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Was ist RaumZeit? Ohne Gravitation ist die Welt flach Max Camenzind Akademie Heidelberg November 2014

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Was ist RaumZeit?

Ohne Gravitation ist die Welt flach

Max Camenzind

Akademie Heidelberg

November 2014

• Hermann Minkowski führt 1908 den Begriff der RaumZeit ein Metrik, kausale Struktur.

• Linienelement auf gekrümmten Flächen nach Gauß 2-Sphäre als Prototyp.

• Theorema Egregium von Gauß.

• Verallgemeinerung auf beliebige n-dimensionale Mannigfaltigkeiten durch Bernhard Riemann im Jahre 1854 erst 1876 publiziert.

• 1915: Die RaumZeit von Albert Einstein beschreibt die Gravitation mit Gravitation ist die Welt gekrümmt.

Inhalt

Hermann Minkowski Mathematiker 1864 – 1909

war Einsteins Lehrer ETH

ging 1907 nach Göttingen

1908

Minkowski zur SR: »Ach, der Einstein?

Der schwänzte doch immer die Vorlesungen

– dem hätte ich das gar nicht zugetraut.«

Einstein: »überflüssige Gelehrsamkeit«

Der Vortrag über „Raum und Zeit“, den Hermann Minkowski auf der Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte zu Köln gehalten hat, bildet die letzte seiner genialen Schöpfungen. Leider ist es ihm nicht beschieden gewesen, den feineren Ausbau seines kühnen Entwurfs einer Mechanik, in welcher die Zeit den drei Dimensionen des Raumes koordiniert ist, zu vollenden. Denn ein tragisches Geschick hat den als Mensch und Forscher gleich geschätzten Verfasser auf der Höhe seines Lebens und Schaffens am 12. Januar d. J. der Wissenschaft, seinen Lieben und Freunden jäh entrissen. Halle a. S., den 20. Februar 1909 A. Gutzner

Aus dem Vorwort

Ich respektiere aber noch das Dogma, daß Raum und Zeit je eine

unabhängige Bedeutung haben. Ich will einen Raumpunkt zu einem

Zeitpunkt, d. i. ein Wertsystem x,y,z,t einen Weltpunkt nennen. Die

Mannigfaltigkeit aller denkbaren Wertsysteme x,y,z,t soll die Welt

heißen. Ich könnte mit kühner Kreide vier Weltachsen auf die Tafel

werfen. Schon eine gezeichnete Achse besteht aus lauter

schwingenden Molekülen und macht zudem die Reise der Erde im

All mit, gibt also bereits genug zu abstrahieren auf; die mit der

Anzahl 4 verbundene etwas größere Abstraktion tut dem Mathe-

matiker nicht wehe. Um nirgends eine gähnende Leere zu lassen,

wollen wir uns vorstellen, daß aller Orten und zu jeder Zeit etwas

Wahrnehmbares vorhanden ist. Um nicht Materie oder Elektrizität zu

sagen, will ich für dieses Etwas das Wort Substanz brauchen. Wir

richten unsere Aufmerksamkeit auf den im Weltpunkt x,y,z,t

vorhandenen substantiellen Punkt und stellen uns vor, wir sind

imstande, diesen substantiellen Punkt zu jeder anderen Zeit wieder

zu erkennen. Einem Zeitelement dt mögen die Änderungen dx,dy,dz

der Raumkoordinaten dieses substantiellen Punktes entsprechen.

Hermann Minkowski: Raum und Zeit

Hermann Minkowski: Raum und Zeit

Wir erhalten alsdann als Bild sozusagen für den ewigen

Lebenslauf des substantiellen Punktes eine Kurve in der

Welt, eine Weltlinie, deren Punkte sich eindeutig auf den

Parameter t von −∞ bis +∞ beziehen lassen.

Die ganze Welt erscheint aufgelöst in solche Weltlinien,

und ich möchte sogleich vorwegnehmen, daß meiner

Meinung nach die physikalischen Gesetze ihren

vollkommensten Ausdruck als Wechselbeziehungen

unter diesen Weltlinien finden dürften.

Hermann Minkowski: Weltlinie

xµ(l) = (ct(l),x(l),y(l),z(l))

µ = 0,1,2,3

ds² = dx² + dy² + dz²

Länge einer euklidischen Kurve

ist invarinat unter Rotationen

ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² = c²dt´² - dx´² - dy´² - dz´²

Län

ge e

iner

Welt

lin

ie

ist

inv

ari

an

t u

nte

r

Lo

ren

tz-T

ran

sfo

rmati

on

en

„Die in einem beliebigen Weltpunkte vorhandene

Substanz kann stets bei geeigneter Festsetzung von

Raum und Zeit als ruhend aufgefaßt werden.“

Das Axiom bedeutet, daß in jedem Weltpunkte stets der

Ausdruck

positiv ausfällt oder, was damit gleichbedeutend ist,

daß jede Geschwindigkeit v stets kleiner als c ausfällt.

