circuite electrice liniare · prefaţă teoria câmpului electromagnetic, împreună cu teoria...
TRANSCRIPT
UNIVERSITATEA “VASILE ALECSANDRI” din BACĂU FACULTATEA de INGINERIE
Conf. univ. dr. ing. MIHAI PUIU – BERIZINŢU
BAZELE ELECTROTEHNICII Circuite electrice liniare
Editura ALMA MATER BACĂU, 2010
Referenţi ştiinţifici:
Prof. univ. dr. ing. Gheorghe HAZI Conf. univ. dr. ing. Ştefan ABABEI
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României PUIU-BERIZINŢU, MIHAI Bazele electrotehnicii : circuite electrice liniare / Puiu-Berizinţu Mihai. - Bacău : Alma Mater, 2009 Bibliogr. ISBN 978-606-527-058-9 621.3
Tehnoredactare: Mihai PUIU-BERIZINŢU
P r e f a ţ ă
Teoria câmpului electromagnetic, împreună cu Teoria circuitelor electrice, constituie cele două mari părţi ale cursului de Bazele electrotehnicii prin care se asigură pregătirea fundamentală de specialitate în domeniul electrotehnicii inginereşti. Prezentul curs, Circuite electrice liniare, după cum indică şi titlul, se limitează la studiul circuitelor electrice liniare dar, acolo unde este cazul, se fac şi referiri privitoare la influenţa neliniarităţii caracteristicilor unor elemente de circuit reale, întâlnite frecvent în practică, cum sunt condensatoarele reale sau bobinele cu miez de fier.
Cursul a fost elaborat, în primul rând, pentru uzul studenţilor de la specializările Energetică industrială şi Mecatronică de la Facultatea de Inginerie a Universităţii din Bacău, dar este util tuturor celor interesaţi în dobân-direa şi aprofundarea cunoştinţelor teoretice fundamen-tale asupra circuitelor şi reţelelor electrice întâlnite în toate domeniile tehnicii actuale.
Baza teoretică necesară realizării unui studiu riguros fundamentat ştiinţific al circuitelor electrice este materializată, în mod adecvat, în prima parte a cursului de Bazele electrotehnicii – Electromagnetismul – elaborat de acelaşi autor în prima ediţie din anul 2003. Prin urmare, legile şi noţiunile fundamentale ale teoriei câmpului electromagnetic care stau la baza teoriei circuitelor electrice se impun a fi cunoscute în prealabil studiului care se efectuează prin această lucrare.
În această primă ediţie cursul este structurat în opt capitole în care sunt tratate principalele tipuri de circuite electrice şi regimuri de funcţionare ale acestora care prezintă interes pentru aplicaţiile inginereşti.
Primul capitol este dedicat studiului circuitelor electrice liniare de curent continuu, caracterizate de regimul electrocinetic staţionar în care există numai curentul electric de conducţie în conductore.
3
În capitolul doi se analizează comportarea principalelor elemente de circuit, liniare, neliniare şi parametrice – rezistorul, bobina şi condensatorul – în regim variabil în timp.
În capitolele trei şi patru sunt analizate circuitele electrice liniare cu parametri concentraţi, monofazate şi respectiv trifazate, în regim permanent sinusoidal.
În capitolul cinci sunt analizaţi cuadripolii şi filtrele electrice de frecvenţă în regim permanent sinusoidal, iar în capitolul şase sunt studiate ecuaţiile liniilor electrice lungi în mărimi instantanee şi în regim permanent sinusoidal.
Capitolul şapte este dedicat studiului regimului periodic nesinusoidal în circuitele electrice liniare cu parametri concentraţi.
Ultimul capitol este destinat studiului regimului tranzitoriu al circuitelor electrice. Sunt analizate, prin metoda directă şi prin metoda operaţională, principalele regimuri tranzitorii întâlnite frecvent în practică în funcţionarea circuitelor electrice de curent continuu şi de curent alternativ.
Obiectivul urmărit în concepţia şi elaborarea acestui curs a constat în sintetizarea unei părţi a teoriei circuitelor electrice care să asigure cunoştinţele de bază necesare pregătirii de specialitate a inginerilor din toate domeniile electrotehnicii.
Autorul va fi recunoscător pentru eventualele observaţii şi sugestii în vederea îmbunătăţirii sau completării unei următoare ediţii a acestui curs.
Autorul
4
C U P R I N S
Prefaţă .............................................................................................................................. 3
1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU
1.1. Structura şi clasificarea circuitelor electrice ............................................................... 91.2. Aplicarea legii conducţiei electrice în studiul circuitelor electrice …….................... 101.3. Caracteristicile tensiune – curent (volt – amper) ale elementelor de circuit ………... 121.4. Surse de energie (generatoare) ……………………………………………………. ... 13
1.4.1. Generatorul de tensiune ………………………………………….…………….. 131.4.2. Generatorul de curent …………………………………………….……………. 14
1.5. Teoremele lui Kirchhoff – forma topologică ………………...................................... 151.6. Transfigurarea circuitelor electrice liniare de curent continuu ………....................... 17
1.6.1. Echivalenţa şi transfiguraţia circuitelor electrice .……………….…………….. 171.6.2. Echivalenţa surselor de tensiune şi de curent …………………….……………. 181.6.3. Circuite serie .……………….…………………………………………………. 191.6.4. Circuite paralel (derivaţie) …………………….………………………………. 211.6.5. Transfigurarea stea poligon complet …………………….…………………….. 23
1.7. Noţiuni de teoria grafurilor ……………….. ………………...................................... 271.7.1. Grafuri. Elemente topologice .…………………………………………………. 271.7.2. Analiza reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff.
Analiza ochiurilor şi a nodurilor. …………..….………………………………. 281.7.3. Matricele de incidenţă ale laturilor la noduri şi ochiuri.
Formele matriceale ale ecuaţiilor lui Kirchhoff .………………………………. 301.8. Metode de analiză a reţelelor electrice liniare de curent continuu ………………….. 33
1.8.1. Analiza reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff ………………………… 331.8.2. Analiza reţelelor electrice cu metoda curenţilor ciclici ...……………………… 361.8.3. Analiza reţelelor electrice cu metoda potenţialelor la noduri ….……………… 38
1.9. Teoremele reţelelor electrice de curent continuu …………………………………… 411.9.1. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent ……………….. 411.9.2. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei). Teorema reciprocităţii .……… 421.9.3. Teorema transferului maxim de putere ………………………………………... 441.9.4. Teorema conservării puterilor. Bilanţul puterilor produse şi consumate …….... 45
5
2. CIRCUITE ELECTRICE ÎN REGIM VARIABIL 2.1. Ipoteze de calcul. Clasificare ...................................................................................... 472.2. Elemente de circuit dipolare ....................................................................................... 48
2.2.1. Clasificarea elementelor de circuit dipolare......................................................... 482.2.2. Rezistorul în regim variabil ………………………............................................. 492.2.3. Bobina (inductorul) în regim variabil ………………………............................. 502.2.4. Condensatorul (capacitorul) în regim variabil ...……………............................. 55
3. CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
3.1. Mărimi variabile. Mărimi sinusoidale ……................................................................ 573.1.1. Mărimi variabile, mărimi periodice, mărimi alternative ………………………. 573.1.2. Mărimi sinusoidale (armonice) ..…………………............................................. 59
3.2. Puteri în circuite monofazate în regim sinusoidal ....................................................... 603.3. Reprezentări simbolice ale mărimilor sinusoidale …………….................................. 64
3.3.1. Reprezentarea geometrică a mărimilor sinusoidale ............................................ 643.3.2. Reprezentarea analitică prin mărimi complexe ………………………………... 703.3.3. Caracterizarea în complex a circuitelor dipolare în r. p. s. .............................................. 723.3.4. Puterea complexă ………………………………................................................ 733.3.5. Forma în complex a legii lui Ohm (ecuaţia lui Joubert) ..................................... 743.3.6. Analiza în complex a circuitului RLC serie. Rezonanţa de tensiuni …………... 763.3.7. Analiza în complex a circuitului RLC paralel. Rezonanţa de curenţi ..………... 78
3.4. Analiza în complex a reţelelor electrice liniare ………….......................................... 803.4.1. Analiza în complex a reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff ………..… 803.4.2. Analiza în complex a reţelelor electrice cu metoda curenţilor ciclici ….……… 823.4.3. Analiza în complex a reţelelor electrice cu metoda potenţialelor la noduri …… 84
3.5. Teorema conservării puterilor complexe, active şi reactive ..………………………. 873.6. Teorema transferului maxim de putere activă ……………………………………… 883.7. Linia monofazată scurtă …………………………………………………………….. 90
3.7.1. Linia monofazată scurtă fără efecte transversale …………………..………..… 903.7.2. Linia monofazată scurtă cu efecte transversale ...…………………..………..… 92
4. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
4.1. Sisteme polifazate simetrice de mărimi sinusoidale ……………............................... 934.2. Sisteme trifazate simetrice de mărimi sinusoidale ……...………............................... 954.3. Conexiunile sistemelor trifazate ……...……….......................................................... 97
4.3.1. Conexiunea în stea a sistemelor trifazate …………………............................... . 994.3.2. Conexiunea în triunghi a sistemelor trifazate .…………................................... . 101
4.4. Analiza circuitelor electrice liniare trifazate, simetrice şi echilibrate în regim permanent sinusoidal ……...……….......................................................... 103
4.4.1. Circuitul în conexiunea stea cu fir neutru …………………………………….. 1034.4.2. Circuitul în conexiunea stea fără fir neutru ..………………………………….. 1054.4.3. Circuitul în conexiunea triunghi ……………………………………………… 1074.4.4. Puteri în reţele trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice ………… 108
4.5. Circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice în regim permanent sinusoidal ……...……….......................................................... 110
4.5.1. Analiza prin metoda directă a circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice ……............................................................. 110
4.5.1.1. Circuitul în conexiunea stea cu fir neutru ……………………………….. 1104.5.1.2. Circuitul în conexiunea fără fir neutru …………………………………... 1114.5.1.3. Circuitul în conexiunea triunghi ………...……………………………….. 113
6
4.5.2. Puteri în circuite trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice .... 1144.6. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate prin
metoda componentelor simetrice ………….…………………………………...….. 1154.6.1. Metoda componentelor simetrice ..………………………………………...….. 1154.6.2. Proprietăţi ale componentelor simetrice ale tensiunilor şi curenţilor ………… 1174.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu
tensiuni nesimetrice prin metoda componentelor simetrice ...………………… 1184.6.3.1. Impedanţe statice şi dinamice ……………………………………………. 1184.6.3.2. Receptorul trifazat echilibrat conectat în stea cu fir neutru ……………… 1194.6.3.3. Receptorul trifazat echilibrat conectat în stea fără fir neutru ……………. 120
4.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate prin metoda componentelor simetrice ……………………………………………... 121
4.6.4.1. Principii generale ……………...…………………………………………. 1214.6.4.2. Studiul regimurilor de avarie ale reţelelor
trifazate cu metoda componentelor simetrice …………………….……… 1234.6.5. Calculul puterilor în circuite trifazate cu ajutorul componentelor simetrice …. 1274.6.6. Filtre pentru componente simetrice ..………….………………………………. 127
5. CUADRIPOLI ELECTRICI
5.1. Generalităţi ............................................................................................................... 1295.2. Ecuaţiile şi parametrii cuadripolilor liniari, pasivi şi reciproci în r.p.s. ………….. 130
5.2.1. Forma fundamentală a ecuaţiilor cuadripolilor. Parametrii fundamentali ......... 1305.2.2. Ecuaţiile în impedanţe ……………………………………................................ 1315.2.3. Ecuaţiile în admitanţe ………….…………………………................................ 1325.2.4. Ecuaţiile hibride …………………………………………................................ 133
5.3. Impedanţe caracteristice ale cuadripolilor liniari, pasivi .......................................... 1335.3.1. Impedanţe de intrare ........................................................................................... 1335.3.2. Impedanţe caracteristice sau iterative ................................................................ 1345.3.3. Impedanţe imagini …………………………………………………………….. 135
5.4. Scheme echivalente al cuadripolilor …………......................................................... 1355.4.1. Schema echivalentă în T .................................................................................... 1355.4.2. Schema echivalentă în π ..................................................................................... 136
5.5. Conexiunile cuadripolilor …………......................................................................... 1375.6. Ecuaţiile canonice ale cuadripolilor liniari, reciproci şi simetrici ………………… 1395.7. Filtre electrice de frecvenţă ……………………………………………………….. 141
6. LINII ELECTRICE LUNGI ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
6.1. Ecuaţiile liniilor lungi în mărimi instantanee. Parametrii lineici primari ................. 1456.2. Ecuaţiile liniilor lungi în regim armonic permanent ………………………………. 1486.3. Undele de tensiune şi de curent ale liniilor lungi în regim sinusoidal …………….. 150
7. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL
7.1. Generalităţi ............................................................................................................... 1537.2. Analiza armonică a mărimilor periodice ………………………………………….. 153
7.2.1. Dezvoltarea în serie Fourier a funcţiilor periodice nesinusoidale …................. 1537.2.2. Forme particulare ale dezvoltării în serie Fourier ………….............................. 1557.2.3. Seria Fourier complexă ...................................................................................... 1567.2.4. Spectrul de frecvenţă al unei mărimi periodice .................................................. 1577.2.5. Proprietăţi ale mărimilor periodice ……...……………………………………. 158
7.3. Puteri în regim periodic nesinusoidal ….………………………………………….. 1597.4. Analiza circuitelor liniare în regim permanent periodic nesinusoidal ……………. 161
7.4.1. Circuite simple cu elemente liniare în regim nesinusoidal ……...…................. 1617.4.2. Circuite liniare trifazate echilibrate sub tensiuni simetrice nesinusoidale ……. 164
7
8. REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE
8.1. Consideraţii generale ………………... .................................................................... 1678.2. Comutare. Teoremele comutării …........................................................................... 1688.3. Analiza circuitelor liniare în regim tranzitoriu prin metoda directă ………………. 169
8.3.1. Circuite electrice liniare de ordinul I ................................................................. 1698.3.1.1. Circuitul RL serie ...................................................................................... 1698.3.1.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RC serie
la o sursă de tensiune constantă .................................................................. 1738.3.2. Circuite electrice liniare de ordinul II ............................................................... 175
8.3.2.1. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o sursă de tensiune constantă ………………………………………….. 175
8.3.2.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o sursă de tensiune sinusoidală .……………………………………….. 180
8.4. Metoda operaţională de analiză a circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu.................................................................................................... 184
8.4.1. Metoda transformatei Laplace ......................... .................................................. 1848.4.1.1. Transformata Laplace. Funcţii original şi imagini Laplace ….................... 1848.4.1.2. Teoreme ale transformatei Laplace pentru stabilirea funcţiilor imagini … 186
8.4.2. Forma operaţională a ecuaţiilor circuitelor electrice liniare ............................... 1898.4.2.1.
Precizări privind aplicarea transformatei Laplace la studiul circuitelor electrice ……...…….................................................. 189
8.4.2.2. Circuite electrice cu condiţii iniţiale diferite de zero ……………………. 191
B i b l i o g ra f i e .................................................................................................................. 193
8
1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU 1.1. STRUCTURA ŞI CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE Un circuit electric este un ansamblu de generatoare (surse de energie) şi
receptoare cu legături electrice între ele. Un ansamblu de circuite cu legătură electrică între ele constituie o reţea electrică.
Un circuit electric de curent continuu este constituit, în general, dintr-un ansamblu de surse de energie şi rezistoare, parametrii care intervin în acest caz fiind rezistenţele rezistoarelor şi tensiunile electromotoare sau curenţii surselor de tensiune, respectiv de curent, precum şi rezistenţele sau conductanţele interioare ale acestor surse.
O latură a unei reţele electrice reprezintă o porţiune neramificată cuprinsă între două extremităţi numite noduri. O succesiune de laturi după un contur închis constituie un ochi sau o buclă a reţelei electrice.
Structura oricărei reţele electrice este complet determinată dacă se cunosc: numărul de laturi ( l) , numărul de noduri (n) şi numărul ochiurilor sau buclelor independente sau fundamentale (o).
Se numeşte ochi independent sau fundamental (buclă independentă sau fundamentală), acel ochi (buclă) care conţine cel puţin o latură necomună cu alte ochiuri
(bucle) ale reţelei. Există teorema lui Euler care dă numărul ochiurilor (buclelor) independente:
(3)
(4) [1]
R1
R5
E5
[2]
R2
R3R4
E6 R6[3]
(1)
(2)
o = l – n + 1 (1.1)
Pe schema reţelei electrice de curent continuu din figura 1.1, s-au notat astfel:
− (1), (2), (3), (4) – noduri, n = 4; − 1, 2, ..., 6 – laturi, l = 6; − [1], [2], [3] – ochiuri independente; − R1, R2, ... , R6 – rezistoare, − E5, E6 – generatoare de tensiune.
Cu relaţia (1.1) se calculează numărul ochiurilor independente: o = 6 – 4 +1 = 3. Fig. 1.1.
Clasificarea circuitele electrice se poate face după mai multe criterii, cele mai
importante fiind prezentate în continuare.
a) După natura elementelor ce intră în structura circuitelor există: – circuite liniare; – circuite neliniare; – circuite parametrice.
