rendezesi rel´ aci´ ok´ (bevezetes a sz´ am´ ´ıt aselm...

Rendezesi relaciok(Bevezetes a szamıtaselmeletbe II.)

Dr. Karasz Peter

Obudai Egyetem, Neumann J. Informatikai Kar

MERNOK INFORMATIKUS SZAKESTI TAGOZAT

2013/14. tavaszi felev

Karasz P. (OE NIK) Rendezesi relaciok 2013/14. tavaszi felev 1 / 59

Tartalom

Tartalom

1 Parcialis rendezesi relaciokBevezetesAbrazolasSpecialis elemek; korlatokInfimum es szupremum

2 HalokInfimum es szupremum mint muveletHalotulajdonsagokKomplementum

3 Boole-algebraKomplementum mint muvelet

4 Kiegeszıtesek


Parcialis rendezesi relaciok Bevezetes

Tartalom




4 Kiegeszıtesek



Bevezetes

Peldak

Vizsgaljuk meg az alabbi homogen binaris relaciok specialis tulajdonsagait.

1 O ⊆ N× N, xOy ha x osztoja y -nak: x | y .

O reflexıv, mert ∀x : x | x ;O antiszimmetrikus, mert ∀x , y : ha x | y es y | x , akkor x = y .(Itt kihasznaljuk, hogy nem-negatıv szamokrol van szo; egyebkent pl.−3 | 3 es 3 | −3 ellentmondana az antiszimmetrianak.)O tranzitıv, mert ∀x , y , z: ha x | y es y | z, akkor x | z.

2 K ⊆ N× N, xKy ha x nem nagyobb y-nal: x 6 y .

K reflexıv, mert ∀x : x 6 x ;K antiszimmetrikus, mert ∀x , y : ha x 6 y es y 6 x , akkor x = y .K tranzitıv, mert ∀x , y , z: ha x 6 y es y 6 z, akkor x 6 z.



Bevezetes

Peldak








Bevezetes

Peldak




2 K ⊆ N× N, xKy ha x nem nagyobb y -nal: x 6 y .




Bevezetes

Peldak





K reflexıv, mert ∀x : x 6 x ;

K antiszimmetrikus, mert ∀x , y : ha x 6 y es y 6 x , akkor x = y .K tranzitıv, mert ∀x , y , z: ha x 6 y es y 6 z, akkor x 6 z.



Bevezetes

Peldak





K reflexıv, mert ∀x : x 6 x ;K antiszimmetrikus, mert ∀x , y : ha x 6 y es y 6 x , akkor x = y .

K tranzitıv, mert ∀x , y , z: ha x 6 y es y 6 z, akkor x 6 z.



Bevezetes

Peldak








Peldak (folyt.)

3 R ⊆ P(H)× P(H), xRy ha x reszhalmaza y -nak: x ⊆ y .

R reflexıv, mert ∀x : x ⊆ x ;R antiszimmetrikus, mert ∀x , y : ha x ⊆ y es y ⊆ x , akkor x = y .R tranzitıv, mert ∀x , y , z: ha x ⊆ y es y ⊆ z, akkor x ⊆ z.

Vegyuk eszre, hogy

a fenti tulajdonsagu relaciok eseten az elemek a relacionak megfeleloen rendezhetok:

az antiszimmetria miatt (kulonbozo elemek kozott legfeljebb egyik iranyban allfenn a relacio) nem fordulhat elo, hogy ket elem kolcsonosen megelozi egymasta sorban;

a tranzitivitas miatt nem fordulhat elo,hogy harom (vagy tobb) elemet ”korbe”kell rendezni.

Tfh.: 1R2 es 2R3 es 3R1

1R2 es 2R3⇒ 1R3

12

3



Peldak (folyt.)


R reflexıv, mert ∀x : x ⊆ x ;

R antiszimmetrikus, mert ∀x , y : ha x ⊆ y es y ⊆ x , akkor x = y .R tranzitıv, mert ∀x , y , z: ha x ⊆ y es y ⊆ z, akkor x ⊆ z.

Vegyuk eszre, hogy





1R2 es 2R3⇒ 1R3

12

3



Peldak (folyt.)


R reflexıv, mert ∀x : x ⊆ x ;R antiszimmetrikus, mert ∀x , y : ha x ⊆ y es y ⊆ x , akkor x = y .

R tranzitıv, mert ∀x , y , z: ha x ⊆ y es y ⊆ z, akkor x ⊆ z.

Vegyuk eszre, hogy





1R2 es 2R3⇒ 1R3

12

3



Peldak (folyt.)



Vegyuk eszre, hogy





1R2 es 2R3⇒ 1R3

12

3



Peldak (folyt.)



Vegyuk eszre, hogy


az antiszimmetria miatt (kulonbozo elemek kozott legfeljebb egyik iranyban allfenn a relacio) nem fordulhat elo, hogy ket elem kolcsonosen megelozi egymasta sorban;a tranzitivitas miatt nem fordulhat elo,hogy harom (vagy tobb) elemet ”korbe”kell rendezni.


1R2 es 2R3⇒ 1R3

12

3



Parcialis rendezesi relaciok

Peldak

1 Rendezes oszthatosag szerint: 1 | 2 | 6 | 30 | 420 | . . .

2 Rendezes nagysag szerint: 1 6 5 6 27 6 113 6 682 6 . . .

3 Rendezes reszhalmaz szerint: ∅ ⊆ {7} ⊆{π; 7; 205

13

}⊆ R ⊆ . . .


Az olyan homogen binaris relacio, amely

reflexıv,antiszimmetrikus,tranzitıv

parcialis rendezesi relacio (vagy reszben-rendezesi relacio).

Megjegyzes: A parcialis (reszleges) szo jelentesere kesobb visszaterunk.




Peldak

1 Rendezes oszthatosag szerint: 1 | 2 | 6 | 30 | 420 | . . .2 Rendezes nagysag szerint: 1 6 5 6 27 6 113 6 682 6 . . .

3 Rendezes reszhalmaz szerint: ∅ ⊆ {7} ⊆{π; 7; 205

13

}⊆ R ⊆ . . .


Az olyan homogen binaris relacio, amely

reflexıv,antiszimmetrikus,tranzitıv

parcialis rendezesi relacio (vagy reszben-rendezesi relacio).

Megjegyzes: A parcialis (reszleges) szo jelentesere kesobb visszaterunk.



Reszben-rendezett halmaz

Jeloles

Utalva a relacio rendezesi jellegere: a 4 b.

Megjegyzes: A szakirodalom jelentos reszeben a 6 b a jele.

Parcialisan rendezett (reszben-rendezett) halmaz

A (H;4) rendezett par parcialisan (vagy reszben-)rendezett halmaz, ha 4 a Hhalmazon ertelmezett parcialis rendezesi relacio.

Peldak

1 (N; |) reszben-rendezett halmaz.2 (N;6) reszben-rendezett halmaz.3 (P(H) ;⊆) reszben-rendezett halmaz.


Parcialis rendezesi relaciok Abrazolas

Tartalom




4 Kiegeszıtesek



Abrazolas

Peldak

1 Abrazoljuk grafon az O (oszthatosagi) relaciot a 12 pozitıv osztoinak halmazan:

1

2

4

3

6

12Egyszerusıtsuk:

A reflexivitas miatt a hurokeleketelhagyhatjuk.

Az antiszimmetria miattmegtehetjuk, hogy a nyilak helyettcsak vonalat rajzolunk ugy, hogya 4 b eseten b-t ”magasabbra”rajzoljuk; ezaltal egyertelmu a nyıliranya. (Emiatt vızszintes vonalaknem lehetnek az abraban.)

A tranzitivitas miatt. . .

(Elotte egy kis intermezzo.)



Jeloles

A kovetkezo fogalmakat megkonnyıti, ha bevezetjuk: a ≺ b, ha a 4 b, de a 6= b.

Fedes

Azt mondjuk, hogy a (H;4) reszben-rendezett halmazban a ≺ b elemek fedesbenvannak (b fedi a-t), ha nem letezik x ∈ H, hogy a ≺ x ≺ b.(Azaz kozvetlenul allnak relacioban, b kozvetlen folerendeltje a-nak, ha nem lehet marmas elemet ”kozejuk ekelni”.)

Jeloles

Ha a-t fedi b: a / b, (de nem altalanos jeloles).



Peldak

1 (N; |) eseten

a 2-t nem fedi a 12, mert pl. 2 | 6 | 12;a 2-t fedi a 6, mert nem letezik x 6= 2; 6, amelyre 2 | x | 6 teljesulne.

2 (N;6) eseten

a 3-at nem fedi a 9, mert pl. 3 6 7 6 9;a 3-at fedi a 4, mert nem letezik x , amelyre 3 < x < 4 teljesulne.

