División de ingenierías campus Irapuato-Salamanca

Maestría en ingeniería mecánica Juan Manuel Barroso Maldonado

Dr. José Manuel Riesco Ávila (Dinámica de fluidos avanzada I )

1. Introducción. El problema consiste en el análisis del fenómeno de transferencia de calor para un fluido incompresible y viscoso. El fluido se mueve a una velocidad entre dos placas paralelas infinitas, de acuerdo con el marco referencial, ambas placas se mantienen a una temperatura constante Ts y están separadas 2L. El problema es formulado a partir de considerar que para posiciones menores a cero en la coordenada axial la temperatura en las placas está en To y para valores mayores que cero está se mantiene en Ts. Un parámetro importante que se toma en cuenta en el análisis es precisamente el número de Péclet, cuando este es grande entonces se desprecian los efectos de disipación viscosa, pero cuando es aproximadamente cero, el calor va a ser inducido a lo largo de la coordenada axial variando así la temperatura del fluido, dicha

variación dependerá de la distancia entre ambas paredes. En este trabajo se propone una solución a este problema para una distribución de velocidades parabólica y número de Péclet pequeño (Pe=1) a lo largo de la coordenada axial positiva, además se consideran las condiciones de frontera mostradas en la figura 1. 2. Descripción del problema de Graetz. El clásico problema de Graetz ha sido estudiado por 130 años. En su forma bidimensional cartesiana, un fluido de propiedades físicas constantes a temperatura T0 fluye en régimen laminar estacionario entre dos placas paralelas separadas una distancia 2l. El perfil de velocidad está completamente desarrollado. En cierta posición axial x = 0, la temperatura de las paredes cambia a Ts. Se transfiere calor al fluido, aumentando su

temperatura. El número de Nusselt local es muy alto en x = 0, y luego decrece con x, alcanzando un valor asintótico en cierta posición axial. La distancia desde el origen en la cual el Nusselt se hace asintótico aumenta con los números de Reynolds y Prandtl. A pesar de la simplicidad de su formulación, el problema ha sido un desafío para soluciones analíticas y numéricas. Los métodos de diferencias finitas pueden ser programados con suficiente precisión para obtener la progresión del número de Nusselt a lo largo de la coordenada axial, así como el número de Nusselt asintótico. A pequeños valores de la coordenada axial, sin embargo, las soluciones numéricas requieren excesivos refinamientos de malla para producir valores confiables del número de Nusselt local. Soluciones analíticas obtenidas por series de potencias sufren la misma desventaja porque las funciones de Graetz deben ser evaluadas con un gran número de términos a pequeños valores de x, y los términos de alto orden tienden a diverger.

Figura 1. Flujo de calor entre dos placas paralelas. 3. Modelo matemático. Para el flujo laminar permanente de un fluido newtoniano incompresible entre dos placas paralelas infinitas, las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía se reducen a: Ecuación de continuidad:

2 2 2

2 2 2 0u wx y z

υ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

(1)

donde 0υ = y 0w = , debido a que no hay flujo en la dirección transversal ni en la dirección z, entonces se reduce a:

2

2 0ux

∂ =∂

(2)

La cual determina condiciones de flujo completamente desarrollado. Ecuaciones de momento en la dirección axial:

2 2 2

2 2 2

xu u u u Pu w gt x y z x

u u ux y z

ρ υ ρ

µ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3)

misma que se reduce a:

2

2 .u P ctey x

µ ⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (4)

Resolviendo la ecuación (4) para las condiciones de frontera

( ) 0u l− = y ( ) 0u l+ =

se tiene,

22

( ) 12l dP yu y

dx lµ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(5)

La velocidad media podemos definirla como

21

2 3l

l

l dPu udydxµ

+

−

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (6)

Ecuación de la energía:

2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2

vT T T T T T Tc u w kt x y z x y z

u w u w u wx y z x y y z z x

ρ υ

υ υ υµ

⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = + +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (7)

para las condiciones del problema se puede reducir a:

22

2pT T duc u kx y dy

ρ µ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (8)

Definiendo las variables adimensionales

* * 0

0

; ;s

T Tx yu yl l T T

θ −= = =−

de esta forma la ecuación (5) y la ecuación (7) se reescriben de la siguiente manera:

( )23* 1 *2

u y= − (9)

22

2

1 *** * Re *

Ec duux Pe y dyθ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(10)

de donde:

Re PrPé = ⋅ → Numero de Péclet

Re ulρµ

= →Número de Reynolds

Pr pckµ

= →Número de Prandtl

( )2

0p s

uEcc T T

= →−

Número de Eckert

La ecuación de la energía debe satisfacer las siguientes condiciones de frontera:

(0, ) ( , ) ( , )o s sT y T T x l T T x l T= − = + =

En forma adimensional, estas ecuaciones se escriben como:

