resalto hidráulico - mecánica de fluidos

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RESALTO HIDRAULICO El resalto hidráulico es el fenómeno que se genera cuando una corriente supercrítica, es decir, rápida y poco profunda, cambia súbitamente a subcrítica, esto es, se vuelve una corriente lenta y profunda. Este fenómeno es de central importancia en la Hidráulica de Canales, por lo cual se trata aquí con suficiente amplitud. Mecánica de Fluidos 2

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Page 1: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

RESALTO HIDRAULICOEl resalto hidráulico es el fenómeno que se genera cuando una corriente

supercrítica, es decir, rápida y poco profunda, cambia súbitamente a subcrítica, esto es, se vuelve una corriente lenta y profunda. Este

fenómeno es de central importancia en la Hidráulica de Canales, por lo cual se trata aquí con suficiente amplitud.

Mecánica de Fluidos 2

Page 2: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO“SANTIAGO MARIÑO”Ampliación MaracaiboPlataforma SAIAMateria: Mecánica de Fluidos 2

RESALTO HIDRAULICO

Autor:

GOMEZ PEÑA, Robin

C.I.: 9.799.075

Page 3: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

Maracaibo, Agosto de 2016ESQUEMA DEL CONTENIDO

1 EL RESALTO HIDRÁULICO

1.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1.1.1 Introducción

1.1.2 Ecuación general para el resalto hidráulico

1.1.3 Ecuación general para las profundidades conjugadas de un Resalto Hidráulico en canales horizontales o de pendiente pequeña

1.1.3.1 Profundidades conjugadas de un resalto hidráulico en canales rectangulares de fondo horizontal o de pendiente pequeña

1.1.4 Altura de un resalto hidráulico, hRH

1.1.5 Tipos de resalto hidráulico

1.1.5.1 Tipos de R.H., según su posición

1.1.5.1.1 Resalto hidráulico libre o en posición normal

1.1.5.1.2 Resalto hidráulico repelido

1.1.5.1.3 Resalto hidráulico sumergido o ahogado

1.1.5.2 Tipos de R.H., según el número de Froude, F1

1.1.6 Longitud del resalto hidráulico, LRH

1.1.7 Energía disipada en un resalto hidráulico, ∆E

1.1.7.1 Energía disipada en un R.H., en canales rectangulares

1.1.8 Eficiencia del resalto hidráulico, ηRH

1.1.9 Altura relativa del resalto hidráulico en canales rectangulares

1.1.10 Eficiencia de conversión de energía en un resalto hidráulico, en un canal rectangular horizontal

1.1.11 Resalto hidráulico en canales rectangulares inclinados

1.2 EJERCICIOS

Page 4: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

1 EL RESALTO HIDRÁULICO

1.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1.1.1 Introducción. El resalto hidráulico es el fenómeno que se genera cuando una corriente

supercrítica, es decir, rápida y poco profunda, cambia súbitamente a subcrítica, esto es, se

vuelve una corriente lenta y profunda. Este fenómeno es de central importancia en la

Hidráulica de Canales, por lo cual se trata aquí con suficiente amplitud.

Considérese el comportamiento del flujo en un canal de sección uniforme, cuya pendiente

cambia gradualmente de S01 < SC a S02 > SC, como se muestra en la Figura 1a.

FIGURA 1 Transiciones de régimen subcrítico a supercrítico debidos a cambios de pendiente.

Para un caudal constante y una sección transversal uniforme, la Línea de Profundidades

Críticas, L.P.C. es paralela al fondo del canal, y en la primera zona, en donde S01 < SC, el perfil

de la superficie libre queda por encima de dicha línea y la energía específica es mayor que la

Emín. La profundidad, y la energía específica disminuyen continuamente a medida que

aumenta la pendiente del canal y se alcanzan las condiciones críticas, esto es, en la sección

en que la pendiente alcanza un valor crítico, es decir, la pendiente crítica (S0 = SC).

La reducción que experimenta la energía específica en el canal, desde el valor inicial E1 hasta

Emín, en la sección crítica, se disipa por el efecto de fricción y por pérdida de cabeza de

posición. De la sección crítica en adelante, la profundidad continúa disminuyendo con el

Page 5: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

aumento de la pendiente, lo cual abastece de mayor energía al flujo, por aumento de

velocidad, que la que se disipa por fricción.