3 (P(R) ;⊆) eseten

a Z+-t nem fedi az R, mert pl. Z+ ⊂ Q ⊂ R;a Z+-t fedi az N, mert nem letezik X , amelyre Z+ ⊂ X ⊂ N teljesulne.



Peldak (folyt.)

1 Vegyuk ismet az O (oszthatosagi) relaciot a 12 pozitıv osztoinak halmazan:

1

2

4

3

6

12Egyszerusıtsuk tovabb:

A tranzitivitas miatt csak afedesben levo elemeket kotjukossze.

A peldaban emlıtetteknekmegfeleloen a 2-t a 12-vel nemkotjuk ossze, hiszen a tranzitivitasmiatt ıgy is latjuk, hogy relaciobanallnak egymassal.

Hasse-diagram

A parcialisan rendezett halmaz fenti elveknek megfeleloen egyszerusıtett grafjatHasse-diagramnak nevezzuk.



Peldak (folyt.)

2 (N;6) Hasse-diagramja:

0

1

2

3

4

5

3 (P({1; 2; 3}) ;⊆) Hasse-diagramja:

∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)


0

1

2

3

4

5


∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3}

{2; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)


0

1

2

3

4

5


∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}



Mitol parcialis?

Talan feltunt mar, hogy szerencses esetben az elemeket tudjuk ugyan rendezni arelacio alapjan, de akadnak olyan parok is, amelyeket nem; osszehasonlıthatatlanok,nem tudhato melyik a ”kisebb”.

Jeloles

Ha a es b osszehasonlıthatatlanok: a ‖ b, (de nem altalanos jeloles).

Peldak

1 (N; |) eseten a 4 es 6 kozul egyik sem ”kisebb” a masiknal, mert 4 - 6 es 6 - 4.

3 (P({1; 2; 3}) ;⊆) eseten {1; 2} es {1; 3} osszehasonlıthatatlanok, mert egyiksem reszhalmaza a masiknak.

2 (N;6) eseten. . . ?



Mitol parcialis?


Jeloles


Peldak

1 (N; |) eseten a 4 es 6 kozul egyik sem ”kisebb” a masiknal, mert 4 - 6 es 6 - 4.3 (P({1; 2; 3}) ;⊆) eseten {1; 2} es {1; 3} osszehasonlıthatatlanok, mert egyik

sem reszhalmaza a masiknak.

2 (N;6) eseten. . . ?



Mitol parcialis?


Jeloles


Peldak

1 (N; |) eseten a 4 es 6 kozul egyik sem ”kisebb” a masiknal, mert 4 - 6 es 6 - 4.3 (P({1; 2; 3}) ;⊆) eseten {1; 2} es {1; 3} osszehasonlıthatatlanok, mert egyik

sem reszhalmaza a masiknak.2 (N;6) eseten. . . ?



Altalanos megallapıtas

A (H;4) reszben-rendezett halmazban tetszoleges a, b elemek eseten az alabbiharom eset fordulhat elo: a 4 b; b 4 a; vagy a ‖ b.

Pelda

Lattuk, hogy (N;6) eseten csak az elso ket eset fordul elo.

Teljes rendezes

Ha a (H;4) reszben-rendezett halmazban tetszoleges a, b elemek eseten a 4 bes b 4 a kozul (legalabb) az egyik igaz (azaz nincsenek osszehasonlıthatatlanelemek), akkor a 4 relacio dichotom.

Ha a (H;4) reszben-rendezett halmazban a 4 relacio dichotom, akkor arendezes teljes (vagy linearis) rendezes; (H;4) pedig teljesen rendezett halmaz.

Pelda

(N;6) teljes rendezes; (N; |) es (P(H) ;⊆) viszont nem.



Peldak (folyt.)

4 (L2; |=), ahol L2 jeloli a ketvaltozos logikai fuggvenyek halmazat.

p q f (p, q)0 0 0 v. 10 1 0 v. 11 0 0 v. 11 1 0 v. 1

|= reflexıv, mert ∀f eseten f legalabb azokban azinterpretaciokban igaz, mint sajat maga.

|= antiszimmetrikus, mert ∀f1, f2 eseten, ha mindkettolegalabb azokban az interpretaciokban igaz, mint amasik, akkor pontosan ugyanazokban azinterpretaciokban igazak, ıgy ugyanazt a logikaifuggvenyt hatarozzak meg.

|= tranzitıv, mert ∀f1, f2, f3 eseten, ha f2 legalabb azokban azinterpretaciokban igaz, mint f1 es f3 legalabb azokban az interpretaciokbanigaz, mint f2, akkor nyilvan f3 is legalabb azokban az interpretaciokbanigaz, mint f1.

p q p ∨ q p ↔ q0 0 0 10 1 1 01 0 1 01 1 1 1

Tovabba |= nem dichotom, mert pl.p ∨ q es p ↔ q eseten egyik semkovetkezmenye a masiknak.



Peldak (folyt.)

(L2; |=) Hasse-diagramja: p q0 00 11 01 1

0

p ∧ q p ∧ ¬q ¬p ∧ q ¬p ∧ ¬q

p q p ↔ q ¬p ↔ q ¬q ¬p

p ∨ q q → p p → q ¬p ∨ ¬q

1

0000

0001

0010

0100

1000

0011

0101

1001

0110

1010

1100

0111

1011

1101

1110

1111



Peldak (folyt.)


0

p ∧ q p ∧ ¬q ¬p ∧ q ¬p ∧ ¬q

p q p ↔ q

¬p ↔ q ¬q ¬p

p ∨ q q → p p → q ¬p ∨ ¬q

1

0000

0001

0010

0100

1000

0011

0101

1001

0110

1010

1100

0111

1011

1101

1110

1111



Peldak (folyt.)


0

p ∧ q p ∧ ¬q ¬p ∧ q ¬p ∧ ¬q

p q p ↔ q ¬p ↔ q ¬q

¬p

p ∨ q q → p p → q ¬p ∨ ¬q

1

0000

0001

0010

0100

1000

0011

0101

1001

0110

1010

1100

0111

1011

1101

1110

1111



Peldak (folyt.)


0

p ∧ q p ∧ ¬q ¬p ∧ q ¬p ∧ ¬q

p q p ↔ q ¬p ↔ q ¬q ¬p

p ∨ q q → p p → q ¬p ∨ ¬q

1

0000

0001

0010

0100

1000

0011

0101

1001

0110

1010

1100

0111

1011

1101

1110

1111



Peldak (folyt.)

(L2; |=) Hasse-diagramja:

p q0 00 11 01 1

0

p ∧ q p ∧ ¬q ¬p ∧ q ¬p ∧ ¬q

p q p ↔ q ¬p ↔ q ¬q ¬p

p ∨ q q → p p → q ¬p ∨ ¬q

1

0000

0001

0010

0100

1000

0011

0101

1001

0110

1010

1100

0111

1011

1101

1110

1111



Attekintheto Hasse-diagram

Hogyan rajzoljunk ”szep” Hasse-diagramot?

Fo szabaly: gyakorlat teszi a mestert.

Probaljunk kovetkezetesek lenni a fedesek felterkepezesekor.Figyeljuk meg a (P({1; 2; 3}) ;⊆) Hasse-diagramjat:

∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}

X ∪ {1} eseten balra rajzoltuk;

X ∪ {2} eseten fuggolegesenrajzoltuk;

X ∪ {3} eseten jobbra rajzoltuk.

Nem biztos, hogy van ”esztetikus” valtozata; ha van is, nem biztos, hogyhasznalhato.



Pelda

(L2; |=) ”esztetikus”, de kevesbe logikus elrendezesu Hasse-diagramja:

0

p ∧ q

p ∧ ¬q ¬p ∧ q

¬p ∧ ¬q

p q

p ↔ q

¬p ↔ q

¬q ¬p

p ∨ q

q → p p → q

¬p ∨ ¬q

1


Parcialis rendezesi relaciok Specialis elemek; korlatok

Tartalom




4 Kiegeszıtesek



Specialis elemek

Legkisebb es legnagyobb elem

(H;4) reszben-rendezett halmaz, X ⊆ H.

a ∈ X az X legkisebb eleme, ha ∀x ∈ X eseten a 4 x ;

a ∈ X az X legnagyobb eleme, ha ∀x ∈ X eseten x 4 a.

Peldak

(D12; |), X = D12

legkisebb eleme

1, mert minden elemnek osztoja;

legnagyobb eleme

12, mert neki minden elemosztoja.

(D12; |), X = {1; 4; 6}legkisebb eleme


legnagyobb eleme

nincs, mert nincs olyan elem,amelynek minden elem osztoja.