Es würde danach für alle substantiellen

Geschwindigkeiten c als obere Grenze bestehen und

hierin eben die tiefere Bedeutung der Größe c liegen.

In dieser anderen Fassung hat das Axiom beim ersten

Eindruck etwas Mißfälliges. Es ist aber zu bedenken, daß

nun eine modifizierte Mechanik Platz greifen wird, in der die

Quadratwurzel aus jener Differentialverbindung zweiten

Grades eingeht, so daß Fälle mit Überlichtgeschwindigkeit

nur mehr eine Rolle spielen werden, etwa wie in der

Geometrie Figuren mit imaginären Koordinaten.

F = c²dt² - dx² - dy² - dz²

Der Mensch ist ein 4-dim. Wesen

c2t2−x2−y2−z2=0

Durch das Weltpostulat wird eine gleichartige Behandlung der vier

Bestimmungsstücke x,y,z,t möglich. Dadurch gewinnen, wie ich jetzt

ausführen will, die Formen, unter denen die physikalischen Gesetze

sich abspielen, an Verständlichkeit. Vor allem erlangt der Begriff der

Beschleunigung ein scharf hervortretendes Gepräge.

Ich werde mich einer geometrischen Ausdrucksweise bedienen, die

sich sofort darbietet, indem man im Tripel x,y,z stillschweigend von z

abstrahiert. Einen beliebigen Weltpunkt O denke ich zum Raum-Zeit-

Nullpunkt gemacht. Der Kegel

Fig. 2

mit O als Spitze (Fig. 2) besteht aus zwei Teilen, einem mit Werten t<0,

einem anderen mit Werten t>0. Der erste, der Vorkegel von O, besteht,

sagen wir, aus allen Weltpunkten, die „Licht nach O senden“, der

zweite, der Nachkegel von O, aus allen Weltpunkten, die „Licht von O

empfangen“.

Kausale Struktur der RaumZeit Moderne Sprechweise

3-Raum

Zeitartig

Raumartig

Lichtartig, Null

In jedem Ereignis

ist ein Lichtkegel

definiert, der die

RaumZeit aufteilt.

Nennen wir in Analogie zum Vektorbegriff im Raume jetzt

eine gerichtete Strecke in der Mannigfaltigkeit der x,y,z,t

einen Vektor, so haben wir zu unterscheiden zwischen den

zeitartigen Vektoren mit Richtungen von O nach der

Schale +F=1, t >0 und den raumartigen Vektoren mit

Richtungen von O nach −F=1. Die Zeitachse kann jedem

Vektor der ersten Art parallel laufen. Ein jeder Weltpunkt

zwischen Vorkegel und Nachkegel von O kann durch das

Bezugsystem als gleichzeitig mit O, aber ebensogut auch

als früher als O oder als später als O eingerichtet werden.

Jeder Weltpunkt diesseits O ist notwendig stets früher, jeder

Weltpunkt jenseits O notwendig stets später als O. Dem

Grenzübergang zu c=∞ würde ein völliges Zusammen-

klappen des keilförmigen Einschnittes zwischen den Kegeln

in die ebene Mannigfaltigkeit t = 0 entsprechen. In den

gezeichneten Figuren ist dieser Einschnitt absichtlich mit

verschiedener Breite angelegt.

1915 Einsteins Grund-Idee: Gravitation ist keine Kraft, Gravitation ist Geometrie der 4-dimensionalen RaumZeit

Μεδεις αγεωμέτρητος εισιτω

μον τήν στήγων.

Let none ignorant of geometry

enter my door.

Legendary inscription over

the door of Plato’s Academy

Raffael: „Die Schule von Athen“,

„Alles ist Geometrie“, Vatikan / Camenzind

Flächentheorie von Gauß

Carl Friedrich Gauß, „Fürst der Mathematik“, 1777-1855

Göttingen

Fläche in E³ ist Mannigfaltigkeit

Abbildung Fläche:

(u,v) (x(u,v),y(u,v),z(u,v))

Frage:

Wie misst man Abstände?

Wie sehen Geodäten aus?

Wie berechne ich Fläche?

