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IntroducciónLa Matematica de la Teoría Cuántica de la Información

Postulados de la Mecánica Cuántica

Elementos de Espacios de Hilbert y MecánicaCuántica

M. Loreto Ladrón de GuevaraDepartamento de Física, Universidad Católica del Norte

Arica, Octubre de 2015

ESANFI

M. Loreto Ladrón de Guevara Elementos de Espacios de Hilbert y Mecánica Cuántica



Contenidos

1 Introducción2 La Matemática de la Teoría Cuántica de la Información:

Espacios de Hilbert3 Postulados de la Mecánica Cuántica.




Introducción

Los espacios de Hilbert son el fundamento matemático de laMecánica Cuántica (MC) y de la Teoría Cuántica de laInformación (TCI).La MC es la estructura en que se enmarcan las leyes de lanaturaleza. Ésta da el marco conceptual y matemático para eldesarrollo de las leyes que la rigen.A fines del S. XIX existian dos entidades separadas: las ondasy las partículas, descritas por las teorías clásicas (Maxwell yNewton).




La MC surgió como resultado de una serie de descubrimientosocurridos en los siglos XIX y comienzos del XX , que ponían enduda la validez de las teoría clásica (Newton) a escala atómicay en ciertos experimentos con luz interactuando con átomos.No se entienden, a la luz de las teorías clásicas, experimentoscomo Radiación de Cuerpo Negro (Kirchhoff 1859), el efectofotoeléctrico Hertz (1887), la estabilidad de átomos y laexistencia de líneas espectrales (Modelo de Rutherford) yotros.Surgen modelos para estos efectos: radiación de cuerpo negrofue explicada por Planck (1900), el efecto fotoeléctrico porEinstein (1905), y estabilidad atómica y líneas espectrales porBohr (1913).




Antes de 1925 la MC era un conjunto de hechos basados enevidencias experimentales que dominaban el comportamientoa escalas atómica y moleculares, y un conjunto fragmentadode explicaciones.Entre esos hechos estaban: la naturaleza dual de la luz y laspartículas (dualidad onda-partícula para ambas) y la existenciade movimientos cuantizados (periódicos) y no cuantizados (noperiódicos).Pero la MC carecía de un marco teórico formal y conceptualque sirviera para explicar todos esos hechos a la vez (unaúnica teoría).




Esa Teoría se inició en 1925 y fue desarrollada por WernerHeisenberg, Max Born y Pascual Jordan en lo que llamaron"mecánica de matrices". Tiempo después Schrödingerdesarrolló la teoría de la "mecánica ondulatoria", desde unpunto de partida distinto.Paul Dirac y Pascual Jordan mostraron la equivalenciamatemática de ambas teorías, en la llamada "teoría de latransformación".John von Neumann se dio cuenta, en 1927, de que un marconatural para la teoría cuántica eran los espacios de Hilbert,desarrollados por David Hilbert (1909).




David Hilbert John von Neumann




En TCI, el qubit es la unidad básica para almacenarinformación. Corresponde a un sistema físico que se rige porlas leyes de la Mecánica Cuántica.El estado mas general de un qubit es descrito por el "vectorde estado"

|ψ〉 = a|0〉+ b|1〉, a, b ∈ C.

El vector |ψ〉 vive en un espacio abstracto que llamamosespacio de estados E del sistema, que es un espacio de Hilbert.




ObjetivosRevisar las propiedades más importantes de los espacios deHilbert que son útiles a la MC y particularmente a la TCI.Conocer los postulados de la MC que dan una base física a laTCI.Conocer y aplicar las herramientas matemáticas de la MC ensistemas sencillos en el contexto de la TCI.




Espacios vectoriales lineales y sus propiedades

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial lineal complejo.

Espacio vectorial linealUn espacio vectorial lineal sobre un campo C es un conjunto V deobjetos matematicos llamados vectores. Ese espacio es cerradobajo la adición y la multiplicación por un escalar.Si u, v ∈ V y a ∈ C,

u + v ∈ V

au ∈ V.

La rama de la matemática que estudia estos espacios y lasoperaciones lineales sobre ellos es el álgebra lineal.




