CONCEPTOSDE MATEMATICA

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i ® PARA EL MAESTRO

0 O EL PROFESOR

Oí |(D!: I®! i®¡ EL ESTUDIANTE

En este número:

El congreso de Lyon.

Estructuras algebráicas.

Formación permanente del profesorado.;

Estadística.Cooperación de psicólogos y docentes, j

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SU AUTOR: INGENIERO ANTONIO ROBERTO LOPEZPROFESOR EN: COLEGIO NACIONAL DEAN FUNES (1950-1956) - COLEGIO NACIONAL MONSE-

RRAT (desdo 1952) - ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO MANUEL BELGRANO (desde 1953) - PROFESORADO DE MATEMATICA FISICA Y COSMOGRAFIA (desde 1954) - FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA - CATEDRATICO VITALICIO EN LA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CORDOBA - DICTO CURSILLOS SOBRE TEMAS DE MATEMATICA MODERNA EN DOS AÑOS 1964-1965-1966 y 1967.

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Information'Stems

Prepárese

para conversarDE MATEMATICATime-Shartng

AÑO III OCTUBRE-NOVIEMBRE-DICIEMBRE 1969 No 12

CARTA AL LECTORcon CONCEPTOS DE MATEMATICAPUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración: Gücmcs 4629, Piso 8o, Depto. B.

Depósito:Fernández Blanco 2045 - Buenos

Aires

Comencemos con una noticia que sabemos ha de alegrar a nuestros consecuentes lectores. Hemos decidido seguir pu­blicando CONCEPTOS DE MATEMATICA durante al año• 1970. Esta decisión se ha basado en un minucioso estudio de las contestaciones al cuestionario planteado en el N° 10. Confesemos en primer término que la cantidad de respuestas no fue tan grande como hubiera sido de desear, pero sabe­mos muy bien lo atareados que están los docentes argentinos y lo difícil que les resulta realizar cualquier tarea fuera de las muchas que debe cumplir cada día. Pero las contestaciones recibidas son tan entusiastas, tanto nos hablan de las necesi­dades pedagógicas de los docentes argentinos tan al margen de cualquier apoyo para el cumplimiento de su quehacer, que no nos queda otro camino que el de seguir prestándoles nuestra pequeña colaboración. Han contribuido para que to­máramos esa decisión los muchos llamados telefónicos y las manifestaciones de apoyo que hemos recibido, algunas de ellas provenientes de personalidad de nuestra disciplina, que insistentemente nos han hecho ver la necesidad de que conti­núe nuestra tarea. Asimismo, en el Primer Congreso Interna­cional sobre Educación Matemática, realizado en Lyon entre el 24 y el 30 de agosto, la principal de sus resoluciones establece que "en todos los países, la modernización de la enseñanza debe ser proseguida con la máxima energía posi­ble, tanto en Io que se refiere al contenido de los programas cuanto en lo que concierne a la manera de presentarlos. Con­tenidos y métodos deben ser objeto de permanente estudio". ¡Cómo negar entonces esta colaboración nuestra, por peque­

ña que sea!* Las dificultades que deberemos superar no son pocas. La primera es el presupuesto de gastos que nos indica un sensi­ble aumento para 1970. No queremos, por supuesto, encare­cer la publicación y son muchos los que saben hasta qué punto hacemos economías. Pero las erogaciones son muchas y, con la esperanza de que podamos cubrirlas con un mayor aporte publicitario, hemos fijado en MIL PESOS MONEDA NACIONAL el precio de la suscripción por 1970.

Esperamos, pues, que este empeño nuestro sea bien reci­bido por los lectores de CONCEPTOS DE MATEMATICA y que ellos nos ayuden a sobrellevar las dificultades que puedan presentarse.* Eso es todo lo que queríamos decirles y, por lo tanto, sólo nos resta despedirnos deseándoles un feliz fin de año y un mejor comienzo en 1970.

nuestro computador

Director - EditorJOSE BANFI

♦Asesores: José Uabini, Juan 1. Bla-

quier, Frédériquc Papy, Georges Papy, Luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappc, Emi­lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydce Fernández, Atilio Piaña, Lisa Sabbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Banfi,

Dibujante: Arquitecto Julio R. Juan.

Suscripción anual: Argentina m$n. 900; Exterior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CON­CEPTOS DE MATEMATICA.

Ejemplar suelto: m$n. 275.Número atrasado: m$n. 350.Lugares de venta: En nuestra sede,

Fernandez Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340; Li­brería del Colegio, Alsina y Bolí­var; Librería General de Tomas Pardo, Maipú 618; Librería Resio, Callao 621: Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Aires; Li­brería del Azul, San Martín 472, Azul; Librería "Erusmo”, San Martín 3330, Mar del Plata; Li­brería El Universitario, H. Yrigo- yen y San Juan, Corrientes.

.ara colaboraciones, números atra­sados, suscripciones y avisos, dirigir­se directamente al editor.Registro de la Propiedad intelec­

tual: N° 966.821.

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ACTUALIDAD Todo ello se complementaba con la exhibi­ción de f ilmes matemáticos.

les formulan preguntas sobre temas diversos; fel juego los lleva progresivamente a los nuevos conceptos. El texto es reemplazado por dibu­jos, esquemas, diagramas y gráficos, y la má­quina de calcular evita a los alumnos los cálcu­los numéricos fastidiosos permitiéndoles concentrarse en el problema propuesto. Los alumnos, que actúan por grupos de 2 ó 3, responden conjuntamente a las preguntas, y a los más rápidos se les entregan fichas suple­mentarias. Se exige del profesor un tremendo esfuerzo de adaptación, de equilibrio y de imaginación. El ritmo es naturalmente lento, pero se gana mucho en profundidad, y los conceptos se adquieren definitivamente. No se esperan resultados milagrosos y se está dis­puesto a más de una rectificación. Aún cuan­do se ha comenzado hace poco, los resultados son alentadores.

MAURICE GLAYMANN expresó que, al hablar del material didáctico, abordamos un problema fundamental porque muchos docen­tes consideran a la matemática como una cien­cia totalmente hecha, lo que explica que mu­chos estudiantes no la comprendan. Lo que se desea es que los estudiantes actúen antes de comprender, lo que puede parecer paradógico, pero el disertante considera que mediante la acción se han de concretizar las ¡deas. "La ma­temática es un juego del espi'ritu. La construc­ción axiomática de una teoría es un juego del cual se establecen las reglas y, a partir de ellas, mediante el instrumento de la lógica, se cons­truye una teoría. ¿Por qué no proponer a los niños la misma marcha, esto es, el manejo de cierto número de situaciones y luego la abs­tracción progresiva de ideas, de manera que por la acción y el desarrollo de cierta estrate­gia pueda el niño concretar cierto número de ¡deas y llegar a un concepto matemático? Queremos que el niño mediante una experien­cia personal, usando procedimientos cotidia­nos, llegue a abstraer y a comprender porqué se ha de plantar tal o cual definición y hallar la solución lógica, y también a ver el trasfon­do de las cosas".

A. DELESSERT se ocupó en forma vibran­te de la formación de docentes de matemática y se refirió irónicamente a esos profesores que creen en la virtud sobrenatural de su diploma y se consideran infinitamente competentes. Se­gún él, la vocación de los futuros profesores de matemática depende del recuerdo que ten­gan de su vida escolar. Hacer matemática es

El congreso de Lyon El materia! didáctico

En el Salón de exhibiciones del Palacio del Congreso hubo una exhibición de libros y re­vistas referentes a matemática moderna. Se pu­dieron ver además numerosas máquinas elec­trónicas y un "modulaíre" de 6 a 70 registros de memoria que podía satisfacer desde 80 a 400 niveles de programa; no era mayor que portadocumentos grande. La "balanza mate­mática" del profesor Orlov, que se emplea pa­ra la iniciación en el álgebra, funciona median­te dos elementos unidos a un compensador central colocado sobre los platillos, permitien­do que el alumno coloque los elementos del problema a resolver y forme las ecuaciones cu­ya solución se obtiene con etapas análogas a las que se efectúan en el papel.

Asimismo, todos los días, un grupo de jóve­nes ingleses invitaba a su "taller de matemáti­ca". Lo que se podía ver parecía un juego; se trataba de objetos de material plástico y de todas las formas y dimensiones, repartidos en mesas atendidas por 2, 3 ó 4 estudiantes. Ha­bía hilos y coordenadas, cuadrados, triángulos, rombos, rectángulos, círculos, cubos, polie­dros, cilindros, conos rectos, oblicuos y trun­cados, que permitían a los alumnos toda clase de combinaciones y construcciones aprovecha­bles para la enseñanza de alumnos de 12 a 15 años. Los procedimientos eran tan atrayentes, que muchos participantes trataron de familia­rizarse con ellos, y se dio el caso de que sien­do profesores resultaron a la vez alumnos de los estudiantes, que los manejaban sin ninguna dificultad.

ELSA SABBATIELLO (Argentina)

THIER, (Francia), se refirió a un ensayo de individualización en la enseñanza de alumnos del primer ciclo Secundario; G. MASLOVA, (Rusia), habló sobre conceptos e ideas en la enseñanza de la matemática desde los 7 hasta los 13 años; A. ROUMANET, (Francia), ex­puso acerca de una clase de matemática, moti­vación y método; E. BEGLE, (Estados Uni­dos), sobre el papel de la investigación en la mejora de la enseñanza matemática; A. DE­LESSERT, (Suiza), sobre algunos problemas relativos a la formación de docentes de mate­mática; A. ENGEL, (Alemania), de la importan­cia de los campos modernos de la matemática aplicada para la educación matemática; A. I. MARKUSEVIC, (Rusia), habló sobre la educa­ción matemática fundamental en el nivel pri­mario; A. REVUZ, sobre los primeros pasos en análisis; E. FISCHBEIN (Rumania), sobre enseñanza de la matemática y desarrollo inte­lectual; Z. P. DI EN ES, sobre matemática en la escuela primaria; E. CASTELNUOVO, (Italia), sobre diferentes representaciones empleando la noción de baricentro; P. C. ROOSEMBLOON, (Estados Unidos), se refirió a vectores y sime­tría; G. PAPY (Bélgica), al minicomputador; B. THWAITES (Inglaterra), a la función del computador en la matemática escolar; A. Z. KRIGOWSKA. (Polonia), a los textos de mate­mática en la enseñanza; H. G. STEINER (Ale­mania), hizo un análisis deductivo sobre las magnitudes y los números racionales y H. O. POLLAK (Estados Unidos), habló acerca de cómo se pueden enseñar aplicaciones de la ma­temática. Muchos de estos interesantes temas fueron expuestos en mesas redondas con dis­cusiones abiertas a los integrantes de las mis­mas.

Tuve oportunidad de asistir como observa­dora al Primer Congreso Internacional sobre Educación Matemática que se realizó en la ciu­dad de Lyon, Francia, desde el 24 al 30 de agosto de 1969, organizado por la Comisión Internacional sobre Educación Matemática (I.C.M.I.) presidida por H. Freudentha! e inte­grada por L. Gillman, M. Glaymann, J. Novak, S. Sobolev, H. G. Steiner, E. Straszwicz, B. Thwaites e I. Wirzzup, la cual fue secundada por el Comité Nacional Francés y la Asocia­ción de Profesores de Matemática de la Ense­ñanza Pública de Francia (A.P.M.E.P.) integra­da por H. Cartan, I. Chevallier, A. Lichnero- wicz, A. Revuz, M. A. Touyarot, P. Vissío y G. Walusinski, muchos de ellos conocidos de los lectores de CONCEPTOS DE MATEMATI­CA por trabajos publicados en sus páginas. Se trata, sin duda, de un hecho de suma importancia en lo que se refiere a la concep­ción actual de la matemática y a los aspectos pedagógicos de su enseñanza.

Acudieron a la cita 800 participantes. La representación más numerosa fue la francesa con unos 200 participantes y luego la de los Estados Unidos con alrededor de un centenar.

Como es natural, casi todos los días hubie­ron comunicaciones libres y amplia discusión de los temas propuestos, pero, sin duda, ad­quirió significativa importancia el programa de conferencias, lo suficientemente nutrido como para que los participantes pudieran obtener una idea completa de las circunstancias actua­les a través de la exposición de los mejores especialistas del mundo. Aunque pueda pare­cer muy larga la lista, no vacilamos en publi­carla porque así nos podemos enterar de cuáles son esos problemas.

B. CRISTIANSEN, (Dinamarca), se ocupó de la inducción y la deducción en la enseñan­za de la matemática en los primeros niveles; W. SERVAIS, (Bélgica), de la lógica y la ense­ñanza de la matemática; V. ARMITAGE, (In­glaterra), de la relación entre la matemática abstracta y la concreta en la escuela; R. GAU-

un

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|Acerca de algunas conferencias

A la espera de la publicación oficial, dare­mos detalles de algunas conferencias.

RENE GAUTHIER habló sobre un método que está experimentándose tanto en Lyon cuanto en otras ciudades francesas, en el que se elimina la exposición magistral en beneficio de la actividad personal de los alumnos. Participan de la experiencia unos 250 alumnos repartidos en 7 escuelas. Parten de la base de que es muy fácil explicar los fracasos por ineptitud de los alumnos para la matemática. Se reparten a los alumnos fichas en las que se

Además, diariamente, en las sesiones vesper­tinas, se realizaban conferencias libres en las que una decena de participantes, anotados pre­viamente, exponían sobre un tema de su espe­cialidad, prosiguiéndose luego discusión abierta.

con una

4

5

ORIENTACION

La noción de

enseñanzala

elementalLUCIENNE FELIX

(Francia)

CONCLUSIONES¿En qué consiste el estudio de una fun­

ción? Debemos distinguir el estudio algebraico y el estudio topológico.

Señalaremos, sin insistir, que en el conjunto de funciones numéricas, se define no sólo el producto por composición, sino también una estructura de espacio vectorial y una estructu­ra de anillo.

La consideración de la función inversa de toda función estudiada obliga a distinguir (mu­cho antes de que se puedan pronunciar los términos técnicos) las funciones inyectivas, suryectivas, biyectivas. En nuestro ejemplo de las oblicuas, la función no inyectiva obliga a considerar el par de puntos m, imagen recipro­ca de un valor elegido de y.

O + a (a, dado)'Vx1# V x2, f(x2) - f(xj )=x2 -Xj

4. Respeto de una relación (respeto del án- gulo, del paralelismo, etc.).

Se subraya la importancia primordial de la función lineal-- _______ l—Értrt. —. I*

Obeccion inaugural. ix) benorita tisa baDoatiello. redactora de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Muchas teorías matemáticas han nacido de la construcción de modelos matemáticos, y esto debe ser tenido en cuenta en la enseñanza de la matemática. Se debe, por tanto, alentar la colaboración de los profesores de matemática con los de otras asignaturas.

3. Debe desarrollarse la cooperación inter­nacional. La información sobre la enseñanza de la matemática debe ser difundida mediante conferencias, congresos, publicaciones, inter­cambio de docentes. Todo país debe estar completamente informado de los esfuerzos de los otros países. En particular, los países más desarrollados deben continuar colaborando con los países en vías de desarrollo para la investigación de las soluciones que les puedan convenir.

4. La evolución acelerada del contenido y de los métodos de la enseñanza de la matemá­tica impone que cada docente de la especiali­dad esté en condiciones de aprovechar una formación continua que debe integrarse con su actividad profesional normal.

5. La pedagogía de la matemática se con­vierte cada vez más en una ciencia autónoma con sus propios problemas de contenido mate­mático y de experimentación. Esta nueva cien­cia debe hallar un lugar en los departamentos universitarios de matemática o en los institu­tos de investigación; los que se diplomen en esta disciplina deben poder alcanzar todos los grados universitarios.

a, dado x«_*ax

que asegura el respeto de la adición, del pro­ducto por una constante, y por consiguiente, de las relaciones lineales, por ejemplo:

hacer funcionar facultades de intuición, imagi­nación y crítica. Y aunque la carrera de profe­sor de matemática no sea especialmente atra yente por sus perspectivas promocionales, debe ir acompañada por una actitud evolutiva en un clima de investigación. Expresó que la enseñanza tradicional es una enseñanza de ca­botaje y que la moderna se asemeja a la nave­gación en alta mar. El profesor de hoy debe gozar de mayor autonomía en un marco me­nos rígido y realizar, por su parte, un esfuerzo personal. Finalizó con esta reflexión, caracte­rística de su estilo: "Sería lógico que los do­centes mejor formados fueran destinados a las clases de alumnos más jóvenes. Sin embargo, lo contrario es lo que generalmente ocurre".

ki X! + k2 x2 + k3x3Q ki f(xj) +

+k2f(x2) +k3f(x3)

Esto comprobado, empleado desde las pri­meras aplicaciones de los números a la resolu­ción de problemas, desemboca en la necesidad de estudiar la recíproca, estudiando sea sobre Q, sea sobre R las ecuaciones funcionales

Búsqueda de invariantes de diversos tipos1) Si existen relaciones de orden en los

conjuntos de partida y de llegada, la conserva­ción o la inversión de la relación de orden es, inmediatamente, reconocida o investigada. Para las funciones numéricas el respeto de la rela­ción de orden natural es infortunadamente, de­nominada "crecimiento de la función" ¡cómo si la función cambiara! (Las razones históricas de este término son claras y respetables, pero no por eso deja de ser menos lamentable y fuente de error en el estudio del producto por composición, tan evidente cuando el término no es empleado.

2) Son notables los elementos invariantes para una función no neutra (o para una fun­ción multiplicativa, centro de una rotación, etc.)

íVx, V x2, f(x, +x2) =f(Xl) +f(x2)

y V Xj,Vk, f(kx¡) = kf(x,)

La comparación de las estructuras aditiva y multiplicativa impone la introducción de la función definida por

I

Conclusiones

Exceptuando algunos detalles -por lo gene­ral de estilo- las principales resoluciones del Congreso de Lyon fueron las siguientes:

1. En todos los países la modernización de la enseñanza debe ser proseguida con la máxi­ma energía posible, tanto en lo que se refiere al contenido de los programas cuanto en lo que concierne a la manera de presentarlos. Contenidos y métodos, que son inseparables, deben ser el objeto de permanente estudio.

2. Los conceptos matemáticos están presen­tes en muchas otras disciplinas (ciencias físi­cas, biológicas, económicas, humanas, etc.).

y de su función inversa. No queda, evidente­mente, esperanza de obtener un isomorfismo más que si se asocian los elementos neutros 0^1.

Para comenzar, evidentemente, se necesi.ta otro par. Para facilitar los cálculos numéricos, los niños (de 13 a 14 años) eligen espontánea-

3) Una relación entre dos elementos puede ser respetada cualquiera sea el par de elemen­tos de partida.

Ej.: Distancia o dirección de un par, dife­rencia para la "función traslación".

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puesto que se pasa de w2 a Wj suprimiendo ios elementos de vi \ v2.to de un tren se observa anotando el instante

del pasaje por lugares elegidos. El gráfico, reu­nión de segmentos de recta, da una aproxima­ción válida para ciertos puntos de vista.

f10, y de allí surgen otros paresmente 1 para completar la tabla

lv^102v_*102 - 100_

1/2x-^1°2' = \/To ~ 3,162 -lortO”1 = 1/10 = 0,1

Así se introducen en forma completamente natural las funciones logarítmicas y exponen­ciales (con el uso de las tablas e incluso de la fórmula para el cambio de base).

La dificultad con respecto a las aproxima­ciones es evidente, pues la estructura multipli­cativa no se presta al estudio de las diferen­cias. Aparece la urgencia de un estudio topoló- gico, pero ese punto de vista, que completa el estudio algebraico, se ha preparado desde hace mucho.

yf ax: 'He b XFig.4

Para toda otra posición q0 elegida de q, la imagen recíproca del entorno de q0 era un entorno de m0, pero esta vez la imagen recí­proca de un entorno de c es la unión de las dos semirrectas. Se examina el efecto de la inclusión y se decide llamar entorno del infini­to a esta unión.

