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Resistência dos Materiais, MA, IST, 2013-2014

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3ª Aula

Conceito de Tensão

Admita-se uma estrutura reticulada articulada (barras sujeitas apenas a esforços normais),

coloca-se questão de saber se as barras correm ou não o risco de rotura (por tracção ou

compressão).

Para tal deve comparar-se a tensão aplicada (tensão normal, , ou simplesmente )

com a tensão resistente, que depende do material (determinada por ensaios, por exemplo).

Essa tensão corresponde a um valor médio (admite-se uma distribuição uniforme na secção).

Vejam-se os exemplos seguintes (secção circular e rectangular).

Distribuição uniforme de tensões normais: secção circular (esqª) e prismática (dirª). BEER, 4ª Edição.

Em rigor a tensão (pontual) é definida pelo seguinte limite:

podendo o seu valor variar ao longo da secção.

Habitualmente adopta-se a mesma convenção de sinais do esforço normal, ou seja, a tensão

(normal) é positiva quando de tracção.


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Distribuição não uniforme de tensões normais. BEER, 4ª Edição.

Pode, pelo processo inverso, relacionar-se o esforço normal com a tensão:

∫

Ou seja, o esforço normal é a resultante das tensões normais na secção.

A tensão constitui assim uma medida alternativa dos esforços, correspondente à força por

unidade de superfície. A unidade de tensão no Sistema Internacional é o Pascal, ou seja, N/m2,

sendo comuns os seguintes múltiplos:

P: Considere-se uma barra tubular (ext=60mm, int=50mm) de aço com uma tensão admissível

de 235 MPa, sujeita a um esforço normal de 150 kN (tracção). Verifique se esta sofre rotura.

Determine o esforço axial máximo a que essa barra pode estar sujeita.

R: Não, o esforço normal máximo é de 203 kN.

Valores típicos de tensão resistente:

Aço A235 – 204 MPa Aço A500- 435 MPa

Betão C12/15 – 8 MPa (c)/0.73 MPa(t) Betão C45/55 – 30 MPa (c) / 1.84 MPa(t)


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De forma igual à estabelecida anteriormente (tensão normal versus esforço normal) pode

introduzir-se o conceito de tensão tangencial média, .

Por vezes esta componente do tensor das tensões1 (desenvolver) é referida por ou .

Também aqui se poderia fazer uma distinção entre o valor da tensão tangencial pontual.

A distribuição de tensões tangenciais na secção é relevante para barras sujeitas a esforços

transversos ou momentos torsores. Também é relevante para a verificação de segurança de

ligações de corte.

Tensões tangenciais (corte simples). BEER, 4ª Edição.

Tensões tangenciais (corte duplo) [].

Conceito de Extensão

Considerando uma barra com uma secção A e comprimento (inicial) L0 constituída por um

determinado material, sujeita a um esforço normal de tracção N, esta barra sofre um

alongamento . Pode observar-se que se, porventura, a barra tivesse o dobro da secção (2A), o

1 O termos genérico desse tensor tem o significado de componente segundo a direcção n na faceta

elementar cuja normal é segundo m


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mesmo comprimento inicial (L0) e estivesse sujeita ao dobro do esforço normal (2N), o

alongamento seria igual.

Introduz-se então o conceito de deformação média, ou extensão média, como sendo a

seguinte grandeza adimensional:

Para um corpo de prova (amostra ou provete) sujeito a um ensaio de tracção o diagrama

é uma característica do material que o constitui, não sendo dependente das dimensões

(comprimento, secção) do corpo de prova.

Também se poderia definir a extensão pontual através do seguinte limite:

ou, inversamente, calcular o alongamento total de uma barra.

∫

Como referido a deformação média é uma grandeza adimensional, não dependente do

sistema de unidades. Por vezes utiliza-se uma unidade convencional chamada mícron () que

corresponde a 10-6 (m/m, mm/mm, pol/pol, etc).

À semelhança do verificado com as tensões, pode também definir-se um tensor de

deformações, em que os termos diagonais indicam a extensão segundo as 3 direcções e os

termos não diagonais indicam a distorção (variação de ângulo) entre os vários pares de eixos

principais.

P: Considere a mesma barra tubular da pergunta anterior com um comprimento de 3m.

Admita que essa barra sofre um alongamento de 6 mm. Determine a extensão média.

R: 0.002 (ou 2000).


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4ª Aula

Diagramas tensão-deformação

Como referido o diagrama tensão-deformação constitui uma característica única do material,

não sendo afectado pelas dimensões do corpo de prova (com algumas reservas).

Estes ensaios são realizados sujeitando o corpo de prova (amostra ou provete) a uma história

incremental de tensões, até se observar a rotura.

Corpo de prova e instalação de ensaio de tracção. BEER, 4ª Edição.

Diagrama tensão-deformação típico de provete de aço macio[].