Para vectores u, v y w vectores en V y a, b escalares en C secumple:

(u + v) + w = u + (v + w) (asociatividad de la adición)u + v = v + u (conmutatividad de la adición)∃ 0 ∈ V : u + 0 = u (neutro aditivo)∀u ∈ V, ∃ (−u) ∈ V : u + (−u) = 0 (inverso aditivo).




Para u, v vectores en V y a, b escalares en C se cumple:

a(u + v) = a u + a v (distributividad de escalar respecto aadición vectorial)(a + b)u = au + bu (distributividad de vector respecto aadicion escalar)a(bu) = (ab)u1u = u (elemento identidad en multiplicacion escalar)




Los espacios vectoriales lineales pueden ser diversos en naturaleza;existen compuestos de vectores ordinarios en R3, así como defunciones, polinomios, matrices, y otros.

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial lineal en el campo delos números complejos C, con una dimensionalidad que puede serfinita o infinita y que tiene definido un producto interno.




El álgebra lineal tambien estudia las transformaciones entreespacios vectoriales que preservan la estructura del espaciovectorial. Esas transformaciones se denominan transformacioneslineales u operadores lineales.

Operadores LinealesDados dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo campo, unoperador lineal es un mapeo T : V → W tal que:

T (u + v) = T (u) + T (v) y T (au) = aT (u), con a escalar.También: T (au + bv) = aT (u) + bT (v), con a, b escalares.




Funcional linealUn funcional lineal F es una operación lineal que asocia a cadavector u en V un escalar en C:

Fu ∈ CF (au + bv) = aFu + bFv, a, b escalares.




Producto interno o escalarSi V es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos C, elproducto interno es un escalar, denotado por 〈v|u〉, que tiene lassiguientes propiedades

〈v|u〉 ∈ C〈v|u〉 = 〈u|v〉∗

〈v|au1 + bu2〉 = a〈v|u1〉+ b〈v|u2〉, a, b ∈ C.〈v|u〉 = 0 ↔ u ⊥ v.

El producto escalar es un funcional lineal.




NormaDado el vector u, se define su norma como ||u|| =

√〈u|u〉.

Se cumple que: 〈u|u〉 ≥ 0. 〈u|u〉 = 0↔ u = 0.Un vector u se dice normalizado cuando ||u|| = 1.Un vector se normaliza dividiéndolo por su norma:

u = u√〈u|u〉




Indepedencia linealUn conjunto de vectores {ui , i = 1, 2, . . . } se dice linealmenteindependiente (L. I.) si no es posible escribirlos de la forma

a1u1 + a2u2 + . . . aNuN = 0,

a menos que a1 = a2 = . . . aN = 0. En otras palabras, ninguno delos vectores ui puede ser expresado como una combinación linealde los otros.

DimensiónUn espacio vectorial lineal tiene dimensión N si admite a lo más Nvectores L. I.




Base del espacio vectorialUn conjunto de vectores {ui , i = 1, 2, . . .N} forman una base delespacio vectorial V si y sólo si:

Los ui son L. I.Y si todo vector u ∈ V puede escribirse de la forma

u =N∑

i=1ciui . (1)




Base ortonormalUna base es ortonorormal cuando 〈ui |ui〉 = 1 y 〈ui |uj〉 = 0 parai 6= j .Para una base ortonormal

u =N∑

i=1ciui =

N∑i=1〈ui |u〉ui . (2)




Espacio euclídeo en R2.Sean u y v dos vectores en R2.

Existen dos vectores L. I., seelige base ortonormal {i, j}.u = 2i + 3j, v = 5i + j〈v|u〉 = 2× 5 + 3× 1 = 13||u|| =

√4 + 9 = 3,6

||v|| =√25 + 1 = 5,1




Notación de Dirac y notación matricial

Notación de DiracFue introducida por Paul Dirac, y es muy útil en la TCI. En estanotación, el producto interno es una multiplicación de dos objetos:

〈u|v〉 = 〈u|︸︷︷︸”bra”

|v〉︸︷︷︸”ket”

El ket |v〉 es un vector en V, mientras el bra pertenece al llamadoespacio dual V∗, que es el conjunto de todos los funcionaleslineales definidos en V.




Conjugación hermíticaPara ir del espacio vectorial V al espacio dual V∗ debemostransponer y conjugar.

|ψ〉† = 〈ψ|(A|ψ〉)† = 〈ψ|A†

(a|ψ〉+ b|ϕ〉)† = 〈ψ|a∗ + 〈ϕ|b∗ = a∗〈ψ|+ b∗〈ϕ|.




