renaissance der ortskurven - algebraische kurven mit dgs in klasse 8 ein beitrag zur sinngebung von...

Renaissance der Ortskurven - Algebraische Kurven mit DGS in Klasse 8Ein Beitrag zur Sinngebung von Termen mit Ausblickauf die Mathematik der Oberstufe.

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum / Universität Lüneburg

www.doerte-haftendorn.de www.johanneum-lueneburg.de

MNU Bremerhaven 19. Nov. 2001T3-Tagung Wetzlar 21. September 2002

MNU Hannover 25. September 2002

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum / Universität Lüneburg, www.doerte-haftendorn.de

Renaissance der Ortskurven - Algebraische Kurven mit DGS, Klasse 8

Sinn ? 2 2 2 2 2( )( )x y y a k y ?

2 2 2 2 2( )( 1) 3x y y y

Sinngebung! !


Renaissance der Ortskurven - Algebraische Kurven mit DGS, Klasse 8

Weg:

? 2 2 2 2 2( )( )x y x a k x ?

2 2 2 2 2( )( 1) 3x y x x

Sinngebung! !

geometrisches Handeln


Einführungsbeispiel: Die Hundekurve

Handeln

Beobachten

Geometrisch

erfassen


Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes

Realisierenim DGS

Ortskurve erzeugen

Zeichnen



Die Hundekurve gibt es in drei

Typen Die Form hängt von der Leinenenlänge

im Vergleich zur Baumentfernung

ab.

Einflussgrößen

verändernHandeln, sehen,

systematisieren

C:\Programme\DynaGeo\DynaGeo.exe



Beschreibung durch eine Gleichung

2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y



Deutung der Elemente der Gleichung

2 2 2 2( ) ( 1) 4x y y y

2 2 2 2(0 3 )(3 1) 4 3 S(0/3) erzeugt eine wahre

Aussage.Aber was ist das?!?!?Oben ist ein weiterer

Bogen?!?!?

2 2 2 2( 1 )(1 1) 4 1x Mit y=1 lässt sich keine wahre Aussage erzeugen. y=a ist offenbar die Straße.

Warum haben wir das vorher nicht

gefunden?Hat es einen Sinn?



Der Leinen-Kreis schneidet zweimal

die Gerade BQ.

Handeln, sehen,

systematisierenDer

furchtsame Fiffi hat auch seinen Weg.

Punto strebt zum Baum,

Fiffi ist furchtsam.

C:\Programme\DynaGeo\DynaGeo.exe


Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des NikomedesKonchoiden-Zirkel Nikomedes

(200 v. Chr.)

Nikomedes kannte nur diesen Ast der Konchoide.

Er nannte die Kurve Muschellinie = Konchoide.


Allgemeine Kreis-Konchoiden

VerallgemeinerungMit einer Kreisstraße ergeben sich:

Die Straße, auf der Quo Vadis geht,

kann jede beliebige Kurve sein.

• Kardioide• Pascalsche Schnecken

• und andere Exoten


Pascalsche Schnecken als Kreis-Konchoiden

Pascalsche Schnecke Kreis-Straße,Baum auf dem Kreis

2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0k x y x y a x Benannt nach Etienne Pascal (um 1620), dem Vater von Blaise Pascal (um 1650)


Allgemeine Konchoiden

VerallgemeinerungParabel-Straße

Die Straße, auf der Quo Vadis geht,

kann jede beliebige Kurve sein.Kosinus-

Straße

Ausblick auf die Möglichkeiten der Mathematik mit CAS in

späteren Schuljahren


Gliederung

Die Konchoidenals Beispiel, was eine Familie algebraischer Kurven in Klasse 8 bieten kann

Sie sahen:

• Voraussetzungen

• Der Unterrichtsgang

• Weitere Kurven und Vertiefungen

• Die Klassenarbeit

• Ziele und Evaluation

• CD, Literatur und Internetquellen

Es folgen:

Bild: Angelika Lodwig Kl. 8FL


Voraussetzungen

• Voraussetzungen– Bekanntschaft mit dem DGS in Klasse 7

– Termbegriff, Wert eines Terms nach dem Einsetzen

– Deutung gewisser Gleichungen im Koodinatensystem, zumindest im linearen Fall

– Bekanntschaft mit Derive oder Excel für die Unterstützung beim Graphenzeichnen ist sinnvoll


Unterrichtesgang

• Der Unterrichtsgang– Handeln, (Seil,

Gelenkstangen,...) Geometrisch umsetzen

• Konchoide,

• Gärtner-Ellipse

• rutschende Leiter-Ellipse

• evt. weitere z.B. nach Konstruktionsbeschreibungen

– Gleichungen, mit CAS, variieren, den Kurven Zuordnen, experimentieren

– In Gruppen an weiteren Kurven beide Arten


Gleichungen

• Aufgabe– Gebt die Gleichungen in

Derive ein.

