UNIVERSITAˋ DEGLI STUDI ROMA TRE

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA

PROTEZIONE DAI RISCHI NATURALI

Idraulica

Relazione di fine tirocinio

Il modello numerico “Lattice Boltzmann” per le equazioni

Shallow Water

Tutor universitario Tirocinante

Prof. Michele La Rocca Silvia Berrino

Anno Accademico 2016/2017

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Sommario

1. Premessa ..................................................................................................... 3

2. Il metodo Lattice Boltzmann per le equazioni Shallow Water ................... 6

2.1. Introduzione .......................................................................................... 6

2.2. L’equazione di Boltzmann ................................................................... 6

2.3. Il Lattice (schema a reticolo) ................................................................ 7

2.4. La funzione di distribuzione di equilibrio .......................................... 10

2.5. Parametrizzazione ............................................................................... 11

2.6. Condizioni iniziali e al contorno ........................................................ 14

2.6.1. Condizioni al bordo no-slip .......................................................... 14

2.6.2. Condizioni iniziali ........................................................................ 15

2.7. Fasi per l’implementazione ................................................................ 15

3. Conclusioni, pregi e difetti del modello ................................................... 16

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1. Premessa

Per molti anni si è pensato che il calcolo approssimato delle soluzioni delle equazioni che

regolano i fenomeni reali, mediante i tradizionali algoritmi numerici, fosse il migliore

approccio nello studio dei processi naturali. In Fisica, l’evoluzione nel tempo dei processi è

governata da equazioni differenziali parziali non lineari, la cui soluzione può essere anche

molto complessa, a causa proprio della loro non linearità. Le metodologie classiche, nella

maggioranza dei casi, prevedono uno schema a volumi finiti per la discretizzazione della

formulazione integrale delle leggi di conservazione, mentre uno a differenze finite per quella

differenziale. La forte dipendenza delle soluzioni dalle condizioni al contorno è

frequentemente fonte di instabilità.

Solo negli ultimi decenni è stato proposto lo studio dei sistemi fisico-dinamici attraverso

l’uso di modelli che cercano di catturare il comportamento microscopico di particolari

fenomeni e di tradurlo, attraverso una semplice formulazione, in un modello numerico

effettivo, che simula processi fisici reali macroscopici.

Il primo ad applicare questo approccio alla fluidodinamica, fu Broadwell nel 1964, che lo

utilizzò per studiare onde d’urto nei gas; il modello di Hardy et al (modello HPP del 1976),

in cui per la prima volta è comparsa una discretizzazione spaziale con un lattice; infine il

modello di Frisch et al (modello FHP del 1986) che per la prima volta riuscì con successo a

ricondursi alle equazioni di Navier-Stokes.

Questi modelli, noti come Automi Cellulari, si basano sul concetto di fluido costituito da

particelle fittizie, descritte da variabili Booleane (indicano la loro presenza (1) o assenza

nella cella (0)), che operano consecutivamente processi di propagazione e collisione

(Streaming and Collision), spostandosi su una griglia reticolare discreta (Lattice). Ogni nodo

del reticolo è collegato ai suoi vicini tramite le velocità reticolari. Le particelle prima si

propagano tra le varie celle seguendo la propria direzione reticolare e in un secondo step,

dopo un intervallo di tempo, ogni particella si sposterà sul nodo vicino, a seconda della

propria direzione. Qualora sullo stesso nodo arrivassero più particelle da direzioni e con

velocità diverse, queste collidono e cambiano le loro direzioni in base ad un insieme di regole

di collisione. Regole di collisione appropriate dovrebbero conservare il numero di particelle

(cioè la massa), il momento e l'energia prima e dopo la collisione.

In fisica, a livello macroscopico, queste due fasi simulano i fenomeni di convezione e

diffusione rispettivamente.