En el caso de una intersección brusca de dos pendientes, de subcrítica a supercrítica, el

efecto general es muy similar al del caso anterior, aunque es factible que el perfil de la

superficie libre se altere más en la zona de transición. Véase la Figura 1.b.

Aguas arriba de la intersección, la profundidad no puede, al menos teóricamente, ser menor

que la profundidad crítica, Yc, ya que esto requeriría el suministro de energía desde el

exterior, lo cual no es posible, mientras no se alcance la pendiente pronunciada.

Por lo anterior, se concluye que la transición de régimen subcrítico a supercrítico es gradual,

acompañada de poca turbulencia y de pérdida de carga, debido, exclusivamente, a la fricción

durante el movimiento. Dicho proceso puede explicarse al recorrer la curva E vs. Y, desde un

punto de la rama superior (subcrítica) a otro punto sobre la rama inferior de la misma curva

(régimen supercrítico).

Se considerará, ahora, el proceso inverso de transición de un régimen supercrítico a otro

subcrítico:

Si se produce una reducción local en el ancho del canal, seguido de una expansión. Sin

embargo, dicha transición también puede ocurrir si en el canal, de sección constante, hay un

cambio en la pendiente, pasando de supercrítica a subcrítica, tal como ocurre al pie de una

rápida o caída (véase la Figura 2).

El régimen de flujo, aguas arriba de la intersección, es supercrítico, mientras que aguas abajo,

la pendiente impone un tirante normal en régimen subcrítico, presentándose, en algún punto

intermedio, la transición entre ambos.

Page 6: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

FIGURA 2. Transición de régimen supercrítico a subcrítico.

Para explicar el proceso de transición se recurre a un análisis similar al anterior. El flujo,

inicialmente en régimen supercrítico, se frena por efecto de la fricción y de la reducción de la

pendiente, aumentando gradualmente su profundidad, y disminuyendo su energía específica,

hasta alcanzar la condición crítica (E = Emín). Como quiera que, aguas abajo, existe régimen

subcrítico, la energía específica del flujo debe ser menor que la Emín. Ello se debe a que la

poca pendiente del canal no abastece al flujo de energía adicional. Esto imposibilita la

continuación de la explicación del fenómeno, tal como se hizo en los casos anteriores.

Con el objeto de analizar la forma de la transición del régimen, se puede recurrir a la evidencia

experimental, la cual muestra que, al contrario de los casos anteriores, la transición de

régimen supercrítico a régimen subcrítico es en forma violenta y acompañada de mucha

turbulencia y gran “pérdida” de energía. En efecto, al entrar el agua a la zona de pendiente

menor, se reduce la gran velocidad del flujo, por efecto de la resistencia debida a la fricción, y

se produce un incremento brusco de la profundidad que, virtualmente, rompe el perfil del flujo,

y produce un estado de gran turbulencia y una fuerte pérdida de carga. A cierta distancia,

aguas arriba del punto hipotético de intersección del perfil de la superficie libre (que se va

elevando) con la Línea de Profundidades Críticas, L.P.C., la energía específica está ya en

exceso sobre aquella que corresponde a la del flujo uniforme de aguas abajo; se produce, así,

la discontinuidad y la superficie libre se eleva rápidamente hasta la profundidad normal. A este

fenómeno se le denomina Resalto Hidráulico, y se muestra en las Figuras 2 y 3.

El resalto hidráulico ocurre con fuertes pulsaciones y como si el agua entrara en ebullición,

indicio irrefutable de la inclusión de aire. Después de un crecimiento irregular y brusco de la

superficie libre del agua, hasta alcanzar una profundidad igual a la normal, Yn, en un tramo

Page 7: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

relativamente corto, el frente turbulento se regulariza de manera inmediata, y continúa

libremente en régimen subcrítico, hacia aguas abajo.

La expansión turbulenta y la desaceleración del chorro de gran velocidad están asociadas con

una “pérdida” apreciable de energía, disipada ésta por calor, principalmente, y la energía

específica final es, precisamente, la correspondiente a la profundidad normal.