1

46

23

12



Specialis elemek





Peldak

(D12; |), X = D12

legkisebb eleme 1, mert minden elemnek osztoja;legnagyobb eleme

12, mert neki minden elemosztoja.



legnagyobb eleme


1

46

23

12



Specialis elemek





Peldak

(D12; |), X = D12

legkisebb eleme 1, mert minden elemnek osztoja;legnagyobb eleme 12, mert neki minden elemosztoja.



legnagyobb eleme


1

46

23

12



Specialis elemek





Peldak

(D12; |), X = D12


(D12; |), X = {1; 4; 6}legkisebb eleme 1, mert minden elemnek osztoja;legnagyobb eleme


1

46

23

12



Specialis elemek





Peldak

(D12; |), X = D12


(D12; |), X = {1; 4; 6}legkisebb eleme 1, mert minden elemnek osztoja;legnagyobb eleme nincs, mert nincs olyan elem,amelynek minden elem osztoja.

1

46

23

12



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = P({1; 2; 3})legkisebb eleme

∅, mert minden elemnekreszhalmaza;

legnagyobb eleme

{1; 2; 3}, mert nekiminden elem reszhalmaza.

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1} ; {2} ; {1; 2} ; {1; 3}}legkisebb eleme

nincs, mert nincs olyanelem, amely minden elemnek reszhalmaza;

legnagyobb eleme

nincs, mert nincs olyanelem, amelynek minden elem reszhalmaza.

{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

Eszrevetel

A fenti peldakban, amennyiben nem volt legkisebb (legnagyobb) elem, akkor iselofordult olyan elem, amelynel kisebb (nagyobb) nem volt a halmazban.



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = P({1; 2; 3})legkisebb eleme ∅, mert minden elemnekreszhalmaza;legnagyobb eleme

{1; 2; 3}, mert nekiminden elem reszhalmaza.



legnagyobb eleme


{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

Eszrevetel




Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = P({1; 2; 3})legkisebb eleme ∅, mert minden elemnekreszhalmaza;legnagyobb eleme {1; 2; 3}, mert nekiminden elem reszhalmaza.



legnagyobb eleme


{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

Eszrevetel




Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1} ; {2} ; {1; 2} ; {1; 3}}legkisebb eleme nincs, mert nincs olyanelem, amely minden elemnek reszhalmaza;legnagyobb eleme


{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

Eszrevetel




Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1} ; {2} ; {1; 2} ; {1; 3}}legkisebb eleme nincs, mert nincs olyanelem, amely minden elemnek reszhalmaza;legnagyobb eleme nincs, mert nincs olyanelem, amelynek minden elem reszhalmaza.

{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

Eszrevetel




Minimalis, maximalis elem


a ∈ X az X minimalis eleme, ha ¬∃x ∈ X \ {a}, hogy x 4 a;(azaz ha ¬∃x ∈ X , hogy x ≺ a);

a ∈ X az X maximalis eleme, ha ¬∃x ∈ X \ {a}, hogy a 4 x ;(azaz ha ¬∃x ∈ X , hogy a ≺ x).

Peldak

(D12; |), X = D12

minimalis elemei

1, mert nincs (onmagan kıvul)osztoja;

maximalis elemei

12, mert (onmagan kıvul)semminek nem osztoja.

(D12; |), X = {1; 4; 6}minimalis elemei


maximalis elemei

4, 6, mert (onmagukon kıvul)semminek nem osztoi.

1

46

23

12







Peldak

(D12; |), X = D12

minimalis elemei 1, mert nincs (onmagan kıvul)osztoja;maximalis elemei

12, mert (onmagan kıvul)semminek nem osztoja.



maximalis elemei


1

46

23

12







Peldak

(D12; |), X = D12

minimalis elemei 1, mert nincs (onmagan kıvul)osztoja;maximalis elemei 12, mert (onmagan kıvul)semminek nem osztoja.



maximalis elemei


1

46

23

12







Peldak

(D12; |), X = D12


(D12; |), X = {1; 4; 6}minimalis elemei 1, mert nincs (onmagan kıvul)osztoja;maximalis elemei


1

46

23

12







Peldak

(D12; |), X = D12


(D12; |), X = {1; 4; 6}minimalis elemei 1, mert nincs (onmagan kıvul)osztoja;maximalis elemei 4, 6, mert (onmagukon kıvul)semminek nem osztoi.

1

46

23

12



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = P({1; 2; 3})minimalis elemei

∅, mert nincs (valodi)reszhalmaza;

maximalis elemei

{1; 2; 3}, mert semmineknem (valodi) reszhalmaza.

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1} ; {2} ; {1; 2} ; {1; 3}}minimalis elemei

{1}, {2}, mert nincs(valodi) reszhalmazuk;

maximalis elemei

{1; 2}, {1; 3}, mertsemminek nem (valodi) reszhalmaza.

{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = P({1; 2; 3})minimalis elemei ∅, mert nincs (valodi)reszhalmaza;maximalis elemei

{1; 2; 3}, mert semmineknem (valodi) reszhalmaza.



maximalis elemei


{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = P({1; 2; 3})minimalis elemei ∅, mert nincs (valodi)reszhalmaza;maximalis elemei {1; 2; 3}, mert semmineknem (valodi) reszhalmaza.



maximalis elemei


{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1} ; {2} ; {1; 2} ; {1; 3}}minimalis elemei {1}, {2}, mert nincs(valodi) reszhalmazuk;maximalis elemei


{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1} ; {2} ; {1; 2} ; {1; 3}}minimalis elemei {1}, {2}, mert nincs(valodi) reszhalmazuk;maximalis elemei {1; 2}, {1; 3}, mertsemminek nem (valodi) reszhalmaza.

{1} {2}

{1; 2} {1; 3}

∅

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}



Tulajdonsagok

Egzisztencia es unicitas

Ha a reszben-rendezett halmazban van legkisebb (legnagyobb) elem, akkor azegyertelmu.

Bizonyıtas. Tfh. a1 es a2 is legkisebb:

a1 legkisebb ⇒ a1 4 a2

a2 legkisebb ⇒ a2 4 a1

}⇒ a1 = a2.

Ha a reszben-rendezett halmazban van legkisebb (legnagyobb) elem, akkor o azegyetlen minimalis (maximalis elem).

Ha a reszben-rendezett halmazban egynel tobb minimalis (maximalis) elem van,akkor nincs legkisebb (legnagyobb) eleme.

Veges elemszamu reszben-rendezett halmazban mindig van minimalis(maximalis) elem.

Ha a veges elemszamu reszben-rendezett halmazban egy minimalis (maximalis)elem van, akkor o szuksegkeppen legkisebb (legnagyobb) is.



Korlatok

Also es felso korlat


a ∈ H az X also korlatja, ha ∀x ∈ X eseten a 4 x ;

a ∈ H az X felso korlatja, ha ∀x ∈ X eseten x 4 a.

Peldak

(D12; |), X = {6; 12}also korlatjai

1, 2, 3, 6, mert minden elemnek osztoi;

felso korlatjai

12, mert neki minden elem osztoja.

(D12; |), X = {1; 4; 6}also korlatjai


felso korlatjai


6

12

1

23

4

1

46

23

12



Korlatok





Peldak

(D12; |), X = {6; 12}also korlatjai 1, 2, 3, 6, mert minden elemnek osztoi;felso korlatjai




felso korlatjai


6

12

1

23

4

1

46

23

12



Korlatok





Peldak

(D12; |), X = {6; 12}also korlatjai 1, 2, 3, 6, mert minden elemnek osztoi;felso korlatjai 12, mert neki minden elem osztoja.



felso korlatjai


6

12

1

23

4

1

46

23

12



Korlatok





Peldak


(D12; |), X = {1; 4; 6}also korlatjai 1, mert minden elemnek osztoja;felso korlatjai


6

12

1

23

4

1

46

23

12



Korlatok





Peldak


(D12; |), X = {1; 4; 6}also korlatjai 1, mert minden elemnek osztoja;felso korlatjai 12, mert neki minden elem osztoja.

6

12

1

23

4

1

46

23

12



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {∅; {1} ; {2} ; {1; 3}}also korlatjai

∅, mert minden elemnekreszhalmaza;

felso korlatjai

{1; 2; 3}, mert neki mindenelem reszhalmaza.

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}also korlatjai

∅, {2}, mert minden elemnekreszhalmazai;

felso korlatjai


∅

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {∅; {1} ; {2} ; {1; 3}}also korlatjai ∅, mert minden elemnekreszhalmaza;felso korlatjai




felso korlatjai


∅

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {∅; {1} ; {2} ; {1; 3}}also korlatjai ∅, mert minden elemnekreszhalmaza;felso korlatjai {1; 2; 3}, mert neki mindenelem reszhalmaza.



felso korlatjai


∅

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}also korlatjai ∅, {2}, mert minden elemnekreszhalmazai;felso korlatjai


∅

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}also korlatjai ∅, {2}, mert minden elemnekreszhalmazai;felso korlatjai {1; 2; 3}, mert neki mindenelem reszhalmaza.

