reglas inferencia

L6gica Matematica .89

Antes de empezar nuestro estudio, es necesario introducir al lenguaje l6gico, un metalenguaje. Esto es, se hace necesario enriquecerlo con nuevos sfrnbolos, que si bien no pertenecen al vocabulario propiamente ta!, son de mucha importancia en cuanto lo adaptan a este aparato sintactico en el que adviene la aplicaci6n de las reglas de inferencia.

Incorporaremos solamente dos nuevos simbolos: la coma: " , " con la que separamos las proposiciones, y el slmbolo: ";", que indi , ca que la proposicion o proposiciones que le siguen son derivables; en otras palabras, es equivalente a la expresi6n castellana 'por lo tanto'; en nuestra lengua la solemos usar para indicar que la proposici6n o

REGLAS DE INFERENCIA

En este capitulo emprenderemos el estudio de la deduccion propiamente tal. El metodo de la tabla de verdad es en el fondo un metodo se~antico. La validez o no validez viene definida mediante el calculo de las funciones de verdad de las proposiciones. La inferencia, en cambio, propane un mctodo que mediante reglas adecuadas sigue validamente una conclusion partiendo de un conjunto de premisas. Este paso logico de las premisas a la conclusion es una deduccion. La conclusion que se obtiene es una consecuencia logica de las premisas, si cada paso utilizado para obtener dicha conclusion es permitido por una regla. Y estas reglas, que permiten concluir validarncnte una con clusi6n, son llamadas: Reglas de lnferencia.

El procedimiento es el siguiente: se empieza con. un conjunto de proposiciones simbolizadas que se denominan premisas. 'Luego se aplican las reglas de inferencia de una manera tal que nos permiten inferir, de esas premisas, una conclusion.

REGLAS DE INFERENCIA

CAPITULO VII

9 0 L o g i c a M a t e m a t i c a

O t r o d a t o m u y i m p o r t a n t e e s q u e l a s r e g l a s d e i n f e r e n c i a , c o m a

o p e r a n u n i e n d o y s e p a r a n d o p r o p o s i c i o n e s , s e a p l i c a n , c a d a u n a d e

e l l a s , a u n d e t e r m i n a d o c o n e c t i v o l 6 g i c o , d e m a n e r a t a l q u e n o

p u e d e n u t i l i z a r s e i n d i f e r e n t e m e n t e , s i n o s o l a m e n t e d e a c u e r d o a l s u y o

c o r r e s p o n d i e n t e . 0 s e a , s i u n a r e g l a e s a p l i c a b l e a l a c o n d i c i o n a l ,

S i p u e d e s e r d e a y u d a , d i r e m o s q u e d e a h o r a e n a d e l a n t e , l o s

p a r e n t e s i s y a n o l o s u s a r e m o s c o m o s i g n o s d e p u n t u a c i 6 n , s i n o s o l a

m e n t e c o m a s i q n o s d e a g r u p a c i 6 n , c u a n d o u n a f o r m u l a p r o p o s i c i o n a l

s e a u n a f 6 r m u l a p r o p o s i c i o n a l c o n m a s d e u n c o n e c t i v o .

E j e m p l o s :

p v Q , Q f - p

b ) R 7 ( P & Q ) ;

d ) ( R v Q ) & P .

a ) ( P & Q ) 7 R ;

c ) ( P & Q ) v R ;

C o n e l m e t a l e n g u a j e e s :

{ [ ( P v Q ) & Q ) ] - 7 P }

A p l i c a n d o e l m e t a l e n g u a j e , h e m o s s u s t i t u i d o l o s p a r e n t e s i s c o m a

s i g n o s d e p u n t u a c i o n p o r u n a c o m a " , " ; y e l s i m b o l o " f - " , p a r a u n i r

l a c o n c l u s i o n c o n l a s p r e m i s a s .

b ) 0 e s d o m i n g o o e s l u n e s . N o e s l u n e s . P a r l o t a n t o , e s d o m i n g o .

S i n e l m e t a l e n g u a j e s e r i a :

p - 7 Q , p I - Q

E n c a m b i o , u t i l i z a n d o e l m e t a l e n g u a j e t e n e m o s :

{ [ ( P - 7 Q ) & P ) ] - 7 Q }

E j e m p l o s :

a ) S i l l u e v e v o y a t u c a s a . L l u e v e . P a r l o t a n t o , v o y a t u c a s a .

S u t r a d u c c i 6 n s i m b 6 l i c a , s i n e l m e t a l e n g u a j e , s e r f a :

p r o p o s i c i o n e s q u e l e s i g u e n s o n i n f e r i d a s d e l a s p r e m i s a s q u e l a

a n t e c e d e n .

R e g / a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - -

Logica Matematica .91 I

P -7 Q -P -Q

El segundo serfa:

p -7 Q p Q

Y si tenemos el antecedente de esa premisa: Hace fr(o, coma segunda premisa. La regla MPP nos permite concluir el consecuente: me quedo en casa. De igual manera:

2. Si tenemos como primera premisa: Si nojuego al futbol, entonces no pertenezco a ningun equipo de futbol. Y si tenemos el antecedente de esa premise: no juego al futbol, como segunda premisa. La regla MPP nos permite concluir el consecuente: no pertenezco a ningun equipo de fUtbol. Simb6licamente el primer ejemplo se expresa:

La abreviatura para esta regla es MPP. Esta regla establece: si se da una proposicion condicional, y se da

{ al antecedente de esta condicional, se puede concluir el consecuente. Consideraremos algunos ejemplos de aplicaci6n de esta regla: Si tenemos una primera pr.emisa: Si hace frfo, entonces me quedo en casa.

REGLAS APLICABLES A LA CONDICIONAL

nunca puede aplicarse a otro conectivo. Por esto nosotros, por hacer mas didactico este estudio, las estudiarernos conforme a esta relaci6n.

----------------------Reg/as de lnferencia

9 2 L 6 g i c a M a t e n u i t i c a

R v S

c ) ( P v Q ) ~ ( R v S )

p v Q

a )

p ~ ( Q _ : : } R )

p

Q

= > R

b ) ( P v

Q ) ~ R

( P v

Q )

R

E s t e s e j e m p l o s p o n e n e n d a r n q u e u n a p r o p o s i c i o n c o n d i c i o n a l

p u e d e e s t a r c o m p u e s t a c o n p r o p o s i c i o n e s t a n t o a t o m i c a s c o m a m o l e

c u l a r e s . E s t o n o a l t e r a e n a b s o l u t o e l u s o d e l a r e g l a M P P . S u a p l i

c a c i o n e s e x a c t a m e n t e i g u a l a l b s e j e m p l o s a n t e r i o r e s :

b ) ( P v Q ) ) R ;

d ) p ~ Q

a ) P - - ) . ( Q R ) ;

c ) ( P v Q ) - - ) ( R v S ) ;

C o m o p o d e m o s v e r , l a r e g l a d e i n f e r e n c i a : M o d u s p o n e n d o

p o n e n s , n o s p e r m i t e p a s a r d e d o s p r e m i s a s a u n a c o n c l u s i o n . D e e s t a

m a n e r a , a f i r m a r q u e l a c o n c l u s i o n e s u n a c o n s e c u e n c i a l o q i c a d e l a s

p r e m i s a s , e q u i v a l e a d e c i r , q u e s i e m p r e q u e l a s p r e m i s a s s e a n v e r

d a d e r a s , l a c o n c l u s i o n n e c e s a r i a m e n t e s e r a t a m b i e n v e r d a d e r a .

O t r a c o s a q u e d e b e m o s t e n e r m u y e n c u e n t a , e s q u e u n a

p r o p o s i c i 6 n c o n d i c i o n a l p u e d e d a r s e t a n t o c o m a u n a n t e c e d e n t e y u n

c o n s e c u e n t e a t o m i c o s , c o m a u n a n t e c e d e n t e y u n c o n s e c u e n t e m o l e

c u l a r e s , o m i x t o s . E s d e c i r , c o n u n a n t e c e d e n t e a t o r n i c o y u n c o n s e

c u e n t e m o l e c u l a r y v i c e v e r s a .

E j e m p l o s :

R e g / a s d e I n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

L6gica Matematica 93

El metodo a seguir para demostrar que la conclusion de un razo namiento, mediante el uso de las reglas de inferencia es consecuencia

J6gica de sus premisas, es el siguiente: Se enumera cada lfnea de las demostraciones. Se coloca en cada lfnea cada una de las premisas. A la derecha de cada premisa se coloca una "H" para indicar que

son premisas dadas y que las tomamos como hip6tesis. Como cada premisa depende de sf misma, entonces, se coloca a su izquierda el numero de la premisa de la que depende esa lfnea. Cada lfnea de la demostraci6n debe ir acompariada por la abre viatura correspondiente de la regla usada. A la derecha de la abreviatura de la regla usada, se colocan los numeros de las lfneas sabre las cuales se ha apoyado esa regla. A la izquierda de la linea deducida, se colocan los numeros de las lfneas de donde ha sido inferida esa linea. A la izquierda de la ultirna Iinea, deben aparecer solamente los nurneros de las premisas. Esto indica que efectivamente la con clusion se infiere de las premisas. Hemos intercalado estas normas orientativas de una

demostraci6n, con el fin de ayudar a entender mejor la aplicaci6n metodol6gica de las reglas de inferencia.

A continuaci6n, presentamos ejemplos de aplicaci6n de la regla: Modus ponendo ponens, teniendo como gula las normas anterior mente mencionadas.

Q

d) p ---7 Q p

-----------------------Reg/as de Inferencia

9 4 L 6 g i c a M a t e m a t i c a

1 ( 1 ) P - 7 Q H

2 ( 2 ) P H

( 3 ) Q M P P

5 ) A l a d e r e c h a d e l a a b r e v i a t u r a d e l a r e g l a p o n d r e m o s l o s n u m e r o s

d e l a s l f n e a s s a b r e l a s c u a l e s h e m o s a p o y a d o l a r e g l a . E n e s t e c a s o

d e d e m o s t r a c i 6 n , m e d i a n t e l a a p l i c a c i 6 n d e l a r e g l a M P P , l a

h e m o s d e d u c i d o d e l a s l f n e a s u n o y d o s . E n t o n c e s , s e r a n l a s .

n u m c r o s l i n o y d o s l a s q u e s e p o n d r a n a l a d e r e c h a :

1 ( 1 ) P - 7 Q H

2 ( 2 ) P H

( 3 ) Q M P P . 1 , 2 .

3 ) C o m o c a d a p r e m i s a d e p e n d e d e s f m i s m a , e n t o n c e s l a p r e m i s e

u n o d e p e n d e d e u n o y l a d o s d e p e n d e d e d o s . E s t o s n u m e r o s l o s

p o n d r e m o s a l a i z q u i e r d a d e s u s c o r r e s p o n d i e n t e s l f n e a s :

1 ( 1 ) P - 7 Q H

2 ( 2 ) P H

4 ) ' C o m o p a r a d e m o s t r a r q u e " Q " e s l a c o n s e c u e n c i a l 6 g i c a d e l a s

p r e m i s a s : P - 7 Q y P , b a s t a a p l i c a r l a r e g l a d e ! M o d u s p o n e n

d o p o n e n s . A n o t a r e m o s e n l a I i n e a t r e s a l a d e r e c h a , l a a b r e

v i a t u r a d e l a r e g l a , y a n t e s d e d i c h a a b r e v i a t u r a , p o n d r e m o s e l

r e s u l t a d o d e l a d e m o s t r a c i 6 n . E n e s t e c a s o e s " Q " .

2 ) A l a d e r e c h a d e c a d a p r e m i s a c o l o c a r e m o s l a " H " , q u e e s l a a b r c

v i a t u r a d e l a p a l a b r a " h i p 6 t e s i s " .

