1 MSICA Y MATEMTICAS

La armona de los nmeros

VICENTE LIERN CARRINTOMS QUERALT LLOPIS

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MOT

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12 de mayo de 2008DA ESCOLAR DE LAS MATEMTICAS

2La msica se ocupa de los nmeros sonorosG. Zarlino, compositor y terico italiano (1517 1590)

Descubrimiento de las razones de la consonancia por Tubal y Pitgoras.Gaffurio, Theorica musice, 1492.

La relacin entre msica y matemticas es mucho ms estrecha de lo que podrapensarse a primera vista. Por un lado, las matemticas son la herramienta fundamentalpara el tratamiento de los procesos fsicos que generan la msica; pero, por otro lado,las matemticas estn en la propia esencia de este arte. La manera de elegir las notasmusicales, su disposicin, las tonalidades, los tiempos e incluso gran parte de losmtodos de composicin son pura matemtica.

En el siglo VI a. C., los pitagricos completan y difunden la prctica caldea deseleccionar las notas musicales a partir proporciones entre las longitudes de cuerdastirantes. Crean as un vnculo entre Msica y Matemticas que no se ha roto hastanuestros das. Muestra de esta relacin es el uso, en ocasiones intuitivo, del nmeroureo en las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfona de Beethoven, o, msrecientemente, en algunas obras de Bartk, Messiaen y Stockhausen. Por su parte,matemticos de todas las pocas han hecho de la msica su objeto de estudio y, en laactualidad, tanto en revistas de Msica como de Matemticas o en Internet, puedenencontrarse multitud de documentos en los que la teora de grupos, los fractales, lateora del caos, o la lgica fuzzy, por ejemplo, se utilizan de forma prctica en lacreacin y el anlisis de las obras musicales.

3EL MONOCORDIO

Aunque el hombre siempre se plante con qu criterio la msica admite unos sonidos yrechaza otros, nos remontaremos como mnimo a la Mesopotamia del siglo VI a.C. All,muchos fenmenos csmicos eran representados por la comparacin entre las longitudesde cuerdas tirantes. De este modo aparecieron cuatro proporciones que regan tanto elUniverso, como la msica o el destino de los hombres: 1/1, 1/2, 2/3 y 3/4. Estasrelaciones, llamadas actualmente unsono, octava, quinta y cuarta, respectivamente,proporcionaban los sonidos consonantes y daban lugar a la escala caldea que,probablemente, contena 7 notas. Estas proporciones, vistas como la correlacin entreciertos intervalos musicales y los primeros nmeros naturales, hacen de Pitgoras eldescubridor del mtodo para obtener la escala musical.

El instrumento utilizado por Pitgoras fue el monocordio. El artilugio consista en unasimple cuerda de longitud proporcional a 12 tendida sobre una tabla, con una clavija opuente mvil deslizable entre cuerda y tabla, para obtener cuerdas de diversa longitud,en particular las proporcionales a 9, 8 y 6, manteniendo en tensin los dos trozos que elpuente mvil divida a la cuerda, y permitiendo adems que uno de ellos pudiera vibrarindependientemente del otro. Al pulsar la cuerda completa se produca un sonido quePitgoras tom como primario, el tono. Moviendo el puente y pulsando las cuerdasresultantes proporcionales a 9, 8 y 6, se producan respectivamente la cuarta, la quinta yla octava. Los sonidos producidos mediante otras posiciones del puente mvilresultaban disonantes, o al menos no tan consonantes como los anteriores.

Construye tu monocordio

Necesitars: una tabla de madera de unos 40 cm. de longitud, dos clavos, una cuerda(preferiblemente de guitarra), y una goma elstica.

Construccin:

1. Clava los clavos sobre la tabla de manera que entre ellos haya 24 cm. delongitud (o bien una distancia que sea mltiplo de 12).

1. Pega sobre la tabla una tira de papel en la que dibujars una lnea rectamarcando las fracciones 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 y 1/6, en los puntos donde cadafraccin indique lo que representa la distancia desde ese punto al clavo msprximo respecto de la distancia total entre ambos clavos.

1. Coloca la cuerda alrededor de los clavos de manera que quede bien tensada.1. La goma elstica la introduciremos por uno de los extremos de la tabla y nos

servir para fijar un punto determinado de la cuerda.

4Experiencia:

Pulsa la cuerda del monocordio varias veces y escucha el sonido que sta emite.Ests escuchando la nota principal.