9
În circuitele neliniare, parametrii elementelor de circuit depind de curent (tensiune), iar în circuitele parametrice aceştia depind şi de timp.
b) După regimul de funcţionare se deosebesc: – circuite de curent continuu (c.c.), caracterizate de regimul staţionar în
care există numai curent electric de conducţie în conductoare; – circuite de curent alternativ (c.a.), caracterizate de regimul cvasistaţionar
în care există curent electric de conducţie în conductoare şi curent electric de deplasare în dielectricii condensatoarelor din circuit.
c) În raport cu sursele există: – circuite active – conţin surse de energie; – circuite pasive – nu conţin surse de energie.
Laturile de circuit care conţin surse se numesc laturi active (laturile 5 şi 6 din schema prezentată în fig. 1.1), iar cele care nu conţin surse se numesc laturi pasive.
d) După dimensiunile conductoarelor pot exista: – circuite filiforme – dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt mult
mai mici decât cele longitudinale şi sunt caracterizate prin aceea că densitatea de curent este uniform repartizată pe secţiunea conductorului;
– circuite masive – dimensiunile transversale ale conductoarelor sunt comparabile cu cele longitudinale.
e) După localizarea parametrilor circuitului pot exista: – circuite cu parametri concentraţi; – circuite cu parametri distribuiţi.
f) După legătura cu exteriorul circuitele pot fi: – izolate – nu au borne de legătură cu exteriorul, – neizolate – au borne de legătură cu exteriorul.
Circuitul care are numai două borne de legătură cu exteriorul se numeşte dipol, circuitul care are 3 borne de legătură cu exteriorul se numeşte tripol, circuitul care are 4 borne de legătură cu exteriorul se numeşte tetrapol sau cuadripol, ş.a.m.d.
1.2. APLICAREA LEGII CONDUCŢIEI ELECTRICE ÎN STUDIUL CIRCUITELOR ELECTRICE. ASOCIEREA SENSURILOR DE REFERINŢĂ PENTRU TENSIUNI ŞI CURENŢI.
Latura de circuit pasivă
Se consideră un conductor filiform, omogen, respectiv o latură pasivă de circuit electric (fig. 1.2,a). Schema electrică echiva-lentă cu parametri concentraţi a laturii de circuit se prezintă în figura 1.2,b).
(1)
u12
(2) (2)
V1 i
⇔ u
(1) i
u
V2 a) b)
R
Prin integrarea formei locale a legii conducţiei electrice ( JE ρ= ) de–a lungul conductorului laturii între extremităţile sale (1) şi (2), se obţine: Fig. 1.2.
10
∫∫∫∫ ρ=ρ==2
1
2
1
2
1
2
1AdsdsA
AJsdJρsdE i
unde AJ ⋅=i este intensitatea curentului, repartizat uniform pe secţiunea transversală
de arie A a conductorului, RAdsρ
2
1
=∫ este rezistenţa acestuia şi 12
2
1
usdE =∫ este
tensiunea electrică de-a lungul conductorului laturii. S-a obţinut astfel relaţia lui Ohm:
iu R12 = . (1.1)
Relaţia (1.1) este valabilă, atât în regim electrocinetic staţionar, cât şi în regim variabil în timp. În regim staţionar, câmpul fiind potenţial, tensiunea electrică nu depinde de curba de-a lungul căreia se face integrarea (de drum), ci numai de extremităţile acesteia. Dacă integrala de linie a intensităţii câmpului electric se face în lungul unei curbe care trece direct prin aer între bornele laturii de circuit, tensiunea electrică corespunzătoare, egală cu diferenţa potenţialelor bornelor respective, se numeşte tensiune la borne, notată simplu cu u:
u12 = u = V1 – V2 (1.2)
În cazul unui circuit de curent continuu (regim staţionar), forma integrală a legii conducţiei electrice se scrie sub forma:
U = RI (1.3) În regim variabil când, în general, poate să intervină, atât o componentă
potenţială Ep, cât şi una solenoidală Es a câmpului electric, tensiunea la borne corespunde numai componentei potenţiale a intensităţii câmpului electric, nemaifiind egală cu tensiunea în lungul axei conductorului filiform. În acest caz, forma locală a legii conducţiei electrice pentru conductoare omogene este
JEE sp ρ=+ (1.4)
şi prin integrare, ( ) ∫∫ =+2
1
2
1
sp sdJρsdEE , se obţine:
u + e = R i , (1.5)
unde ∫=2
1
p sdEu este tensiunea la borne, iar ∫=2
1s sdEe este tensiunea electromotoare
corespunzătoare părţii solenoidale sE a câmpului electric.
11
(Ei) ⇔
(2)
u
(1)
R
i
(2)
(1)
b)
Latura de circuit activă. e Se consideră o porţiune filiformă, nera-
mificată dintr-un circuit electric oarecare, cuprinsă între bornele (1) şi (2) şi în care acţionează un câmp imprimat (Ei ≠ 0), respectiv o sursă de energie electrică (fig. 1.3,a).
e
Ecuaţia legii conducţiei electrice în forma integrală se scrie
a) Fig. 1.3.
( )AdssdEE
2
1
2
1i ∫∫ ρ=+ i , respectiv u12 + e = R i, (1.6)
sdE2
1i∫=e fiind t.e.m. a sursei.
În figura 1.3,b) se prezintă schema echivalentă a laturii active cu rezistenţa conductorului R ca parametru concentrat.
O problemă importantă la scrierea ecuaţiilor circuitelor electrice este asocierea sensurilor de referinţă pentru curenţi şi tensiuni. Pentru fiecare din aceste mărimi se pot alege independent câte un sens de referinţă, respectiv de integrare. Considerând curentul i dintr-o latură de circuit şi tensiunea u la bornele acestei laturi, se pot adopta două convenţii de asociere a sensurilor de referinţă pentru aceste mărimi, după cum urmează:
1 Convenţia de la receptoare – faţă de una din bornele laturii, tensiunea la borne şi curentul au acelaşi sens sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne este de la borna de intrare la borna de ieşire a curentului, aşa cum se arată în figura 1.4. Prin
aplicarea legii conducţiei electrice laturilor de circuit active prezentate în această figură, rezultă ecuaţiile:
e u
i (1)
(2)
R
e u
i (1)
(2)
R a) u + e = R i, a) b) b) u – e = R i.
2 Convenţia de la generatoare – faţă de una din bornele laturii, tensiunea la borne şi curentul au sensuri opuse sau, altfel spus, sensul tensiunii la borne, este de la borna de ieşire la borna de intrare a curentului, aşa cum se arată în figura 1.5. Ecuaţiile care se obţin prin aplicarea legii conducţiei electrice în acest caz sunt:
Fig. 1.4.
u e
u
(2)
i
R
(1)
e
b)
i
R
(1)
(2)
a)
a) – u + e = Ri, b) – u – e = Ri. Fig. 1.5.
1.3. CARACTERISTICILE TENSIUNE – CURENT (VOLT – AMPER) ALE ELEMENTELOR DE CIRCUIT
Prin caracteristica tensiune – curent sau volt – amper (V – A) a unui element de
circuit (rezistor, sursă, etc.) se înţelege dependenţa dintre tensiunea u la borne şi intensitatea curentului i care-l străbate, u = u(i).
u
0 i
u
i 0
Rd>0 Rd<0
b)
Fig. 1.6.
Caracteristicile tensiune – curent pot fi liniare (fig. 1.6,a) sau neliniare (fig. 1.6,b), după cum elementele de circuit respective satisfac sau nu legea lui Ohm. Corespunzător, şi elementele de circuit se împart în liniare şi neliniare. Pe baza caracteristicii tensiune –curent, pentru elementele de circuit neliniare (rezistoare) se definesc (fig. 1.7):
a)
12
– rezistenţa statică
α=== tgkRR sst iu , (1.7)
– rezistenţa dinamică (diferenţială)
tgβklimR s0d ===→ di
du∆i∆u
∆i (1.8)
care este proporţională cu panta tangentei. S-a notat cu
)mm/A(S)mm/V(Sk
i
us = raportul scărilor grafice pentru u şi i.
Atât rezistenţa statică Rst , cât şi cea dinamică Rd depind de poziţia punctului P pe caracteristică, respectiv de valorile tensiunii şi ale curentului. Spre deosebire de rezistenţa statică Rst care este totdeauna pozitivă, rezistenţa dinamică Rd poate fi pozitivă (porţiunile ascendente ale caracteristicii), sau negativă (porţiunile descendente ale caracteristicii, fig. 1.6,b).
Caracteristicile tensiune – curent ridicate prin puncte în curent continuu se numesc caracteristici statice, spre deosebire de caracteristicile dinamice ridicate pentru regimuri variabile.
Deoarece rezistenţa elementelor de circuit neliniare depinde de valorile tensiunii aplicate sau curentului ce le străbat, pentru rezolvarea circuitelor neliniare de c.c. este necesar să se cunoască caracteristicile tensiune–curent ale elementelor ce intervin.
În practică se întâlnesc un număr mare de elemente de circuit neliniare cu caracteristici tensiune–curent dintre cele mai variate. La unele dintre acestea neliniaritatea se datorează influenţei temperaturii rezultate prin trecerea curentului asupra rezistivităţii electrice (de exemplu, lămpile cu incandescenţă). Există şi dispozitive la care neliniaritatea caracteristicilor se datorează unor procese fizice specifice care au loc (de exemplu: arcul electric, diferite dispozitive electronice semiconductoare, etc.).
1.4. SURSE DE ENERGIE (GENERATOARE)
1.4.1. Generatorul de tensiune
Generatorul independent de tensiune, numit şi generator ideal de tensiune, este elementul activ de circuit a cărui tensiune la borne nu depinde de intensitatea curentului, ecuaţia caracteristică fiind în general
u = e(t) . (1.9)
În planul (u,i) caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă cu abscisa (fig. 1.8). Ca element de circuit, generatorul
independent de tensiune este caracterizat de modul de variaţie în timp a tensiunii electro-motoare e(t).
Generatorul independent de tensiune continuă sau generatorul ideal de tensiune continuă are t.e.m. constantă în timp,
e(t) = E. (1.10)
0 β
∆u
∆i
u
Fig.1.7. i
α
P
0
e(t) u
i
i
u
e(t)
Fig. 1.8.
13
Generatorul real de tensiune continuă este caracterizat de tensiunea electromotoare E şi de rezistenţa interioară Rg (fig. 1.9). Variaţia tensiunii la borne cu intensitatea curentului se datorează căderii de tensiune pe rezistenţa interioară Rg.
Cu legea lui Ohm, se obţine:
E − U = RgI (1.11)
Caracteristica de funcţionare este o dreaptă ce nu trece prin origine. Dacă Rg = 0, avem generatorul ideal de tensiune continuă.
Înmulţind ambii termeni ai ecuaţiei (1.11) cu I, se obţine relaţia dintre puterile generatorului real de tensiune continuă
0 I
E Rg
E U
I
E/Rg
U EI = UI + RgI2,
respectiv, Pg = P + PJ. (1.12)
Puterea electrică totală, Pg = EI, produsă de generator este dată de suma dintre puterea electrică P = UI cedată pe la borne şi puterea electrică PJ = RgI
2 pierdută prin efect Joule pe rezistenţa interioară a acestuia.
Fig. 1.9. 1.4.2. Generatorul de curent Generatorul independent (ideal) de curent sau injectorul ideal de curent este
elementul activ de circuit care are intensitatea curentului independentă de tensiune, ecuaţia caracteristică fiind:
i = ig(t) (1.13)
În planul (u,i), caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă la axa tensiunii (fig. 1.10).
Ig Gg U
I
i
ig(t)
u
0
ig(t) u
i
Ig I
U
0
Fig. 1.11. Fig. 1.10.
Ca element de circuit, generatorul independent de curent este complet caracterizat de modul de variaţie în timp a curentului injectat ig(t).
Generatorul ideal de curent continuu are curentul constant în timp, independent de valoarea tensiunii:
ig(t) = Ig. (1.14)
La generatorul real de curent continuu, curentul variază cu tensiunea la borne datorită conductanţei interioare Gg nenulă a acestuia (fig. 1.11). Aplicând teorema a I-a Kirchhoff circuitului din figura 1.11, se obţine:
14
Ig − I = GgU. (1.15)
Generatorul sau injectorul real de curent continuu este caracterizat de curentul injectat Ig şi de conductanţa sa interioară Gg.
Se poate observa că ecuaţiile căderii de tensiune la generatorul real de tensiune (1.11) şi reducerii curentului la generatorul real de curent (1.15) sunt duale, corespondenţa mărimilor duale fiind:
E Ig; U Ι; Rg Gg. (1.16)
Ca elemente de circuit, sursele de energie electrică admit modelele duale ale generatorului de tensiune şi generatorului de curent.
1.5. TEOREMELE LUI KIRCHHOFF – FORMA TOPOLOGICĂ Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă la curenţii din nodurile unei reţele
electrice şi este o consecinţă a legii conservării sarcinii electrice libere în regim staţionar sau cvasistaţionar: intensitatea curentului electric printr-o suprafaţă închisă Σ este nulă:
∫Σ
Σ == 0AdJi . (1.17)
Dacă suprafaţa Σ conţine în interior un nod (k) al unei reţele electrice (fig. 1.12), fiind străbătută de conduc-toarele parcurse de curenţii ij ce concură în nodul (k), relaţia (1.17) se scrie:
0)k(j
j =∑∈
i . (1.18)
Suma algebrică a curenţilor prin laturile j conectate la nodul (k) al unei reţele electrice este nulă.
În relaţia (1.18), curenţii ij se iau cu semnul "+" sau "–" după cum sensul acestora coincide sau este opus sensului normalei pozitive la suprafaţa Σ. Altfel spus, curenţii ij se iau cu "+" dacă sunt orientaţi de la nod şi cu "–" dacă sunt orientaţi către nod.
Într-un caz mai general, suprafaţa închisă Σ poate cuprinde o parte oarecare dintr-o reţea, intersectând un anumit număr de laturi ale acesteia. În acest caz suprafaţa Σ este numită şi secţiune. Pentru exemplul prezentat în figura 1.13, teorema a I-a Kirchhoff se scrie:
– i1 + i2 – i3 + i4 = 0.
Într-o reţea electrică cu n noduri, cu teorema a I-a Kirchhoff se poate obţine un sistem liniar independent cu n –1 ecuaţii. Prin urmare, teorema a I-a Kirchhoff se aplică numai la n –1 noduri ale reţelei pentru a obţine un sistem independent de ecuaţii pentru curenţii din laturile reţelei.
Σ ij
i1 i2
···(k)
ip
Fig. 1.12. · · ·
i1
Σ
i4 i3
i2
Fig. 1.13.
15
A doua teoremă a lui Kirchhoff se referă la tensiunile în lungul laturilor unui ochi de reţea. Se alege un sens arbitrar de integrare, respectiv un sens de referinţă al ochiului, reprezentat printr-o săgeată (fig. 1.14). Se integrează forma locală a legii conducţiei electrice pe conturul Γ trasat de-a lungul laturilor ochiului: e1R1i1
( )∫ ∫Γ Γ
=+ sdJρsdEE i Γ, (1.19)
în care
∫Γ
= 0sdE , (1.20)
deoarece E este partea potenţială a câmpului electric. În ecuaţia (1.19), despărţind conturul de integrare Γ pe porţiuni Cj corespun-
zătore laturilor ochiului, se obţine:
[ ][ ]
[ ][ ]∫ ∑ ∑∫
∑∫ ∑∫
Γ ∈ ∈
∈ ∈Γ
==
==
mj mjjj
Cj j
jj
mj C mjjjiji
RAdsρsdJρ
;sdEsdEj
ii
e
şi ecuaţia devine
[ ][ ]∑ ∑∈ ∈
=mj mj
jjj R ie . (1.21)
Suma algebrică a tensiunilor electromotoare din laturile unui ochi de reţea este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune de pe rezistenţele laturilor ochiului. Atât tensiunile electromotoare ej, cât şi căderile de tensiune Rjij se iau cu semnul "+" dacă sensul lor coincide cu sensul de referinţă ales pentru ochi şi cu semnul "–" dacă sensul lor este opus sensului ochiului.
Dacă se efectuează integrarea pe porţiuni corespunzătoare laturilor, integrala din membrul stâng al ecuaţiei (1.20) este:
∫ ∑∑ ∫Γ ∈∈
==]m[j
j
]m[j
j
C
j sdEsdEj
u , (1.22)
unde ∫=jC
jjj sdEu este tensiunea la bornele laturii j. Ecuaţia (1.20) devine:
∑∈
=]m[j
j 0u (1.23)
Relaţia obţinută reprezintă forma topologică a teoremei a II-a Kirchhoff: pentru un ochi oarecare [m] al unei reţele electrice, suma algebrică a tensiunilor uj la bornele laturilor este nulă.
Deoarece sumarea tensiunilor din (1.23) este algebrică, ţinându-se cont de sensul lor în raport cu sensul de referinţă al ochiului, se impune ca pentru toate laturile reţelei să se adopte aceeaşi convenţie de stabilire a sensurilor de referinţă pentru curenţii şi tensiunile la bornele acestora.
uj
[m] Γ
ij
u1
ejRj
Fig. 1.14.
