LAS RELACIONES LAS RELACIONES HIPSOMÉTRICAS Y LAS HIPSOMÉTRICAS Y LAS FUNCIONES ESCALARESFUNCIONES ESCALARES

  Facultad de Ciencias Forestales. Facultad de Ciencias Forestales.

Universidad Nacional de Santiago del Estero.Universidad Nacional de Santiago del Estero.

AUTORESAUTORES

Lic.Josefa Lic.Josefa SanguedolceSanguedolce

Para el desarrollo de las Para el desarrollo de las competencias matemáticas, la cátedra competencias matemáticas, la cátedra de Matemática trata de proponer un de Matemática trata de proponer un contexto con referencia a situaciones contexto con referencia a situaciones reales, vinculadas al quehacer propio reales, vinculadas al quehacer propio de la carrera, lo cual permite al de la carrera, lo cual permite al estudiante integrar el conocimiento estudiante integrar el conocimiento académico teórico-práctico de la académico teórico-práctico de la matemática con el aspecto empírico matemática con el aspecto empírico del quehacer profesional.del quehacer profesional.

Para lograr esta integración en las Para lograr esta integración en las asignaturas Algebra y Geometría asignaturas Algebra y Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Analítica y Cálculo Diferencial e Integral de la Facultad de Ciencias Integral de la Facultad de Ciencias Forestales de la Universidad de Forestales de la Universidad de Santiago del Estero, en el desarrollo Santiago del Estero, en el desarrollo del tema funciones escalares, se del tema funciones escalares, se recurre a investigaciones realizadas recurre a investigaciones realizadas en al campo de las Ciencias en al campo de las Ciencias Forestales. Forestales.

En dichas investigaciones encontramos una En dichas investigaciones encontramos una amplia gama de relaciones definidas entre amplia gama de relaciones definidas entre distintos parámetros que sirven para dar distintos parámetros que sirven para dar referencias a cuestiones medibles en referencias a cuestiones medibles en especies arbóreas, que se adecuan a la especies arbóreas, que se adecuan a la aplicación de dichas funciones.aplicación de dichas funciones.

Según Husch, investigador en Ciencias Según Husch, investigador en Ciencias Forestales, et al (1982), la altura (h) y el Forestales, et al (1982), la altura (h) y el diámetro del fuste a 1.30 m del suelo ( d.a.p) diámetro del fuste a 1.30 m del suelo ( d.a.p) están correlacionados entre si. y dicha están correlacionados entre si. y dicha correlación puede ser expresada por correlación puede ser expresada por funciones matemáticas.funciones matemáticas.

Friedl (1988) y Crechi (1988) identificaron Friedl (1988) y Crechi (1988) identificaron a dichas correlaciones con el nombre de a dichas correlaciones con el nombre de relaciones hipsométricasrelaciones hipsométricas

Los modelos matemáticos que se ajustan Los modelos matemáticos que se ajustan a las distintas investigaciones realizadas a las distintas investigaciones realizadas con diferentes especies arbóreas fueron con diferentes especies arbóreas fueron propuestas por Husch ( 1982), Prodan propuestas por Husch ( 1982), Prodan (1997),Thren (1996), Inventario Forestal-(1997),Thren (1996), Inventario Forestal-Reflorestamento Rio Grande do Sul Reflorestamento Rio Grande do Sul (1983) y Myers (1992), entre otros.(1983) y Myers (1992), entre otros.

La altura total (h) y el diámetro a 1.30 La altura total (h) y el diámetro a 1.30 m (d.a.p.) de una especie arbórea, m (d.a.p.) de una especie arbórea, son dos variables correlacionadas son dos variables correlacionadas entre si y esas relaciones pueden ser entre si y esas relaciones pueden ser analizadas por modelos matemático-analizadas por modelos matemático-estadísticos. Esta correlación permite estadísticos. Esta correlación permite una economía muy importante en la una economía muy importante en la práctica pues posibilita, midiendo práctica pues posibilita, midiendo solamente el diámetro, estimar la solamente el diámetro, estimar la altura de un árbol, sin necesidad de altura de un árbol, sin necesidad de medirla.medirla.

