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Resistência dos Materiais II
• FLEXÃO OBLÍQUA
SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO
MAJ MONIZ DE ARAGÃO
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Flexão Oblíqua
1º Caso: Vigas Simétricas
xLPM z cos
xLPM y sen
z
z
y
y
xI
yM
I
zM
Eixo neutro: 0 x zI
Iy
y
z
tg
tg Em geral:
=
zy II
90
0
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Flexão Oblíqua
1º Caso: Vigas Simétricas
y
zEI
PL
3
sen3
22zy
Direção da deflexão resultante:
tgtg
y
z
y
z
I
I
z
yEI
PL
3
cos3
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Flexão Oblíqua
2º Caso: Vigas com seções assimétricas
1)Localização dos eixos principais centrais y e z
2)Decomposição de M em My e Mz
3)Determinação do eixo neutro: tgtg y
z
I
I
Solução:
z
z
y
y
xI
yM
I
zM
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Flexão Oblíqua
2º Caso: Vigas com seções assimétricas
Solução Geral:
0dA
EzEy
x
zyx
dAyM
dAzM
xz
xy
dAzEdAyzEM zyy2
zzyzyy EIEIM
yzzzyz EIEIM
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Flexão Oblíqua
2º Caso: Vigas com seções assimétricas
Solução Geral:
2yzzy
yzyyzyzzzy
xIII
yIMIMzIMIM
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Flexão Oblíqua
2º Caso: Vigas com seções assimétricas
2yzzy
yzyyzyzzzy
xIII
yIMIMzIMIM
0
0
z
y
M
M 2yzzy
yyzz
xIII
yIzIM
Flexão apenas em z:
Flexão nos eixos principais:
z
z
y
y
xI
yM
I
zM
0 yzI
Solução Geral:
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Flexão Oblíqua
Exercício
Determine:
- a tensão atuante em A
- a linha neutra
Ref: Beer e Johnston, Resistência dos Materiais, 3ª Ed. Pág. 432
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Flexão Oblíqua
Exercício
Eixos principais:
Z (Iz ; -Pyz)
Y (Iy ; Pyz)
z y normal “saindo” do plano?
Sim Z (Iz ; +Pyz)
Não Z (Iz ; - Pyz)
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
432
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Flexão Oblíqua
Exercício
Eixos principais:
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
432
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Flexão Oblíqua
Exercício
Carregamento
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
432
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Flexão Oblíqua
Exercício
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
432
z
y
v
u
cossen
sencos
Distância de A em relação a u e v
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Flexão Oblíqua
Exercício
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
432
Tensões em A
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Flexão Oblíqua
Exercício
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
432
Linha neutra
m
u
v
I
I tgtg
81
4,41m
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Flexão Oblíqua com carregamento transversal
Seção com plano de
simetria vertical:
Seção SEM plano de
simetria vertical:
Uma carga vertical atuante numa seção assimétrica
usualmente produz flexão combinada com TORÇÂO
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Flexão Oblíqua com carregamento transversal
Momento na seção que passa por a maior que o
momento na seção que passa por b...
F1 > F2
21 FFdxe
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Flexão oblíqua com carregamento transversal
21 FFdxe
eI
QV
z
zy
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Flexão oblíqua com carregamento transversal
Fluxo de cisalhamento
• as tensões de cisalhamento são orientadas ao longo da linha média da
seção, paralelamente aos lados;
• as tensões de cisalhamento são admitidas como constantes na
espessura da parede;
• a espessura da parede não precisa ser constante;
• fluxo de cisalhamento é definido como o produto da tensão de
cisalhamento pela espessura no ponto de análise:eq
Torção!
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Flexão oblíqua com carregamento transversal
Centro de torção
• É possível aplicar uma força transversal de alguma maneira que não
provoque torção?
V
Fhe CENTRO DE TORÇÃO
ou de CISALHAMENTO
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Flexão oblíqua com carregamento transversal
Expressão generalizada – eixos não-principais
s
y
s
yz
yzzy
ydAyIdAzI
IIIe
V
002
2yzzy
yzzzy
xIII
zIMIM
21 FFdxe
s
y
s
yz
yzzy
z dAzIdAyIIIIe
V
002
Vy
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Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
Determine:
- o centro de cisalhamento da seção;
- a distribuição das tensões de cisalhamento para a força
aplicada no centro de cisalhamento;
- a máxima tensão de cisalhamento para a força aplicada no
centro geométrico da seção.
Ref: Beer e Johnston, Resistência dos Materiais, 3ª Ed. Pág. 561
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Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
Fluxo de cisalhamento na aba AB:
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
557
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Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
Momento de inércia
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
557
Cálculo da distância e:
mmI
bth
V
h
I
Vthb
V
Fh40
44e
222
abaalma III 2
2
0
33
212
12
12
1 hbtbtth
hbth 612
1 2
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Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
Tensão de cisalhamento na aba AB:
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
557
distribuição linear
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Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
Tensão de cisalhamento na aba AB:
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
557
distribuição linear
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Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
Tensão de cisalhamento na alma:
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
557
parabólica
![Page 27: Resistência dos Materiais II - ime.eb.brmoniz/resmat/flex_obliqua.pdf · Resistência dos Materiais II •FLEXÃO OBLÍQUA SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021702/5d66b67388c99331098bbcf3/html5/thumbnails/27.jpg)
Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
Distribuição das tensões de cisalhamento na seção
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
557
![Page 28: Resistência dos Materiais II - ime.eb.brmoniz/resmat/flex_obliqua.pdf · Resistência dos Materiais II •FLEXÃO OBLÍQUA SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021702/5d66b67388c99331098bbcf3/html5/thumbnails/28.jpg)
Flexão assimétrica com carregamento transversal
Exercício
a máxima tensão de cisalhamento
para a força aplicada no centro
geométrico da seção
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
557
Teoria da membrana