16
De exemplu, pentru situaţia din figura 1.15, unde s-a adoptat convenţia de la receptoare, teorema a II-a Kirchhoff se scrie:
u1 – u2 + u3 – u4 = 0. (1.24)
Pentru a obţine un sistem de ecuaţii indepen-dente pentru tensiunile laturilor unei reţele electrice, teorema a II-a Kirchhoff se aplică ochiurilor sau buclelor independente. Prin urmare, pentru o reţea cu n noduri şi l laturi, cu teorema a II-a Kirchhoff se obţin un număr de ecuaţii independente egal cu numărul ochiurilor independente: o = l – n +1.
u3
[m]
u1
u4 u2
Fig. 1.15.
Sistemul complet de ecuaţii liniar independente al unei reţele electrice cu n noduri şi l laturi, obţinut prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff la nodurile şi ochiurile reţelei, are un număr de
(n – 1) + (l – n + 1) = l (1.25)
ecuaţii, egal cu numărul laturilor.
1.6. TRANSFIGURAREA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU
1.6.1. Echivalenţa şi transfiguraţia circuitelor electrice
Bornele prin care un circuit electric se poate lega cu alte circuite electrice se numesc borne de acces sau poli.
Un circuit cu mai multe borne de acces se numeşte circuit electric multipol sau multipol.
V1
U12
Dipol I2 I1 (1) (2)
V2 În particular, un circuit cu două borne de acces se numeşte dipol, cu trei borne de acces – tripol, iar unul cu patru borne de acces – tetrapol sau cuadripol (fig. 1.16).
V(2) 2
(3)V1
U12
Tripol (1) I1
I2
V3
U31
U23
I3 Un sistem complet de relaţii independente între curenţii şi tensiunile (sau potenţialele) accesu-rilor unui multipol se numeşte sistem de ecuaţii ale multipolului.
Doi multipoli sunt echivalenţi şi se pot substitui unul altuia dacă au sisteme de ecuaţii echivalente. Pentru ca două sisteme de ecuaţii să fie echivalente este necesar ca ele să conţină aceleaşi necunoscute (variabile). Prin urmare, ca doi multipoli să fie echivalenţi este necesar ca ei să aibă acelaşi număr de accesuri.
I1
V2
(3)
(2)
V1
U12
Cuadripol (1)
I2
Fig. 1.16.
U23
I3 I4
(4) V4 U41 U34
V3
Înlocuirea unui multipol (circuit) cu un multipol (circuit) echivalent se numeşte transfigurare.
17
1.6.2. Echivalenţa surselor de tensiune şi de curent Cum s-a văzut, un generator real de tensiune se compune dintr-o sursă ideală de
tensiune electromotoare E, având tensiunea la borne independentă de curentul debitat I, în serie cu rezistenţa Rg , reprezentând rezistenţa interioară a generatorului (fig. 1.17,a).
Ig
I
U
Gg
E
U
I Rg
b)a)
Fig. 1.17.
Aplicând legea lui Ohm, tensiunea la borne se scrie:
U = E – Rg I . (1.26)
De asemenea, generatorul real de curent poate fi reprezentat de o sursă ideală de curent electric Ig, având intensitatea curentului independentă de tensiunea la borne, legată în derivaţie cu un rezistor de conductanţă Gg, reprezentând conductanţa interioară a generatorului (fig. 1.17,b). Aplicând teorema a I-a a lui Kirchhoff, avem
I = Ig – Gg U (1.27)
din care, tensiunea la borne rezultă
IG1I
G1U
gg
g
−= . (1.28)
Ecuaţia (1.28) satisfăcută de tensiunea U şi curentul I de la bornele dipolului din figura 1.17,b) este echivalentă cu ecuaţia (1.26) dacă şi numai dacă
gg R
1G = şi g
g REI = . (1.29)
Prin urmare, orice sursă de energie are două scheme (circuite) echivalente: una serie, ca sursă de tensiune (fig. 1.17,a) şi alta derivaţie, ca sursă de curent (fig. 1.17,b). Pentru ca sursa de tensiune să fie echivalentă cu cea de curent este necesar şi suficient să fie satisfăcute relaţiile (1.29).
Se observă că sursa de curent devine ideală dacă Gg = 0 (rel. 1.27). De asemenea, se constată că, curentul generatorului de curent Ig este egal cu curentul de scurtcircuit al generatorului de tensiune echivalent, rel. (1.29).
Schemele echivalente ale surselor de energie electrică din figura 1.17 a) şi b) se mai numesc şi schema echivalentă serie, respectiv schema echivalentă paralel sau derivaţie.
18
1.6.3. Circuite serie
Circuitele ale căror elemente sunt conectate astfel încât toate sunt parcurse de acelaşi curent, se numesc circuite în conexiunea serie sau prescurtat, circuite serie.
Pentru a obţine un rezultat cât mai general, se presupune că fiecare din cele n elemente ale circuitului serie este o sursă, deci are t.e.m. şi rezistenţă, reprezentată prin schema echivalentă serie (fig. 1.18).
⇔
UU1
I R1E1
U2
R2E2
Uk
RkEk
Un
RnEn
U
I ReEe
Fig. 1.18.
Se vede imediat că tensiunea la bornele circuitului serie este
∑=
=+++++=n
1k
knk21 UU...U...UUU . (1.30)
Aplicând legea conducţiei electrice, tensiunea la bornele elementului k al circuitului serie este:
Uk = RkI – Ek , k = 1, 2, …, n. (1.31)
Înlocuind în relaţia anterioară, rezultă:
∑∑==
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
n
1k
k
n
1k
k ERIU (1.32)
Pentru dipolul echivalent, legea conducţiei electrice dă:
ee ERIU −⋅= . (1.33)
Prin identificare, din ecuaţiile (1.32) şi (1.33) rezultă:
.EE;RRn
1k
ke
n
1k
ke ∑∑==
== (1.34)
Aşadar, circuitul serie are o rezistenţă echivalentă Re egală cu suma rezistenţelor elementelor înseriate şi o t.e.m. echivalentă Ee egală cu suma t.e.m. ale elementelor înseriate. În Ee însumarea se face algebric, luându-se cu semnul "+" t.e.m. care au acelaşi sens cu curentul şi cu semnul "–" cele care au sens contrar curentului.
Se consideră circuitul serie cu surse echivalente de curent (fig. 1.19), unde
kk
k
kgk
R1Gşi
REI == .
19
UU1
Ig1
I G1
U2
Ig2
G2
Uk
Igk
Gk
Un
Ign
G1
Ige
U
IGe
⇔
Fig. 1.19.
Aplicând teorema a I-a Kirchhoff, curentul prin rezistorul de conductanţă Gk
rezultă: Ik = I – Igk , (1.33)
iar tensiunea la bornele dipolului k este
gkkkk
kk I
G1I
G1
GI
U −== . (1.34)
Înlocuind în relaţia tensiunii la borne, se obţine:
∑∑ ∑== =
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
n
1k
gkk
n
1k
n
1k kk I
G1I
G1UU . (1.35)
Tensiunea la bornele de acces ale dipolului echivalent este
.IG1I
G1U ge
ee−= (1.36)
Prin identificare, din ecuaţiile (1.35) şi (1.36), rezultă:
.R
IRI;
G1
G1
n
1k
k
n
1k
gkk
ge
n
1k ke ∑
∑∑
=
=
=
== (1.37)
U
I Re
UU1
I R1
U2
R2
Uk
Rk
Un
Rn⇔
Fig. 1.20. În cazul particular al circuitului format din n rezistoare conectate în serie (fig.
1.20), rezultă evident:
20
∑=
=n
1kke RR (1.38)
sau, funcţie de conductanţe, .G1
G1
n
1k ke∑=
= (1.39)
Distribuţia tensiunilor pe rezistoarele conectate în serie se face proporţional cu rezistenţa acestora. Astfel, din relaţia curentului
n
n
k
k
2
2
1
1
e RU...R
U...RU
RU
RUI ====== , (1.40)
tensiunea la bornele rezistorului k rezultă:
.URRU
e
kk = (1.41)
Un caz particular, întâlnit frecvent în practică, este divizorul rezistiv de tensiune a cărui schemă este prezentată în figura 1.21. Tensiunea U1 aplicată la intrarea circuitului este divizată pe cele două rezistoare înseriate R1 şi R2, astfel că tensiunea obţinută la ieşire, U2, se scrie imediat pe baza relaţiei (1.41) astfel:
1'
1
U2
U1
I
R2
R1
2
121
22 URR
RU+
= (1.42) 2'
Fig. 1.21.
1.6.4. Circuite paralel (derivaţie)
Circuitele formate din elemente cărora li se aplică aceeaşi tensiune ca urmare a faptului că sunt conectate la aceeaşi pereche de borne se numesc circuite în conexiunea derivaţie, prescurtat, circuite derivaţie sau paralel.
Considerăm circuitul format din n surse reale reprezentate prin surse de tensiune, figura 1.22.
U
I
R1E1 I1
R2E2 I2
RkEk Ik
RnEn In
U
I ReEe
⇔
Fig. 1.22.
Aplicând legea conducţiei electrice, curentul din latura k rezultă:
k
k
kkkkk R
ER1UIIREU +=⇒=+ . (1.43)
21
Cu teorema a I-a Kirchhoff se obţine:
∑∑∑===
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
n
1k k
kn
1k k
n
1kk R
ER1UII . (1.44)
Pentru dipolul echivalent, expresia curentului este
.ER1U
R1I e
ee+= (1.45)
Prin identificarea ecuaţiilor (1.44) şi (1.45) rezultă:
.G
EGE;
R1
R1
n
1kk
n
1kkk
e
n
1k ke ∑
∑∑
=
=
=
== (1.46)
Se consideră cazul când sursele sunt reprezentate prin schema echivalentă cu generatoare de curent, figura 1.23. Cu teorema a I-a Kirchhoff se scrie şi în acest caz
a
Ig1
I1 G1
Ig2I2 G2
IgkIk G2
IgnIn G2
b
U
IIge
U
IGe⇔ a b
Fig. 1.23.
∑=
=n
1kkII (1.47)
unde, Ik = GkU + Igk, k = 1, 2, ..., n.
Rezultă astfel: (1.48) .IUGIn
1kgk
n
1kk ∑∑
==
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
Pentru dipolul echivalent curentul este
I = GeU + Ige. (1.49)
Prin identificare, din ecuaţiile (1.48) şi (1.49) rezultă:
∑∑==
==n
1kgkge
n
1kke .II;GG (1.50)
22
În cazul particular a n rezistoare legate în paralel, rezultă în mod evident
∑∑==
==n
1k k
n
1ke
ke R1G sau
R1
R1 . (1.51)
Dacă cele n rezistoare au valori egale, Re = R/n.
Pentru două rezistoare R1 şi R2 legate în paralel, 21
21e RR
RRR+
= .
1.6.5. Transfigurarea stea – poligon complet
Un circuit în care la fiecare bornă de acces este conectată o singură latură care o
uneşte cu un nod comun (0), se numeşte circuit în conexiunea stea sau, prescurtat, circuit stea (fig. 1.24,a). Punctul (0) comun tuturor laturilor se numeşte punct neutru.
Un circuit care are între fiecare pereche de borne de acces câte o latură se numeşte circuit în conexiunea poligon complet sau circuit poligon complet (fig. 1.24,b).
ijk
Gjk
i1
E1
R1U1
(1)
ij
(j)
Rj
Uj
0 Uk
Rk
Ek(k)
UnEn
Rn
(n)
Ej
inik
ik
iji1
in
(1) ( j)
(k) (n)
G1j E1j
Ejk
Gkm Ekm
Gm1
Em1G1k
E1k
Gjm
Ejm
i1j
ijn
a) b)
Fig. 1.24.
a) Circuitul în conexiunea stea. Intensitatea curentului Ij care intră pe la borna (j) a circuitului stea, în baza legii lui Ohm se scrie:
Ij = Gj (Uj + Ej) ; j = 1, 2, …, n. (1.52)
Tensiunea la bornele laturii j este:
Uj = Vj – V0, j = 1, 2, …, n. (1.53)
Teorema I Kirchhoff pentru nodul (0) se scrie:
.0Im
1kj =∑
=
(1.54)
Înlocuind în această relaţie curentul Ij dat de rel.(1.52) şi tensiunea Uj dată de rel.(1.53), se poate deduce potenţialul punctului neutru V0 astfel:
23
⇒=+−∑=
0)EVV(G j0
m
1j
jj .
G
EGVG
Vm
1j
j
m
1j
jj
m
1j
jj
0
∑
∑∑
=
==
+
=
Înlocuind V0 în (1.52) scrisă sub forma
( )[ ]j0jjj EVVGI +−= şi schimbând indicii, rezultă succesiv:
, ,m,2,1jEGEGVGVGG
G
EG
EG
G
VGVGI
m
1k
m
1k
m
1k
m
1k
jkkkkkjkm
1l
l
j
jm
1k
k
m
1k
kk
m
1k
k
m
1k
kk
jjj
…=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−=
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−−=
∑ ∑ ∑ ∑∑
∑
∑
∑
∑
= = = =
=
=
=
=
=
sau, având în vedere că Vj – Vk = Ujk, se poate scrie
( )( )( ) ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+= ∑ ∑
∑ ≠=
≠=
=
m
jk1k
m
jk1k
kjkjkkm
1l
l
jj EEGUG
G
GI
În final, expresia curentului luat de circuitul în stea pe la borna (j) se pune sub forma:
∑∑
∑∑ ≠
=
=
≠=
=
−+=m
)jk(1k
kjm
1l
l
kjm
)jk(1k
jkm
1l
l
kjj )EE(
G
GGUG
GGI (1.55)
b) Circuitul cu conexiune poligon complet. Intensitatea curentului din latura jk a circuitului poligon complet, pe baza legii lui Ohm, se scrie:
Ijk = Gjk(Ujk + Ejk). (1.56)
Expresia curentului luat de circuitul poligon complet pe la borna (j) se deduce aplicând teorema a I-a Kirchhoff, astfel:
( ) ( ) ( )
∑∑∑≠=
≠=
≠=
+==m
jk1k
jkjkjk
m
jk1k
jk
m
jk1k
jkj EGUGII , j =1, 2,…,m. (1.57)
Din identificarea expresiilor curenţilor (1.55) şi (1.57) rezultă că cele două circuite, stea şi poligon complet, sunt echivalente dacă sunt satisfăcute relaţiile:
∑=
= m
1ll
kjjk
G
GGG , j, k = 1, 2,…, m, j ≠ k (1.58)
24
( )kj
m
1km
1l
l
kjm
1k
jkj EEG
GGEG −=∑∑
∑=
=
=
, j = 1, 2,…,m, k ≠ j. (1.59)
Se observă că Gjk = Gkj şi deci, dacă se dă circuitul stea prin conductanţele sale Gk şi t.e.m. Ek, se pot calcula toate conductanţele Gjk ale laturilor circuitului în poligon complet, precum şi sursele acestuia Ejk care satisfac relaţiile:
Ejk = Ej – Ek, j,k = 1, 2,…, m; j ≠ k. (1.60)
Trecerea de la un circuit în poligon complet la circuitul echivalent în stea nu este totdeauna posibilă deoarece numărul n al ecuaţiilor independente (1.58) este, în general, mai mare decât numărul m al conductanţelor Gk (rezistenţelor Rk) ale circuitului în stea, cu excepţia cazului când m = 3. Rezultă că, în timp ce transfigurarea stea-poligon complet este întotdeauna posibilă, transfigurarea inversă, poligon – stea este posibilă numai în cazul în care poligonul este un triunghi.
În cazul particular m = 3, avem transfigurările stea – triunghi şi invers, triunghi – stea (fig. 1.25).
Transfigurarea stea - triunghi. Conductanţele şi tensiunile electromotoare ale circuitului echivalent în triunghi se determină cu relaţiile (1.58) şi (1.60), respectiv:
(1)
(3)
E1
R1
R2
E2
R3E3
(2)
R12
E12
R23E23
R31
E31
(3) (2)
Fig. 1.25.