– Setzt für alle Platzhalter außer x und y Zahlen ein

– zeichnet die Kurven


Gleichungen Kurven notieren

• Weitere Aufgabe– Macht Euch Notizen, wie

die Kurven aussehen


Gleichungen Form Variieren

• Weitere Aufgabe– Variiert die „Form-

Platzhalter“


Gleichungen Experimentieren

• Weitere Aufgabe– Experimentiert

selbst mit solchen Gleichungen

9 8 99x y

Die Hypellipse

Neu in der Welt:


Klassenarbeit

• Klassenarbeit– Kurven im Rastersystemen

• Ellipse, Hyperbel, Parabel

• Kissoide, Strophoide, Versiera

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

F1

F2

-6 -4 -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

7

8

Q

M

B

P 8 solche Raster auf Arbeitsblättern


Klassenarbeit

• Klassenarbeit– Kurven im Rastersystemen– Konstruktion nach einer

Konstruktionsbeschreibung

– einzelne überschaubare geometrische Überlegungen, z.B. an einer variierten geometrischen Vorgehensweise

– Begründete Auswahl einer Gleichung zu graphisch gegebener Kurve


Ziele

Ein Termumformung ist sicher falsch, wenn der zugehörige Graph anders aussieht.

• Freude an der Mathematik

• Freude am eigenen Tun

• Sinngebung für Terme und Gleichungen

• Gefühl für die Wirkung von „winzigen“ Veränderungen

ZieleDie Ästhetik in der Mathematik wird von uns sträflich !!!!!!vernachlässigt!

• Kriterium für „nicht erlaubte Termumformung“

• Einbettung des Funktionsbegriffs in das Konzept der Relationen


Evaluation aus Schülersicht

• Bemerkungen eines Schülers:Evaluation

Als wir dann am Ende der 8. Klasse doch noch zu den Geraden kamen, war es sehr einfach, denn eine Gerade ist ja der simpelste Fall einer Kurve.

....Mathematikunterricht noch nie solch einen Spaß gemacht. Wir hätten auch gern noch weitergemacht,doch sind Schuljahre oft kürzer als man denkt..

4 Jahre später:Für mich waren das, was sonst so in Mathe kam, in den folgenden Jahren nicht nur Formeln und irgendwelche Punkte auf dem Papier.

.....ganz anderer Blick auf MatheJohannes Härke [Abi 2003]


Evaluation aus Lehrersicht

• Was ist das Termgeturne denn wert, wenn es weder beherrscht noch verstanden wird?

• Schon allein die Freude der Kinder an wahrhaft mathematischen Tun ist Grund genug!!!!!!!!!!!!

• Anwendungen aus dem „Leben“ sind schön und auch in diesem Thema vielfältig möglich.

• Wir stellen doch die Brille her, mit der die Kinder -und damit unsere Gesellschaft- die Mathematik sehen!

Evaluation aus Lehrersicht


Fazit

• Wir gehen auf Entdeckungsreisen in ein mathematisches Land, das in unserer eigenen Schul- und Studienzeit kaum mehr betreten wurde und nehmen unsere Schüler mit.

• Wir erproben die heute verfügbaren „Gefährte“ für lange nicht befahrene Wege.

• Wir besinnen uns auf zentrale und allgemeinbildende Ziele des Mathematik-

Unterrichts.

Fazit:

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.doerte-haftendorn.de

CD, Literatur, Hilfen

• Im Internet -und auf CD für Sie- habe ich – das Projekt Algebraische Kurven Kl 8 von 1998

mit Konstruktionsbeschreibungen, Bildern Geschichte, Anwendungen und Gleichungen, Literatur und Didaktischen Überlegungen.

– 12 schöne Arbeitsblätter, die Sie im Wokshop bekommen, (auch auf der CD)

– Einen großen Ergänzungsbereich Analytische Geometrie mit Bildern, Hinweisen und interaktiven Dateien in Euklid, Z.u.L. und Cinderella

– Viele weitere Hinweise und Hilfen zur Geometrie, zu Programmen, zu

vielen weiteren mathematischen Themen, insgesamt 300 mathematische Html-Dateien

• www.doerte-haftendorn.de• www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Wie erfahren Sie weiteres?

Kommen Sie in den Workshop!

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.doerte-haftendorn.de

CD, Literatur, Hilfen

• CD 5 € (alles drauf)• 12 Seiten Arbeitsblätter

(workshop-Teilnehmer frei) 1 €• www.doerte-haftendorn.de• www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt

Viele Freude!

Literatur:

Thomas Weth: Zum Verständnis des Kurvenbegriffs im MU

Hans Schupp: Höhere Kurven, Hans Schupp: Kegelschnitte,

diverse einzelne Anregungen aus den Heften und Vorträgen

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