(u,v)

(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

Fläche in E³

Beisp.: Kleinsche Flasche entsteht durch Parametrisierung

Kleinsche Flasche nicht-orientierbare Fläche

Flächen werden in Computergrafik eingesetzt

Zentrale

Frage:

Wie messe

ich den

Abstand

zwischen 2

Punkten auf

dem Globus?

Winkel df (Rektaszension) rdq

Großkreise Winkel q

(Deklination)

r sin(q) df

Nach Pythagoras:

ds² = r² dq² + r²sin²q df²

ds² = g11

dq² + g22

df²

Metrische Funktionen:

g11

= r² , g22

= r²sin²q

Messen auf der Kugelfläche S²

Sphäre mit Radius r

Winkelsumme > 180 Grad

1. Fundamentalform einer Fläche = induzierte Metrik gik der Fläche

ds² = E du² + 2F du dv + G dv² (nach Gauß)

= g11(u,v) du² + 2 g12(u,v) du dv + g22(u,v) dv²

Länge einer Flächenkurve

Geodäten auf einer Fläche

Inhalt einer Fläche

Winkel zwischen Tangenten

Großkreise sind die

Geodäten auf 2-Sphäre

Geodäten auf Bulls Horn

Krümmung von Flächen

Tangenten-

Ebene

Haupt-

Krümmungs-

Ebenen

Normale

Gauß: Krümmung von Flächen

Gauß-Krümmung:

K = 1/(R1R2)

= R1212

R1,R2: Krümmungsradien

Gauß-Krümmung von Flächen

Gauß-Krümmung

Während Gauß in den Jahren 1821 bis 1825 das

Königreich Hannover vermessen hatte, vermutete er,

dass sich die Krümmung der Erdoberfläche allein

durch die Längen- und Winkelmessung bestimmen

lässt. Tatsächlich brauchte Gauß noch einige Zeit, um

diese Aussage zu beweisen. Auch war sein Beweis

alles andere als unkompliziert und einfach. Aus

diesem Grunde bezeichnete er den Satz als egregium

Theorema, „hervorragend wichtigen Lehrsatz“.

Theorema Egregium

Die Gaußsche Krümmung K hängt lediglich

von den Koeffizienten der Matrix gik(u,v) der

ersten Fundamentalform und deren ersten

und zweiten Ableitungen ab.

3-Sphäre mit Radius R in E4

Fläche: x0² + x1² + x2² + x3² = R²

Kindheit

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006

Bernhard Riemann

wurde 17. September 1826

in Breselenz bei

Dannenberg geboren.

Sein Vater war dort Pastor.

Studium und Mathematik

Carl Friedrich Gauß, „Fürst der Mathematik“, 1777-1855

Göttingen

Studium und Mathematik

Berlin • Steiner

• Jacobi

• Dirichlet

dieser folgt 1855 Gauß nach,

ihm folgt 1859 Riemann auf den

Lehrstuhl in Göttingen

1847-49

Ga

uss s

ch

reib

t da

s G

uta

ch

ten

für R

iem

an

ns D

isse

rtatio

n

Die von Herrn Riemann eingereichte Schrift legt ein

bündiges Zeugniß ab von den gründlichen und tief

eindringenden Studien des Verf. in demjenigen Gebiete,

welchem der darin behandelte Gegenstand angehört; von

einem strebsamen ächt mathematischen

Forschungsgeiste, und von einer rühmlichen

productiven Selbstthätigkeit. Der Vortrag ist

umsichtig und concis, theilweise selbst elegant: der

größte Theil der Leser möchte indeß wohl in einigen

Theilen noch eine größere Durchsichtigkeit der

Anordnung wünschen. Das Ganze ist eine gediegene

werthvolle Arbeit, das Maaß der Anforderungen,

welche man gewöhnlich an Probeschriften zur

Erlangung der Doctorwürde stellt, nicht bloß

erfüllend, sondern weit überragend.

Das Examen in der Mathematik werde ich übernehmen.

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006

Weg zur Mannigfaltigkeit Wissenschaftliche Arbeiten bei Gauß

ein halbes Jahr vor Gauß‘ Tod

Dissertation 1851

„Grundlagen für eine allgemeine Theorie der

Funktionen einer veränderlichen complexen Größe“

Habilitationsschrift 1853

„Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch

eine trigonometrische Reihe“

Habilitationsvortrag 1854

“Die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde

liegen”. Erfindung der Riemannschen

Mannigfaltigkeiten. absolut genial!

Erst 1876 in den gesammelten Werken publiziert.