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Questi modelli hanno rivoluzionato radicalmente l’analisi numerica nello studio dei

fenomeni fisici perché portano a soluzioni che sono prive di approssimazioni ed

arrotondamenti; e che quindi possiamo ritenere ‘esatte’ in quanto utilizzano quantità intere

per definire lo stato di ogni nodo. Questo fatto, se da un lato è utile per l’accuratezza che si

ottiene nella simulazione, dall’altro porta al manifestarsi di ‘fluttuazioni’ in sistemi costituiti

da molte particelle. Il problema che affligge in particolar modo gli AC è il verificarsi di

“rumori statistici”, oltre al fatto che la sua natura Booleana lo rende poco flessibile e che il

dover mediare su di un certo numero di nodi porta a dover considerare un numero

esageratamente grande di collisioni. Questo si verifica in quanto tutte le quantità in gioco

sono calcolate come media solo dopo aver applicato il metodo.

L’idea è, allora, quella di scambiare la valutazione dei due processi, ovvero sembrerebbe

essere più vantaggioso applicare il metodo direttamente alle variabili mediate. In questo

modo non si lavora più con variabili intere, ma reali comprese nell’intervallo [0,1].

Particolare tributo alla nascita di questa disciplina va attribuito al celebre fisico austriaco

Ludwig Eduard Boltzmann che introdusse l’equazione cinetica per descrivere le fasi di

propagazione e collisione delle particelle; basandosi su una formulazione probabilistica per

trattare un numero così elevato di particelle. La sua differenza fondamentale è che le variabili

Booleane sono sostituite da funzioni di distribuzione delle particelle.

Indispensabili furono anche i miglioramenti nella linearizzazione dell’operatore di collisione

dapprima nel 1989 da parte di Higuera & Jimenez, mentre più tardi da parte di diversi autori

(Qian et al. 1990, Chen et al. 1991), che contemporaneamente proposero l’adozione

dell’operatore linearizzato di Bhatnagar, Gross e Krook (1954), da cui deriva il nome

Equazione di Boltzmann-BGK. È da questa equazione che discende il Metodo Lattice

Boltzmann, una volta che sia stato discretizzato lo spazio delle velocità.

Da questo momento in poi, il metodo ha acquisito maturità tale da poter diventare una

alternativa ai metodi classici della fluidodinamica computazionale.

Recentemente alcuni autori hanno sviluppato il LBM per le equazioni di Shallow Water,

dimostrandone la sua efficienza per i flussi di acque poco profonde, dove predomina il moto

lungo la direzione orizzontale. Di conseguenza si assumono trascurabili la velocità e

l’accelerazione verticali e la distribuzione di pressione è di tipo idrostatica.

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Le equazioni bidimensionali per i flussi di Shallow Water si ottengono a partire dalle

equazioni che governano i flussi incompressibili, l’equazione di continuità e l’equazione di

Navier-Stokes; mediate sulla verticale:

1) Equazione di continuità della massa 2D

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝜕ℎ𝑢

𝜕𝑥+

𝜕ℎ𝑣

𝜕𝑦= 0

Equazione 1

2) Equazione di bilancio della quantità di moto 2D (Shallow Water) lungo x e y

𝜕(ℎ𝑢)

𝜕𝑡+

𝜕(ℎ𝑢2)

𝜕𝑥+

𝜕(ℎ𝑢𝑣)

𝜕𝑦= −𝑔

𝜕

𝜕𝑥(

ℎ2

2) + 𝜈

𝜕2(ℎ𝑢)

𝜕𝑥2+ 𝜈

𝜕2(ℎ𝑢)

𝜕𝑦2− 𝑔ℎ

𝜕𝑧𝑏

𝜕𝑥+ 𝐹

𝜕(ℎ𝑣)

𝜕𝑡+

𝜕(ℎ𝑢𝑣)

𝜕𝑥+

𝜕(ℎ𝑣2)

𝜕𝑦= −𝑔

𝜕

𝜕𝑦(

ℎ2

2) + 𝜈

𝜕2(ℎ𝑣)

𝜕𝑥2+ 𝜈

𝜕2(ℎ𝑣)

𝜕𝑦2− 𝑔ℎ

𝜕𝑧𝑏

𝜕𝑦+ 𝐹

Equazione 2

Dove u e v sono le componenti di velocità mediate sulla profondità.

