UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERA CIVILDEPARTAMENTO ACADMICO DE INGENIERA CIVIL ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL O CORTANTEPRESENTADO POR:CACHI QUISPE WALKER DANILO083133SEMESTRE:2011 - IIDOCENTE:ING. Danny Nieto PalominoCUSCO, 24 DE OCTUBRE DE 200118 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC2INTRODUCCIONEl presente informe es un resumen terico, tcnico ygrafico acerca delaimportanciaquetieneel cursoderesistenciademateriales realizado en nuestra facultad, este informe es de gran importancia para la observacin y comportamiento del material en la construccin y su gran demanda en el clculo dela estructuras.Fue realizado gracias a la motivacin delcurso, en dicho informe podemosobservar cmoesquesehaceel clculodel esfuerzo normal y tangencial del curso en mencin.Estos elementos son de suma importancia para la consolidacin en el aprendizaje del curso, as como para nuestra formacin profesional, esindispensableel conocimiento, lastcnicasylas normasperuanaqueseexigen, esporesoqueesteinformefue realizado con entusiasmo y esmero.8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC3OBJETIVOS*es el conocimiento de los conceptos importantes de la estticaseguidopor definicionesformalesdelosesfuerzos normales y cortantes,as como porun anlisis delesfuerzo normal en miembros cargados axialmente y del esfuerzo cortante promedio causado por el cortante directo.*Conocer los elementos y componentes que causan los esfuerzos.*Conocer su obtencin, procedimientos y clculo.*Consolidar la teora y conocimientos desarrollados en clase.*Ampliar nuestrosconocimientosqueservirnennuestra formacin profesional.8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC4IntroduccinLa mecnica de materialeses una ramade la mecnica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerzas internas que actan dentro del cuerpo.Esta disciplina de estudio implica tambincalcular la deformacin del cuerpo y proveer un estudio de la estabilidad del mismo cuando est sometido a fuerzas externas.En el diseo de cualquier estructura o maquina, es necesario primero usar los principios de la esttica para determinar las fuerzas que actan sobre y dentro de los diversos miembros. El tamao de los miembros, sus deflexiones y su estabilidad dependen no solo de las cargas internas, sino tambin del tipo de material de que estn hechos. En consecuencia, una determinacin precisa y una compresin bsica del comportamiento del material ser de importancia vital para desarrollar las ecuaciones necesarias usadas en la mecnica de materiales . debe ser claro que muchas formulas y reglas de diseo , tal como se definen en los cdigos de ingeniera y usadas en la practicas , se basan en los fundamentos mecnica de materiales, y por esta razn es tan importante entender los principios de esta disciplina.8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC5ESFUERZO NORMAL Y TANGENCIAL O CORTANTE Esfuerzo que es perpendicular al plano sobre el que se aplica la fuerza de traccin o compresin, que es distribuido de manera uniforme por toda su superficie. Tambin llamado esfuerzo axial.Esfuerzo axialEsfuerzo que es perpendicular al plano sobre el que se aplica la fuerza de traccin o compresin, que es distribuido de manera uniforme por toda su superficie. Tambin llamado esfuerzo normal.Esfuerzo cortante horizontalEsfuerzocortantequesedesarrollaalolargodeunelementoestructural quees sometidoacargastransversales, queesigual al esfuerzocortantevertical enese mismo punto. Tambin llamado esfuerzo cortante longitudinal. Esfuerzo cortante longitudinalEsfuerzocortantequesedesarrollaalolargodeunelementoestructural quees sometidoacargastransversales, queesigual al esfuerzocortantevertical enese mismo punto. Tambin llamado esfuerzo cortante horizontal. Un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio esttico (con velocidad nula) est sometido a tres condiciones de equilibrio (Ver figura 1) Equilibrio externo Equilibrio interno Equilibrio entre fuerzas internas y externas 8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC6FFF1234AA1 F,F,F,F,fuerzas externas 2 3 4F =F+F+F+F =01 2 3 4Equilibrio de fuerzas externas Equilibrio de fuerzas internasF =F +F=0F,F,resultantes de fuerzas internasAA41FFF23AAI/D FFD/II/D D/II/D D/I e ie iEquilibrio entre fuerzas externas y fuerzas internasF +F=0Enla mecnica deslidos es significativa laintensidad delas fuerzas internas actuando sobre diversas porciones de una seccin transversal, pues la resistencia a la deformacinyalasfuerzasdependededichasintensidadesalascualesseles denomina esfuerzos.Lascomponentesdeunvector fuerzaPqueactesobreunreaA setoman perpendiculares y paralelas a la normalnaA (ver figura 2); el sistema de coordenado ( ) ,, x y zde referencia tambin se toma conforme a dicha normal.P resultante de fuerza interna aplicada sobre el rea AAPxyzAPxPyPznComponentes de fuerzaDe este modo, ( )x y zP P P P. La intensidad de las fuerzas por unidad de rea, es decir, los esfuerzos promedios, estarn dados por:8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC7, ,yx zxx xy xzPP PA A A .Si 0 A , los esfuerzos instantneos estarn dados por: 0 0 0lim , lim , limy yx x z zxx xy xzA A AP dPP dP P dPA dA A dA A dA Laintensidaddelafuerzanormal operpendicular alasuperficieseconocecomo esfuerzo normal xxy puede ser de compresin(cuando va hacia la superficie) o de tensin o traccin (cuando sale de la superficie).Los esfuerzosyxy xz sonparalelos alasuperficieencuestin, por loquese conocen como esfuerzos tangentes o en algunos casos, esfuerzos cortantes.Las unidades de esfuerzo pueden ser: kg/cm2, N/m2= Pa, lb/in2= Psi, etc.FFFF1234Molcula interna de la materiadxdzdyxyzcara y (+)cara z (+)cara x (+)Volumen dV=dxdydzPartcula interna de la materiaTomando una molcula o partcula interna en la materia se tienen las componentes de esfuerzo mostradas en la figura 4. En la notacin utilizada, el primer subndice da la cara sobre la cual est aplicado el esfuerzo mientras que el segundo subndice da la direccin en la que acta.8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC8y xzxy yxyzxzzyzxyzx Esfuerzos sobre una molcula.Mientras que el vector de fuerza P tiene nicamente tres componentes, esto es xyzPPP _ ,P, Las componentes de esfuerzo pueden agruparse en el tensor de esfuerzo [ ]xx xy xzyx yy yzzx zy zz 1 1 1 1 ] Cuando se tiene que en una direccin, los esfuerzos son nulos, como por ejemplo,0z xz yz zx zy , Entoncessedicequesetieneunestadoplanodeesfuerzosyel tensoresfuerzos puede escribirse de la forma [ ]x xyyx y 11 ]

8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC9Considereel estadodeesfuerzosplanoanteriormentedescrito. Lasresultantesde esfuerzos queactanendichoestado, las cuales sesuponequepasanpor el centroide de lamolcula demodoque nose tienenpares otorques actuando directamente en ella, (ver figura 5). Dado que se supone equilibrio de fuerzas en dicha molcula, 0zM, Es decir, ( ) ( )0yx xydxdz dy dydz dx + ,como 0xy yxdV dxdydz , Esto significa que el tensor esfuerzo es simtrico. En general, ij ji .xy y xx y xzyV o l u m e nd V = d x d y d zd xd yd zxyxx y y xy. Estado plano de esfuerzos.ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIOSobre una partcula o molcula de un cuerpo se presentan dos tipos de fuerzas.1.Fuerzas de cuerpo: son debidas a la accin de campos vectoriales como pueden ser loscamposelctricos, losmagnticosolosgravitacionales. Generalmentese tratan como densidades de fuerza, es decir, fuerzas por unidad devolumen.2.Fuerzasdesuperficie: songeneradaspor laaccindirectadeotroscuerpos. Generalmente se tratan como intensidades de fuerzas por unidadde rea,esdecir como esfuerzos. Considrense una molcula sometida a un estado general de esfuerzos y en la cual, la resultante dedensidad de fuerzas de cuerpo est dadapor elvector8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC10 ( )x y zB B B B, La cual se supone que pasa por el centroide de la molcula. Supngase adems que la molcula se encuentra en equilibrio esttico (es decir, su velocidad es nula), esto significa que , F 0 M 0, es decir, 0, 0,etc.x yF F Tomando primero 0xF , Se tiene ( ) ( )( )0x x x zx zx zx yxyx yx xdydz d dydz dxdy d dxdy dxdzd dxdz B dxdydz + + + + + + + Simplificando, 0x z x y x xd d y d z d d x d y d d x d z B d x d y d z + + + Como los esfuerzos son funcin solo de la posicin (ya que no habiendo aceleracin ni velocidad, no dependen del tiempo), es decir, ( ) ( ) ,, , ,, , etc.x x xy xyx y z x y z , Entonces, sus derivadas son las de las funciones de varias variables, es decir,, , etc.xy xy xyx x xx xyd dx dy dz d dx dy dzx y z x y z + + + + Sustituyendo estas derivadas en la ltima ecuacin se obtiene1Despreciando las diferenciales al cuadrado, ( ) ( ) ( )2 2 20, 0, 0 dx dy dz , Esta ecuacin se simplifica a0xyx zxxdxdydz dydxdz dxdydz B dxdydzx y z + + + ; Dado que8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC11 0 dV dxdydz , Entonces0xyx zxxBx y z + + + zxzxzx +d zxyx+d xx+d yx yxBxxydxdydz Componentes de esfuerzo en la direccin x.En forma anloga, aplicando 0 y 0y zF F Se obtienen 0xy y zyyBx yz +++

0yzxz xzBxy z +++son las ecuaciones diferenciales de equilibrio.Para un estado plano de esfuerzos con 0z xz yz zx zy , Estas ecuaciones se reducen a 0xyxxBx y+ + Y0xy yyBx y ++ 8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC12Ntese que tanto para un estado general de esfuerzos como para un estado plano, el nmero de ecuaciones de equilibrio es menor al nmero de incgnitas, por lo que el problema de esfuerzos internos es un problema hiperesttico.TENSOR DE ESFUERZOS EN COORDENADAS CILNDRICAS( ) , , r z .En coordenadas cilndricas, el tensor esfuerzo queda de la siguiente forma[ ]rr r rzr zzr z zz 1 1 1 1 ]zzrz z drdzdrzrzr rr Componentes de esfuerzo en coordenadas cilndricas (Slo se muestran los esfuerzos de las caras positivas).TENSOR DE ESFUERZOS EN COORDENADAS ESFRICAS( ) , , r .En coordenadas esfricas, el tensor esfuerzo queda de la siguiente forma[ ]rr r rrr 1 1 1 1 ]8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC13rrdrrddr rrComponentes de esfuerzo en coordenadas esfricas (Slo se muestran los esfuerzos de las caras positivas).ESFUERZOS EN UN PLANO CUALQUIERA DEFINIDO POR EL VECTORSea una molcula sometida a un estado de esfuerzos conocido; se quiere encontrar el estado de esfuerzos en un plano cualquiera que intercepta a la molcula.Sea l m n + + n i j k

Elvector unitario normalalplano de inters con ,, l m nlos cosenos directores de n, entonces,lasproyecciones(ver figura9) deldiferencial de rea dAdefinidaporla interseccin del plano con la molcula y en la cual acta la resultante de esfuerzos que se quiere conocer, n nx ny nzS S S + + S i j k Se pueden obtener como , ,x y zdA l dA dA mdA dA n dA .xyzzxyzxzxy zy yyxz dAx dAdAdAyzx SnnFigura 9. Esfuerzos en un plano cualquiera.Aplicando las ecuaciones de equilibrio se pueden obtener las componentes8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC14 , ,nx ny nzS S S de la resultante de esfuerzos buscadanS. Haciendo primero, 0 0x nx yx y zx z x xF SdA dA dA dA Sustituyendo las expresiones anteriores, 0n x y x z x xS d A m d A n d A l d A Con 0 dA Despejando, n x x y x z xS l m n + +Anlogamente, 0y ny xy y zyF S l m n + +0z nz xz yz zF S l m n + +Las componentes as encontradas son con respecto alsistema coordenado xyz, sin embargo, y para fines prcticos, generalmente es necesario conocer las componentes de esfuerzo normales y tangenciales al plano dado. (Ver figura 10).xzySnnnn