Coloca la goma elstica de manera que sujete la cuerda por el punto donde estsealada la fraccin 1/2, y haz vibrar una de las dos partes de la cuerda. Qudiferencia aprecias? Lo que has escuchado se corresponde con el mismo tonopero en una octava superior.

Ahora desplaza la goma elstica sucesivamente hasta el punto donde estnfracciones 1/3, 1/4, 1/5 y 1/6, y haz vibrar el lado ms largo de la cuerda. Lossonidos que escuchars se corresponden con la quinta ,la cuarta, la tercera mayory la tercera menor, respectivamente.

JUEGOS CON MSICA Y MATEMTICAS

El objetivo de estos juegos es la familiarizacin del alumno con los valores de las notas,mediante un entorno ldico que motiva al estudiante a participar activamente. Tanto conla baraja como con los domins, lo que haremos es identificar el valor de cada nota yoperar con dicho valor. Aunque permiten jugar con los colores, es inevitable conocer losvalores relativos de las notas para poder contar puntos una vez finalizado el juego.

Las figuras tienen un valor relativo cuya relacin viene dada por potencias de 2. As,una redonda dura lo mismo que dos blancas, que cuatro corcheas, etc. Adems, si a unanota (o silencio) se le aade un punto a la derecha, puntillo, sta se incrementa en lamitad de su valor. As, una negra con puntillo equivale a 3 corcheas. Las equivalenciasentre notas son las siguientes:

Redonda Blanca Negra Corchea Semicorchea Fusa SemifusaNotas w = 2 h = 4 q = 8 e = 16 s = 32 z = 64 eSilencios W = 2 H = 4 Q = 8 E = 16 S = 32 =z 64e

5A partir de estos valores, podemos disear diversos juegos de los que aqu presentamosuna muestra.

Baraja espaola

Est formada por 48 cartas clasificadas en 4 palos, numerados del 1 al 12, y 2comodines. Los oros, espadas, copas y bastos tradicionales se han sustituido por figurasde notas (moradas y verdes) y por silencios (azules y rojos). El 1 es la corchea o silenciode corchea y el resto de valores se obtienen calculando su equivalencia en corcheas o

silencios. Por ejemplo, dos corcheas (o sus silencios) son el 2, q q q e = 7 erepresenta el 7 del palo e, etc. Con esta baraja se puede jugar a cualquier modalidadpara la que se emplee la baraja espaola y las reglas de juego sern las mismas.

DominSe han sustituido los puntos domin por figuras de notas siguiendo el criterio de sumade tiempos o del valor relativo de las notas. Una vez establecida la equivalencia entrepuntos y notas, las reglas del domin son las habituales.

Domin de sumas. Si tomamos el valor de la corchea como el 1, dos corcheas, o sussilencios, sern el 2, y as sucesivamente. En este domin, los nmeros no se expresancon una sola combinacin de notas, pero para facilitar el desarrollo del juego se hacoloreado cada nmero con un color diferente. La equivalencia de puntos es

6y las fichas de este domin son las siguientes:

Domin de potencias. Se basa en el valor de las figuras. Como hemos visto, una figuraes equivalente a las dems multiplicndola por una potencia de 2 adecuada. Tomamoscomo unidad la semifusa y vemos a cuntas semifusas equivalen las dems notas. Porejemplo, 23 semifusas son una corchea. En este caso los exponentes del 2 nosproporcionan los puntos del domin, es decir, tenemos las siguientes equivalencias:

Puedes descargarte las fichas de este domin en http://www.fespm.org.

MATEMTICAS Y CUAS MUSICALES

En la actualidad hay muchos msicos que dedican su produccin a las cuaspublicitarias, las pelculas o los fragmentos musicales que aparecen en programas deradio y televisin. En esta actividad, la duracin exacta de la msica resultafundamental porque, adems de que todo debe estar sincronizado, las tarifas seestablecen por el tiempo de emisin.

En la partitura hay varias indicaciones que sirven para medir los tiempos: el comps, eltempo, las figuras utilizadas, etc. Veamos algunas con ms detalle:

El comps es una fraccin: el numerador indica cuntos tiempos tiene y eldenominador indica la pulsacin o el tipo de nota que ocupa cada tiempo: 2indica que una blanca ocupa un tiempo, 4 que es una negra la que lo ocupa, 8que es una corchea, y as sucesivamente. En ocasiones, en el denominador se

escribe directamente la figura que ocupa un tiempo, por ejemplo 2/ q.

