REPASO: “Los Números Enteros”

OBJETIVOS:

1. Reconocer el conjunto de los números enteros.

2. Reforzar el concepto de valor absoluto.

3. Comparar números enteros.

Profesora: María Farías Muñoz

• DEFINICIÓN: El conjunto de los números enteros (Z) está formado por todos los números naturales (N), es decir, los números positivos, por el cero (0) y por lo números negativos.

– El 0 no es ni positivo ni negativo, es neutro.

– Los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Valor Absoluto

• El valor absoluto de un número representa la DISTANCIA desde ese número al origen.

• En el dibujo, se observa que la distancia del 6al origen es 6 unidades, la misma distancia es desde el -6 al origen.

• En notación, esto es −6 = 6

• Las barras se leen como el valor absoluto.

• Formalmente, el valor absoluto (o módulo) de todo número 𝒙 está definido por:

• Por ejemplo:

1) 10 = 10

2) −10 = − −10 = 10

3)1

2=

1

2

4) −1

2= − −

1

2

COMPARACIÓN DE LOS N° Z

• Para ordenar los números positivos de menor a mayor, basta ubicarlos en orden.

– Por ejemplo: Ordenar los números 102, 24, 8, 10

• Para ordenar los números negativos, el número que está más a la izquierda es menor.

– Por ejemplo: entre -2 y -8 ¿qué número es menor?

* Siempre los números negativos son menoresque lo números positivos.

* Los números negativos son menores que 0.

* Los números positivos son mayores que 0.

1) Representa en la recta numérica lossiguientes números enteros: -3, 5, 1 y -6

2) Expresa el valor absoluto de: -2, 5 y 4

3) Ordena de menor a mayor los siguientesnúmeros enteros: -5, 0, 5, -1 y 2

DESAFÍOS

REPASO: “Los Números Enteros”

OBJETIVOS:1. Reforzar las operaciones en el conjunto de los números enteros.2. Comprender las potencias cuya base y exponente son números

enteros.3. Reforzar las operaciones mixtas con números enteros, respetando

la jerarquía de las operaciones y los paréntesis.

Profesora: María Farías Muñoz

SUMA Y RESTA DE N° Z

• Si los números enteros tienen el mismo signo, sesuman y el resultado se coloca con el signo encomún.– Por ejemplo: 3 + 5 = 8

(-3) + (-5) = -8

• Si los números enteros son de diferente signo, serestan y el resultado se coloca con el signo delnúmero mayor en valor absoluto.– Por ejemplo: -3 + 5 = 2

3 + (-5) = -2

• Más ejemplos:

1) a – b = a + (- b)

2) 7 – 5 = 7 + (- 5) = 2

3) 7 – (- 5) = 7 + 5 = 12

4) - 7 – 5 = - 12

5) - 7 – (- 5) = - 7 + 5 = - 2

1) Resuelva las adiciones y sustracciones: a) 5 + (-3) =

b) -12 + (-5) =

c) -15 + 6 =

d) -31 – (-17) =

e) -7 + (-5) – (-12) =

f) -12 – (-4) + 9 =

DESAFÍOS

MULTIPLICACIÓN CON N° Z

• Por ejemplo:

1) 2 · 5 = 10

2) (-2) · (-5) = 10

3) 2 · (-5) = -10

4) (-2) · 5 = -10

• Propiedades de la multiplicación:

1) Interna: a · b 𝝐 Z

Por ejemplo: 2 · (-5) = -10 𝝐 Z

2) Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo: (2 · 3) · -5 = 2 · (3 · -5)

3) Elemento Neutro: a · 1 = a

Por ejemplo: (-5) · 1 = 1 · (-5) = -5

DIVISIÓN CON N° Z

• Por ejemplo:

1) 10 : 5 = 2

2) (-10) : (-5) = 2

3) 10 : (-5) = -2

4) (-10) : 5 = -2

• La división en los números enteros, no cumple con la propiedad interna.

– Observa lo siguiente: a : b 𝝐 Z

• Por ejemplo: (-2) : 6 = 𝝐 Z

1) Resuelva las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a) 4 · (-3) =b) (-4) ∙ 9 = c) (-8) ∙ (-12) = d) 7 ∙ (-4) ∙ (-1) = e) 81 : 9 =f) (-14) : 7 = g) 25 : (-5) =

DESAFÍOS

POTENCIA DE LOS N° Z

• Las potencias de exponente par son siempre positivas.

– Por ejemplo: 4 2 = 4 ∙ 4 = 16

−4 2 = −4 · −4 = 16

• Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

– Por ejemplo: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8

−2 3 = −2 · −2 · −2 = −8

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

1) 𝑎0 = 1

Ejemplo: 10000 = 1

2) 𝑎1 = 𝑎

Ejemplo: 4561 = 456

3) 𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Ejemplo: −2 5 · −2 2 = −2 5+2 = −2 7

4) 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

Ejemplo: −2 9: −2 5 = −2 9−5 = −2 4

5) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚·𝑛

Ejemplo: −2 3 2 = −2 3·2 = −2 6 = 64

6) 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 = 𝑎 · 𝑏 𝑛

Ejemplo: −2 3 · 3 3 = −2 · 3 3 = −6 3

7) 𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = 𝑎: 𝑏 𝑛

Ejemplo: −6 3: 33 = −6: 3 3 = −2 3 = −8

8) 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛𝑆𝑖 𝑎 ≠ 0

Ejemplo: 4−2 =1

42=

1

16

−5 −3 =1

−5 3 =1

−125=

−1

125

1) Escribe en forma de una sola potencia:

a) 33 · 34 · 3 =

b) 57: 53 =

c) 53 4 =

d) 5 · 2 · 3 4 =

DESAFÍOS

2) Realizar las siguientes operaciones con potencias:

a) −2 2 · −2 3 · −2 4=

b) −8 · −2 2 · −2 0· −2 =

c) 2−2 · 2−3 · 24=

d) 22: 23=

e) −3 1 · −3 3 2· −3 −4 =

f) −3 6: −3 3 3 · −3 0 · −3 −4

OPERACIONESCOMBINADAS

• Es la prioridad que tienen unas operacionesfrente a otras a la hora de resolverlas,teniendo en cuenta su nivel dentro de lajerarquía.

• El orden es el siguiente:

Por ejemplo:

• Resolver el siguiente ejercicio:

1) Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) 24: ( −4 + 25) + 3 · 3 − 5 2

b) 144 + 15 · 7 − 23: 4 − 21𝜋

2

DESAFÍOS