1.1.2 Ecuación general para el resalto hidráulico. Supóngase el resalto hidráulico formado

en un canal, como el que se muestra en la siguiente figura:

FIGURA 3. Fuerzas externas que actúan sobre un volumen de control a través de un resalto hidráulico

Al aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento al volumen de control definido en la figura

anterior, resulta:

∑ F⃗ext=∯SC

ρV (βVd A⃑ )+ ∂∂ t∭VC

ρβV dvol (1)

β es el coeficiente de Boussinesq, o coeficiente de corrección por momentum lineal.

Para flujos permanentes, el segundo término del miembro derecho de la ecuación (1) se

anula; por lo tanto, resulta:

γ Y 1 A1 cos2θ+W sin θ−F f−Faire−F2=∯

SC 1

ρV 1 (β1V 1dA1 )+∯SC 2

ρV 2 (β2V 2dA2 ) (2)

Cuyos términos se ilustran en la Figura 3.

γ Y 1 A1 cos2θ+W sin θ−F f−Faire−γ Y 2 A2 cos

2θ ¿−ρV 1 (β1V 1 A1 )+ρV 2 (β2V 2 A2 )

Page 8: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

¿−ρV 1 (β1Q )+ ρV 2 (β2Q )

¿−ρ QA1

β1Q+ ρ QA2

β2Q

¿−ρβ1Q

2

A1+ρ

β2Q2

A2

γ Y 1 A1cos2θ+W sin θ−F f−Faire−γ Y 2 A2 cos

2θ=−ρβ1Q

2

A1+ ρ

β2Q2

A2(3)

Reordenando términos correspondientes, se tiene:

γ Y 1 A1cos2θ+ρ

β1Q2

A1+W sin θ−F f−Faire=γ Y 2 A2 cos

2θ+ρβ2Q

2

A2(4)

Dividiendo todos los términos de la ecuación (4) por γ= ρg, resulta:

Y 1 A1cos2θ+

β1Q2

gA1+W sin θ−F f−Faire

ρg=Y 2 A2 cos

2θ+β2Q

2

g A2(5)

Definiendo M es la fuerza específica del flujo en una sección determinada, se tiene:

M 1=Y 1 A1cos2θ+

β1Q2

gA 1(6)

M 2=Y 2 A2 cos2θ+

β2Q2

g A2(7)

Con lo cual la ecuación (5) se transforma en:

M 1+W sin θ−F f−Faire

ρg=M 2 (8)

1.1.3 Ecuación general para las profundidades conjugadas de un Resalto Hidráulico en canales horizontales o de pendiente pequeña. Para canales horizontales o de pendiente

pequeña (θ≤5° ) ,sin θ≅ tan θ≈0 y cos2θ≅ 1.

Page 9: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

Si, además, en la ecuación (8) se desprecian las fuerzas de resistencia con el aire y con las

fronteras sólidas de canal (Faire=F f=0), resulta:

M 1=M 2 (9)

Es decir,

Y 1 A1+β1Q

2

gA1=Y 2 A2+

β2Q2

g A2(10)

Las profundidades Y1 y Y2 que satisfacen las ecuaciones (9) y (10) se llaman profundidades

conjugadas o secuentes del resalto hidráulico, y son las respectivas profundidades antes y

después del resalto hidráulico. Véase la Figura 4.

FIGURA 4. Resalto hidráulico y diagramas E vs. Y y M vs. Y, en canales de fondo horizontal.

Reordenando términos, se tiene:

Y 2 A2−Y 1 A1=β1Q

2

gA1−β2Q

2

g A2(11)

Ahora, si β1 = β2 = β y factorizando el miembro derecho de la ecuación anterior, se tiene:

Y 2 A2−Y 1 A1=βQ2

gA1 (1− A1A2 ) (12)

Page 10: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

Ahora, multiplicando y dividiendo por A1 D1 el miembro derecho de la ecuación anterior, se

tiene:

Y 2 A2−Y 1 A1=β

Q2

A12

gD1 (1−A1A2 )A1D1

(13)

Y 2 A2−Y 1 A1=β F12(1− A1

A2 ) A1D1 (14)

Análogamente, se llegaría al siguiente resultado:

Y 2 A2−Y 1 A1=β F22( A2A1−1) A2D2 (15)

Las ecuaciones (14) y (15) son las ecuaciones generales para las profundidades conjugadas

de un resalto hidráulico en canales horizontales o de pendiente pequeña.