7 El tempo expresa la velocidad de una obra. Esta velocidad sola expresarsemediante trminos en italiano que se corresponden, de forma aproximada, conlas siguientes pulsaciones (tiempos) por minuto:

Nombre Pulsaciones/minuto Nombre Pulsaciones/minutoLargo hasta 50 Moderato 108-120

Larghetto 50-66 Allegro 120-168Adagio 66-76 Presto 168-200Andante 76-108 Prestissimo 200-207

Actualmente, el tempo se expresa de forma ms precisa indicando el nmero de notas

por minuto. Por ejemplo, q = 90 significa que en un minuto deben ejecutarse 90 negras.Una vez establecido el valor de una nota, el resto tambin queda fijado. As, si en 1minuto de un Largo caben hasta 50 negras, tambin caben 50/4=12,5 redondas. Es decir,que si el tempo es Largo, una redonda dura como mnimo 60/12,5 = 4,8 segundos.

Ahora bien, si nuestra intencin es conocer cunto dura una obra, independientementedel tipo de notas que forman cada comps, podemos calcular la duracin de la msicaexpresada en un pentagrama. Veamos un ejemplo:

En este fragmento hay 5 compases formados, cada uno, por dos negras, puesto que esun 2/4 , y conocemos el valor de la negra. Entonces,

5 compases

2 negras

170 minutos =

1070 minutos = 8,57143 segundos

Actividades:

1. Fijndote en los valores que se da en cada tempo a la pulsacin, y suponiendoque la pulsacin es siempre la negra, calcula cunto duran como mnimo y comomximo las diferentes notas.

2. Operando como en el pentagrama anterior, calcula el tiempo que duran algunasobras conocidas. Si no sabes dnde conseguirlas, en http://www.fespm.orgtienes ejemplos.

8LA ARITMTICA DE LA MSICA

En msica, la diferencia de frecuencia entre dos sonidos recibe el nombre de intervalo.Pero, cuando decimos diferencia no estamos hablando de una resta, porque lapercepcin del sonido no es lineal. Por ejemplo, sabemos que un sonido de frecuencia880 Hz es una octava ms alto que otro de frecuencia 440 Hz y, a su vez, ste es unaoctava ms alto que un tercero de 220 Hz. Si la percepcin fuese lineal, la diferenciaentre estos sonidos sera diferente:

880 - 440 = 440 y 440 - 220 = 220.Sin embargo, en la prctica sabemos que el odo, en ambos casos, percibe la mismadistancia: una octava. Este inconveniente qued resuelto hace siglos por los msicosdeterminando la distancia a partir de un cociente. As, se tiene

880440 =

440220 = 2,

que proporciona el mismo valor.

Podis calcular ejemplos de intervalos dividiendo cualquier par de frecuencias de las 12notas de la octava central del piano:

Nota Do Do# Re Mib Mi FaHz 261,6265 277,1826 293,6648 311,127 329,6275 349,2282

Nota Fa# Sol Sol# La Sib SiHz 369,9944 391,9954 415,3047 440 466,1638 493,8833

Pero la percepcin del sonido tiene ms repercusiones en la aritmtica. Si al intervaloDo Mi le aadimos el intervalo Mi Sol, el resultado debe ser el intervalo Do Sol:

Por lo tanto, esta operacin no responde a la suma de fracciones, sino al producto,

DoMi < + > Mi Sol =329,6275261,6265

391,9954329,6275 =

391,9954261,6265 = DoSol .

A continuacin presentamos la manera de operar con intervalos. Dadas tres frecuenciasf1, f2 y f3 no nulas ordenadas de mayor a menor (de agudo a grave). Podemos realizar lassiguientes operaciones:

SUMA de intervalos RESTA de intervalos

f1f2+

f2f3

=f1f2

f2f3

=f1 f2f2 f3

=f1f3

f1f3

f2f3

=f1f3: f2f3

=f1 f3f2 f3

=f1f2

Ejemplo: (Do-Sol) + (Sol-Si) = Do-Si Ejemplo: (Do-Si) (Sol-Si) = Do-SolMULTIPLICACIN de p intervalos iguales DIVISIN en q partes iguales

f1f2

p = f1f2

p

=f1pf2p

f1f2:q = f1f2

q

Ejemplo: (Do-Re)