La Tabla siguiente muestra relaciones La Tabla siguiente muestra relaciones entre la altura (h)y diámetro (d.a.p.) en entre la altura (h)y diámetro (d.a.p.) en árboles de algarrobo negro en La Maria árboles de algarrobo negro en La Maria Santiago del Estero utilizados por Santiago del Estero utilizados por investigadores del área de las Ciencias investigadores del área de las Ciencias Forestales.Forestales.

MODELO FUNCION 1 (Recta) h=4.3358+0.0653 .* d

2 (Paràbola) h=3.8847+0.1059*d-0.0008*d2 3 (Potencial ) h=exp(0.9490+0.2601*ln(d)) 4 (Exponencial) h= exp(1.4954+0.0110*d) 5 (Henriksen) h= 1.3039+1.4786*ln(d) 6 (Prodan tipo hiperbólico)

h=2

21.3

0.2657 1.8281* 0.1396*

d

d d

7 (Naslund) h=

2

2 1.31.6995 0.3940*

d

d

8 (Petterson (3)) h=

3

11.3

10.5488 1.2390*

d

9 h=1.1648+0.7693*ln(d) 10 (Petterson(2.5))

h=

2

2.3 1.32.2108 0.1899*

d

d

11 h=exp(1.9992-5.045*

1

d

12 Modelo doble logaritmico con componente parabólico.(Brown)

h= exp(0.5238+0.6024*ln(d)-0.0633*ln2(d) )

Un análisis de cada uno de los Un análisis de cada uno de los modelos posibilita al modelos posibilita al estudiante, no sólo efectuar el estudiante, no sólo efectuar el estudio matemático del mismo, estudio matemático del mismo, sino establecer las sino establecer las vinculaciones entre el modelo vinculaciones entre el modelo matemático y la situación real.matemático y la situación real.

Tratamiento de ejemplos concretos que Tratamiento de ejemplos concretos que vinculan las relaciones hipsométricas con las vinculan las relaciones hipsométricas con las

funciones exponencial y logarítmica .funciones exponencial y logarítmica .

El modelo el de Henriksen: El modelo el de Henriksen: h(d)= -1.52+3.30*log(d) h(d)= -1.52+3.30*log(d) responde a la función logarítmica.responde a la función logarítmica.

Las especies Quebracho blanco (Aspidosperma Las especies Quebracho blanco (Aspidosperma quebracho) y Quebracho colorado (Schinopsis balansae quebracho) y Quebracho colorado (Schinopsis balansae Engler) se ajustan a este modelo. (Engler) se ajustan a este modelo. (Establecimiento Experimental Establecimiento Experimental Las Marías- Cátedra de Estadística de la Facultad de Ciencias Forestales. Las Marías- Cátedra de Estadística de la Facultad de Ciencias Forestales. UNSE) UNSE)

Función logaritmoFunción logaritmo Según los datos extraídos de la especie Según los datos extraídos de la especie

Quebracho blanco, resulta la siguiente Quebracho blanco, resulta la siguiente tabla de valorestabla de valores::

d 12 14.70 18.10 20.50 22.60 23.20 24.80 30.10 33.50 42.70

h 6.68 7.34 8.03 8.44 8.76 8.85 9.07 9.71 10.06 10.86

3.3( 1.52 3.30.ln )

3.30, No tiene solución

dx

dx x

x

-1.52+3.30 . ln 10 =6.0785

MÍNIMO en el punto x=10, siendo dicho MINIMO igual a 6.0785

-1.52 + 3.30 . ln 50 =11.39

MÁXIMO en el punto x= 50, siendo el MAXIMO igual a 11.239

2

3.3)

3.3(

xxdx

d , la derivada segunda de f

-2

3.3

x=0, no tiene solución.