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Características específicas do aço macio (baixo teor de carbono):

Regime elástico;

Cedência;

Patamar de cedência (escoamento);

Endurecimento (encruamento);

Resistência convencional máxima;

Rotura

Há materiais (não isotrópicos, anisotrópicos) que apresentam características diferentes

dependentemente da direcção de carregamento. Por vezes apresentam duas direcções

ortogonais completamente distintas (ortotrópicos). Dê-se o exemplo da madeira (paralelo ao

fio ou perpendicular ao fio).

Há um conjunto de propriedades que podem decorrer da observação dos diagramas tensão-

deformação, como sejam:

Fragilidade – há materiais com características frágeis, ou seja que sofrem rotura sem

aviso prévio (ex: ferro fundido, vidro e pedra). Geralmente a deformação na rotura não

é muito elevada (1% ou inferior).

Ductilidade – propriedade oposta à anterior. O material sofre grandes deformações

antes de romper e dá avisos. Um material dúctil caracteriza-se por uma deformação na

rotura elevada (10% ou superior).

Elasticidade – certos materiais apresentam um domínio elástico no qual as descargas

permitem recuperar totalmente as deformações (deformação residual nula). As

variações de tensão são proporcionais às variações de deformação.

Plasticidade – característica apresentada por certos materiais em certas gamas de

tensões/deformações, nas quais as tensões permanecem aproximadamente

constantes enquanto as deformações aumentam. Está geralmente associada a

descargas com deformação residual (deformação não recuperada).

Fadiga – ocorrência de rotura após muitos ciclos (tipicamente milhões) para valores de

tensão inferiores àqueles que caracterizam a resistência para um só ciclo

(monotónica).

Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

Em alguns materiais existe uma gama de deformações para a qual as tensões são

proporcionais (regime elástico). O declive do diagrama tensão-deformação é constante e o seu

valor é designado de módulo de elasticidade (ou de Young) do material, sendo representado

por E. Valores típicos do módulo de elasticidade: betão 30 GPa (dependente da resistência à

compressão), aço 200 GPa (mais ou menos invariável).


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No regime elástico

É curioso notar-se que embora os tratamentos térmicos, inclusão de ligas tenham e processo

de fabrico influenciem significativamente as características de resistência e ductilidade dos

aços, o seu módulo de elasticidade permanece praticamente inalterado (200 GPa).

Nota-se também que em alguns materiais (por exemplo o aço) as descargas e recargas se

realizam de forma elástica (lineares, com um declive - idêntico ao declive da fase elástica da

carga).

Ainda no caso dos aços, refere-se que os aços com elevado teor de carbono tendem a não

apresentar uma cedência nítida, razão pela qual se define o conceito (equivalente) de tensão

limite convencional de proporcionalidade a 0,2%.

P: Para uma barra prismática de secção A, comprimento L, apoiada superiormente e livre

inferiormente, constituída pelo material com um módulo de elasticidade de E, determine a

expressão para o seu alongamento quando sujeito a uma força descendente (tracção) de valor

P. Explorando a analogia com uma mola, determine a expressão para a constante de rigidez da

mesma (K).

R:

Nota sobre as unidades: na expressão anterior que permite calcular o alongamento d sugere-

se a seguinte regra:

[

]


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5ª Aula

Voltando ao ensaio de tracção de um provete, para além da deformação longitudinal

(alongamento do provete) existe um conjunto de deformações transversais que conduzem a

um estreitamento da secção (não confundir com a estricção, fenómeno que só surge muito

depois do regime elástico). As deformações transversais, 11 e 22 relacionam-se com a

deformação longitudinal mediante o coeficiente de Poisson (), que é, à semelhança do

módulo de elasticidade E uma característica do material.

As dimensões da secção transversal são afectadas fazendo com que, para um dado valor do

esforço normal N, a área possa ser expressa por:

( ) (

)

no caso de uma barra prismática cujas dimensões iniciais da secção transversal eram b10Xb20.

P: Para uma barra prismática de secção A, comprimento L, apoiada superiormente e livre

inferiormente, constituída pelo material com peso específico determine os seguintes efeitos

do peso próprio: diagrama de esforço normal N(x), distribuição de tensões normais (x),

alongamento (x) (em particular indicar o alongamento da barra, (x=L)).

R: ( )

Considere-se agora uma barra heterogénea (constituída por vários materiais) composta pela

associação em série de N segmentos homogéneos, cada um dos quais com um comprimento

Ln, secção An e módulo de elasticidade En.

O alongamento total (L) pode ser obtido somando o alongamento de todos os seus

segmentos, ou seja:

∑

No caso particular da barra estar sujeita a um esforço normal constante ( ) a

equação anterior toma a seguinte forma:

∑

Em que, por analogia com o estudo de uma barra homogénea, se pode falar da rigidez total da

barra como sendo:


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(∑

)

Exemplo 2.1, BEER 4ª Edição


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6ª Aula

Problema resolvido 2.1, BEER 4ª edição


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P: Considere agora uma pirâmide quadrada com as dimensões de 200X200m2 (base) e altura

de 150m. Admita que a pirâmide é constituída por betão (E=29GPa, =25kN/m3). Determine o

assentamento do vértice superior.

