Regels bij kansrekeningen

Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2).

Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis).

Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt

P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2).

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

P(G) =Kansdefinitie van Laplace

10.1

Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag jetrekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers,Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas.

a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood)

b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen)

4 2

10 3

6 1

. 4 3

10 3

6 0

.

= + ≈ 0,333

4 0

10 3

6 3

. 4 1

10 3

6 2

.

= + ≈ 0,667

Voorbeeld somregel

De complementregel

P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1

P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)

P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte)

10.1

Het vaasmodelBij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.

P(2r, 2w, 1b) = ?

Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans

Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.

Dat kan op manieren.

Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.

Dat kan op

P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

15 5

8 2

4 2

3 1

8 2

4 2

3 1

15 5

. .

. .

manieren.

8+4+3=15

2+2+1=5

10.1

opgave 6 a P(minstens één prijs)

= 1 – P(geen prijs)

=

b P(100 euro)

= P(1 × 100) + P(2 × 50)

=

c P(minstens 30 euro)

= 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – (P(niets) + P(10 euro) + P(20 euro))

=

43

31

50

3

≈ 0,370

1 43 2 43

1 2 2 1

50 50

3 3

≈ 0,048

43 4 43 4 43

3 1 2 2 11

50 50 50

3 3 3

≈ 0,173

Berekeningen met breuken

10.2

opgave 21

a P(minstens 2) = 1 – P(geen of 1)

= 1 – P(geen) – P(1)

= 1 – 0,788 - · 0,22 · 0,787 ≈ 0,554

b P(zes of zeven) = P(zes) + P(zeven)

= · 0,536 · 0,476 + · 0,537 · 0,475 ≈ 0,434

c P(hoogstens 2 zakken) = P(minstens 8 slagen)

= P(8) + P(9) + P(10)

= · 0,718 · 0,292 + · 0,719 · 0,29 + 0,7110 ≈ 0,410

126

81

127

108

109

opgave 31

a Als er van de 10 knikkers a rood zijn en de rest zwart,

zijn er 10 – a zwarte knikkers.

b P(zwarte knikker) =

c P(2 zwarte knikkers) =

6

a

a

210 (10 ) 10

10 6 10( 6) 10 60

a a a a a a

a a a

opgave 32

a P(rr) =

b P(zwarte en rode) = P(zr) + P(rz)

c Voer in y1 = (17x - 2x2)/66 en maak een tabel.

Je ziet dat y1 maximaal 0,545 is voor x = 4.

In vaas I zitten dan 4 rode en 7 zwarte knikkers

en in vaas II 4 rode en 2 zwarte knikkers.

11 6

x x

2

66

x

11 6

11 6 11 6

x x x x

(11 ) (6 )

66 66

x x x x

2 211 6

66

x x x x

217 2

66

x x

2 211 6

66 66

x x x x

opgave 37 In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn.

a P(rr) =

b P(rode en witte) = 2 · P(rw) =

c Voer in y1 = (50x – x2)/1225 en maak een tabel.

Je ziet dat y1 > 0,5 voor x = 22 tot en met x = 28.

Bij x = 22 horen 50 – 22 = 28 witte knikkers

en bij x = 28 horen 50 – 28 = 22 witte knikkers.

Dus er zitten 22 of 23 of 24 of … of 28 witte knikkers in de vaas.

21 ( 1)

50 49 50 49 2450

p p p p p p

De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49

knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn.

250 2 (50 ) (50 ) 502

50 49 2450 1225 1225

p p p p p p p p

Er zijn 50 – p witte knikkers

Bernoulli-experimenten

De complement-gebeurtenis van succes is mislukking.

De kans op succes geven we aan met p.

Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten

Bernoulli-experimenten.

10.3

Binomiaal kansexperiment

Bij een binomiaal kansexperiment is :

• n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd

• X het aantal keer succes

• p de kans op succes per keer

• de kans op k keer succes is gelijk aan

P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.nk

10.3

opgave 45 a n = 6 en p = = 0,4

P(X = 4) = · 0,44 · 0,62 ≈ 0,138

b n = 12 en p = = 0,9

P(Y = 10) = · 0,910 · 0,12 ≈ 0,230

8

20

64

18

20

1210

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k)

10.3

10.3

voorbeeld

6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

som van de ogen

a X = het aantal keer minstens vijf ogen.

p = P(minstens 5 ogen) =

P(X ≤ 10) = binomcdf(15, , 10) ≈ 0,998

b X = het aantal keer meer dan zeven ogen.

p = P(meer dan 7 ogen) =

p = P(X = 5) = binompdf(18, , 5) ≈ 0,097

2

6

15

36

2

6

15

36

opgave 49

a X = het aantal keer banaan.

P(X = 5) = binompdf(10, 0.2, 5) ≈ 0,026

b X = het aantal keer appel.