Figura 1: Schema di riferimento per le equazioni SW

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Queste equazioni descrivono l’evoluzione dell’altezza idrica h e della velocità mediata. Il

termine forzante F include diverse forze come l’attrito di fondo, lo sforzo tangenziale del

vento sulla superficie libera e la forza di Coriolis; usati adeguatamente per modellare vari

effetti interessanti.

2. Il metodo Lattice Boltzmann per le equazioni Shallow

Water

2.1. Introduzione

Il lattice Boltzmann Method è costituito da tre pilastri fondamentali: l’equazione di

Boltzmann, lo schema a reticolo (Lattice) e la funzione di distribuzione di equilibrio.

2.2. L’equazione di Boltzmann

L’equazione cinetica di Boltzmann, che descrive le fasi di Streaming e Collisione a cui sono

sottoposte le particelle, è la seguente:

𝜕𝑓

𝜕𝑡+ 𝑐 ∇𝑓 = 𝛺

Equazione 3

dove al primo membro c’è la derivata totale della funzione di distribuzione 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑐, 𝑡),

sempre compresa tra 0 e 1, che ha preso il posto delle variabili Booleane che rappresentavano

le singole particelle e contiene le probabilità di trovare in un determinato punto dello spazio

x, nell’istante t, una particella fluida con velocità 𝑐. Al secondo membro, invece, c’è

l’operatore di collisione 𝛺.

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Introducendo l’approssimazione di BGK che linearizza l’operatore di collisione si ottiene

l’Equazione Boltzmann BGK:

𝜕𝑓

𝜕𝑡+ 𝑐 ∇𝑓 = −

1

𝜏(𝑓 − 𝑓𝑒𝑞)

Equazione 4

Dove 𝜏 è il tempo dimensionale di rilassamento legato direttamente alla viscosità ed 𝑓𝑒𝑞 è

la funzione di distribuzione di equilibrio.

Visto che le collisioni dipendono da quanto le distribuzioni si discostano da quelle di equilibrio,

l’operatore collisione assume un significato fisico che governa il rilassamento più o meno

repentino verso una condizione di equilibrio, che dipende dalla viscosità del fluido in esame.

2.3. Il Lattice (schema a reticolo)

La potenza della discretizzazione dell’equazione di Boltzmann consiste nell’adozione di una

griglia detta lattice. Questa griglia consta di nodi ugualmente spaziati tra loro e disposti

secondo uno schema preciso, che dipende dal tipo di formulazione. Ogni schema definisce

un set di direzioni predefinite con cui ogni nodo comunica con quelli adiacenti.

Il riscontro fisico di tali direzioni si ritrova nelle velocità molecolari c e, anche la scelta del

loro numero, è vincolato a precise leggi di simmetria indispensabili per ricavare le equazioni

di flusso.

In particolare nei casi bidimensionali si sono affermati due tipi di schemi: reticolo quadrato

e reticolo esagonale.

Vari studi numerici hanno dimostrato che il reticolo quadrato a 9 velocità, oltre a rispettare

le leggi di simmetria, fornisce risultati più accurati di quelli basati sull’esagonale; inoltre è

più semplice implementare differenti condizioni al contorno.

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Figura 2: Lattice (griglia bidimensionale)

L’espressione DnQz si riferisce ad uno spazio a n dimensioni con z-1 direzioni reticolari,

poiché si inserisce sempre una velocità nulla.