∅

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 3}

{1; 2; 3}


Parcialis rendezesi relaciok Infimum es szupremum

Tartalom




4 Kiegeszıtesek



Infimum es szupremum


Ha X also korlatjainak halmazaban van legnagyobb elem, akkor azt az X alsohataranak (infimumanak) nevezzuk: inf X .

Ha X felso korlatjainak halmazaban van legkisebb elem, akkor azt az X felsohataranak (szupremumanak) nevezzuk: sup X .

Peldak

(D12; |), X = {6; 12}infumuma

6, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindnek tobbszorose);

szupremuma

12, mert a felso korlatok kozul alegkisebb (mindnek osztoja).

(D12; |), X = {1; 4; 6}infimuma


szupremuma


6

12

1

23

46

12

1

23

46

12

1

23

4

1

46

23

12

1

46

23

12

1

46

12

23







Peldak

(D12; |), X = {6; 12}infumuma


szupremuma


(D12; |), X = {1; 4; 6}infimuma


szupremuma


6

12

1

23

4

6

12

1

23

46

12

1

23

4

1

46

23

12

1

46

23

12

1

46

12

23







Peldak

(D12; |), X = {6; 12}infumuma 6, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindnek tobbszorose);szupremuma


(D12; |), X = {1; 4; 6}infimuma


szupremuma


6

12

1

23

4

6

12

1

23

4

6

12

1

23

4

1

46

23

12

1

46

23

12

1

46

12

23







Peldak

(D12; |), X = {6; 12}infumuma 6, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindnek tobbszorose);szupremuma 12, mert a felso korlatok kozul alegkisebb (mindnek osztoja).

(D12; |), X = {1; 4; 6}infimuma


szupremuma


6

12

1

23

46

12

1

23

4

6

12

1

23

4

1

46

23

12

1

46

23

12

1

46

12

23







Peldak


(D12; |), X = {1; 4; 6}infimuma


szupremuma


6

12

1

23

46

12

1

23

46

12

1

23

4

1

46

23

12

1

46

23

12

1

46

12

23







Peldak


(D12; |), X = {1; 4; 6}infimuma 1, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindnek tobbszorose);szupremuma


6

12

1

23

46

12

1

23

46

12

1

23

4

1

46

23

12

1

46

23

12

1

46

12

23







Peldak


(D12; |), X = {1; 4; 6}infimuma 1, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindnek tobbszorose);szupremuma 12, mert a felso korlatok kozul alegkisebb (mindnek osztoja).

6

12

1

23

46

12

1

23

46

12

1

23

4

1

46

23

12

1

46

23

12

1

46

12

23



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {∅; {1} ; {2} ; {1; 3}}infimuma

∅, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindegyiket tartalmazza);

szupremuma

{1; 2; 3}, mert a felso korlatokkozul a legkisebb (mindegyiknek resze).

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}infimuma

{2}, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindegyiket tartalmazza);

szupremuma


∅

∅

{1; 2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

∅

{2}

∅

{2}

{1; 2; 3}{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

Eszrevetel

Elofordulhat, hogy nincs infimum (szupremum), mert

nincs also (felso) korlat sem;nincs az also (felso) korlatok halmazaban legnagyobb (legkisebb).

Ha van infimum (szupremum), akkor egyertelmu.



Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {∅; {1} ; {2} ; {1; 3}}infimuma ∅, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindegyiket tartalmazza);szupremuma


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}infimuma


szupremuma


∅

∅

{1; 2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

∅

{2}

∅

{2}

{1; 2; 3}{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

Eszrevetel






Peldak (folyt.)

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {∅; {1} ; {2} ; {1; 3}}infimuma ∅, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindegyiket tartalmazza);szupremuma {1; 2; 3}, mert a felso korlatokkozul a legkisebb (mindegyiknek resze).

(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}infimuma


szupremuma


∅

∅

{1; 2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

∅

{2}

∅

{2}

{1; 2; 3}{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

Eszrevetel






Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}infimuma


szupremuma


∅∅

{1; 2; 3}{1; 2; 3}

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

∅

{2}

∅

{2}

{1; 2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

Eszrevetel






Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}infimuma {2}, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindegyiket tartalmazza);szupremuma


∅∅

{1; 2; 3}{1; 2; 3}

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

∅

{2}

∅

{2}

{1; 2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

Eszrevetel






Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆), X = {{1; 2} ; {2; 3}}infimuma {2}, mert az also korlatok kozul alegnagyobb (mindegyiket tartalmazza);szupremuma {1; 2; 3}, mert a felso korlatokkozul a legkisebb (mindegyiknek resze).

∅∅

{1; 2; 3}{1; 2; 3}

{1} {2}

{1; 3}{1; 2}

{3}

{2; 3}

∅

{2}

∅

{2}

{1; 2; 3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

Eszrevetel






Pelda

H = {0; 1; 2; . . . ; 9} es x 4 y , ha x = y vagy x + 2 6 y .(Azaz x 4 y , ha egyenlok vagy legalabb 2-vel kisebb nala.)

X = {1; 2}

inf {1; 2}:

az also korlatok halmaza ures, ıgy nincs infimum.

sup {1; 2}:

a felso korlatok halmaza: {4; 5; 6; 7; 8; 9},ebben nincs legkisebb elem, ıgy nincs szupremum.

1

2

0

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

0

3

4

5

6

7

8

9



Pelda


X = {1; 2}

inf {1; 2}: az also korlatok halmaza ures, ıgy nincs infimum.

sup {1; 2}:

a felso korlatok halmaza: {4; 5; 6; 7; 8; 9},ebben nincs legkisebb elem, ıgy nincs szupremum.

1

2

0

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

0

3

4

5

6

7

8

9



Pelda


X = {1; 2}


sup {1; 2}: a felso korlatok halmaza: {4; 5; 6; 7; 8; 9},

ebben nincs legkisebb elem, ıgy nincs szupremum.

1

2

0

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

0

3

4

5

6

7

8

9



Pelda


X = {1; 2}


sup {1; 2}: a felso korlatok halmaza: {4; 5; 6; 7; 8; 9},ebben nincs legkisebb elem, ıgy nincs szupremum.

1

2

0

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

0

3

4

5

6

7

8

9


Halok Infimum es szupremum mint muvelet

Tartalom




4 Kiegeszıtesek



Halok

Peldak

Figyeljuk meg a korabbi peldakban hogyan kapjuk ket elem infimumat esszupremumat.

1 (N; |) eseten

inf {a; b} az also korlatok

(kozos osztok)

kozul a legnagyobb

(mindenkozos osztonak tobbszorose): inf {a; b} = lnko(a; b).

sup {a; b} a felso korlatok

(kozos tobbszorosok)

kozul a legkisebb

(mindenkozos tobbszorosnek osztoja): sup {a; b} = lkkt(a; b).

Megjegyzesek:

A felsobb matematikaban ez a legnagyobb kozososzto es a legkisebb kozos tobbszoros definıcioja.

Vigyazzunk arra, hogy hiaba az oszthatosag arendezesi elv, nem minden halmazban igaz, hogyinf {a; b} = lnko(a; b) illetve sup {a; b} = lkkt(a; b).

sup {2; 3} = 12 6= lkkt(2; 3) .1

23

4

12



Halok

Peldak


1 (N; |) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos osztok) kozul a legnagyobb

(mindenkozos osztonak tobbszorose): inf {a; b} = lnko(a; b).



kozul a legkisebb


Megjegyzesek:



sup {2; 3} = 12 6= lkkt(2; 3) .1

23

4

12



Halok

Peldak


1 (N; |) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos osztok) kozul a legnagyobb (mindenkozos osztonak tobbszorose): inf {a; b} = lnko(a; b).sup {a; b} a felso korlatok


kozul a legkisebb


Megjegyzesek:



sup {2; 3} = 12 6= lkkt(2; 3) .1

23

4

12



Halok

Peldak


1 (N; |) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos osztok) kozul a legnagyobb (mindenkozos osztonak tobbszorose): inf {a; b} = lnko(a; b).sup {a; b} a felso korlatok (kozos tobbszorosok) kozul a legkisebb


Megjegyzesek:



sup {2; 3} = 12 6= lkkt(2; 3) .1

23

4

12



Halok

Peldak


1 (N; |) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos osztok) kozul a legnagyobb (mindenkozos osztonak tobbszorose): inf {a; b} = lnko(a; b).sup {a; b} a felso korlatok (kozos tobbszorosok) kozul a legkisebb (mindenkozos tobbszorosnek osztoja): sup {a; b} = lkkt(a; b).

Megjegyzesek:



sup {2; 3} = 12 6= lkkt(2; 3) .1

23

4

12



Peldak (folyt.)

2 (N;6) eseten

inf {a; b} az also korlatok kozul a legnagyobb:

inf {a; b} = min(a; b).

sup {a; b} a felso korlatok kozul a legkisebb:

sup {a; b} = max(a; b).