(0, *) 0 ( *,0) 1 ( *,1) 1y x xθ θ θ= = = Para evaluar el número de Nusselt se necesita una diferencia de temperaturas características. Como la temperatura del fluido aumenta con x, se define una temperatura media de la mezcla, ( )mT x , tal

que la diferencia característica sea ( )s mT T x− :

1( ) ( ) ( , )x AT x u y T x y dA

uA= ∫ (11)

En términos de variables adimensionales, se tiene

[ ]1

0 01

1 101 1

1( ) * ( ) *2

( ) *( *) ( *, *) * *( *) *2 2

m s

s o

T x u T T T dy

T T Tu y x y dy u y dy

θ

θ

+

−

+ +

− −

= − +

−= ⋅ +

∫

∫ ∫

100 1

( ) *( *) ( *, *) *2

sm

T TT T u y x y dyθ+

−

−− = ⋅∫ Con lo que la temperatura media adimensional será,

101

0

( )( *) *( *) ( *, *) *mm

s

T x Tx u y x y dyT T

θ θ+

−

−= = ⋅− ∫ (12)

Por otro lado, el número de Nusselt local se define como,

1

* 1

1( ) ( 1) *

y

s m m y

Tk lyh lNu

k k T T yθ

θ=−

=−

⎡ ⎤∂− ⋅⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞⋅ ∂⎣ ⎦= = − = ⎜ ⎟− − ∂⎝ ⎠(13)

La ecuación de la energía no tiene una solución analítica simple. En término adimensionales y con el perfil de velocidad encontrado, despreciando además el término de disipación viscosa:

( )2

22

3 11 *2 *

yx Pé yθ θ⎛ ⎞∂ ∂− = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(14)

Sujeta a las condiciones de frontera definidas previamente. La presencia del término de disipación viscosa puede causar aumentos de temperatura del fluido por sobre el valor de pared, con transferencia de calor hacia el exterior. Sin embargo, con excepción de aceites, la mayoría de los fluidos tiene valores de viscosidad bajos, con lo que esta simplificación se justifica. Aun en este caso, la solución analítica clásica de Graetz es complicada. Se basa en una separación de variables. Para la variable transversal se supone una serie de potencias. En este trabajo se propone una solución numérica, el problema de Graetz cartesiano para una temperatura de pared uniforme. Considerando que Re 1= y Pr 1= (esto equivale a redefinir la coordenada adimensional axial como * / RePrx , con lo cual el problema tiene una solución única para todo Re y Pr .

4.Estrategia de solución. El método de la solución como ya se ha mencionado consiste en un arreglo numérico para la descripción del fenómeno. La ecuación (10) se discretiza mediante una expansión de series de Taylor, la cual nos indica la forma de tratar la primera y segunda derivada [1], dichas formas son las siguientes:

!"!" !",!"

= !!,!!!!!!,!!

(15)

!!!!"! !",!"

= !!,!!!!!!!,!!!!,!!!!

(16)

Al aplicar las ecuaciones (15) y (16) en la ecuación (14) se obtiene el algoritmo de recurrencia para generar un sistema de m x m, donde “m” será el numero de elementos en el cual se discretiza la malla, como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Arreglo de mallado típico in la solución

aproximada de las ecuaciones diferenciales. El algoritmo de recurrencia propuesto es la ecuación (17).

𝜃!,! =!∅ !!!!,!

! !!!!,!!!!,!!!!!!,!!!

!∅ !!!!,!! !!

(17)

A modo de comentario, en la expresión anterior se distingue que el valor numérico de la función en un nodo depende de los valores de sus nodos próximos en la dirección transversal y del valor numérico del vecino anterior en la dirección axial. Conociendo esto y en base a la ecuación (17) se formulan un sistema de ecuaciones, donde el número de ecuaciones dependerá básicamente del numero de elementos en la dirección transversal. Dicho sistema se arregla en forma matricial multiplicada por un vector (que en este caso representará las temperaturas) y dicho producto igualado a un vector de coeficientes que estará definido por la temperatura anterior en la coordenada axial, así como de las condiciones de frontera específicamente, con la siguiente operación se determina el vector de temperaturas:

𝜃 = 𝛽𝛼!! Para este trabajo se consideraron en la coordenada transversal 51 nodos de análisis, así como 40 en la coordenada axial. 5. Resultados. Un código se desarrolló en el software MATLAB para la simulación del problema, primeramente el valor de Nussetl se observa en la figura 3.

Figura 3. Comportamiento del número

adimensional Nussetl.

En la figura 3 se observa como el valor del número adimensional Nussetl disminuye desde un valor que parece venir de infinito hasta un valor aproximadamente entre 1.5 y 2.

Figura 4. Comportamiento del número

adimensional Nussetl. Más específicamente, la figura 4 muestra un acercamiento de la convergencia del número adimensional Nussetl, donde se aprecia que sus valores varían entre 1.9 y 1.75. Diversos estudios se han desarrollado para este problema, uno de ellos muestra el comportamiento de Nussetl a través de la siguiente gráfica [2]:

Figura 5. Comportamiento del número

adimensional Nussetl obtenido a partir de un análisis analítico.