Definendo una spaziatura della griglia Δx e un timestep Δt, se si pone 𝑐 =Δ𝑥

Δ𝑡, si possono

scrivere le espressioni delle velocità reticolari per lo schema D2Q9:

𝑐0 = 𝑐 (0,0)

𝑐1,3 = 𝑐 (±1,0)

𝑐2,4 = 𝑐 (0, ±1)

𝑐5,7 = 𝑐 (±1, ±1)

𝑐6,8 = 𝑐 (∓1, ±1)

Il modulo delle suddette velocità può assumere i valori 0, c e 𝑐√2.

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Alla luce di questo è possibile riscrivere l’equazione di Boltzmann nel seguente modo:

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑡+ 𝑐𝑖⃗⃗⃗ ∇𝑓𝑖 = −

1

𝜏(𝑓𝑖 − 𝑓𝑖

𝑒𝑞) 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 0, … , 𝑧 − 1

Equazione 5

dove z è il numero di velocità scelte.

Dunque si ottiene un’equazione differenziale lineare del I ordine che può essere risolta

tramite una discretizzazione di tipo Lagrangiana, dal momento in cui il primo membro

dell’equazione è proprio la derivata materiale calcolata lungo le direzioni 𝑐𝑖⃗⃗⃗:

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑡+ 𝑐𝑖⃗⃗⃗ ∇𝑓𝑖 =

𝐷𝑓𝑖

𝐷𝑡 →

𝐷𝑓𝑖

𝐷𝑡= −

1

𝜏(𝑓𝑖 − 𝑓𝑖

𝑒𝑞)

→ 𝑓𝑖(�⃗� + 𝑐𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗Δ𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) − 𝑓𝑖(�⃗�, 𝑡) = −Δ𝑡

𝜏(𝑓𝑖 − 𝑓𝑖

𝑒𝑞)|�⃗�,𝑡

Equazione 6

Una volta note le funzioni di distribuzione, è possibile ottenere le grandezze macroscopiche

d’interesse calcolando i momenti statistici di ordine zero e uno di f (la massa delle particelle

viene omessa in quanto, nello spirito del LBGK tutte le grandezze sono rese adimensionali e

spesso unitarie), che in forma discretizzata risultano pari a:

∑ 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 𝑡) 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑑′𝑎𝑐𝑞𝑢𝑎

8

𝑖=0

∑ 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)𝑐𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ℎ𝑢 ⃗⃗⃗⃗ (𝑥, 𝑡) 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑙𝑎𝑟𝑔ℎ𝑒𝑧𝑧𝑎

8

𝑖=0

𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ =∑ 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)𝑐𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗8

𝑖=0

ℎ(𝑥, 𝑡)

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L’equivalenza tra le grandezze macroscopiche ottenute con il LBM e quelle che si

otterrebbero risolvendo le equazioni Shallow Water è garantita fino a quando il termine di

errore, che è dell’ordine di grandezza Fr2, si mantiene limitato. I risultati non sono più

attendibili per Fr 1.

2.4. La funzione di distribuzione di equilibrio

La determinazione della più adatta funzione di equilibrio gioca un ruolo essenziale nel

metodo Lattice Boltzmann in quanto la sua espressione varia a seconda dell’equazione dei

fluidi che si decide di risolvere attraverso l’equazione di Boltzmann.

In questo lavoro di tesi si procederà applicando il metodo LB per le equazioni di Shallow

Water 2D.

Generalmente le 𝑓𝑖𝑒𝑞

si ricavano da uno sviluppo in serie della distribuzione di Maxwell, ma

questa riconduce solo alle equazioni di Navier-Stokes per fluidi debolmente comprimibili.

Di fatto questo rappresenta un serio limite.

