Método de Mallas aplicado a Método de Mallas aplicado a Corriente AlternaCorriente Alterna

1I 2I

3I 4I

2

XI

3

61 10*500 c

31 10*4 L 3

2 10*6 L

2J

XV21 XI2

Attig 100cos240)(1

)(1 tig

1gV

VttVg )º301000cos(2150)(1

RMSG

g

VV

VttV

º30150

)º301000cos(2150)(

1

1

RAMSG

g

AI

Atti

º040

100cos240)(

1

1

4)10*4)(10( 3311

JJLJX L

6)10*6)(10( 3322

JJLJX L

4)10*500(10 63

11

JJcJX C

+ Vx -

1000t(A)

250 (uf)

250 (uf)

Sigue...Sigue...

XV21

3 2J

RMSVº30150

4J

4J 6J

2

1I

4I3I

2I

RMSAº040

XI

XI2

Malla 1 y malla 2 SM1

421

4

21

20

_

2

III

IIpero

III

X

X

(1)

)6()4()26(43º3015021

4321 JIJIJJIJIV X

24

24

66

)(6

IJIJV

IIJV

X

X

)9()4()7()43(º30150 4321 JIJIJIJI (2)

Malla 3

º0403 I (3)

XV

Malla 4

)22()2()6(0 432 JIIJI (4)

º00º040º30150

º00

222600100947432011

4

3

2

1

IIII

JJ

JJJJ

Matriz Impedancia

Admitancia Y

Es el inverso de la impedancia.

JBGYz

Y

1 donde:

G es la conductancia B es la suceptancia

2222

22

*1

XRXJ

XRRJBG

XRJXRJBG

JXRJXR

JXRJBG

22 XRRG

22 XRXB

Real Imag.

• Circuito Resistivo

01

10

0

2

JR

y

Ry

RRy

GyJBGyJRz

0

R

Admitancia (continuación)

• Circuito Inductivo

L

LXX

y

XX

y

GJBGy

LL

L

L

10

0

0

2

VX

YL

º901

• Circuito Capacitivo

C

VJy

cJ

CXCX

y

CX

CXy

GJBGy

C

1

00

0

2

º90 CY

3

4J

3J5J

10/J

5

Nodos Mallas

Con el objeto de tener claro el signo de los inductores y capacitores en el método de los nodos y mallas veamoslos siguientes ejemplos. Vale recalcar que no existe relación entre cada uno de los elementos pasivos

Método de Nodos aplicando Método de Nodos aplicando Corriente AlternaCorriente Alterna

Va

VbVc Vd

Ve

21

41

)(51 tiX

XV2

mF4

)(1 tv

mF231

mH25.0

mH2.0

)(tix

)(2 ti

XV

º0200

1000cos2200)(

1

1

V

VttV

º030

1000cos230)(

2

2

I

Atti

5)10*2.0(10

4)10*25.0(10

332

331

2

1

JJLJy

JJLJy

L

L

2)10*2)(10(

4)10*4)(10(33

33

2

1

JJy

JJy

C

C

XV 2J

XI51

2

XV2 4

4J

º02001 V

4J

XI

º0302 I3

BV

AV

DVCV

EV

5J

Sigue...Sigue...

Nodo A

)4()2(42510 JVVJVI CBAX

5

)0(5

JVI

VJI

GVI

BX

BX

)4()2()42(0 JVJVJV CBA (1)

Nodo B y Nodo C SN1

EVDVCVBV

EVDVXVpero

BVCVXV

220

:

2

(2)

Ec. del SN1

Ec. Auxiliar

)4()4()52()42(º030

)4()42()4()52(º0300

DCBA

DACB

VVJVJV

VJVVJV

(3)

Nodo D SN2

º0200DV (4)

Nodo E

)23()2(º030

)2()23(º030

JVJV

JVJV

ED

DE

(5)

º030º0200º030º00º00

23200001000044524222110004242

E

D

C

B

A

VVVVV

JJ

JJ

JJJ

Matriz Admitancia

º020

104J

2JXI25.2J

Hallar = ?

XI

XI

N1 N2

Nota: Los elementos pasivos están en ohmios

EjemploEjemplo

º020

10 4J

2JXI25.2J

5.0JXI24.0J

25.0J

101º02

XI

Nodo 1

)25.0()15.01.0(º02)25.0()15.01.0(º02

2121

JVJVJVJV

(1)

N1 N2

N1 N2

XI

V1 V2

Nodo 2

)75.0()25.0(2

)25.0()75.0(2

21

12

JVJVI

JVJVI

X

X

)4.0(1 JVI X

)75.0()55.0(0 21 JVJV (2)

º00º02

07555.025.015.01.0

2

1

VV

JJJJ

º43.1897.181 V

RMSX

X

X

AI

I

JVI

43.10858.7

)º904.0(º43.1897.18

)4.0(1

EJERCICIOS SIN USAR MALLAS Y NODOS

V2

V1

1Iº0120

Hzf 60

R

c

15

Hallar los valores de R y C

Los voltímetros en el siguiente circuito marcan :

VV

VV

3.87

6.63

2

1

EJEMPLOEJEMPLO

º002.7

R

c20

A6A3.2

12

Hallar los valores de R Hallar los valores de R y cy c

RV

EJEMPLOEJEMPLO

Teorema de SuperposiciónTeorema de Superposición

Se lo utiliza:

• Cuando las fuentes de alimentación A.C. tienen distintas frecuencias.

• Cuando tengo una fuente AC y una fuente DC como mínimo.