3 (P(H) ;⊆) eseten


(kozos reszhalmazok)

kozul a legnagyobb

(minden kozos reszhalmazt tartalmaz): inf {a; b} = a ∩ b.


(mindkettot tartalmazo halmazok)

kozul alegkisebb

(minden kozos tartalmazo halmaznak resze): sup {a; b} = a ∪ b.

Megjegyzesek: Ugyanaz a ket megjegyzes ervenyes, mint az 1. peldaban.



Peldak (folyt.)

2 (N;6) eseten

inf {a; b} az also korlatok kozul a legnagyobb: inf {a; b} = min(a; b).sup {a; b} a felso korlatok kozul a legkisebb:

sup {a; b} = max(a; b).




kozul a legnagyobb




kozul alegkisebb





Peldak (folyt.)

2 (N;6) eseten

inf {a; b} az also korlatok kozul a legnagyobb: inf {a; b} = min(a; b).sup {a; b} a felso korlatok kozul a legkisebb: sup {a; b} = max(a; b).




kozul a legnagyobb




kozul alegkisebb





Peldak (folyt.)

2 (N;6) eseten



inf {a; b} az also korlatok (kozos reszhalmazok) kozul a legnagyobb




kozul alegkisebb





Peldak (folyt.)

2 (N;6) eseten



inf {a; b} az also korlatok (kozos reszhalmazok) kozul a legnagyobb(minden kozos reszhalmazt tartalmaz): inf {a; b} = a ∩ b.sup {a; b} a felso korlatok


kozul alegkisebb





Peldak (folyt.)

2 (N;6) eseten



inf {a; b} az also korlatok (kozos reszhalmazok) kozul a legnagyobb(minden kozos reszhalmazt tartalmaz): inf {a; b} = a ∩ b.sup {a; b} a felso korlatok (mindkettot tartalmazo halmazok) kozul alegkisebb





Peldak (folyt.)

2 (N;6) eseten



inf {a; b} az also korlatok (kozos reszhalmazok) kozul a legnagyobb(minden kozos reszhalmazt tartalmaz): inf {a; b} = a ∩ b.sup {a; b} a felso korlatok (mindkettot tartalmazo halmazok) kozul alegkisebb (minden kozos tartalmazo halmaznak resze): sup {a; b} = a ∪ b.




Peldak (folyt.)

4 (L2; |=) eseten


(kozos premisszak)

kozul a legnagyobb

(mindenkozos premissza konkluzioja): inf {a; b} = a ∧ b.


(kozos konkluziok)

kozul a legkisebb

(mindenkozos konkluzio premisszaja): sup {a; b} = a ∨ b.

Infimum es szupremum mint muvelet

Ha a (H;4) reszben-rendezett halmazban az infimum es szupremum barmely ketelemre letezik, akkor ketvaltozos muveletkent tekinthetjuk.

Megjegyzes: A muvelet pontos definıciojat lasd kesobb az Algebrai strukturakfejezetben.



Peldak (folyt.)

4 (L2; |=) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos premisszak) kozul a legnagyobb

(mindenkozos premissza konkluzioja): inf {a; b} = a ∧ b.


(kozos konkluziok)

kozul a legkisebb







Peldak (folyt.)

4 (L2; |=) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos premisszak) kozul a legnagyobb (mindenkozos premissza konkluzioja): inf {a; b} = a ∧ b.sup {a; b} a felso korlatok

(kozos konkluziok)

kozul a legkisebb







Peldak (folyt.)

4 (L2; |=) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos premisszak) kozul a legnagyobb (mindenkozos premissza konkluzioja): inf {a; b} = a ∧ b.sup {a; b} a felso korlatok (kozos konkluziok) kozul a legkisebb







Peldak (folyt.)

4 (L2; |=) eseten

inf {a; b} az also korlatok (kozos premisszak) kozul a legnagyobb (mindenkozos premissza konkluzioja): inf {a; b} = a ∧ b.sup {a; b} a felso korlatok (kozos konkluziok) kozul a legkisebb (mindenkozos konkluzio premisszaja): sup {a; b} = a ∨ b.






Halo

Halo

Ha a (H;4) reszben-rendezett halmazban barmely ket elemnek van infimuma esszupremuma, akkor halonak nevezzuk.

Jeloles

(H;4) haloban a ket muvelet jele:

inf {a; b} = a ∧ b es sup {a; b} = a ∨ b.



Peldak

1 Oszthatosag szerint

(N; |)

halo es

a ∧ b = lnko(a; b), a ∨ b = lkkt(a; b).

(D12; |)

halo es


(I12; |)

nem halo,

mert pl. 4 ∨ 5 nem letezik.

(D12 \ {6} ; |)

halo es a∧b = lnko(a; b),

a ∨ b = lkkt(a; b), kiveve 2 ∨ 3 = 12.

(D30; |)

halo es


1

2 3

4

12

6

5

10

7

8

9

11

15

30



Peldak


(N; |) halo es


(D12; |)

halo es


(I12; |)

nem halo,


(D12 \ {6} ; |)


a ∨ b = lkkt(a; b), kiveve 2 ∨ 3 = 12.

(D30; |)

halo es


1

2 3

4

12

6

5

10

7

8

9

11

15

30



Peldak


(N; |) halo es


(D12; |) halo es


(I12; |)

nem halo,


(D12 \ {6} ; |)


a ∨ b = lkkt(a; b), kiveve 2 ∨ 3 = 12.

(D30; |)

halo es


1

2 3

4

12

6

5

10

7

8

9

11

15

30



Peldak


(N; |) halo es


(D12; |) halo es


(I12; |) nem halo,


(D12 \ {6} ; |)


a ∨ b = lkkt(a; b), kiveve 2 ∨ 3 = 12.

(D30; |)

halo es


1

2 3

4

12

6

5

10

7

8

9

11

15

30



Peldak


(N; |) halo es


(D12; |) halo es


(I12; |) nem halo,


(D12 \ {6} ; |) halo es a∧b = lnko(a; b),

a ∨ b = lkkt(a; b), kiveve 2 ∨ 3 = 12.

(D30; |)

halo es


1

2 3

4

12

6

5

10

7

8

9

11

15

30



Peldak


(N; |) halo es


(D12; |) halo es


(I12; |) nem halo,


(D12 \ {6} ; |) halo es a∧b = lnko(a; b),

a ∨ b = lkkt(a; b), kiveve 2 ∨ 3 = 12.

(D30; |) halo es


1

2 3

4

12

6

5

10

7

8

9

11

15

30



Peldak (folyt.)

2 Nagysag szerint (teljes rendezes)

(N;6)

halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).([0; 1] ;6)

halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).

(]0; 1[ ;6)


3 Reszhalmaz szerint

(P(H) ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

5 (H;4), ahol H = {0; 1; . . . ; 9} es a 4 b, ha egyenlok vagy a legalabb 2-velkisebb mint b:

nem halo, mert pl. sem 1 ∧ 2, sem 1 ∨ 2 nem letezik.



Peldak (folyt.)


(N;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).

([0; 1] ;6)


(]0; 1[ ;6)



(P(H) ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)


(N;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).([0; 1] ;6)

halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).(]0; 1[ ;6)



(P(H) ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)


(N;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).([0; 1] ;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).

(]0; 1[ ;6)



(P(H) ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)


(N;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).([0; 1] ;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).(]0; 1[ ;6)



(P(H) ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)


(N;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).([0; 1] ;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).(]0; 1[ ;6) halo esa ∧ b = min(a; b), a ∨ b = max(a; b).


(P(H) ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)




(P(H) ;⊆) halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)




(P(H) ;⊆) halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)




(P(H) ;⊆) halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) halo esa ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = . . . .

4 (L2; |=)

halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)





4 (L2; |=) halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}





Peldak (folyt.)





4 (L2; |=) halo.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

H = {1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

5 (H;4), ahol H = {0; 1; . . . ; 9} es a 4 b, ha egyenlok vagy a legalabb 2-velkisebb mint b: nem halo, mert pl. sem 1 ∧ 2, sem 1 ∨ 2 nem letezik.


Halok Halotulajdonsagok

Tartalom




4 Kiegeszıtesek



Korlatos halo

Korlatos halo

Egy halo korlatos, ha van legkisebb es legnagyobb eleme.

Jeloles

Legkisebb elem: O; legnagyobb elem: I.

Peldak

1 Oszthatosag szerinti rendezes

(N; |)

korlatos halo: O = 1, I = 0.(Z+; |

)

nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (I = 0).

(D12; |)

korlatos halo: O = 1, I = 12.

(D30; |)




Korlatos halo

Korlatos halo


Jeloles


Peldak


(N; |) korlatos halo: O = 1, I = 0.

(Z+; |

)

nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (I = 0).