1.1.3.1 Profundidades conjugadas de un resalto hidráulico en canales rectangulares de fondo horizontal o de pendiente pequeña. Partiendo de la ecuación general (14), se tiene:

Y 2 A2−Y 1 A1=β F12(1− A1

A2 ) A1D1

Y 22BY 2−

Y 12BY 1=β F1

2(1− BY 1BY 2 )BY 1Y 1

12B (Y 22−Y 1

2 )=β F12(Y 2−Y 1

Y 2 )BY 1212 (Y 2−Y 1 ) (Y 2+Y 1 )=β F1

2 (Y 2−Y 1)Y 12

Y 2

Y 22+Y 1Y 2=2β F1

2Y 12 (16)

Dividiendo toda la ecuación por Y 12, resulta:

Page 11: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

Y 22

Y 12+

Y 1Y 2Y 12 =2 β

F12Y 1

2

Y 12

(Y 2Y 1 )2

+(Y 2Y 1 )−2β F12=0 (17)

La anterior es una ecuación cuadrática en (Y2 / Y1), cuya solución es:

(Y 2Y 1 )1,2=−1±√(1 )2−4 (1 ) (−2 β F12)

2 (1 )

(Y 2Y 1 )1,2=−1±√1+8 β F12

2(18)

Descartando el signo negativo del radical de la ecuación anterior, se tiene:

Y 2Y 1

=−1±√1+8 β F12

2

Finalmente,

Y 2Y 1

=12 (√1+8 β F12−1) (19)

Análogamente, si se partiera de la ecuación general (15), se llegaría a la siguiente expresión:

Y 1Y 2

=12 (√1+8 β F22−1 ) (20)

Las ecuaciones (19) y (20) son las ecuaciones para las profundidades conjugadas del resalto

hidráulico en canales rectangulares de fondo horizontal o de pendiente pequeña.

1.1.4 Altura de un resalto hidráulico, hRH. Se define altura del resalto hidráulico a la

diferencia entre las profundidades conjugadas Y2 y Y1, Véase la Figura 4.

Page 12: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

hRH=Y 2−Y 1 (21)

1.1.5 Tipos de resalto hidráulico. Los resaltos hidráulicos pueden ser de varios tipos, y

suelen clasificarse en atención a su ubicación respecto de su posición normal y al número de

Froude F1.

1.1.5.1 Tipos de R.H., según su posición. Existen tres posibles posiciones del R.H. con

respecto a su fuente de generación (compuertas, vertederos de rebose y rápidas), mostradas

en la Figura 5, dependiendo de la profundidad Y’2, de aguas abajo, impuesta por algún control

o por cualquier condición particular del flujo.

FIGURA 5. Tipos de resalto hidráulico según su posición.

1.1.5.1.1 Resalto hidráulico libre o en posición normal. Es la posición ideal de un R.H.

para la cual Y1 y F1, inmediatamente aguas arriba del mismo, son tales que, al mismo tiempo

que satisfacen a la ecuación de las profundidades conjugadas (14) y (19), también se verifica

que Y2 = Y’2. Véase la Figura 5 a.

Page 13: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

1.1.5.1.2 Resalto hidráulico repelido. Es aquel resalto que se forma a una distancia, no

determinada teóricamente, aguas abajo de la posición normal descrita en el numeral anterior.

Ocurre porque la profundidad impuesta aguas abajo, Y’2, es menor que Y2, obtenida ésta de la

ecuación (14) o de la (19).

El R.H., en esta situación, se desplaza aguas abajo hasta una posición tal que Y1 y F1, de la

posición normal, cambian a nuevos valores Y’1 y F’1, tales que satisfacen, junto con Y2 = Y’2, a

la ecuación de las profundidades conjugadas (ecuaciones 14 y 19). Ver la Figura 5 b.

1.1.5.1.3 Resalto hidráulico sumergido o ahogado. Es la situación del R.H. que se

desplaza hacia aguas arriba, es decir, hacia la fuente generadora, en virtud de que la

profundidad Y’2, del flujo, aguas abajo del resalto, es mayor que la profundidad Y2 que, junto

con Y1 y F1, satisfacen a la ecuación de las profundidades conjugadas. Véase la Figura 5 c.