Ninguna dificultad para examinar la imagen de un entorno de a. Finalmente, se agrega infi­nito al conjunto de puntos de la recta y el límite y al conjunto de las imágenes f(m). Como

Fig. 3

2) La continuidad responde a la pregunda ¿Cómo asegurar que y6w, siendo w un en­torno de y0 = f(x0)?

A esta pregunta del físico se responde bus­cando un entorno v de x0 cuya imagen esté incluida en w; todo entorno Vj, incluido en v todavía convendrá más (se toma un margen de seguridad debido a las aproximaciones del cál­culo).

*Ii1* ifc3 !c<f :fc:TI IIAY i

i:iJTOPOLOGIA

Desde los primeros cálculos con números un poco grandes, desde las primeras medidas, se debieron introducir las aproximaciones.

Lo esencial es adquirir la noción de entor­no*, entorno de un número en el conjunto conocido (Q o sus extensiones), de un punto (sobre una recta, el plano, el espacio, una cur­va,. ..), pero también entorno de un elemento en el conjunto de las rectas, de los círculos, de los triángulos, etc. Confesamos lo que hace­mos en las verificaciones experimentales de un teorema o de un cálculo.

La obligación de considerar entornos en el conjunto de las funciones se impone desde los primeros gráficos: no solamente los puntos construidos no son más que aproximados sino que ¿cómo unirlos? ¿En que entorno se ha indicado el cambio de escala para mejorar el gráfico?

I IIi

I tr

t t t V*1 fc 3 ip-*F¡g. 2

x' (Xbam■>+ 1 k>o|—i (+1+ 1 0yEntonces, el matemático, para estar seguro

de poder satisfacer al físico, exige que exista v cualquiera sea w.

En conclusión, del estudio geométrico pre­cedente, los alumnos no han tenido ninguna dificultad para escribir con símbolos matemá­ticos y para enunciar las definiciones precisas de infinito y de los límites. Claro es que el modelo geométrico y los colores empleados para mostrar los diversos entornos ayudan a la intuición mientras que las frases y los cálculos forman una pantalla que oculta el pensamien-

La función es "afín por trozos", la veloci­dad es "función en escalera".

Pero hemos representado un movimiento con tres sacudidas y un terrible "choque" que hace retroceder el tren. Es necesario redondear el gráfico, lo que vuelve continua la velocidad. De ese modo está bien preparada la noción de derivada y de primitiva. Ciertamente, aquí se podrá ver una preparación para el cálculo de áreas mediante las primitivas, pero yo no he encontrado nunca en esta situación una oca­sión normal para pensar en las áreas.

x0o,yo Vw, 3v: f(v)e w

En el nivel de nuestros alumnos, "existe" es reemplazado por "puedo construir" o bien "puedo calcular".

El problema planteado sobre los gráficos de las funciones definidas geométricamente (ejem­plo _de la oblicua, ejemplo de la relación mb/ma) interesa a los alumnos y se resuelve sin dificultad pues el cuantificador Vya es to­talmente usual.

La respuesta es válida para todo punto m en el ejemplo de la oblicua, pero cuando se estudia m -> y = mb/ma, alcanzamos un estu­dio apasionante.

3) Limite, infinito.Volvamos a considerar la figura introdu­

ciendo y = mí/ma.

¿Qué respuesta dar si se exige que q perte­nezca a un entorno de c, es decir, y entorno de I?

to.Los cálculos se los ha hecho después sobre

la misma situación, luego de haber elegido, y en formas diversas, el origen de las abasas pa­ra elegir m. De donde, diversos valores de k y h se obtuvieron en la relación y = x-h/x—k.

y. .CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO. LIMITE. INFINITO

Otra situación

Se impone un estudio del límite sin inter­vención del infinito cuando se aborda la ción de tangente a la circunferencia, los problemas conducen a considerar en forma análoga a la secante a una recta que no tiene más que un punto común con la circunferen-

Los niños de 14 años, acostumbrados al uso de gráficos, como lo hemos dicho, com­prenden y emplean sin dificultad las definicio­nes correctas del análisis.

Recordemos lo que es esencial:1) La imagen de un entorno de x0 es un

entorno de y0 =f(xo) y la función respeta la inclusión de los entornos.

v2C vj=> w2C w,

V5i a «■

f’j

no-La continuidad del fenómeno es demasiado evidente para los niños como para que se pres­te a discusión, en tanto que intuitivamente lo que luego será la continuidad de la derivada prontamente será discutida. Los ejemplos pri­vilegiados se plantean con respecto a los movi mientos "uniformes por trozos": el movimien-

en que

cia.a unlcontinúa en pág. 18)

8 9

ción y con (R;T;.) al conjunto de los reales con adición y multiplicación.

Destacaremos las siguientes observaciones:a) Para identificar una estructura algebraica

es imprescindible considerar el par conjunto — operaciones; no obstante, por abuso de lengua­je y comodidad y siempre que no haya con­fusiones, diremos brevemente estructura A en lugar de estructura (ATL).

En tal caso se indica con igual si'mbolo a la estructura y al conjunto sobre el cual dicha estructura está definida; deberá cuidarse en cada oportunidad cuál es la interpretación correcta del símbolo empleado (Véase, más abajo, b) ye)).

b) La estructura A se dirá finita sólo si el conjunto A es finito. En tal caso, las operacio­nes que la definen pueden darse por tablas de valores.

c) Dada la estructura A, diremos que A' es una subestructura de A sólo si la restricción sobre A' de las operaciones que definen A determinan una estructura de igual tipo que

Así, por ejemplo, al pasar de la notación aditiva (+) a la multiplicativa (.) con las con­venciones usuales, resulta que 3.(b + c) debe indicarse con (b.c)3 y que el neutro y el simé­trico de a se designan respectivamente 0; -a, o bien 1; a”1. Para el caso finito podría decir­se que dos estructuras son isomorfas sólo si existe una correspondencia biyectiva de sus elementos que "conserva la tabla de las opera­ciones".

Por ejemplo: El conjunto A(A: -{1;—1}-) con multiplicación es isomorfo al conjunto B(B: ( Identidad, Rotación en n con centro en el origen |-) y operación de composición; también a C(C:-[0;1)-) con adición módulo.2:(0 -r 1 = 1 +0 = 1,0+0 = 1 + 1 = 0).

f) La denominación de una estructura alge­braica determinada suele variar con los auto­res. A veces, distintos autores indentifican con el mismo nombre a estructuras distintas. Noso­tros convendremos en adoptar para cada una la denominación que creemos más generalizada y, eventualmente, haremos referencia a otros nombres con los cuales también se la conoce.

g) Claro es que independientemente del in­terés teórico que presenta el estudio de cada estructura, existe, además, otro de interés práctico. En efecto, al verificar que ciertas operaciones asignan a un conjunto dado una estructura algebraica determinada, todos los teoremas demostrados para ella, previa una interpretación adecuada, permiten enunciar propiedades válidas en dicho caso particular.

a gebráicasLicenciado RAUL A. CHAIAPPA (Universidad Nacional del Sur)

Obsérvese., asimismo, que la consideración de nuevas propiedades elementales puede con­vertir a dichas operaciones en algebraicamente distinguibles.

En resumen, desde el "punto de vista alge­braico" sólo interesan las propiedades elemen­tales de las operaciones, las relaciones existen­tes entre ellas -suponiendo que haya más de una definida sobre un mismo conjunto- y la existencia de elementos especiales —con res­pecto a cada operación considerada.

Debe destacarse que no importa cuáles son los elementos sobre los cuales se opera, ni cuá­les son las operaciones consideradas.

Por tanto, las operaciones se supondrán de­finidas por los axiomas que representen sus propiedades elementales y consideren la exis­tencia de elementos especiales.

INTRODUCCION

En el artículo Operaciones binarias (véase CONCEPTOS DE MATEMATICA, Nros. 4 y 5), cuyo contenido supondremos conocido y a cuya nomenclatura nos referiremos, hemos considerado ciertas leyes de composición (binarias internas). Nuestro objetivo es ahora introducir al estudio de conjuntos sobre los cuales se han definido operaciones binarias in­ternas, vale decir, introducir al estudio de ciertas estructuras algebraicas y dar una idea de las relaciones que existen entre ellas.

Se sabe que las distintas operaciones defi­nidas sobre números —naturales, enteros, ra­cionales, reales, complejos- satisfacen o no determinadas propiedades elementales (con- mutatividad, asociatividad, distributividad, ¡dempotencia, etc.), y que sobre esa base y la existencia o no de números con propiedades especiales -cero, uno, opuesto, inverso, etc.- se demuestran las distintas leyes del álgebra.

También sobre conjuntos no numéricos de vectores, de polinomios, de matrices, de

proposiciones, de conjuntos, de funciones, etc.— se definen operaciones de las cuales se estudian las propiedades elementales y la exis­tencia de elementos especiales. Lo mismo que en el caso numérico, de esto dependen las le­yes que satisfacen las operaciones considera­das.

A.Así, por ejemplo, el conjunto de los pares

con adición es una subestructura de la estruc­tura que define los naturales con adición.

Claro es que A' es subestructura de A sólo si A' es subconjunto de A. Para comprobar que ello no es suficiente basta considerar en el conjunto de los números naturales al subcon­junto de los impares con adición. Además, como todo conjunto es subconjunto de sí mismo, resulta que cada estructura es subes­tructura de sí misma.

d) Un conjunto muy importante, sobre el cual no insistiremos, es el de homomorfismo (isomorfismo) de estructuras algebraicas. Sólo diremos, para una sencilla aplicación en los ejemplos de grupo, que las estructuras (Aj) y (A'i) son isomorfas sólo si existe una aplica­ción biunívoca y sobre (biyección) f: A -> A' tal que f (ay b) = f (a) 1 f (b).

Por ejemplo, la estructura de los reales positivos con multiplicación (R\) es isomorfa a la de los reales con adición (R+). En efecto, la función logaritmo (In: R+-> R) es una b¡-- yección y además ln(ab) = Ina + Inb.

e) Es necesario recordar lo ya dicho en operaciones binarias sobre la necesidad de "sa­ber traducir la notación", puesto que según

el símbolo empleado para designar una operación dada, varía la expresión formal de una misma ley y la de los elementos especia-

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Diremos -intuitivamente- que se obtiene una estructura algebraica cuando sobre un conjunto se definen una o más operaciones re­lacionadas entre sí.

En lo que sigue nos limitaremos al estudio de estructuras algebraicas obtenidas por la consideración, a lo sumo, de dos operaciones —binarias internas— definidas sobre un mismo conjunto y sólo daremos algunas de las defini­ciones y propiedades más importantes sobre ellas.

MONOIDE

Diremos que (A;T) es un monoide sólo si T es una o oración binaria interna asociativa de­finida sobre el conjunto arbitrario no vacío A.

Es inmediato que la misma noción puede caracterizarse por los siguientes axiomas de clausura (Ax.CI.) y asociatividad (Ax.As):

Axiom? de clausura. Si a y b son elementos cualesquiera de A, entonces existe en A un único elemento c tal que (ajb) = c.

Axioma de asociatividad. Cualesquiera sean los elementos a, b, c, de A, entonces

iObsérvese que si distintas operaciones —de­

finidas sobre un mismo conjunto o sobre con juntos distintos- satisfacen las mismas propie dades elementales y admiten análogos elemen­tos especiales, las leyes que regulan su respectiva aplicación serán las mismas y, en­tonces, desde el "punto de vista algebraico" dichas operaciones serán indistinguibles con respecto a dichas propiedades y elementos especiales. Así, por ejemplo, en el conjunto de los números naturales, la adición de números naturales y la operación a T b definida por a T b = máx (a; b; a + b) satisfacen iguales le­yes. Lo mismo ocurre, por ejemplo, con la adición de enteros, la adición de racionales y la adición de reales; o con la multiplicación de racionales y la de reales.

Dichas estructuras se obtienen como gene­ralización de las que definen sobre entes nu­méricos las operaciones de adición y multi­plicación.

Se entiende que una operación T está defi­nida sobre un conjunto A sólo cuando se

sus propiedades elementales y cuando en A existen elementos especiales con respecto a T. Puede darse la siguiente definición:

Si A es un conjunto arbitrario, no vacío, y T una operación binaria interna definida sobre A, diremos que T determina sobre A truc tura algebraica que designaremos (A;T).

conocen

a-p (bjc) = (aj D)je.

Si además 1 es conmutativo, airemos que es un monoide conmutativo, resultando claro que para este caso debe postularse también el Axioma de Conmutatividad (Ax. Conm.).

Axioma de conmutatividad. Cualesquiera

una es-con sea

Asi, por ejemplo, designaríamos con (N;+) al conjunto de los números naturales con adi- les.

1110

I

Por inducción se prueba que:sean los elementos a, b de A, entonces a-fb - bja.

Para fijar ideas, anotaremos algunos ejem-

Conviniento, como es usual, en emplar la misma notación para una operación y sus res­tricciones (consideración de dicha operación en subconjuntos), ejemplificaremos lo expresa­do más arriba en la observación c) empleando la siguiente definición:

Si A' es subconjunto de A, diremos (A'.j) es submonoide del mono i de (A;T) si y sólo si (A es monoide.

Si A' t6 A, el submonoide se dirá propio.Es inmediato que cada monoide del ejem

pío 2 es submonoide (propio) dél correspon­diente en el ejemplo 1, y ambos del cories- pondiente en el ejemplo 3.

En ei monoide del ejemplo 8, el único sub-

Fácil es ver que todo monoide con neutro admite por lo menos dos submonoides con neutro: el propio monoide y el formado sólo 3or su elemento neutro.

Dejamos para el lector la demostración de la siguiente proposición:

St A' es subconjunto de A, entonces (A';y) es submonoide con neutro del monoide (A;y) si y sólo si el neutro pertenece a A 'y además A' satisface al axioma de clausura.

Obsérvese, también, que carece de neutro.Todo monoide (A;j) puede incluirse en un

monoide con neutro [A'ij').Basta para ello considerar A =

AU-|eF,e£f Ay definir:

a¡ t' a, ==a¡ T a,; a¡; a/£ Aa, T' e = e T' a,; a¡; a¡€E A

e ~ e

Además (A';j') asi' definido resulta conmu tativo sólo si también lo es (A.,j).

Obsérvese que a la estructura que hemos llamado monoide, en el Algébre de P. Dubreil se la denomina "demi-groupe" y en Lectores in Abstract Algebra de N. Jacobson, "semi- group". Además, Dubreil denomina "semi- groupe" a todo "demigroupe" en el cual todo elemento es regular.

in-f-n(!•)'(!')0)píos: ak

1. Los naturales con adición (ídem con multiplicación).

2. Los naturales mayores que 5 con adición (ídem con multiplicación).

3. Los racionales con adición (fdem con multiplicación).

4. Los naturales con máximo común divi-

k—i

Para el caso en que a, = a2 = pondremos:

que

•Í-T: (2)

sor.i=1

5. Los subconjuntos de un conjunto dado con unión (fdem con intersección).

6. (A » ), siendo A un conjunto no vacio arbitrario y * la operación definida por a * b ~ b.

7. Las transformaciones de un conjunto A con la operación de composición de funciones

(f o g) (x) = f(g(x) )

8. (A v ), siendo A “ -[ p, q ]- y* definida por la siguiente tabla

De (1) y (2) resulta que:m ♦ n

(3) monoide propio es el determinado pora A' i P1- •El ejemplo 6 muestra que un monoide pue­

de admitir varios neutros a izquierda (análoga­mente a derecha si se define, por ejemplo, a*b = a) y se sabe que si una operación admite neutro a izquierda y derecha, entonces dichos neutros coinciden.

Adoptada la notación multiplicativa (aditi­va), la composición reiterada n veces de un elemento consigo mismo se indicará siguiendo las convenciones úsales con an(na) y entonces se tendrá que T (3) corresponde a las co­nocidas expresiones an • am = an+m y na + ma = (n + m) a respectivamente.

De (1) y (2), por inducción resulta:

e T

Vale decir: en un monoide con neutro, el neutro es necesariamente único.

Ejemplos de monoides con neutros son los dados, con excepción de los ejemplos 2, 4 y

P Qx

P P q(4) 6.q q P

Consideremos ahora el siguiente ejemplo de constante aplicación en el trabajo con compu­tadoras: dado un conjunto arbitrario no vacio A (alfabeto), sea P el conjunto de las sucesio­nes finitas (palabras) de elementos de A. Más precisamente, si

Con notación multiplicativa (aditiva), la ex­presión (4) se expresa por (an) m -- a por m(na) = mn(a). respectivamente.

Dejamos para el lector la verificación de que si el monoide es conmutativo, suponiendo que n es natural, resulta que:

Verifiqúese que los ejemplos 6 y 7 no son conmutativos.

Es inmediato que la asociatividad permite omitir los paréntesis de puntuación al operar con tres elementos y poner simplemente At3jC en lugar de (a-rB)jC o de a-j-ÍB-j-C). No obstante, debe cuidarse el orden en que se los considera excepto en el caso de ser conmu­tativa la operación Tconsiderada.

Se demuestra por inducción, que tal resul­tado de operar con n (n > 2) elementos es inde­pendiente de la disposición de los paréntesis de puntuación suponiendo que se conserva el orden en que se los considera.

Para ello, damos la siguiente definición por recurrencia:

ana; . . . T3n (a.Ta2T . . . Tn.,) Ta„

que expresaremos brevemente así

EJERCICIOSnm y

1. Verificar que la operación definida entre reales por x/y = x 4- y2 no es asociativa. De­terminar todas las posibles composiciones con cuatro elementos.

2. Verificar si las operaciones que se defi­nen a continuación en el conjunto de los natu­rales definen monoides y, de ser así, cuáles de ellos son monoides con neutro:

p = a, a2 ... a, G A. i ~ 1; 2;.. . ;k)!

designaremos con p=(a¡); i = 1; '2; diremos que p es una palabra de longitud k.

Consideremos sobre P la operación • (con­catenación) que se define a continuación:

Si p, = (a¡); i = 1; 2;. .. ;m y P2 = (bj); j = 1; 2;... ;n

entonces Pi ’p2 “ Pj dondetal que ck T6a| para k=i (k: 1, 2,...; m + n)

bj para k=j + n (k:n + 1,..n + m) Es claro que (P;-) es un monoide no con­

mutativo y que admitida además la palabra nula (de longitud cero), que designaremos con e, (puede interpretarse como un signo espacia­dor) se obtiene un monoide con neutro, pues

;k y

• iLa igualdad anterior corresponde en nota­

ción multiplicativa a la expresión (a.b)n - an • bn, n(a + b) = na + nb.

Obsérvese que si el monoide tativo no puede afirmarse la validez de (5). Basta para ello considerar las funciones

f:x -> 2x; g:x -> x3

monoide de ejemplo 7, siendo A el junto de los reales. En efecto:

f*g:x -> 2x3 (f-g)2:x ->16x9f2 :x -> 4x g2 :x -> x9

a) aTb = a + b + abb) V(xy) = supremo de x;yc) A(xy) = mínimo común múltiplo de x;y

3. Determinar si son monoides las siguiente estructuras

a) El conjunto de los naturales pares con adición (multiplicación).

b) El conjunto de los naturales impares con adición (multiplicación).

c) (A.j), donde A es el conjunto de pares ordenados de naturales y y se define por

(ab) T (cd) = (ac;bc + d)

y en notación aditiva a

no es conmu- p3 - (ck); k = 1; 2;. .. ;m + n

en el con-

f2 • g2 :x -> 4x9

(p-e==e-p = p) (continúa en la pág. 42)

12\13I

!