(D12; |)


(D30; |)




Korlatos halo

Korlatos halo


Jeloles


Peldak


(N; |) korlatos halo: O = 1, I = 0.(Z+; |

)

nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (I = 0).(D12; |)


(D30; |)




Korlatos halo

Korlatos halo


Jeloles


Peldak



)nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (I = 0).

(D12; |)


(D30; |)




Korlatos halo

Korlatos halo


Jeloles


Peldak




(D12; |)

korlatos halo: O = 1, I = 12.(D30; |)




Korlatos halo

Korlatos halo


Jeloles


Peldak




(D12; |) korlatos halo: O = 1, I = 12.

(D30; |)




Korlatos halo

Korlatos halo


Jeloles


Peldak




(D12; |) korlatos halo: O = 1, I = 12.(D30; |)




Korlatos halo

Korlatos halo


Jeloles


Peldak




(D12; |) korlatos halo: O = 1, I = 12.(D30; |) korlatos halo: O = 1, I = 30.



Peldak (folyt.)

2 Nagysag szerinti (teljes) rendezes

(N;6)

nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (O = 0).([0; 1] ;6)


(]0; 1[ ;6)

nem korlatos halo, mert sem legkisebb, sem legnagyobb elemenincs.

3 (P(H) ;⊆)

korlatos halo: O = ∅, I = H.

4 (L2; |=)

korlatos halo: O = 0 (kontradikcio), I = 1 (tautologia).Megjegyzes: A legkisebb, legnagyobb elem jelolese is innen szarmazik.

Allıtas

Veges (elemu) halo korlatos is.

Bizonyıtas: Tfh. nincs legkisebb elem. Vegyunk egy minimalis elemet (veges halobanilyen biztosan van), es egy olyat, amellyel nem all relacioban (ilyen is van, mert aminimalis elem nem legkisebb). Ekkor e ket elemnek biztosan nincs infimuma, ezellentmondas.



Peldak (folyt.)


(N;6) nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (O = 0).

([0; 1] ;6)


(]0; 1[ ;6)


3 (P(H) ;⊆)


4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)


(N;6) nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (O = 0).([0; 1] ;6)

korlatos halo: O = 0, I = 1.(]0; 1[ ;6)


3 (P(H) ;⊆)


4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)


(N;6) nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (O = 0).([0; 1] ;6) korlatos halo: O = 0, I = 1.

(]0; 1[ ;6)


3 (P(H) ;⊆)


4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)


(N;6) nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (O = 0).([0; 1] ;6) korlatos halo: O = 0, I = 1.(]0; 1[ ;6)


3 (P(H) ;⊆)


4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)


(N;6) nem korlatos halo, mert nincs legnagyobb eleme (O = 0).([0; 1] ;6) korlatos halo: O = 0, I = 1.(]0; 1[ ;6) nem korlatos halo, mert sem legkisebb, sem legnagyobb elemenincs.

3 (P(H) ;⊆)


4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)



3 (P(H) ;⊆)

korlatos halo: O = ∅, I = H.4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)



3 (P(H) ;⊆) korlatos halo: O = ∅, I = H.

4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)



3 (P(H) ;⊆) korlatos halo: O = ∅, I = H.4 (L2; |=)


Allıtas





Peldak (folyt.)



3 (P(H) ;⊆) korlatos halo: O = ∅, I = H.4 (L2; |=) korlatos halo: O = 0 (kontradikcio), I = 1 (tautologia).

Megjegyzes: A legkisebb, legnagyobb elem jelolese is innen szarmazik.

Allıtas





Muveleti tulajdonsagok

Muveleti tulajdonsagok

Haloban

1 ∧ kommutatıv:a ∧ b = b ∧ a;

2 ∧ asszociatıv:a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c;

3 ∧ idempotens:a ∧ a = a;

4 ∧ abszorptıv ∨-ra nezve:a ∧ (a ∨ b) = a;

1 ∨ kommutatıv:a ∨ b = b ∨ a;

2 ∨ asszociatıv:a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c;

3 ∨ idempotens:a ∨ a = a;

4 ∨ abszorptıv ∧-ra nezve:a ∨ (a ∧ b) = a.

Disztributivitas

Mi a helyzet a disztributivitassal? Igaz-e barmely elem-harmasra, hogya ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) es a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)?



Pelda

1 (D12 \ {6} ; |) korlatos haloban

=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12

3 ({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) korlatos haloban

=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨

1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

2

3

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1

12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12

∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12

∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

2

3

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

2

3

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2

4

1

23

4

12

1

2

3

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2

4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3})

{1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧

{1; 2; 3} ∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3}

∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3}

∅ ∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2}

{3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3} ∅

∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3} ∅

∨ ∅{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{2}

{3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅

{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅

{1} ∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅

{1}

∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅

{1}

∅

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Pelda


=

=

=

6=6=6=

2 ∨ (3 ∧ 4) (2 ∨ 3) ∧ (2 ∨ 4)

2 ∨ 1 12 ∧ 4

2 4

1

23

4

12

1

23

4

12


=

=

=

6=6=6=

{1} ∧ ( {2} ∨ {3}) ( {1} ∧ {2}) ∨ ( {1} ∧ {3}){1} ∧ {1; 2; 3} ∅ ∨ ∅

{1} ∅∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}



Disztributıv halo

Disztributıv halo

Ha egy haloban teljesulnek a disztributivitasok, azaz barmely a, b, c eseten

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) es a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ,

akkor disztributıv halonak nevezzuk.

Pelda

1 (D12 \ {6} ; |) nem disztributıv halo.

3 ({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem disztributıv halo.4 (L2; |=) disztributıv halo (mert korabban tanultuk, hogy igazak a disztributivitasi

azonossagok).5 A tobbi? (Eleg nehez volna minden elem-harmasra vegigprobalgatni. . . )



Disztributıv halo

Disztributıv halo




Pelda

1 (D12 \ {6} ; |) nem disztributıv halo.3 ({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem disztributıv halo.

4 (L2; |=) disztributıv halo (mert korabban tanultuk, hogy igazak a disztributivitasiazonossagok).

5 A tobbi? (Eleg nehez volna minden elem-harmasra vegigprobalgatni. . . )



Disztributıv halo

Disztributıv halo




Pelda

1 (D12 \ {6} ; |) nem disztributıv halo.3 ({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem disztributıv halo.4 (L2; |=) disztributıv halo (mert korabban tanultuk, hogy igazak a disztributivitasi

azonossagok).

5 A tobbi? (Eleg nehez volna minden elem-harmasra vegigprobalgatni. . . )



Disztributıv halo

Disztributıv halo




Pelda

1 (D12 \ {6} ; |) nem disztributıv halo.3 ({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem disztributıv halo.4 (L2; |=) disztributıv halo (mert korabban tanultuk, hogy igazak a disztributivitasi

azonossagok).5 A tobbi? (Eleg nehez volna minden elem-harmasra vegigprobalgatni. . . )



Birkhoff-tetel

Birkhoff-tetel

Egy halo pontosan akkor disztributıv, ha nem tartalmaz az alabbi halokkal izomorfreszhalot:

Megjegyzesek

Az iment lattuk, hogy ezek nem disztributıvak. Az az allıtas, hogy (lenyegeben)csak ezek a nem-disztributıvak, nehez.

Mi az, hogy izomorf? Egyelore csak szemleletesen; pontosan majd az Algebraistrukturak fejezetben.

Mi az, hogy reszhalo?



Reszhalo

A (H;4) halo reszhaloja (K ;4), ha K ⊆ H es (K ;4) szinten halo ugyanazokkal az infes sup muveletekkel.

Peldak

1 (D12; |)-ben

(D12 \ {6} ; |)

nem reszhalo, mert nem egyezik a sup muvelet:2 ∨H 3 6= 2 ∨K 3; (bar o maga halo).

({2; 4; 6; 12} ; |)

reszhalo, mert K ⊆ H, es egyeznek a halomuveletek.

1

23

46

12

23

6

1

23

4

12

23

12

2

46

12



Reszhalo


Peldak

1 (D12; |)-ben

(D12 \ {6} ; |)

nem reszhalo, mert nem egyezik a sup muvelet:2 ∨H 3 6= 2 ∨K 3; (bar o maga halo).({2; 4; 6; 12} ; |)


1

23

46

12

23

6

1

23

4

12

23

12

2

46

12



Reszhalo


Peldak

1 (D12; |)-ben

(D12 \ {6} ; |) nem reszhalo, mert nem egyezik a sup muvelet:2 ∨H 3 6= 2 ∨K 3; (bar o maga halo).

({2; 4; 6; 12} ; |)


1

23

46

12

23

6

1

23

4

12

23

12

2

46

12



Reszhalo


Peldak

1 (D12; |)-ben

(D12 \ {6} ; |) nem reszhalo, mert nem egyezik a sup muvelet:2 ∨H 3 6= 2 ∨K 3; (bar o maga halo).({2; 4; 6; 12} ; |)


1

23

46

12

23

6

1

23

4

12

23

12

2

46

12



Reszhalo


Peldak

1 (D12; |)-ben

(D12 \ {6} ; |) nem reszhalo, mert nem egyezik a sup muvelet:2 ∨H 3 6= 2 ∨K 3; (bar o maga halo).({2; 4; 6; 12} ; |) reszhalo, mert K ⊆ H, es egyeznek a halomuveletek.