Der Begriff der Mannigfaltigkeit geht auf Bernhard

Riemann zurück. In seinem Habilitationsvortrag Ueber

die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen,

den er 1854 unter anderem vor Carl Friedrich Gauß hielt,

führte er den Begriff der Mannigfaltigkeiten ein. Er

spricht von discreten und stetigen Mannigfaltigkeiten,

die n-fach ausgedehnt sind, beschränkt sich zu dieser

Zeit also auf Gebilde, die in den Rn eingebettet sind. Auf

diesen Mannigfaltigkeiten kann man Winkel und

Abstände messen. In späteren Arbeiten entwickelte er

die riemannschen Flächen, die wahrscheinlich die ersten

abstrakten Mannigfaltigkeiten waren.

Mannigfaltigkeiten werden zur Abgrenzung manchmal

abstrakt genannt, um auszudrücken, dass sie keine

Teilmengen des euklidischen Raums sind, sondern

eigenständige Gebilde.

Um auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit von Längen, Abständen, Winkeln und Volumen zu sprechen, benötigt man eine zusätzliche Struktur. Eine Riemannsche Metrik g (auch Metrischer Tensor genannt) definiert im Tangentialraum jedes Punktes der Mannigfaltigkeit ein Skalarprodukt. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer riemannschen Metrik heißt Riemannsche Mannigfaltigkeit. Durch die Skalarprodukte sind zunächst Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren definiert, davon ausgehend dann auch Längen von Kurven und Abstände zwischen Punkten auf der Mannigfaltigkeit, sowie Geodäten als die kürzeste Verbindung zwischen 2 Pt.

Die Riemannsche

Mannigfaltigkeit

Die

Sp

häre

ist

ein

e 2

-dim

en

sio

nale

Rie

man

n-M

an

nig

falt

igk

eit

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Kart

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2-T

oru

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ein

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Rie

ma

nn

-M

an

nig

falt

igk

eit

Flächen in En sind

Mannigfaltigkeiten.

Umgekehrt:

Ist jede Mannigfaltigkeit als

Fläche in einem En einbettbar? Versuchen Sie, es rauszufinden!

Affine Struktur der Kugel

Tangentenebenen in verschiedenen Punkten haben a priori

nichts miteinenander zu tun.

Zur Deckung gebracht durch Rotation 2 Rotationsmatrizen A

Dies definiert affinen Zusammenhang: V(x+n) = V(x) + AnV(x)

Transport von Vektoren längs Kurven Parallelverschiebung

Transport

von Vektoren

soll metrisch

sein

Winkel

zwischen 2

Vektoren

ändert sich

nicht!

Sonst hätte

man Torsion.

, Effekt der

Krümmung

auf Transport

von Vektoren

auf Kugel

Vektoren

werden gedreht

Winkel a Maß

der Krümmung

Riemann Krümmung

V

TV E1

E2

Riemann: 6 Rotationsmatrizen

TVa = R

a

bcd V

b [E

1

c E

2

d]

ab, cd = 01, 02, 03, 12, 13, 23

Mannigfaltigkeiten mit

konstanter Krümmung

negative

Krümmung

positive

Krümmung

Krümmung

null

Gravitation RaumZeit =

Riemann lokal Minkowski

ds2 giji, j 0

n

dx idx j

• Ein Riemannscher Raum ist eine Punktmenge, auf der man

messen kann. Minkowski: ein Punkt (t,x,y,z) = Ereignis, n=4.

• gij ist der Metrische Tensor (symm. Tensor 2. Stufe) : 10 Funktionen für den 4-dimensionalen Raum Dim = 4, n = 4 • Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen. • Aus metrischem Tensor folgen Riemann und Ricci Tensoren . Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.

Ex1: RaumZeit eines Sterns

Sonne, Erde, Neutronensterne, SL

Symmetrie lässt

nur 2 Funktionen

frei:

F(r): „Gravitations-

potenzial“

B(r): Krümmung

des 3-Raumes

B(r) > 1: Volumen

größer als

Euklidisch

(r,f)-Fläche

Gra

vit

ati

on

krü

mm

t

den

Rau

m

L

ich

tab

len

ku

ng

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Ste

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uf

SL

och

Min

ko

wsk

i R

au

mZ

eit

Ex2: Expandierendes Universum

Heutige Weltmodelle

a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes

k = 1, 0, -1 : Krümmungstyp des 3-Raumes

Streckung der Minkowski RaumZeit

Kausale Struktur der RaumZeit ds2 = 0 lokale Lichtkegel gekrümmt

In jedem

Weltpunkt

sind die

Lichtkegel lokal

wie Minkowski,

können jedoch

gedreht sein.

Dies ist eine

Konsequenz

des

Einsteinschen

Äquivalenz-

Prinzips.