PROBLEMATICA DE HOY

Formación permanente

deí profesorado-

la reflexión cienti'fica y pedagógica que debe preceder a cualquier información sobre nocio­nes matemáticas de nivel elemental, nace otro error complementario que consiste en asignar a cada noción un nivel preciso, determinado y, por lo general, elevado, por debajo del cual no cabria hablar matemáticamente. De labios de profesores universitarios hemos oi'do afirmar que es absurdo hablar de grupos en la ense­ñanza secundaria. Lo seria, ciertamente, si se lo hiciese con el mismo rigor y estilo con que se expone este tema en la universidad. Pero la experiencia ha demostrado que incluso en los niveles de la escuela primaria es posible llegar a la noción de grupo mediante múltiples expe­riencias variadas y que, en definitiva, los niños que han hecho estas elaboraciones con su pro­pio esfuerzo, una vez en la escuela secundaria, consiguen comprender más profundamente v.sta noción y saben reconocerla y emplearla mejor que sus compañeros de la escuela secun­daria a quienes les fue expuesta por primera vez en toda su pureza, en toda su simbólica didáctica. Estas observaciones nos llevan a plantear la cuestión central de la formación permanente del profesorado. En el estado ac­tual del desarrollo cienti'fico y de la didáctica, ¿cuáles son los objetivos de la formación per­manente?

Recordemos que la tarea de la renovación de la enseñanza de la matemática fue iniciada por matemáticos asombrados, alarmados, por la inmensa fosa que separa la enseñanza tradi­cional, varada, y la ciencia en constante evolu­ción y progreso. Pero caben otros dos cargos contra la enseñanza tradicional: sus métodos dogmáticos y su inadecuado tratamiento de las aplicaciones, cuando no se las ignoraba total­mente en beneficio de una inutilidad en que no pocos veían el sello o las características de una cultura desinteresada. En el mejor de los casos, los intentos de aplicación se limitaban a ejemplos irrisorios, desfasados, superados, y a otros caracterizados por ciertas enseñanzas marcadamente utilitarias, si bien de un utilita­rismo estricto.

La falsa oposición entre una matemática pura, bella pero orgullosa y aparentemente es­téril, y una matemática incierta y antiestética, es uno de los más graves defectos de la ense­ñanza tradicional. Quizás no sea exagerado afirmar que, de acuerdo con esta concepción de la matemática, el alumnado se reparte entre una mayoría incapaz de usar las estructuras

matemáticas más elementales y una minoría incapaz de salir del estricto campo de la mate­mática. ¡Cuántas teorías eficaces son ignora­das por aquéllos a quiénes más servicios po­dría rendir! A cambio de estas teorías, se sa­tisfacen con el uso de recetas fundadas en ra­zonamientos inconsistentes.

El objetivo de la renovación de la enseñan­za, de la constante o permanente formación de los profesores, no tiende a introducir en los niveles primario y secundario nociones mo­dernas dejando intactos los métodos dogmáti­cos a la par que se da de lado a las aplicacio­nes de estas nociones. El objetivo de la reno­vación no consiste en cargar el acento sobre la matemática llamada aplicada con olvido de los poderosos medios de la matemática moderna, ni en modificar los métodos sin alterar en lo más mínimo los contenidos programáticos. El verdadero objetivo consiste en progresar simul­táneamente en todas las direcciones, porque no se trata de realidades diferentes sino de aspectos diversos de una misma realidad, as­pectos que no puedo exponer ahora, pero que no pueden estar divorciados de la práctica do­cente.

. ANDRE REVUZ (Francia)

requiere un trabajo más complejo cuya subes­timación constituye un grave error en el cual se cae frecuentemente.

A nivel universitario se admite —quizás erróneamente— que los estudiantes poseen una ¡dea bastante clara de lo que es la actividad matemática. También se admite que es posi­ble, e incluso conveniente, presentarles teorías matemáticas acabadas, definidas en su desarro­llo estrictamente lógico. Si este procedimiento es discutible a nivel universitario, a nivel se­cundario es completamente insostenible, pues allí la didáctica debe tener como objetivo ha­cer comprender a los alumnos en qué consiste la matemática, meta que jamás puede lograrse dando a ¡os alumnos teorías acabadas. En este nivel secundario hay que ayudarles a compren­der la realidad y, tanto como de aprendizaje en sí, se trata de que el alumno aprenda a materna tizar.

Si se olvida o infravalora la importancia de

Las reflexiones que siguen son el fruto de una experiencia de más de diez años en el "recyclage" de los profesores de matemática. Se hacen públicas para deducir las mejores condiciones de eficiencia en este tipo de traba­jo reeducador.

En primer término, hay que destacar dos errores fundamentales en que han caído, al menos en el comienzo de los cursos, todos los profesores universitarios que participaron de manera activa, rectora, en la experiencia de aprendizaje, o formación permanente.

El primer error consiste en considerar que el nivel medio de los profesores en actividad es, por lo menos, igual al de los buenos estu­diantes de las facultades. Este error no es to­tal, por cuanto la mayoría de ese profesorado, una vez liberado de su tradicionalismo, alcanza por lo menos dicho nivel. Sin embargo, el error es grave porque muchos de ellos pueden ser desalentados desde los primeros contactos sino se tienen en cuenta las deplorables condi­ciones en que se mueven y que les dan muy contadas ocasiones de enfrentarse con ¡deas nuevas en su disciplina o asignatura, con lo que resultaría menguada su actividad creadora. Hay, pues, una dificultad relativa al momento de arranque, y debemos tener clara conciencia de ello. Es necesario presentar acertadamente la posibilidad y deseabilidad de un cambio, pe­ro esto debe hacerse con lentitud y modera­ción, evitando que en ellos se produzca la im­presión o la sensación de verse rebasados por

Uno de los mejores medios para alcanzar ese objetivo consiste en poner énfasis, cuando se hace el aprendizaje matemático, en la pareja SITUACION-MODELO. El comienzo natural de toda actividad matemática es la confronta­ción con una situación que se desea esclarecer para operar sobre ella con máxima eficacia. La matemática participa en esta elucidación creando modelos que dan una representación esquemática precisa de ciertos aspectos de la mencionada situación. Entonces, nos enfrenta­mos con estos dos problemas fundamentales que deben ser tratados previamente:

A. El problema de la adecuación del mode­lo a la situación. Frecuentemente, se pueden proponer varios modelos, cada uno con sus ventajas peculiares y sus singulares inconve­nientes, que deben ser esclarecidos.

N. de R.: En 1956 se organizó por primera vez en Francia una colaboración positiva de este género re­ferente a la formación permanente del profesorado. Entonces la A.P.M.E.P. (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Publique) plan­teó el problema con toda agudeza y decisión. En 1969 se produce una circunstancia cambio sustancial: UNESCO organiza un coloquio so­bre el tema y el Instituto Nacional para la formación de adultos comienza a publicar una revista: Educa­ción Permanente. Se refiere, claro está, a la educa­ción de adultos no docentes, pero ¿cómo fijar entre adultos los límites entre educadores y educandos? Se realizan en 1969 las jornadas de Besangon y la A.P.M. propone la creación de 4 nuevos IREM y el 21 y 22 de agosto se insiste en el Coloquio de Sévres sobre la formación permanente, extensiva a los diver­sos órdenes de la enseñanza, sobrentendiéndose que no habrá reforma permanente de la misma sino se logra la formación permanente de los maestros. La traducción de este artículo ha sido realizada por el Dr. Julián B. Caparros Morata, director del CIMP (Proyecto Matemático Canario).

que provoca un

B. El problema del estudio intrínseco del modelo, estudio de una teoría matemática que se ha de desarrollar con toda ingeniosidad y rigor. Las propiedades del modelo no son otras que los axiomas de la correspondiente teoría matemática. El control de la adecuación puede darse al nivel de los axiomas o al de los resultados importantes de la teoría cuya com-. paración con la situación real es más fácil

él.Hay otro error: el de creer que la trasposi­

ción de una cuestión de un nivel dado de en­señanza a otro más elemental puede ser reali­zada cómodamente por la mayoría de los pro­fesores. Pero, se cree que esta trasposición exige sólo precauciones de estilo y una exposi­ción minuciosa cuando con harta frecuencia se

1415

Por lo que concierne a los temas a tratar será menester elegir cuidadosamente un temario acorde con los conocimientos y la mentalidad de los profesores que participen de los cursos. Si se trata de profesores no iniciados en el movimiento reformista, convendrá comenzar en el marco de la enseñanza tradicional para demostrarles, por ejemplo:

A. Que el calculo algebraico clásico resulta esclarecido cuando se evidencian las estructu­ras de que están dotados los conjuntos de nú­meros sobre los que el cálculo se efectúa. Es muy frecuente que en las exposiciones tradi­cionales los árboles impidan ver el bosque, pues se llama la atención sobre los entes mate­máticos cuanto lo que importa es comprender /á estructura de los mismos.

do para que los profesores lleguen a dominar correctamente todo lo que tengan que enseñar por haber alcanzado una ¡dea suficiente de las perspectivas generales en que está inscrita su enseñanza, de acuerdo con las cuales debe pro­ceder al estudio de la didáctica más apropiada para la presentación de las diversas nociones que permitan a los alumnos descubrir su utili­dad y su eficacia; vale decir, hacerle conocer el mayor número de situaciones en que inter­vienen dichas nociones, situaciones que, en lo posible, deberán ajustarse a la realidad. No nie­go la necesidad de trabajar a veces con situa­ciones artificiales más simples que las reales, que lo son muy raramente, ni niego que cier­tas cuestiones deben presentarse en forma de juegos, pero pienso, por una parte, que la elu­cidación de una situación realmente compleja, aunque exija más tiempo, será, o resultará fi­nalmente de mayor eficacia, y, por otra parte, creo que el abuso de situaciones artificiales ha­ría que el aprendizaje matemático cayera en la esterilidad de que se lo acusa con harto fre­cuencia.

Uno de los principios objetivos, válidos pa­ra muchos años, de la formación o educación continuada, consistirá en suministrar al profe­sorado un amplio muestrario ejemplar de si­tuaciones o tipificadores de situaciones estu­diadas por otras disciplinas y susceptibles de ser matematizadas.

Para terminar, desearía insistir en el hecho de que la formación continuada es —y el nom­bre sugiere bastante— un trabajo de gran alien­to que sólo será fecundo si se mantiene duran­te largo tiempo para cada profesor: los perío­dos cortos e intensivos dan escasos rendimien­tos; la fórmula minimal para una eficacia apre­ciable es la reunión semanal de hora y media (exposiciones doctrinarias, discusiones, ejerci­cios, etc.) durante un año. Además, será indis­pensable que este trabajo vaya coordinado con el trabajo del docente en su clase. De acuerdo con esta tesis, la formación de profesores que colaboran tanto como docentes cuanto como dicentes, discuten libremente entre ellos y aprovechan sus mutuas experiencias respecti­vas, es realmente prometedora.

Con motivo de la experimentación en clases del primer año francés (alumnos de 12 años) durante el año académico 1968-1969 se for­maron numerosos equipos cuya eficacia tanto en el plano de la investigación pedagógica cuanto en el de la formación del profesorado.

trata de imponer un trabajo en nombre de una autoridad cualquiera, sus esfuerzos corren el riesgo de alcanzar solamente resultados negati­vos.

De cualquier manera, es muy importante para la eficiencia de la enseñanza, que los dos aspectos no queden prematuramente desliga­dos. Además, los alumnos han de participar activamente en el estudio de la situación, en la elaboración del modelo, en el desarrollo de la teoría, en la confrontación de la teoría con la situación inicial.

Si los objetivos de la formación permanente sólo pueden ser determinados teniendo en cuenta los objetivos de la enseñanza y los del estudiante, los métodos de dicha formación no deberán diferir de los generales de la enseñanza. Es muy lamentable comprobar que muchos tratados de pedagogía carecen de con­tenidos pedagógicos. La vieja posición del adulto que sabe y fija las normas y el niño que aprende y debe aceptar dichas normas, continúa vigente en el espíritu de los mismos que la denuncian. Cualesquiera fueren la edad y la formación anterior de una persona, no podrá progresar sino está intensamente motiva­da y si no realiza un esfuerzo personal bastan­te grande.

La motivación más inmediata y más pode­rosa reside, para la mayoría de los profesores, en el deseo de mejorar su enseñanza.

La motivación resulta más dolorosa si se debe persuadir al profesorado que las nociones que viene enseñando desde hace años son real­mente inútiles o ambiguas o se las presenta con enfoque inadecuado. Cuando el profesor llega a persuadirse de estos errores o está en camino de persuadirse, no debe olvidarse que se halla en un estado psicológico muy incómo­do, porque llega a saber, a reconocer, que la enseñanza que ha venido impartiendo ha sido imperfecta al tiempo que todavía no sabe qué desarrollo inmediato tendrá que dar a su ense­ñanza. Por tanto, en la medida de lo posible, hay que descubrir la solución de cambio que termine con esta situación angustiosa. Tal vez conviniera mucho organizar el trabajo de ma­nera que pudiera conocer parcialmente la solu­ción de cambio. Adviértase que la contraparti­da positiva de esta angustia es la liberación que experimenta el espíritu cuando se lo libra de formas de pensamiento cuya imperfección conocía, sintiéndose incapaz de remediarla, in­conveniente que constituía un claro retroceso.

Siempre es indispensable que todo readies- - trador se purgue de todo dogmatismo, que no combata un dogmatismo muerto en nombre de otro dogmatismo, no olvidando que si se

El espíritu de colaboración fraternal, la dis­posición para la discusión abierta, serán indis­pensables para los readiestradores que se diri­gen a colegas cuya motivación inicial es una presión administrativa o el anuncio de un cam­bio de programas. Sin infravalorar el efecto estimulante que pueden ejercer tales circuns­tancias en colegas indolentes o reticentes, hay que subrayar que toda motivación de esta índole debe ser pronto sustituida por otra más profunda.

El mejor medio para lograr que los partici­pantes sean más activos consiste en formar pe­queños equipos (integrados, por ejemplo, por los profesores de un centro o varios centros próximos) cuyo trabajo colectivo iría parejo tanto con el que practican en sus centros cuanto con el que reciben de otras partes. Sin crear jerarquías formales, sería muy deseable la presencia en cada equipo de un animador, de cultura matemática más profunda. Sería también indispensable que ningún equipo tra­baje en una torre de marfil, sino que debe tomar contacto y efectuar periódicas confron­taciones con otros equipos, participando de re­uniones más amplias que puedan brindar oca­sión para exposiciones más profundas de una persona más calificada o competente.

Se debe lograr que en estas actividades que­den integrados todos los niveles docentes evi­tando que por disposiciones administrativas se dificulte la intercomunicación, el intercambio, entre dichos niveles.

Pueden estudiarse y practicarse diversas for­mas de organización, pero no creemos que val­ga la pena extenderse aquí en detalles. Es esencial, sin embargo, garantizar una coordina­ción flexible, porque el trabajo resultará más fecundo cuanto más responsable se sienta cada componente del equipo, cuanto más estimula­das sean las iniciativas y cuando se produzca una critica abierta, noble, amistosa y objetiva.

Fijemos nuestra atención en la ayuda posi­tiva que puede brindar la televisión permitien­do la trasmisión de informaciones a los profe­sores que residen en lugares alejados de los centros universitarios. Desde hace 6 años se la viene usando en Francia, y la recepción en equipo de estas trasmisiones, seguidas de discusión colectiva, aumenta el rendimiento.

B. Que la mayor parle de las exposiciones tradicionales de geometría está muy lejos de poseer la perfección que a veces se le atribuye, que contienen muchas nociones en que la con­fusión es la regla (como sucede con el ángulo), que con frecuencia, con demasiada frecuencia, se emplean recursos sin sentido; que la exposi­ción basada sobre la noción de espacio vecto­rial y producto escalar es más fácil de com­prender y de usar y provee a los alumnos de instrumentos indispensables en todos los domi­nios, tanto puros como aplicados.

C. Que la introducción de las nociones de análisis puede producirse antes de lo que se acostumbra actualmente considerando ejem­plos concretos de funciones en escalera y de funciones afines por intervalos, sobre las cua­les se pueden practicar numerosos cálculos li­neales que conducen muy naturalmente al des­cubrimiento de la derivación y de la integra­ción.

D. Que nociones muy sencillas de lógica permiten tomar clara conciencia de la estruc­tura de los razonamientos.

E. Que lo que se dice tradicionalmente so­bre las medidas de magnitudes es inconsisten­te, y que mucho se gana si se lo reemplaza

teoría elemental de la medida que,por unaentre otros méritos, tiene el de incluir una teoría elemental de las probabilidades.

Si se trabaja con profesores iniciados en parte en estas cuestiones, se podrá profundizar el objetivo. Pero, a mi parecer, este ahonda­miento deberá producirse de dos modos dife-

simultáneos: por una parte, llevar elrentes yestudio propiamente matemático a nivel eleva-

una

16 17

|

Cooperación de psicólogospor el prof. Freudenthul, y luego en el N° 268 del Bulletin de la A.P.M de Francia, que hemos emplea­do pora la traducción. En la misma revista holandesa so publican los informes sobre la misma cuestión de los profesores Freudenthal y Vesselo, que trotaremos, si las circunstancias lo permiten, de traducir para los lectores de CONCEPTOS DE MATEMATICA, para informar sobre los trabajos que se están realizando para lograr la reeducación del maestro, piedra ciave de toda reforma seria.

Así lo entendemos en el CIMP (Proyecto Matemá­tico Canario). Si se quiere dar vigencia o una reforma hay que comenzar por la reforma del maestro, y ésta vale para todos los campos programáticos aunque en matemática la cuestión sea más compleja, más difícil, por la ausencia de conocimientos psicopedagógicos oel profesorado y por uno preparación matemática muchas veces insuficiente

Sin medidas drásticas no será posible la reforma en algunos países, pero tarde o temprano la solución ha de llegar, y para salvar el trecho que separa a las escuelas tradicionales de las reformistas habrá que seleccionar a un grupo de maestros inteligentes y con vocación, especializarlos en didáctica matemática mo­derna y encargarlos de la dirección de los laborato­rios de matemática que deben funcionar en todas las instituciones docentes de cualquier nivel.

La opinión del desatacado matemático francés autor de este articulo nos parece suficientemente esclarecedora.

ha sido una de las lecciones más netas de la experiencia.

y docentesNOTA DEL TRADUCTOR:A fines de agosto de 1969, desde ei 24 hasta el

30. prestigiosos matemáticos, psicólogos y pedagogos se congregaron en Lyon para discutir la problemática del aprendizaje matemático en sus niveles básicos. Toma cuerpo y se vigoriza un espíritu de coopera­ción internacional y la reforma avanza firmemente porque cada día son más sazonadas sus conquistas experimentales. Gana adeptos el método estructural mult¡modelo y crece el número de trabajos de inves­tigación de la didáctica de la matemática Cada año se inauguran nuevos laboratorios psicomatemáticos; cada año aparecen mejores publicaciones periódicas, algunas de las cuales resultan indispensables para las bibliotecas y para la mesa de trabajo de todo docen­te responsable

La tarea principal es hoy la formación del docente y para lograrla son dignos de encomio los aportes de Dienes. Papy, Sieiner, los IREM, Sobolev, etc., refe­rentes a la educación permanente del profesorado

Ultimamente UNESCO patrocinó un Simposio In­ternacional en Hamburgo en el que se leyó este trabajo de Revuz, que apareció primeramente en el N° 4. vol. 1 de la revista Educational Studies in Mathcmancs de la universidad de Utrecht, dirigida

PIERRE GRECO (Francia)

nente y evidentemente deseable que la instruc­ción de los niños se beneficie de los descubri­mientos de laboratorio, en desquite, me parece el ejemplo mismo de aberración epistemológi­ca la idea de una pedagogía que fuera una psicologi'a aplicada a la educación. Por más que no me interese, por ejemplo, por la mate­mática más que de una manera modesta, ele­mental y artesanal*, tengo la ingenuidad de pensar que acerca de la naturaleza del saber matemático que se debe transmitir, es el mate­mático el primero que tiene que decir su pala­bra. Acaso el psicólogo pueda enseñar al mate­mático el estilo de la comunicación: no le escribirá su discurso. Ninguna psicología, y bajo ningún pretexto, indica la forma de vincular la relación de pertenencia entre ele­mentos y conjunto con la relación de propie­dad bajo el pretexto de que la ¡dea de pro­piedad es ya familiar al niño de 4 a 5 años. Se sabe que este ejemplo no es ni imaginario ni caricaturesco.