Los nuevos valores de Y’1 y F’1, bajo la condición de R.H. ahogado, no son determinables

teóricamente.

1.1.5.2 Tipos de R.H., según el número de Froude, F1. La U.S. Bureau of Reclamation (Ref.

[4]) ha clasificado los resaltos hidráulicos, en canales horizontales, de acuerdo al valor del

número de Froude, inmediatamente aguas arriba del resalto. Dicha clasificación se resume en

la Tabla 1.

1.1.6 Longitud del resalto hidráulico, LRH. La longitud del R.H. se define como la distancia

comprendida entre la sección inmediatamente aguas arriba del resalto, fácilmente

determinable, y aquella sección de aguas abajo, en la cual se dejan de observar los rollos de

agua en la superficie libre. Véase la Figura 4. Esta última sección no es fácilmente apreciable,

por lo que es esencial un buen criterio, basado en la experiencia, para determinar la longitud

de un resalto hidráulico.

Page 14: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

TABLA 1. Clasificación de los resaltos hidráulicos, según la U.S.B.R.

F1 Tipo de Resalto

Hidráulico

Características del Resalto Hidráulico Esquema

F1<1 No se forma La corriente es subcrítica y seguiría siendo subcrítica.

F1=1 No se formaEl flujo es crítico y no se presentan condiciones para la formación de un R.H.

1<F1≤1.7 R.H. ondularLa superficie libre presenta ondulaciones. La disipación de energía es baja, menor del 5%.

1.7<F1≤2.5 R.H. débil

Se generan muchos rodillos de agua en la superficie del resalto, seguidos de una superficie suave y estable, aguas abajo. La energía disipada es del 5 al 15%.

2.5<F1≤4.5 R.H. oscilante

Presenta un chorro intermitente, sin ninguna periodicidad, que parte desde el fondo y se manifiesta hasta la superficie, y retrocede nuevamente. Cada oscilación produce una gran onda que puede viajar largas distancias. La disipación de energía es del 15 al 45%.

4.5<F1≤9 R.H. estable

Su acción y posición son poco variables y presenta el mejor comportamiento. La energía disipada en este resalto puede estar entre el 45 y el 70%.

F1<9 R.H. fuerte

Caracterizado por altas velocidades y turbulencia, con generación de ondas y formación de una superficie tosca, aguas abajo. Su acción es fuerte y de alta disipación de energía, que puede alcanzar hasta un 85%.

Page 15: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

FIGURA 6. Curvas de variación LRH /Y2 vs. F1 para canales rectangulares horizontales e inclinados.

En uso de fundamentos teóricos, no es fácilmente determinable la longitud de los resaltos

hidráulicos; sin embargo, esta característica ha sido investigada experimentalmente por

muchos autores.

Particularmente, la U.S. Bureau of Reclamation (Ref. [4]), basándose en datos experimentales

de seis canales de laboratorio, preparó las curvas de variación LRH/Y2 vs. F1, para canales

rectangulares horizontales e inclinados, mostradas en la Figura 6.

Por su parte, Silvester (1964) propuso las siguientes ecuaciones empíricas para el cálculo de

la longitud de resaltos hidráulicos en canales rectangulares, triangulares y parabólicos, en

función del número de Froude en la sección de agua arriba del resalto, F1, y de la profundidad

inicial, Y1:

Para canales rectangulares horizontales:

LRH=9.75Y 1 (F1−1 )1.01 (22)

Page 16: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

Para canales triangulares simétricos, con un ángulo α = 47.3 º en el vértice:

LRH=4.26Y 1 (F1−1 )0.695 (23)

y para canales parabólicos, con F1 ≤ 3.0:

LRH=11.7Y 1 (F1−1 )0.832 (24)

1.1.7 Energía disipada en un resalto hidráulico, ∆E. Como quiera que en un resalto

hidráulico se disipa parte de la energía específica que posee el flujo antes del fenómeno, se

partirá de la siguiente ecuación (véase la Figura 4):

∆ E=E1−E2 (25)

∆ E=(Y 1+α1 V 12

2 g )−(Y 2+α2 V 22

2g ) (26)

∆ E=(Y 1+ α1Q2

2g A12 )−(Y 2+ α2Q

2

2 g A22 )

Suponiendo que α 1=α 2=α , se tiene:

∆ E=( αQ2

2 g A12−

αQ2

2 g A22 )−(Y 2−Y 1 )

∆ E=αQ2

2 g ( 1A12−1A22 )−(Y 2−Y 1 )

∆ E= α Q2

2g A12 (1− A1

2

A22 )− (Y 2−Y 1 )

∆ E=α Q2

2g A12 (1− A1

2

A22 )(D1

D1 )−(Y 2−Y 1 )

Page 17: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

∆ E=12

αQ2

A12

g D1 (1− A12

A22 )D1−(Y 2−Y 1 )

Page 18: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

∆ E=12 α F12(1− A1

2

A22 )D1−(Y 2−Y 1) (27)

La ecuación (27) es la ecuación general para la energía disipada en resaltos hidráulicos, en

canales horizontales.

1.1.7.1 Energía disipada en un R.H., en canales rectangulares. Partiendo de la ecuación

para las profundidades conjugadas de un R.H., en un canal rectangular de fondo horizontal,

se tiene:

Y 2Y 1

= 12 (√1+8 β F12−1) (19)

1+8 β F12=[2(Y 2Y 1 )+1]

2

Por lo tanto,

F12=

[2(Y 2

Y 1)+1]

2

−1

(28)

Reemplazando este resultado en la ecuación general (27), se tiene:

∆ E=12α

[2(Y 2Y 1 )+1]2

−1

8 β (1−B2Y 12

B2Y 22 )Y 1−(Y 2−Y 1 )

(29)

∆ E=αβ116 [4 (Y 2Y 1 )

2

+4 (Y 2Y 1 )+1−1](Y 22−Y 1

2

Y 22 )Y 1−Y 2+Y 1

∆ E=αβ116

Y 2Y 1 (

Y 2Y 1

+1)(Y 22−Y 12 )Y 1

Y 22−Y 2+Y 1

Page 19: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

∆ E=αβ14Y 2 (

Y 2+Y 1Y 1 ) (Y 22−Y 1

2)−Y 2+Y 1 (30)

Suponiendo que α=β=1, se tiene:

∆ E=αβ14Y 2 (

Y 2+Y 1Y 1 ) (Y 22−Y 1

2)−Y 2+Y 1

∆ E= 14Y 1Y 2

(Y 23−Y 12Y 2+Y 1Y 2

2−Y 13−4Y 1Y 2

2+4Y 12Y 2)

∆ E= 14Y 1Y 2

(Y 23−3Y 22Y 1+3Y 2Y 1

2−Y 13 ) (31)

Finalmente,

∆ E=(Y 2−Y 1 )3

4Y 1Y 2(32)

La ecuación (32) es la ecuación para la energía disipada en un resalto hidráulico en canales

rectangulares y horizontales.

1.1.8 Eficiencia del resalto hidráulico, ηRH. Definiendo la eficiencia del R.H. como:

ηRH=E2E1

(33)

Y sabiendo que:

E1=Y 1+α1V 12

2 g=Y 1+α 1

V 12

2g (Y 1Y 1 )E1=Y 1+

α1V 12

2gY 1Y 1=Y 1+

12α 1V 1

2

gY 1Y 1

Por lo tanto,

Page 20: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

E1=Y 12 (2+α1 F12 ) (34)

E1=Y 1(1+ α 12 F12)

Por otro lado,

E1=Y 2+α2V 22

2 g(35)

De la ecuación de conservación de masa, se tiene:

Q=A1V 1=A2V 2

Q=BY 1V 1=BY 2V 2

De donde,

V 2=(Y 1Y 2 )V 1 (36)

Reemplazando (36) en (35), se tiene:

E2=Y 2+α 22g (Y 1Y 2 )

2

V 12=Y 2+

α 22g

V 12

gY 12

Y 22 (Y 1Y 2 )

E2=Y 2+α 22

V 12

gY 1 (Y 13

Y 22 )2

=Y 2+α22 F1

2(Y 13

Y 22 )

E2=2Y 2

3+α 2F12Y 1

3

2Y 22 (37)

Sustituyendo las ecuaciones (34) y (37) en la (33), se tiene:

Page 21: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

ηRH=E2E1

=

2Y 23+α2F1

2Y 13

2Y 22

Y 12 (2+α 1F12)