Dunque un’ottima alternativa usata nell’equazione di Boltzmann per la soluzione delle

equazioni Shallow Water è esprimere 𝑓𝑖𝑒𝑞

come una serie di potenze della velocità

macroscopica:

𝑓𝑒𝑞 = 𝐴 + 𝐵𝐜𝑖 ∙ 𝐮 + 𝐶(𝐜𝑖 ∙ 𝐮)2 + 𝐷(𝐮 ∙ 𝐮)2

Equazione 7

Dato che la funzione d’equilibrio ha la stessa simmetria del lattice, si ha che:

𝐴1 = 𝐴3 = 𝐴5 = 𝐴7 = �̅�, 𝐴2 = 𝐴4 = 𝐴6 = 𝐴8 = �̃�

Lo stesso vale anche per B, C e D.

Le espressioni delle suddette costanti si determinano imponendo tre condizioni che la

funzione di equilibrio deve soddisfare, e cioè la conservazione della massa e del momento:

∑ 𝑓𝑖𝑒𝑞(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 𝑡)

8

𝑖=0

Equazione 8

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∑ 𝑐𝑖𝑓𝑖𝑒𝑞

(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢𝑖(𝑥, 𝑡)

8

𝑖=0

Equazione 9

∑ 𝑐𝑖𝑐𝑗𝑓𝑖𝑒𝑞(𝑥, 𝑡) =

1

2𝑔ℎ2(𝑥, 𝑡)𝛿𝑖𝑗 + ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢𝑖(𝑥, 𝑡)𝑢𝑗(𝑥, 𝑡)

8

𝑖=0

Equazione 10

Sostituendo l’equazione 7 nelle suddette equazioni si ottengono:

𝐴0 = ℎ −5𝑔ℎ2

6𝑐2 , 𝐷0 = −

2ℎ

3𝑐2 ,

�̅� =𝑔ℎ2

6𝑐2 , �̅� =

ℎ

3𝑐2 , 𝐶̅ =

ℎ

2𝑐4 , �̅� = −

ℎ

6𝑐2 ,

�̃� =𝑔ℎ2

24𝑐2 , �̃� =

ℎ

12𝑐2, �̃� =

ℎ

8𝑐4, �̃� = −

ℎ

24𝑐2

2.5. Parametrizzazione

Le grandezze reticolari calcolabili attraverso l’algoritmo non corrispondono esattamente alle

grandezze reali.

Per ridurre il più possibile l’onere computazionale, si ricorre ad un approccio adimensionale.

Pertanto occorre distinguere tra le grandezze reali (o dimensionali), caratterizzate dal pedice

r, e quelle del lattice (reticolari o adimensionali), caratterizzate dal pedice LB.

Il ΔxLB e il ΔtLB sono entrambi unitari per come si è discretizzata l’equazione di Boltzmann.

Per quanto riguarda quelli reali, invece, partendo da un dominio di calcolo di estensione Lr,

noto il Δxr si ottiene la dimensione del lattice 𝐿𝐿𝐵 =𝐿𝑟

𝛥𝑥𝑟. Lo stesso vale per l’altra dimensione

del dominio ℎ𝐿𝐵 =ℎ𝑟

𝛥𝑥𝑟 , noto il valore ℎ𝑟. Il Δtr va calcolato sulla base di esigenze legate

alla stabilità e all’accuratezza.

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L’equazione discretizzata del metodo Lattice Boltzmann potrebbe essere affetta da

instabilità numerica come ogni altro metodo numerico. Molti calcoli computazionali hanno

mostrato che il metodo risulta stabile quando sono soddisfatte determinate condizioni.

Prima di tutto, dal momento in cui l’equazione di Boltzmann rappresenta un flusso d’acqua,

deve esserci il fenomeno di diffusione. Ciò implica che la viscosità cinematica sia positiva:

𝜈𝐿𝐵 = 𝑐𝑠2 (𝜏𝐿𝐵 −

1

2) > 0

Equazione 11

𝑐𝑠2 =

1

3 è 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑜𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒

Ne consegue che 𝜏𝐿𝐵 >1

2 .