( 1 ) P - 7 Q H

p H

. ( 1 ) p - 7 Q

( 2 ) p

E m p e z a r e m o s c o n e l e j e m p l o " t i p o " : P - 7 P I - Q ;

1 ) C o l o c a r e m o s p r i m e r o l a s p r e m i s a s , e n u m e r a n d o s u s c o r r e s p o n

d i e n t e s l f n e a s :

R e g / a s d e I n f e r e n c i a - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - -

L6gica Matemdtica 95

Sabre esta dernostracion no nos detendremos, en la explicacion metodoloqica, por cuanto ya hemos hablado de ella en el ejemplo anterior. Lo que sf haremos es presentar graficamente la manera de como hay que razonar un proceso de demostracion:

conclusion: P? Q, Q? R, p fR

1 (1) p ? Q H 2 (2) Q ? R H 3 (3) p H

1, 3 (4) Q MPP. 1, 3 ' 1, 2, '3 (5) R MPP. 2, 4

Muchas veces, una dernostracion requiere varios pasos antes de con cluir validamente una conclusion. Por esto, pondremos a consideracion, ejemplos de donde no se concluya directamente de las premisas la

Como "Q" es una conclusion obtenida validamente de sus premisas: los numeros uno y dos de la lfnea tres demuestran pre cisamente que "Q" se infiere de las premisas en cuanto las premisas se identifican con esos numeros. Por lo tanto, podemos concluir que "Q" es una consecuencia 16gica de las premisas: p? QyP.

1,

H H MPP. 1, 2.

(1) p ? Q (2) p (3) Q

1 2 2

A la izquierda, en cambio, pondremos los mimeros en los que se apoyan las lineas que hemos utilizado para la demostraci6n. En este caso especffico, la regla MPP, se apoya en la premisa uno y dos. La premisa uno depende de uno, y la dos depende de dos. Por lo tanto, los numeros que nos toca poner a la izquierda de la lfnea tres, son el numero uno y el mimero dos:

----------------------- Reglas de Inferencia

E s t o m i s m o v a l e p a r a e l e j e m p l o :

p

7

Q , Q

7 R , R 7 S ,

P f - S .

1

( 1 )

p

7

Q

H

2 ( 2 ) Q

7

R

H

3

( 3 )

R 7 s

H

4

( 4 )

p

H

1 , 4

( 5 )

Q

M P P . 1 , 4 .

1 , 2 , 4

( 6 )

R

' M P P . 2 , 5 .

1 , 2 , 3 , 4 ( 7 ) s M P P . 3 , 6 .

9 6 L o g i c a M a t e m d t i c a

A n t e s q u e n a d a , d e b e m o s f i j a r n o s e n l a c o n c l u s i o n . E n e l r a z o n a

m i e n t o a n t e r i o r , l a c o n c l u s i o n e s " R " . P a r l o t a n t o , d e b e m o s r a z o n a r

c 6 m o , y p a r c u a l v i a , p o d e m o s d e m o s t r a r q u e " R " s e i n f i e r e d e l a s

p r e m i s a s . U n a v e z p u e s t a s l a s p r e m i s a s e n s u s c o r r e s p o n d i e n t e s

l f n e a s , v e m o s q u e " R " e s u n c o n s e c u e n t e d e " Q " . P a r l a r e g l a M P P

s a b e m o s q u e p o d e m o s d e d u c i r " R " d e " Q " , s i y s o l o s i t e n e m o s e l

a n t e c e d e n t e " Q " s u e / t o . P e r o n o e s t a s u e / t o , s i n o q u e e s , a S U v e z , c o n

s e c u e n t e d e " P " . E n t o n c e s , p a r l a m i s m a r e g l a a n t e s m e n c i o n a d a ,

s a b e m o s q u e p o d e m o s c o n c l u i r e l c o n s e c u e n t e " Q " , s i y s o l o s i t e n e

m o s e l a n t e c e d e n t e " P " s u e / t o . E f e c t i v a m e n t e " P " e s t a s u e / t o , y e s l a

p r e m i s a m i m e r o t r e s . P o r l o t a n t o , l o q u e d e b e m o s h a c e r e s s o l t a r

p r i m e r o " Q " d e s u a n t e c e d e n t e " P " , y l u e g o s o / t a r e l c o n s e c u e n t e " R "

d e s u a n t e c e d e n t e " Q " . C o m o h e m o s d i c h o y a a n t e s , e s t o e s f a c t i b l e

p o r q u e n o s l o p e r m i t e e l M o d u s p o n e n d o p o n e n s , y e s l o q u e s e h a

h e c h o e n e l e j e m p l o a n t e r i o r .


~ . . , , ,

L6gica Matenuitica 97

RESULTADO: Todas las conclusiones son consecuencia l6gica. Simbolizar cada uno de los siguientes razonamientos, y demostrar si la conclusion de cada uno de ellos es con secuencia loglca de las premisas: 2.1. Si Caracas es la capital de Venezuela, entonces sus habi

tantes son venezolanos. Caracas es la capital de Venezuela. Por lo tanto, sus habitantes son venezolanos.

2.2. Si habito en la capital de los Estados Unidos, entonces no vivo en Caracas. Habito en la capital de los Estados Unidos. Por lo tanto, no vivo en Caracas.

2.3. Si llueve y hace frfo, entonces no iremos al cine: Llueve y hace frio. Por lo tanto, no iremos al cine.

2.4. Si estudio, entonces apruebo los examenes, Si apruebo los examenes, entonces me graduare de medico. Si me graduo de medico, entonces podre salvar muchas vidas humanas. Estudio. Por lo tanto, podre salvar muchas vidas humanas.

2.5. Si no bailo, entonces no me divierto. Si no me divierto, entonces me aburro. Bailo. Por lo tanto, me aburro.

2.6. Si vamos al cine, entonces no estaremos en casa. Si no estamos en casa, entonces no podemos ser responsables de

1.1. R 7'P, Q 7 R, Q f- P. 1.2. -P 7 Q, P, Q 7 R f-R. 1.3. P, P 7 Q, Q 7 S f--S. 1.4. (P v R) 7 S, P v R f- S. 1.5. P 7 (Q & R), (Q & R) 7 S, Pf- S. 1.6. -(R v Q) 7 P, -(R v Q) f- P.

Demostrar que las siguientes conclusiones son conse cuencias 16gicas de las premisas:

EJERCICIOS:

:'-------------------------Reg/as de Inferencia

9 8 L o g i c a M a t e n u u i c a

b ) p

P

a ) P

p

N o e s c i e r t o q u e n o l l u e u e .

2 , Q u e c o n c l u s i o n s e p u e d e o b t e n e r d e e s t a p r e m i s a ? C i e r t a m e n t e

q u e :

L l u e u e .

A h o r a , e n c u a n t o q u e l a r e g l a d e l a d o b l e n e g a c i o n e s u n a

e q u i v a l e n c i a t a u t o l 6 g i c a , e s v a l i d o f o r m u l a r l o i n v e r s o :

d e l a p r o p o s i c i 6 n : l l u e u e .

p o d e m o s c o n c l u i r : n o e s c i e r t o q u e n o l l u e u e .

C o m o p o d e m o s a p r e c i a r , l o q u e n o s d i c e l a r e g l a d e d o b l e

n e g a c i o n e s q u e : u n a d o b l e n e g a c i 6 n d e u n a p r o p o s i c i 6 n e s l o

m i s m o q u e s u a f i r m a c i 6 n . L a a b r e v i a t u r a d e e s t a r e g l a e s a s f : O N .

A s f l a r e g l a d e d o b l e n e g a c i o n t i e n e d o s f o r m a s s i m b o l i c a s :

I n t r o d u c i m o s e s t a r e g l a e n e s t e m o m e n t a , p o r q u e s u c o m p r e n s i 6 n

e s i m p r e s c i n d i b l e p a r a l a a p l i c a c i 6 n y e s t u d i o d e l a r e g l a d e l M o d u s

t o l l e n d o t o l l e n s , r e g l a q u e e s t u d i a r e m o s d e s p u e s d e e s t a , e n c u a n

t o q u e a m b a s s e c o m b i n a n m u y c o n v e n i e n t e m e n t e .

L a r e g l a d e d o b l e n e g a c i 6 n e s e n s f u n a e q u i v a l e n c i a t a u t o l 6 g i c a .

P e r m i t e p a s a r d e u n a p r e m i s a u n i c a a l a c o n c l u s i 6 n .

E j e m p l o :

R E G L A S D E L A D O B L E N E G A C I O N

l o q u e a l l ! o c u r r e y d e l o q u e a l l f p u e d a r o m p e r s e . V a m o s a l

c i n e . P o r l o t a n t o n o p o d e m o s s e r r e s p o n s a b l e s d e l o q u e a l l f

o c u r r e y d e l o q u e a l l f p u e d a r o m p e r s e .

2 . 7 . S i v i v o e n M a r a c a i b o , e n t o n c e s s o y m a r a c u c h o . N o v i v o e n

M a r a c a i b o . P o r l o t a n t o , s o y m a r a c u c h o .

R E S U L T A D O : T o d a s l a s c o n c l u s i o n e s , m e n o s l a d e l o s n u m e r o s

5 y 7 s o n c o n s e c u e n c i a l 6 g i c a d e l a s p r e m i s a s .

R e g / a s d e L n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ;

Logica Matematica 99

La importancia de esta regla en el uso practice de una dernostracion por regla de inferencia es que: la doble negaci6n, en cuanto es la negaci6n de una negaci6n: " -P es igual a (-P)", per mite negar la negacion de una proposlclon. Entonces dado "-P",

'. su negaci6n es: " (-P)''. Y como " (-P)" es igual a "P", se sigue la siguiente definici6n: P es la negacion de P.

El uso de esta regla es imprescindible en aquellas reglas que tra bajan con la negaci6n. Esto lo veremos mas adelante.

MPP. 1, 2. DN.3.

H H 2 (2) s

1, 2 (3) T 1, 2 (4) - -T

Otro ejernplo, esta vez utilizamos la ON conjuritamente con el MPP:

S -t T, Sf T. 1 (1) S -t T

Reg/as de Injerencia

Su demostraci6n serfa: 1 (1) P H 1 (2) p DN.1.

1 (1) p H 1 (2) P DN.1

1 0 0 L 6 g i c a M a t e m a t i c a

- P

P ~ Q

- Q

L a s i g u i e n t e d e d u c c i 6 n e s u n e j e m p l o " t i p o " d e l u s o d e e s t a r e g l a :

S i l l u e o e , e n t o n c e s v o y a t u c a s a .

N o v o y a t u c a s a .

P o r l o t a n t o , n o l l u e v e .

C o m o e n l a s e g u n d a p r e m i s a n e g a m o s e l c o n s e c u e n t e d e l a

p r i m e r a p r e m i s a , p o d e m o s c o n c l u i r l a n e g a c i 6 n d e ! a n t e c e d e n t e d e

e s t a . E l e j e m p l o a n t e r i o r s e s i m b o l i z a a s i :

M O D U S T O L L E N D O T E L L E N S

L a a b r e v i a t u r a p a r a e s t a r e g l a e s : M T T .

E s t a r e g l a e , s t a b l e c e : s i s e d a u n a p r o p o s i c i 6 n c o n d i c i o n a l , y

s e d a u n a p r o p o s i c i 6 n q u e n i e g a e l c o n s e c u e n t e d e e s a c o n d i

c i o n a l , e n t o n c e s s e p u e d e n e g a r e l a n t e c e d e n t e d e l a c o n d i

c i o n a l .

R E S U L T A D O : T o d a s l a s c o n c l u s i o n e s s o n c o n s e c u e n c i a l 6 g i c a

d e l a s p r e r n i s a s .