El espacio vectorial que más nos interesa para la TCI estácompuesto por vectores en CN . El espacio vectorial de los qubits esC2, y nos concentraremos en ese.

Notación matricialLos elementos del espacio, los vectores o kets, los escribiremoscomo una matriz columna:

|ψ〉 =(

z1z2

),

donde z1, z2 ∈ C son las componentes del ket.




Suma

|ψ〉+ |φ〉 =(

z1z2

)+(

w1w2

)=(

z1 + w1z2 + w2

).

Multiplicación por escalar

a|ψ〉 = a(

z1z2

)=(

a z1a z2

)




Operador lineal

A =(

A00 A01A10 A11

)

Operador transpuesto conjugado

A† = (AT )∗ =(

A∗00 A∗10A∗01 A∗11

).




BrasLos elementos del espacio dual, los bras, están representados poruna matriz fila

〈ψ| =(

z∗1 z∗2),

donde z∗1 y z∗2 son los complejos conjugados de z1 y z2.




Producto escalar

〈φ|ψ〉 =(

w∗1 w∗2)( z1

z2

)= w∗1 z1 + w∗2 z2

Operador de Proyección

|ψ〉〈ψ| =(

z1z2

)(z∗1 z∗2

)=(|z1|2 z1z∗2z∗1 z2 |z2|2

)




Base lógica

|0〉 =(

10

), |1〉 =

(01

).

Representación de un ket

|ψ〉 =(

ab

)=(

a0

)+(

0b

)= a

(10

)+b

(01

)= a|0〉+b|1〉.




Producto externo, operadores

|0〉〈0| =(

10

)(1 0

)=(

1 00 0

)

|0〉〈1| =(

10

)(0 1

)=(

0 10 0

)

|1〉〈0| =(

0 01 0

), |1〉〈1| =

(0 00 1

)

A =(

A00 A01A10 A11

)= A00|0〉〈0|+A01|0〉〈1|+A10|1〉〈0|+A11|1〉〈1|.




EjercicioConseidere los kets |v1〉 = (1,−1) y |v2〉 = (1, 1).

Normalícelos.Muestre que |v1〉 ⊥ |v2〉Muestre que |v ′1〉〈v ′1|+ |v ′2〉〈v ′2| = I donde I es el operadoridentidad,

I =(

1 00 1

),

donde |v ′j 〉 es el ket |vj〉 normalizado.




Matrices de PauliLos operadores o matrices de Pauli son cuatro operadoresextremadamente útiles en la computación y la informacióncuántica y están definidas como:

σ0 = I =(

1 00 1

), σ1 = σx = X =

(0 11 0

)

σ2 = σy = Y =(

0 −ii 0

), σ3 = σy = Z =

(1 00 −1

)




Ejercicio: Escriba las matrices de Pauli en notación de Dirac.

σx =(

0 11 0

)= |0〉〈1|+ |1〉〈0|

σy =(

0 −ii 0

)= i(|1〉〈0| − |0〉〈1|)

σz =(

1 00 −1

)= |0〉〈0| − |1〉〈1|

I =(

1 00 1

)= |0〉〈0|+ |1〉〈1| =

∑j=0,1

|j〉〈j |




Operador UnitarioUn operador U se dice unitario cuando U† = U−1, donde U−1 esel operador inverso de U.Un operador es unitario cuando UU† = U†U = I.




Ejemplos:

Muestre que σy es unitario.Veamos:

σ†yσy =(

0 −ii 0

)(0 −ii 0

)=(−i2 00 −i2

)=(

1 00 1

).

Muestre que un operador unitario preserva la norma de un ket.

|||ψ〉||2 = 〈ψ|ψ〉 = 1.

Interesa demostrar que ||U|ψ〉||2 = 1. En efecto,

||U|ψ〉||2 = 〈ψ|U†U|ψ〉 = 〈ψ|I|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉 = 1.




Operador HermíticoUn operador A se dice hermítico si A† = A.

Ejemplos:El operador identidad I es hermítico.Las matrices de Pauli σx , σy y σz son hermíticas.

Los operadores hermíticos son de gran importancia en mecánicacuántica, porque toda cantidad física observable es representadaun operador de este tipo. Los operadores que representancantidades físicas son llamados observables.