Grafica de la función logaritmicaGrafica de la función logaritmica

A partir de los valores obtenidos observamos lo A partir de los valores obtenidos observamos lo siguiente:siguiente:

f’(x) > 0 para cualquier valor de x en [10;50] , f es una f’(x) > 0 para cualquier valor de x en [10;50] , f es una función creciente en todo el intervalo.función creciente en todo el intervalo.

f’’(x) <0, la gráfica de la misma tiene concavidad f’’(x) <0, la gráfica de la misma tiene concavidad hacia abajo.hacia abajo.

f(10) es el mínimo y f(50) es el máximo en mismo f(10) es el mínimo y f(50) es el máximo en mismo [10;50] [10;50]

f’’(x)=0 no tiene solución, la curva no tiene puntos de f’’(x)=0 no tiene solución, la curva no tiene puntos de inflexión.inflexión.

Como la derivada segunda de la función, no Como la derivada segunda de la función, no tiene raíces podemos deducir que no se tiene raíces podemos deducir que no se encontrarán puntos de inflexión en la curva.encontrarán puntos de inflexión en la curva.

La curva corta al eje de las abscisas en el La curva corta al eje de las abscisas en el punto 1.585 y para valores comprendidos punto 1.585 y para valores comprendidos entre cero y éste último, se aproxima entre cero y éste último, se aproxima asintóticamente al eje negativo de las asintóticamente al eje negativo de las ordenadas. Para valores mayores que la ordenadas. Para valores mayores que la curva crece siguiendo el trazado de una curva crece siguiendo el trazado de una función logaritmo natural. función logaritmo natural.

En cuanto a la investigación podemos inferir En cuanto a la investigación podemos inferir lo siguientelo siguiente

A partir del gráfico se observa el A partir del gráfico se observa el comportamiento de la variable dependiente d con comportamiento de la variable dependiente d con relación a la altura h de la especie forestal se relación a la altura h de la especie forestal se corresponde con el comportamiento de la función corresponde con el comportamiento de la función logaritmo, representando una función creciente logaritmo, representando una función creciente en todo su dominio, siendo su dominio un en todo su dominio, siendo su dominio un conjunto de los números reales positivos.conjunto de los números reales positivos.

En términos de la experiencia realizada esto En términos de la experiencia realizada esto significa que la altura del árbol crece a medida de significa que la altura del árbol crece a medida de que crece su diámetro, con un crecimiento que crece su diámetro, con un crecimiento sostenido pero en forma más lenta que si se sostenido pero en forma más lenta que si se tratara de un crecimiento exponencial. tratara de un crecimiento exponencial.

La función exponencialLa función exponencial

Para la especie Pinus radiata , de datos Para la especie Pinus radiata , de datos obtenidos en otro lote, se deduce que la obtenidos en otro lote, se deduce que la relación entre el diámetro y la altura relación entre el diámetro y la altura responde a una función exponencial de la responde a una función exponencial de la forma: forma:

h(d)= e 3.258-9.2486 (1/d)h(d)= e 3.258-9.2486 (1/d)

cuyo gráfico aproximado, en el intervalo cuyo gráfico aproximado, en el intervalo [10;60] es el siguiente:[10;60] es el siguiente:

El gráfico aproximado , en el intervalo El gráfico aproximado , en el intervalo [10;60] es el siguiente:[10;60] es el siguiente:

Otros modelos describen los crecimientos e Otros modelos describen los crecimientos e incrementos en altura y diámetro de algunos árboles incrementos en altura y diámetro de algunos árboles según la edad de los mismos.según la edad de los mismos.

Se ejemplifica con el modelo de Chapman-Richards Se ejemplifica con el modelo de Chapman-Richards como el mejor modelo que se ajusta a la relación como el mejor modelo que se ajusta a la relación edad-altura para la especie Pinus herreraeedad-altura para la especie Pinus herrerae[1][1] , cuya , cuya expresión y gráfico son los siguientes. expresión y gráfico son los siguientes.

Alt= 37.18067157[1-exp(-0.03863296 edad)]1.88674927Alt= 37.18067157[1-exp(-0.03863296 edad)]1.88674927

[1][1] Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Crecimiento en Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae Martinez en cd. Hidalgo, Michoacán.Martinez en cd. Hidalgo, Michoacán.