(1)
;GGGGGG,GGG
GGG,GGGGGG
321
3131
321
3223
321
2112 ++
=++
=++
= (1.61)
.EEE,EEE,EEE 133132232112 −=−=−= (1.62)
Cu rezistenţe, relaţiile de echivalenţă (1.61) pot fi scrise sub forma:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
2
313131
1
323223
3
212112
RRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
(1.63)
25
Transfigurarea triunghi – stea. Conductanţele sau rezistenţele circuitului în stea echivalent unui circuit triunghi dat, se obţin din sistemele de ecuaţii (1.61) şi respectiv (1.63). Expresiile lor pot fi puse sub forma:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
;GGGGGG
,GGGGGG
,GGGGGG
12
231323133
13
231223122
23
131213121
(1.64)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
231312
23133
231312
23122
231312
12131
RRRRRR
;RRRRRR
;RRRRRR
(1.65)
Tensiunile electromotoare se determină cu rel. 1.59, care pentru m = 3, se scriu:
( ) jk;3,2,1j,EEGEG3
1k
3
1kkjjkjkjk ≠=−=∑ ∑
= =
respectiv, ( ) ( )3113211213131212 EEGEEGEGEG −+−=+
( ) ( )3223122123232121 EEGEEGEGEG −+−=+
Se mai consideră o condiţie de forma
G1E1 + G2E2 + G3E3 = 0 (1.66)
şi t.e.m. ale circuitului stea echivalent circuitului triunghi dat, rezultă:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
321
3223113
321
2112332
321
1331221
GGGEGEGE
;GGGEGEGE
;GGGEGEGE
(1.67) sau,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
3232313133
2121232322
1313121211
EGEGEG
EGEGEG
EGEGEG
(1.68)
Aceste relaţii corespund următoarelor relaţii între curenţii de scurtcircuit ai laturilor stelei, respectiv triunghiului (când pe laturi sunt generatoare de curent, fig.1.26):
.III;III;III 23s31s3s12s23s2s31s12s1s −=−=−= (1.69)
(1)
(2)
Is1
Is2
G2
G3
Is3
G1
(3) (3)
Is12
G12G23
G31
Is23
Is31
(2)
(1)
Fig. 1.26
26
1.7. NOŢIUNI DE TEORIA GRAFURILOR
1.7.1. Grafuri. Elemente topologice. În teoria circuitelor electrice prezintă un interes deosebit proprietăţile topologice
ale reţelelor electrice, respectiv modul de interconectare a diferitelor laturi ale reţelei. Aceste proprietăţi se pot urmări direct în schema electrică sau, mai comod, în graful circuitului. Graful se obţine din schema electrică înlocuind elementele componente sau laturile acesteia prin linii simple. Liniile care se obţin se numesc laturile grafului, iar extremităţile acestora se numesc nodurile grafului. Numărul l al laturilor şi n al nodurilor alcătuiesc parametrii topologici primari ai reţelei (circuitului).
Teoremele lui Kirchhoff în formulare topologică nu depind de natura elementelor, active sau pasive, liniare, parametrice sau neliniare. Făcând abstracţie de natura elementelor şi înlocuindu-le prin segmente orientate în sensul de referinţă al curentului, se obţine graful orientat G, respectiv graful curenţilor (fig. 1.27).
3 3
(3) 2(2)
(4)
(1)
1
2 4
5 6
(1)
1
Fig. 1.27.
Se numeşte buclă, ciclu sau circuit închis al grafului, ocu sens de parcurgere trasată în lungul laturilor grafului, pe la nlatură inclusă în buclă este parcursă o singură dată şi fiecare numai două laturi incluse.
Un graf se numeşte graf plan dacă toate laturile pot fsferă fără să se intersecteze. Buclele unui graf ale cărui latulaturi ale reţelei se numesc ochiuri.
Graful ce nu poate fi trasat pe un plan sau pe o sferă fără ca vreo una din laturi să fie intersectată de alte laturi ale grafului, se numeşte graf spaţial (fig. 1.28).
(2
(6
Se numeşte ochi fereastră, ochiul care conţine în interior laturi.
(1)
O reţea constituită din două sau mai multe părţi având comun fie numai un nod, fie numai un element ale cărui borne sunt conectate la fiecare din părţi, se descompune în reţele
6
(4)
(2) 4
5
(3)
curbă închisă prevăzută oduri, astfel încât fiecare nod al buclei conectează
i trasate în plan sau pe o ri nu sunt intersectate de
(4)
) (3)
(5) )
Fig. 1.28.
27
distincte (fig. 1.29). Fiecare dintre părţi se numeşte subreţea. În general, se numesc subreţele şi acele părţi ale reţelelor ale căror grafuri nu conţin noduri şi laturi comune, dar fiecare subreţea conţine cel puţin o latură cuplată magnetic cu cel puţin o latură a altei subreţele.
a) b) c)
Fig. 1.29. Exemple de subreţele: a) cu un nod comun; b) cu un element comun; c) cu laturi cuplate magnetic.
O reţea constituită numai dintr-o subreţea se numeşte conexă şi dacă nu este cuplată în exterior prin conductoare parcurse de curent se numeşte închisă sau izolată.
Dacă subreţeaua este conectată prin cel puţin două conductoare cu reţele din exterior, se numeşte deschisă, iar nodurile la care sunt legate conductoarele se numesc accese. Unei reţele conexe îi corespunde un graf conex ce are proprietatea că între oricare două noduri există cel puţin o cale, adică o secvenţă ordonată de laturi.
Se numeşte subgraf SG al unui graf G, oricare din grafurile ale cărui noduri şi laturi aparţin grafului. Un subgraf se obţine dintr-un graf suprimând noduri şi laturi.
1.7.2. Analiza reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff. Analiza ochiurilor şi a nodurilor.
Problema fundamentală a analizei reţelelor electrice constă în determinarea celor
l curenţi ij, prin elementele reţelei, celor n tensiuni uj la bornele lor şi a celor n potenţiale vk ale nodurilor. Sistemul complet de ordinul l al ecuaţiilor pentru calculul curenţilor ij sau tensiunilor uj se obţine aplicând teoremele lui Kirchhoff la nodurile şi ochiurile reţelei.
Teoremele lui Euler.
Teorema a I-a. Sistemul liniar independent de ordinul l al ecuaţiilor pentru calculul tensiunilor sau curenţilor prin elementele dipolare ale unei reţele conexe cu l laturi şi n noduri este constituit din n' = n – 1 ecuaţii de noduri şi o = l – n + 1 ecuaţii de bucle. Parametrii n' şi o se numesc parametri topologici secundari ai reţelei.
Teorema a II-a Euler arată modul cum se aleg nodurile şi buclele la care trebuie aplicate teoremele lui Kirchhoff. Alegerea numărului de noduri nu prezintă dificultăţi oricât de complicată ar fi configuraţia reţelei. Este suficient să se stabilească arbitrar nodul de referinţă, de exemplu nodul (n) şi sistemul de ecuaţii nodale la cele n – 1 noduri rezultă liniar independent. Dacă reţeaua conţine mai multe subreţele, pentru fiecare subreţea în parte se alege câte un nod de referinţă (presupus legat la pământ).
[1] [2]
[3] [4]
Fig. 1.30.
28
Pentru reţele plane, care conţin exclusiv ochiuri, teorema a II-a Euler stabileşte: o reţea conexă plană cu l laturi şi n noduri conţine o = l–n+1 ochiuri interioare distincte. Trasarea direct pe reţea a sistemului de ochiuri se face astfel: se verifică dacă reţeaua este plană şi se conduc laturile grafu-lui fără să se intersecteze; ochiurile interioare alcătuiesc un sistem distinct căruia îi corespunde un sistem independent de ecuaţii de ochiuri (fig. 1.30).
Consecinţe ale teoremelor lui Euler. Ecuaţiile liniar independente la cele n–1 noduri reprezintă n–1 relaţii de
dependenţă liniară între l curenţi prin laturi şi, în consecinţă, b = l –n+ 1 curenţi ai reţelei sunt liniar independenţi. Deoarece b = l – n + 1 ecuaţii de bucle reprezintă b relaţii de dependenţă liniară între l tensiuni ale laturilor, urmează că n' = l – b = n – 1 tensiuni sunt liniar independente. Dacă se alege nodul (n) de referinţă, la care se raportează potenţialele vk ale celorlalte noduri, = vkv′ k – vn, tensiunea uj la bornele laturii j se exprimă în funcţie de potenţialele raportate astfel: uj = vk – vk+1 = . 1kk vv +′−′
Potenţialele raportate se numesc potenţiale de nod sau tensiuni de nod (tensiuni nodale).
kv′
Rezultă că într-o reţea conexă cu n noduri, n' = n –1 potenţiale de nod sunt liniar independente.
În conformitate cu teoremele lui Euler, graful G al unei reţele se descompune în două sisteme de subgrafuri.
Sistemul subgrafurilor nodurilor independente G(k) ∈ G, subgraful G(k) fiind constituit de un nod (k) având potenţialul de nod şi laturile j conectate la nod, parcurse de curenţii i
kv′j (fig. 1.31), ecuaţiile la noduri fiind:
( )0
kjj =∑
∈
i . (1.70)
4
(4) G
3
(2) (3)
1
2 4
5 6 (1)
u1
1v′
(1) 3v′ 2v′
1
32 (2)
5
43
(3)6
1 5 6
Nod de referinţă
G(k)
2 (4)
Fig. 1.31.
Determinarea potenţialelor de nod constituie analiza nodurilor sau analiza nodală.
kv′
Sistemul subgrafurilor ochiurilor independente G[m] ∈ G, fiecare subgraf G[m] (respectiv ochi [m]) fiind constituit dintr-un ochi [m] al reţelei. Dacă se consideră fiecare ochi parcurs de un curent mi′ , curenţii ij prin laturile reţelei rezultă din superpoziţia curenţilor de ochiuri mi′ ,
[ ].
jmmj ∑
∈
′= ii (1.71)
29
Deoarece subgrafurile ochiurilor sunt independente, curenţii de ochiuri alcătuiesc un sistem liniar independent. Curenţii de ochiuri mi′ se mai numesc şi curenţi ciclici. Determinarea curenţilor de ochiuri constituie analiza ochiurilor.
1.7.3. Matricele de incidenţă ale laturilor la noduri şi ochiuri. Formele matriceale ale ecuaţiilor lui Kirchhhoff.
a) Matricea de incidenţă a laturilor la noduri. Fie graful G conex şi orientat, cu l laturi şi n noduri. Se notează cu αkj
coeficienţii definiţi după cum urmează: αkj = 1, dacă latura j conectată la nodul (k) este orientată de la nod, αkj = –1, dacă latura j conectată la nodul (k) este orientată către nod, αkj = 0 dacă latura j nu este conectată la nodul (k). Matricea [A]n,l ai cărei termeni sunt coeficienţii αkj cu n linii numerotate în
ordinea nodurilor (k) şi l coloane numerotate în ordinea laturilor j se numeşte matrice de incidenţă a laturilor la noduri.
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
l
l
l
l
l
l
nnj2n1n
kkj2k1k
2j22221
1j11211
α...α...αα..................α...α...αα..................α...α...ααα...α...αα
)n(
)k(
)2()1(
A
j21
n,
KK
M
M (1.72)
noduri laturi
3
(4)
6 5 1
4 2 (2) (1)
De exemplu, matricea de incidenţă laturi – noduri a grafului din figura 1.32 este
(3)
[ ]⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=
00011100
0100111
A 6,4
⎥⎥⎥
⎦
⎤
−− 111001100
.
Matricea de incidenţă a laturilor la noduri are
proprietăţile: Fig. 1.32.
1) fiecărui graf orientat G cu laturile şi nodurile numerotate îi corespunde o matrice [A];
2) numărul coeficienţilor αkj nenuli pe linia k este egal cu numărul laturilor j conectate la nodul (k), cu semnul ‘+’ pentru laturile orientate de la nod şi cu semnul ‘–’ pentru laturile orientate către nod;
3) deoarece o latură nu poate lega mai mult de două noduri, pe fiecare coloană j numai doi coeficienţi αkj sunt nenuli, unul pozitiv şi celălalt negativ;
4) fiecărei matrice A care îndeplineşte condiţiile 2), 3) îi corespunde un graf G.
Cu matricea [A]n,l, sistemul celor n ecuaţii de noduri se scrie sub formă matriceală astfel:
[ ] [ ] [ ] n,n 0A l l i =⋅ (1.73)
30
în care [i]l este matricea coloană cu l termeni a curenţilor ij :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
l
2
1
l
i
ii
iM
][ .
Dacă se suprimă o linie a matricei [A]n,l se obţine matricea de incidenţă redusă laturi – noduri [A']n′,l, cu n′ = n – 1 linii şi l coloane. Suprimarea unei linii k a matricei corespunde alegerii nodului (k) nod de referinţă. De exemplu, alegând nodul (n) nod de referinţă, matricea A′ corespunzătoare grafului din fig. 1.32 este
. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
101100011010000111
]'A[ 6,3
Sistemul ecuaţiilor liniar independente de noduri devine
'n,'n ]0[][]'A[ =ll i . (1.74)
Se notează cu [R]n',n matricea de raportare cu n – 1 linii şi n coloane şi cu [v]n, respectiv [v']n' matricele coloană cu n, respectiv n – 1 termeni ai potenţialelor vk şi potenţialelor raportate . Ecuaţia matricială: kv′
nn,'n'n ]v[]R[]v[ =′ (1.75)
raportează potenţialele ale primelor n – 1 noduri la potenţialul de referinţă al nodului (n).
nkk vvv −=′
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=′
11
1111
R nnMO
(1.76)
n–1
linii
n coloane
Sistemul ecuaţiilor de legătură între tensiunile la bornele laturilor uj şi potenţialele se scrie matricial astfel: kv′
'nt
,'nnt
,n ]v[]'A[]v[A][]u[ ′== lll (1.77)
în care este transpusa matricei de incidenţă redusă a laturilor la noduri cu l linii şi n – 1 coloane, iar [u]
t,'n]'A[ l
l este matricea coloană a tensiunilor laturilor cu l elemente.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′
′
′′
=′
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−1n
k
2
1
n
n
k
2
1
n
v
v
vv
]v[,
v
v
vv
]v[
M
M
M
M , .
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
l
j
2
1
u
u
uu
]u[
M
Ml
31
b) Matricea de incidenţă a laturilor la ochiuri. Se consideră un graf conex G cu l laturi, n noduri şi o = l –n+ 1 ochiuri
interioare. Prin convenţie se consideră acelaşi sens pentru toate ochiurile interioare – de exemplu, cel orar – şi sens opus (antiorar) pentru ochiul fereastră de referinţă. Se notează cu βmj coeficienţii definiţi astfel:
βmj = 1 - dacă latura j aparţine ochiului [m] în acelaşi sens, βmj = −1 - dacă latura j aparţine ochiului [m] în sens opus, βmj = 0 - dacă latura j nu aparţine ochiului [m].
Matricea [B]o,l ai cărei termeni sunt coeficienţii βmj, cu o + 1 = b = l –n+ 2 linii şi l coloane se numeşte matrice de incidenţă a laturilor la ochiuri:
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ] ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ββββ
ββββ
ββββββββ
=
++++
+
+l,1oj,1o2,1o1,1o
mlmj2m1m
l2j22221
l1j11211
l,1o
j21
B
1o
m
21
KK
KKKKKK
KK
KKKKKK
KK
KK
LL
M
M
l
. (1.78)
ochiuri laturi
Pentru graful prezentat în figura 1.33, matricea de incidenţă a laturi –ochiuri este
[ ]
0100
011
B6,4
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
= .
10011110001110100
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
−−−
−
3
4 2
(4)
[1]
[2]
6 5 1 ochiul de referinţă
(1)
[3] (3)
Proprietăţile matricei [B]: 1) fiecărui graf orientat G cu laturile şi nodurile numerotate îi corespunde o matrice [B]; 2) numărul coeficienţilor βmj nenuli pe linia m este egal cu numărul laturilor j care aparţin ochiului [m], cu semnul ‘+’ sau ‘–’ după cum latura şi ochiul au acelaşi sens, respectiv sensuri opuse; Fig. 1.33.
3) deoarece o latură nu poate aparţine la mai mult de două ochiuri, pe fiecare coloană j numai doi coeficienţi sunt nenuli, unul pozitiv şi celălalt negativ dacă se aleg sensurile menţionate;
4) fiecărei matrice [B] care îndeplineşte condiţiile 2) şi 3) îi corespunde un graf G la ochi de referinţă dat.
Dacă se suprimă o linie a matricei [B]o+1,l se obţine matricea de incidenţă redusă laturi – ochiuri [B'] o,l, cu o = l – n + 1 linii şi l coloane.
În exemplul considerat, suprimând ultima linie (alegerea ochiului [4] de referinţă), rezultă:
.111000001110010011
]'B[ 6,3
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
32
Cu matricea [B'] sistemul ecuaţiilor de ochiuri se scrie matricial astfel:
.]0[]u[]'B[ ,o lll = (1.79) Ecuaţiile de legătură între curenţii din laturi ij şi curenţii de ochiuri se exprimă
matricial astfel: mi′
ot
,o ]'i[]'B[]i[ ll = (1.80)
unde [i'] este matricea coloană a curenţilor ciclici cu o = l –n +1 termeni. ]iiii[]'i[ om21
t ′′′′= LL . Pe baza relaţiilor (1.73), (1.76), (1.78) şi (1.79) se deduc relaţiile
]0[]'v[]'A[]'B[şi]0[]'i[]'B[]'A[ tt =⋅⋅=⋅⋅ , din care rezultă
]0[]'A[]'B[]'B[]'A[ tt =⋅=⋅ (1.81) şi deci matricele [A'] şi [B'] sunt ortogonale.
În continuare, în analiza reţelelor electrice se vor utiliza numai matricele de incidenţă reduse laturi – noduri şi laturi – ochiuri şi din motive de simplificare a scrierii se va renunţa la indicele ′.
1.8. METODE DE ANALIZĂ A REŢELELOR ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU
1.8.1. Analiza reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff Fie o reţea electrică liniară şi invariabilă în timp, conexă şi plană, cu n noduri şi l
laturi. Se presupun cunoscute rezistenţele rezistoarelor, tensiunile electromotoare şi rezistenţele interioare ale generatoarelor de tensiune, curenţii şi conductanţele interioare ale generatoarelor de curent.