Valores y vectores propios de on operadorUn escalar an se dice valor propio del operador A : V → V si paraalgún ket diferente de cero |an〉 ∈ V se cumple lo siguiente:

A|an〉 = an|an〉.

El ket |an〉 se dice vector propio de A con valor propio an.

El conjunto de vectores propios asociados con un valor propio andado de A se denomina supespacio propio de an:

Vn ={|ai

n〉 ∈ V tal que A|ain〉 = an|ai

n〉, i = 1, 2, . . . , gn}.

donde gn es la degeneración de an.




Ejemplo:Calcule los valores y vectores propios del operador σy .

σy |φ〉 = λ|φ〉 →(

0 −ii 0

)(cd

)= λ

(cd

)∣∣∣∣ −λ −ii −λ

∣∣∣∣ = 0 → λ2 + i2 = 0→ λ1 = 1, λ2 = −1.

Vactores propios:(0 −ii 0

)(cd

)= λ

(cd

)↔ −id = λc → d = iλc

|ψ1〉 = c(

1i

), |ψ2〉 = c

(1−i

).

Normalizando esos vectores obtenemos la constante c: c = 1/√2.




Operador de espín S para partícula de spin 1/2El spin es una propiedad intrínseca de las partículas, que se asociacon el momento magnético intrínseco de éstas. El 1921, en elexperimento de Stern y Gerlach, se evidenció que el electrón es unapartícula con spin 1/2, lo que significa que su estado de spin viveen un espacio de Hilbert de 2 dimensiones.El operador de espín S está dado por

S = ~2 (σx , σy , σz) ,

donde σi , i = x , y , z son las matrices de Pauli.




ObservacionesSz = (~/2)σz es diagonal en la base |0〉 ≡ |+〉, |1〉 ≡ |−〉, convalores propios ~/2 y −~/2.Los operadores Sx = (~/2)σx y Sy = (~/2)σy tienen cada unolos mismos valores propios que Sz , ~/2 y −~/2 y sus vectorespropios son

|±〉x = 1√2

(|0〉 ± |1〉).

|±〉y = 1√2

(|0〉 ± i |1〉).




El spin de la partícula en la dirección arbitrariau = (sin θ cosφ, sin θ sin θφ, cos θ) tiene la forma:

Su = S · u = ~2 (σx sin θ cosφ+ σy sin θ sinφ+ σz cos θ) .

Sus valores propios son ~/2 y −~/2 y sus vecores propios sepueden escribir como:

|+〉u = cos θ2 |0〉+ eφ sin θ2 |1〉

|−〉u = − sin θ2 |0〉+ eφ cos θ2 |1〉 (3)




Funciones de operadoresFunciones de operadores f (A) pueden ser definidas como una seriede potencias de la función f (x). Si

f (x) =∞∑

n=0Cnxn,

f (A) =∞∑

n=0CnAn.

Por ejemplo, la serie de la función exponencial es ex =∑∞

n=0 xn/n!,de manera que la exponencial de un operador tendrá la forma

eA =∞∑

n=0

An

n!




ObservablesTodo operador hermítico A tiene valores propios reales.

〈an|A|an〉 = an, 〈an|A†|an〉 = a∗n = 〈an|A|an〉.

Comparando la primera y última ecuaciones notamos quean = a∗n, y por lo tanto an es real.Si los valores propios de un operador hermítico son nodegenerados, sus vectores propios serán ortogonales.Si los vectores propios del operador hermítico forman una baseortonormal de ese espacio, a ese operador hermítico se lellama observable y puede ser usado para representar a unacantidad física observable.




Observables compatiblesEn general, no todos los operadores conmutan, i.e, AB 6= BA.Se define el conmutador de dos operadores A y B como[A,B] = AB − BA.Si dos observables conmutan, siempre es posible construir unabase de vectores propios comunes de ambos observables. Esosobservables se dicen compatibles.Si dos observables no conmutan, los observables sonincompatibles, lo que tiene implicancias físicas importantes:existe un principio de incertidumbre entre ellos.




Sistemas compuestosEl producto tensorial es una forma de combinar dos espacios deHilbert y formar un espacio vectorial más grande. Se debe usarpara describir sistemas compuestos en MC.