1 . D e m o s t r a r q u e l a s c o n c l u s i o n e s s o n c o n s e c u e n c i a l 6 g i c a d e

p r e m i s a s :

R e g / a s d e I n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - -

E J E R C I C I O S :

1 . 1 . p ~ Q , p I - - Q .

1 . 2 . - P ~ R , - P ! - - - R .

1 . 3 . ( Q v P ] ~ - - R , P v Q ! - R .

1 . 4 . P ~ Q , ~ Q R , P ! - - - R .

1 . 5 . P ~ Q , Q ~ S , P I - - S .

1 . 6 . T ~ S , T I - S .


La reqla se aplica de igual manera si el anteced_ente o el conse . cuente de una proposici6n condicional son proposiciones moleculares .

. Lo unico a que se debe prestar sumo cuidado es a la regla general cle la negaci6n de una proposici6n molecular. Como ya se ha expli 0.cado anteriormente, cuando se niega una proposici6n molecular,

P -P -P

b) p -7 Q -Q

c) p -7- Q Q

a) p -4 Q Q

Formas no validas: -P -P

b) p -7 Q d) P -7 - Q Q = (En cuanto es igual a Q) Q

De esta manera, con el Modus ponendo ponens separamos el consecuente de su antecedente, con el Modus tollendo tollens, negando el consecuente, separamos, negado, el antecedente. Estas dos reglas, entonces, si bien por caminos diversos, nos permiten se parar tanto el antecedente como el consecuente de una condicional.

Una caracterfstica muy peculiar de esta regla es el uso de la hegaci6n. Para aplicarla correctamente es necesario negar el conse cuente de una condicional. Si no se niega, o no es posible negar dicho

.consecuente, nose debe aplicar la regla. a) P -7 Q c) P -7 Q

-Q --Q -P -P

H H MTT. 1, 2

1 (1) p -7 Q 2 (2) Q

1, 2 (3) -P

Y su demostraci6n serfa:

-----------------------Reg/as de lnferenc) ' ....

1 0 2 L o g i c a M a t e n u i t i c a

L a c o n c l u s i o n a d e m o s t r a r e s : " R " . E n l a s p r e m i s a s , " R " e s c o n

s e c u e n t e d e l a p r o p o s i c i o n : " P " . P o r l o t a n t o , p a r a s o l t a r " R " , e s

T r a b a j a r e m o s a c o n t i n u a c i 6 n v a r i o s e j e m p l o s :

a } p - 7

Q , Q , P - 7 R 1 - R .

1

( 1 )

p - 7

Q

H

2

( 2 ) Q

H

3

( 3 }

P

- 7 R H

1 , 2

( 4 )

- P

M T T . 1 , 2 .

1 , 2 , 3 ( 5 } R

M P P . 3 , 4 .

A q u i v a l e d e c i r l o m i s m o q u e s e h a d i c h o e n e l e j e m p l o a n t e r i o r .

b } ( Q v R } - 7 P

- P

a ) P ( - 7 Q v R )

Q v R

Q v R

- P

E s t o s s o n . s o l o u n o s e j e m p l o s c o n u n a d e t e r m i n a d a p r o p o s i c i o n

m o l e c u l a r . P e r o e s t e p e q u e f i o c u a d r o s e a p l i c a a n a l o g i c a r n e n t e c o m o

e s q u e m a a c u a l q u i e r a c o n d i c i o n a l , c u y o s a n t e c e d e n t e s o c o n s e c u e n

t e s s e a n p r o p o s i c i o n e s m o l e c u l a r e s .

E j e m p l o s n o v a l i d o s :

b ) P - 7 ( Q v R )

( Q v R ) o - ( Q v R )

- P

( Q v R )

d ) ( Q v R ) - 7 - P

P o - - P

- P

( Q v R )

d e b e n e g a r s e l a f o r m u l a c o m p l e t a , y n o c a d a p r o p o s i c i o n a t o m i c a p o r

s e p a r a d o .

E j e m p l o s v a l i d o s :

R e g l a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - . . ' ' " '

c ) ( Q v R ) - 7 P

- P

a ) P - 7 ( Q v R )

( Q v R )

Logica Matemdtica 103

necesario tener como premisa la proposici6n "P", pero no la tene mos coma premisa, sino coma antecedente de la premisa numero uno. Entonces, si podemos negar el consecuente de esta premisa, podemos separar, negando el antecedente, que en este caso serfa: "P", y es justamente lo que necesitamos para demostrar que "R" es una consecuencia l6gica de sus premisas. En la premisa numcro dos tenemos la proposicion: "Q", la cual nos permite negar el conse cuente de la premisa numero uno.

Como es precisamente eso lo que buscamos, entonces, obtene mos exactamente: "P", aplicando a la premisa uno y dos, la regla de! Modus tollendo tollens. Una vez obtenido: "P", podemos, medi

ante la regla de! Modus ponendo ponens, obtener el consecuente de la premisa numero tres que es "R" y, por consiguiente, demostrar que es una consecuencia l6gica.

Queremos aprovechar tambien este ejemplo, para volver a explicar el uso de los numeros que aparecen en la columna izquierda.

Asf las lfneas uno, dos y tres, como son premisas, y estas depen den de sf mismas, entonces, uno depende de uno, dos depende de dos y tres depende de tres. Pero la lfnea cuatro se deduce de las If neas uno y dos, y la lfnea cinco se deduce de las lfneas tres y cuatro. En consecuencia, la lfnea cuatro, en cuanto se deduce de las .lineas uno y dos, depende de las premisas de que dependen las lineas uno y dos.

Efectivamente, uno depende de uno y dos depende de dos, por ', lo tanto, los nurneros que se colocan a la izquierda de la linea numero

cuatro, son los numeros uno y dos. La linea numero cinco es deduci da de las lfneas mimero tres y cuatro, por lo tanto.. depende de las premisas de que dependen las lineas tres y cuatro. Ahora, tres depen den de la lfnea tres, y el mimero cuatro depende de las lfneas uno y

dos, Por consiguiente, los numeros que se colocan a la izquierda de la . lfnea cinco, son los numeros uno, dos y tres.

En sintesis, los numeros de la izquierda indican las premisas de . donde se ha "inferido" la deducci6n.

~---------------------- Reglas de Inferencia

l 0 4 L o g i c a M a t e m a t i c a

1 . 1 . P - - - - t R , R ! - P .

1 . 2 . ( R v S ) - - - - t ( P : : > Q ) , - ( P : : > Q ) ! - - ( R v S ) . ,

1 . 3 . P - - - - t ( Q & R ) , ( Q & R ) - - - - t S , s P .

1 . 4 . P , Q - - - - t P , Q - - - - t R I - - - R .

1 . 5 . P - - - - t ( Q & R ) , ( Q & R ) , - P - - - - t S , S - - - - t T f - T .

1 . 6 . P - - - - t Q , Q , - P - - - - t ( R v S ) f - ( R v S ) .

1 . 7 . P - - - - t Q , Q , P - - - - t R f - R .

1 . D e m o s t ra r q u e l a s c o n c l u s i o n e s s o n u n a c o n s e c u e n c i a

1 6 g i c a d e l a s p r e m i s a s :

A q u i , e n e s t e e j e m p l o , e l u s o d e l a d o bl e n e g a c i 6 n e s i m p o r

t a n t e . S e n e c e s i t a l a n e g a c i 6 n d e l c o n s e c u e n t e d e l a p r i m e r a p r e m i s a

p a r a p o d e r a p l i c a r l a r e g l a d e l M o d us t o l l e n d o t o l l e n s . E l c o n s e

c u e n t e e s " - Q " . L a n e g a c i 6 n d e e s t a p r o p o s i c i 6 n m o l e c u l a r e s " Q " ~ .

P o r l o t a n t o , c o m o t e n e m o s e n l a p r e m i s a n u m e r o d o s l a p r o p o s i c i 6 n

a t 6 m i c a " Q " , s i l e a p l i c a m o s l a d o bl e n e g a c i 6 n o b t e n e m o s c o m o

r e s u l t a d o : " - Q " , l o c u a l s f n i e g a e l c o n s e c u e n t e d e l a p r i m e r a

p r e m i s a . U t i l i z a n d o l a r e g l a d e l M o d u s t o l l e n d o t o l l e n s s e t i e n e l a

n e g a c i 6 n d e l a n t e c e d e n t e d e e s t a p r i m e r a p r e m i s a . E l a n ! e c e d e n t e e s

" P " d e m a n e r a q u e s u n e g a c i 6 n e s " P " . E n t o n c e s , a p l i c a n d o o t r a

v e z l a d o bl e n e g a c i o n a " P " , o b t e n e m o s l a c o n c l u s i o n " P " .

R e g / a s d e I n f e r e n c i a

b ) - P - - - - t - Q , Q f - P

1

( 1 )

- P - - - - t - Q

H

2

( 2 )

Q

H

2

( 3 )

Q

D N . 2 .

1 , 2

( 4 )

- - P

M T T . 1 , 3 .

1 , 2

( 5 )

p

D N . 4 .


~ ~ L6gica Matematica 105

2.5. Si llueve, entonces no voy a tu casa. Voy a tu casa. Por lo tanto, no llueve.

2 .. 6. Si estudio, entonces no soy feliz. No ocurre que no soy feliz. Por lo tanto, no estudio.

Simbolizar y demostrar que las conclusiones de los siguientes razonamientos son consecuencia logica de las premisas: 2.1. Si los maracuchos son alegres, entonces Maracaibo es una

ciudad alegre. Si Maracaibo es una ciudad alegre, entonces es una ciudad f eliz. Los maracuchos son alegres. Por lo tanto, Maracaibo es una ciudad feliz.

2.2. Si un anqulo de un triangulo es mayor de noventa grados, entonces la suma de los otros dos anqulos es menor de noventa grados. La suma de los otros dos angulos no es menor de noventa grados. Por lo tanto, un anqulo de un trianqulo no es mayor de noventa grados.

2.3. Si el herrero no trabaja elmetal, cntonces es un ebanista. Si es un ebanista, entonces, no trabaja con soplete. No es un ebanista. Por lo tanto, es un herrero que trabaja el metal.

2.4. La ciudad de Valencia, o es una ciudad del centre de Valencia, o es una ciudad de! este de Espana. Si la dudad de Valencia o es una ciudad de! centro de Valencia, o es una ciudad del este de Espana, entonces sus habitantes se Ila man valencianos. Si sus habitantes se llaman valencianos, entonces no son maracuchos. Por lo tanto, sus habitantes no son maracuchos.

1.8. Q -7 R, .,R, Q -7 (S -7 P) f- - (S -7 P). 1.9. S R, Rf- S. 1.10. (P & Q) ~ (Q &P), (Q & P), (P & Q)7(R vS)f (R v S). RESULTADO: Todas las conclusiones, menos las de los mimeros

6 y 7, son consecuencia l6gica.

----------------------Reg/as de Inferencia


E n e s t e e j e m p l o d e s e a m o s d e m o s t r a r q u e " R ~ P " e s u n a c o n

s e c u e n c i a v a l i d a d e l a s p r e m i s a s : " P " ~ Q " y d e " R ~ Q " . L a

d e d u c c i 6 n s e f a c i l i t 6 a l i n t r o d u c i r l a p r o p o s i c i 6 n " R " , ( l f n e a n u m e r o

t r e s ) , c o m o p r e m i s a a d i c i o n a l , y u t i l i z a r l a c o m o p r e m i s a p a r a d e d u c i r

l a p r o p o s i c i 6 n " P " . L u e g o , h e m o s u s a d o l a p ru e b a c o n d i c i o n a l

p a r a d e m o s t r a r q u e l a p r o p o s i c i 6 n " R ~ P " s e s i g u e d e l a s p r o p o s i

c i o n e s d a d a s , q u e e s l o q u e a f i r m a m o s e n l a l f n e a s e i s .

