R eihenentwicklungen von Produk t en zweier Mathieuschen Funktionen nach Produkten

von Zylinder- und Exponentialfunktionen. Von JOSEF MEIXNER in Aachen.

(Eingegangen am 24.9. 1949.)

Seien x, y cartesische, 5 , 21 elliptische und e, q~ Polarkoordinaten. Zwischen ihnen bestehe der Zusammenhang

(1) x f iy = c cos(fi[ - q) = ee*w + c a .

c und a seien Ronstanten. I n jedern dieser Koordinatensysteme 1aBt sich die zweidimensionale Wellengleichung

separieren. Die Separation ih elliptischen Koordina.ten fuhrt auf Losungen der Wellengleichung, die ein Produkt einer Mathieuschen Funktion in q und einer zugeordneten Mathieusohen Funktion in { sind; die Separation in Polar- koordinaten liefert Losungen der Wellengleichung, welche ein Produkt einer Zylinderfuaktion 8" (Ice) mit einer Exponentialfunktion er t ivV sind. Es liegt nahe, zii erwarten, da13 sich die erstgenannte Losiing nach Losungen voni zuletzt genannten Typ entwickeln la13t.

Die Mathieusche Differentialgleichung lautet

(3) fi + ( A - 2h2cos 27)" = 0, w die zugeordnete Mathieusche Differentialgleichung

(4)

Zwisohen ihrem Parameter A und der Wellenzahl k in der Wellengleichung besteht der Zusa.mmenhang 2 h = kc.

Wir setzen also eine Entwicklung m 00

Y?(E, 7; k, a) = Y'd,opl 3 I d t $ i t t= dm - t= -m

e = c f[ms ( i t - 9) -a] [coati€ + 9) -a],

(5)

an, worin

cos ( i€ - q) -a &* = COB (it + 7)) - a *

Meixner, Reihenentwicklungen von Produkten zweier Mathieuschen Funktionen. 15

Die Zylinderfunkti.on 3(i) sol1 fur j = 1 , 2 , 3 , 4 der Reihe nach die Besselsche, Neumannsche, erste und zweite Hankelsche Punktion bedeuten. Die Koeffi- zienten dt versuchen wir YO zu bestimmen, daB die Funktiop Y:' in Abhiingig- keit von bzw. 11 der Differentialgleichung (4) bzw. (3) und damit der Wellen- gleichung (2) geniigt.

Wir schreiben zunachst einige aus den Rekursiansformeln der Zylinder- funktionen folgende Beziehungen an :

(6) ( v + t ) @ , = h[cos ( i t + 7) - a1Qs,+i + h[cos (it - r ] ) - a]@,-,,

(Y + t)Qt + Uh(2Y'+ 2t + 1)@++* + ah(2v + 2t - 1)@&1

(8) = A cos (i5 - Y,I)@~-~ - A cos (it + r))@t+l - a2A2[@,+, + 2@$ + @&j + hZ[cosz(i t + 7) @t+z + 2 00s (i t + q) cos (i 5 - q)Qss + cos2 (i 5 - r])Qs,- .

Daraus ergibt sich

(9) =: h2(1 - a2)@t+2 - a h ( 2 v + 2t + l)@t+l

+ [ E . - 2 & 2 h 2 - ( Y + t ) 2 ] @ t - a h ( 2 1 ' + 2 t - l )@&]+P(l- .2)Qstt-2.

Als Bedingung dafiir, daS !Pug,, als Funktion von rj betrachtct, der Mathieu- schen Differentialgleichung (3) geniigt, ergibt sich durch Einsetzen von ( 5 ) in (3) und Berucksichtigung von (9)

m

0 = 2 d, (hZ(1 - a2)@1+2 - d ( 2 Y + 2t + l)Qs,+, I= --m (10) + [A - 2 a2h2 - ( Y + t ) 2 ] Qs, - ah (2 Y +2 t - 1) Qt- t h * (1 - a2) ~#j,-~} .

Hinreichend fur dau Bestehen dieser Beziehung ist die Giiltigkeit des Re- kursionssystem s

A Z ( 1 - & 2 ) 4 4 - ah(2v + 2t - l)d,_., j- [A -- 2a2h2 - ( v + t)2]dr - U h ( 2 Y + 2 t $- l)d,+l +h*(1 - a2)d,+,=O ( t = O , & l , *2, ...). (11)

Wegen der Symnietrie von ?P$ in it und r ) ist diese Bedingung auch hin- reichend dafiir, daB Y!', als Funktion von t betrachtet, der zugeordneten Mathieuschen Diffsrentialgleichung (4) geniigt.