1

23

46

12

23

6

1

23

4

12

23

12

2

46

12



Peldak (folyt.)

3 (P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

nem reszhalo, mert nem egyezik a supmuvelet: {1} ∨H {3} 6= {1} ∨K {3}; (bar o maga halo).

({∅; {1} ; {3} ; {1; 3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

reszhalo, mert K ⊆ H, es egyeznek ahalomuveletek.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{1; 3}

{3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

3 (P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)

nem reszhalo, mert nem egyezik a supmuvelet: {1} ∨H {3} 6= {1} ∨K {3}; (bar o maga halo).({∅; {1} ; {3} ; {1; 3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)


∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{1; 3}

{3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

3 (P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem reszhalo, mert nem egyezik a supmuvelet: {1} ∨H {3} 6= {1} ∨K {3}; (bar o maga halo).

({∅; {1} ; {3} ; {1; 3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)


∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{1; 3}

{3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

3 (P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem reszhalo, mert nem egyezik a supmuvelet: {1} ∨H {3} 6= {1} ∨K {3}; (bar o maga halo).({∅; {1} ; {3} ; {1; 3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)


∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{1; 3}

{3}

{1; 2; 3}



Peldak (folyt.)

3 (P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem reszhalo, mert nem egyezik a supmuvelet: {1} ∨H {3} 6= {1} ∨K {3}; (bar o maga halo).({∅; {1} ; {3} ; {1; 3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) reszhalo, mert K ⊆ H, es egyeznek ahalomuveletek.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 3}

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1} {3}

{1; 2; 3}

∅

{1}

{1; 3}

{3}

{1; 2; 3}



Peldak


(D12; |) disztributıv halo.

(D12 \ {6} ; |) nem disztributıv halo.(D30; |) disztributıv halo.


(N;6) disztributıv halo.

([0; 1] ;6) disztributıv halo.(]0; 1[ ;6) disztributıv halo.

3 Reszhalmaz szerinti rendezes

(P(H) ;⊆) disztributıv halo.

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem disztributıv halo.

4 (L2; |=) disztributıv halo.



Peldak


(D12; |) disztributıv halo.(D12 \ {6} ; |) nem disztributıv halo.

(D30; |) disztributıv halo.










Peldak


(D12; |) disztributıv halo.(D12 \ {6} ; |) nem disztributıv halo.(D30; |) disztributıv halo.










Peldak




(N;6) disztributıv halo.([0; 1] ;6) disztributıv halo.

(]0; 1[ ;6) disztributıv halo.







Peldak




(N;6) disztributıv halo.([0; 1] ;6) disztributıv halo.(]0; 1[ ;6) disztributıv halo.







Peldak







({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem disztributıv halo.4 (L2; |=) disztributıv halo.



Peldak






(P(H) ;⊆) disztributıv halo.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆) nem disztributıv halo.



Halok Komplementum

Tartalom




4 Kiegeszıtesek


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum

Ha a (H;4) korlatos haloban az a ∈ H elemhez talalunk olyan a′ ∈ H elemet, amelyrea ∧ a′ = O es a ∨ a′ = I, akkor a′-t az a komplementumanak nevezzuk.

Peldak


(D12; |)-ben 3′ =

4, mert 3 ∧ 4 = 1 es 3 ∨ 4 = 12.(D12; |)-ben 2′ =

nincs.

(D12 \ {6} ; |)-ben 3′ =

4, de akar 3′ = 2 is lehet.


([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =

nincs, mert min(0,5; 0,5′) = 0es max(0,5; 0,5′) = 1 nem teljesulhet egyszerre.

1

23

4

12

6

3

4

22


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak


(D12; |)-ben 3′ = 4, mert 3 ∧ 4 = 1 es 3 ∨ 4 = 12.

(D12; |)-ben 2′ =

nincs.

(D12 \ {6} ; |)-ben 3′ =



([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =


1

23

4

12

6

3

4

22


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak


(D12; |)-ben 3′ = 4, mert 3 ∧ 4 = 1 es 3 ∨ 4 = 12.(D12; |)-ben 2′ =

nincs.(D12 \ {6} ; |)-ben 3′ =



([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =


1

23

4

12

6

3

4

2

2


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak


(D12; |)-ben 3′ = 4, mert 3 ∧ 4 = 1 es 3 ∨ 4 = 12.(D12; |)-ben 2′ = nincs.

(D12 \ {6} ; |)-ben 3′ =



([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =


1

23

4

12

6

3

4

2

2


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak


(D12; |)-ben 3′ = 4, mert 3 ∧ 4 = 1 es 3 ∨ 4 = 12.(D12; |)-ben 2′ = nincs.(D12 \ {6} ; |)-ben 3′ =



([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =


1

23

4

12

6

3

4

22


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak


(D12; |)-ben 3′ = 4, mert 3 ∧ 4 = 1 es 3 ∨ 4 = 12.(D12; |)-ben 2′ = nincs.(D12 \ {6} ; |)-ben 3′ = 4

, de akar 3′ = 2 is lehet.


([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =


1

23

4

12

6

3

4

22


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak


(D12; |)-ben 3′ = 4, mert 3 ∧ 4 = 1 es 3 ∨ 4 = 12.(D12; |)-ben 2′ = nincs.(D12 \ {6} ; |)-ben 3′ = 4, de akar 3′ = 2 is lehet.


([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =


1

23

4

12

6

3

4

2

2


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak




([0; 1] ;6)-ban 0,5′ =


1

23

4

12

6

3

4

22


Halok Komplementum

Komplementum

Komplementum


Peldak




([0; 1] ;6)-ban 0,5′ = nincs, mert min(0,5; 0,5′) = 0es max(0,5; 0,5′) = 1 nem teljesulhet egyszerre.

1

23

4

12

6

3

4

22


Halok Komplementum

Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban {1}′ =

{2; 3} , mert{1} ∧ {2; 3} = ∅ es{1} ∨ {2; 3} = {1; 2; 3}.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)-ban{1}′ =

{2} , de akar {1}′ = {3} is lehet.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1}

{2; 3}

{2} {3}

Eszrevetelek

Ha a′ = b, akkor b′ = a.

O′ = I (es nyilvan I′ = O).

Disztributıv haloban ha egy elemnek van komplementuma, akkor egyertelmu.


Halok Komplementum

Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban {1}′ = {2; 3} , mert{1} ∧ {2; 3} = ∅ es{1} ∨ {2; 3} = {1; 2; 3}.

({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)-ban{1}′ =

{2} , de akar {1}′ = {3} is lehet.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1}

{2; 3}

{2} {3}

Eszrevetelek





Halok Komplementum

Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban {1}′ = {2; 3} , mert{1} ∧ {2; 3} = ∅ es{1} ∨ {2; 3} = {1; 2; 3}.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)-ban{1}′ =

{2} , de akar {1}′ = {3} is lehet.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1}

{2; 3}

{2} {3}

Eszrevetelek





Halok Komplementum

Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban {1}′ = {2; 3} , mert{1} ∧ {2; 3} = ∅ es{1} ∨ {2; 3} = {1; 2; 3}.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)-ban{1}′ = {2}

, de akar {1}′ = {3} is lehet.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1}

{2; 3}

{2}

{3}

Eszrevetelek





Halok Komplementum

Peldak (folyt.)


(P({1; 2; 3}) ;⊆)-ban {1}′ = {2; 3} , mert{1} ∧ {2; 3} = ∅ es{1} ∨ {2; 3} = {1; 2; 3}.({∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1; 2; 3}} ;⊆)-ban{1}′ = {2} , de akar {1}′ = {3} is lehet.

∅

{1} {2} {3}

{1; 2; 3}

{1; 2} {1; 3} {2; 3}

{1}

{2; 3}

{2} {3}

Eszrevetelek





Boole-algebra Komplementum mint muvelet

Tartalom




4 Kiegeszıtesek



Boole-algebra

Peldak

Figyeljuk meg a korabbi disztributıv halokban hogyan kapjuk az elemekkomplementumat.


(D12; |):

csak 1′ = 12 es 3′ = 4 letezik,2-nek es 6-nak nincs komplementuma.(D30; |):

a′ = 30a .

2 Nagysag szerinti rendezes

([0; 1] ;6):

csak 0′ = 1 letezik, a tobbi]0; 1[-beli szamnak nincs komplementuma.

1

2 3

64

12

5

15

30

10



Boole-algebra

Peldak



(D12; |): csak 1′ = 12 es 3′ = 4 letezik,2-nek es 6-nak nincs komplementuma.