P - ' - 1 Q , R ~ - Q f - R ~ P

1

( l ) P

~

Q

H

2

( 2 ) R

~

- Q

H

3

( 3 ) R

H

2 , 3

( 4 ) Q

M P P : 2 , 3 .

1 , 2 , 3

( 5 ) P

M I T . 1 , 4 .

1 , 2

( 6 ) R ~ P P C . 3 , 5 .

V e a m o s a c o n t i n u a c i 6 n c 6 m o s e a p l i c a l a P r u e b a c o n d i c i o n a l

m e d i a n t e . e l e j e m p l o s i g u i e n t e :

L a a b r e v i a t u r a d e e s t a r e g l a e s : P C .

E s t a r e g l a e s t a b l e c e : s i s e p u e d e d e d u c i r u n a p r o p os i c i 6 n

"S " d e o t r a p r o p o si c i 6 n "R " y d e u n c o n j u n t o d e p r e m i s a s,

e n t o n c e s p o d e m o s d e d uc i r , s o l o d e e s t e c o n j u n t o d e

p r em i s a s , " R " ~ " S " .

P R U E B A C O N D I C I O N A L

2 . 7 . S i e l a r r e n d a t a r i o s e c o m p o r t a c o r r e d a m e n t e , e n t o n c e s e l '

i n q u i l i n o e s r e s p o n s a b l e d e l a s r e p a r a c i o n e s . S i e l i n q u i l i n o

e s r e s p o n s a b l e d e l a s r e p a r a c i o n e s , e n t o n c e s , e l a r r e n

d a t a r i o s e b e n e f i c i a . E l a r r e n d a t a r i o n o s e b e n e f i c i a . P o r l o

t a n t o , e l a r r e n d a t a r i o n o s e c o m p o r t a c o r r e c t a m e n t e .

R E S U L T A D O : T o d a s l a s c o n c l u s i o n e s , m e n o s l a d e ! n u m e r o 3 ;

s o n c o n s e c u e n c i a l 6 g i c a d e l a s p r e m i s a s .

R e g / a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - , ~ - - - - - - - - - _ ' - " ,

~~ ~~..


Es importante advertir, entonces, que: a) La prueba condicional es una regla que nos permite intro

ducir una premisa adicional. b) Cuando se aplica la regla PC, se elimina de! conjunto de

numeros anotados a la izquierda unicarnente el numero de la lfnea que se usa coma antecedente de la condicional.

c) Solo puede tomarse coma antecedente de la condicional una lfnea que sea premisa. En nuestro ejemplo hemos tornado coma antecedente la lfnea tres. Hubiera sido totalmente

En principio, el hecho de que se ha introducido una proposici6n adiclonal como premisa, puede parecer absurdo. Si se introduce cualquier premisa en cualquier momenta, pareciera, siempre que se

.. quiera comprobar algo, que bastaria con introducir una premisa adi cional que fuera conveniente para la demostraci6n de la conclusion, lo cual no es asi de facil. Si se introduce de manera arbitraria, para

. propia conveniencia, una premisa nueva, entonces cualquier con clusion qu~ se deduzca de! conjunto total de premisas, se apoyarfa sabre todas esas premisas, y no solamente sabre el conjunto de

. premisas originales. Y esto es totalmente "a16gico". Una conclusion

.. debe apoyarse solamente sabre las premisas originates. Es decir, .dadas par el mismo razonamiento. Por lo tan to, si se introduce una premisa adicional, esta apoyarfa inevitablemente la conclusion, y corno se ha dicho anteriormente, esto no puede ser.

Entonces, ~par que nosotros la hemos introducido en el ejemplo anterior? Simplemente porque existe una regla, Hamada regla de premises, que nos permite introducir una proposicion adicional siem 'pre y cuando posteriormente se aplique una regla que nos permita .eliminarla. De esta manera, no apoyaria la conclusion.

La regla PC, en cuanto es una regla que permite eliminar de! con Gnto de premisas, la premisa adicional, nos facilita la demostraci6n

, .. ermltiendonos incorporar al conjunto de premisas originates una remisa adicional.

-----------------------Reg/as de lnferencia

1 0 8 L 6 g i c a M a t e n u i t i c a

F i j e r n o n o s e n l a l f n e a o c h o . E n e s t a f a l t a e l n u m e r o c u a t r o , e n

c u a n t o p a s a a s e r a n t e c e d e n t e e n l a c o n d i c i o n a l s e e l i m i n a d e l o s

n u r n e r o s d e I a i z q u i e r d a . D e e s t a m a n e r a l a c o n c l u s i o n s e a p o y a

s o l a m e n t e e n l a s p r e m i s a s o r i g i n a l e s .

1 ' ( 1 )

p - 1 Q

H

2 . ( 2 ) Q - 1 s

H

3

( 3 )

s - 1 R

H

4

( 4 ) ( P )

H

1 , 4 ( 5 ) Q

M P P . 1 , 4 .

1 , 2 , 4

( 6 )

s M P P . 2 , 5 .

1 , 2 , 3 , 4

( 7 )

R

M P P . 3 , 6 .

1 , 2 , ~ ( 8 )

p

- 1 R

P C , 4 , 7 .

E j e m p l o :

P - t . Q , Q - t S , S - t R f - ( P ) - 1 R .

i n c o r r e c t o s i h u b i e r a m o s u t i l i z a d o , a t a l e s e f e c t o s , o l a l i n e a

c u a t r o o l a l f n e a c i n c o , ' e n c u a n t o q u e a m b a s n o

p r e m i s a s s i n o l f n e a s d e d e r n o s t r a c i o n e s .

C o m o c o n c l u s i o n d e t o d o l o d i c h o a n t e r i o r m e n t e , p o d e m o s a f i r :

m a r q u e : s i e m p r e q u e a p l i q u e m o s l a p r u e b a c o n d i c i o n a l, p o d e m o ?

i n t r o d u c i r u n a p r e m i s a a d i c i o n a l q u e l u e g o e l i m i n a r e m o s e n e l :

m o m e n t a d e a p l i c a r l a r e g l a .

U n a b u e n a e s t r a t e g i a , q u e n o s f a c i l i t a m u c h o e n e l m o m e n t a d e

a p l i c a r l a p r u e b a c o n d i c i o n a l, e s l a s i g u i e n t e : c o m o c a s i s i e m p r e

q u e s e u s a l a P C , e s p a r a d e m o s t r a r l a c o n s e c u e n c i a l o q i c a d e u n a

c o n c l u s i o n c o n d i c i o n a l , e n t o n c e s a f i a d i r e r n o s c o m o p r e m i s a s a d i

c i o n a l e s e l c o n j u n t o d e p r e m i s a s o r i g i n a l e s , e l o l o s a n t e c e d e n t e s d e

e s a c o n c l u s i o n .

R e g / a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

l6gica Matematica 109

Si llueve, entonces voy a tu casa. Si voy a tu casa, entonces jugaremos.

Se puede concluir: Si l/ueve, entonces jugaremos. En forma simb6lica serfa:

p ---7 Q Q ---7 R p ---7 R.

I . '

La abreviatura para esta regla es SH. La regla establece: Si se da una proposiciorr condicional: .

''P 7 Q", y se da otra proposicion condicional en la que el ntecedente es el consecuente de la primera: "Q 7 R",

,~ntonces, se puede concluir una.proposicion condicional que '~nga por antecedente el antecedente de la primera condi . ional, y por consecuente el consecuente de la, segunda condicional: "P ~ R".

Un ejemplo grafico de esta regla es:

ILOGISMO HIPOTETICO

Demostrar que las conclusiones son consecuencias 16gi cas de las premisas: 1.1. P ---7. Q, R ---7 -Q, P ---7 S/R ---7 S. 1.2. P ---7 -Q, R ---7 Q, -P ---7 S 1-R ---7 S. 1.3. -P ---7 S, S ---7 Q, R ---7 Q !- R ---7 P. 1.4. S, ---7 P, P ---7 Q, Q ---7 (R v T) !- S ---7 (R v T). l.5. P ---7 ~(Q & R), R ---7 (Q & R), P ---7 S !- R ---7 S. 1.6. (P v Q) ---7 R, R ---7 S !- S ---7 (P v Q). RESULTADO: Todas las conclusiones son consecuencia 16gica

de las premisas.

EJERClCIOS:

-'----------------------Reg/as de lnferencia

1 1 0 L 6 g i c a M a t e n u i t i c a

1 . T r a d u c i r l o s s i g u i e n t e s r a z o n a m i e n t o s y d e m o s t r a r q u e l a

c o n c l u s i o n d e c a d a u n o d e e l l o s e s d e c o n s e c u e n c i a l 6 g i c a :

] . 1 . S i e l h i e l o s e d e r r i t e , e n t o n c e s s e t r a n s f o r m a r a e n a g u a . S i s e

t r a n s f o r m a e n a g u a , e n t o n c e s , l o s r l o s s e d e s b o r d a n . P o r l o

t a n t o , s i e l h i e l o s e d e r r i t e , e n t o n c e s l o s r f o s s e d e s b o r d a n .

1 . 2 . S i M e r i d a e s u n a c i u d a d f r i a , e n t o n c e s , s u s h a b i t a n t e s v i s t e n

c o n r o p a d e l a n a . S i v i s t e n c o n r o p a d e l a n a , e n t o n c e s , n o

t a n d r a n f r i o . P o r l o t a n t o , s i M e r i d a e s u n a c i u d a d f r i a ,

e n t o n c e s s u s h a b i t a n t e s n o t c n d r a n f r f o .

1 . 3 . S i B a r q u i s i m e t o e s l a c i u d a d d e l o s c r e p u s c u l o s , e n t o n c e s e s

u n a c i u d a d m a r a v i l l o s a . S i e s u n a c i u d a d m a r a v i l l o s a ,

e n t o n c e s e s u n a c i u d a d b e l l a . P o r l o t a n t o , s i B a r q u i s i m e t o e s

l a c i u d a d d e l o s c r e p u s c u l o s , e n t o n c e s e s u n a c i u d a d b e l l a .

1 . 4 . S i B a r c e l o n a d e V e n e z u e l a y B a r c e l o n a d e E s p a n a , s o n d o s

c i u d a d e s c o n e l m i s m o n o m b r e , e n t o n c e s s o n d e n o m b r e

h o r n o n i m o . S i s o n d e n o m b r e h o r n o n i m o , e n t o n c e s t i e n e n


E s t a r e g l a . C o m o p o d e m o s a p r e c i a r , n o s p e r m i t e c o n c l u i r d i r e c t a

m e n t e d e s u s d o s p r e m i s a s , u n a c o n c l u s i o n c o n d i c i o n a l , s i e m p r e y

c u a n d o t e n g a n l a c a r a c t e r f s t i c a y e l o r d e n a m i e n t o q u e e x i g e l a r e g l a .

E s d e c i r , s e d e b e c u m p l i r c o n l o s s i g u i e n t e s t r e s p a s o s : P r i m e r a , s e

d e b e n t e n e r n e c e s a r i a m e n t e d o s c o n d i c i o n a l e s . S e g u n d o , s e c o r n

p r u e b a s i e l a n t e c e d e n t e d e l a s e g u n d a p r o p o s i c i o n c o n d i c i o n a l , e s e l

c o n s e c u e n t e d e l a p r i m e r a p r o p o s i c i o n c o n d i c i o n a l . T e r c e r o , s e c o n s

t r u y e u n a c o n c l u s i o n q u e t e n g a p o r a n t e c e d e n t e e l d e l a p r i m e r a

c o n d i c i o n a l , y p o r c o n s e c u e n t e , e l c o n s e c u e n t e d e l a s e g u n d a

p r o p o s i c i o n c o n d i c i o n a l .