F200

44

RV)(1 ti )(2 tV

mH6Calcular VR(t)=?

AttiVttV

1000cos71.70)(500cos280)(

1

2

V60

Análisis ACAnálisis AC•Actuando la fuente de corriente

44

)(1 ti

F200 mH6

5J 6J

RV

RV 4 4

º050

º0100

)º02)(º050(

R

R

V

V

1000

•Actuando la fuente de voltaje donde W=500

º080

3J10J

44

''RV

RMSR VV 0

4 4

V60

Análisis DCAnálisis DC

'''RV

4

4

V60

VV

V

R

R

30'''8460'''

)(1000cos210030)(

3001000cos2100

VoltiosttV

tV

RR

-

+

Teorema de Thévenin y Norton en Teorema de Thévenin y Norton en ACAC

Red A Z

Carga

a

b

Resistencia Pura

Parte Real como imaginaria variable.

(zL variable)

Real variable y la imaginaria fija

Red A

a

b

abiertoVcircVabV Th _.

0I

0VThZ

NortonTh

Th

ZZIV

Z

0

0

º01

:_

0 V

queAsumimosRed A

a

b

Las fuentes independientes reducidas a cero

Red A

a

b

NortonI itocortocircudelCorrienteI Norton __

Equivalente de Thévenin

ThV

ThZ

NZNortonI

a a

b

b

Norton en ACNorton en AC

Hallar el equivalente de Th en los Hallar el equivalente de Th en los terminales abterminales ab

a

b

º050

5J

5

5J

º010555

º050)55(

IJJ

I

JIVabV Th

º457.70

)55)(º010(

Th

Th

V

JV

a

b

ThZ

5J

55 J

5 90º //(5 5)

7,07 45º

Th

Th

Z J

Z

Hallando el Vth

Hallando la Rth

a

b

º4507.7

º457.70

I

Si quiero hallar el equivalente de Norton

º4507.7

º457.70

a

b

NZNI

º9010º4507.7º457.70

N

N

I

I

º4507.7

N

ThN

Z

ZZ

Otra forma de hallar la IN

º050

5J

5

5J

z

a

b

NI

z es redundante porque está paralelo al corto

5J

º050NI NI

RMSN

N

N

AI

I

II

º9010º905º050

Máxima Potencia TransferidaMáxima Potencia Transferidaº4507.7

º457.70

a

b

Esto no es necesariamente un equivalente de Thévenin

zL=Resistencia Pura

RL ZZ

ThL zzR

07.7LR

1.- a

b

PRIMER CASO: ZL= RESISTENCIA PURA

º4501.7

º457.70

º4507.7

07.7I

RMSAI

I

5.6741.5º007.7º4507.7

º457.70

WP

P

ZdealIP

MÁX

MÁX

LMÁX

92,20607.741.5

__Re*2

2

WP

P

RVP

MÁX

MÁX

L

ThMÁX

75.176

07.747.70

42

2

Podemos utilizar la siguiente fórmula solamente cuando RL=RTh

¿Qué sucede con la Potencia si º010LR

RMSAI

I

º434763.4º010º4507.7

º457.70

WPP

8.199)10()47.4( 2

a

b

LZ

ThL zzz **

ZL es variable

º4507.7

º457.70 I LZ

55

][º4507.7

*

jz

z

zz

L

L

L

RMSAI

I

º4507.7º4507.7º4507.7

º457.70

WP

P

ZdealIP

MÁX

MÁX

LMÁX

92.249

507.7

__Re*2

2

2.- a

b

a

b

SEGUNDO CASO: ZL= ZL VARIABLE

LL JXzR

a

07.7

55

1055

L

L

L

R

JR

JJR

º73.5424.121007.7

L

L

zJz

RMSAI

I

º49.2241.5º73.5424.12º4507.7

º457.70

WPP

ZdealIP

MÁX

MÁX

LMÁX

04.20707.741.5

__Re*2

2

I

LR

3.-

XL Fijo

a

b

Si xL= j10, Calcular la Pmax transferida

TERCER CASO: RL= VARIABLE Y XL FIJO

º457.70

º4507.7

b

LR

j10

EJEMPLO:EJEMPLO:a) Calcular el equivalente de Norton en los

terminales a-b

b) Valor de ZL para la MTP

c) Valor de la MTP

5J1

2

4J

][º03 RMSA a b

5J1

2

4J

][º03 RMSAa b

Para hallar la Zab=Znorton

2

4J

1z

12z a b

0I

5J 3z

][5.25.7

44.1891.7

º905//43

// 321

0

0

Jz

z

Jz

zzzzIVz

N

N

N

N

ab

Calculemos primero la Znorton = Zab por lo tanto la fuente de corriente se hace cero

Vo

Para hallar IN

][º03 RMSA 2

4J

1

5J Redundante

a b

][º03 RMSA 2

4J

1

Divisor de corriente

][3.1068.2

4342º03

RMSN

N

AI

JJI

a) El equivalente de Norton

][3.1068.2 RMSN AI ][5.25.7 Jz N

b)

5,25,744.1891.7*

jzzz

L

NL

c)

][5.25.7 Jz N

3.1068.2 NI

14.822,21 ThV

][5.25.7 JzTh

][14.822,21

)º44.1891.7(º3.1068.2

RMSTh

Th

NNTh

VV

V

zIV

I

][4139.1

)º44.1891.7()º48.1891,7(º14.822.21

RMS

LTh

Th

AI

I

ZZVI

][993.14)5.7()4139.1( 2

WPP

Máx

Máx