Componentes de esfuerzo normal y tangente al plano dado.Dado que nes el vector normal al plano de inters, la proyeccin del esfuerzo nS en esa direccin ser la magnitud del esfuerzo normal a ste, esto es, ( ) ( )( ) ( ) ( )n n nx ny nz nx ny nzx yx zx xy y zy xz yz zS S S l m n lS mS nSl l m n m l m n n l m n + + + + + + + + + +S n g g8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC15Como ij ji , entonces,la magnitud del esfuerzo normal al plano es2 2 22 2 2n x y z yx xz yzl m n lm l n mn + + + + +Para obtener la magnitud del esfuerzo tangencial se aplica el teorema de Pitgoras de modo que 2 2c o nn n n n nS S SEjemploCon respecto a los ejes Oxyz, elestado de esfuerzos est dado en trminos de las coordenadas por la matriz [ ]22 2200xy yy yz zz xz11111]Determinar:1) Las componentes de la fuerzas de cuerpo si se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio.2) El vector deesfuerzosenel punto( ) 1,2,3 Penel planocuyanormal tenga ngulos iguales con los ejes coordenados positivos.Solucin1) En este caso, 2 2, , , , 0,x y z xy yx xz zx yzxy yz xz y z , por lo tanto, aplicando las ecuaciones (4), (5) y (6)2 0 3xyx zxx x xB y y B B yx y z + + + + + 2 0 3xy y z yy y yB z z B B zx y z + + + + + 0yzxz xz z xB x B B xx y z + + + + Por lo que el vector de fuerzas de cuerpo (dadas por unidad de volumen) es 3 3 y z x B i j k8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC162) Primero se obtendrn los cosenos directores de la normal al plano en cuestin. Si los ngulos de dicha normal con respecto a los ejes coordenados, xyz, son, respectivamente , , , entonces, loscosenosdirectoresdelanormal son cos , cos , cos l m n , los cuales deben cumplir con la condicin 2 2 21 l m n + + . En este caso, se tiene que 2 2 2 213 13l m n l m n l l m n + + tComolosngulos aconsiderar sonconrespectoalosejes positivos, se tomarn los valores positivos de los cosenos directores.Evaluando el tensor esfuerzo en el punto ( ) 1,2,3 Pde inters se obtiene [ ]( ) 1 2 32 4 04 6 90 9 3 1 1 1 1 ] por lo que 2,, 6, 3, 4, 0, 9x y z xy yx xz zx yz Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (10), (11) y (12) para obtener las componentes delesfuerzo que acta en elplano y en el punto de inters se obtiene( ) ( )1 1 62 43 3 3nx x yx zxPS l m n _ _ + + + , ,( ) ( ) ( )1 1 1 194 6 93 3 3 3ny xy y zyPS l m n _ _ _ + + + + , , ,( ) ( )1 1 129 33 3 3nz xz yz zPS l m n _ _+ + + , ,Por lo tanto, el esfuerzo en el punto del plano en cuestin es 6 19 12 33 3n ++ S i j k8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC17ESFUERZOS EN UN PLANO CUALQUIERA DEFINIDO POR EL VECTOR CORRESPONDIENTES A UN ESTADO PLANO DE ESFUERZOS.yyxxy zxxyxxy y yx xyx'y'nnSn^t^S^nnnEsfuerzos en un plano cualquiera para un estado plano de esfuerzos.Para un estado plano de esfuerzos y un plano con normal cos sen + n i j (ver figura 11),la resultante de esfuerzo en dicho plano sera ( ) ( ) cos sen cos senn nx ny x xy xy yS S + + + + S i j i j Por lo que, la magnitud del esfuerzo normal al plano estara dado por ( ) ( ) ( )( )2 2 cos sen cos sen cos sencos sen 2 sen cosn n x xy xy yn x y xy + + + +S n g gDe las identidades trigonomtricas 2 2 21 cos2 1 cos2sen 1 cos , cos , sen2 2sen cos2 2 + La magnitud del esfuerzo normal se puede escribir cos2 sen22 2x y x yn xy + _ + + ,con n n n.Anlogamente, es posible obtener el esfuerzo tangente en este caso, ya que un vector unitario tangente a la superficie t se puede obtener fcilmente. Como sen cos + t n t i j, de donde, la magnitud del esfuerzo tangente estar dada por8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC18( ) ( ) ( )( )2 2cos sen cos sen sen coscos sen sen cos cos senn n x xy xy yn x xy xy y + + + +S t g gAplicandolasmismasidentidadestrigonomtricasqueseutilizaronparaobtener el esfuerzo normal y simplificando se obtiene que la magnitud del esfuerzo tangencial