R e p e t i r e m o s u n a v e z m a s q u e n o c a m b i a e n a b s o l u t o " n a d a " , s i

s e t i e n e c o m o a n t e c e d e n t e s y c o n s e c u e n t e s a p r o p o s i c i o n e s m o l e c u

l a r e s .

R e g / a s d e I n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - - - -

- . . . . . ~ - - - - - - - - - - - - - - - - =


si es que se quiere concluir "P". SP 1. 1 (2) p

1 (1) P & Q H

P&Q p Q

de la premisa: se puede concluir: o se puede concluir:

' La demostraci6n serfa:

En forma simb6lica la regla se simplifica:

La abreviatura para esta regla es: S &. Esta regla establece: Si se da una conjunci6n, se puede

eparar, de una en una, cualquiera de las proposiciones que a componen.

,, La regla es muy simple y se apoya sobre el criteria del valor de Verdad de una conjunci6n. En el capftulo anterior decfamos que una conjuncion era verdadera si y solo si ambas proposiciones lo eran. Por 19 tanto, si se tiene una conjunci6n como premisa, y esta es verdadera,

.n base al principio anteriormente expuesto, si se concluye de esa premisa cada una de sus proposiciones, estas son tambien ver daderas. ::,:

SEPARACION DE LA CONJUNCION

REGLAS APLICABLES A LA CONJUNCION

cierta relaci6n entre sf. Por lo tanto, si Barcelona de Venezuela y Barcelona de Espana son dos ciudades con el mismo nombre, entonces, tienen cierta relaci6n entre sf.

1.5. Si soy o ciclista o futbolista, entonces soy un atleta. Si soy un atleta, entonces tengo buena salud ffsica. Por lo tanto, si soy o ciclista o futbolista, entonces tengo buena salud fisica.

RESULTADO: Todas las conclusiones son consecuencia l6gica.

~---------------------Reg/as de lnferencia

1 1 2 L 6 g i c a M a t e m d t i c a

N u e s t r o i n t e r e s e s c o m p r o b a r s i l a c o n c l u s i o n " S " e s u n a c o n s e

c u e n c i a l 6 g i c a d e s u s p r e m i s a s . " S " s e e n c u e n t r a e n l a l f n e a t r e s y e s

c o n s e c u e n t e d e " P " . A s u v e z , " P " f o r m a c o n " Q " u n a c o n j u n c i 6 n ,

s i e n d o e s t a c o n s e c u e n t e d e " R " . E n l a p r e m i s a u n o t e n e m o s " R " s u e l '

t o . P o r c o n s i g u i e n t e , a p l i c a n d o l a r e g l a d e l M o d u s p o n e n d o p o n e n s

a l a s l f n e a s u n o y d o s s o l t a m o s l a c o n j u n c i 6 n " P & Q " . M e d i a n t e l a

r e g l a d e s e p a r a c i o n d e l a c o n j u n c l o n a p l i c a d a a l a l f n e a c u a t r o

s o l t a m o s " P " . L u e g o c o n o t r a a p l i c a c i 6 n d e l a r e g l a M o d u s p o n e n

d o p o n e n s a p l i c a d a a l a s l f n e a s t r e s y c i n c o , d e m o s t r a m o s l a c o n s e

c u e n c i a 1 6 g i c a d e " S " .

S i n o s h e m o s f i j a d o d e t e n i d a m e n t e s o b r e e l e j e m p l o , s e g u r a

m e n t e s e h a n o t a d o q u e e n l a l f n e a d o s n o s e h a a p l i c a d o l a r e g l a d e

s e p a r a c i o n d e l a c o n j u nc i 6 n . E s t o p o r q u e , l a p r o p o s i c i 6 n : R ~

( P & Q ) , n o e s u n a c o n j u n c i 6 n , s i n o u n a c o n d i c i o n a l . P o r l o t a n t o ,

p r i m e r o s e d e b e s e p a r a r e l c o n s e c u e n t e " P & Q " d e ! a n t e c e d e n t e " R " ,

p a r a l u e g o a p l i c a r l e l a r e g l a . E s t a c l a r o q u e u n a v e z s e p a r a d a , l a

p r o p o s i c i 6 n " P & Q " d e s u a n t e c e d e n t e " R " e s , e n t o n c e s , u n a c o n

j u n c i 6 n . E s m u y i m p o r t a n t e t e n e r e s t o e n c u e n t a , p a r a n o c o m e t e r

e r r o r e s .

R , R ~

( P & Q ) ,

P ~ S f - S .

1

( 1 ) R

H

2

( 2 ) R

~ ( P & Q ) H

3

( 3 ) p

~

s

H

1 , 2

( 4 ) p & Q

M P P . 1 , 2 .

1 , 2

( 5 ) p

S & . 4 .

1 , 2 , 3 ( 6 ) s

M P P . 3 , 5 .

T o m a r e m o s e l s i g u i e n t e e j e m p l o p a r a e x p l i c a r e l u s o d e e s t a

e n u n a d e d u c c i 6 n :

1 ( 1 ) p & Q

1 ( 2 ) Q S P . 1 .

S i , e n c a m b i o , s e q u i e r e c o n c l u i r " Q " , s e r f a :

R e g / a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ " ~

L6gica Matemdtica 113

P&Q Q&P

p Q

De la premisa: y de la prernisa: se puede concluir: o se puede concluir:

p & Q. . De esta manera, la regla nos permite pasar de dos premisas a una conclusion que une esas dos premisas en una conjuncion.

Ejemplo:

Ejernplo: Sise tiene la proposici6n:

El caballo es veloz. y se tiene esta otra:

El asno es lento. Am bas pueden unirse mediante el conectivo "&", y se tendrfa,

asf, una proposici6n conjuntiva. El cabal/a es veloz y el asno es lento.

Que traducida al lenguaje l6gico nos darfa la siguiente proposi

.. La abreviatura de esta regla sera: I &. Esta regla establece: Si se dan dos proposrciones, ambas

'pueden unirse en una conjunci6n utilizando el termino de

I

fNTRODUCCION A LA CONJUNCION

Si en cambio tuvieramos la siguiente proposici6n: (P -? Q) & P, sf podriamos aplicarle la regla de separaci6n de la conjunci6n, en cuanto que la mencionada proposici6n si es una conjunci6n.

Es necesario, entonces, fijarse en el conectivo predominante para determinar la especificacion concreta de la proposici6n. Esto, claro esta, lo determina los parentesis, El conectivo que predomina es aquel que esta fuera de los parentests,

----------------------- Reglas de lnferencia


1 . 2 . S i v a m o s a l c i n e , e n t o n c e s n o e s t u d i a r e m o s . S i n o s

q u e d a m o s e n c a s a , e n t o n c e s s f e s t u d i a r e m o s . P o r l o t a n t o , s i

v a m o s a l c i n e , e n t o n c e s n o e s t u d i a r e m o s y s i n o s q u e d a m o s

e n c a s a , e n t o n c e s s f e s t u d i a r e m o s .

1 . T r a d u c i r l o s s i g u i e n t e s r a z o n a m l e n t o s ; y d e m o s t r a r . q u e

l a s c o n c l u s i o n e s s o n i n f e r e n c i a s l o g i c a s .

1 . 1 . E l r f o O r i n o c o e s e l m a s l a r g o d e S u d a m e r i c a . E l N i l o e s e l . :

r i o m a s l a r g o d e ! m u n d o . P o r l o t a n t o , e l r i o O ~ i n o c o e s e l

m a s l a r g o d e S u d a m e r i c a y e l N i l o e s e l m a s l a r g o d e l

m u n d o .

E JE R C I C I O S

a ) P , Q r - p & Q .

1

( 1 )

p

H

2

( 2 )

Q

H

1 , 2 ( 3 ) P & Q

I & . 1 , 2 .

b ) P v Q , R v S f - ( R v S ) & ( P v Q ) .

1

( 1 )

P v Q

H

2

( 2 )

R v S H

1 , 2

. ( 3 ) ( R v S ) & ( P v Q )

l & . 1 , 2 .

E s t o q u i e r e d e c i r , q u e e l o r d e n d e l a s p r o p o s i c i o n e s e n l a c o n c l u s i 6

e s i n d i f e r e n t e . S e c o n c l u y e s i e m p r e d e a c u e r d o a l a s n e c e s i d a d e s d

l a d e m o s t r a c i 6 n . A q u i e s v a l i d o a p l i c a r l e l a a r c h i n o t a d e f i n i c i o n

m a t e m a t i c a : E I o r d e n d e I o s f a c t o r e s n o a l t e r a e l p r o d u c t o .

E f e c t i v a m e n t e , l a p r o p o s i c i 6 n a n t e r i o r r n e n t e c o n s t r u i d a : E l c a b a l l o e $

v e l o z y e l a s n o e s l e n t o , n o c a m b i a d e s i g n i f i c a d o s i s e c a m b i a e l o r d e n

d e l a s p r o p o s i c i o n e s . E l a s n o e s l e n t o y e l c a b a l l o e s v e l o z , s i g n i f i c a

e x a c t a m e n t e l o m i s m o .

A c o n t i n u a c i 6 n d a r e m o s a l g u n o s e j e m p l o s e n l o s q u e s e u t i l i z a l a ,

r e g l a d e i n t r o d u c c l o n a l a c o n j u n c i o n :

R e g l a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - " " " "


La abreviatura de esta regla es: MTP. Esta regla estable: Si se da una proposicion disyuntiva y se

'tiene una proposici6n que niega uno de los miembros de esa disyunci6n, se conoce el otro miembro.

MODUS TOLLENDO PONENS

REGLAS APLICABLES A LA DISYUNCION

RESULTADO: Todas las conclusiones son consecuericia l6gica de las premisas.

2.1. R & T, S 7 R f- S. 2.2. -P 7 Q, -(S & R), P 7 (S & R) 1- -P & Q. 2.3. P 7 Q, P, P 7 R f- Q & R. 2.4. P 7 Q, R 6 S, S 7 T I- P 7 (Q & T). 2.5. P 7 (P & Q), P, (P & Q) 7 R I- (~~) & RJ 2.6. P 7 Q , R 7 S, P & R, (Q & S) 7 T f- T. 2. 7. p & Q I- - P. 2.8. ~,(P & Q) f- Q.

1.3. La sociedad es una comunidad de individuos que buscan una forma de vida en comun y una cultura propia. Si bus can una vida en cormin, entonces buscan una solidaridad entre ellos. Si buscan una cultura propia, entonces buscan una 'identldad nacional. Par lo tanto, la sociedad busca una solidaridad entre ellos y una identidad nacional.

1.4. Pedro y Juan son estudiosos. Carlos, en cambio, no lo es. Por lo tanto, Pedro y Juan son estudiosos, y Carlos no lo es.

RESULTADO: Todas las conclusiones son consecuencia l6gica. Probar que las conclusiones siguientes son consecuencia l6gica de las premisas:

---------------------Reg/as de Inferencia

1 1 6 L o g i c a M a t e m d t i c a

D e l a p r e m i s a : ( P - t Q ) v R

y l a p r e m i s a : - ( P - 1 Q )

s e c o n c l u y e : R

p - 1 Q

- P

y l a p r e m i s a :

s e c o n c l u y e :

6

a ) D e l a p r e m i s a : ( P - t Q ) v R

L a a p l i c a c i 6 n d e e s t a r e g l a s e r f a e x a c t a m e n t e i g u a l s i l o s m i e m

b r o s d e l a d i s y u n c i 6 n e n v e z d e p r o p o s i c i o n e s a t 6 m i c a s f u e r a n :

p r o p o s i c i o n e s m o l e c u l a r e s :

d e ' I a p r e r n i s a :

y l a p r e m i s e :


0 p u e d e d a r s e e l c a s o i n v e r s o :

P v Q

- P

Q

P v Q

- Q

p

d e l a p r c m i s a :

y d e l a p r e m i s a :


S i m b 6 l i c a m e n t e l a r e g l a s e e x p r e s a :

S e c o n c l u y e :

E j e m p l o :

S i t o m a m o s l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i 6 n c o m o p r e m i s a :

0 l e e m o s o e s c r i b i m o s .

