Relaciones Simétricas

Geovanni Forero charryEstudiante de ing. De sistemas

Relación simétrica

Una relación binaria sobre un conjunto , es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante , entonces ese otro también está relacionado con el primero.

Es decir,

En tal caso, decimos que cumple con la propiedad de simetría.

La aplicación de cualquier relación sobre un conjunto , se representa con el par ordenado( , ).

La relación = es simétrica, mientras que < no lo es. Generalmente, se tiene lo siguiente:

Definición1:Una relación R sobre un conjunto X es simétrica si, para todo .x e y perteneciente a X, xRy implica yRx. Por consiguiente,R es simétrica ≡ vxvy(xRy=>yRx)

La relación hermano es simétrica porque, si .x es un hermano de y. entonces y es un hermano

de x. En el conjunto de los seres humanos, la relación hermano varón es un ejemplo de relación.no simétrica. Si x es varón mientras que y es hembra, entonces .x puede ser hermano varón de y, pero y, ciertamente, no puede ser hermano varón de x. Sin embargo, sobre el conjunto de los varones, la relación hermano varón es simétrica. La relación de similitud sobre el conjunto de los triangulos en un plano es reflexiva y simétrica.

La relación < es definitivamente no simétrica. De hecho, < es un ejemplo de una relación antisimétrica, como indica la siguiente definición:

Definición1.1:

Una relación R sobre X es antisimétrica si, para todo y=x, xRy excluye a yRx. En otras palabras, si se alcanzan xRy e yRx, entonces x=y. Por consiguiente,

R es antisimétrica ≡vxvy(xRyΛyRx=>x =y)

Ejemplo

Un ejemplo de relación antisimétrica es la relación de subconjunto. De hecho, si A y B son dos conjuntos, y si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de A, entonces A= B. En el caso de que una relación sea no reflexiva, la Definición1.1 significa que xRy excluye a yRx.

Figuras

(a) Distribuida

(b) Anillo

(c) Estrella

Por ejemplo

la relación "madre de" es antisimétrica porque “x es madre de y" excluye a "y es madre de x". La relación "ama", tal que "x ama a y" no es ni simétrica ni antisimétrica. Existen amores no correspondidos, como indican muchas novelas y poemas.

En el digrafo de una relación simétrica, todos los arcos son bidireccionales; esto es, si existe un arco dirigido desde x a y, existe también un arco en la dirección opuesta. Un ejemplo de tal digrafo está dado por la red de tipo estrella mostrada en la Figura 1.c Cuando representamos una relación simétrica, es frecuente dibujar sólo un arco simple entre dos nodos cualesquiera, y este arco representa ambas direcciones. Entonces suelen omitirse las flechas. Si se hace esto, la figura resultante ya no es un grafo dirigido, puesto que no existen direcciones, sino un grafo no dirigido o simplemente un grafo.

Si una relación es antisimétrica, entonces ningún arco tiene un compañero que vaya en la dirección opuesta. La red de tipo anillo de la Figura 1.b es un ejemplo de relación antisimétrica. Algunas relaciones no son ni simétricas ni antisimétricas. Un ejemplo está dado por la Figura1.a. En este caso, existe un arco que es bidireccional, mientras que los restantes arcos son unidireccionales.

Si MR= [mij] es la matriz de una relación, entonces mij = mji si y sólo si la matriz es simétrica. Esto significa que la matriz MR debe ser simétrica con respecto a la diagonal. Una matriz es antisimétrica si y sólo si mij= 1 hace necesario que mji= 0. Esto es ligeramente más difícil de descubrir. Las siguientes matrices ilustran las nociones de simetría y antisimetría. Observe que en rela ciones antisimétricas tanto mij como mji pueden ser 0.

Simétrica Antisimétrica 101 001 010 010 100 010Ninguna de las dos 101 000 111

Relación Transitiva

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Una relación R es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Ejemplos

La relación binaria "menor que" en los enteros es transitiva:

Si y entonces .

Así, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2<7.

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

La relación binaria "divide a" en los enteros también es transitiva. Denotando por a | b a la expresión "a divide a b":

Si y entonces .

Ejemplos

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple y pero no se cumple puesto que X es subconjunto de Z.

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

Transitividad

Si .x es más alto que y, e y es más alto que z, inmediatamente concluimos que .x es más alto que z. Similarmente, si x es un antepasado de y, e y es un antepasado de z, entonces .x tiene que ser un antepasado de z. Finalmente, si x = y, e y = z, entonces x = z. Todos estos argumentos dependen de la transitividad, una propiedad que se define como sigue:

Definición:

Una relación R sobre X es transitiva si, para todo x, y, z en X, siempre que xRy e yRz, entonces xRz. Esto es,

R es transitiva ≡ VxVyVz(xRy yRz =>xRz)

Se cuenta la relación más alto que, la relación antepasado y la relación igualdad. Además, la relación < es transitiva porque x < y, e y < z implica x < z. Finalmente, la relación subconjunto sobre conjuntos es transitiva porque si A C B y si B C C entonces A C C.

En muchos casos, x = y, e y = z se abrevia en la forma x = y = z. Se puede utilizar una notación similar para otras relaciones transitivas. Por ejemplo, x < y < z significa realmente que x < y, e y < z. En el caso de la relación subconjunto, se escribe A C B C C para expresar A C B y B C C.

Entre los ejemplos de relaciones transitivas

Por consiguiente

una relación es transitiva si y sólo si todos los pares de objetos que pueden ser alcanzados a través de un intermediario pueden también ser alcanzados directamente. La relación R2 entonces, tiene que ser un subconjunto de R. Por lo tanto, una relación R es transitiva si y sólo si R2 C R. Esto se puede aprovechar para demostrar la transitividad.

Relaciones Cerradura

Definición. Sea R una relación en un conjunto A Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es reflexiva, con símbolos:

(V R’ reflexiva) (A C R’ C ref( R )) => R’ = ref( R )) Una cerradura simétrica sim( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es simétrica, con símbolos: (V R’ reflexiva) (A C R’ C ref( R )) => R’ = ref( R )) Una cerradura transitiva trans( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es transitiva, con símbolos: (V R’ reflexiva) (A C R’ C ref( R )) => R’ = ref( R )

La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de una relación es muy simple de encontrar, solamente se le agregan los pares necesarios de una forma directa. Cuando conocemos la matriz asociada a la relación, la forma de encontrar las cerraduras anterores es muy simple.

Teorema:

Sea R una relación en A y MR su matriz asociada. La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de R son únicas y se pueden obtener mediante las matrices siguientes

Mref( R ) = MR U In, donde In es la matriz identidad de orden |A|.

Msim( R ) = [a ij], donde a ji = 1 si a ij = 1 en MR.

La Matriz identidad In de orden n es:

1 ... 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ... 1 sea que para lograr la cerradura

reflexiva debmos agregar 1′s en la diagonal, para la cerradura simétrica debemos agregar 1′s en luagres simétricos a la diagonal principal donde existan 1′s.