Pueden extraerse dos consecuencias de este principio tan simple.

Cada vez más se le solicita a la psicología que participe en "experiencias" didácticas, es­pecialmente en la enseñanza de la nueva mate­mática. Incluso, no es sólo al psicólogo o alpsicopedagogo a quien se acude, sino que a menudo se lo hace con el investigador, el espe­cialista en psicología genética cognoscitiva, hasta hace poco voluntariamente considerado como teórico abstracto y hoy llamado por los mismos prácticos para asegurar el "control" de sus experiencias. Ni ese exceso de honores ni ese proceder ambiguo se justifican del todo si no se toman algunas precauciones técnicas o epistemológicas. ¿A qué control se refieren? En primer término, ¿cuál es el objetivo de las experiencias en que simultáneamente se prue­ban nuevos métodos y nuevos contenidos? ¿Cuáles son las funciones que un psicólogo de desarrollo intelectual, interesado en los proce-

generales del desarrollo mental y del aprendizaje, puede legítimamente cumplir en un equipo de investigación pedagógica y cuáles

sobre todo, los límites de una acción

(viene de pág. 9) Si se decide completar la definición de f haciendo

Datos, una circunferencia (O.R), aGC; entre las rectas del haz de lado a, se ha distin­guido la recta D perpendicular a Oa y se sabe que

©n sos

la función f estará definida y será continua (como lo muestran los entornos); no se puede decir que D es "secante". Se la denomina "límite de la secante cuando m está en a" y se la llama tangente a la circunferencia

En el nivel en que se hicieron estos estu­dios, el análisis sólo sirvió para precisar el tra­bajo geométrico y algebraico. La tangente fue estudiada por sí misma y los resultados obte-

para ser

Pero, al término del mismo, los alumnos están listos para hacer un estudio sistemático de las funciones, estudio cuya oportunidad es­tá en el ciclo terminal de la enseñanza daría (15-18 años).

Esperemos tan sólo que la preparación, muy posible, como lo ha mostrado la expe­riencia, se haga con conciencia y paciencia y que el profesor que reciba a esos alumnos la tendrá para apoyarse sobre ella hacer exposiciones dogmáticas.

Entendemos que entorno es la mejor de "voisinage". (N. de R.)

son,lícita en ese sentido? No es por cierto el objetivo de esta nota definir de manera sutil las condiciones particulares de la experi­mentación pedagógica, pero a riesgo de des­agradar o de no ajustarse a la realidad, se enunciarán algunas trivialidades que la práctica olvida muy a menudo, mostrando a veces los solicitantes tantos prejuicios como los solicita­dos; la confianza excesiva de los entusiastas conduce a tantas frustraciones como el recelo

/ nD = Ja|Sea ahora el punto genérico m de v y la

secante am, que se denomina M. Se estudia la función

1.1.1. En primer término, el docente debe estar prevenido sobre cuestiones tales como "¿A qué edad puede comprender un niño la estructura de grupo? ", o "¿A qué edad tiene un niño la noción de superficie? ", las cuales son cuestiones literalmente vacías de sentido. Es verdad que los libros de psicología (a me­nudo buenos libros, y de algunos de los cuales soy responsable) se expresan a menudo en ese aspecto en forma prejuiciosa: "El grupo de Klein aparece de 12 a 14 años"; "la noción de peso se adquiere sólo hacia los 8 ó 9 años", etc. Pero: 1o, en el contexto de las investiga­ciones psicológicas correspondientes, "grupos de Klein", "noción de peso", etc., se definen por un procedimiento de examen sobre un módejo, y bajo afirmaciones de ese género, el psicólpgo entiende que caracteriza una estruc­tura*'del pensamiento "natural" o "espontá­neo" (siempre que exista un pensamiento tal)

en a.k©

m^M definida sobre (- -j a J- Esta función f es el producto por compo­

nidos no fueron asimilados ni fijados utilizables.

sición

©ángulo del

centro

sistemático de los escépticos.1.0. En primer lugar, nunca se repetirá sufi­

cientemente que el psicólogo, por más que siempre el derecho de criticar un

<-f)m

•fi = f o secun-conserveprocedimiento didáctico, e incluso deba exhi­bir sus lagunas y sus fracasos, no podría de ninguna manera darle una lección al especialis­ta y prescribirle a priori normas que obtuviera de sus conocimientos sobre el funcionamiento del intelecto y los mecanismos de la adquisi­ción. En lo que me concierne, y para mis ojos de psicólogo no practicante, si me parece emi-

producto que es del todo normal cuando m está en a.

®n© ©cuando deba

traducción

.•18

{ 19

t

der. . .). Brevemente, si no se tiene la libertad de dar de los entes matemáticos definiciones o imágenes que contradigan a su propia naturale­za, se puede revelar de esos entes un número más o menos grande de propiedades, explotar­las en manipulaciones o cálculos más o menos refinados, etc. La tarea común del psicólogo y el docente es, en esas circunstancias, determi­nar: a) la forma de los mensajes propios para la mejor comunicación de tal o cual informa­ción correspondiente al ente considerado, b) tarea a menudo descuidada debido al carác­ter circunscrito de las experiencias, la progre­sión que enriquecerá gradualmente la lista de las propiedades del objeto considerado, y fi­nalmente, c) los tests que indican en un mo­mento dado de su progresión, qué es capaz de retener un alumno, y, sobre todo, de usar de la lista de propiedades que les han sido exhibi­das.

y no un saber explícitamente comunicado. Ahora bien, es una tarea cognoscitiva total­mente distinta organizar inferencias preposi­cionales según una estructura acorde con el álgebra de un grupo de Klein, por una parte, y por otra, reconocer sobre un material (o inclu­so sobre una clase de materiales) ad hoc, co­mo la célebre "pequeña usina" donde un con­junto de piedras pueden cambiar de forma y de color, una organización de las propiedades y de las transformaciones que constituyen un modelo del grupo de Klein. Por lo demás, un psicólogo genético serio se interesa menos por la edad de aparición de tal estructura o tal noción que por su historia ontogenética, es decir, por las etapas de su organización progre­siva: es más importante saber que el invariante de los pesos se apoya genéticamente sobre lo que Piaget ha llamado antes "sustancia", que en dar la época del hecho.

esta vez a la misma noción de "control", menudo sometida a caución, en tanto se hace de ella un uso simplista o perverso. Resumiría gustoso, mis convicciones sobre el tema en tres afirmaciones lapidarias, tan ingenuas a mi manera de ver como todo lo que precede, pero que todavía se pueden defender, yo creo, de hecho y de derecho, y en la facultad lo mismo que sobre el terreno.

1°, La función del psicólogo no se reduce a proporcionar a los docentes (ni, a fortiori, a los príncipes que los gobiernan) instrumentos de medida graciosa los cuales con el auxilio milagroso de los f(1) de Estudiante (nivel ele­mental) o de los análisis factoriales (nivel su­perior) para decidir si un método o, mejor to­davía, un programa son "eficaces" o no.

2o, "C|aud¡o Bernard" ¡cuántos crímenes se cometen en tu nombre!

3o. La finalidad de una experiencia didácti­ca no consiste en controlar una enseñanza en función de un criterio exterior, sino en insti­tuirse en experiencia autocontrolada.

2.1. Se comprende que esas tres afirmacio­nes no son en verdad más que una. No es, sin duda, caer en el humanismo patético el afir­mar que no se puede lavar el cerebro de un escolar con la misma elegancia que el gran sabio citado más arriba empleaba para lavar la fe que se conoce. La metodología de laborato­rio exige algo que no permite la vida escolar y que la reflexión incluso debería desaconsejar allí donde pareciera posible. El estudio del proceso de aprendizaje en el laboratorio se realiza en general con sujetos nuevos, que afrontan situaciones a la vez insólitas y artifi­ciales, lo cual es totalmente recomendable cuando se espera, justamente, "controlar las variables". En una situación pedagógica, no hay "sujetos nuevos", nada de variables mani- pulables, y los alumnos que han sufrido un

un año de enseñanza experimental tie-

término. De la forma en que se presenten las fracciones, los procedimientos de medida o la relación "sí y sólo sí" depende la forma en que más tarde se introducirán los racionales, la geometría métrica o la teoría de la implica­ción y la deducción.

2.2. En cuanto a preguntar al psicólogo có­mo ha llegado a entender, a elegir los tests que le permitan ver si niños que han practicado du­rante un año juegos conjuntistas habían, al término del mismo, "ganado algunos puntos" es, quizás, asignar a los conjuntos (o a los tests) virtudes que, sin duda, no tienen. En un coloquio reciente (Varna, agosto de 1968) so­bre enseñanza programada, Robert Glasser, no­torio artífice y adalid de la materia, y, para colmo americano, consideraba que no se debe retroceder ante las medidas (y Dios sabe por

a

otra parte, si lo hizo), Robert Glasser defendía la ¡dea de que cambiando un método de ense­ñanza, incluso por un contenido idéntico, se tenía el deber de cambiar los criterios de eva­luación. También denunció como superstición un poco rústica colocar en grupo experimental paralelo -grupo testigo, de la materia, por

de tecnología de la educación. Es-

1.1.2. Además, 2o, las expresiones del géne­ro "tener la noción de superficie", etc......pueden, fuera del contexto experimental en que el psicólogo les ha asignado una significa­ción experimental precisa, recibir una serie de interpretaciones diferentes. El bebé de 18 me­ses que alcanza un objeto un poco alejado en el espacio combinando de forma nueva diver­sos movimientos, y vuelve después a su punto de partida por un itinerario diferente, "posee" en cierto sentido un "grupo de movimientos". Ciertamente, no posee de él una representa­ción imaginada, ni algebraica a fortiori, pero no es abusivo pretender que "comprende" ese grupo, puesto que inventa caminos apropiados y no habituales para resolver los problemas nuevos: comprensión "práctica", ciertamente, pero comprensión y no hábito adquirido ni estructura locomotriz pasivamente sufrida. De la misma manera, "tener la noción de superfi­cie", puede consistir simplemente en abstraer de los mismos objetos la noción de una por­ción del espacio comprendida en el interior de un contorno, o bien establecer una noción de equivalencia entre dos figuras diferentes A y B, pero tales que una vez recortada B en n pedazos de cierta forma, dispuestos esos n pedazos de otra manera recubren exactamente a F, o también trazar o imaginar la curva de variación del área de un rectángulo de períme­tro constante cuando, por ejemplo, se aumen­ta el largo en detrimento del ancho (lo que, sin duda, es un poco más difícil de compren-

1.2. La precedente enumeración indica la segunda consecuencia del principio elemental enunciado al comienzo. La cooperación del psicólogo y el docente debería instituir una investigación psicodidáctica original, que no fuera ni la mezcla aproximada de dos expe­riencias y de dos saberes que se atemperan mutuamente, ni la subordinación de una "ciencia" a los decretos de la otra. En efecto, si el profesor de matemática no debe prohibir­se a priori de hacer manejar correctamente la noción de inclusión a niños de 5 años con el

supuestota tesis mereció, es verdad, un desarrollo y un grupo de pruebas más importantes que no es posible señalar aquí. Sépase por lo menos que, tanto en el espíritu de R. Glasser como en el del autor de este artículo, la adhesión a esa tesis no implica que se renuncie a la racionali­zación de los procedimientos didácticos ni a las evaluaciones precisas para recaer en lo inefable, en considerar el artesanado y la peda­gogía como una de las bellas artes.

2.3. Se trata incluso de prevenirse a la vez contra esas dos desidias espirituales: los rodeos inspirados y la pseudo experimentación; por ello es recomendable la colaboración del psicó­logo y del docente. No conviene que aquél sea el controlador de éste. Es necesario, me pare­ce, por lo contrario, proceder a investigaciones conjuntas en equipo, las que deberían permitir a la vez definir los contenidos jerar­quizados de los conocimientos a transmitir y las etapas efectivas de la trayectoria que debe recorrer el escolar. Los instrumentos de con­trol pedagógico no figuran, a pesar de haber sido preparados pacientemente desde Alfredo Binet (para los más exigentes, digamos: des­pués de Guilford) en el armario de tests del psicólogo: deben reinventarse constantemente.

pretexto de que los estudios psicológicos prue­ban (i) que esta relación no es comprendida (?) más que a los 7 años, el psicólogo, vez, no debe maravillarse exageradamente, has­ta el punto de rechazar creencias que le caras, si un pedagogo triunfante le muestra un grupo de graciosos niños de 5 años que, al término de una enseñanza apropiada, procla­man

a su

eran

que "en la clase hay más alumnos que niñas, porque las niñas también son alumnos" (este ejemplo no

mes o nen unporvenir que el hombre de laboratorio puede ignorar deliberadamente (la verdad identifica está, como se sabe, al margen de la historia), pero en donde sería casi criminal que el peda­gogo ni siquiera se inquietara con el pretexto de que sus alumnos le abandonan en el mes de junio (y a veces un poco más rápido). Excepto los casos especiales en que la didáctica tiende a la instalación de un saber o un "savoir faire" rigurosamente ajustado a una tarea predetermi­nada, la enseñanza es un quehacer a largo

buen porvenir delante de sus ojos, unes del todo imaginario: ocu­

rre tanto en Amsterdam como en Harvard). Pero el psicólogo y el docente tienen ambosque preguntarse seriamente cuál es la relación de inclusión que.manejan esos jóvenes prodi­gios: ¿Simples rutinas verbales? , ¿Relación bi­naria de parte a todo, sin más? , ¿Relación asimétrica transitiva? , etc.:

2.0. Estas reflexiones conducen a un segun­do conjunto de observaciones, concernientes {continúa en pág. 46)

20 21

DEFINICION. Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es equipotente a B si es posible definir una correspondencia biunfvoca entre Ay b.

CUESTIONES DIDACTICAS

Números enteros y cálculocombinatorio

junto finito cualquiera, no vacio. Los números naturales son designados habitualmente por los símbolos de la numeración decimal:

1, 2, 3......... 10, 11......... 100. 101, 102.. . .

A su vez, el conjunto de todos los posibles números naturales se designa con el símbolo |N. La experiencia diaria en el uso de los nú­meros naturales nos induce a admitir que el conjunto |N es infinito.

Por otra parte, somos llevados a atribuir un número a los conjuntos vacíos, que se llama cero y se designa con el símbolo 0. Por tanto, decir que un conjunto es vacio equivale a de­cir que el número de sus elementos es cero. Así se presenta, por comodidad de lenguaje, una primera extensión de la idea de número. Los números naturales y el número cero reci­ben la designación común de números enteros absolutos (o números enteros no negativos); representaremos con |N0 a este conjunto. Te­nemos, pues:

|N= -11,2.3,4....}|N„ - -|0. 1.2, 3.4....j.|N0 = |N U -(01- y por tanto |NC |N0

El número de elementos de un conjunto finito A se designa generalmente con el símbo­lo # A. Si A es vacío, se tiene #A = 0. Si A no es vacío, se tiene # A G |N.

En particular: # A = 1 31 x: x G A.2. Unión de dos conjuntos disjuntos y su­

ma de dos números. La noción intuitiva que todos poseemos de "conjunto finito" implica las dos propiedades siguientes:

1) Todo subconjunto de un conjunto finito es también finito.

2) La unión de dos conjuntos finitos es también un conjunto finito.

Ahora bien, el concepto de unión de con­juntos origina el concepto de suma de núme­ros de la siguiente manera:

DEFINICION. El número de elementos de AUB se llama suma del número de elementos de A con el número de elementos de B, si A y B son disjuntos, (esto es. si AHB = 0).

Sean a y b dos números naturales cuales­quiera. Entonces, existen, por lo menos, dos conjuntos finitos A y B, no vacíos, tales que

Intuitivamente, se ve, después, que la rela­ción equipotente así definida es reflexiva, si­métrica y transitiva y, por tanto, es una rela­ción de equivalencia. Luego.

DEFINICION. Se dice que dos conjuntos, A y B, tienen el mismo número de elementos (o la misma potencia), si A y B son equipoten-

t

J. SEBftSTIAO E SILVA /Portugal)

modo que, recíprocamente, cada elemento de B corresponda a un elemento de A, y sólo uno, se dice que la correspondencia es biuní- voca, o uno a uno, entre A y B. Por ejemplo:

tes.De este modo, el número de elementos de

un conjunto A (también llamado número car­dinal o simplemente cardinal de A) es, por decirlo así, la propiedad que tiene ese conjun­to en común con todos los conjuntos que se puedan poner en correspondencia biunívoca con A. Por consiguiente, el número de elemen­tos de A se podrá representar indistintamente por cualquiera de esos conjuntos (equipotentes a A), incluido el mismo A.

Por ejemplo, en el caso de las ovejas, su número puede ser representado por él propio conjunto de las ovejas o por el referido con­junto de piedras o por cualquier otro conjunto que se pueda poner en correspondencia biuní­voca con el primero. Frecuentemente, las cria­turas indican su edad con los dedos de la ma­no. Algunos pastores cuentan las cabezas de un rebaño mediante rayas hechas en un caya­do. Y aún hoy, en ciertas ocasiones, contamos los elementos de un conjunto haciendo corres­ponder a cada elemento una raya sobre un papel; se generan así símbolos como

1. Número de elementos de un conjunto. La noción de número se presenta por primera vez al espíritu del hombre como resultado de la operación de contar. El hombre primitivo cuenta las ovejas de un rebaño haciendo co­rresponder a cada oveja una piedra determi­nada, de modo que a dos ovejas distintas correspondan siempre dos piedras distintas; de esa manera, el conjunto de las piedras utiliza­das para contar representa el número de ovejas del rebaño en forma tal que si, por ejemplo, faltara una oveja, tiene siempre la posibilidad de advertir su ausencia cuando establezca de nuevo la correspondencia entre las ovejas y las piedras.

Aquí aparece un concepto nuevo —el de correspondencia— que, lo mismo que los con­ceptos de elemento, conjunto y sucesión, no definimos sino que apenas trataremos de acla­rar mediante ejemplos.

Sean A y B dos conjuntos. Si a cada ele­mento de A hacemos corresponder un elemen­to, y uno solo de B, se dice que se ha estable­cido una correspondencia univoca entre A y B. Por ejemplo, la siguiente figura indica una correspondencia unívoca entre dos conjuntos, siendo representados por cuadrados los ele­mentos del primero y por círculos los del se­gundo y por medio de flechas la correspon­dencia que va de cada cuadrado al círculo correspondiente:

t í í í í 20 0 0 0

Fig. 2

En el anterior ejemplo de las ovejas y las piedras, lo que se hizo fue establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de las ovejas y un conjunto de piedras. De este modo, si llegara a faltar alguna oveja ya no será posible establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de las ovejas pre­sentes y el conjunto de las piedras, pues, por lo menos, sobrará una piedra.

Veamos otros ejemplos de correspondencia:1. Consideremos una biblioteca que tenga

varios libros en cada anaquel. Hay en este caso una correspondencia unívoca entre el conjunto de los libros y el de los anaqueles, pues a cada libro corresponde un anaquel y sólo uno, aquél en el cual está colocado el libro. Pero un anaauel corresponde a más de un libro: la correspondencia, pues, no es biunívoca.

2. Entre los alumnos de un liceo, a cada alumno le corresponde un banco (y sólo uno) —aquél en que se sienta. Si los bancos son individuales y si todos están ocupados, la co­rrespondencia entre los dos conjuntos es bi­unívoca y el número de alumnos es igual al número de bancos. En el caso contrario, esto es, si los bancos no son individuales o si exis­ten bancos desocupados, la correspondencia será unívoca, pero, en general, no será biuní­voca entre los dos conjuntos.