Sistemul complet de ordinul l al ecuaţiilor reţelei, conţine n′ = n – 1 ecuaţii de noduri pentru curenţii Ij (j = 1, 2, …, l) din laturile reţelei şi o = l – n +1 pentru tensiunile Uj (j = 1, 2, …, l) la bornele laturilor. Ecuaţiile de noduri se scriu
,0)k(j
jI =∑∈
k = 1, 2, …, n – 1 (noduri), (1.82)
iar cele de ochiuri: ,0
]m[jjU =∑
∈
m = 1, 2, …, o (ochiuri). (1.83)
În ambele ecuaţii sumele sunt algebrice: curenţii cu sensul de referinţă de la nod au semnul ′+′, iar către nod au semnul ′–′; la parcurgerea ochiului după un sens de referinţă ales arbitrar, tensiunile se iau cu semnul ′+′ sau ′–′ dacă sunt întâlnite în acelaşi sens, respectiv în sens opus.
Analiza reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff constă, fie în determinarea întâi a curenţilor prin laturi, ceea ce necesită înlocuirea tensiunilor în funcţie de curenţi în ecuaţiile (1.83), fie întâi a tensiunilor şi prin urmare înlocuirea curenţilor în funcţie de tensiuni în ecuaţiile (1.82).
În continuare se prezintă principial metoda de analiză în raport cu curenţii.
33
a) Metoda directă. Se consideră o reţea liniară de curent continuu, conexă şi plană, cu n noduri şi l
laturi din care lR sunt laturi cu rezistoare, lE laturi cu generatoare ideale de tensiune şi lJ laturi cu generatoare de curent. Se numerotează întâi laturile cu rezistoare, apoi laturile cu generatoare de tensiune şi în final laturile cu generatoare de curent.
IEp· · ·
· · · Js
Ij
Ep
Rj
···(k)
Ij
[m]
Rj
IEpUJs
Ep Js
b) a) Fig. 1.34.
În cazul general, ecuaţiile de noduri sunt de forma (fig. 1.34,a)
∑∑ ∑∈∈ ∈
−=+)k(s
s)k(j )k(p
Epj JII , k = 1, 2, …, n′ = n – 1, (1.84)
iar ecuaţiile de ochiuri (fig.1.34,b)
∑∑ ∑∈∈ ∈
−=+]m[p
p]m[j ]m[s
Jsjj EUIR , m = 1, 2, …, o = l – n + 1, (1.85)
în care s-au notat: Ep – t.e.m. a generatorului p, Js – curentul generatorului de curent s. Mărimile cunoscute sunt: t.e.m. Ep ale generatoarelor de tensiune, curenţii Js ai
generatoarelor de curent şi rezistenţele Rj ale rezistoarelor. Ecuaţiile (1.84), (1.85) alcătuiesc un sistem complet de ecuaţii algebrice liniare
cu coeficienţi constanţi de ordinul l, din care se determină necunoscutele, respectiv curenţii Ij prin laturile j cu rezistoare, curenţii IEp prin laturile p cu generatoare ideale de tensiune şi tensiunile UJs la bornele generatoarelor de curent.
b) Metoda matriceală. Forma matriceală a ecuaţiei de noduri (1.82) corespunzătoare teoremei a I - a
Kirchhof în forma topologică este
[ ] [ ] [ ]n,n 0IA ′′ =⋅ ll , (1.86) în care [An′,l] este matricea de incidenţă redusă laturi – noduri cu n′ linii şi l coloane şi [Il] este matricea coloană a curenţilor cu l termeni.
Având în vedere modul de numerotare a laturilor reţelei, matricea [An′,l] se poate descom-pune în două submatrici (fig. 1.35): o matrice formată cu primele l – lJ coloane corespunzătoare laturilor cu rezistoare şi cu generatoare de tensiune şi o matrice cu ultimele lJ coloane corespunzătoare laturilor cu generatoare de curent.
Matricea coloană a curenţilor se desparte, de asemenea, în două submatrice: una cu primii l– lJ termeni, reprezentând curenţii din laturile cu rezistoare şi cu generatoare de
n′ li
nii
lR
[ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
l,nA
lJl – lJ
lE
Fig. 1.35.
34
tensiune şi a doua cu ultimii lJ termeni, reprezentând curenţii generatoarelor de curent. Astfel, ecuaţia (1.86) se scrie succesiv
[ ] [ ][ ][ ]
[ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ],JAIA0
J
IAA JJJJ
J
J
JJ ,n,nn,n,n lllllll
lllll
⋅−=⋅⇒=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ ′−−′′
−′−′ LM
respectiv, notând cu [ ] , se obţine forma finală a ecuaţiei matriceale cores-punzătoare ecuaţiilor de noduri scrise cu teorema a I-a Kirchhoff:
[ ] [ JJ JAJ ,nn ll ⋅=′ ′′ ]
[ ] [ ] [ ]n,n JIA JJ ′−−′ ′−=⋅ llll (1.87)
Pentru deducerea formei matriceale a ecuaţiilor de ochiuri (1.85) se pleacă de la forma matriceală (1.83) a acestor ecuaţii obţinute cu teorema a II-a Kirchhoff în forma topologică:
[ ] [ ] [ ]o,o 0UB =⋅ ll
]
jjjj EIRU −=
lR (1.88)
Matricea de incidenţă redusă [Bo,l] se poate descompune în două submatrice (fig. 1.36): o matrice formată cu primele l – lJ coloane cores-punzătoare laturilor cu rezistoare şi cu generatoare de tensiune şi o matrice cu ultimele lJ coloane corespunzătoare laturilor cu generatoare de curent.
Matricea coloană a tensiunilor se desparte şi ea în două submatrice: una cu primii l – lJ termeni reprezentând tensiunile la bornele laturilor cu rezistoare şi/sau cu generatoare de tensiune şi a doua cu ultimii lJ termeni reprezentând tensiunile UJs la bornele generatoarelor de curent. Astfel, ecuaţia (1.88) se scrie succesiv:
[ ][ ][ ][ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ o,o,oo
J,o,o 0UBUB0
UU
BB JJJJ
J
J
JJ =⋅+⋅⇔=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ −−−
−− lllllll
l
lllll
LM (1.89)
Pentru laturile cu rezistoare şi/sau cu generatoare de tensiune (fig. 1.37), tensiunile la borne se scriu cu legea lui Ohm astfel:
, j = 1, 2, …, l – lJ. (1.90)
În formă matriceală, aceste ecuaţii se scriu:
[ ] [ ] [ ] [ ]JJJJ EIRU llllllll −−−− −⋅= (1.91)
în care [Rl–lJ] este matricea diagonală de ordinul l–lJ, având primii lR termeni egali cu rezistenţele laturilor cu rezistoare şi ultimii lE termeni nuli, corespunzători laturilor cu generatoare ideale de tensiune (fig.1.38), iar matricea [El–lJ] este matricea coloană a tensiunilor electromotoare din laturile reţelei (termenii sunt nuli pentru laturile care nu conţin generatoare).
Se multiplică la stânga ambii termeni ai ecuaţiei (1.91) cu matricea [Bo,l–lJ] şi rezultă:
o lin
ii
[ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
l,oB
lE
lJl – lJ
Fig. 1.36.
Uj
Ij RjEj
Fig. 1.37.
l R
lR
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ll
00
0R
R0R
B R
21
,o
O
O
l – lJ
l E
lE
Fig. 1.38.
35
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JJJJJJJ
EBIRBUB llllo,llllllo,llllo, −−−−−−− ⋅−⋅⋅=⋅ . (1.92)
Înlocuind produsul [Bo,l–lJ]⋅[Ul–lJ] în cea de-a doua ecuaţie din (1.89), rezultă forma matricială a ecuaţiilor de ochiuri corespunzătoare teoremei a II-a Kirchhoff :
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]JJJJJJJ EBUBIRB J, llllo,llollllo,llo, −−−−− ⋅=⋅+⋅⋅ respectiv,
[ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]ollolloo, EUBIRJJJ J, ′=⋅+⋅′ − , (1.93)
în care s-au notat [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JJJJ EBE,RBR llllo,ollo,llo,oo, −−−− ⋅=′⋅=′ . Ecuaţiile (1.87) şi (1.93) corespunzătoare celor două teoreme ale lui Kirchhoff
aplicate la nodurile şi ochiurile independente ale reţelei se pot scrie în forma compactă:
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ]( )[ ]
[ ][ ]⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′
′−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
′
′−
′−
′−′
ol
ll
lll o,
lll
E
J
U
I
BR
0A.................
J
......................J
JJ
..........................................JJ n
J,n
,n,n
M
M, (1.94)
sau, [ ] [ ] [ llll, SNK(i) =⋅ ]
]
(1.95) în care s-au folosit notaţiile:
– matricea Kirchhoff în raport cu curenţii (matrice pătrată de ordinul l), [ (i)K ll,
[Nl] – matricea necunoscutelor (matrice coloană cu l termeni), [Sl] – matricea surselor (matrice coloană cu l termeni).
1.8.2. Analiza reţelelor electrice cu metoda curenţilor ciclici a) Metoda directă. După cum s-a văzut, numărul ecuaţiilor independente ce se obţin prin aplicarea
teoremelor lui Kirchhoff la nodurile şi ochiurile reţelei este egal cu numărul laturilor l. În cazul reţelelor cu o structură complexă, datorită numărului mare de ecuaţii ce rezultă, sistemul de ecuaţii poate fi dificil de rezolvat. În aceste cazuri este util să se utilizeze metoda de calcul bazată pe teorema curenţilor ciclici, cunoscută şi sub denumirile de metoda curenţilor independenţi, de ochiuri sau de contur. Metoda permite reducerea numărului de ecuaţii la numărul ochiurilor sau buclelor independente (fundamentale).
Metoda curenţilor ciclici constă în introducerea în scop de calcul a unor curenţi fictivi, numiţi curenţi ciclici, independenţi sau de contur, care ar circula de-a lungul laturilor ochiurilor sau buclelor fundamentale ale reţelei. Aplicând teorema a doua Kirchhoff în raport cu aceşti curenţi, pentru o reţea conexă şi plană cu n noduri şi l laturi, se obţin o = l – n +1 ecuaţii algebrice, deci un număr de ecuaţii egal cu numărul ochiurilor fundamentale ale reţelei.
Pentru aplicarea metodei curenţilor ciclici, este util să se transforme mai întâi, dacă este posibil, laturile cu generatoare de curent în laturi echivalente cu generatoare de tensiune. Se stabilesc apoi ochiurile independente sau fundamentale ale reţelei (ochiurile interioare, de exemplu) pentru care se notează curenţii ciclici şi se aleg sensurile de referinţă ale acestora.
Forma generală a sistemului de ecuaţii corespunzător teoremei curenţilor ciclici pentru o reţea conexă şi plană cu un număr o de ochiuri independente este
36
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=′++′++′+′
=′++′++′+′
=′++′++′+′
=′++′++′+′
][j2211
]m[j22m11m
]2[j222121
]1[,1j1212111
ooo,oj,o,o,o
oo,mmj
oo,2j2
ooj
EIR...IR...IRIR..................................................................EIR...IR...IRIR
..................................................................EIR...IR...IRIR
EIR...IR...IRIR
(1.96)
în care s-au utilizat notaţiile:
– curentul ciclic al ochiului [j], j = 1, 2, … , o;
∑∈
=]m[k
km,m RR
∑∈∈
=
]j[k]m[k
kj,m RR
∑∈
=]m[k
k]m[ EE
jI′– suma rezistenţelor laturilor ochiului [m], numită şi rezistenţa proprie a ochiului; rezistenţele Rk se iau totdeauna cu semnul ‘+’ în această sumă;
– suma rezistenţelor laturilor comune ochiurilor [m] şi [j]; rezistenţa Rk a fiecărei laturi comune se ia cu semnul ‘+’, respectiv ‘–’ dacă curenţii ciclici ai celor două ochiuri au acelaşi sens, respectiv sensuri opuse prin latura comună respectivă.
– suma algebrică a tensiunilor electromotoare Ek ale surselor de tensiune din laturile ochiului [m]; suma este algebrică, adică t.e.m. Ek se ia cu semnul ‘+’, respectiv ‘–’ dacă sensul acesteia coincide, respectiv este opus sensului ochiului (curentului ciclic al ochiului).
Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (1.96) folosind, de exemplu, metoda Cramer, se determină curenţii ciclici ai ochiurilor independente:
∑=
∆∆
=∆∆
++∆∆
++∆∆
+∆∆
=′o
1m]m[
mj]o[
oj]m[
mj]2[
j2]1[
j1j EEEEEI LL , j = 1, 2, …, o. (1.97)
unde ∆ este determinantului sistemului, ∆mj este complementul algebric al termenului Rmj luat cu semnul corespunzător, mj
jmmj )1( ∆−=∆ + .
Curenţii reali din laturile reţelei se obţin pe baza principiului superpoziţiei. Astfel, curentul Ik dintr-o latură oarecare se determină prin însumarea algebrică a curenţilor ciclici ai ochiurilor la care aparţine latura respectivă: mI′
∑∈
′=k]m[
mk II , k = 1,2, …, l. (1.98)
b) Metoda matriceală. În formă matriceală, sistemul de ecuaţii (1.96) corespunzător teoremei curenţilor
ciclici se scrie: [ ] [ ] [ ]oooo, EIR ′=′⋅′ (1.99)
în care [ este matricea pătrată şi simetrică de ordinul o, ]oo,R′ [ ]oI′ este matricea coloană a curenţilor ciclici, [ ]oE′ este matricea coloană a tensiunilor electromotoare de ochiuri.
Presupunând că reţeaua conţine numai laturi cu rezistoare şi generatoare de tensiune (generatoarele de curent au fost înlocuite cu generatoare echivalente de tensiune) şi aplicând legea lui Ohm generalizată laturilor reţelei de forma celei din figura 1.38, avem:
37
, j = 1, 2, …, l . (1.100) jjjj EIRU −=
În formă matriceală, aceste ecuaţii se scriu:
[ ] [ ] [ ] [ ]lllll EIRU , −⋅= (1.101)
în care [Ul], [Il] şi [El] sunt matricele coloană ale tensiunilor la bornele laturilor, curenţilor şi respectiv t.e.m. ale generatoarelor din laturile reţelei, iar matricea [Rl,l] este matricea diagonală de ordinal l, având pe diagonală rezistenţele laturilor.
Multiplicând la stânga ambii membri ai ecuaţiei (1.101) cu matricea de incidenţă redusă laturi – ochiuri, [Bo,l] şi ţinând cont de teorema a II-a Kirchhoff în forma topologică, [Bo,l]⋅[Ul] = 0, rezultă:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]llo,llllo, EBIRB , ⋅=⋅⋅ . (1.102)
Matricea curenţilor din laturile reţelei se determină din matricea curenţilor ciclici pe baza relaţiei (1.80):
[ ] [ ] [ ]olo,l IBI t ′⋅= (1.103)
unde [ este transpusa matricei [B]tB lo, o,l]. Înlocuind matricea [Il] dată de (1.103) în (1.102), se obţine:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ llo,olo,lllo, EBIBRB t, ⋅=′⋅⋅⋅ ]
]
]
i
(1.104)
Identificând membru cu membru ecuaţiile (1.99) şi (1.104), se obţin relaţiile de calcul direct ale matricelor:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ llo,olo,lllo,oo, EBE;BRBR t, ⋅=′⋅⋅=′ (1.105)
Odată calculate aceste matrice, curenţii din laturile reţelei se determină direct cu relaţia ce rezultă din (1.99) şi (1.103):
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ooo,lo,olo,l ERBIBI 1tt ′⋅′⋅=′⋅= − (1.106)
1.8.3. Analiza reţelelor electrice cu metoda potenţialelor la noduri
a) Metoda directă. Se consideră o reţea liniară, conexă, cu n noduri şi l laturi. După cum s-a
menţionat deja, potenţialul unuia dintre nodurile reţelei se poate considera potenţial de referinţă şi pentru simplificare se presupune acest nod legat la pământ (de potenţial nul). Teorema potenţialelor la noduri se bazează pe aplicarea teoremei a I-a Kirchhoff celor n′ = n – 1 noduri independente ale reţelei.
Dacă se consideră nodul (n) nod de referinţă de potenţial nul, Vn = 0 (fig. 1.39), potenţialele V′ ale celorlalte n – 1 noduri, numite şi potenţiale de nod, potenţiale raportate sau tensiuni nodale, se pot determina după cum urmează.
Uj
Ij RjEj
Fig. 1.38.
(k)
⇔ IgjIj
Gj
Rj
Ej Uj
(n) kV′
iV′
(i)
Fig. 1.39.