Es handelt sich nun darum, eine Losung dieses Rekursionssystems zu finden, fur welche die Reihe ( 5 ) in einem gewissen Berkich der Veriinderlichen t , r]

konvergiert . Zuniichst behandeln wir den Fall a =f 0. Drtnn ist

(12) h 2 4 - 2 + [ 1 - ( ~ + t ) ' ] d , + h 2 4 + 2 = O ( t = O , f l , &2, . . . I . Dieses Rekursionssysteni ist aus der Theorie der Mathieuschen Funktionen bekannt. Es besitzt die Losung

(13) = (- l)fCZ(A), (&,+I = 0 (r = 0, r t l , f 2 , . . .),

16 Meixner, Reiienentwicklungen von Produkten zweier Mathieueehea Fungtionen.

wo die cg(h) durch die Lbsung

der Mathieusohen Differentialgleichung (3) definiert sind. Y hitngt in einer hier nicht nlher festzustellenden Weise von A ah; i v ist der charakteristische Ex- ponent der Mathieuschen Differontialgleichung.

Wir beheupten nun, &I3 durch

eine Lasung von (11) ggeben ist, fur welche die Reihe (5) in einem gewissen Bereich der Veriinderlichen 6 , '1 absolut .und gleichmlBig 'konvergiert, 80 daB die zur Herleitung des Rekursionssystems (11) angewandten Operationen (gliedweise Differentiation einer unendlichen Reihe) gerechtfertigt Find. Unter d,(a) verstehen wir im folgenden stets diese Losung des Rekursionssystems (11).

Aus der Konvergenz von (14) und &US dem Rekursionssystem (12) fur die c(g' folgt nach KREUBER~)

ferner sind die Bassetsohen Funktionen .JarWt(2ah) bei festem uh fur alle r und 1 beschrlnkt. Daher konvergiert die Reihe (15), und auch die durch (15) de- finierten d,(u) sind heschriinkt. Einsetzen in (11) und Fortschaffen der Fak- toren uh und u2h2 durch mehrinalige Anwendung der Rekursionsformel der Bebselwhen Funktionen

L W A [ J ~ ~ - ~ + , (2ah) + J 2 r - t - l (2uh)l = ( 2 r - t )J2,- , (2uh) liefert

m

2 (- I)*Cg'(h)[h'J2r-t+2 + ( A -. ( Y -I- 2 r ) ~ ) ~ i r - t + h*Jur-t-sI, r=.-m

und nach Verschieben des Sumniationsindex im ersten und dritten Sunimanden um -1 bzw. 1 ergibt sich wegen (12) und (13) Null, wie behauptet war.

Das infinitlire Verhalten der 4 fur t - t f w l&Bt sich nach Kreuser un- mittelbar &us (11) entnehmen. So gilt fur t -+ +w

t - entweder lim it! Idt] = 1 (u f l ) h (

t-cm

- t -

f-bm oder lim yt!-lldtl = I ( a f 1)hI-'.

Da, wie bereits gezeigt, die d, beschriinkt sind, so kommt nur das in (17) an erster Stelle stehende Verhelten in Betracht. Ebenso liiBt sigh zeigen, daB

Meixner, Reihenentwicklungen von Produkten' zweier Mathieuschen Funktionen. 17

Ninimt man noch die in tt gleichmiiDige krenzwertabsohiitzung 1)

hinzu, so folgt durch Anwendung des Wnrzelkriteriums, daD die Reihe (5 ) inindestens in jedeni abpeschlossenen ([ , 9)-Bereich, welcher bei jeder der vier

Vorzeichenkombinationen der Ungleichung I I (a * 1 e = i F < 1 oder, in 8 , r ) ausgedriickt. c?

(20) Icos(iE f q) - a \ > J a 3 1 I geniigt, absolut und gleichmiiBia konvergiert.

in u gleichni6Bige AbschRtzung der Besselfunktionen 1st speziell Y = n = 0. f 1 , &?, . . . und 3v+t = . J n + l , so kann mnn die

anwenden : dann gilt die tibsolute und gleichniiiBipe Konrergenz von ( 5 ) sogar fiir alle endlichen 5, q .

Die Funktion !Pu(?'([, q: h , a) ist also, wenn die dt durch (la) definiert sind, eine Mathieusche Funktion in rj und aus Symmetriegriinden eine zugeordnete Mathieusche Funktion in l . \Vir hahen nun festzustellen, nm welche Mathieu- schen Funktionen es sich dsbei handelt. Dazu hahen wir erst die Mathieuschen Funktionen und ihre Zugeordneten zu definieren. Wir legen die Alathieuschexi Funktionen M y ' ( 5 : h ) durch die Forderung feat, dafi sie fur grol3e %t> 0 asymptotisch den Zylinderfunktionen 3'/'(2 h 601 5 ) gleich werdun :

(22) M y ' ( [ ; h) - 3?'(2hCsoj5) fi ir % k >> 1 (i = 1, 2 , 3 , 4 ) .