P u e d e d a r s e e l h e c h o d e q u e l e e m o s y n o e s c r i b i m o s , o l o i n v e r .

s o : e s c r i b i r n o s y n o l e e m o s , o q u i z a s a m b o s .

P e r o s i s e t i e n e o t r a p r e m i s a r n e d i a n t e l a c u a l s e n i e g a e s p e c f f i c a . . ;

m e n t e u n o d e l o s d o s h e c h o s :

N o l e e m o s ,

e n t o n c e s , e s c r i b i m o s .

R e g / a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


Q, (Q & R) --+ S, R v T, T f- S. 1 (1) Q H 2 (2) (Q & R) --+ S H 3 (3) RvT H 4 (4) T H

3,4 (5} R MTP. 3, 4. 1,3,4 (6) Q & R 1.&. 1, 5.

1, 2, 3, 4 (7) s MPP. 2, 6.

Tambien se encuentra la regla junta con otras reglas.

H H MTP, 1, 2.

1 (1) PvQ 2 (2) -P

1, 2 (3} Q

la dem6straci6n serfa: P v Q, Pf Q.

De los ejernplos anteriores podemos deducir dos cosas: una es que la regla Modus tollendo ponens nos permite separar una

. disyund6n; y la otra es que el miembro que se concluye no viene alterado en su valor original. Si esta negado, se concluye negado, y si esta afirmado, se concluye afirmado.

A continuaci6n estudiaremos la aplicaci6n practica de la regla: Sise tiene:

b} De la premisa: (P & Q) v (Q & P) y la premisa: (Q & P) se concluye: (P&Q) 0 Il>e la premisa: (P & Q} v (Q & P} y la premisa: P&Q se, concluye: Q&P

~--------------------Reg/as de Inferencia


L a a b r e v i a t u r a d e e s t a r e g l a e s : L A

L a r e g l a e s t a b l e c e : s i s e d a u n a p r o p o s l c l e n , e j e m p l o : " P " , . ;

s e p u e d e c o n s t r u i r u n a d i s y u n c i 6 n d o n d e u n r n i e m b r o , d e e s a

d i s y u n c i 6 n e s : " P " y e l o t r o p u e d e s e r u n a p r o p o s i c i o n

c u a l q u i e r a : " P v S " .

E l p r i n c i p i o d e e s a r e g l a s e f u n d a m e n t a , a l i g u a l q u e e l M o d u s

t o l l e n d o p o n e n s , s o b r e e l v a l o r d e v e r d a d d e l a d i s y u n c i 6 n . P o r l o

t a n t o , s i s e t i e n e u n a p r e m i s a v e r d a d e r a , s e c o n c l u y e d e e l l a u n a

d i s y u n c i 6 n q u e t e n g a c o m o m i e m b r o s a e s a p r e m i s a y a u n a p r o p o s i

c i 6 n c u a l q u i e r a .

L E Y D E A D I C I O N

R E S U L T A D O : T o d a s l a s c o n c l u s i o n e s , m e n o s l a n u m e r o 5 , s o n

c o n s e c u e n c i a s l 6 g i c a s d e l a s p r e m i s a s .

1 . 1 . P v Q , R v S , P , S f - Q & R :

1 . 2 . Q v R , - R f - Q .

1 . 3 . P v - Q , Q , R , ( P & R ) - 7 S f - S .

1 . 4 . P - 7 ( Q v R ) , - P , - R f - Q .

1 . 5 . P - 7 Q , R v S , S - 7 T f - P - 7 S .

1 . 6 . P - 7 - Q , Q v S , S - 7 T f - P - 7 T .

1 . 7 . P v Q , R , Q - 7 R f - P .

1 . 8 . P , Q , ( P & Q ) - 7 R , - R v S f - S .

1 . 9 . S & P , R v Q , S - 7 Q f - R .

1 . 1 0 . P v Q , P , Q - 7 R , R - 7 S f - S .

1 . D e m o s t r a r q u e l a s c o n c l u s i o n e s s o n c o n s e c u e n c i a s l o g i

c a s d e l a s p r e m i s a s :


R e g / a s d e I n f e r e n c i a . . . , . . , , c ' ~

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - r 0 1 l l


1,2 1,2,3

H H H LA. 1. MPP. 2, 4. 1&.3, 5.

R, (R v Q) ~ P, T f- P & T. 1 (1) R 2 (2)(R v Q) ~ P 3 (3)T 1 (4) R v Q

(5) p (6) P & T

De esta manera, si la regla Modus tollendo ponens, nos permite . separar una disyunci6n, la regla: Ley de adlclon, nos permite cons

. truir una disyuncion. A continuacion aplicaremos la regla en una demostraci6n mas

compleja:

Q v P.

PvQ se concluye: 0

se concluye:

llueve o hace frf o. Aquf coma en la conjunci6n, el orden de las proposiciones no

altera ni el valor, ni el significado. De todas formas, lo importante de la regla radica en el hecho de

que si la premisa es verdadera, la disyunci6n que de ellas se infiere es tambicn verdadera.

La simbolizaci6n de la regla se expresa de la siquiente form a: De la premisa: P

Ejemplo: Si se tiene coma premisa la proposici6n:

Liu eve, se concluye:

llueve o? En el lugar de! signo de interrogaci6n, podemos colocar

cualquiera proposici6n. En este caso colocamos la proposici6n "hace frfo". Entorices tenemos:

,.-----------------------Reg/as de Inferencia

T .

T .

- R .

R .

- ( T v Q ) .

P & Q .

Q .

S .

Q .

- ( - S v - R ) .

1 2 0 L 6 g i c a M a t e m d t i c a

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m e r o u n o e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m e r o d o s e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m c r o t r e s e s :

l a c o n c l u s i o n d e . l a n u m e r o c u a t r o e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m e r o c i n c o e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m e r o s e i s e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m e r o s i e t e e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u r n e r o o c h o e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m e r o n u e v e e s :

l a c o n c l u s i o n d e l a n u m e r o d i e z e s :

R E S U L T A D O :

1 . l Q u e c o n c l u s i o n e s s e i n f i e r e n d e l a s s i g u i e n t e s p r e m i s a s ?

1 . 1 . P - t Q , R v Q , ( P v S ) t T , - R f - ?

1 . 2 . Q v T , Q - t R , R I - ?

1 . 3 . S & Q , P - t Q , P - t - R I - ?

1 . 4 . s - t ( P & Q ) , S , ( P & Q ) - t R I - ?

1 . 5 . ( R v S ) - t P , R , P - t - ( T v Q ) I - ?

1 . 6 . ( P & Q ) v ( R & S ) , - ( R & S ) I - ?

1 . 7 . ( P - t Q ) v ( Q - t P ) , ( Q - t P ) , P I ?

1 . 8 . ( Q v R ) - t S , Q I - ?

1 . 9 . S , P - t - S , ( P v R ) - t Q ! - ?

1 . 1 0 . ( S v R ) - t P , P I ?


E n e s t e e j e m p l o e s i m p o r t a n t e f i j a r s e e n l a l f n e a c u a t r o . E s a q u i ,

d o n d e h e m o s a p l i c a d o l a r e g l a . T e n i e n d o " R " c o m o p r e m i s a , s e h ~

c o n c l u i d o " R v Q " , p o r q u e e s e s a p r o p o s i c i o n q u e n o s i n t e r e s a c o n s t r u i r ,

e n c u a n t o q u e p a r a s o l t a r " P " d e l a l f n e a d o s , n e c e s i t a m o s e l

a n t e c e d e n t e q u e e s e x a c t a m e n t e " R v Q " .

R e g l a s d e I n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - "

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Logica Matenuitica 121

Ffjense en los numeros de la derecha de la lfnea seis. Demuestran I 10s pasos seguidos: el uno corresponde a la premisa disyuntiva que ha

, servido de base en la dernostracion. El dos es el primer miembro de

PvQfQvP 1 (1) PvQ H 2 (2) p H 2 (3) QvP LA. 2. 4 (4) Q H 4 (5) QvP LA.4. 1 (6) QvP Ev. 1, 2, 3, 4, 5.

La abreviatura de esta regla es: Ev. Esta regla establece: Si se da una disyunci6n como premisa,

ejemplo: "P v Q", y se puede deducir "S" tanto a partir de "P" como a partir de "Q", entonces "S" es consecuencia inmediata de: "P v Q".

Los pases a seguir en una demostracion son los siguientes: a) Se toma el primer miembro de la dlsyuncion como premisa. b) Se comprueba que la conclusion a demostrar se deduce de

ese primer miernbro, c) Se toma el segundo miembro de la disyuncion como premisa. d) Se comprueba que la conclusion a demostrar se deduce, tam

bien, de este otro miembro. e) Si se demuestra que la conclusion se deduce tanto de!

primero como' de! segundo miembro, se concluye que la con clusion es consecuencia inmediata de la premisa disyuntiva.

A continuacion aplicaremos estos pasos el ejemplo "tipo" de esta regla:

ELIMINACION DE LA DISYUNCION

------------------~---Reg/as de Inferencia

1 2 2 L o g i c a M a t e m a t i c a

6 ) E n c u a n t o s e h a d e m o s t r a d o q u e l a c o n c l u s i o n " Q v P " , s e

c o n c l u y e d e a m b o s m i e m b r o s d e l a d i s y u n c i 6 n , e n l a l f n e a

s e i s s e c o n c l u y e l a c o n c l u s i 6 n a p l i c a n d o l a r e g l a a l o s p a s o s

a n t e r i o r m e n t e m e n c i o n a d o s .

4 ) E n l a l f n e a c u a t r o s e h a t o r n a d o e l s e g u n d o m i e m b r o d e l a

d i s y u n c i 6 n c o m o p r e m i s a a d i c i o n a l , y e n c u a n t o e s p r e m i s a ,

l a l f n e a c u a t r o s e a p o y a t a m b i e n s o b r e s f m i s m a . P o r l o t a n t o ,

c u a t r o s e a p o y a e n c u a t r o .

5 ) E n l a l f n e a c i n c o s e h a d e m o s t r a d o q u e l a c o n c l u s i o n " Q v

P " , s e d e d u c e t a r n b i e n a p a r t i r d e ] s e g u n d o m i e m b r o d e l a

d i s y u n c i 6 n , y s e a p o y a e n c u a t r o .

3 ) E n l a l i n e a t r e s s e h a d e m o s t r a d o q u e l a c o n c l u s i o n : " Q v P " ,

s e p u e d e d c d u c i r a p a r t i r d e ! p r i m e r m i e m b r o d e l a d i s y u n

c i 6 n , y s e a p o y a e n d o s .

e s a d i s y u n c i 6 n , e l c u a l s e h a t o r n a d o c o m o p r e m i s a a d i c i o n a l . E l t r e s

e s l a c o n c l u s i 6 n l a c u a l s e h a d e d u c i d o d e e s e p r i m e r m i e m b r o . E l c u a ~

t r o e s e l s e g u n d o m i e m b r o d e l a d i s y u n c i 6 n , q u e c o m o e l p r i m e r o , s ~

h a t o r n a d o c o m o p r e m i s a a d i c i o n a l . E l c i n c o e s l a c o n c l u s i 6 n , q u e

a q u i e s d e m o s t r a d a a p a r t i r d e ! s e g u n d o m i e m b r o . . E l c i n c o c o r r e s p o n d s

a l a l i n e a e n l a q u e s e c o n c l u y e q u e l a c o n c l u s i o n . e s c o n s e c u e n c i a

i n m e d i a t a d e l a p r e r n i s a n u m e r o u n o .