R: vértice=-3.23mm.


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Considere-se agora uma barra heterogénea (constituída por vários materiais) composta pela

associação em paralelo de 2 materiais (material 1 e 2), Exemplo 2.2 Beer 4ª Edição.


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7ª Aula

Da análise do problema anterior, generalizado para a associação em paralelo de (N) materiais

(esforço normal constante e todos os materiais com o mesmo comprimento) extraem-se as

seguintes conclusões:

A determinação da parcela do esforço normal imputado a cada material Pn é um

problema estaticamente indeterminado (hiperestático), ou seja dispõe-se de apenas 1

equação de equilíbrio a N variáveis:

∑

A indeterminação da equação anterior pode ser eliminada considerando (N-1)

equações de compatibilidade do tipo:

ou, equivalentemente (considerando que n=n L)

que, conjugadas com as relações constitutivas (comportamento elástico), do tipo

permitem reescrever as (N-1) equações adicionais anteriores sob a forma

Resumindo, conjugando a equação de equilíbrio com as (N-1) equações adicionais que

resultam da conjugação das equações de compatibilidade e relações constitutivas

obtém-se um conjunto de N equações a N variáveis, cujo resultado final é

(exemplificado para um dos materiais, m):

∑

Ou seja, o esforço normal reparte-se pelos vários materiais na proporção directa da

rigidez axial da (sub) barra constituída por cada um dos materiais, comparativamente

com a rigidez axial da barra composta. De facto pode constatar-se que a rigidez da

barra composta pode ser determinada

∑


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Barras estaticamente indeterminadas. Princípio da sobreposição dos efeitos (elásticos).

Beer, 4ª edição


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Variação de temperatura

Considere-se agora uma barra homogénea de dilatação livre de comprimento L que é sujeita a

uma variação de temperatura T. A observação permite concluir que a barra dilata

linearmente com a temperatura, sofrendo um alongamento térmico :

Em que é mais uma característica do material que constitui a barra e é designado de

coeficiente de dilatação térmica (linear), vindo expresso (no SI) em ºC-1. Apresentam-se de

seguida os valores típicos dos coeficientes de dilatação térmica dos materiais mais comuns:

aço (13X10-6 /ºC), alumínio (23X10-6 /ºC), betão (10X10-6 /ºC), vidro(8X10-6 /ºC) e cobre

(16X10-6 /ºC).

Pode ainda definir-se a extensão (ou deformação térmica) T da seguinte forma:

Dado se tratar de uma barra de dilatação livre não surgem tensões.

Quando uma barra é sujeita a uma variação de temperatura não surgem tensões apenas

quando a barra tem dilatação livre e é constituída por um só material (barra homogénea).

Quando a barra tem a dilatação impedida (ou limitada) e/ou quando a barra é constituída por

uma associação de materiais em paralelo vão surgir tensões.

Considere-se a título de exemplo o que acontece quando uma barra homogénea é sujeita a

uma variação de temperatura (positiva, aquecimento) T.


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8ª Aula

Pelo princípio da sobreposição dos efeitos pode afirmar-se que vai surgir um esforço normal P

de compressão que conduz a um encurtamento igual e oposto ao alongamento que a barra

apresentaria caso tivesse dilatação livre, ou seja:

Ou seja:

Ou, equivalentemente:


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Caso a variação de temperatura seja imposta a uma barra de dilatação livre mas constituída

por uma associação de materiais em paralelo também vão surgir tensões.

P: 1º Problema, Exame 17 Janeiro 2009

R: B=2,2mm; 1=-0,8 MPa, 2=1,6 MPa

Conceito de pré-esforço

O pré-esforço é uma técnica utilizada no betão armado, tendo por objectivo contrariar a fraca

resistência do betão à tracção (protelando a abertura de fendas) ou controlando as

deformações (introduzindo um estado de deformação contrário àquele que resulta das

restantes cargas).

Pode distinguir-se o betão pré-esforçado pré-tensionado (caso em que as armaduras de pré-

esforço são tensionadas previamente e é feita a transferência de cargas quando o betão

endurece, situação comum na pré-fabricação) e o betão pós-tensionado (aderente ou não

aderente), caso em que o pré-esforço é aplicado após o endurecimento do betão e depois é

feita a transferência de cargas para a peça (amarrações de pré-esforço).


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P: Considere a viga de betão pré-esforçado representada na figura. A viga é sujeita a um pré-

esforço inicial de Fp=10 kN. Calcule a máxima força F que pode ser aplicada.

Dados:

Aa=1cm2; Ab=10cm2; Ea=210 GPa; Eb=30 GPa; adm,a=200 MPa; adm,bt=3 MPa; adm,bc=-30 MPa

R: Fmax=22,1 kN

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