Soit deux ensembles A et B

A={ Istanbul, Ankara, Paris, Lisbonne, Lyon }

B={ Turquie, Portugal, France }

AxB= { (Istanbul,Turquie), (Istanbul,Portugal), (Istanbul,France),(Ankara,Turquie),

(Ankara,Portugal),…}

n(AxB)=n(A).n(B)=5.3=15

Activité

On peut représenter AxB par un schéma fléché

● Istanbul

● Ankara

● Paris

● Lisbonne

● Lyon

● Turquie

● Portugal

● France

A B

RelationA={ Istanbul, Ankara, Paris, Lisbonne, Lyon }

B={ Turquie, Portugal, France }

Ecrire l’ensemble des couples (x,y) tels que

x est élément de A

y est élément de B

x est la capitale de y

et noté cet ensemble par β

β ={(Ankara,Turquie),(Paris,France),(Lisbonne,Portugal)}

β ={(x,y): x est la capitale de y , x∈A et y ∈B }

Question : Quelle est la relation entre les

ensembles AxB et β ?

AxB= { (Istanbul,Turquie), (Istanbul,Portugal), (Istanbul,France),(Ankara,Turquie),(Ankara,Portugal),…}

β ={(Ankara,Turquie),(Paris,France),(Lisbonne,Portugal)}

Réponse : β est un sous ensemble de AxB

On peut représenter β par un schéma fléché

● Istanbul

● Ankara

● Paris

● Lisbonne

● Lyon

A

● Turquie

● Portugal

● France

B

Relation

Chaque sous ensemble de AxB est une relation de A vers B.

Définition:

( )BversAderelationuneest)AxB( β⇔⊂β

A≠ø et B≠ø

Exemple

• A={2,3,5} B={2,9,12,15}

• β={(x,y): x Є A, y Є B et « x divise y » }

• β={ (2,2),(2,12),(3,9),(3,12),(3,15),(5,15)}

Exemple

• A={3,5,15,22}

• β={(x,y): x, y Є A et « x est un multiple de y » }

• β={ (3,3),(5,5),(15,15),(22,22),(15,3),(15,5)}

Exemple

• A={0,1,2} B={-1,1,3,5,6}• Parmi les relations suivantes, déterminer celles qui sont

définies de A vers B.

• β={ (1,3),(0,-1),(3,5)}• β={ (1,5),(2,6),(3,-1)}

• β={ (1,3),(1,5),(0,2),(2,6)}• β={ (0,-1),(0,1),(0,5),(0,6),(0,3)}• β={ (2,3)}

• β={ }

PROPRIETES D’UNE RELATION

• Réflexivité :

On dit qu’une relation β est réflexive si et seulement si

pour tout x de A,

(x,x) Є β

Exemple 1

• A={a,b,c}

• β= { , , , , }(a,a) (b,b) (c,c) (a,b) (c,a)

β est-elle réflexive ?

Oui, car (a,a)є β ,

(b,b) є β ,

(c,c) є β

Exemple 2: A= {a,b,c}

• β = { }(a,a) (a,b) (b,a) (c,c) (c,b) (a,c)

β est-elle réflexive ?

Non , car (a,a)є β , (c,c) є β , Mais (b,b) n’est pas élément de β

EXEMPLE 3

• A= { 1, 2, 3, 4 }

• a) β= { (1,1), (2,2) , (3,3), (4,4) } • Elle est réflexive

• b) β= { (1,1), (1,2) , (3,3), (4,4), (4,2) }• Elle n’est pas réflexive

• Car (2,2) n’est pas un élément de β

• c) β={ (1,1),(2,2) ,(2,3),(3,4),(1,4),(3,3), (4,4) }

• Elle est réflexive

Symétrie

On dit qu’une relation β est symétrique si et seulement si

pour tout (x,y) de β ,

(y,x) Є β

EXEMPLE 1 :

• Exemple 1:

• A= { a, b, c }

• β= { , , , , , }(a,a) (a,b) (b,a) (b,c) (c,b) (c,c)

β est-elle symétrique ?

elle est symétrique

OUI

EXEMPLE 2 :

• A= { a, b, c }

• β= { , , , , , , }(a,a) (a,b) (b,a) (a,c) (b,c) (c,b) (c,c)

β est-elle symétrique ?

Elle n’est pas symétriqueCar (a,c) est un élément de βMais (c,a) n’est pas un élément de β

EXEMPLE 3 :

• A ={ 1, 2, 3, 4 }

• a) β= { (1,2) , (2,1) , (3,4) , (4,1) , (4,3) , (1,4), }

• SYMETRIQUE

• b) β= { (1,2) , (3,4) , (2,3) , (3,2) , (2,1) , (4,4) }

• PAS SYMETRIQUE

• c) β= { (1,4) , (2,2) , (3,2) , (4,4) , (4,1) }• PAS SYMETRIQUE

• d) β= { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) }• SYMETRIQUE

Antisymétrie

On dit qu’une relation β est antisymétrique si et seulement si

pour tout (x,y) de β , x≠y

(y,x) n’est pas un élément de β

EXEMPLE 1 :

• A= { 1, 2, 3 }

• β= { , , , , , }

• β est-elle antisymétrique ?

• OUI

(1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

EXEMPLE 2 :

• A= { 1, 2, 3 ,4 }

• β= { , , , , , , }

• β est-elle antisymétrique ?

• NON

(1,2) (2,3) (4,4) (3,3) (1,1) (3,2) (1,4)

Transitivité

On dit que la relation β est transitive.

( ) ( ) ( ) β∈β∈β∈β∈∀ z,xalors,z,yety,xSi,z,y,x

Exemple

• A={a,b,c,d}

• β ={ (a,a) , (b,c) , (c,c) , (c,d) , (b,d) }

β est-elle transitive ?

Oui

Exemple

• A={a,b,c}

• β ={ (a,a) , (b,b) , (c,c) , (a,b) , (b,c) , (c,b) }

β est-elle transitive ?

Non car (a,b)є β et (b,c) є β, mais (a,c) n’est pas élément de β

Exemple

• A={a,b,c} et β est une relation qui est définie dans A. Étudier les propriétés de β

a) β ={ (a,a) , (b,b) , (c,c) , (b,c) , (c,b) } Elle est réflexive Elle est symétrique Elle est transitive

b) β ={ (a,a) , (a,b) , (b,c) , (c,b) } Elle n’est pas réflexive Elle n’est pas symétrique Elle n’est pas antisymétrique Elle n’est pas transitive

c) β ={ (a,b) , (b,c) , (a,c) , (b,a) , (a,a) } Elle n’est pas réflexive Elle n’est pas symétrique Elle n’est pas antisymétrique Elle n’est pas transitive