Producto tensorialSupongamos que V y W son dos espacios de Hilbert dedimensiones N y M respectivamente. El espacio producto tensorialV ⊗W es un espacio de Hilbert de N ×M dimensiones.Los elementos de V ⊗W son combinaciones lineales de vectoresproducto tensorial de la forma |v〉 ⊗ |w〉 donde |v〉 ∈ V y |w〉 ∈ W.Notación: |v〉 ⊗ |w〉 = |v〉|w〉 = |v ,w〉 = |vw〉




Si {|0〉1, |1〉1} es una base en V1 y {|0〉2, |1〉2} es una base en V2,el conjunto

{|0〉1|0〉2, |0〉1|1〉2, |1〉1|0〉2, |1〉1|1〉2}

donstituye una base del espacio de estados productoV1 ⊗ V2 ycualquier ket |ψ_12 en ese espacio puede escribirse de la forma:

|ψ〉12 = a|0〉1|0〉2 + b|0〉1|1〉2 + c|1〉1|0〉2 + d |1〉1|1〉2,

con a, b, c, d complejos.




Estados separablesDos estados se dicen separables si los puedo factorizar de laforma

|ψ〉12 = |ϕ〉1|φ〉2.

|ψ〉12 = (c1|0〉+ d1|1〉)(c2|0〉+ d2|1〉)= c1c2|00〉+ c1d2|01〉+ d1c2|10〉+ d1d2|11〉.

Para que un estado sea separable, debe cumplirse que:a = c1c2, b = c1d2, c = d1c2 y d = d1d2, esto es ab = cd .pace0.1cm




Estados entrelazadosDos estados están entrelazados si lo anterior no es posible.Ejemplo: estados de Bell

|β00〉 = 1√2

(|00〉+ |11〉)

|β01〉 = 1√2

(|01〉+ |10〉)

|β10〉 = 1√2

(|00〉 − |11〉)

|β11〉 = 1√2

(|01〉 − |10〉).




Si aplicamos un operador lineal sobre uno de los sistemas, digamosel primero, ¿cómo transforma el estado del sistema compuesto?

Operadores sobre V ⊗WUn operador general Q de un sistema de dos qubits tendrá unoperador representado por una matrix 4x4 en la base productotensorial

{|00〉, |01〉, |10〉, |11〉} ≡ {|0〉, |1〉, |2〉, |3〉} ,

o bien puede escribirse en la notación de Dirac como

Q =3∑

n=0

3∑n=0

Qnm|n〉〈m|.





Hay muchas formas de formular los postulados de la mecánicacuántica. Aquí buscaremos una forma útil para la TCI.

Primer postulado: sobre el estado de un sistemaA todo sistema físico aislado se le asocia un espacio vectorial linealcomplejo con un producto interno (esto es, un espacio de Hilbert)conocido como espacio de estados E del sistema. El estado delsistema queda completamente descrito por un vector de estado|ψ〉, que es un vector unitario perteneciente a dicho espacio.




Segundo postulado: sobre la evolución temporal de un sistemaLa evolución de un sistema cerrado está descrita por la ecuación deSchrödinger

i~ ddt |ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉,

donde H es un operador hermítico llamado hamiltoniano delsistema cerrado y ~ la constante de Planck. H es el observableasociado a la energía total del sistema.Conocer el hamiltoniano del sistema y su estado a algún tiempodado es conocer la dinámica completa del sistema. La evolucióntemporal del sistema es determinista.




Segundo postulado: formulación alternativaLa evolución de un sistema cerrado está descrita por unatransformación unitaria. Esto es, el estado del sistema en uninstante t, |ψ(t)〉 es el resultado de una transformación unitariacon el estado del mismo sistema en un instante anterior

|ψ(t)〉 = U(t, t0)|ψ(t0)〉,

donde operador U(t, t0) es llamado operador de evolución delsistema.




Cualquier compuerta lógica en computación cuántica es el reflejode algún proceso físico que ocurre sobre el qubit y estárepresentada por algún operador U.Si el sistema es conservativo, i.e., H no depende del tiempo, eloperador de evolución tendra la forma

U(t, t0) = e−iH(t−t0)/~.

Claramente, éste es un operador unitario

U(t, t0)U(t, t0)† = e−iH(t−t0)/~eiH†(t−t0)/~ = e−iH(t−t0)/~eiH(t−t0)/~ = I.