V e a m o s , a h o r a , e l d e s a r r o l l o p a s o p o r p a s o :

1 ) T e n e m o s c o m o p r e m i s a : " P v Q " y s e q u i e r e d e m o s t r a r q u e

" Q v P " e s c o n s e c u e n c i a l 6 g i c a d e l a s p r e m i s a s . E i " t t o n c e s , e l

p r i m e r p a s o h a s i d o a n o t a r e n l a l f n e a u n o l a p r e m i s a d i s y u n

t i v a . Y c o m o t o d a p r e m i s a s e a p o y a s i e m p r e s a b r e s f r n i s m a ,

l a l f n e a u n o s e a p o y a e n u n o .

2 ) E n l a l f n e a d o s s e h a t o r n a d o , c o m o p r e m i s a a d i c i o n a l , e l

p r i m e r m i e m b r o d e l a d i s y u n c i 6 n , y e n c u a n t o e s p r e m i s a , l a

I f n e a d o s s e a p o y a s o b r e s f m i s m a . P o r l o t a n t o , d o s s e a p o y a

' .

e n d o s .

R e g / a s d e I r f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~


La regla, como podemos notar, requiere de cinco pasos indis 'pcnsables para' su aplicaci6n, y permite tomar premisas adicionales,

Otro ejemplo: PvQ,7 p R, Q -7 Sf- R v S.

1 (1) PvQ H 2 (2) p -7 R H 3 (3) Q -7 s H 4 (4) p H ;

2,4 (5) R MPP. 2, 4. 2,4 (6) RvS LA 5.

7 (7) Q H 3, 7 (8) s MPP. 3, 7. 3,7 (9) RvS LA 8.

1, 2,3 (10) R v S Ev. 1, 4, 6, 7, 9.

Para poner los numeros en la izquierda de la linea seis se ha pro cedido de la siguiente manera: por definicion, a la izquierda de la linea en la que se aplica la Ev., se anotan todos los mimeros, menos los mimeros de las Hneas de las premisas adicionales, entonces tenemos que: 1a lfnea cinco se apoya en cuatro. Como la lfnea cuatro es premisa adicional, el cuatro no se anota a la izquierda. La lfnea cuatro es la premisa adicional, por lo tanto no se anota a la izquierda. La lfnea tres se apoya en dos, como la llnea dos es la premisa adicional, el dos no se anota en la izquierda. La linea dos, ya

se ha dicho, es 'la premisa adicional, por lo tanto, no se anota en la izquierda:

La lfnea uno, como no. es premisa adicional, sf se anota en la izquierda. De esta manera la conclusion se apoya solamente en la lmea uno, y la Iinea uno resulta ser la (mica premisa originalmente dada por el razonamiento y, por lo tanto, la (mica llamada a apoyar la conclusion.



1 . 3 . L a v i d a e s u n h i m n o d e a l e g r f a . S i e s u n h i m n o d e a l e g r f a o

e s u n h i m n o a l a p e r e z a , e n t o n c e s l a v i d a s i g u e , d e t o d a s f o r

m a s s u c u r s o . P o r l o t a n t o , l a v i d a s i g u e s u c u r s o .

1 . 4 . 0 l a l 6 g i c a e s d i f l c i l , o n o l e g u s t a a m u c h o s e s t u d i a n t e s , S i

l a m a t e r n a t i c a e s f a c i l , e n t o n c e s l a 1 6 g i c a n o e s d i f f c i l , P e r l o

t a n t o , s i l a m a t c m a t i c a e s f a c i l , e n t o n c e s l a l 6 g i c a n o l e g u s t a

a m u c h o s e s t u d i a n t e s .

1 . 5 . 0 e l c o n t r a t o e s l e g a l , o P e r e z e n t r 6 e n e l c o n t r a t o . 0 e l c o n i

t r a t o n o e s l e g a l o M a r f a n o l o r e g i s t r 6 . S i P e r e z ' e n t r 6 e n e l :

c o n t r a t o , e n t o n c e s M a r f a n o l o r e g i s t r 6 . P o r l o t a n t o , M a r f a

n o r e g i s t r 6 e l c o n t r a t o . .

1 . 6 . E l e s t u d i o e s b e l l o y e n s e f l a . 0 e n s e f l a o e l e s t u d i a r e s u n a

u t o p i a . S i e n s e f i a o e l e s t u d i a r e s u n a u t o p i a , e n t o n c e s e s

u n a c o n t r a d i c c i 6 n . P o r l o t a n t o , e l e s t u d i a r e s u n a c o n t r a d i c

c i 6 n .

1 . D e m o s t r a r q u e l a s c o n c l u s i o n e s s o n c o n s e c u e n c i a 1 6 g i c a

d e l o s s i g u i e n t e s r a z o n a m i e n t o s :

1 . 1 . 0 ' l l u e v e o h a c e f r f o . S i l l u e v e , e n t o n c e s n o s m o j a r e m o s . S i .

h a c e f r i o , e n t o n c e s n o s r e s f r i a r e m o s . P o r l o t a n t o , n o s

m o j a r e m o s 0 n o s r e s f r i a r e r n o s .

1 . 2 . 0 s o y f e l i z o s o y p r a c t i c e . S i s o y f e l i z , c n t o n c e s m e d i v i e r t o .

P o r l o t a n t o , o s o y p r a c t i c e o m e d i v i e r t o .

'

q u e l u e g o , e l i m i n a e n l a f o r m a q u e a n t e r i o r m e n t e s e h a e x p l i c a d o . L ;

v a l i d e z d e e s t a r e g l a r e p o s a , c o m o l a s o t r a s d o s r e g l a s , . e n e l v a l o r d e

v e r d a d d e l a d i s y u n c i 6 n i n c l u s i v a . P a r t e d e l p r i n c i p i o p o s i b l e q u ' '

a m b o s m i e m b r o s d e l a d i s y u n c i 6 n s o n v e r d a d e r o s . E n e f e c t o , s i s e

d e m u e s t r a . q u e l a c o n c l u s i o n s e . d e d u c e d e a m b o s m i e m b r o s s e

d e m u e s t r a a l a v e z q u e s i a m b o s m i e r n b r o s d e l a d i s y u n c i 6 n s o n v e r Y

d a d e r o s , l a c o n c l u s i o n t a m b i e n l o e s .


. E J E R C I C I O S :.


0 es de noche o es de dfa. Si se tiene la proposici6n:

De igual manera sucede con una proposici6n disyuntiva, El perro es amigo de! hombre y es un animal fie/.

no pasa nada si le cambiamos el orden: El perro es un animal fie! y es amigo de/ hombre;

Si se tiene la proposici6n:

La abreyiatura de esta regla es: C. Anteriormente se ha venido insistiendo que el orden de colo

caci6n de las proposiciones en una "conjunci6n" y en una "disyun ci6n" es indiferente. 0 sea, que tanto su significado como su valor de verdad, no depende de ello.

Ejemplo:

LEY CONMUTATIVA

RESULTADO: Todas las conclusiones son consecuencia l6gica de las premisas.

2.1. P ~ -Q, R ~ P, Q v B,J- P. 2.2. P v Q, P ~ -R, Q ~ Sf- Sv -R. 2.3. (Q v R) ~ S, R, f- S v T. 2.4. R v ~Q, (T v S) ~ R, Qv P, (T v S) ~ P f- (T v S). 2.5. -(P v Q) ~ R, -R & S, P ~ T, Q ~ W f- T v W. 2.6. Pv (Q & R) f- P v R.

RESULTADO: Todas las conclusiones, menos la numero 6, son consecuencia l6gica.

Demostrar que las conclusiones son consecuencias l6gi cas de las premisas:



H

C . 1 .

P v Q

Q v P

1 ( 1 )

1 ( 2 )

6

P & Q / / Q & P

1 ( 1 ) p & Q

'

A h o r a d a r e m o s l a d e f i n i c i 6 n d e e s t a r e g l a : S i s e d a u n a c o n -

j u n c i 6 n o u n a d i s y u n c i 6 n , s e p u e d e c a m b i a r l a c o l o c a c i 6 n d

l a s p r o p o s l c l o n e s q u e l a c o m p o n e n .

L a d e m o s t r a c i 6 n d e l a r e g l a s e r f a :

P v Q

Q v P

S i s e t i e n e :


0

P & Q

Q & P

E j e m p l o s :

S i s e t i e n e :

s e c o n d u y e :

0 e s d e d f a o e s d e n o c h e .

P o r l o t a n t o , s i e l o r d e n d e c o l o c a c i 6 n d e l a s p r o p o s i c i o n e s , n o

a f e c t a n i e l s i g n i f i c a d o , n i e l v a l o r d e v e r d a d d e u n a c o n j u n c i 6 n y d e

u n a d i s y u n c i 6 n , e s f a c t i b l e , e n t o n c e s , s i e m p r e q u e s e t e n g a u n

p r e m i s a d i s y u n t i v a o a u n a c o n j u n c i 6 n , c o n c l u i r i n m e d i a t a m e n t e d e

e l l a s c o m o c o n c l u s i 6 n l a m i s m a p r o p o s i c i 6 n p e r o c o n l a s p r o p o s i

c i o n e s q u e l a c o m p o n e n i n v e r t i d a s .

S e r a e x a c t a m e n t e l o m i s m o , s i s e c a m b i a e l o r d e n d e l a s p r o p o s i

c i o n e s :

R e g / a s d e I n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - '

H

C . 1 .

Q & P

1 ( 2 )


P & (Q v R) -ff- (P & Q) v (P & R). 1 (2) P & (Q v R) H 1 (2) (P & Q) v (P & R) A. 1.

Dernostraci6n:

La abreviatura de esta regla es: D. Esta ley nos permite pasar de. una formula proposicional

a su formula proposicional equivalente apllcandole el princi pio distributivo. Tomando en cuenta que la distribuci6n con respec to a. una formula proposicional se da entre: a. la conjunci6n sobre la

disyunci6n; b. la disyunci6n sobre la conjunci6n; c. la condicional sobre la disyunci6n; d. la condicional sobre la bicondicional y e. la condicional sobre ella misma.

a) La conjuncion sobre la disyuncion: Ejemplo: P & (Q v R) es equivalente a (P & Q) v (P & R).

LEY DISTRIBUTIVA

H A. 1.

P v (Q v R) -ff- (P v Q) v (P v R). 1 (1) Pv(QvR) 1 (2) (P v Q) v (P v R)

b)

a) 'P &(Q & R) -If- (P & Q) & (P & R). 1 (1) P & (Q & R) H 1 (2) (P & Q) & (P & R) A. 1.

La abreviatura de esta regla es: A. Esta ley nos permite pasar de una formula proposicional

conjuntiva o disyuntiva a su formula proposicional equiva lente, apllcandole el principio de asociaclon.

La aplicaci6n de la regla serfa:

LEY ASOCIATIVA

---------------------Reg/as de lnferencia


1 ' :

D e m o s t r a c i 6 n :

e ) L a c o n d i c i o n a l s o b r e e l l a m i s m a .

E j e m p l o :

P - t ( Q - t R ) - I f - ( P ~ Q ) - t ( P - t R )

H

D . 1 .

1 ( 1 ) P - t ( Q = > R )

1 ( 2 ) ( P - t Q ) = > ( P - t R )


d ) L a c o n d i c i o n a l s o b r e l a b i c o n d i c i o n a l .

E j e m p l o : .

P ~ ( Q = > R ) - 1 1 - ( P - t Q ) = > ( P - t R ) .