Es complicado hacer una comparación entre la curva obtenida en este trabajo y la obtenida por el autor, esto debido al método de solución, puesto que uno es numérico y el otro es analítico y se carecen de valores precisamente numéricos para efectuar un cálculo de errores. Ciertamente el método

analítico muestra ser más preciso en sus resultados en comparación al de diferencias finitas, esto debido a los truncamiento en las series de Taylor que definen a la primera y segunda derivada. Sin embargo se muestran ciertas similitudes entre ambas graficas, como es la tendencia constante o asintótica en los valores de 1.75 aproximadamente, mientras que para el autor citado la tendencia es 1.88, cabe hacer mención que el autor muestra una grafica hasta 0.3 de distancia adimensional, si se mostrara esa grafica para este trabajo abarcarían 15 nodos, y en ese espaciamiento de acuerdo con la figura 4 el valor de Nussetl es 1.85. Por definición el número de Nussetl es la transferencia de calor hacia un fluido desde una superficie por convección comparada como si está transferencia fuera únicamente por conducción. En ambas el valor de este parámetro viene desde un valor infinito muy cercano a la condición de frontera de temperatura igual que cero, disminuye su valor, lo que indica que la transferencia de calor con convección se ve reducida en comparación a la conducción, posteriormente converge y parece mantenerse a valores entre 1.75 y 1.90. De acuerdo con la ecuación 13, el valor numérico de Nussetl se ve afectado directamente por el gradiente en la superficie, si se está suministrando calor a las paredes para mantener la temperatura de las superficies constante dicho gradiente en la capa límite térmica tiende a aproximarse a ser cero si las placas fueran infinitas. Dicho flujo de calor es mostrado en la figura 6. El flujo de calor en la superficie al inicio es mayor, conforme se incrementa la coordenada axial este disminuye, incluso a llegar a un equilibrio térmico como se mencionó en el párrafo anterior.

Figura 6. Flujo de calor a través de las paredes para mantener la temperatura constante en las

mismas. La temperatura media también influye en la determinación del número de Nussetl, esta es una función de la coordenada axial y es graficada en la figura 7.

Figura 7. Temperatura media adimensional.

Se observa en la figura 7 como la temperatura media tiende a ser asintótico al valor de uno. Dos graficas importantes son las figuras 8 y 9, perfil de velocidades y perfil de temperaturas respectivamente.

Figura 8. Perfil de velocidades del fluido.

La figura 8 nos ayuda a verificar y corroborar el perfil de velocidades parabólico, tal como lo sugiere la ecuación (9), además se valida la condición de frontera de velocidad igual a cero en las superficies y de valor máximo en el centro.

Figura 9. Perfil de temperaturas del fluido.

Para los 51 nodos se muestra el perfil de temperaturas en la figura 9, conforme el fluido se mueve a lo largo del eje axial, su temperatura se incrementa, esto se puede observar ya que su perfil de temperatura es menos pronunciado. Esto se puede observar de mejor manera en la grafica 10; aquí se propone de manera gráfica la distribución de temperaturas,

mostrando así las isotermas del fluido moviéndose en la coordenada axial.

Figura 10. Distribución de temperaturas.

6. Conclusiones Se analizó el problema de transferencia de calor de para un flujo laminar entre dos placas paralelas, dichas placas se les suministra calor manteniendo la temperatura de la superficie constante, se planteó de acuerdo a las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía sus ecuaciones diferenciales parciales, las cuales las primeras dos son resueltas fácilmente mediante el método de separación de variables, para la tercera su solución no es tan sencilla, aun que su método de solución es por variables separables, para la determinación de sus constantes de integración se tiene que recurrir a funciones y operaciones matemáticas avanzadas, por lo que se opto en este trabajo tratar las ecuaciones con el método de diferencias finitas, los resultados muestran que el fluido inicialmente estaba a 0 grados y cuando se localiza en la región de entrada ocurre el fenómeno de transferencia de calor en mayor medida, entendiéndose así el valor alto de Nusselt, conforme la transferencia ocurre el fluido incrementa su temperatura y el valor de Nusselt disminuye, aproximadamente a 1.85 asintóticamente. Este resultado se comparó con el mostrado en la referencia [2], siendo evidente la falta de precisión del

método utilizado en la solución, esto debido a dos situaciones: falta de análisis de la sensibilidad de la malla, es decir la verificación de que tanto afecta el modelo de mallado propuesto en las soluciones, así como el truncamiento de las series de Taylor al definir la primera y segunda derivada. 7. Referencias. [1] Wilye C. R., Barret C.L., Advanced Engineering Mathematics, 6th ed Mc Graw Hill, 1995. pp-774.

[2] Arpaci, V.S., Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley, 1966