(Esa simplificación de las exponenciales se puede hacer sólocuando los exponentes de cada una conmutan unos con otros).




Ejemplo:Supongamos que tenemos a tiempo t = 0 un qubit en lasuperposición lineal de la base computacional |ψ(0)〉 = a|0〉+ b|1〉,donde |0〉 y |1〉 son vectores propios del Hamiltoniano. ¿Cuál seráel estado del sistema a tiempo posterior?Tenemos que H|0〉 = E0|0〉 y H|1〉 = E1|1〉.

|ψ(t)〉 = U(t, 0)|ψ(0)〉 = e−iHt/~|ψ(0)〉= e−iHt/~(a|0〉+ b|1〉) = a e−iHt/~|0〉+ b e−iHt/~|1〉= a e−iE0t/~|0〉+ b e−iE1t/~|1〉 = a e−iω0t |0〉+ b e−iω1t |1〉




Tercer postulado: sobre resultados posibles de una medición y supredicciónConsideremos un observable A, tal que A|ϕn〉 = an|ϕn〉 y unapartícula en un estado |ψ〉.Si se mide el observable A, los únicos resultados posibles de lamedición serán los valores propios an, y la probabilidad de obtenercada uno de estos será

P(an) =√〈ψ|Pn|ψ〉,

donde Pn = |ϕn〉〈ϕn| el operador proyector al subespacio propio dean. Si el autovalor an no es degenerado, esa probabilidad se reducea:

P(an) = |〈ϕn|ψ〉|2.




Cuarto postulado: sobre el efecto de una medición sobre el estadode una partículaSi la medición de un observable A en un sistema en el estado |ψ〉da como resultado el valor an, el estado inmediatamente despuésde la medición es la proyección normalizada de |ψ〉 en elsubespacio propio asociado al valor propio an:

Pn|ψ〉√〈ψ|Pn|ψ〉

.

Si el resultado an no es degenerado, y el estado del sistema antesde la medición es |

∑n cn|ϕn〉, el estado inmediatamente después

de la medición será|ϕn〉.




Ejemplo sencillo: Consideremos un sistema de spin 1/2 en el estado

|ψ〉 =

√13 |0〉+

√23 |1〉,

donde {|0〉, |1〉} es la base de autoestados de σz .a) Si se mide Sz , ¿cuáles son los valores posibles a obtenerse y qonqué probabilidad?b) Si como resultado de la medida se obtiene −~/2 ¿cuál estadodel sistema inmediatamente después de la medición?




Solución. Notamos que el estado está escrito en términos de losautoestados de Sz , |0〉 y |1〉, y que está normalizado:||ψ〉|| =

√13 + 2

3 = 1..Como

|ψ〉 =

√13 |0〉+

√23 |1〉,

a) Los valores posibles son ~/2 con probabilidadP(~/2) = |〈0|ψ〉|2 = 1

3 y −~/2 con probabilidadP(−~/2) = |〈1|ψ〉|2 = 2

3b) Si al medir Sz se obtiene −~/2, el sistema queda en

P−|ψ〉|√〈ψ|P−|ψ〉

= |1〉〈1|ψ〉√〈ψ|1〉〈1|ψ〉

∝ |1〉,

es decir, el vector propio asociado al valor propio obtenido.




El codificado superdenso es un ejemplo muy simple de de unatarea de información uántica usando las ideas de mecánicacuántica que hemos visto.

Codificado superdensoEste protocolo involucra dos partes, Alice y Bob, ubicadas lejosuno del otro. Alice debe transmitir cierta información clásica a Bobque está almacenada en dos bits clásicos, pero sólo puede enviarleun qubit individual. ¿Se puede realizar esta tarea? ¿Cómo?




Solución: Se puede resolver mediante un qubit maximamenteentrelazado que comparten Alice y Bob:

|ψ〉 = 1√2

(|00〉+ |11〉) = |β00〉

Alice está el posición del primer qubit y Bob del segundo (podríaser que no se han visto y que recibieron cada qubit por parte de untercer individuo).Alice nota que mandándole su qubit puede hacerle llegar elmensaje de dos bits que desea. ¿Cómo lo hace?




Mensaje Alice Transforma Bob recibe00 |ψ〉 |β00〉01 σz |ψ〉 |β01〉10 σx |ψ〉 |β10〉11 iσy |ψ〉 |β11〉




Bibliografía

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