ηRH=

2Y 2+α 2F12 Y 1

3

Y 22

Y 1 (2+α1F12 )=

(2Y 23+α 2F12Y 13 )Y 1Y 2

2 (2+α1 F12 )

ηRH=

2Y 23+α 2F1

2Y 13

Y 13

Y 1Y 22

Y 13 (2+α 1F12 )

=

2(Y 2

Y 1)3

+α2 F12

Y 22

Y 12 (2+α1 F12 )

ηRH=

2(Y 2Y 1 )3

+α 2F12

(Y 2Y 1 )2

(2+α1 F12 )(38)

Además, de la ecuación (19), se tiene:

Y 2Y 1

= 12 (√1+8 β F12−1) (19)

ηRH=2[ 12 (√1+8 β F12−1 )]

2

+α2 F12

[ 12 (√1+8 β F12−1 )]2

(2+α1 F12 )

ηRH=(√1+8 β F12−1)3+4α 2F12

(2+α 1F12) (√1+8 β F12−1)2

Suponiendo α 1=α 2=β=1, y multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador,

resulta:

Page 22: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

ηRH=(√1+8 β F12−1)3+4α 2F12

(2+α 1F12) (√1+8 β F12−1)2(√1+8 β F12+1)2

(√1+8 β F12+1)2(39)

ηRH=(√1+8 F12−1)64 F14+4 F12 (√1+8F12+1)2

(2+F12 )64 F14

Finalmente, resulta:

ηRH=E2E1

=(1+8F12 )

3 /2−4 F1

2+1

8 F12 (2+F12)

(40)

1.1.9 Altura relativa del resalto hidráulico en canales rectangulares. Es el cociente entre

la altura del R.H. y la energía específica del flujo, inmediatamente aguas arriba de éste, y se

expresa como:

hRHE1

=Y 2−Y 1

Y 1+αV 12

2g(41)

Resulta:

hRHE1

=√1+8βF12−32+αF1

2 (42)

Si α=β=1, resulta:

hRHE1

=√1+8F12−32+F1

2 (43)

1.1.10 Eficiencia de conversión de energía en un resalto hidráulico, en un canal rectangular horizontal. En un R.H. se presenta un cambio de energía cinética en energía

potencial, cuya eficiencia de conversión se expresa como:

ηconv . RH=ΔEp

ΔE k(44)

Page 23: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

ηconv . RH=mgY 2−mgY 1

12mαV 1

2−12mα V 2

2 (45)

ηconv . RH=mg (Y 2−Y 1 )

m( αV 12

2−α V 2

2

2 )=

Y 2−Y 1

αV 12

2 g−αV 22

2g(46)

Donde m representa la masa del fluido.

Por conservación de la masa, se tiene:

V 1=Y 2Y 1

V 2 (47)

Reemplazando la ecuación (47) en la (46), se tiene:

ηconv . RH=Y 2−Y 1

α (Y 2Y 1 )2 V 2

2

2 g−α

V 22

2 g

ηconv . RH=Y 2−Y 1

αV 22

2g [(Y 2Y 1 )2

−1] (48)

ηconv . RH=(Y 2−Y 1)Y 12

12α F2

2 (Y 2−Y 1 ) (Y 2+Y 1 )Y 2=

2Y 12

αF22 (Y 1+Y 2 )Y 2 (49)

De otro lado, de la ecuación (20) se tiene:

Y 1Y 2

=12 (√1+8 β F22−1 )

[2(Y 1

Y 2)+1]

2

=1+8 β F22

F22=121β (Y 1

Y 2 )[(Y 1Y 2 )+1] (50)

Sustituyendo (50) en (49), se tiene:

Page 24: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

ηconv . RH=2Y 1

2

α 12β

Y 1Y 2 (

Y 1Y 2

+1) (Y 1+Y 2 )Y 2

ηconv . RH=4 (β /α )Y 1Y 2

(Y 1+Y 2 )2 (51)

Si α=β=1, la ecuación anterior se vuelve:

ηconv . RH=4Y 1Y 2

(Y 1+Y 2 )2(52)

1.1.11 Resalto hidráulico en canales rectangulares inclinados. Sea el resalto hidráulico

formado en un canal rectangular de fondo inclinado, como se muestra en la Figura 7.