P(X = 3) = binompdf(18, 0.4, 3) ≈ 0,025

c X = het aantal keer appel.

P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.4, 2) ≈ 0,004

d X = het aantal keer banaan

P(X = 4) = binompdf(5, 0.2, 4) ≈ 0,006

1

5

2

5

1

5

opgave 53

a X = het aantal keer oost.

P(in B uitkomen)

= P(X = 2) = binompdf(8, , 2) ≈ 0,260

b P(in C uitkomen)

= P(X = 4) = binompdf(8, , 4) ≈ 0,026

c P(via A in B)

= P(X = 1) · P(X = 1)

= binompdf(5, , 1) · binompdf(3, , 1) ≈ 0,140

d P(ten noorden van de lijn AC)

= P(X ≤ 3) = binomcdf(8, , 3) ≈ 0,969

1

6

1

6

1

61

6

2

6

4

4

1

4

1

2

1

6

Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kans-experimenten1. Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X2. Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met

binompdf of binomcdf.3. Bereken de gevraagde kans met de GR.

P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3)

P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5)

= P(X = 6) + P(X = 7)

10.4

opgave 60 a X = het aantal keer even.

P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10)

= 1 – binomcdf(16, ½, 10) ≈ 0,105

b X = het aantal keer 3 ogen.

P(X < 2) = P(X ≤ 1)

= binomcdf(16, ⅙, 1) ≈ 0,227

c X = het aantal keer 6 ogen

P(X = 5)

= binompdf(16, ⅙, 5) ≈ 0,076

opgave 63

a 60% van 120 is 72

X = het aantal dat studie met succes voltooit.

P(X > 72) = 1 – P(X ≤ 72)

= 1 – binomcdf(120, ⅔, 72) ≈ 0,925

b X = het aantal dat de studie voortijdig staakt.

P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2)

= 1 – binomcdf(6, 0.40, 2) ≈ 0,456

⅓ haakt voortijdig af dus ⅔ voltooit de studie.

p = 0,40

Het berekenen van n bij een binomiale verdeling

opgave 70 X = het aantal treffers.

Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,9,

oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ?

TI

1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9

Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4).

Maak een tabel en lees af

voor n = 17 is y1 ≈ 0,874

voor n = 18 is y1 ≈ 0,906.

Dus minstens 18 vrije worpen.

Casio

1 – P(X ≤ 4) > 0,9

Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,1 ?

Proberen geeft

voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0,126

voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0,094.

Dus minstens 18 vrije worpen.

10.4

De binomiale en de normale verdeling combineren

opgave 76 a X = het aantal optredens dat langer dan 2 uur duurt.

X is binomiaal verdeeld met n = 22 en

p = normalcdf(120, 1099, 112, 5) = 0,054…

P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3)

= 1 – binomcdf(22, 0.054…, 3) ≈ 0,030

b X = het aantal optredens dat korter duurt dan 105 minuten.

X is binomiaal verdeeld met n = 120 en

p = normalcdf(-1099, 105, 112, 5) = 0,080…

Je verwacht dat er 120 · 0,080… ≈ 10 optredens

korter duren dan een uur en drie kwartier.

Werkschema: het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X

1. Stel de kansverdeling van X op.2. Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans.3. Tel de uitkomsten op.

De som is E(X).

Dus E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn).

1

( ) ( ( ))n

i ii

E X x P X x

10.5

opgave 79 a W = uitbetaling - 2

E(W) = -2 · 0,96 + 8 · 0,03 + 48 · 0,01 = -1,20

De winstverwachting is - € 1,20 per lot.

b Een lot moet dan 2 – 1,20 = € 0,80 kosten.

w -2 8 48

P(W = w) 0,96 0,03 0,0196

100

3

100

1

100

4 prijzen, 96 keer niet prijs van de 100

1 keer eerste prijs van de 100

3 keer tweede prijs van de 100

opgave 85 a P(13 euro terugbetalen)

= P(twee van de drie dagen slecht weer)

= 3 · 0,42 · 0,6 = 0,288

b P(niets terugbetalen) = 0,63 = 0,216

P(6,50 euro terugbetalen) = 3 · 0,4 · 0,62 = 0,432

P(19,50 euro terugbetalen) = 0,43 = 0,064

V = de verdienste per kaart = 20 - terugbetaling

E(V) = 20 · 0,216 + 13,50 · 0,432 + 7 · 0,288 + 0,50 · 0,064 = 12,20

De eigenaar verdient naar verwachting 228 · 12,20 = 2781,60 euro.

v 20 13,50 7 0,50

P(V = v) 0,216 0,432 0,288 0,064

De standaardafwijking van een toevalsvariabele

10.5

De somregel voor de standaardafwijking

Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldtde somregel voor de standaardafwijking

σx+ y = √ σ2x + σ2

y

VAR(X) = σ2x (de variantie van X)

σ2x+ y = σ2

x + σ2y

dus

VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y)

10.5