VI; ||; III; lili; lllll; lililí; etc.,

que se pueden tomar como designaciones de números. Se encuentran vestigios de este proceso elemental en los símbolos I; II; III de la numeración romana. Pero, obsérvese como ya los símbolos lili; lllll;.. .,son sustitui­dos por las abreviaturas IV, V,. . . para evitar una escritura demasiado larga. Así mediante conven­ciones simbólicas, comienzan a simplificarse los sistemas de numeración, perfeccionándose en el decurso de los siglos. El más perfecto de los sistemas que habitualmente se usan hoy -el de la numeración decimal— nace de poner los objetos contados en correspondencia biunívoca con los dedos de ambas manos, una o más veces.

Llámase número natural (o número entero positivo) al número de elementos de un con-

Ii

#A = a, #B = bSi a cada elemento de un conjunto A co­

rresponde un elemento determinado de B de La experiencia cotidiana nos lleva a admitir pór inducción el siguiente hecho:

2223

- ■

tos dos a dos; esto es, siendo Aj n A|< — 0 pa­ra j ^ k, teniéndose en este caso:

a, + a2 + ... + an = # (A, U A2 U ... U An)

a - 0; exceptuado ese caso siempre es a + a A a.

Sea ahora un número natural n distinto de- 1. Llámese suma de n números a,, a2. . an al número que se obtiene sumando el primero con el segundo, el resultado con el tercero, y asi' sucesivamente hasta llegar al último. La su­ma de los n números dados (llamados suman­dos) se representa mediante la notación:

Llámese adición a la operación que hace corresponder a cada par (a, b) de números na­turales el número a + b.

La proposición I se expresa diciendo que la adición en ¡N es siempre posible y la proposi­ción II, diciendoque la adición en |N es univo­ca (o uniforme). De todo esto resulta, aplican­do el PRINCIPIO LOGICO DE SUSTITU­CION, la siguiente propiedad válida en el uni verso |N.

3) Cualesquiera sean los números naturalesa, b, siempre es posible determinar dos con­juntos finitos A y B, disjuntos, tales que -A a, -B ~ b.

Ahora bien, en esta hipótesis, de acuerdo con 2), la unión de A con B es un conjunto finito y, por definición, #(AUB) es la suma de a y b.

Por consiguiente:I. PROPOSICION DE EXISTENCIA. Para

todo par ordenado de números naturales a yb, existe (por lo menos) un número natural c tal aue c es la suma de a con b.

Por oirá pane, Tacii es ver que:II. PROPOSICION DE UNICIDAD. Para

todo par de números naturales a y b, no pue de existir más de un número natural c que sea suma de a con b.

En efecto, supongamos que c y c' sean su­ma de a y b. Esto quiere decir que existen dos conjuntos A y B disjuntos tales que:

o, abreviadamente:1 Iak=#UAk( k=1k*=1Pero obsérvese que debemos considerar ape­

nas un número finito de sumandos, en tanto que la unión de conjuntos se puede definir para infinitos términos.

Entre tanto, fácil es ver que la conmutativi- dad y la asociatividad se entienden a la adi­ción repetida de las siguientes maneras:

CONMUTATIVIDAD GENERALIZADA. La suma de varios números no se altera cuan­do se cambia el orden de los sumandos.

ASOCIATIVIDAD GENERALIZADA. La suma de varios números no se altera cuando se sustituyen dos o más sumandos por su suma.

4. Relación de magnitud entre números. Se dice que el número de elementos de un con­junto A es menor que el número de elementos de un conjunto B cuando A es equipotente con respecto a una parte de B, pero no es equipotente a B. Para indicar que un número a es menor que un número b se escribe a < b; en este caso también se escribe b > a y se dice que b es mayor que a.

Ejemplo:

a, + a2 + ...+ ana = a' A b = b' => a + b = a' + b’

o también mediante la notación más condensa- da y más correctaObservemos ahora que todas estas conside­

raciones relativas a números naturales (conjun­to |N) se extienden a los números enteros ab­solutos (conjunto |N0). Como, por definición, 0 es el número de elementos del conjunto va­cio, es: AU0 = A, cualquiera sea el conjunto A, se sigue que

2 ak (léase sumatoria de ak de 1 a n)k~1

En particular, para n — 2, 3, 4, . . .es:3i ak ~ al a2 « ^ ak — (al a2) + a3

k=1 4 k=lIaK=((a, + a2) + a3) + a4,...a T 0 = a, V a <EiN0, k=l

^A =- a. PQ = b. # (AUB) = cDe este modo, partiendo del concepto de

suma de dos números se llega al concepto de suma de tres, o más números. La adición así definida para más de dos números se llama adición repetida. Inclusive, se denomina suma de un número único a ese mismo número, o sea, en sfmbolos

Se expresa este hecho diciendo que 0 es el elemento neutro de la adición en |N0 (en |N no existe elemento neutro de la adición).

3. Conmutatividad y asociatividad de la adición. Adición repetida. Es evidente que la conmutatividad y la asociatividad de la unión de conjuntos tienen como consecuencia la conmutatividad y la asociatividad de la adición de números. Asi’, cualesquiera sean a, b, c G IN0 se tiene:

y dos conjuntos A' y B' disjuntos tales que

#A' = a, #B' = b. #ÍA'UB') = c'

Pero, como ~A = #A'y#B = — B', existei correspondencias bium'vocas entre A y A' y entre B y B\ Y como AHB = <¡>, A'HB' = 0, esas correspondencias permiten definir una co­rrespondencia biuni'voca entre AUB y A'UB'. Luego # (AUB) = =£ (A'UB*), o sea que c = c\

Ejemplo:

1— ak “ ai

k—1Sea, por ejemplo ak = k, para k = 1, 2, ... Entonces: A: #a<#ba + b - b -f a (PROPIEDAD CONMUTATIVA)

(a + b)+c = a + (b + c) (PROPIEDAD ASOCIATIVA) I i-sb

£ ak — I k = 1 + 2 + . . . T n = n ^ni

I. A & Por ejemplo, si a =-- #A, b = P B, como A n B = 0, se tiene

k—1 k=1 2 B:v r0 0 O O O1 U U

o o o Hemos estado usando la letra k exclusiva­mente como índice de adición, pero en este caso se trata de una variable aparente (llamada también índice mudo) y sujeta a la misma re­gla de las variables aparentes en cuantificado- res. De ese modo, se tiene:

i i i□ □□__

a + b-#|AUB]-#|BUA)=b + a Flg. 4

(U M M M M y análogamente para la asociatividad.Pero, obsérvese bien que hay propiedades

de unión que no se trasmiten a la adición de números. Hemos visto, por ejemplo, que entre los subconjuntos de un universo U hay un ele­mento absorbente para la unión, que es preci­samente U. Ahora bien, no hay ningún ele­mento absorbente para la adición en ¡N0, esto es, ningún elemento n tal que a + n = n, V a GiN0. Por otra parte se tiene:

A U A - A, V Au U [propiedad de idempo- tencia) en tanto que, en IN0 será a + a

Por la experiencia que tenemos con los conjuntos finitos sabemos que:

Un conjunto finito nunca es equipotente a una parte estricta.

De esto y de la definición anterior resulta que la inclusión estricta entre conjuntos fini­tos A y B (no vacíos) origina la relación de magnitud, expresada por el signo < entre nú­meros naturales, esto es:

uA*2 ak = S a ¡ = £ a p = ...Fig. 3

k-1 ¡=1 p"1

Claro es que podríamos definir directamen­te la suma de n números a,. .., an (siendo n

número natural cualquiera) por la unión de n conjuntos A,, . .. .., P An = an* siendo estos conjuntos disjun-

De este modo, a cada par ordenado de nú­meros naturales a y b corresponde uno, y sólo un número natural que se llama suma de a y b. La suma de a y b se representa con la notación a + b.

:

untales que # A, = a;.. A n»

AC B A A A B =» # AC B(1)= a s

24 25

La relación < se extiende a |N0 mediante la siguiente definición:

PIEDAD DE TRICOTOMIA FUERTE y se puede enunciar de la siguiente manera:

IV. Dados dos números naturales a y b se verifica una, y sólo una, de las siguientes hipó­tesis:

Demostración. Supongamos que a + c = b + c. De acuerdo con la propiedad de trico­tomía, sólo puede sera<bó b<a óa = b. Pero si fuese a < b, por la monotonía de la adición sería a -F c< b + c, y entonces no po­dría ser a + c = b + c (propiedad antirreflexi-

Arrálogamente, si fuese b < a sería b + c < a + c, y no podría ser a -P c = b + c. Por consiguiente, sólo puede ser a = b.

La propiedad de la adición que acabamos de demostrar es denominada PROPIEDAD DE REDUCCION o PROPIEDAD DE SUPRE­SION, pues se pasa de a+c = b+ c aa = b suprimiendo el término c en ambos miembros de la primera igualdad.

De esto se deduce, a su vez, el siguienteCOROLARIO. Dados dos números a,

bE iN, no puede existir más de un xGlN tal que a 4- x = b.

En efecto, si x e y son números naturales tales que a T x = b y a -F y = b, entonces a + x = a + y, de donde, por la propiedad de supresión: x = y. Por tanto, simbólicamente:

Am m m0<a-07=a (Va€lN0)

que mantiene la propiedad (1).Ahora es fácil ver que:I. La relación < es antirreflexiva, esto es:

« © 6 O Oa<b, b<a, a = b

5. Relación de una magnitud lata. Partien­do de la relación <, se define la relación <, llamada relación de magnitud lata, en la forma siguiente:

DEFINICION. a<b~a<bVa = bNo presenta dificultades verificar que las

propiedades I, II, III y IV se sustituyen ahora por las siguientes:

o = l) “>a^b (REFLEXIVA) a<l Ab^a=>a = b (ANTISIMETRICA LATA)

III'. a<bAb<c=>a<c (TRANSITIVA)IV' y a. be In a <b v b<a (DICOTOMICA)

Es evidente que la relación < entre núme­ros, traduce la relación «J entre conjuntos:

AC B # A < # B

Aún más: la relación C , que es reflexiva, antisimétrica y transitiva (como la relación<) no es dicotómica, como ya hemos observado.

6. Adición y relación de magnitud. De las propiedades anteriores se deducen algunas otras que vamos a demostrar:

PROPOSICION I. La suma de dos números naturales es siempre mayor que cualquiera de esos números, esto es, simbólicamente:

va).

XAx < y =» x A y (en |N ó en |Nn) b

También se prueba, como indicaremos más adelante que:

II. La relación < es antisimétrica; esto es:

Fin. 6

A'UX = ByA'nx = 0,de modo que si pu­siéramos # X = x será a + x = b.

La conjunción de las proposiciones I y II puede enunciarse así (en el universo IN):

x < y =>y < x

ir.A su vez, la transitividad de la relación de inclusión origina la transitividad de la relación < (en |N ó en |N0):

III. a<bAb<c->a<c Esquema

a < b ° 3 x, a -F x = b(1)

Esta proposición podría incluso ser tomada como definición del concepto de "menor que" (<J a partir del concepto de "suma" (+) en el universo iN: Se dice que a < b si existe por lo menos un x tal que a + x = b.

De (1) y de las propiedades de la adición se deducen nuevas propiedades. Así:

PROPOSICION III. a<b=>a + c<b + c. Va, b, c GlN.

Demostración. Supongamos a < b. Enton­ces, existe x G IN tal que a + x = b. Ahora bien, por las propiedades asociativa y conmu­tativa de la adición, se tiene:

(a -F c) +x=a-Hc + x)=a + (x+c) == (a+x)-Fc = b-Fc

A:a4x = bAa + y = b=>x = y.I l i

B: 7. Sustracción. El análisis anterior nos per­mite estudiar en toda su generalidad el siguien­te problema.

Dados dos números a, b GlN hallar un nú­mero x G IN tal que a + x = b.

Por lo visto, este problema sólo es posible (esto es, sólo tiene solución) cuando a < b. Pe­ro en este caso, además de posible, es deter­minado (esto es, tiene una única solución). Simbólicamente:

i i i 4A A A A AC:

Ftg. 5

Pero ahora surge una propiedad nueva. Ya hemos visto que dados dos conjuntos A y B, puede ocurrir que ninguno de ellos esté conte­nido en el otro. Con todo, la experiencia cotí diana nos conduce, por inducción, a la siguien­te ley:

Dados dos conjuntos finitos A y B no va­cíos, siempre es posible establecer una corres­pondencia biunívoca entre uno de ellos y subconjunto del otro.

Empleando números, esta ley se traduce en la siguiente propiedad:

IV. Dados dos números naturales a y b siempre se tiene: o a < b, o b < a o a = b. Simbólicamente:

a < a + x, V a, x GlN .•4 Así (a + c) + x = D + c y por tanto a + c <

b + cDemostración. Sea a = # A, x = # X, sien­do A y X conjuntos finitos disjuntos vacíos.

b <a ~ 3 x, a -F x = b (ninguna solución) a<b=>31 x. a-F x = b (una solución y sólo una)

La proposición III se puede enunciar en lenguaje común diciendo: "Cuando uno de los sumandos aumenta, la suma aumenta" o tam­bién: “Sumando el mismo número a ambos miembros de una relación de magnitud, la re­lación se mantiene". Este hecho se expresa di­ciendo que la adición es una operación monó­tona.

y noEntonces a + x = # (A U X),

AC AUX y A A A U X. Y como la inclusión estricta entre conjuntos finitos implica la rela­ción < entre números, resulta a < a + x.

PROPOSICION II. Dados dos números turales a y b tales que a < b, siempre existe por lo menos un número natural x tal que a -F x = b: vale decir, simbólicamente:

En este último caso, el número x obtenido se denomina diferencia entre b / a y se repre­senta por b - a. Queda, pues, definida una operación (sustracción) que hace corresponder al par ordenado (b, a) el número b — a (b en­tonces es llamado minuendo y a sustraendo). Pero, contrariamente a la adición esta opera­ción en iN:

No es siempre posible.No es conmutativa.No es asociativa: por ej.

(8-5) -2-A 8- (5-2).Todavía, como hemos visto, la sustracción

en .N es unívoca (esto es. la diferencia, cuan-(continúa en pág. 30)

un

na-

OBSERVACION. Las propiedades antisimé­trica y transitiva de la relación < en IN po­drían igualmente deducirse de (1), aplicando la propiedad antirreflexiva y las propiedades de la adición. Eso puede ser hecho como ejer-

A su vez, de la proposición III se deduce:PROPOSICION IV. a -F c = b + c => a = b,

V a, b, c GlN.

V a, b G IN: a < b => 3 x, a -F x — bDemostración: Sea a = #A, b = #B y

a < b. Entonces, podemos establecer rrespondencia biunívoca entre A y un conjun­to A' contenido estrictamente en B. Pongamos B\ A' = X; entonces:

Va, b GlN: a < b V b < a V a = buna co­ cido.Se expresa este hecho diciendo que la rela­

ción < es tricotómica. La conjunción de las propiedades I, II y IV es denominada PRO-i

26 27

:

El tiempo eos calendarios empleados en distintas épocas. Aun actualmente, los musulmanes, hebreos, distintas religiones hindúes, etc., usan otros ca­lendarios y se refieren a eras diferentes de las implantadas por Gregorio XIII. Estos calenda­rios, y la mayoría de los de la antigüedad, difieren del gregoriano y del juliano en que, además de procurar concordancias con las es­taciones, tratan de que concuerden los meses con las lunaciones. Estudiar ésto corresponde a la cronología histórica y, por su manifiesta complejidad, tratase de temas de especializa ción.

Se acepta que la duración uniforme de un segundo de tiempo fundamental y su corres­pondiente ritmo básico son mantenidos por el isocronismo de un reloj atómico, y también con péndulos y otros sistemas regulados por la oscilación del cristal de cuarzo. Así, el ritmo electromagnético de un resonador atómico, cu­yo isocronismo se basa en la frecuencia unifor­me de la oscilación electrónica, prácticamente contará 31 556926 segundos durante cada año trópico transcurrido y determinado por la ob­servación. De esta manera, el segundo deduci­do de la gravitación de la Tierra alrededor del Sol y el segundo electromagnético, concorda­rán por ser iguales y uniformes, definidos co­mo la fracción 1/31556925,9.. . de año trópi­co. Análogamente se definen el minuto y la hora de tiempo fundamental, ya que el día uniforme de 24 horas es la fracción 1/365,24219879 de año trópico.

Los movimientos gravitacionales de los as­tros, regidos por las leyes de la mecánica celes­te, se cunplen en determinados intervalos de tiempo fundamental, si se adopta el ritmo del segundo de dicho tiempo en los otros sistemas derivados del primero. En consecuencia, el cál­culo más exacto de la determinación del inér­valo de tiempo de la revolución o del período sinódico de un satélite, de la duración del tránsito, ocultación o eclipse de un astro por otro, etc., resultaran ¡guales a los intervalos de tiempo contados por un aparato de relojería regulado para contar 31 556926 segundos du­rante cada año trópico. Por tanto, el cálculo de la duración de un fenómeno astronómico, o del instante en que se produce, corregido del tiempo empleado por la luz para ser obser­vados desde la Tierra, corresponde estricta­mente a los instantes y duración contados por un aparato de relojería instalado en la super­ficie terrestre y que conserve el tiempo funda­mental: correspondencia experimentalmente establecida por los observadores terrestres y razón para aceptar el referido tiempo funda­mental, internacionalmente adoptado desde 1960, en sustitución del tiempo medio y del T.U.

EUSEBIO J. CASAL (Uruguay)

Calendarios al valor de la duración del año trópico (pues 365d2425> 365d24219), lo que haría necesa­rio suprimir otro bisiesto, aún no previsto, después que transcurran algo más de 3000 años a partir de 1582, fecha de la implanta­ción del calendario actual. Ni siquiera así se lograría la absoluta perfección que pretendiera una coincidencia exacta con las estaciones, da­do que no se encuentra un promedio de años civiles igual a la duración de los años trópicos. Esta es una dificultad del calendario actual, histórica de otros calendarios y apriorística pa­ra todo calendario basado en la repetición anual de las estaciones.

El actual calendario gregoriano, implantado en el siglo XVI por el papa Gregorio XIII, sustituyó al denominado calendario juliano, impuesto por Julio César en el siglo I a.J.C.

El calendario gregoriano, además de la regla de los años bisiestos, entre otras reformas esta­blece:

El período que siempre comprende las tro estaciones del año para ambos hemisferios, es el año trópico que corresponde al lapso transcurrido entre dos proyecciones consecuti­vas del Sol sobre el equinoccio de Aries.

365,24219879 es su duración en días me­dios. Valor prácticamente equivalente a las 365 veces más la fracción que la Tierra rotará diariamente sobre sí misma, con respecto al Sol durante cada año trópico al alcanzar dos veces sucesivas un mismo equinoccio. En secuencia, si los años que empiezan el 1 de

y terminan el 31 de diciembre tuvieran

cua-

El tiempo fundamental E. T.

Adoptando el día medio como unidad de tiempo, la duración del año trópico en segun­dos de tiempo medio es:

365d24219879.86400s = 31556925,9747415...

lo que implica aceptar como constante la velo­cidad de rotación de la Tierra para que la can­tidad de segundos de los años trópicos sea la misma, puesto que cada segundo es siempre 1/86400 de días medios de igual duración.

A causa de la comprobación de irregularida­des en la rotación terrestre, la unidad de tiem po en astronomía, ya no es el día medio sino el año trópico, debido a la mayor constancia de la traslación de la Tierra alrededor del Sol. En verdad, la duración del año trópico experi­menta una ligerísima aceleración secular de medio segundo (Os 53), y por ello es unidad de tiempo el valor recientemente dado, que es el del año trópico cumplido en 1900, calcula­do según las tablas de las efemérides del Sol del profesor S. NEWCOMB (1853-1909), pu­blicadas en 1898 en Astronómica/ Papers of the American Ephemeris and Náutica! Alma- nac, y de ahí la expresión inglesa ephemeris time y su abreviatura E.T. para designar el de­nominado tiempo fundamental que se emplea actualmente en sustitución del tiempo medio en el T.U.