Allora, nota la viscosità cinematica νr del fluido in esame, si è in grado di calcolare il tempo

di rilassamento 𝜏𝐿𝐵 invertendo la precedente formula.

Secondo poi, la velocità risultante 𝑢𝐿𝐵 deve essere più piccola della velocità con cui si

propagano le onde nel LB 𝑐𝑠2 in quanto è interessante risolvere le equazioni dei fluidi quanto

più incomprimibili; in altre parole il Numero di Mach deve essere

𝑀𝑎 =𝑢𝐿𝐵

𝑐𝑠≪ 1 → 𝑢𝐿𝐵 ≪ 𝑐𝑠 =

1

√3

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In generale 0.01 < 𝑢𝐿𝐵 < 0.1 , tuttavia, sfruttando la similitudine dinamica (uguaglianza del

numero di Reynolds), se ne può determinare il valore:

𝑅𝑒 =𝐿𝑟𝑢𝑟

𝜈𝑟=

𝐿𝐿𝐵𝑢𝐿𝐵

𝜈𝐿𝐵 → 𝑢𝐿𝐵 =

𝑅𝑒 𝜈𝐿𝐵

𝐿𝐿𝐵

Per quanto riguarda la densità ρ, il suo valore è semplicemente normalizzato rispetto a quella

del fluido di riferimento secondo un parametro scelto arbitrariamente, tale da renderla

inizialmente unitaria.

In ultimo, dato che il metodo Lattice Boltzmann è limitato a trattare solo fluidi con basse

velocità, consegue che questo è adatto per i flussi subcritici di Shallow Water; quindi il

Numero di Froude (rapporto tra la velocità della corrente e la celerità delle piccole

perturbazioni in una corrente di profondità h) deve risultare

𝐹𝑟 =𝑢

√𝑔 ℎ< 1

𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑔 = 9.81𝑚

𝑠2 è 𝑙′𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒

Il Numero di Froude definisce lo stato della corrente per fluidi a superficie libera; 𝐹𝑟 < 1 per

flussi subcritici, 𝐹𝑟 = 1 per flussi critici e 𝐹𝑟 > 1 per flussi supercritici.

Noto il valore del 𝐹𝑟 fisico, sfruttando la similitudine dinamica, si determina quello della

gravità adimensionale:

𝑔𝐿𝐵 =𝑢𝐿𝐵

2

ℎ𝐿𝐵𝐹𝑟2

Quest’ultima, in generale, deve essere 𝑔𝐿𝐵 < 10−3 per garantire la stabilità della

simulazione.

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2.6. Condizioni iniziali e al contorno

Il modello di Boltzmann ha avuto un così grande sviluppo non solo per il fatto di essere un

metodo alternativo e promettente nella simulazione numerica del moto dei fluidi, ma

specialmente perché permette di implementare, con notevole semplicità, le condizioni al

bordo con geometrie complicate.

Se ne possono considerare diversi tipi:

• CB periodiche;

• CB “no-slip”, cioè dove si considera nulla la velocità (u = 0) e vengono usate nel

caso di bordi solidi;

• CB “slip”, dove la componente normale della velocità è nulla (𝑢𝑛 = 0), mentre la

componente tangente soddisfa la seguente relazione sulla derivata prima: 𝜕𝑢

𝜕𝑛= 0.

2.6.1. Condizioni al bordo no-slip

Questo tipo di CB è quello che viene usato nel momento in cui ci troviamo di fronte a bordi

solidi, per i quali è richiesta la condizione che la velocità della particella sia nulla in tali nodi.

Quando una particella arriva, ad un certo istante di tempo, ad un nodo facente parte del

bordo, questa viene rimandata indietro nella stessa direzione da cui è arrivata, e la

distribuzione ad essa associata rimane inalterata, in modulo. Questo tipo di CB viene anche

definito, per tale motivo, condizioni ‘ bounce-back’.

Figura 3:collisione per la condizione al bordo no-slip

15 | P a g .