(D30; |):

a′ = 30a .


([0; 1] ;6):


1

2 3

64

12

5

15

30

10



Boole-algebra

Peldak



(D12; |): csak 1′ = 12 es 3′ = 4 letezik,2-nek es 6-nak nincs komplementuma.(D30; |):

a′ = 30a .


([0; 1] ;6):


1

2 3

6

4

12

5

15

30

10



Boole-algebra

Peldak



(D12; |): csak 1′ = 12 es 3′ = 4 letezik,2-nek es 6-nak nincs komplementuma.(D30; |): a′ = 30

a .


([0; 1] ;6):


1

2 3

6

4

12

5

15

30

10



Boole-algebra

Peldak



(D12; |): csak 1′ = 12 es 3′ = 4 letezik,2-nek es 6-nak nincs komplementuma.(D30; |): a′ = 30

a .


([0; 1] ;6): csak 0′ = 1 letezik, a tobbi]0; 1[-beli szamnak nincs komplementuma. 1

2 3

6

4

12

5

15

30

10



Peldak (folyt.)

3 Reszhalmaz szerinti rendezes (P(H) ;⊆):

a ∩ a′ = ∅a ∪ a′ = H

}⇒

a′ = a = H \ a.

4 Kovetkezmeny szerinti rendezes (L2; |=):

a ∧ a′ = 0

a ∨ a′ = 1

}⇒

a′ = ¬a.

Komplementum mint muvelet

Ha a (H;4) korlatos, disztributıv haloban a komplementum barmely elemre letezik,akkor egyvaltozos muveletkent tekinthetjuk.




Peldak (folyt.)


a ∩ a′ = ∅a ∪ a′ = H

}⇒ a′ = a = H \ a.


a ∧ a′ = 0

a ∨ a′ = 1

}⇒

a′ = ¬a.






Peldak (folyt.)


a ∩ a′ = ∅a ∪ a′ = H

}⇒ a′ = a = H \ a.


a ∧ a′ = 0

a ∨ a′ = 1

}⇒ a′ = ¬a.






Boole-algebra

Boole-algebra

Ha a (H;4) korlatos, disztributıv haloban barmely elemnek van komplementuma,akkor Boole-algebranak nevezzuk.

Peldak

1 (D12; |):

nem Boole-algebra.(D30; |):

Boole-algebra: a ∧ b = lnko(a; b), a ∨ b = lkkt(a; b), a′ = 30a .

2 ([0; 1] ;6):

nem Boole-algebra.

3 (P(H) ;⊆):

Boole-algebra: a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b, a′ = H \ a.

4 (L2; |=):

Boole-algebra: a ∧ b = a ∧ b, a ∨ b = a ∨ b, a′ = ¬a.



Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak

1 (D12; |): nem Boole-algebra.

(D30; |):


2 ([0; 1] ;6):

nem Boole-algebra.

3 (P(H) ;⊆):


4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak

1 (D12; |): nem Boole-algebra.(D30; |):


2 ([0; 1] ;6):

nem Boole-algebra.

3 (P(H) ;⊆):


4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak

1 (D12; |): nem Boole-algebra.(D30; |): Boole-algebra: a ∧ b = lnko(a; b), a ∨ b = lkkt(a; b), a′ = 30

a .

2 ([0; 1] ;6):

nem Boole-algebra.

3 (P(H) ;⊆):


4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak


a .2 ([0; 1] ;6):

nem Boole-algebra.3 (P(H) ;⊆):


4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak


a .2 ([0; 1] ;6): nem Boole-algebra.

3 (P(H) ;⊆):


4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak


a .2 ([0; 1] ;6): nem Boole-algebra.3 (P(H) ;⊆):

Boole-algebra: a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b, a′ = H \ a.4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak


a .2 ([0; 1] ;6): nem Boole-algebra.3 (P(H) ;⊆): Boole-algebra: a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b, a′ = H \ a.

4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak


a .2 ([0; 1] ;6): nem Boole-algebra.3 (P(H) ;⊆): Boole-algebra: a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b, a′ = H \ a.4 (L2; |=):




Boole-algebra

Boole-algebra


Peldak


a .2 ([0; 1] ;6): nem Boole-algebra.3 (P(H) ;⊆): Boole-algebra: a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b, a′ = H \ a.4 (L2; |=): Boole-algebra: a ∧ b = a ∧ b, a ∨ b = a ∨ b, a′ = ¬a.



Hatvanyhalmaz-algebra

Hatvanyhalmaz-algebra

Minden veges Boole-algebra izomorf valamely halmaz hatvanyhalmazanakBoole-algebrajaval, ezert szokas hatvanyhalmaz-algebranak is nevezni.

Az elso nehany hatvanyhalmaz-algebra, (P(H) ;⊆):

|H| = 0

|H| = 1

|H| = 2

|H| = 3

|H| = 4


Kiegeszıtesek

Kiegeszıtesek

Megjegyzesek

Ha a parcialisan rendezett halmaz az inf es a sup muveletek kozul csak azegyikre zart (az inf es a sup barmely ket elemre valo letezese csak az egyikeseteben teljesul), akkor a neve felhalo.

Hasznalatos a Boole-halo elnevezes is, de csak algebrai ertelmezesukben vankulonbseg.

A Boole-halo egy korlatos, disztributıv halo (ket muvelettel: inf es sup),amelyben minden elemnek van komplementuma.A Boole-algebra egy halmaz, rajta ertelmezett harom muvelettel: inf, supes komplementum.


Kiegeszıtesek

Szigoru rendezes

Szigoru rendezes

A szigoru parcialis rendezes olyan homogen binaris relacio, amely irreflexıv estranzitıv.

A szokasos jelolese ≺.

Ekkor szuksegkeppen antiszimmetrikus is.Tfh. nem az, vagyis letezik a 6= b, hogy a ≺ b es b ≺ a. A tranzitivitas miattekkor a ≺ a (es b ≺ b), amely ellentmond az irreflexivitasnak.

Minden fogalom hasonloan targyalhato, mint a parcialis rendezes eseten:

Hasse-diagramTetszoleges a, b elemek eseten negy eset fordulhat elo: a ≺ b, b ≺ a,a = b vagy a ‖ b. Ha csak az elso harom eset lehetseges, akkor a relaciotrichotom, a rendezes pedig teljes rendezes.A legkisebb, legnagyobb, minimalis, maximalis elemek, korlatok, inf, supertelmezese eseten az a = b esetekre kulon figyelni kell.


Kiegeszıtesek

Szigoru rendezes

Szigoru rendezes





Hasse-diagram

Tetszoleges a, b elemek eseten negy eset fordulhat elo: a ≺ b, b ≺ a,a = b vagy a ‖ b. Ha csak az elso harom eset lehetseges, akkor a relaciotrichotom, a rendezes pedig teljes rendezes.A legkisebb, legnagyobb, minimalis, maximalis elemek, korlatok, inf, supertelmezese eseten az a = b esetekre kulon figyelni kell.


Kiegeszıtesek

Szigoru rendezes

Szigoru rendezes





Hasse-diagramTetszoleges a, b elemek eseten negy eset fordulhat elo: a ≺ b, b ≺ a,a = b vagy a ‖ b. Ha csak az elso harom eset lehetseges, akkor a relaciotrichotom, a rendezes pedig teljes rendezes.

A legkisebb, legnagyobb, minimalis, maximalis elemek, korlatok, inf, supertelmezese eseten az a = b esetekre kulon figyelni kell.


Kiegeszıtesek

Szigoru rendezes

Szigoru rendezes





Hasse-diagramTetszoleges a, b elemek eseten negy eset fordulhat elo: a ≺ b, b ≺ a,a = b vagy a ‖ b. Ha csak az elso harom eset lehetseges, akkor a relaciotrichotom, a rendezes pedig teljes rendezes.A legkisebb, legnagyobb, minimalis, maximalis elemek, korlatok, inf, supertelmezese eseten az a = b esetekre kulon figyelni kell.


Kiegeszıtesek

Peldak

1 N a valodi oszto rendezessel.

2 (N;<) teljes rendezes.

(N;≺), ahol a ≺ b, ha a + 2 ≤ b.

3 (P(H) ;().


Kiegeszıtesek

Peldak

1 N a valodi oszto rendezessel.2 (N;<) teljes rendezes.

(N;≺), ahol a ≺ b, ha a + 2 ≤ b.3 (P(H) ;().


Kiegeszıtesek

Peldak


(N;≺), ahol a ≺ b, ha a + 2 ≤ b.

3 (P(H) ;().


Kiegeszıtesek

Peldak


(N;≺), ahol a ≺ b, ha a + 2 ≤ b.3 (P(H) ;().


rendezesi rel´ aci´ ok´ (bevezetes a sz´ am´ ´ıt aselm...

Documents