38
Teorema a I-a Kirchhoff aplicată la nodurile reţelei se scrie,
0I)i(j
j=∑∈
, i = 1, 2, …, n′ = n – 1, (1.107)
iar cu legea lui Ohm aplicată laturii j se obţine
Uj + Ej = RjIj ⇒ Ij = GjUj + GjEj , (1.108)
în care Gj = 1/Rj este conductanţa laturii j. Pentru Uj = 0 se obţine curentul de scurtcircuit al laturii j, Ijsc = GjEj = Igj, egal
cu curentul generatorului de curent echivalent generatorului de tensiune din latura j. Expresia curentului din (1.108) se poate deci scrie Ij = GjUj + Igj şi înlocuind în ecuaţia (1.107) se obţine:
∑∑∈∈
−=)i(j
gj)i(j
jj IUG , i = 1, 2, …, n′ = n – 1 . (1.109)
Tensiunea la bornele laturii j se poate exprima prin diferenţa potenţialelor, şi înlocuind în (1.109), se obţine: kij VVU ′−′=
∑∑∈∈
−=′−′)i(j
gj)i(j
jkij I)VV(G , respectiv,
∑∑ ∑∈∈
≠∈
−=′−′)i(j
gj)i(j
k
)k()i()k(),i(j
jji IVGGV
, i = 1, 2, …, n′ = n – 1. (1.110)
Se introduc notaţiile:
– suma conductanţelor Gj ale laturilor j legate la nodul (i), numită şi conductanţa proprie a nodului (i); aceste conductanţe se iau totdeauna cu semnul ‘+’;
– conductanţa laturii j sau suma conductanţelor laturilor j care leagă între ele nodurile (i) şi (k); aceste conductanţe se iau totdeauna cu semnul ‘–’;
– suma algebrică a curenţilor Igj ai generatoarelor de curent legate la nodul (i) sau suma algebrică a curenţilor de scurtcircuit
ai laturilor legate la nodul (i); curenţii Igjjjjsc IEGI == gj din această sumă se iau semnul ‘+’ dacă sunt orientaţi de la nod şi cu semnul ‘–’ dacă sunt orientaţi către nod.
∑∈
=)i(j
jii GG
∑∈
−=)k(),i(j
jik GG
∑∈
=)i(j
gj)i(g II
Cu aceste notaţii, ecuaţiile (1.110) se scriu:
∑∑∈
−
≠=
−=′+′)i(j
1n
k1k
gj
i
kikiii IVGVG , i = 1, 2, …, n′ = n – 1, (1.111)
sau explicit,
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=′++′++′+′
−=′++′++′+′
−=′++′++′+′
−=′++′++′+′
′′′′′′
′
′
′
′
′
′
′
)(gn,kk2211
)i(gn,ikik22i11i
)2(gn,2kk2222121
)1(gn,1kk1212111
nnnnnn
n
n
n
IVG...VG...VGVG.........................................................................IVG...VG...VGVG..........................................................................
IVG...VG...VGVG
IVG...VG...VGVG
(1.112)
39
Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii se determină potenţialele ale primelor n′ = n – 1 noduri raportate la potenţialul de referinţă nul al nodului (n).
kV′
Tensiunile la bornele laturilor se determină ca diferenţă a potenţialelor nodurilor la care este legată latura şi, în final, dacă se cere, se pot determina curenţii din laturi prin aplicarea legii lui Ohm.
Aplicarea metodei potenţialelor la noduri este simplificată dacă se transformă întâi laturile cu generatoare de tensiune în laturi echivalente cu generatoare de curent.
b) Metoda matriceală. Se consideră că se transformă toate generatoarele de tensiune în generatoare
echivalente de tensiune. Se numerotează întâi laturile cu rezistoare şi apoi cele cu generatoare de curent.
În formă matriceală, sistemul de ecuaţii (1.112) corespunzător metodei potenţia-lelor la noduri se scrie:
[ ] [ ] ( )[ ]ngnn,n IVG ′′′′ ′−=′⋅′ (1.113)
în care [ este matricea pătrată şi simetrică de ordinul n′ = n – 1, [ este matricea coloană cu n′ termeni a potenţialelor de noduri,
] ]n,nG ′′′ nV ′′
( )[ ]ngI ′′ este matricea coloană cu n′ termeni a curenţilor generatoarelor de curent legate la noduri.
Matricea [ n,nG ′′ ]′ se poate determina după cum urmează. Se pleacă de la forma matriceală (1.46) a ecuaţiilor corespunzătoare teoremei a I-a Kirchhoff din care se separă matricele corespunzătoare laturilor lJ cu generatoare de curent:
[ ] [ ][ ][ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[
JJJJ
J
J
JJ g,n,nng
.,n,n IAIA0
I
IAA llllll
l
ll
lll ⋅−=⋅⇒=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅ ′−−′′
−
′−′LLLM ] (1.114)
Pentru laturile cu rezistoare, caracterizate de conductanţele Gj (j = 1, 2,…, l – lJ), curenţii sunt daţi de relaţia lui Ohm:
[ ] [ ] [ ]JJJJ UGI , l-ll-ll-ll-l ⋅= (1.115)
în care [ este matricea diagonală de ordinul l – l]JJ,G l-ll-l J a conductanţelor rezistoarelor. Tensiunile la bornele laturilor cu rezistoare se pot determina în funcţie de potenţialele raportate cu relaţia (1.77): [ ] [ ] [ ]n
t,n VAU JJ ′′ ′⋅= l-ll-l . Rezultă:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]JJJJJJ g,nn
t,n,,n IAVAGA llllllllll ⋅−=′⋅⋅⋅ ′′−′−−−′ . (1.116)
Identificând membru cu membru ecuaţiile (1.113) şi (1.116), se obţin relaţiile de calcul direct ale matricelor:
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]JJJJJJ g,nng
t,n,,nnn IAI;AGAG llllllllll, ⋅=′⋅⋅=′ ′′−′−−−′′′ (1.117)
Odată calculate aceste matrici, tensiunile la bornele laturilor se determină direct cu relaţia:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]ng1
n,nt
,nnt
,n IGAVAU ′−
′′′′′ ′⋅′⋅−=′⋅= lll . (1.118)
40
1.9. TEOREMELE REŢELELOR ELECTRICE DE CURENT CONTINUU
1.9.1. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent Fiind dată o reţea electrică activă liniară aℜ , curentul printr-o latură pasivă
oarecare sau tensiunea la bornele acestei laturi se pot determina direct cu ajutorul teoremei generatorului echivalent de tensiune, respectiv cu ajutorul teoremei generatorului echivalent de curent.
Separând din reţeaua dată aℜ latura cuprinsă între bornele (a) şi (b), având rezistenţa Rab (fig. 1.40,a), restul reţelei aℜ′ reprezintă în raport cu aceste borne un dipol liniar activ (DLA) care, prin transfigurare, se poate înlocui cu o latură echivalentă formată dintr-un rezistor Ri şi un generator ideal de tensiune, cu tensiunea electromotoare E0 (fig. 1.40,b).
(a)
(b)
RabUab
Iab
aℜ′ (DLA)
aℜ
⇔
(b)
E0
Ri
Iab
Uab Rab
(a) Iab
Gab
(a)
UabGi Isc
(b)
c)
⇔
a) b)
Fig. 1.40.
Rezistenţa echivalentă a dipolului Ri în raport cu bornele sale de acces (a) şi (b) se numeşte şi rezistenţa internă a dipolului.
Tensiunea la bornele dipolului în regim de mers în gol (Rab – deconectată şi deci Iab = 0) se notează Uab0. Aplicând legea lui Ohm la funcţionarea în gol a dipolului (în lipsa laturii ab), rezultă E0 = Uab0.
Teorema generatorului echivalent de tensiune: orice dipol liniar activ este echivalent cu o sursă de tensiune, având tensiunea electromotoare E0 egală cu tensiunea la bornele dipolului în regimul de mers în gol (Uab0) şi o rezistenţă electrică internă Ri egală cu rezistenta echivalentă a dipolului în raport cu bornele sale de acces.
La transfigurarea circuitelor s-a constatat ca rezistentele echivalente nu depind de tensiunile electromotoare şi de curenţii generatoarelor de tensiune şi respectiv de curent, ca urmare calculul rezistenţelor echivalente se poate efectua prin pasivizarea circuitelor. Prin pasivizarea unui circuit se înţelege anularea tensiunilor electromotoare şi a curenţilor generatoarelor de tensiune, respectiv de curent, păstrând rezistentele sau conductanţele acestora. În acest fel, rezistenţa echivalentă Ri a dipolului reprezintă rezistenta echivalentă a reţelei pasivizată în raport cu bornele (a) şi (b), notată Raℜ′ ab0:
Ri = Rab0 (1.119)
41
Pentru circuitul echivalent astfel obţinut, fig. 1.41, aplicând teorema a II-a Kirchhoff, rezultă:
(b)
Rab0
Uab0 Iab
Uab Rab
(a)
(Rab0 + Rab)Iab = Uab0
şi deci,
abab
abab RR
UI0
0
+=
a
. (1.120)
Relaţia obţinută reprezintă teorema generatorului echivalent Thèvenin şi care se enunţă astfel: intensitatea curentului Iab printr-o latură pasivă oarecare conectată între punctele (a) şi (b) ale unei reţele active liniare este egală cu raportul dintre tensiunea Uab0 la bornele (a), (b) la mersul în gol (în lipsa laturii ab) şi suma dintre rezistenţa Rab a laturii şi rezistenţa echivalentă Rab0 a reţelei pasivizate între bornele (a) şi (b), în lipsa laturii ab.
Fig. 1.41.
Analog, înlocuind generatorul de tensiune cu un generator echivalent de curent (fig. 1.40,c), se obţine teorema generatorului echivalent de curent: orice dipol liniar activ este echivalent cu un generator (sursă) de curent, având intensitatea curentului Isc egală cu intensitatea curentului debitat de dipol în regimul de scurtcircuit (bornele (a), (b) scurtcircuitate) şi o conductanţă electrică internă Gi, egală cu conductanţa echivalentă a dipolului.
Într-adevăr, la mersul în scurtcircuit (Rab = 0 şi deci Uab = 0), notând cu Iabsc curentul prin latura ab cu rezistenţa Rab scurtcircuitată, rezultă: Isc = Iabsc.
Conductanţa echivalentă a dipolului Gi se calculează prin pasivizarea acestuia şi reprezintă conductanţa echivalentă a reţeleiℜ′ pasivizată, în raport cu bornele (a) şi (b), notată Gab0: Gi = Gab0.
Iab
Gab
(a)
UabGab0
Iabsc
(b)
Fig. 1.42.
Aplicând teorema I Kirchhoff circuitului din fig. 1.42 şi exprimând curenţii pe baza legii lui Ohm, avem
Iabsc = GabUab + Gab0Uab, din care rezultă:
0
sc
abab
abab GG
IU += . (1.121)
Relaţia obţinută reprezintă teorema generatorului echivalent Norton şi care se enunţă astfel: tensiunea Uab la bornele (a), (b) ale unei laturi pasive oarecare a unei reţele liniare active este dată de raportul dintre curentul de scurtcircuit Iabsc al laturii respective (cu rezistenţa scurtcircuitată) şi suma dintre conductanţa laturii Gab şi conductanţa echivalentă Gab0 a reţelei pasivizate între bornele (a) şi (b) în lipsa laturii.
1.9.2. Teorema suprapunerii efectelor (a superpoziţiei). Teorema reciprocităţii.
Considerând o reţea electrică liniară în care acţionează mai multe surse de
tensiune, teorema superpoziţiei se enunţă astfel: curentul care se stabileşte într-o latură oarecare a reţelei este egal cu suma algebrică a curenţilor produşi în acea latură de fiecare sursă în parte dacă ar acţiona singură în reţea, celelalte fiind scurtcircuitate sau înlocuite cu rezistenţa lor interioară (dacă au rezistenta interioară diferită de zero).
42
Pentru demonstraţie se separă laturile j şi k ale reţelei şi se presupune că în reţea acţionează câte o singură sursă de tensiune electromotoare, conectată pe rând în laturile j şi k, aşa cum se arată în figura 1.43, a) şi b).
Rk
Ijk
CLP
a)
kI′Rj
Ij
jI′ RjRk
Ik
CLP kI′
Ikj
Ek
jI′
Ej
b)
Fig. 1.43.
Se aplică teorema curenţilor ciclici, alegându-se astfel buclele fundamentale (ochiurile independente) încât curenţii reali prin laturile j şi k să fie daţi numai de curenţii ciclici ai celor două bucle la care aparţin aceste laturi. Astfel, pentru schema echivalentă din figura 1.43,a) rezultă:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=′++′++′+′
=′++′++′+′
=′++′++′+′
=′++′++′+′
0IR...IR...IRIR..................................................................
EIR...IR...IRIR..................................................................0IR...IR...IRIR
0IR...IR...IRIR
ooookoo
okojk
oo2k2
ook
k2211
jk22j11j
k222121
1k1212111
(1.122)
Rezolvând acest sistem de ecuaţii după regula lui Cramer, se obţine:
jjk
kjk EII∆∆
=′= , (1.123)
în care ∆ este determinantului sistemului (1.122), ∆jk este complementul algebric al termenului Rjk luat cu semnul corespunzător, jk
kjjk )1( ∆−=∆ + .
Aplicând acelaşi procedeu pentru schema echivalentă din figura 1.43,b), rezultă:
kkj
jkj EII∆∆
=′= . (1.124)
Prin definiţie,
∆∆
==≠=
jk
jk0Ej
jkjk
kEI
G (1.125)
este conductanţa de transfer dintre laturile j şi k ale reţelei, iar
∆∆
==≠=
kj
kj0Ek
kjkj
jEI
G (1.126)
este conductanţa de transfer dintre laturile k şi j ale reţelei. Deoarece rezistenţele din sistemele de ecuaţii corespunzătoare metodei
curenţilor ciclici satisfac condiţia de reciprocitate, Rjk= Rkj, rezultă că ∆jk = ∆kj şi
Gjk = Gkj, (1.127)
43
relaţie ce reprezintă prima formă a teoremei reciprocităţii: conductanţa de transfer dintre laturile j şi k este egală cu conductanţa de transfer dintre laturile k şi j.
Dacă aceeaşi sursă de tensiune este plasată pe rând în laturile j şi k, Ej = Ek = E, rezultă în mod evident
Ijk = Ikj, (1.128)
relaţie ce reprezintă a doua formă a teoremei reciprocităţii: curentul stabilit într-o latură oarecare k a unei reţele liniare de o sursă de tensiune plasată în latura j şi acţionând singură în reţea, este egal cu curentul stabilit în latura j dacă aceeaşi sursă de tensiune este plasată în latura k şi acţionează singură în reţea. Conform teoremei superpoziţiei, curentul dintr-o latură oarecare a unei reţele active liniare poate fi calculat cu relaţia:
∑∑==
==EE
1kkkj
1kkjj EGII
ll, j = 1,2, …, l, (1.129)
unde l este numărul de laturi ale reţelei, iar lE este numărul laturilor cu surse de t.e.m. Calculul curenţilor electrici din laturile unui reţele active liniare folosind conductanţele de transfer dintre laturi se numeşte metoda conductanţelor de transfer. Este important de observat că, odată calculaţi curenţii Ijk produşi în toate laturile reţelei de sursa Ej din latura j (acţionând singură în reţea), rezultă imediat, pe baza teoremei reciprocităţii şi a teoremei superpoziţiei şi curentul Ij produs în latura j cu sursă de către toate sursele din reţea:
∑∑∑===
===EEE
1kk
j
jk
1kkjk
1kkkjj EE
IEGEGI
lll (1.130)
relaţie utilă deoarece calculul curenţilor într-un circuit cu o singură sursă se face, în general, mai uşor decât calculul curenţilor în circuitele cu mai multe surse.
1.9.3. Teorema transferului maxim de putere
Fiind dată o sursă de tensiune (generator Thèvenin) cu tensiunea electromotoare E şi cu rezistenta interioară Rg (fig. 1.44), se determină condiţiile în care sursa transferă puterea maximă Pmax rezistorului de sarcina Rs.
Curentul debitat de sursă prin rezistorul de sarcină are expresia
sg RREI+
=
( )
, (1.131)
Rg
E I
U Rs
iar puterea transferată sarcinii este
22
sg
s2ss E
RRRIRP+
== (1.132)
Puterea transferată receptorului este maximă pentru valoarea rezistenţei Rs care satisface relaţia dPs/dRs = 0,
adică pentru
Fig. 1.44.
Rs = Rg. (1.133)
Generatorul de tensiune transferă putere maximă receptorului de sarcină dacă rezistenţa acestuia este egală cu rezistenţa internă a generatorului. Dacă rezistenţa conductoarelor de legătură (a liniei de transmisie) dintre generator şi receptor nu este neglijabilă, aceasta se include în rezistenţa receptorului Rs.
44
Introducând condiţia (1.133) în (1.132), expresia puterii maxime rezultă:
g
2
maxs R4EP = . (1.134)
Prin generalizare, rezultă că puterea absorbită de un rezistor al unei reţele de curent continuu este maximă dacă rezistenţa sa este egală cu rezistenţa echivalentă a reţelei pasivizate în raport cu bornele rezistorului. În cazul general, puterea totală furnizată de generator este
sg
2
g RREIEP+
=⋅= (1.135)
şi expresia randamentului transmisiei de energie de la sursă la receptor rezultă
sg
s
g
sRR
RPP
+==η . (1.136)
În situaţia transferului maxim de putere, randamentul este η = 0,5 (50%).
Isc
∆UP1 U2
U1
I
P2 η
0
0,5
1
Fi . g. 1.45
Randamentul este maxim, η = 1, dacă Rg = 0, adică rezistenţa internă a generato-rului este nulă. În realitate intervine însă rezistenţa liniei de transmisie şi η < 1.
În figura 1.45 sunt prezentate curbele de variaţie cu curentul ale randamentului η, puterii Ps, tensiunii Us, puterii Pg şi căderii de tensiune ∆U pe rezistenţa Rg care include şi rezistenţa conductoarelor de legătură.