El tiempo fundamental se cuenta en años trópicos desde el 1 de enero de 1900, o bien en unidades constantes denominadas días, ho­ras, minutos y segundos fundamentales, que son fracciones de año trópico. Los intervalos de tiempo de estas unidades difieren, por ser constantes, de las unidades similares de tiempo medio, aunque las diferencias sean casi insig­nificantes.

con-

enerodesde ahora una misma duración de 365 días, al cabo de un decenio, luego de un siglo y después de un milenio, en lugar de proyectarse el Sol el 21 de marzo sobre el equinoccio de Aries, lo haría 2 días, luego 24 días, y des­pués 242 días contados con posterioridad a dicha fecha del 21 de marzo. Así, suponiendo que hubieran transcurrido 5 siglos de ñera, sería máximo el cambio advertido en las estaciones con respecto a las fechas, pues el hemisferio sur terrestre soportaría los rigores del invierno en enero, del verano en julio, e inversamente en el hemisferio norte, contraria­mente a lo habitual. Para que las estaciones se repitan de la misma manera, durante el trans­curso de los años civiles, entre los años nes de 365 días se intercalan años bisiestos de 366 días; en el calendario actual, denominado gregoriano, el día de los años bisiestos se agre­ga en el mes de febrero al cual se le asigna 29 días en lugar de los 28 habituales.

Son bisiestos los años cuyo número es divi­sible por 4 —1968,1972— exceptuando de la regla los seculares -1700, 1800, 1900— excep­to si sus centenas son múltiplos de 4-1600 2000, 2400— que, como los primeros, son bi­siestos.

(i) año de la reforma: 1582 de nuestra eraque, desde entonces, se cuenta a partir del cimiento de J.C. en el año I; era cristiana que sustituyó a la era juliana, la cual se contó des­de una supuesta época de creación del mundo, que según una interpretación bíblica pondió al año - 4712, o sea el año 4713 antes del nacimiento de J.C. según tual.

esa ma­ na-

corres-

nuestra era ac-

(¡i) Además de la creación cómputo de años

comu­ de la era, comunes y bisiestos y algu­

nas reglas para la determinación.?de festivida­des religiosas, la reforma gregoriana suprimió 10 días en el año 1582 para que, desde enton­ces, el Sol se proyectara entre el 20 y el 21 de marzo sobre el equinoccio; supresión de 10 días en 1582 debido ai corrimiento del equi­noccio, acumulado a la sazón desde la implan­tación del calendario juliano el año 45 a.J.C., debido a que el año juliano era de 365d25 el promedio de los años julianos por haberse in­cluido demasiados bisiestos entre —45 y 1582, pues, en ese lapso se intercaló, casi sin excep­ción, un año bisiesto cada 4 años.

La era y el calendario julianos, la era cris­tiana y el calendario gregoriano no son las únicas eras conocidas de la historia

i

i:Se ha dicho que antes de la adopción del

E.T. la unidad de tiempo en astronomía era la duración del día medio basado en la supuesta constancia de la rotación terrestre y, por tan­to, la regulación diaria de los relojes dada con ritmo por segundo igual a la fracción 1/86400 de día medio. De esto resultó que las observa-

Por esta regla, en cada período de 400 años hay 97 bisiestos y, por tanto, la duración medio de los años civiles es

I!pro-

365 d + 97/400d = 365d2425 promedio que excede en casi 4 diezmilésimos

ni los úni- ¡

2829

1900 hasta 2000— aproximadamente en dos minutos. Las determinaciones efectuadas en ios años transcurridos de este siglo proporcio­nan dichas diferencias. Así, en cada época y cantidad de segundos indicados más abajo, los segundos indicados para la época sumados al T.U. de la misma, proporcionan el E.T., esto es, la reducción del T.U. al E.T., actuamente en uso.

Estadísticaciones efectuadas desde la Tierra de los movi­mientos periódicos de los astros, actualmente de acuerdo con los cálculos de la mecánica celeste y el ritmo básico de un segundo de tiempo fundamental, registraban, por lo con­trario, progresivas aceleraciones y fluctuacio­nes que permitieron observar un retardo pro­gresivo y variaciones de la velocidad diaria de rotación de la Tierra. En consecuencia, no existe uniformidad de los días medios ni de todas las unidades de tiempo definidas con re­ferencia a la rotación terrestre. Entonces, la interpretación de las aceleraciones progresivas observadas en las revoluciones de los satélites de Júpiter, de los períodos sinódicos de Mer­curio durante sus tránsitos sobre el disco solar, de las ocultaciones de las estrellas por la Luna, etc., permitieron comprobar un retardo, pro­gresivamente acumulado, de las rotaciones dia­rias de la Tierra que alcanza a valer un minuto en el período de un siglo. Este retardo es cau­sado por el rozamiento de las mareas sobre la superficie en rotación de la Tierra, especial­mente sobre los estrechos y mares poco pro­fundos, en donde la ola de mareas de la super­ficie líquida atraída por la Luna y el Sol, roza con el fondo y costas de continentes e islas en rotación con respecto a dichos astros. Existen también- fluctuaciones anuales de la velocidad de rotación de la Tierra de valor variable, y generalmente algo menores al décimo de se­gundo, comprendidas entre un.retardo máxi­mo, registrado en el mes de junio, y un ade­lanto en octubre. Además de las antedichas variaciones, que son bastante regulares, existen otras irregulares que consisten en aceleraciones o retardos, lentos o bruscos, que sumados a los anteriores y acumulados durante un siglo, pueden alcanzar valores mayores que un minu­to de tiempo.

Por lo tanto, la suma de segundos de los días uniformes del E.T. diferiría de la suma de segundos de los días medios no uniformes del f.U. -contados ambos, por ejemplo desde

NOTA DE REDACCION. Continuamos pu­blicando, gracias a Ia gentileza del Dr. Bryan THWAITES, el artículo sobre Estadística, respondiente ahora al Teacher's Guide for Book C de THE SCHOOL MATHEMATICS PROJECT, editado por "Cambridge University Press". Estamos seguros que nuestros lectores nos acompañarán en nuestro agradecimiento al destacado matemático inglés.

termine un valor representativo usando cada uno de los métodos abajo sugeridos.

(i) Elija la estatura máxima.(¡i) Elija la estatura mínima.(iii) Elija la estatura "intermedia" entre las

íco­

dos. !+ 24s + 29s + 34s

Aunque la acumulación de las diferencias entre la suma de segundos de días medios y la suma de segundos del tiempo fundamental, sea apreciable durante un mismo intervalo de tiempo de algunos años, son inapreciables las diferencias diarias entre ambos tiempos, que son del orden del millonésimo de segundo. En consecuencia, salvo el caso de una brusca e imprevisible variación futura de la rotación te­rrestre o de operaciones realizadas con instru­mental de altísima precisión, son aceptables las definiciones dadas al principio de este ar­tículo para los días, basadas en la relativa constancia de la rotación terrestre y referidas a los astros u otros puntos de la esfera celeste, con las salvedades y limitaciones expuestas. La relativa constancia de la rotación terrestre au­toriza a definir el tiempo empleado en la su­perficie terrestre como el ángulo horario de un astro real o ficticio para un dado lugar.

El tiempo gravitacional terrestre implica problemas no tratados, que requieren estudios más rigurosos. El tiempo terrestre, concebido como transcurriendo uniformemente desde el pasado hasta el futuro de los pobladores del planeta, si continúa basándose en la regulari­dad del ritmo de los fenómenos astronómicos, debe suponer inexistentes las variaciones de las revoluciones y rotaciones de la Tierra causadas por posibles variaciones de la masa solar y la masa terrestre.

+ lOs + 20s + 23s

19401910 (¡v) Elija la estatura más común.(v) Alinee la clase por orden de estatura y

elija la estatura del alumno que está en la mitad de la alineación.

(vi) Halle la estatura total de todos los alumnos de la clase y divida dicho número por el número de alumnos de la clase.

¿Cuál de esas estaturas elegiría como la más típica de los miembros de su clase?

Usemos ahora los mismos métodos de elec­ción de un valor representativo para las estatu­ras de un conjunto de alumnos especialmente seleccionado.

1950192019601930

1. La elección de un valor representativo

En el artículo anterior vimos cómo se pue­de recoger y presentar una información. Exa­minaremos ahora algunas de las maneras de seleccionar un valor típico para representar esa información.

Esto es lo mismo que elegir el capitán de un equipo o un consejero escolar, en que se elige una persona para representar a un grupo grande de gente.

Piense en algunas de las maneras en las que Ud. podría elegir un representante de equipo:

(i) el más popular;(¡i) el más alto;

(iii) el más fuerte;(iv) el que corre más rápido;(v) por sorteo,

y muchas otras.A veces elegiremos una y a veces debemos

preferir otra de esas maneras.Sugiera algunas situaciones en que Ud. ne­

cesita elegir un representante y explique en cada caso cómo y por qué hace la elección. ¿Es usualmente el representante típico del grupo en el que está Ud. eligiendo?

En estadística también necesitamos elegir representantes y también allí hay muchas ma­neras de hacerlo.

;;

Ejemplo 1

Se midió la estatura en centímetros de 21 jóvenes y los resultados fueron:

167 170 173 167 172 172 174175 165 167 172 172 174 166168 166 171 174 169 172 169

Verifique lo siguiente:(i) La estatura máxima es de 175 cm.

(¡i) La estatura mínima es 165 cm.(iii) La estatura entre las dos es 170 cm.(iv) La mejor manera para hallar la estatura

más común es hacer una tabla de frecuencia (véase más adelante).

¿Está Ud. de acuerdo en que la estatura más común es de 172 cm?

Recuento Frecuenciatotal

Estatura

116521663167

Proyecto(viene de pág. 27)do existe, es única). Además, fácilmente se de­muestran, como ejercicio, las dos proposicio­nes siguientes

1que se pueden enunciar diciendo: La diferen­cia aumenta cuando el minuendo disminuye cuando

168(a) Mida la estatura (con aproximación de

un centímetro) de cada alumno de la clase. Discuta cuidadosamente cómo hará las medi­ciones antes de comenzar. Elija a una persona

hacer las mediciones y a otra para regis-

2169aumenta y_ # aumenta el sustraendo.

También se puede expresar este hecho dicien­do que la sustracción es creciente a izquierda y decreciente a derecha. (PROPIEDADES DE MONOTONIA DE LA SUSTRACCION)

1170117151721a<b=>a~c<b-c (si c<a)

a<b=>c-a>c-b (si b<c)173para

trar las estaturas.(b) Ahora queremos elegir uno de los resul­

tados para representar a todos los demás. De-

l31741175

21Total I(continuará)

30 — 31

,i

(v) Si ordenamos las estaturas de menor a mayor, tendremos:

165, 166, 166, 167, 167, 167. 168. 169, 169, 170. 171. 172, 172, 172, 172, 172, 173, 174, 174, 174, 175.

Verifique que 171 cm. es la estatura que . está en la mitad.

(vi) Si sumamos todas las estaturas y divi­dimos por el número de jóvenes, tenemos:

los alumnos de su clase. ¿Qué tamaño se pre­senta con más frecuencia? ¿Seria el mismo para una clase similar de una escuela china7

Ud. ha encontrado un valor representativo para cada colección de valores buscando el miembro más popular, el más común o que se presentaba con más frecuencia. Este valor se llama MODO.

¿Cuál era el modo en cada caso?¿Es posible que exista más de un modo?

Ejemplo 2En el número anterior se consideró la cues­

tión de cuántos miembros llegaban a la escuela en distintos tipos de vehículos y el resultado se presentó en un gráfico de barra (Fig. 1).

Clase: A: 4, 5, 6, 9, 10. 8, 7, 6, 4, 4. 8. 5, 4, 8. 9, 5, 4, 6, 10, 8.

Clase B: 3, 8, 5. 4, 5, 5, 6. 7, 7, 4, 6, 6. 7, 4, 6. 7. 5, 4. 3, 7, 5, 7, 8, 3.

Comienza construyendo tablas de frecuen­cia y luego dibuja dos gráficos de barras.

para una escuela rural. ¿Cuál es la manera modal de llegar a la escuela en este caso?

El director puede usar esta información cuando debe decidir si cierra o no la escuela durante una huelga de ómnibus.

Ejercicio A1. Dibuje un gráfico de barra para indicar el

número de niños de cada familia de su clase. ¿Cuál es el modo?

2. 1,3, 5, 7, 7, 8, 3, 5, 4, 2, 3, 2, 5, 6. 7, 1. 5. 4, 9,3.Estos números son las notas (hasta diez) obte­nidas en un test francés. ¿Cree Ud. que era difícil? ¿Cuál es el modo?

3. ¿Cuál es la estatura modal de su clase? ¿Cómo compararla con las de otras clases del mismo año lectivo de su escuela?

4. ¿Cuál es el disco modal entre los diez primeros más populares? ¿Cómo se determi­nan los diez primeros?

5. El tendero vende fuegos de artificio de varios precios. Los hay de 1 penique, de 2, etc. Anotó los primeros 60 fuegos de artificio vendidos en un día y sus precios en peniques fueron los siguientes:

!* 52|4

«3

Í2(165 + 166 + 166 + 167 + 167 + 167 -I- 168 + 169 + 169 + 170 + 171 + 172 + 172 + 172 + 172+172+173+174+174+174+175) :21 =

- 3575 : 21 = 170 -

1iJ1sG

109853 4Fig. 3(a)Notas

21 !14

¿En qué difiere de los otros este valor?Lleva más tiempo obtenerlo, pero matemá­

ticamente es el más importante.¿Cuál de los seis valores representativos ele­

giría Ud. como el más típico del grupo total? ¿Por qué? (No es una elección fácil y puede ser que no todos concuerden).

No obstante, nadie elegiría 165 o 175 cm. ¿Por qué?

¿Supondría Ud. que el método (iii) dará en general un valor representativo típico de todos los valores dados? Para ayudarle, observe los siguientes tamaños de zapatos tomados de un conjunto de alumnos de segundo grado:

12 o 5O c

E 10 |4£2

°3'f!!i(O 8

"D

31 IV/.G¿ 4 J.z 108 943

lili Notas Fig. 3(b1

0 ¿Cuál es el modo en cada clase? Discútase si los valores modales son típicos o buenos representantes de las notas de cada clase. ¿Proporcionan una justa comparación entre cada clase?

Cuando el maestro suma las notas obteni­das por cada clase halla lo siguiente:

A pie Bic. Omn. Tren Auto Fig. 1 1163236924

2461 249541 2214533996 1964152462 3 2 1 1 9 6 2 1 1 2 6 15 3 119 12 1

¿Cuál es la manera modal de llegar a la escuela? ¿Por qué es fácil determinar esto diante el gráfico de barra?

La Fig. 2 presenta la misma información

me-2. 2t. 3. 3, 3r. 4. 4, 4, 4. 4y. 4j. 4y, 4y. 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5t. 5j, 6, 6. 6, 6.

Ud. habrá comprobado que no basta saber qué método se usa para elegir el valor típico representativo del grupo. Necesitamos exami­nar con más detalle las diversas posibilidades.

Total para A: 130 Total para B: 132

¿Por qué esos totales no son útiles para la comparación?

Si dividiéramos130 por 20 (número de alumnos de la clase

132 por 24 (número de alumnos de la clase

Construya la tabla de frecuencia y determine de modo. Fuegos de artificio de qué precio son los quediendo: ¿Cuánto dinero recibe por cada clase de fuego de artificio? ¿Afecta ésto la respues-

2077?/

18 menos querría seguir ven-

16

2. EL MODO Proyectos

oc14 ta?

E 12 A)23. LA MEDIA ARITMETICA-3 101. De un conjunto de seis discos "pop" eli­

jan su favorito. Cuente el número de votos obtenidos por cada disco. ¿Cuál es el más po­pular?

B)o<D El modo ¿toma en cuenta el resto de los

valores? ¿Puede eso constituir a menudo una desventaja?

Ejemplo 3Consideremos un maestro que da el mismo

test a dos clases diferentes y desea comparar el resultado de las mismas.

Las notas (hasta diez) son las siguientes:

¿sería mejor?130: 20 = 6— o sea 6v

y 132: 24 = 5^ o seaEl nombre popular para los valores que aca­

bamos de calcular es "promedio". El nombre matemático es media aritmética o simplemente media. La media (o valor medio) de la clase A es 6t-

8Eoz 5>6

2. Indiquen su edad en meses, corregida al mes más próximo, y construya una tabla de frecuencia para toda la clase. ¿Cuál es la edad más común?

3. Construya una tabla de frecuencia para indicar los tamaños de los zapatos usados por

4

2

0A pie Bic. Omn.

¿Cuál es el valor medio de la clase B?Fig. 2

3233

10A 10 30 5 15 18 0 ......... Total 78B 0 5 15 10 20 0 10 20 Total 80

+ media entre 3 y 4) es 3f. Esta es la mediana para (e)

Obsérvese que en (e) el número mediano no es uno de los números originales.

Determine la nota mediana obtenida por las clases A y B del párrafo 3. Exprese su opinión sobre sus resultados.

Ejemplo 5.El dibujo presenta a seis jóvenes ordenados

de acuerdo al peso creciente. Si deseamos ha­llar el peso mediano, ¿de quién necesitamos conocer el peso?

(b) está indebidamente afectada por valores caprichosos

Busquemos, pues, ahora un valor represen­tativo que no tenga esas desventajas.

8fTT Valen

5 6 TÍ Me«lin¿Qué ocurre si Ud. observa los puntajes modales7 ¿Por qué no es buena idea ob­servar el último puntaje? ¿Por qué no le ayudan los totales?Obtenga los puntajes medios de ambos. ¿A quién elegiría? ¿Por qué?

6. ¿Cuál es el número medio de niños en las familias de su clase? ¿Cómo se compara esto con el número modal obtenido

o

Ejemplo 4.

Un maestro contó el número de medias fal­tas que tema cada alumno de su clase y lo ordenó en forma creciente como sigue:

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1,1, 1,2, 2, 2, 2. 2, 3, 3, 3,3,4, 4, 5, 6. 6, 6, 7. 8, 10,10, 80, 90.

¿Qué número de medias faltas es el modo?¿Cuál es la media?¿Por qué la media no es un buen tipo de

promedio para citar aquí?¿Cuál puede ser la explicación de la larga

ausencia de dos alumnos?¿Está Ud. de acuerdo en que ni el modo ni

la media proporcionan al maestro un valor que sea típico de todos los otros?

El maestro colocó los números ordenada­mente.

oCandidatos

f-iq. 4¿Pueden ser estos buenos valores

tativos?La Fig. 4 muestra que las notas de la clase

A están ordenadas con respecto al valor medio 6y. ¿Cuántos alumnos recibieron notas supe­riores y cuántos inferiores7

¿Qué representan las flechas punteadas so­bre y debajo del valor medio?

La longitud total de las flechas punteadas debajo de esa línea está dado por

(2y . 5) + (1 y . 3) + (y . 3)

+ 1T

represen-

an­tes7

7. Calcule la media aritmética de los núme­ros 2, 4, 6, 8, 3, 7.Calcule también la media aritmética de los números 102, 104, 106, 108, 103, 107. ¿Qué advierte Ud.?Escriba la media aritmética de 72, 74, 76, 78, 73, 77 y de 1442, 1444, 1446, 1448, 1443, 1447.

8. Calcule la media aritmética de 715, 718, 714. 717, 716, 717. 710, 719, 711.

9. Halle la media de(a) 2007 2012, 2001, 2002, 2008. 2003,

2004.(b) 991, 993, 995, 992, 990, 997, 999,

1000, 998.10. (a) Calcule la media de 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5,

6. 7,9.(b) ¿Cuál es la media en los siguientes

ejemplos:

(i) 4, 5. 5, 6. 8. 8. 8, 9, 10, 12.(¡i) 2, 4, 4. 6. 10, 10, 10, 12, 14,

<3¿i

Jos*Raúl= 12f +

= 18f

i BUs4 i' Fig. tí

Supóngase que el peso de José es de 52 kg. y el de Juan de 57 kg.