Die Mathieusche Funktion met(.r); h) .ist bereits durch (14) definiert. S e i % l > I , I a r g ( h Q o f 5 ) 1 <n, 13q1<<%l, la l<IQofE1. Dann befinden

wir uns ini Konvergenzbereich der Rcihe ( 5 ) (vgl. (20)). Das asjmptotische Verhalten voii !P$) fur 9lt >> 1 ergibt sich, indeni wir formal in (5) fur jede Zylinderfunktion ihr asyniptotisches Verhalten einsetzen2). Wegen

v[cos ( i t -- 11) - a] [cos ( i t + 71) - a]'= coy 6 - 2a cos 17 + ~ ( I a o j t l - 1 ) ist

.313(2hf[cos( i6- q) - a ] [ c o s ( i t + q ) - - J ) N ~ T ~ ' ~ ~ ~ ~ * ) ( S ~ Q ~ C ~ ) ~ X ~ " ~ " C O S "

und daher

l) J. MEIXNER, Arch. Math., Obernolfach 1 (1949), 4 3 2 4 0 . 2, Zur Begrundung dieses Vorgehens vgl. J. MEIINER, Math. Xaclir., Berlin 3 (1940),

Mnth. h'achr. 1949, Bd. 3, H. 1.

9-13.

2

18

Das obere bzw. untere Vorzeichen bezieht sich jeweils auf j = 3 bzw. j = 4 . Nun ist

(24) 1

wie man durch Einsetzen von dt aus (15), Vertauschen der Summationen und Aufsummieren nach t mittels bekannter Summenformeln mit Besselfunktionen feststellt. Es wird also schlieBlich unter Beriicksichtigung von (22)

(25) YY,(f, 7 ; h , a) = BI\fi(t; h) m e t ( 7 ; h)

Wegen = J, f iN, und der entsprechenden Formeln fur die Mathieu- schen Funktionen J!!:',') = ill$,') f i M t ) gilt (25) auch fur j -- 1, 2.

Der Gultigkeitsbereich von (35) umfal3t alle 5 , q , a , die sich von den beim Beweis von (25) vorausgesetzten Werten aus ohne Verletzung der Ungleichungen (20) erreichen lassen. Insbesondere ist der Uiiltigkeitsbereich fiir reelle t , 7, a niit 3: :> 0 durch

Meixner, Reihenentwicklungen von Produkten zweier Mathieuschen Funktionen.

me+, (q; h) = c '00 d~ers in le i ( r t t ) t t i z i~~cos t t

t= -m

(j = 3,4).

(2-1 O o f t > a cosq + V ( U 2 - 1) COSZ?j 4- 2 + 21a1

gegeben, wie unschu-er aus (20) folgt.

Spez ia l - u n d Grenzfii l le. Hemerkensn-erte Spezialfalle ergeben sich aus (25) und (5) , wenn man q = 0

oder q = + setzt, oder wenn nian nach 7 differenziert und dann v] = 0 setzt. Sie lauten

(27)

(28) A$),[, h) mc:,O, h)

I

m ih',?.[,h)rnc:(O,h) = 2 $ ( a , h ) ~ ~ ~ t ( 2 h ( Q o l [ - a)),

I=-m

Me Reihenentwicklungen ( 2 7 ) und (29) gelten fur W5 > 0, i&oc& - a I > 1 a f 1 I , (28) fur %t > 0, I @ I t - ia l > ] a & 11. Fiir R = 0 ergeben sich hieraus bekannte Reihenentwicklungen der Mathieuschcn Punktionen. Auf die weiteren Vereinfachungen, die iiir $1 = 0, 1 , 2, . . . eintreten, wollen wir bier nicht eingehen,

Remerkenswert ist, da13 die Reihen (24) und (27) bis (29) denselben Ko- effizientensatz dt enthalten, eine Tatsache, die fur a: = 0 schon lange bekannt ist und mit den lntegralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen in Zusnmmenhang gebracht werden konnte. Wir verstehen dies nun unmittelkarer, indern wir alle diese Reihen als Spezialialle der allgenieineren Reihe (5) in Verbindung niit (25) herleiten konnen. Diesen Gedanken hat E .DELYl ) bereits fur den Fall C( = 0 durchgefuhrt; jedoch findet sich t e i ihm noch nicht die Aufsumniierung (25) der Reihe ( 5 ) .

l) A. ERDBLYI, Roc. Cambridge philos. SOC. 38 (1942), 28-33.

Meixner, Reihenentwicklungen von Produkten zweier Mathieuschen Funktionen. 19

Die oben durchgefuhrten Uberlegungen lassen sich unschwer verallgemeinern , indem man dns elliptisahe Koordinatensysteni [ , 7 gegenuber dem Polar- koordinatensystem e , iq allgemeincrer Lage 51s in (1) annimmt. Das wart: bei dem dnsatz

- e + @ = c o s ( f i & q ) e - c o ~ ( f i [ ~ - 7 , , ) C

mit zwei willkurlichen Papmetern lo , qo der Fall. Die Entwicklungskoeffizienten 1a.ssen sich dann durch eine zu (15) sehr iihnlich gebaute Formel ausdrucken.

SchlieBlich lassen sich die Entwicklungen fur das Produkt von zwei Mathieuschen Funktionen ’ nach Produkten von Zylinder- und Exponential- funktionen, wenigstens soweit die bekannten Entwicklungssatze fur Mathieusche Funktionen ausreichen, d. h. fur reelle v und reelle h2 , auch onikehren.