1.9.4. Teorema conservării puterilor. Bilanţul puterilor produse şi consumate. În acord cu legea de conservare a energiei, această teoremă exprimă egalitatea
dintre puterea electromagnetică produsă şi puterea electromagnetică consumată într-un circuit de curent continuu. Această egalitate are loc deoarece starea invariabilă în timp a circuitului de curent continuu implică faptul că acest circuit are o energie electro-magnetică constantă.
Se consideră o reţea conexă, închisă, de curent continuu cu n noduri şi l laturi. Se notează cu: Vk – potenţialele nodurilor (k = 1,2, …, n), Uj – tensiunile la bornele laturilor, Ij – intensitatea curenţilor din laturi (j = 1,2, …, l ). Aplicând teorema a I-a Kirchhoff la cele n noduri ale reţelei, rezultă relaţiile:
∑∈
=)k(j
j 0I , k = 1,2, …, n . (1.137)
Înmulţind fiecare din aceste ecuaţii cu potenţialul Vk al nodului corespunzător şi apoi adunând membru cu membru ecuaţiile, se obţine:
. (1.138) ∑∑= ∈
=n
1k )k(jjk 0IV
45
În membrul întâi al acestei ecuaţii, fiecare curent Ij intervine de două ori: o dată cu semnul "+" pentru nodul (k) din care iese curentul, şi o dată cu semnul "–" pentru nodul (h) în care intră acelaşi curent (fig. 1.46). Dând factor comun curentul fiecărei laturi din cei doi termeni care-l conţin, se obţin termeni de forma: (Vk –Vh)Ij. Considerând acelaşi sens de referinţă pentru tensiunea la bornele fiecărei laturi faţă de curentul prin latură, rezultă Vk –Vh = Uj şi relaţia (1.138) devine:
Ij (h) (k)
Uj
Fig. 1.46.
Ej Rj
Uj
Ij ∑ . (1.139)
=
=n
1jjj 0IU
Dacă se transformă toate generatoarele de curent în generatoare echivalente de tensiune, laturile reţelei fiind de forma celei din figura 1.47, aplicând legea lui Ohm, rezultă:
Fig. 1.47.
jjjj IREU −= . (1.140)
Înlocuind tensiunea Uj în (1.139), se obţine:
∑∑==
=ll
1j
2jj
1jjj IRIE . (1.141)
Suma algebrică a puterilor electrice EjIj ale generatoarelor de tensiune este egală cu suma puterilor absorbite de rezistoare (disipate prin efect Joule-Lenz). Termenii din membrul doi sunt pozitivi, iar termenii din primul membru sunt pozitivi sau negativi după modul cum sunt asociate sensurile curenţilor şi tensiunilor electro-motoare. Astfel, termenul E
2jjIR
jIj este pozitiv dacă t.e.m. Ej şi curentul Ij au acelaşi sens şi este negativ dacă Ej şi Ij au sensuri contrare.
Ecuaţia (1.141) poate fi scrisă matriceal sub forma:
]I[]R[]I[]I[]E[ tt ⋅⋅=⋅
tg
t ⋅⋅=⋅
(1.142) în care [E] şi [I] sunt matricele coloană cu l termeni a t.e.m. şi respectiv curenţilor din laturile reţelei, [E]t şi [I]t sunt transpusele acestor matrici, [R] este matricea diagonală de ordinul l a rezistenţelor din laturile reţelei.
Dacă se transformă generatoarele de tensiune în generatoare echivalente de curent, ecuaţia (1.141) se scrie:
∑∑==
=Rg
1j
2jj
1sgss UGIU
ll
. (1.143)
Suma algebrică a puterilor electrice UsIgs ale generatoarelor de curent este egală cu suma puterilor absorbite de rezistoare (disipate prin efect Joule-Lenz). Termenii din membrul doi sunt pozitivi, iar termenii din primul membru sunt pozitivi sau negativi după modul cum sunt asociate sensurile tensiunilor la borne U
2jjUG
s şi ale curenţilor Igs ale laturilor s (s = 1, 2, …, lg) cu generatoare ideale de curent. Astfel, termenul UsIgs este pozitiv dacă curentul Igs şi tensiunea Us la bornele generatorului de curent din latura s au sensuri opuse (sunt asociate după regula de la generatoare) şi este negativ dacă Igs şi Us au sensuri contrare (sunt asociate după regula de la receptoare).
Ecuaţia (1.143) poate fi scrisă matriceal sub forma:
]I[]G[]I[]I[]U[ . (1.144)
46
2. CIRCUITE ELECTRICE ÎN REGIM VARIABIL
2.1. IPOTEZE DE CALCUL. CLASIFICARE. Circuitele electrice în regim variabil reprezintă cazul general în teoria circuitelor
electrice. Un circuit electric se spune că este în regim variabil dacă tensiunile şi curenţii ce intervin sunt mărimi variabile în timp.
În practică intervine o mare varietate de cazuri de regimuri variabile funcţie de caracterul mărimilor care se aplică (tensiunile electromotoare ale surselor ce alimen-tează circuitele), de structura circuitului, de regimul de funcţionare (regimul permanent sau tranzitoriu), etc. Dacă tensiunile electromotoare (t.e.m.) ale surselor care acţionează într-un circuit sunt funcţii de timp, este evident faptul că circuitul respectiv se găseşte în regim variabil. Un regim variabil poate să rezulte însă în anumite cazuri chiar dacă tensiunea de alimentare este constantă în timp; un astfel de regim se stabileşte într-un circuit care, pe lângă rezistoare, conţine şi bobine sau condensatoare, la conectarea sau deconectarea acestuia la o sursă de curent continuu (regim tranzitoriu).
O ipoteză de calcul importantă în teoria circuitelor electrice este posibilitatea de a considera concentraţi parametrii circuitelor. În mod riguros aceşti parametri (R, L, C) nu sunt localizaţi în anumite porţiuni ale circuitelor electrice. Rezistenţa electrică se manifestă cu precădere în porţiunea ocupată de rezistoare, inductivitatea în porţiunea ocupată de bobine, iar capacitatea în porţiunea ocupată de condensatoare, astfel că parametrii acestor elemente de circuit pot fi consideraţi în general concentraţi. Aceasta constituie însă numai o primă aproximaţie. O bobină are, pe lângă inductivitate, o rezistenţă şi capacităţi între spire ale căror efecte nu mai pot fi neglijate la frecvenţe înalte, iar un condensator, pe lângă capacitate, mai are şi o rezistenţă corespunzătoare conductivităţii finite şi eventual pierderilor în dielectric. Deci, în general, un element real de circuit se caracterizează prin mai mulţi parametri care sunt presupuşi concentraţi şi grupaţi în mod corespunzător. Introducând noţiunea de element de circuit ideal (rezistor ideal, bobină ideală, condensator ideal), caracterizat numai de un singur parametru, aceasta echivalează cu a considera în locul unui element de circuit real o grupare corespunzătoare de elemente de circuit ideale. Gruparea este echivalentă cu elementul de circuit respectiv dacă pe baza ei rezultă aceleaşi relaţii între tensiuni şi curenţi. Posibilitatea de a considera parametrii concentraţi depinde de dimensiunile circuitului şi de frecvenţă.
Teoria circuitelor electrice cu parametri concentraţi se elaborează prin particularizare din teoria câmpului electromagnetic în următoarele condiţii de aproximare:
Prima condiţie se referă la caracterul cvasistaţionar al regimului care presupune anularea curentului de deplasare (iD ≈ 0). Curentul de deplasare este însă nenul în dielectricii condensatoarelor şi asigură închiderea circuitului. În consecinţă, curentul este de conducţie în conductoare şi de deplasare în condensatoarele cu dielectric perfect izolant.
47
A doua condiţie priveşte localizarea energiei câmpului magnetic numai în bobine şi a energiei câmpului electric numai în condensatoare. Deşi curentul de deplasare stabileşte câmp magnetic în dielectricii condensatoarelor, energia magnetică corespunzătoare se neglijează şi, deşi câmpul magnetic variabil în timp din bobine produce câmp electric, energia electrică corespunzătoare se neglijează.
A treia condiţie admite că intensitatea curentului care intră pe la una din bornele elementului de circuit este egală cu intensitatea curentului care iese pe la cealaltă bornă. Această condiţie presupune că cea mai mare dintre dimensiunile l ale elementului de circuit este mult mai mică decât cea mai mică lungime de undă λ (corespunzătoare celei mai înalte frecvenţe f) a semnalelor electrice ce intervin în circuit
f0c=λ<<l , (2.1)
c0 = 3.108 m/s fiind viteza de propagare a undelor electromagnetice în vid. În consecinţă,
în circuitele electrice cu parametri concentraţi, curentul se stabileşte instantaneu, efectul de propagare a acestuia fiind neglijabil.
A patra condiţie se referă la neglijarea repartiţiei neuniforme a curentului variabil în timp pe secţiunea conductoarelor. Experienţa arată că, la viteze mari de variaţie în timp a curentului electric de conducţie şi la valori mari ale conductivităţii σ, permeabilităţii µ şi a dimensiunii celei mai mici d a secţiunii transversale a unui conductor, densitatea de curent este mai mare la suprafaţa conductorului (efect pelicular). Efectul de refulare a curentului este neglijabil dacă este satisfăcută condiţia
1d<<
δ, (2.2)
πfµσ/1δ = fiind parametrul numit adâncimea de pătrundere a câmpului electromag-netic în conductoare [10]. În aceste condiţii, teoria circuitelor electrice este exclusiv o teorie a elementelor de circuit filiforme.
2.2. ELEMENTE DE CIRCUIT DIPOLARE 2.2.1. Clasificarea elementelor de circuit dipolare Elementul de circuit este un sistem caracterizat de mărimi de intrare, de ieşire şi
de relaţiile dintre ele.
x1
x2
xn
y1
y2
ym
…
x(t) y(t)
… ⇔ M
t
0
y
x0
y0
t0t
x
Fig. 2.2. Caracteristici de funcţionare. Fig. 2.1. Elementul de circuit dipolar.
Notând cu x(t) mărimea instantanee de intrare sau de excitaţie şi cu y(t) mărimea instantanee de ieşire sau de răspuns, relaţia, în general neliniară
y = y[x(t), t] (2.3) este ecuaţia caracteristică de funcţionare.
48
Curbele y(x) reprezentate de planul (x,y) pentru diferite momente de timp t, se numesc caracteristici de funcţionare (fig. 2.2), iar un punct M(x0,y0) situat pe curba corespunzătoare momentului t0, se numeşte punct de funcţionare. Valoarea derivatei într-un punct la momentul t = t0 se numeşte parametru dinamic Pd:
0ttd dt
dyP=
= . (2.4)
În funcţie de tipul ecuaţiei caracteristice de funcţionare, elementele de circuit dipolare se pot grupa astfel:
a) elemente liniare, invariabile în timp, y = C·x; b) elemente liniare, variabile în timp sau parametrice, y = C(t)·x(t); c) elemente neliniare, invariabile în timp, y = y(x); d) elemente neliniare, variabile în timp y = y(x,t) sau y = y[x(t),t]
Independent de natura perechii de mărimi (x,y), tensiunea la borne u(t) şi intensitatea curentului i(t) sunt univoc determinate la bornele elementului de circuit şi produsul lor notat
p = u·i (2.5) reprezintă puterea instantanee, iar
∫=2
1
t
t
pdt12W (2.6)
reprezintă energia în intervalul de timp t2 – t1. Dacă cel puţin într-un punct al caracteristicii de funcţionare puterea este
negativă, p < 0, elementul de circuit cedează putere pe la borne şi se numeşte element activ, sursă sau generator. Dacă în orice punct al caracteristicii de funcţionare puterea este pozitivă, p > 0, elementul primeşte putere pe la borne şi se numeşte element pasiv, sarcină sau receptor.
Elementele pasive capabile să acumuleze energie în câmp magnetic sau electric, se numesc reactive. Din această clasă fac parte bobina, care acumulează energie magnetică şi condensatorul, care acumulează energie electrică.
Mărimile x(t) şi y(t) pot fi tensiunea la borne u(t), intensitatea curentului i(t), fluxul magnetic φ(t) sau sarcina electrică q(t). Deoarece în studiul circuitelor electrice intervin tensiuni şi curenţi, pentru elementele reactive în care una dintre mărimi este fluxul magnetic sau sarcina electrică, se utilizează ca ecuaţii de legătură, ecuaţiile legilor inducţiei electromagnetice şi conservării sarcinii electrice. Deoarece aceste ecuaţii sunt de evoluţie, bobina şi condensatorul se mai numesc şi elemente dinamice sau cu memorie.
2.2.2. Rezistorul în regim variabil Rezistorul are, în cazul cel mai general, ecuaţia caracteris-
tică de funcţionare u = u[i(t),t] sau i = i[u(t),t]. (2.7)
Curba caracteristică în planul (u,i) este caracteristica tensiune – curent (sau volt – amper) u(i), respectiv în planul (i,u), caracteristica curent – tensiune i(u). Unul dintre simbolurile grafice utilizate pentru rezistor este prezentat în figura 2.3.
R
u(t) Fig. 2.3.
i(t)
49
Rezistorul liniar invariabil în timp are ecuaţia caracteristică u(t) = R·i(t) sau i(t) = G·u(t), (2.8)
unde R este rezistenţa măsurată în ohmi [Ω] şi R1G = este conductanţa măsurată în Ω-1
sau siemens [S]. Caracteristica fiind o dreaptă ce trece prin origine, u şi i au aceeaşi formă de variaţie în timp (fig. 2.4).
i
Daca se înmulţesc în (2.8) prima ecuaţie cu i şi a doua cu u, se obţine puterea instantanee a rezistorului:
p = R·i2 = G·u2 . (2.9) Indiferent de sensul sau semnul tensiunii u şi curentului i, puterea este pozitivă şi
corespunde efectului electrocaloric Joule – Lenz de transformare ireversibilă a energiei electrice în căldură.
Rezistorul liniar variabil în timp (parametric) are ecuaţia caracteristică
u(t) = R(t)·i(t), (2.10) R(t) fiind rezistenţa parametrică.
Un exemplu de rezistor parametric este potenţio-metrul la care cursorul oscilează cu o frecvenţă f în jurul unei valori mediane R0 (fig. 2.5):
R(t) = R0 + Rmax sin2πf t , (2.11)
în care Rmax este amplitudinea părţii variabile în timp. Caracteristicile u(i) sunt o familie de drepte ce trec
prin origine (fig. 2.5). Forma de variaţie în timp a tensiunii diferă de cea a curentului. De exemplu, dacă rezistorul este parcurs de un curent sinusoidal, i(t) = Imax sin(2πf1t + α), tensiunea la borne
)12.2(],t)ff(2cos[2IR]t)ff(2cos[2
IR)tf2sin(IR 1maxmax
1maxmax
1max0 α++π−α−−π+α+π=u(t)
conţine un termen de frecventa f1 şi doi termeni de frecvenţe f – f1 şi f + f1. 2.2.3. Bobina (inductorul) în regim variabil Bobina necuplată magnetic este un element de circuit
pasiv cu ecuaţia caracteristică: ],[ ti(t)ψ=ψ . (2.13)
Curba caracteristică în planul (ψ,i) se numeşte caracteristică flux – curent (fig. 2.6).
Fig. 2.4.
0
ui
iu R
u0 t
Fig. 2.5.
i
R0
R0 + RmaxR0 – Rmax
u
u R0 + Rmax
i0
R0
R0 – Rmax
Fig. 2.6. i0
ψ i
u
50
Ecuaţia de legătură între flux şi tensiunea la borne sau căderea inductivă de tensiune este ecuaţia de evoluţie dedusă din legea inducţiei electromagnetice,
dtdψ=u(t) . (2.14)
Integrând pe intervalul 0 – t, se obţine:
. (2.15) ∫∫∞−
=ψ+ψ=ψ0t
0
)0(,)0()t( u(t)dt u(t)dt
Deoarece fluxul magnetic depinde de valoarea anterioară a tensiunii, bobina este un element de memorie. Scriind ecuaţia fluxului sub forma
∫∞−
=ψt
)t( u(t)dt (t), (2.16)
în care u(t) este o funcţie integrabilă, fluxul magnetic definit astfel în intervalul de timp (–∞ , + ) este o funcţie absolut continuă în timp. Independent de modurile de comutare a bobine într-un circuit electric, fluxul magnetic nu variază discontinuu (se spune că fluxul magnetic în bobina e conservativ).
∞
Bobina liniara, invariabilă în timp şi necuplată magnetic are ecuaţia caracteristică
)t(sauL)t( ψ⋅Γ=⋅=ψ i(t) i(t) , (2.17) unde: L > 0 – inductivitatea proprie sau inductanţa, independentă de ψ, i şi t; Γ = 1/L > 0 – inductivitatea reciprocă proprie.
Din (2.14) şi (2.17), tensiunea la bornele bobinei rezultă:
u(t) = L dtdi . (2.18)
Integrând pe intervalul 0 – t, se obţine:
)0(LI+′)0(t
0
t
0
LIL1 Γ=+′ ∫∫ ′′= tdu tdui )t()t((t) , (2.19)
unde
∫∞−
′′=0
L L1I )0( t)dtu( (2.20)
este valoarea iniţială a curentului. Bobina liniară, invariabilă în timp şi necuplată magnetic este complet caracteri-
zată de inductivitatea proprie L şi de intensitatea curentului la momentul iniţial i(0). Energia acumulată în câmpul magnetic al bobinei este
L21i2
1Li21LW
22
i
0
t
0
mψ=ψ==== ∫∫ idiu(t)i(t)dt , (2.21)
unde s-a presupus IL(0) = 0. Indiferent de sensul curentului în raport cu cel al tensiunii, Wm > 0, deci bobina
este un element pasiv. Teorema continuităţii uniforme a curentului în bobină. Expresiile curentului prin bobină la două momente de timp, t şi t + dt, se scriu:
.)0(IL1;)0(IL
1L
dtt
0
L
t
0
+′′=++′′= ∫∫+
t)dtu(dt)i(tt)dtu(i(t)
Fig. 2.7.