FIGURA 7. Resalto hidráulico en un canal rectangular inclinado.

Cuando se analiza el fenómeno del R.H. en un canal de pendiente apreciable, debe incluirse

la componente del peso del volumen de agua, en el sentido del flujo. En canales horizontales

o de pendiente baja, esta componente es despreciable.

En atención al R.H. de la Figura 7, la ecuación de la cantidad de movimiento, en el sentido del

flujo, expresa lo siguiente:

Page 25: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

F1−F2+W sin θ−F f−Faire=ρQ (β2V 2−β1V 1 ) (53)

γ h1 A1−γ h2 A2+( γ vol prisma) sin θ−F f−Faire=ρQ (β2V 2−β1V 1 )

γd1cosθ2 (Bd1 )−γ

d2cosθ2 (Bd2 )+γ( d1+d22 )LBk sin θ−F f−Faire=ρQ (β2V 2−β1V 1 ) (54)

k: coeficiente de corrección por volumen del prisma de agua

Despreciando las fuerzas de fricción con el aire y con las paredes del canal, se tiene:

12γ Bd1

2cosθ−12γ Bd2

2cosθ+12γ (d1+d2 ) LBk sin θ=ρQ ( β2V 2−β1V 1 ) (55)

Por conservación de masa:

Q=V 1Bd1=V 2Bd2 (56)

De donde:

V 2=d1d2V 1 (57)

1.2 EJERCICIOS

1.2.1 Desarrollar para un canal rectangular una expresión que dé la relación entre las

profundidades antes y después de un resalto hidráulico. (Véase la Figura 8.)

Solución: Para el volumen libre comprendido entre las secciones 1 y 2, considerando una

anchura de canal unidad y un caudal por unidad de anchura q,

P1=wh A=w(12 Y 1)Y 1=12 wY 12 y, análogamente P2=12wY 2

2

Aplicando el principio de la cantidad de movimiento,

∆ PX dt=∆cantidad demovimiento=Wg (∆V X )

12w (Y 22−Y 1

2 )dt=wqdtg (V 1−V 2 )

Page 26: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

FIGURA 8.

Puesto que V 2Y 2=V 1Y 1 yV 1=q /Y 1, la ecuación anterior se convierte

q2

g=12Y 1Y 2 (Y 1+Y 2 ) (1)

Como q2

g=Y C

3 Y C3=12Y 1Y 2 (Y 1+Y 2 ) (2)

La longitud del resalto se establece de manera que varíe entre 4,3Y 2 y 5,2Y 2. El resalto

hidráulico es un disipador de energía. En el diseño de cuencos protectores de resalto

hidráulico es importante conocer la longitud del resalto y la profundidad Y 2. Una buena

disipación de energía se tiene cuando V 12

gY 1=20a80.

1.2.2 Un canal rectangular de 6 m de ancho transporta 11 m3/seg de agua y descarga en una

solera protectora de 6 m de ancho, de pendiente nula, a una velocidad media de 6 m/seg.

¿Cuál es la altura del resalto hidráulico? ¿Qué energía se absorbe (pérdida) en el resalto?

Solución: (a)

V 1=6m/ seg Entonces,

Page 27: Resalto Hidráulico - Mecánica de Fluidos

q=116

=1,833 m3/seg/m de anchuraY= q

V 1=0,306m

q2

g=12Y 1Y 2 (Y 1+Y 2 )

(1,833)2

9,8=12(0,306)Y 2 (0,306+Y 2 )

2,245=0,306Y 2+Y 22

De dondeY 2=−1,659m ,+1,353m. Siendo extraña la raíz negativa, Y 2=1,353m y la altura del resalto

hidráulico es (1,353−0,306 )=1,047m.

Se observa que Y C=3√(1,833 )2/9,8 o 3√ 12 Y 1Y 2 (Y 1+Y 2 )=0,70m.

Por consiguiente, el flujo a 0,306 m de profundidad es supercrítico y a 1,353 m, subcrítico.

(b) Antes del resalto

E1=V 12

2g+Y 1=

(6 )2

2(9,8)+0,306=2,143mkg /kg .

Después del resalto

E2=V 22

2 g+Y 2=

[ 116 x 1,353 ]

2

2(9,8)+1 ,353=1 ,447mkg /kg

.