2 = Do-Mi Ejemplo: (Do-Mi) / 4 = Do-Do#

9Actividades:

Teniendo en cuenta las frecuencias de las notas que aparecen en la tabla anterior y laforma de operar con intervalos, responde a las siguientes cuestiones:

1. Calcula los intervalos (Do-Do#)

+ (Do#-Re), (Do-Re)

(Do-Do#),(Do-Sol)

: 3 y (Mi-Sol)

22. Resta a Sol-Si un tercio del intervalo.3. Aade a Do-Fa# un cuarto del intervalo.4. Divide la octava en 10 intervalos iguales

AFINACIN Y MATEMTICAS: LA BELLEZA DE LA IMPRECISIN

Histricamente, los sistemas de afinacin se basan en los conceptos de quinta, de octavay en su relacin. Entre dos notas de frecuencias f1 y f2, de manera que f1 < f2, hay unintervalo de quinta si f2 = 3/2

f1 y hay un intervalo de octava si f2 = 2

f1. Sitomamos como referencia la nota Fa, el orden de las quintas es

Fa-do-sol-re-la-mi-si.Pero siete son pocas notas para hacer msica. Podemos seguir obteniendo notas, a partirde las quintas, y las nuevas notas se dice que estn alteradas. Si la alteracin se obtienemultiplicando por 3/2 se obtienen los sostenidos,

Fa#-do#-sol#-re#-la#-mi#-si#.Si por el contrario se obtienen dividiendo entre 3/2 se obtienen las notas con bemoles

Sib-mib-lab-reb-solb-dob-fab.De esta forma, aumentando el nmero de alteraciones, podramos generar tantas notascomo quisiramos; pero en la prctica, la msica occidental utiliza slo 12 notas quesiguen el esquema siguiente:

Partimos del Do. Para ir hacia la derecha se multiplica por el valor de la quinta y haciala izquierda se divide por este valor. As, por ejemplo,

La =32

3Do ,

Sib =23

4Re .

Y, por qu doce es un nmero adecuado para la cantidad de notas diferentes? Laprincipal razn es puramente aritmtica. Con 12 quintas tenemos 7 octavas de formamuy aproximada, porque

27 =128 y

32

12

=129,7463.La diferencia entre estos dos valores se llama comma pitagrica, y se calcula utilizandolas reglas para restar intervalos:

32

12

- 27 =32( )

12

27 =312219 =1,0136 .

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Por pequea que parezca, esta imprecisin ha sido uno de los principales temas deinvestigacin de los musiclogos a lo largo de ms de veinte siglos.

La situacin se puede ver en una espiral en la que aparecen las notas, de manera quecada vuelta representa una octava; o tambin sobre un crculo (crculo de quintas) en elque se ve claramente que la duodcima quinta excede del espacio que cerrara el crculo.

Para poder cerrar el crculo, se puede acortar la ltima quinta en una comma pitagrica,dando lugar a una quinta ms corta, denominada quinta del lobo que, por ser demasiadopequea, aullaba de forma desagradable. Desde luego, sta no era la mejor solucin,sino que podra distribuirse el exceso entre varias quintas. Si se resta 1/12 de comapitagrica, a cada quinta, la nueva quinta mide

32 -

112

de comma =32312219

12=3 2 27122 3 = 2

712 1,49831

y con esto se obtiene el temperamento igual de 12 notas, que es el sistema afinacin quese utiliza normalmente. Pero, a lo largo de la historia ha habido otras muchassoluciones. Por ejemplo, el temperamento de Werckmeister de 1/3 de comma cierra elcrculo de quintas acortando 1/3 de comma en las tres quintas siguientes:

Do-Sol, Sol-Re, Si-Fa#

Es decir que en estas tres quintas, a la quinta natural le restamos 1/3 de comapitagrica, por tanto, para estos tres casos el intervalo de quinta ser

32 -

13

de comma =32312219

3=3 26 232 34 =

32 2327 1,49324 ,

y las nueve quintas restantes son naturales, es decir su valor es 3/2.

Actividades:

1. Propn otras soluciones para eliminar la comma pitagrica acortando algunasquintas.

2. Calcula la frecuencia de las notas para las soluciones que has propuesto en elapartado anterior.

Si no se te ocurre cmo hacerlo, quieres ver algunas soluciones que se han empleadohistricamente o escuchar cmo suenan las notas (con el programa MATHEMATICA)consulta http://www.fespm.org.

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