al plano est dada por sen2 cos22x yn xy _ + ,Con n n tESFUERZOSMXIMOSYMNIMOSNORMALESOESFUERZOSPRINCIPALES PARA UN ESTADO PLANO DE ESFUERZOS.Una vez conocido el estado de esfuerzos en un material o molcula, con respecto a un sistema coordenado dado, es de inters el conocer el estado de esfuerzos mximo y mnimo en dicho material.En este caso en particular, se tratar nicamente con estados planos de esfuerzo. Para obtener los valores extremos de los esfuerzos normales dado un estado plano de esfuerzos, as comolosplanosenlosqueocurrentalesesfuerzos, sederivala ecuacin cos2 sen22 2x y x yn xy + _ + + , Con respecto a y la derivada se iguala con cero, esto es,

( ) 2 sen2 2 cos2 0 tan222x y xynxyx ydd _ + _ , ,1 arctan22xyx y _ ,De acuerdo al procedimiento anterior,2puede estar en el primer cuadrante o en el tercer cuadrante por lo que 2 22 22sen2 , cos22 2x yxyx y x yxy xy _ , t t _ _+ + , ,Sustituyendoestosvaloresenlaecuacinseobtienelosvaloresdelosesfuerzos normales mximos y mnimos8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC1922maxmin 2 2x y x yxy + _ t + ,Normalmente estos esfuerzos se conocen como esfuerzos principales y se denotan2 22 21 2,2 2 2 2x y x y x y x yxy xy + + _ _ + + + , ,ylosplanosdondeocurrenestosesfuerzos, definidosporlaecuacinseconocen como planos principales.Ntese que, dado que 2 puede estar en el segundo o tercer cuadrante, entonces se tienen dos valores de 1 2y que corresponden respectivamentea los dos valores de los esfuerzos principales tales que 2 1 2 12 22 + +, Lo que significa que los planos principales son ortogonales entre s (ver figura 12), lo cual resulta lgico.121planos principales90 Estado de esfuerzos principales para un estado plano de esfuerzos.Esfuerzos tangentes correspondientes a los planos principales.Sustituyendo los valores de encontrados con la ecuacin (17) en la ecuacin (16) se obtienen los esfuerzos tangentes correspondientes a los planos principales, es decir,8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC20 2 22 2sen2 cos222022 2x yn xyx yx y xyxyx y x yxy xy _ + , _ _ _ _ , t + t , _ _+ + , , , ,Lo que significa que los esfuerzos tangentes de una molcula sometida a esfuerzos principales son cero, es decir que,en un estado de esfuerzos principales, no existen esfuerzos cortantes.ESFUERZOS TANGENTES MXIMOS Y MNIMOS PARA UN ESTADO PLANO DE ESFUERZOS.Nuevamentesetratarconunestadoplanodeesfuerzosyenformaanlogaala obtencin de los esfuerzos principales, para obtener los esfuerzos tangentes mximo y mnimo, se derivala ecuacin (16), sen2 cos22x yn xy _ + , Con respecto a y la derivada se iguala con cero, esto es, ( )22 cos2 2 sen2 0 tan22x yx ynxyxydd _ _ , ,2 1 arctan2x yxy 1 _ 1 , 1 1 1 1 ]De acuerdo al procedimiento anterior, 2 puede estar en el segundo cuadrante o en el cuarto cuadrante por lo que 2 22 22cos2 , sen22 2x yxyx y x yxy xy _ , t _ _+ + , ,mSustituyendo estos valores en la ecuacin (16)se obtiene los valores de los esfuerzos tangentes mximos y mnimos22maxmin 2x yxy _ t + ,8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC21Nuevamente se tiene que los planos en los que actan stos esfuerzos son ortogonales entre s y, ntese que, la magnitud de dichos esfuerzos es la misma, lo cual tambin resulta lgico (ver figura 13).maxmin90n Estado de esfuerzos cortantes mximo y mnimo Para un estado plano de esfuerzos.Esfuerzos normales correspondientes al estado de esfuerzos tangentes mximo y mnimo.Sustituyendo los valores de encontrados para los valores extremos de los esfuerzos cortantes con la ecuacin (19) en la ecuacin (15) se obtienen los correspondientes esfuerzos normales, esto es, 2 22 2cos2 sen22 222 22 2x y x yn xyx yx y x y xyxyx y x yxy xy + _ + + , _ _ _ + _ , + + t , _ _+ + , , , ,mSimplificando2x yn +Laecuacindalos esfuerzos normales correspondientes al estadodeesfuerzos tangentes