Díganos ¿cómo se hace para hallar el peso está exactamente a mitad de camino entre

52 y 57 kg?

Ejercicio C1. Ordene cada uno de los siguientes con­

juntos de números en orden creciente y halle la mediana:

(a) 7, 6, 1,2, 5,8,3;(b) 3, 1. 6, 3. 2, 4;(c) 4,8,9, 1,2, 5, 7,3, 4, 10;(d) 21, 25, 31. 28, 22, 29. 24, 30.2. Encuentre el peso mediano de los alum-

de su clase. ¿Cómo se compara con elmodo y con la media?

3. Encuentre el tamaño de zapato mediano de los alumnos de su clase. ¿Cómo se compara con el modo?

¿Preferirá el gerente de una zapatería cono­cer el tamaño modal o el mediano de los alumnos ¿Por qué?

¿Qué espera Ud. que signifique la longitud total de las flechas sobre esa línea? Calcúle­la. ¿Puede Ud. explicar el resultado?

Dibuje un diagrama similar mostrando las notas de la clase B. Calcule la longitud total de las flechas sobre y debajo de la línea del valor medio. ¿Qué encuentra Ud.?

iValor medio que

T0,0.0,1.1,1.1.1.2,2.2,2.3®3.3.4.4,5,6.6.6.7,8.10,10.80.90

14 valoresMediana14 valores

Ejercicio B 18.Fig 5

¿Qué es el valor medio?El valor medio, ¿es más típico de esos nú­

meros que el modo o la media?Este valor medio, 3, es llamado mediana (o

valor mediano). ¿Qué puede decir sobre el nú- de valores anteriores y posteriores a él?

¿Cuál es el valor mediano de:(a) 2, 4, 1, 7, 5.(b) 3, 6. 6. 5. 7,1,8.(c) 25, 28, 29, 26, 30, 27, 29, 24, 22.(d) 1, 2, 3, 3, 4, 5.(e) 1, 2, 3, 4, 5, 6?¿Qué problema encuentra Ud. en (d) y en

(e).En (d), los dos números medios son ambos

tres, de modo que la mediana es 3.En (e), los dos números medios son 3 y 4.

El número a mitad de camino entre ellos (la

(iii) 0, 1, 1, 2. 4, 4, 4, 5, 6, 8.(iv) 3, 6, 6. 9, 15, 15, 15, 18. 21,

- 2, -+2. +2,+3, +4,+6

11. Encuentre la media de(a) —5, -4, +3,+ 8, —2, +9, —1, —2, +3(b) -6,-5, -3. -2,0, +3, +4, +7, +11(c) 2' ^ T' T* 1 1 Y» 1'4"f 4"# 1 •

12. La media aritmética de 12 números ¿Qué nos puede decir sobre su suma?

13. La edad media de es 12 años 1 edades combinadas.

4. LA MEDIANAHemos visto que la media aritmética tiene

dos desventajas principales:(a) puede llevar mucho tiempo determinarla;

1. Halle la media de(a) 5. 2, 1, 8, 9. 6, 10. 7.(b) 4. 6, 8, 3. 5, 2. 1, 9, 10.(c) 5. 6, 6. 4. 0, 3, 0, 2. 8.

2. Arrojando 6 flechas, Pedro obtiene 5, 15, 24, 25, 3, 4. ¿Cuál es el puntaje medio por tiro? ¿Por qué no es un número na­tural?

3. Juana hace 2, 5, 0, 9, 1, 3, 3, tantos en 7 partidas de pelota. Calcule la media arit­mética.

27.(v) 1. ~.*1, 0, + 2, nos

mero

es 7.de las escuelas secundarias locales.4. Diez paquetes de caramelos contienen 18,

16, 20. 19, 17, 16, 20, 19, 20, 18 melos. ¿Cuál es la media?

5. El entrenador debe decidir entre Abel y Blás para su equipo de cricket. Para

un grupo de 24 niñas mes: ¿Cuál es la suma de

cara-sus

ResumenCuando trabajamos en estadística es a me­

nudo útil estar capacitados para elegir un valor representativo. Este valor representativo debe

ayu­darse en su elección observa los tantos ob­tenidos en sus partidas anteriores y en­cuentra

3534

(e) M puede tener más de un valor. (¡i¡) El método para la elección del valor representativo depende en primer término de la razón para hacer una elección.

El proyecto del párrafo 1 se ha ideado para alentar la discusión, no sólo para producir resultados. Es Importante distinguir entre la estatura representativa y el alumno o alumnos que pueden ser de esa estatura. En estadística, el único tipo de "promedio" que no necesita tener un valor numérico es el modo, aunque la palabra "mediana" es a menudo usada como adjetivo.

Calcule la renta media de los hombres de la aldea dejando fuera el Ingreso del terratenien­te. ¿Da ésto una idea mejor del ingreso "pro­medio" de los hombres de la aldea?

5. Una firma manufacturera emplea 1000 personas de las cuales 990 ganan menos de 18C por semana y 10 más de 100.C por sema­na. Si se conocieran tanto el jornal mediano como el medio, ¿cuál citaría Ud. si fuera (a) un dependiente, (b) el administrador?

6. SI Ud. corrió 20 carreras en sus primeras 4 partidas de la temporada, ¿cuántas carreras deberá correr en su quinta partida para dupli­car el promedio?

7. En una clase 2 niños tienen 5 tíos, 3 tienen 4, 7 tienen 3, 4 tienen 2, 10 tienen 1 y 14, ninguno. Hallar el modo y el número me­dio de tíos por niño. ¿Qué clase de promedio es el más adecuado en este caso?

8. El gráfico de barra de la Fig. 7 ilustra la información recogida sobre el número de her­manas de los niños de cierto grupo. Ninguno tiene más que 6 hermanas.

sei típico de todos los valores y a menudo es denominado promedio.

Hay tres tipos principales de promedio:(a) el modo: el valor que se presenta

mayor frecuencia;(b) la media aritmética: la suma de todos

los valores dividida por el número de valores,(c) la mediana: el valor medio, una vez que

los valores han sido ordenados según su tama-

PARA EL DOCENTE

Este capitulo trata sobre las maneras en que se puede elegir un valor singular para re­presentar una colección de valores. Esta elec­ción se puede hacer de diferentes maneras. Los tres métodos generalmente aceptados nos dan los valores del modo, la media y la media­na. Aunque los métodos que se usan para obtener estos tres valores son diferentes, como usual mente lo son lo mismos valores, común­mente se los denomina "promedio".

De hecho, "promedio" es usado a menudo con una acepción aún más libre. Cuando un alumno dice que sus notas están "sobre el pro­medio ", puede querer decir que está en la mi­tad superior de la clase, y como tal se esta refiriendo a una posición ordenada. Cuando un jugador de cricket habla de su promedio de "batting", se está refiriendo a un número cal­culado con precisión, que difícilmente puede ser un puntaje verdadero, puesto que usual­mente contiene fracciones de corridas. Cuando

hombre dice que está alrededor del prome­dio en la elección de vestimentas, quiere signi­ficar que más hombres usan ese tipo de vesti­mentas que cualquier otro. Uno ha oido ha­blar de la llamada ley de promedios, que es en realidad algo para hacer en probabilidad, en tamaño muestra.

En estas ocasiones y en otras, se usa la pa­labra promedio, y por ser tan remanida y a menudo indefinida, hemos preferido hablar de "valores representativos" o "típicos". Mencio

la palabra "promedio" por primera vez en el resumen, al final del capítulo. Este se continua con ejercicios variados, y esperamos que habiendo completado el trabajo, la próxima vez que los alumnos vean usar la palabra "promedio" mirarán su contenido con ojos críticos.

con

ño.Ud. ha visto que los tres tipos de promedio

tienen sus ventajas y sus desventajas. La elec­ción de un valor típico entre una colección de valores depende de

(i) la colección de valores en sí misma, e (¡i) el uso que Ud. quiere dar al promedio.

Ejercicios variados

1. El peso modal de 30 jóvenes es de 75 kg. ¿Qué puede decir sobre su peso total si puede decir algo?

¿Sería capaz de decir algo sobre el peso total si conociera:

(a) su peso medio,(b) su peso mediano?2. María sabe su nota en el examen de his­

toria y también el’modo, media y mediana de las notas de toda la clase. ¿Qué promedio le ayudaría mejor para saber si está en la mitad superior o en la mitad inferior de la clase7

3. ¿Cuál de los tres tipos de promedio no necesita tener un valor numérico? Dé algunos ejemplos.

4. En la pequeña aldea de Chatterton sólo hay 10 hombres en edad de trabajar. A con­tinuación figura su lista con sus ingresos anuales.

Proyecto

(a) En los catálogos de los proveedores de artículos se ven medidas de alturas de pared; las aulas de matemática deberían tenerlas. La discusión preliminar puede incluir puntos, tales como si deben usarse o no zapatos, y si niños y niñas deben ser considerados en conjunto o si se deben hacer estudios separados. Probable­mente, la manera más rápida de recoger los datos sea alinear la clase contra la pared eli giendo un alumno para efectuar las mediciones y otro para registrar los resultados.

(b) (i) e (¡i). La elección de estaturas es obvia, pero obsérvese que si dos o más alum­nos son de la estatura máxima o mínima, en­tonces no lo es la elección del alumno que tiene la estatura representativa.

(iit) ‘La estatura "intermedia" Se espera que la clase elija intuitivamente la media entre las estaturas máxima y mínima. Puede ser ne­cesaria la ayuda y la discusión, especialmente si la suma de las estaturas máxima y mínima es impar. Obsérvese que si la suma es par, también es posible que esta estatura "interme­dia" no sea la estatura real de un alumno.

(iv) Este es el único método que puede producir más de una estatura representativa.

(v) Aquí hay un problema para discutir cuando hay un número par de alumnos en la línea, con lo cual da dos "alumnos medios" en lugar de uno. Los alumnos pueden intuiti­vamente dar bien la decisión correcta; esto es. elegir la estatura “intermedia" entre las dos estaturas mitades (la media de esas dos esta­turas) como valor representativo. Por supues­to, en este caso, la estatura mitad será la de un alumno real sólo si el número de alumnos es impar.

(vi) Debe cuidarse la aritmética, y es posi­ble que a veces haya que ayudar. Es muy pro­bable que este método conduzca a una esta-

I■:

i/i

1 6 1 5i4 s 3o 2

unililiÚMMMm.

Z1 ¿i mm

3 4 5o i 2N° de hermanas

Fig. 7

(a) ¿Cuántos mucnachos hay en el grupo?(b) ¿Cuál es el número modal de herma-

(c) ¿Cuál es el número medio de herma­nas?

(d) En este caso, ¿es más útil hablar sobre la media o sobre el modo? ¿Por qué?

9. Tomando M para representar (i) modo, (ii) media, (i¡¡) mediana, diga si los juicios que van a continuación son siempre, a nunca ciertos.

(a) M es una de las lecturas verdaderas(b) M puede ser la lectura mayor o menor.(c) Cuando las lecturas se ordenan por ta­

maño, M tiene tantos números antes de él como después.

(d) Una o dos lecturas caprichosas pueden indebidamente torcer el valor de M.

namos!

Personas Ingresos anuales en C

10000 1000 950

ñas?'El terrateniente

El administrador del campo El hotelero El jefe de correos Juan >LuisDavid ► Trabajadores del campo Raúl Pedro 4José, el mensajero

¿Cuál es el ingreso medio de los hombres de la aldea? ¿Por qué es ése un valor tan engañoso? ¿Será el ingreso mediano un valor mejor para citar?

900700650 LA ELECCION DE UN VALOR REPRESEN­

TATIVO650 veces o500500 Los tres puntos principales que se conside­

rarán en este capítulo son:(i) Hay muchas diferentes maneras para

elegir un valor representativo.(¡i) Este valor representativo puede

típico de los otros valores.

400

no serI

i3736

¡

i!

que sepamos el beneficio de cada tipo. Este varia, pero es a menudo bastante pequeño en los de precio más bajo, y por eso es probable que el tendero necesite vender los artículos de 1 p antes que los otros.

3. LA MEDIA ARITMETICALa media aritmética toma en cuenta todos

los valores; esto es, tanto su vigor como su desfallecimiento, de modo que a veces incluye "valores caprichosos", los que tienen indebida influencia en el resultado (véase ejercicio D, preguntas 4 y 5).

Ejemplo 3El modo es 4 en el primer caso y 7 en el

segundo. Obsérvese que uno comienza en un extremo de la distribución y el otro cerca del lejano extremo del conjunto de puntajes. Es un rasgo del modo que pueda caer en cual­quier parte de una distribución de valores, y como tal difícilmente sea un buen valor repre­sentativo. Los valores modales 4 y 7, dan fal­sas ideas cuando se efectúa la comparación porque la Clase A obtuvo en todos los casos notas más altas que la B. Los totales no son útiles para la comparación puesto que difiere el número de alumnos de cada clase, pero las medias aritméticas proporcionan valores repre­sentativos "favorables". La Fig. 4 intenta pin­tar el aspecto más importante de la media; el total de todos los puntajes superiores a la me­dia es igual al total de los puntajes inferiores a la misma. Este hecho es el que hace que la media sea tan útil para trabajos posteriores.

Once alumnos de la clase A tienen notas inferiores a la media y 9 tienen notas superio­res a ella.

Las flechas punteadas muestran la diferen­cia entre cada nota y la media. La longitud total de las flechas por encima de la línea del valor medio también debe ser 18y. por defini­ción.

Ejercicio B1. (a) 6; (b) 5y; (c) 3*2 (.un errnr común es

fallar en la cuenta'de los ceros).2. El puntaje medio por tiro: 12j. No es

un número natural puesto que 6 no es factor de 76.

3. 3y4. 18. 35. Puntaje modal: A no tiene nunca 1,

cada puntaje es diferente; B tiene dos de 0, 10 y 20, y técnicamente estos son los modos, no obstante, ellos son de poco o ningún valor en este caso.

Ultimo puntaje: No puede ayudar que en cada caso el último puntaje sea un valor repre­sentativo.

Totales: Son bastante próximos entre sí, pero debe tenerse en cuenta el número de co­rridas que han contribuido a formar esos tota-

el de decidir si enviar temprano los alumnos a casa debido a la niebla.

tura que no pertenezca a ningún alumno de la clase.

Es probable que la clase difiera en sus opi­niones acerca de cuál es la estatura más típica, pero se espera que ella elegirá entre estaturas dadas por los métodos (iv), (v) y (vi). Después del ejemplo 1 continuará la discusión de los distintos métodos.

Ejercicio A1. ¿Esperará Ud. el mismo modo: (a) en

otras clases de su escuela; (b) en clases de otras escuelas de su país; (c) en clases de es­cuelas de países extranjeros? Aquí se puede hacer una interesante discusión.

.i;I

Ejemplo 1Esta es una colección de estaturas ordena­

das para producir ejemplos simples de alguno de los puntos propuestos en el proyecto. En este caso, todos los métodos (i) a (v) dan valo­res que son estaturas reales de alumnos; el mé­todo (vi) da un valor que difiere de todos los demás en ese aspecto.

2.Número de alumnos

que obtienen ese puntaje

Puntaje

212 23 44 25 4Ejemplo sobre tamaño de zapatos

Número de alumnos que usan ese

tamaño

\ les.6 1Puntaje medio: Abel, 13. Blás: 10.Por la fuerza de la información disponible,

probablemente se podría elegir a Abel debido a su mayor promedio de "bateo". Sin embar­go, se necesitarían muchos más promedios de sesiones previas, lo mismo que toda otra infor­mación antes de decidir cuál es el mejor candi­dato.

7 3Tamaño 8 19 12 1 10 0

22 1 Total 20Esta distribución tiene dos modos, 3 y 5, y

aún así el número de alumnos que obtienen esos puntajes no es mucho mayor que el de los que obtienen otros. El modo tiene valor pequeño o nulo en este caso.

"¿Cree que era difícil? " Nuestra intención es que esto sea una pregunta que Ud. debe completar. No hay realmente manera de decir­lo. El test pudo haber sido bastante duro, pero, por otra parte, puede ser que los alum­nos que lo realizaron fueran bastante tontos, o simplemente no comprendieran su trabajo.

4. El diez máximo" se basa en escalas de registros y por tanto es un promedio modal

5.Precio

(peniques)

3 23t 14 44- 5 6. Es improbable que la media sea un nú­

mero natural, y la significación de una estadís­tica semejante debe ser discutida.

7. 5, 105, 75, 1445.Se espera que la clase encontrará la manera

más rápida de hacer ésto. En el segundo con­junto, cada número supera en 100 al número correspondiente del primer conjunto. La me­dia es por tanto 100 más. En el tercer conjun­to, cada número es 70 más, y en el cuarto conjunto es 1440 más que el correspondiente número del conjunto original.

Con respecto a las dos siguientes cues­tiones, sería útil discutirlas después que ha sido hecho el descubrimiento y efectuarlas así:

5 7i

52 26 4

Total 27

El tamaño entre 2 y 6 es 4. Una mirada a la lista de tamaños convencerá a los alumnos que puesto que aproximadamente dos tercios de ellos tienen pies más largos que el tamaño 4, entonces este tamaño difícilmente pueda ser típico para el resto.

1N° vendido a ese precio

Totales(Peniques)2. EL MODO

Esta es la más común, la más popular de las cantidades investigadas. No necesita ser numérico; se puede hablar del color modal del cabello de los alumnos.

A veces se lo denomina "promedio de los tenderos".

No es difícil encontrar una distribución b¡- modal e incluso multimodal.

Ejemplo 2La(s) barra(s) más larga(s), por supuesto,

representa(n) el modo(s). Otro uso puede ser

1 16 16102+104+106+108+103+1072 12 24

3 6 18 tt 610 *4 7 : ■4-i28 100+2+100+4+100+6+100+8+100+3+100+7: :5 4 20 6« 6 5 !>6 8 1piB 600+2+4+6+8+3+748 O •*

7 7 63 6Total 60 Total 217

El precio modal del cohete es 1 p.No podemos, realmente, decir qué precio

de fuego de artificio preferiría vender

600 j 2+4+6+8+3+4 30= 100 +Candidatos

Fig. A 666¡ La longitud total de las flechas por encima

y por debajo del valor medio es 16.- 100 + 5 = 105y lo mismo con otros ejemplos.a menos

3938

.;8. 4.LA MEDIANA :2. Si Marfa quiere saber si está en la mitad superior o en la mitad inferior de la clase, necesita conocer el puntaje mediano.

3. No es necesario que el modo tenga valor numérico.

5+8+4+7+0+9+1 7. Esta es realmente una distribución de frecuencia.

t710 + Ejemplo 4El número modal de medios días de

cia es 1.

La media es 8,8.

Debía ser obvio que ningún número da un buen valor representativo de esta situación, pe­ro este punto debe ser discutido.

Una median? por definición, tiene valores antes como después de ella.

Valores medianos son:(a) 4;(b) 6,(c) 27;

(d) 3; obsérvese que está dado (3+3);

(e) 3j, ésto es, t (3 -I- 4).La nota mediana de la clase A es y la

de la clase B, 6.

Ejemplo 5

se |9

ausen-- 710+47 iNúmero Número

de tíos por niño

Número total

de tíos9 de i

niños- 710+5f-=715f Son ejemplos:

Color del cabello.Tipo de casa.Modo de llegar a la escuela.Disco o "grupo" favorito.

4. El ingreso medio está dado por 16200 G: 10 = 1620.C.

Este es un valor que conduce a error; sólo una persona gana más que él; todas las otras ganan menos.

La renta mediana está dada por (650C + 700.C): 2 = 675£.

Este es un valor mucho más razonable pero puede ser criticado sobre la base de que repre­senta más al grupo que está debajo que al que está arriba.

Si se omite la renta del terrateniente, la media resulta: 6200JC: 9 = 688§- £.

De éste se puede decir que puede ser un valor todavía más razonable. Pero, la« fracción de 1£ no es muy razonable. Luego de la dis­cusión, se podría tomar 690C para representar el ingreso "promedio" en esa comunidad. Si así fuera, entonces obsérvese que ninguno de los tres valores, modo, mediana o media ha sido estrictamente usado, pero la decisión fue tomada después de calcular la media.