Alt= 37.18067157[1-exp-0.03863296 Alt= 37.18067157[1-exp-0.03863296 edad]1.88674927edad]1.88674927

El modelo de Gompertz se toma como el mejor El modelo de Gompertz se toma como el mejor modelo para representar la relación edad-diámetro a modelo para representar la relación edad-diámetro a 2.84 m de la especie 2.84 m de la especie Pinus herrerae Pinus herrerae [1][1] ya que ya que presentó el menor valor del CME presentó el menor valor del CME

( 26.8730) y el valor mas alto del R2 (0.9697). ( 26.8730) y el valor mas alto del R2 (0.9697).

Una curva de Gompertz es la gráfica de una función Una curva de Gompertz es la gráfica de una función de la forma G(x)=a exp(.Be-kx) para x>0, donde A y B de la forma G(x)=a exp(.Be-kx) para x>0, donde A y B son constantes positivas.son constantes positivas.

[1][1] Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Extraído de Calvillo Garcia, J; Cornejo Oviedo, E; Valencia Manzo, S y Flores Lopez, S. Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Crecimiento en altura y diámetro de árboles de Pinus herrerae Pinus herrerae Martinez en cd. Hidalgo, Martinez en cd. Hidalgo, Michoacán.Michoacán.

Del estudio de estas dos últimas funciones Del estudio de estas dos últimas funciones se deduce que el crecimiento en altura es se deduce que el crecimiento en altura es lento en los primeros cinco años, después, lento en los primeros cinco años, después, es más rápido hasta los 50 años alcanzando es más rápido hasta los 50 años alcanzando una altura de 26 metros, luego se presenta una altura de 26 metros, luego se presenta un punto de inflexión de los 50 a los 70 años un punto de inflexión de los 50 a los 70 años a una altura de 30 m, a partir de los 70 años, a una altura de 30 m, a partir de los 70 años, la curva se estabiliza hasta los 110 años.la curva se estabiliza hasta los 110 años.

El crecimiento en diámetro es continuo El crecimiento en diámetro es continuo desde los primeros cinco años hasta los 60, desde los primeros cinco años hasta los 60, alcanzando un diámetro de 38 cm, alcanzando un diámetro de 38 cm, posteriormente, la curva es convexa de los posteriormente, la curva es convexa de los 60 hasta los 80 y a partir de esta edad se 60 hasta los 80 y a partir de esta edad se estabiliza hasta los 110 años. estabiliza hasta los 110 años.

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

A partir de las investigaciones realizadas en el campo A partir de las investigaciones realizadas en el campo de las ciencias forestales el alumno puede de las ciencias forestales el alumno puede comprender e interpretar la realidad dentro de un comprender e interpretar la realidad dentro de un contexto específico y cambiante, empleando los contexto específico y cambiante, empleando los conceptos y procedimientos matemáticos que provee conceptos y procedimientos matemáticos que provee la modelización de fenómenos.la modelización de fenómenos.

Teniendo en cuenta los casos considerados, es decir Teniendo en cuenta los casos considerados, es decir el estudio de las correlaciones existentes entre el el estudio de las correlaciones existentes entre el diámetro y la altura de los árboles con datos diámetro y la altura de los árboles con datos extraídos de los bosques naturales, nos permite extraídos de los bosques naturales, nos permite acercar los conocimientos específicamente acercar los conocimientos específicamente matemáticos con el conocimiento empírico propio del matemáticos con el conocimiento empírico propio del quehacer profesional.quehacer profesional.

Además , estas relaciones definidas Además , estas relaciones definidas como relaciones hipsométricas como relaciones hipsométricas posibilitan que el alumno aplique sus posibilitan que el alumno aplique sus saberes previos para acceder a nuevos saberes previos para acceder a nuevos conocimientos , desarrollando conocimientos , desarrollando competencias en un contexto de competencias en un contexto de situaciones reales, integrando los situaciones reales, integrando los saberes en el marco de la saberes en el marco de la interdisciplinariedad interdisciplinariedad

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA CALVILLO GARCÍA, J; CORNEJO OVIEDO, E; VALENCIA MANZO, S; FLORES CALVILLO GARCÍA, J; CORNEJO OVIEDO, E; VALENCIA MANZO, S; FLORES

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