H

D . 1 .

1 ( 1 ) P - t ( Q v R )

1 ( 2 ) ( P - t Q ) v ( P - t R )


c ) L a c o n d i c i o n a l s o b r e l a d i s y u n c i 6 n .

E j e m p l o :

P - t ( Q v R ) - I f - ( P - t Q ) v ( P - t R ) .

P v ( Q & R ) l f ( P v Q ) & ( P v R ) .

1 ( 1 ) P v . ( Q & R H

1 ( 2 ) ( P v Q ) & ( P v R ) A . 1 .


b ) L a d i s y u n c i 6 n s o b r e l a c o n j u n c i 6 n .

E j e m p l o :

P v ( Q & R ) e s e q u i v a l e n t e a ( P v Q ) & ( P v R ) .

R e g / a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

H

D . 1 .

1 ( 1 ) P - t ( Q - t R )

1 ( 2 ) ( P - t Q ) - t ( P - t R )


Ejemplo: De la proposici6n: "P Q" se concluye "(P -1 Q) & (Q -1 P)",

uego mediante la aplicaci6n de la regla de separaci6n de la conjun

. La practicidad de esta regla consiste en que separa una bicondi cional.

La abreviatura de esta regla es: LB. Esta regla establece: Si se da una proposrcion bicondi

.clonal: "P {=:} Q", se puede concluir su equivalente: '(P -1 Q) & (Q -1 P)', o lo inverso.

Simb6licamente la regla se expresa: a) p Q

(P -t Q) & (Q -t P) b) (P -> Q) & (Q -t P)

p ::> Q

REGLA DE LA LEY BICONDICIONAL

1.1. P, Q v R, [(P & Q) v (P & R)] -t sv- S. 1.2. (P v Q) & R, P -t S, Q -t S, T f-- (R & T) & S. 1.3 .' P -t (Q v R), (P -t Q) -t S, (P -t R) -t S f-- S. 1.4. P -t (Q -t R), (P -t R) f-- (P -t Q). 1.5. P, (Q v R) f-- (P & Q) v (P & R). 1.6. (P & Q) v (P & R), [(P & (Q v R)] -t Sf S v T. 1.7. P & (Q v R), [(Q v R) & Pl -t T, S v Tf S.

: RESULTADO: Todas las conclusiones son consecuencia 16gica de las premisas.

Demuestra que las conclusiones son inferencias logicas de las premisas:

EJERCICIOS:

--------------------Reg/as de lnferencia


E n l a l i n e a c i n c o , h e m o s a p l i c a d o l a r e g l a " L B " , p a r a d i s p o n e r d e

m a s p r e m i s a s , y t a m b i c n p o r q u e n o s i n t e r e s a b a s e p a r a r l a b i c o n d i

c i o n a l . L u e g o , h e m o s s e g u i d o e l p r o c e s o n o r m a l d e l a d e d u c c i o n ,

A c o n t i n u a c i 6 n e x p o n d r e m o s u n o s e j e m p l o s e n l o s q u e s e a p l i c a

e l c o n s e j o a n t e r i o r :

U n c o n s e j o p r a c t i c e p a r a e l u s o d e e s t a r e g l a e s , s i e m p r e q u e s e

t e n g a u n a p r e m i s a b i c o n d i c i o n a l , a u t o r n a t i c a m e n t e s e l e a p l i c a l a

r e g l a d e l a l e y b i c o n d i c i o n a l , p a r a a s l l l e v a r l a a s u f o r m u l a p r o p o s i

c i o n a l e q u i v a l e n t e . D e e s t a m a n e r a s e t i e n e l a p o s i b i l i d a d i n m e d i a t a

d e d i s p o n e r d e m a s p r e m i s a s q u e s i n d u d a f a c i l i t a r a l a d e r n o s t r a c i o n .

D e i g u a l m a n e r a , s l l o q u e s e d e b e c o n c l u i r e s u n a p r o p o s i c i 6 n

b i c o n d i c i o n a l , e n t o n c e s s e d e b e : p r i m e r o c o n s t r u i r l a f o r m u l a e q u i v a

l e n t e , y l u e g o , m e d i a n t e l a a p l i c a c i o n d e l a r e g l a d e l a l e y b l c o n d i

c i o n a l , l l e v a r l a a s u f o r m u l a b i c o n d i c i o n a l .

'

a )

p : : : } Q ,

P , Q

4 R / - R .

1

( l ) P : : > Q

H

2

( 2 ) P

H

3 ( 3 ) Q 4 R

H

1

( S ) ( P 4 Q ) & ( Q

4

P )

L B . 1 .

1 ( 6 ) P 4 Q S & . 5 .

1 , 2

( 7 ) Q

M P P . 2 , 6 .

1 , 2 , 3

( 8 ) R

M P P . 3 , 7 .

c i o n , s e p u e d e c o n c l u i r t a n t o " P 4 Q " , c o m o " Q 4 P " ; a l m i s m o

t i e m p o q u e u n a a d o s c o n d i c i o n a l e s , s i e m p r e y c u a n d o c u m p l a n c o n

l a f o r m a e q u i v a l e n t e .

E j e m p l o :

" ( P 4 Q ) & ( Q 4 P ) " s e u n e n e n " P : : : ? Q " .

R e g / a s d e l u f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , ' - .


Traducir los siguientes razonamientos y comprobar si la conclusion de cada uno de ellos es una consecuencla logica de todas las premisas: 1.1. Llueve si y solo si hay nubes. Si hay nubes, entonces hubo

anteriormente una evaporaci6n a causa de! calor. Llueve. Por lo tanto, hubo una evaporaci6n a causa del calor.

1.2. Una ley en el Congreso es aprobada si y s6lo si es aproba da por la mayorfa. 0 es aprobada por la rnayoria o el Presidente la devuelve al Senado. Si el Presidente la devuelve al Senado, entonces, se reanudara la discusi6n. Por lo tanto, o es aprobada por la mayorfa o se reanudara la discusion.

1.3. El campesino recoqera el fruto de la tierra si y solo si siern bra. Par lo tanto, el campesino si y s6lo si siembra recogcra el fruto de la tierra.

1.4. Estudio si y s6lo es bueno para mi futuro. 0 estudio o es bueno para mi futuro. Si estudio, entonces sere un hombre culto. Si es bueno para mi futuro, entonces tendrc un buen

EJERCICIOS:

En este otro ejemplo, como se requiere la demostraci6n de una conclusion bicondicional, se ha construido primero la formula equi valente, (ver la linea tres), y luego se ha concluido en la lfnea cuatro la conclusi6n bicondicional, mediante la aplicaci6n de la regla LB a la lfnea tres.

b)P ----t Q, Q ----t p ~ p Q. 1 (2)P ----t Q H 2 (2)Q ----t p H

1,2 (3)(P ----t Q) & (Q ----t P) 1&. 1, 2. 1, 2, (4)P Q LB. 3.

. Reg/as de Inferencia


L a a b r e v i a t u r a d e e s t a r e g l a e s : R A .

E s t a r e g l a e s t a b l e c e : S i e s f a c t i b l e d e r i v a r u n a c o n t r a d i c c i o n

d e u n c o n j u n t o d e p r e m i s a s y d e l a n e g a c i o n d e " S " ,

e n t o n c e s s e p u e d e d e r i v a r " S " t i n i c a m e n t e d e l c o n j u n t o d e

p r e m i s a s .

L a r e g l a d e l a r e d u c c i 6 n a l a b s u r d o , H a m a d a t a m b i e n p r u e b a p o r

c o n t r a d i c c i o n y p r u e b a i n d i r e c t a , e s m u y a n t i g u a . E l u s o d e a r g u

m e n t o s i n d i r e c t o s e s q u i z a s b i e n c o n o c i d o d e s d e l a g e o m e t r f a e l e

m e n t a l . L a t e c n i c a d e e s t a p r u e b a s e d e s a r r o l l a d e l a s i q u i e n t e m a n e r a :

1 ) S e i n t r o d u c e c o m a p r e m i s a a d i c i o n a l l a n e g a c i 6 n d e l a c o n c l u s i o n

d e s e a d a .

2 . 1 . p : : : > Q , Q f - P .

2 . 2 . Q < = > R , R f - Q v S .

2 . 3 . Q v R , Q . ~ ( S ~ T ) , R ~ { T ~ S ) f - S < = > T .

2 . 4 . Q v R , - R , Q ~ [ ( S ~ T ) & ( T ~ S ) ] f - S < = > T .

2 . 5 . P ~ Q , R & S , S v T , T ~ ( Q P ) f - P - < = > Q .

R E S U L T A D O : T o d a s l a s c o n c l u s i o n e s , m e n o s l a d e l n u m e r o 3 ,

s e i n f i e r e n d e l a s p r e m i s a s .

R E D U C C I O N A L A B S U R D O

e m p l e o . P o r l o t a n t o , s e r e u n h o m b r e c u l t o o t e n d r e u n b u e

e m p l e o .

1 . 5 . U n t r e n e s r a p i d o s l y s o l o s i r u e d a s a b r e u n a l f n e a f e r r o v i a r i a

a d e c u a d a . U n a l f n e a f e r r o v i a r i a e s a d e c u a d a s i y s o l o s i

p o s e e p o c a s c u r v a s . P o r l o t a n t o , u n t r e n e s r a p i d o s i y s o l o '

s i r u e d a s o b r e u n a l f n e a f e r r o v i a r i a c o n p o c a s c u r v a s .

R E S U L T ~ D O : E n t o d o s l o s r a z o n a m i e n t o s , m e n o s e l n u m e r o 4 ,

l a c o n c l u s i o n s e d e d u c e d e l a s p r e m i s a s .

2 . D e m o s t r a r q u e l a s c o n c l u s i o n e s s o n i n f e r e n c i a s l o g i c a s

d e l a s p r e m i s a s :

R e g / a s d e l n f e r e n c i a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - =


En este ejemplo es importante fijarse en la lfnea cuatro. En ella se 'ha incorporado como premisa adicional la conclusion negada. Luego :'mediante un proceso de deducci6n normal, se ha llegado a la linea once, en la que se establece una contradicci6n. Este hecho pone en

p & P Ejemplo:

Creemos oportuno recordar, que una contradicci6n se da cuando en una conjunci6n, una misma proposici6n es verdadera y falsa a la

Para ilustrar esta regla, y para dar un ejemplo particular de su aplicaci6n, desarrollaremos el siguiente ejemplo:

p~ ,(Q v R), Q ~ P, S ~ R !- (P & S). 1 ('l) p ~ (Q v R) H 2 (2) Q ~ P H 3 (3) S ~ R H 4 (4) P&S H 5 (5) p S&. 4.

1, 4 (6) QvR MPP. 1, 5. 1,2,4 (7) Q MTT.'2, 5. 1,2,4 (8) R MTP. 6, 7.

1,2,3,4 (9) S MTT. 3, 8. 4 (10) s S&. 4.

1,2,3,4 (11) S&S I&. 9, 10. 1, 2, 3 (12) (P & S) RA. 4, 11.

Partiendo de esta premisa, y del conjunto de premisas dadas, se establece una contradicci6n. Se afirma la conclusion deseada como consecuencia 16gica de las premisas,

---------------------Reg/as de lnferencia

1 3 4 L o g i c a M a t e m a t i c a

D o s p r o p o s i c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s c u a n d o , a p e s a r d e e n u n c i a r

s e d e m a n e r a d i s t i n t a , t i e n e n e l m i s m o s i g n i f i c a d o :

E Q U I V A L E N C I A S T A U T O L O G I C A S

1 . 1 . ( Q & P ) , P R , Q v - R ! - P .

1 . 2 . P - 7 - Q , R - 7 P , ( Q & - R ) ! - P .

1 . 3 . P

reglas inferencia

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