5. Esta cuestión sugiere que el dependiente del establecimiento desea hacer aparecer el "salario promedio" tan bajo como sea posible y que el gerente trata de que parezca lo más alto posible. Aunque se hayan usado tales tác­ticas, no deben ser tomadas como reqla.

No es posible dar respuesta exacta a la pre­gunta, a menos que se conozcan los salarios reales. Sin embargo, parece bastante probable que el salario mediano sea menor que el sala­rio medio.

2 5 109. (a) 2000 + 7+12 + 1+ 24-84.3-M =3 4 127 tantos

= 2000 +.32 = 2005^ 7 3 217 4 2 8

(b)^ 990 + J +3+5+0+7 -J-Q-4-104-8 10 1 109 14 o o

= 900 + 45 = 995POr +9

Total 40 Total 61o con una clase brillante:

1000 + El número modal de tíos es 0.El número medio de tíos es (61 :40)

= 1,525.+ (-3) + Q) + _K-l) + 0 + = :

El peso mediano es (52 + 57)kg„ ésto9Aunque no sea posible hablar de 1,525 ni

aún de 1j tíos, la media nos da más in­formación que el modo. Quizá el valor mediano de 1 tío sea apropiado aquí.

es.54j kg $= 1000 +-45 = 1000 + (“5) = 995 iEjercicio C9

1. (a) 1,2, 3, 5, 6, 7, 8. Mediana 5.(b) 1, 2, 3. 3, 4, 6. Mediana:

2 = 3(c) 1, 2. 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9. 10. Media-

na: (4 + 5): 2. = 4v(d) 21, 22, 24, 25, 28,'29, 30,

diana: (25 + 28): 2=26j-2. Si ésto se hace con una clase mixta de

niños y niñas puede ser interesante discutir si se incluirá

10. (a) 4.5(b) (i) 7,5; (¡i) 9; (iii) 3,5; (iv) 13,5.

(v) o bien puede resolverse directa­mente dando

(3 + 3): 8. (a) 20

(b) 2

(c) 38 : 20 = 1.931. Me--ÜL+J9L-±13.= +T5 (d) Aquí debería ser un valor razo­

nable la mediana 1,9 completada al próximo número entero que es 2. En la estadística relativa al tamaño de la familia se podría esperar que el modo y la media sean muy cercanas entre sí.

10 10

a todos en un estudio o si es mejor realizar 2 investigaciones, la otra para las niñas.

3. Las mismas observaciones de la cuestión 2 puede aplicarse aquí.

El gerente de la zapatería estará más intere­sado en el modomencionado al modo los tenderos".

o bien se puede aplicar la sión de términos

supre- una para los niños y

9. Esta es realmente una cuestión bastante difícil y no debería ser atacada a menos que el docente sienta que la clase ha progresado suficientemente en este tipo de trabajo. Entonces, sería la base de una animada discusión, pues encontraría que muy pocos casos están realmente bien asimilados. A menudo, pueden hallarse excepciones que no dejan de ser válidas en la definición del término. Serán necesarios ejemplos prácticos para ilustrar las cuestiones que surjan, y más abajo se hacen algunas pocas sugerencias.

10

que en la mediana —se ha+15como el "promedio de=—.— = +1.510

i11. (a) Puede también ser simplificada por

cancelación. Da + 1.(b) Cancelando: respuesta + 1(c) Media = 1

12. La suma es 12.7 = 8413. Edades combinadas 24. 12 años,

da 290 años.

Ejercicios variados d T El modo i

no nos dice nada sobre el 6. 20 corridas en 4 partidas da un prome­dio de 20: 4 = 5 corridas por partida. Si el

promedio debe ser de 10 corridas, en­

peso

peso medio es de 75 kg., entonces es 30.75 = 2250 kg.

no nos dice nada sobre el

total.(a) Si el

el peso total La

peso total.

nuevotonces el número total de corridas en las 5 partidas deberá ser 10.5 = 50 corridas. Debe­rán hacerse 30 corridas en la 5a partida.

1 mesmediana

i40

41

r

SABIA UD. QUE..MedianaModo Media

A veces cier­to. Si las lec­turas dan un número im­par, siempre cierto. Puede ser cierto pa­ra un número par de lectu­ras, ej., 1, 2, 3, 3,4, 5

A veces cier­to, pero de hecho muy rara vez

(a) Siempre cierto

UNA INTERESANTE IDENTIDAD ALGEBRAICA

Si a, b, c son números cualesquiera, es fácil probar la identidad:

{-a + b + c)3 + (a-b+c)3 + (a+b~c)3 + 24abc = (a +b + c)3 (1)

Mediante ella se pueden obtener sumas algebraicas de cubos de números enteros que dan otro cubo de un entero. Podemos suponer que el máximo común divisor de (a, b, c) es 1, con lo cual resultan soluciones primitivas.

Ejemplo 1. Si se pone en (1): a = 9; b = 8; C = 1, se obtiene:(b) A veces

ciertoA veces cier­to, pero sólo excepcional­mente, ej, 1,1,U1,

A veces, cier­to, pero sólo excepcional­mente, ej. 1, 1.1.2,4

= (9 + 8 +D3(--9 + 8 +1)3 +I9-8 + 1)3 + (9 + 8-1)3 +24-9^8^1 -183

Dividiendo ambos miembros por 23:(2)93638313 ++c) A veces

cierto, pero ex- cepc io- nalmen- te, ej., 1,2, 3, 3,3, 4,5

A veces cier­to, pero ex- cepcional- mente, ej., 1, 1.1.1.1.

Siempre cier-Ejemplo 2. Si se pone en (1): a = f-;í> = f; c = h resulta:to

»/- + - + -Y3 \ 2 2 2)

, 9 8 7+ 24.-.-.-

2 2 2( 9 8_2+8+Z

2 2 2 2 2

+ 24 63 = 123534 333 + +i

= 123 “ 24.63 = 635 34 333 +(d) N u ncacierto

+Siempre cier­to. Ver 4 y 5, Ej: D

Nunca cierto(3)3* + 43 + 53 = 63La relación

conocida por los antiguos y hasta Platón se interesó por ella.* De (2) y (3) se deduce: 13 + 83 + 33 + 43 + 53 = 93

Nótese que estedado puede ser, de diversas maneras, una suma

Ejemplo 3. Si se pone en (1): a = yV ; b - y; c - 1, se tiene

e) A vecescierto

Nunca cierto Nunca cierto era (4)

, el cubo de un número entero existir una suma tal.

ejemplo prueba que el problema inverso, esto esalgebraica de cubos, 'También se pueden considerar las propiedades de

mismo valor para todos; modo, media y mediana.una colección de datos ,que tienen el o no

!iV+M+i) V12 2r__L+i+,y+f-L

\ 12 2 / \12 2- 1(viene de la pág. 13)

4. Verificar que el conjunto de racionales con adición (multiplicación) es monoide con neutro. ¿Se puede afirmar lo mismo para el conjunto de los irracionales?

5. Demostrar que si el conjunto A tiene n elementos el monoide de las transformaciones de A tiene nn elementos.

6. Demostrar que el conjurtto de los neu­tros a izquierda (derecha) de un monoide, si existen, determinar un submonoide.

7. Demostrar que la intersección de una fa­milia no vacia de submonoides de un monoide dado es submonoide.

8. Lo mismo que en el ejercicio anterior, considerando monoides

+ 243 = 383+ (-10)3

173 + 73 - 53 + 123 = 193143303 +

Y simplificando:2. En la fórmula (1), los tres primeros términos son cubos, pero el cuarto no

términos sean cubos haciendo en ella

siempre lo es. Se

puede lograr que los cuatro(5)con nuetro. = 9, b = P\ c = 73a

lo que resulta

(-9 + P3 +73)3 +(9

con~P3 +73)3 + (9 + p3 - y3)3 +63 P3 y3 = (9+P3 +73)3

7 = ^ se obtiene en (6) -443 + 983 + 463 + 353

-223 + 493 + 233 + 183

(6)i

= 10Q1-1.Ejemplo 4. Para p= 503 FRANCISCO LA MENZA

y simplificando:

4243

BIBLIOGRAFIA enriquece el número de libros de texto que puede emplear el estudiante argentino. Quere­mos señalar que, curiosamente, el programa de 4o año de los colegios nacionales es el que presenta mayor aporte de autores que no son los tradicionalmente divulgados; entendemos que ello se debe a que dicho programa presen­ta un mayor número de temas que como Su­cesiones y Series; Nociones de Geometría ana­lítica; Combinatoria y Nociones de Estadística y Probabilidades necesitaban ser minuciosa­mente elaborados para estar de acuerdo con el espíritu de quienes elaboraron el programa en vigencia.

De cualquier manera, corresponde dar la bienvenida a esta obra porque bien se ve que, como lo manifiesta el editor, "no es el fruto de una elaboración realizada fríamente en el escritorio sino el reflejo de una experiencia vi­vida con alumnos y en cursillos de perfeccio­namiento docente".

En su corto prólogo el autor expresa: "En­tiendo que la extensión dada a los distintos temas cubre con bondad las exigencias del programa y permite la profundización de algu­nos que pueden resultar interesantes al alum­no". Creemos necesario agregar que si el pro­fesor logra que se cumplan los propósitos del autor, el alumno habrá logrado una serie de conocimientos interesantes como para que puedan proseguir éxitosamente su periplo por las aulas universitarias o por otros derroteros. Porque a través de toda la obra, los temas están expuestos con rigor científico, la diagra- mación es adecuada y la ejercitación completa; sólo restaría que el docente capacitado dispu­siera de todo el tiempo necesario para llevar a cabo esa tarea, pero y lamentablemente, eso ya no es cuestión suya.

Nos complacemos, pues, en augurarle el éxito que sa merece y esperamos la anunciada aparición progresiva de otras obras que han de cubrir los programas de matemática de la ense­ñanza media en la seguridad de que su aporte ha de ser muy beneficioso para la docencia.

La cuidada presentación editorial no es uno de los menores méritos de la obra.

De los programas renovados, actualmente en vigencia en la enseñanza media argentina, el de Astronomía Elemental es, sin duda, el que presenta mayores variantes con respecto al an­tiguo programa de Cosmografía. Y aún cuando es muy cuestionable que se incluya su estudio dentro de la matemática, no hay duda que ahora los temas son mucho más interesantes y de mayor valor cultural para los alumnos del último curso de la escuela secundaria.

En efecto, mucho de los viejos problemas de la astrometría sólo presentan hoy interés para el que cursa estudios especializados y, en cambio, los temas modernos referentes a ¡deas generales sobre él universo, nuestra galaxia y los cuerpos extragalácticos, teorías cosmogóni­cas modernas y nociones sobre astronáutica, contienen aspectos que no puede ignorar nin­guna persona culta y que, por otra parte, se ven reflejados con profusión en diarios y revis-

ROSA W. DE ZIPEROVICH. Matemática moderna, tomo I, 178 págs., 1968; Matemáti­ca moderna, tomo II, 274 págs., 1969, y cinco tomitos para alumnos de 1o, 2o, 3o, 4o y 5o grado, con la colaboración de las señoritas Angela Sarnari y Amalia Moyano y la señora Julia I. S. de Smith e ilustraciones del señor Alejandro Balestrini; EDITORIAL DIAGRAF, Buenos Aires.

Notorio prestigio goza la autora de obras en el ámbito de la escuela primaria, prestigio derivado de su incesante preocupa­ción por los problemas de la misma y singular­mente de su preocupación por la elucidación de las cuestiones derivadas de la introducción de los conceptos de la matemática moderna. Esa preocupación la ha llevado al dictado de numerosos cursos no sólo en la Capital Fede­ral, donde los maestros, de algún modo, pue­den resolver las inquietudes que se les presen­tan, sino también en muchas ciudades del interior de nuestro país, lo que es mucho más importante porque allí la cuestión muchas otras dificultades, como, por ejemplo, la adopción por algunas de las autoridades provinciales de nuevos programas de enseñanza de la matemática que han de ponerse en vigen­cia en el próximo curso escolar los cuales de­ben ser puestos en práctica por maestros los desconocen totalmente de los mismos nunca les fueron enseñados du­rante su permanencia en la escuela normal, de lo cual deriva la necesidad de capacitarse paso forzado con los incovenientes naturales de estos casos.

La obra de la señora de Ziperovich y su equipo viene pues a colaborar con la solución de tan urgente problema. Y para que sea útil, los conceptos matemáticos se exponen en len­guaje llano, "el mismo que maneja el niño" introduciéndose los símbolos y el lenguaje for­mal sólo cuando se refieren a conceptos elabo­rados y comprendidos. Para facilitar la tarea docente, se incluyen al final de cada capítulo planes y proyectos para indicar como se puede encarar la enseñanza conjuntista. No se trata de recetas ni de fórmulas magistrales, sino de impulsar la esforzada labor del maestro con material que estimule su iniciativa personal y le facilite la comunicación con los alumnos.

Los distintos capítulos no son independien­tes y muchas veces se reiteran los conceptos con propósitos didácticos. Por ello, conviene señalar los capítulos de ambas obras, cuyo análisis escapa a nuestras posibilidades de espa­cio. Ellos son:

Tomo I. Primera parte: Construcción de es­tructuras fundamentales en la escuela primaria; Segunda parte: Esquemas para el desarrollo práctico de los contenidos teóricos; Tercera parte: Signos y notaciones. Conceptos básicos; Cuarta parte: Bibliografía.

Tomo II. Capítulo I. Sistema de numera­ción. Números enteros positivos; Capítulo II: Números fraccionarios; Capítulo

y números decimales; Capítulo IV: tudes y proporcionalidad; Capítulo V: siones en el

estas

!í

III: Fraccio­nes tas.Magni- Dimen-

espacio. Areas; Capítulo VI: Los conjuntos en la geometría. Transformaciones; Capítulo Vil: Método analítico. Funciones. Coordenadas cartesianas. Proporcionalidad; Ca­pítulo VIII: Proyectos para ser desarrollados individualmente o en grupos por los niños.Planes para el estudio programado de los cua­driláteros.

Felicitamos a los antiguos autores de tantos libros de enseñanza secundaria por el esmero y la dedicación con que ha sabido realizar esta obra, que en tantos aspectos difiere de las obras antiguas. Una amena y segura exposición se ve valorizada por diagramas y fotografías de muy buena calidad, lo que hará que el libro se convierta en un valioso auxiliar para los estu­diantes y, asimismo, en obra de alta divulga­ción, para lo cual se lo ha complementado con una amplia bibliografía de libros y revistas, la cual, infortunadamente, contiene muy pocas obras impresas en nuestro idioma; esperamos que algún día varíe esta situación.

Con todo, esta exhaustiva información, que se extiende desde los autores clásicos hasta las últimas revistas especializadas y periódicos, sin duda ha de constituir un estímulo para quien quiera profundizar algunos temas.

Una curiosa característica de este libro es que las páginas se enumeran correlativamente por capítulos.

El libro se presenta en forma cuidada, usan­do tipología moderna; el texto incluye las más recientes investigaciones astronómicas e inclu­so las últimas hazañas astronaúticas, que son expuestas con lenguaje claro y preciso, con abundancia de datos numéricos para completar la información básica necesaria para mostrar la magnitud científica de la astronomía actual.

presenta

Cada uno de los tomitos contiene para los alumnos

no menos de sesenta tarjetas en que se les presentan a los niños cuestiones relativas a la enseñanza en su curso y se les dan las ¡ntrucciones para resolverlas en forma directa. Esas tarjetas forma alumno no debe transcribir fos sino sencillamente de sus

queporque los temas

amena y n una carpeta y el complicados párra-

presentar los resultados conocimientos y de su reflexión.

Auguramos a esta obra el' feliz que corresponde al denodado esfuerzo do y hacemos i ilustración gráfica así sentación del editor.

ia

resultado 1 realiza-

notable diagramació como la esmerada pre-

i

notar la n e

Félix Co/ombo

ANTONIO ROBERTO LOPEZ, Matemática moderna para 4o año de los Colegios Naciona­les y Liceos de Señoritas y 5° año de las Es­cuelas Normales, 452 págs., EDITORIAL STELLA, Buenos Aires, 1969.

Un docente muy prestigioso en el interior del país se hace presente con esta obra que

Julio fí. Juan

CABRERA y MEDICI, Astronomía Ele­mental, LIBRERIA DEL COLEGIO, Buenos Aires, 1969.

Cristina Verdaguer de Banfi

44 45

CORREOChile 1050; Colegio "Infanta Mendocina, San­ta Fe 29 y Colegio "Fray Luis Beltrán", Gu­tiérrez 305 de la ciudad de Mendoza; en el Colegio Alberto Einstein, de Posadas, Misiones y en el Colegio del mismo nombre que el an­terior, San Martín 1540, Santa Fe, en el Cole­gio Reconquista, Iturraspe 743, Reconquista, ambos de la provincia de Santa Fe, en la Es­cuela Normal, Maipú 668, General Roca, Río Negro; Escuela Normal J. M. Estrada, Sargento Cabral 2120, Corrientes, Centro de Actividad Científicas y Culturales, San Martín 2574, Mar del Plata.

Prof. Delia J. Romero. Córdoba. La direc­ción de la profesora Irma Dumraf, correspon­sal en nuestro país de la revista NICO del Cen­tro Belga de Pedagogía de la Matemática de Bélgica es 14-746, La Plata, Bs. As. A lo que sabemos, en este momento la profesora Dum- rauf está desarrollando sus actividades en un país limítrofe.

Errata. Cúmplenos informar que en el nú­mero 10 se deslizó una importante errata en el artículo "La asociatividad o la importancia de los paréntesis" en el cual se imprimió paren- tisis y sin acento, por añadidura.

A varios lectores. Correspondiendo a sus deseos informamos que según nuestro conoci­miento están funcionando en nuestro país' los siguientes clubes de ciencia: en la Escuela Nor­mal "Mariano Acosta", Gral. Urquiza 277; Co­legio Pestalozzi, Freire 1824 y Escuela Argen­tina Modelo, Río Bamba 1059, Liceo N° 3, Arcamendía 743 y Club Científico Juvenil, Ge­neral Artigas 5000 de la Capital Federal; Insti­tuto Martín Güemes, de Carapachay; Colegio Nacional "J. J. de Urquiza, San Nicolás, Insti­tuto Lomas de Zamora, Av. Meeks 654, Tem- perley; en Baradero; en el Colegio Balmoral, Manuel Castro 1536, Banfield, todos de la provincia de Buenos Aires; en la provincia de Mendoza, en los colegios "Irene Bernasconi",

que FUNDAUN TAPIZADO/

(viene de pág. 21)El control pedagógico no es el veredicto final de un experto, científicamente calificado, pro­ducido al término de una labor docente y capaz, tanto de agregar una línea al Gran Libro de la Verdad, cuanto de orientar las decisiones de los que bostezan en el fondo o de los inspectores más o menos generales (los que, por otra parte, tienen la costumbre de regirse también por otros criterios). En desqui­te, es fundamental que los resultados de la experimentación didáctica sean vueltos a in­yectar convenientemente paso a paso en la práctica docente. Por lo demás, me parece que

es exactamente el significado de la palabra "control" en nuestros días, cuando se piensa en sistemas en funcionamiento y no sólo en la política militar, en la cuenta del gas o en la declaración de rentas.(2)

Anatómica y fltxtbl«. Indeformable.

COLOCACION INMEDIATA(1) . Se trata, como todos saben, de un índice para testimoniar la significación estadística de las diferen­cias.(2) . El lector me perdonará que haya hablado en primera persona. He reconocido, en efecto, el dere­cho de obligarme corno psicólogo. Se me perdonará, también, la relativa abundancia de comillas, que seña­lan, cada vez, palabras o expresiones tanto usuales como anfibológicas.

AV. F0REST 774TEl. 54-1396 • BS. AS.

asi es

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