mximo y mnimo.EjemploDado el siguiente estado de esfuerzos, calcular:a) Los esfuerzos en los planos definidos por 30 o.b) Los esfuerzos y planos principales.c) Losesfuerzostangentesmximoymnimo, suscorrespondientesesfuerzos normales y los planos en los que ocurren.8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC22yxy=10 kg/cm2x=30 kg/cm22=5 kg/cm xySolucin:a) Los esfuerzos en los planos definidos por30 o.De la ecuacin (15), se tieneque (ver la siguiente figura), los esfuerzos normales estn dados por ( )( ) ( )2cos2 sen22 23010 3010cos 2 30 5sen 2 302 229.33kg cmx y x yx xyx + _ + + , + + + o o( )( ) ( )23010 3010cos 2 120 5sen 2 202 210.67kg cmyx + + + o oxx' x'y'y'y'=29.33 kg/cm =10.67 kg/cm2x'=6.16 kg/cm2 230120Mientras que de la ecuacin se tiene que los esfuerzos tangentes son( ) ( ) ( )2sen2 cos223010 sen 2 30 5 cos 2 3026.16kg cmx yx y xyx y _ + , _ + , o o8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC23b) Los esfuerzos y planos principales.Delaecuacin(18), losesfuerzosprincipalesestndadospor(verlasiguiente figura)( )( )2222 212222 2230 10 30 105 31.18kg cm2 2 2 23010 30 105 8.82kg cm2 2 2 2x y x yxyx y x yxy + _ + _ + + + + , ,+ _ + _ + + , ,Mientras que los planos principales estn dado por la ecuacin 1 1 5arctan arctan 13.2830102 222xyx y _ _ , ,o=31.18 kg/cm =8.82 kg/cm22 x'y'2113.28c) Losesfuerzostangentesmximoymnimo, suscorrespondientesesfuerzos normales y los planos en los que ocurren.Los esfuerzos tangentes mximo y mnimo estn dados por la ecuacin ( )2222 2maxmin30105 11.18kg cm2 2x yxy _ _ t + t + t , ,Ylosesfuerzosnormalescorrespondientes aesteestadodeesfuerzosestn dados por la ecuacin 2301020kg cm2 2x yn ++ Los planos en los que actan estn dados por la ecuacin 8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC24 30102 1 1 2arctan arctan 31.712 2 5x yxy 1 _1 _ 1 1 , , 1 1 1 1 1 1 ]1 ]oEn la siguiente figura se muestra este estado de esfuerzos.2231.7=20 kg/cm =20 kg/cmnn=11.18 kg/cmmax min2x'y'CRCULO DE MOHR PARA UN ESTADO PLANO DE ESFUERZOS.Las ecuaciones (15) y (16) se pueden escribir de la forma cos2 sen22 2x y x yx xy + _ + ,sen2 cos22x yx y xy _ + ,Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando trmino a trmino se obtiene la expresin 2 22 22 2x y x yx x y xy + _ _ + + , ,Si se toma un sistema coordenado , , la ecuacin (22) corresponde a la ecuacin de una circunferencia con centro en el punto , 02x yC + _ , Y radio 222x yxyr _ + , Lacircunferenciaas construidaeslafronteradel crculodeMohr paraunestado plano de esfuerzos. El crculo de Mohr para un estado de esfuerzos dado en un punto 8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC25permite conocer el estado de esfuerzos en dicho punto en cualquier plano que pase por l. xyxyxyx'y'x'x'y'90 2r( ,0)1(,) x xy(,0)2(,-) y xy(,) x' x'y'n(,)maxx y - 2(,)min nxyy x+2xy= n Crculo de Mohr para un estado plano de esfuerzosConclusiones importantes relativas al estado de esfuerzos en un punto.1) El mayor esfuerzo normal posible es1; el menor es2. No existen esfuerzos cortantes junto con uno u otro de estos esfuerzos principales.2) El mayor esfuerzo cortante max es numricamente igual al radio del crculo de Mohr. Un esfuerzo normal igual a 1 22 + acta en cada uno de los planos de esfuerzo cortante mximo.3) Si1 2 , el crculo de Mohr degenera en un punto y ningn esfuerzo cortante se desarrolla en absoluto en ese plano.4) Si0x y + , el centro del crculo de Mohr coincide con el origen de los ejes, ; existiendo as un estado de esfuerzos cortantes puro.5) Lasumadelos esfuerzosendosplanos mutuamenteperpendiculares es invariante,8 de septiembre de 2010TECNOLOGA DE LOS MATERIALESUNSAAC26BIBLIOGRAFIA RESISTENCIA DE MATERIALES HIBBELEREDICION 2005 RESISTENCIA DE MATERILAES DE SINGER RESISTENCIA DE MATERIALES DETIMOSHENKO PAGINA DE INTERNET:WWW.WIKIPEDIA.COM.PEWWW.LIBRODOCT.COM