𝑆𝑥 = 𝑆𝑥′ − 𝑦𝑔. 𝐴 = 0
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Baricentro de Figuras Planas
• Dados Sx’ e Sy’; baricentro → Sx = 0 e Sy = 0
h
b
x
x’
yg
𝑆𝑥′ − 𝑦𝑔. 𝐴 = 0 → 𝑦𝑔 =𝑆𝑥′𝐴
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Baricentro de Figuras Planas
• Baricentro do Retângulo
y
h
b x
xB
yB
yg
xg
𝑏/2
𝒚𝒈 =𝑺𝒙𝑨=
𝒙𝒈 =𝑺𝒚
𝑨=
𝑆𝑥 ∙1
𝐴=
𝑆𝑦 ∙1
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ2
2∙1
𝑏 ∙ ℎ= ℎ/2
ℎ ∙ 𝑏2
2∙1
𝑏 ∙ ℎ=
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Baricentro de Figuras Planas
• Baricentro do Triângulo
y
h
b x
xB
yB
yg
xg
𝑏/3
𝒚𝒈 =𝑺𝒙𝑨=
𝑏 ∙ ℎ2
6∙2
𝑏 ∙ ℎ= ℎ/3
𝒙𝒈 =𝑺𝒚
𝑨=
ℎ ∙ 𝑏2
6∙2
𝑏 ∙ ℎ=
𝑆𝑥 ∙1
𝐴=
𝑆𝑦 ∙1
𝐴=
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Baricentro de Figuras Planas
• Calcule o 𝑦 do baricentro da área abaixo
xB
yg A3 A2
A1
6
7
x
4 3
𝑺𝒙 = 168
yg =2,67
𝑦𝑔 =𝑆𝑥𝐴=
𝑆𝑥𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
= 168
7 ∙ 6 +3 ∙ 62+4 ∙ 62
=
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6
7
4
4
Baricentro de Figuras Planas
• Calcule o 𝑦 do baricentro da área abaixo
xB
yg
x
𝑺𝒙 = 94
𝑦𝑔 =𝑆𝑥𝐴=
𝑆𝑥𝐴𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐴𝐵
= 94
7 ∙ 6 − 4 ∙ 4=
yg =3,62
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RESULTADOS IMPORTANTES
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Momentos Estáticos y
h
b
x
𝑆𝑥 = 𝑏 ∙ ℎ2
2 𝑆𝑦 =
ℎ ∙ 𝑏2
2
y
h
b
x
𝑆𝑥 = 𝑏 ∙ ℎ2
6 𝑆𝑦 =
ℎ ∙ 𝑏2
6
r x
𝑆𝑥 = 𝜋 ∙ 𝑟3 𝑆𝑦 = 0
y
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Distância ao Centro de Gravidade y
h
b
x
𝑦𝑔 = ℎ
2 𝑥𝑔 =
𝑏
2
y
h
b
x
r x
y
𝑦𝑔 = ℎ
3 𝑥𝑔 =
𝑏
3
𝑦𝑔 = 𝑟 𝑥𝑔 = 0
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Distância ao Centro de Gravidade
r x
y
𝑦𝑔 =4 ∙ 𝑟
3 ∙ 𝜋 𝑥𝑔 = 0
r x
y
𝑦𝑔 =4 ∙ 𝑟
3 ∙ 𝜋 𝑥𝑔 =
4 ∙ 𝑟
3 ∙ 𝜋
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EXERCÍCIO
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• Calcule a posição do centroide da área azul
8
4
4
Exercício – Entrega Individual
2 2
6
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PARA TREINAR
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Para Treinar em Casa
• Mínimos:
– Exercício A.1
– Exercícios A.2 a A.6 - Só localização do centroide
• Extras:
– Exercícios A.7 a A.12 - Só localização do centroide
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CONCLUSÕES
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Resumo • Importância da Forma na Resistência
• Propriedades das Áreas Planas
• Momento Estático
• Localização do Centroide
• Exercitar: Material Didático
• Momento de Inércia –Momento de Segunda Ordem
–O que é isso?
–Para quê serve?
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PERGUNTAS?