2.6.2. Condizioni iniziali

In generale, esistono due modi per specificare le condizioni iniziali nel metodo Lattice

Boltzmann. Nelle applicazioni del metodo alle equazioni Shallow Water si preferisce

imporre la condizione iniziale sulla funzione di distribuzione 𝑓𝑖, assegnandole il valore

precedentemente calcolato della funzione di equilibrio 𝑓𝑖𝑒𝑞 .

𝑓𝑖 = 𝑓𝑖𝑒𝑞

Vari test numerici hanno dimostrato che con questa condizione si sono ottenute soluzioni

accurate in svariate situazioni.

2.7. Fasi per l’implementazione

La procedura per ottenere la soluzione del modello LABSWE è molto semplice perché

comporta solo calcoli espliciti e consiste nei seguenti passi:

1) Si impongono i valori di profondità h(x,t) velocità u(x,t) iniziali dell’acqua in ogni

nodo della griglia;

2) Per questi valori imposti al tempo t, si calcolano le funzioni di equilibrio tramite

l’equazione 7;

3) Si calcolano le funzioni di distribuzione al passo successivo usando l’equazione 6,

che permette di ottenere l’evoluzione del sistema nel tempo;

4) Si effettua, a questo punto, la propagazione delle particelle presenti in ogni vettore

velocità del nodo (tranne che per le particelle che si trovano ferme nel centro), verso

quello adiacente;

5) Si calcolano i nuovi valori della profondità e della velocità attraverso le equazioni

dei momenti;

6) L’ultimo passo consiste nel calcolo delle nuove distribuzioni di equilibrio. Poi si

procede ripartendo dal passo 2 e si ripete la procedura finché non si ottiene la

soluzione.

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3. Conclusioni, pregi e difetti del modello

Tra i maggiori pregi del LBGK si possono enumerare:

1. La semplicità delle equazioni che governano la dinamica del fluido: l’intera

evoluzione è regolata dalle fasi di streaming e collision, anche qualora si vogliano

simulare casi particolarmente complessi;

2. E’costituito da calcoli aritmetici semplici, quindi è facile da programmare;

3. L’unica variabile da determinare è la funzione di distribuzione microscopica;

Il valore corrente della funzione di distribuzione dipende solo dalle condizioni

precedenti;

4. Le condizioni al contorno non solo possono sempre essere implementate, ma

richiedono sempre uno sforzo relativamente contenuto, a differenza degli approcci

numerici classici, dove sono fonte di difficoltà; di conseguenza il modello è adatto

anche a flussi in geometrie complesse come quelli nei mezzi porosi.

In generale l’accuratezza di una simulazione in LBGK dipende sostanzialmente da due

fattori: la discretizzazione e il numero di Mach. Il primo influisce nettamente sulla precisione

del risultato. Il secondo tiene conto del fatto che, seppure il Lattice Boltzmann Method

intrinsecamente tenga conto della compressibilità, la validità della formulazione è provata

solo nel caso di debole comprimibilità, che si verifica per bassi numeri di Mach:

𝑒𝑟𝑟 = 𝑂(𝑀𝑎2)

Questo, però, non risulta un limite in quanto per Ma<<1 sono compresi molti problemi di

fluidi d’acqua, infatti Ma=1 è per i gas.

Risulta invece molto limitante il numero di Froude per le equazioni di Shallow Water, in

quanto il termine di errore è dell’ordine di grandezza di:

𝑒𝑟𝑟 = 𝑂(𝐹𝑟2)

Molteplici test numerici hanno dimostrato che l’equivalenza del metodo con le equazioni

Shallow Water risulta vera per flussi subcritici con Frmax pari a 0.8; per valori superiori i

risultati non sono più attendibili. Questo rappresenta una forte limitazione in quanto

normalmente flussi di Shallow Water a superficie libera raggiungono lo stato critico

passando poi allo stato supercritico.

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