ψ
i0
i
L,IL(0)u
51
Scăzând membru cu membru aceste ecuaţii, se obţine:
∫+
′′=−+dtt
tL1 t)dtu(i(t)dt)i(t . (2.22)
Dacă în intervalul indus [0,T] tensiunea este mărginită, u(t) < U, integrala din membrul drept tinde către zero pentru dt → 0 şi deci se anulează şi primul termen al ecuaţiei (2.22). În consecinţă, dacă tensiunea la borne este mărginită în intervalul de timp [0,T], curentul electric este uniform continuu în intervalul (0,T). Curentul electric într-o bobina nu poate sa treacă brusc de la o valoare finită la alta valoare finită şi deci nu e posibilă injectarea unui curent treaptă, dacă tensiunea aplicată e mărginită.
Bobina liniară, variabilă în timp (parametrică) şi necuplată magnetic are ecuaţia caracteristică
ψ (t) = L(t)⋅i(t), (2.23)
unde L(t) este inductivitate parametrică. Expresia tensiunii la bornele bobinei rezultă
u(t) = L(t) dtdi + i(t) dt
dL (2.24)
şi are componentele:
L(t) dtdi – căderea de tensiune de pulsaţie (datorată variaţiei în timp a curentului);
i(t) dtdL – căderea de tensiune inductivă parametrică.
Se dă ca exemplu solenoidul în interiorul căruia miezul magnetic oscilează cu o frecvenţă f. Dacă curentul prin bobină este sinusoidal în timp, i(t) = Imax sin(2πf1t + α), fluxul magnetic corespunzător inductivităţii parametrice L(t) = L0 + Lmaxsin2πf t conţine termeni cu frecventele: f1, f – f1 şi f + f1.
Bobine cuplate magnetic. Bobina s parcursa de curentul is este cuplată magnetic cu alte l – 1 bobine dacă
fluxul magnetic ψs este funcţie şi de intensităţile curenţilor prin celelalte bobine, ecuaţia caracteristică fiind:
ψs = ψs [i1(t), i2(t), …, is(t), …, il(t)]. (2.25)
Dacă bobinele sunt liniare şi invariabile în timp, fluxul magnetic al bobinei s se exprimă sub forma:
, (2.26) ∑=
=ψl
i1k
kkss L
unde 0LLs
ssksss >ψ== = i este inductivitatea proprie a bobinei s,
k
sskks LL i
ψ== este
inductivitatea mutuală dintre bobinele k şi l. Inductivitatea Ls corespunde fluxului magnetic propriu ψs = Lsis stabilit de curentul is, fiind întotdeauna pozitivă (curenţii prin celelalte bobine k ≠ s fiind nuli). Inductivitatea Lks corespunde fluxului magnetic mutual ψks = Lksik stabilit în bobina s de curentul ik ce străbate inductorul k şi este pozitivă sau negativă după cum liniile de câmp care se închid prin cele doua bobine sunt asociate sensurilor curenţilor is şi ik după regula burghiului drept, în acelaşi sens, respectiv în sens opus.
Tensiunea us la bornele bobinei cuplate magnetic se calculează astfel:
52
∑∑∑≠≠=
+=+==ψ=sk
kssssk
kss1k
kss
s uuLLLdtdu dt
didtdi
dtdi ks
lk , s = 1,2, …, l. (2.26)
în care: dtdis
sss Lu = – căderea de tensiune inductiva proprie,
dtdik
ksks Lu = – căderea de tensiune inductivă mutuală.
În formă matriceală, ecuaţiile (2.26) se scriu formal astfel:
[ ] [ ] [ ]idtdLu ⋅= , (2.27)
în care [u] şi [i] sunt matricele coloană ale tensiunilor la borne şi respectiv curenţilor prin bobine, iar [L] este matricea pătratică şi simetrică de ordinul l a inductivităţilor proprii şi mutuale, având pe diagonală inductivităţile proprii ale bobinelor şi în afara diagonalei inductivităţile mutuale:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnj2n1n
knkj2k1k
n2j22221
n1j11211
L....L....LL..........................L....L....LL...........................L....L....LLL....L....LL
L . (11.28)
Invers, prin integrare, se determină curentul prin bobina s:
; s = 1,2, …, l. (2.29) )0(t
0
k1k
kss td)'t(u s
l
ii +′Γ= ∫∑=
în care 0sksss >Γ=Γ = este inductivitatea reciprocă proprie a bobinei s, este inductivitatea reciprocă mutuală dintre bobinele k şi l.
skks Γ=Γ
În forma matricială, sistemul de ecuaţii (2.29) se scrie:
[ ] [ ] [ ])0(t
0
td][ iui ∫ +′⋅Γ= , (2.30)
unde matricea
[ ] (2.31)
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΓΓΓΓ
ΓΓΓΓ
ΓΓΓΓΓΓΓΓ
=Γ
nnnk2n1n
jnjk2j1j
n2k22221
n1k11211
..................................
...................................
........
........
este matricea pătratică şi simetrică de ordinul n a inductivităţilor reciproce proprii şi mutuale, având pe diagonală inductivităţile reciproce proprii ale bobinelor şi în afara diagonalei inductivităţile reciproce mutuale.
Comparând ecuaţiile (2.27) şi (2.30), rezultă că matricea inductivităţilor reciproce se obţine, pentru un sistem de bobine dat, prin inversarea matricei inductivităţilor proprii şi mutuale a sistemului,
[ ] [ ] 1L −=Γ . (2.32)
53
Se consideră, ca exemplu, cazul a trei bobine cuplate magnetic (fig. 2.8). Ecuaţiile tensiunilor se scriu: *
L13 = L31>0
i1
L1L12 = L21<0
**i3 i2
L2
L3
u3
u2
u1
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=
+−=
+−=
dtdi
dtdiu
dtdi
dtdiu
dtdi
dtdi
dtdiu
313
212
3211
331
221
13121
LL
LL
LLL
(2.33)
Fig. 2.8. matricea inductivităţilor fiind
[ ]⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
−=
331
221
13121
L0L0LL
LLLL . (2.34)
Rezolvând sistemul (2.33) în raport cu curenţii, rezultă:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+′Γ+′Γ+′Γ=
+′Γ+′Γ+′Γ=
+′Γ+′Γ+′Γ=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
)0(
)0(
)0(
t
0
3
t
0
32
t
0
31
t
0
23
t
0
2
t
0
21
t
0
13
t
0
12
t
0
1
33213
23212
13211
itdutdutdui
itdutdutdui
itdutdutdui
(2.35)
unde inductivităţile reciproce se calculează astfel:
= 1Γ ∆32LL ; = 2Γ ∆
− 133131 LLLL ; 3Γ = ∆− 122121 LLLL ;
∆
=Γ=Γ ; 1232112
LL∆
−=Γ=Γ 13213223
LL ; ∆
−=Γ=Γ 1323113
LL
∆ = L1L2L3 – L2L13L31 – L3L12L21 . (2.36) Semnele inductivităţilor mutuale reciproce skΓ diferă de cele ale inductivităţilor
mutuale Lsk, convenţia bornelor polarizate în raport cu tensiunea necesitând modificarea acestora.
Înmulţind relaţia (2.26) cu isdt şi integrând, se deduce expresia energiei magne-tice a bobinei s:
∑∫∫≠=
+=′=l
ks2sss diiitdiu
sk1k
kss
t
0
)s(m LL2
1W . (2.37)
Termenul pozitiv 0L21W este energia magnetică proprie, iar termenul
, pozitiv sau negativ, este energia magnetică mutuală.
s)s(
mp >= 2si
∑∑∫≠=
≠=
==l
ks
l
ks iidii
sk1k
ks
sk1k
ks)s(
mm LLW
Energia totală înmagazinată în câmpul magnetic a sistemului de l bobine cuplate magnetic este:
∑∑∫∑===
+==lll
1s
)s(mm
1s
)s(mpks
1s,k
skm WWdiiLW . (2.38)
54
2.2.4. Condensatorul (capacitorul) în regim variabil Condensatorul este un element de circuit pasiv cu ecuaţia caracteristică:
q = q[u(t),t] sau u = u[q(t),t]. (2.39)
Curba caracteristică în planul (q,u) la un moment t, se numeşte caracteristică sarcină – tensiune (fig. 2.9). Ecuaţia de legătură între sarcina electrică şi intensitatea curentului (curent de deplasare) este dată de legea conser-vării sarcinii electrice:
dtdq=
0
i . (2.40)
Integrând ecuaţia în intervalul 0 – t, se obţine:
. (2.41) ∫∫∞−
′′+= ′′ =
0t
0
tdiq tdiqq(t) )((0))((0) tt ,
Sarcina electrică a condensatorului la momentul t, q(t), depinzând de sarcina iniţială q(0) şi de valorile anterioare ale curentului i( t,t ),t <′<′ condensatorul este un element de memorie. Scriind ecuaţia (2.41) sub forma
∫∞−
′′=t
t)dti(q(t) , (2.42)
în care i(t) este o funcţie integrabilă, sarcina electrică q(t) în intervalul ( este o funcţie absolut continuă în timp. Independent de modurile de comutare a condensa-torului intr-un circuit electric, sarcina electrică nu variază discontinuu (sarcina electrică a condensatorului e conservativă).
),+∞−∞
Condensatorul liniar, invariabil în timp are ecuaţia caracteristică:
q(t) = C⋅u(t) sau u(t) = S⋅q(t), (2.43)
în care: C > 0 – capacitatea (măsurată în Farad [F]), independentă de q,u şi t, S > 0 – capacitatea reciprocă sau elastanţa (măsurată în [F-1] sau daraf [DF]).
În planul (q,u) curba caracteristică este o dreaptă ce trece prin origine (fig. 2.10). Ecuaţia (2.40) se scrie
dtdui(t) C= (2.44)
din care rezultă:
)0(UC
t
0
+′∫ ′ td)ti(S)0(UC1
C
t
0
=+′∫ ′= td)ti(u(t) (2.45)
unde, ∫∞−
′′=0
C L1)0(U t)dtu( (2.46)
este valoarea iniţială a tensiunii. Condensatorul liniar şi invariabil în timp este complet caracterizat în regim
variabil în timp de capacitatea C şi de tensiunea la momentul iniţial UC(0).
Fig. 2.9.
q i
u0
u
q
Fig. 2.10. u0
iC, UC(0)
u
55
Energia acumulată în câmpul electric al condensatorului este
uq21qC2
1Cu21CW 22
u
0
t
0
e ⋅====′= ∫∫ ′⋅′ udutdiu )t()t( , (2.47)
unde s-a presupus UC(0) = 0. O demonstraţie similară ca în cazul fluxului magnetic arată ca tensiunea
electrica la bornele unui condensator variază în mod continuu în intervalul (0,T) dacă intensitatea curentului este mărginită în intervalul [0,T]. În consecinţă, tensiunea la bornele unui condensator nu poate sa treacă brusc de la o valoare finită la o alta valoare finită şi deci nu e posibilă realizarea unei trepte de tensiune, dacă intensitatea curentului este mărginită.
Condensatorul liniar variabil în timp (parametric) are ecuaţia caracteristică:
q(t) = C(t)⋅u(t) (2.48) în care C(t) este capacitatea parametrică.
Curentul are două componente:
dtdC(t)C u(t)(t) dt
dudtdqi +== (2.49)
• dtdu)t(C – componenta statică sau de pulsaţie;
• dtdC(t)u – componenta parametrică.
Exemplu: sistemul cu o armatură fixă şi alta mobilă oscilând cu frecventa f între o distanţă minimă d0 – ∆d şi o distanţă maximă d0 + ∆d (condensator cu armatură vibrantă – fig. 2.11). Distanţa dintre armături la un moment t este
d(t) = d0 + ∆d⋅sin2πft. (2.50) q
0
d0
d0 – ∆d
u
d0 + ∆d
i
u
d 0 –
∆d
d 0
d 0 +
∆dConsiderând A aria armăturilor, capa-
citatea parametrică rezultă:
ft2sinddA
)t(dA)t(
0 π⋅∆+ε=ε= C (2.51)
Fig. 2.11. Condensatorul neliniar.
Condensatoarele reale au caracteristica sarcină – tensiune neliniară datorită neliniariatăţii dielectricului dintre armături. Ecuaţia caracteristică în cazul cel mai general este de forma:
q =q[u(t)] sau q=q[u(t),t] (2.52)
Condensatoarele cu dielectricul constituit din substanţe feroelectrice prezintă fenomenul de histerezis electric (fig. 2.12).
q
u
Fig. 2.12.
56
3. CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
3.1. MĂRIMI VARIABILE, MĂRIMI SINUSOIDALE 3.1.1. Mărimi variabile, mărimi periodice, mărimi alternative Fie y(t) o funcţie de timp reprezentând o mărime variabilă: tensiune, curent, etc. Se numeşte valoare instantanee, valoarea pe care o are mărimea variabilă la un
moment oarecare t. Prin convenţie valoarea instantanee se notează cu litera mică a simbolului stabilit pentru mărimea respectivă: i – curent, u – tensiune, v – potenţial electric, e – tensiune electromotoare (t.e.m.), p – putere instantanee.
Mărimea periodică este o mărime variabilă a cărei succesiune de valori se repetă la intervale egale de timp. Cel mai scurt interval de timp după care mărimea periodică îşi reia valoarea în aceeaşi ordine se numeşte perioadă (T).
Pentru mărimile periodice este satisfăcută relaţia
y(t) = y(t + kT), (3.1)
unde k este un număr întreg oarecare (k = 0, ±1, ±2, …). Exemple: i(t) = i(t+kT), u(t) = u(t+kT), e(t) = e(t+kT).
Numărul de perioade cuprinse în unitatea de timp se numeşte frecvenţă (f), iar produsul 2πf = ω se numeşte pulsaţie, frecvenţă unghiulară sau frecvenţă ciclică.
T2f2 π=π=ω ,
πω== 2T
1f (3.2)
Pulsaţia ω se măsoară în radiani pe secundă (rad/s), iar frecvenţa f în hertz (Hz). Gama frecvenţelor utilizate în tehnică este foarte mare, cuprinsă între zeci si
milioane de hertzi (GHz). Curentul continuu poate fi considerat caz particular al unui curent variabil cu f = 0. În instalaţiile energetice se folosesc frecvente joase, standar-dizate la valoarea de 50 Hz în Europa şi 60 Hz în America.
Se numeşte valoare de vârf a unei mărimi periodice, cea mai mare valoare instantanee (în modul) pe care o poate avea acea mărime în decursul unei perioade. Se notează cu: Ymax, Ym sau . y
Valoarea medie a unei mărimi variabile pe intervalul de timp t2 – t1 este media aritmetică a valorilor instantanee, notată cu Ymed sau : y~
∫−==
−−
2
1
1212
t
ttttt ydttt
1Yy~12
med (3.3)
Valoarea medie a unei mărimi y(t) pe un interval de timp t2 – t1 este egală cu înălţimea dreptunghiului de lăţime t2 – t1, având aria egală cu aria cuprinsă între curba y(t) şi axa 0 – t în intervalul considerat.
57
În cazul mărimilor periodice, intervalul de timp pe care se calculează valoarea medie se ia egal cu o perioadă, t2 – t1 = T
∫+
==T1
1
t
t
ydtT1YY 0med (3.4)
Valoarea efectivă sau eficace a unei mărimi variabile pe intervalul de timp t2 – t1 este rădăcina pătrată a mediei pătratelor valorilor instantanee, notată cu Yef sau Y:
∫−=
−
2
1
12
t
ttt dtytt
1Y 2
12 (3.5)
Ca şi în cazul valorii medii, valoarea efectivă a mărimii periodice se calculează pe intervalul unei perioade:
∫+
==T
2ef
1
1
t
t
dtyT1YY (3.6)
Valoarea efectiva 12 ttI
−a intensităţii curentului variabil în timp i(t) este egală cu
intensitatea curentului continuu I care dezvoltă aceeaşi cantitate de căldură intr-un rezistor liniar in intervalul de timp t2 – t1. Într-adevăr, identificând expresiile cantităţilor de căldură dezvoltate de curentul variabil în timp i(t), Qi şi de curentul continuu I, QI, în acelaşi rezistor de valoare R, avem:
)tt 12 − ,i (RIQdtRQ 2I
2i
2
1
t
t
== ∫ y
şi din
i∫−
2
1
t
t
dtt1 2
1 =⇒=
− 12 tt tIQQ2
Ii
În figura 3.1 se prezintă curba unei mărimi periodice cu evidenţierea mărimilor definite mai sus.
Mărimea pulsatorie este o mărime periodică a cărei valoare instantanee nu schim-bă de semn. Se numeşte puls porţiunea din mărimea pulsatorie limitată de intervalul unei perioade (fig. 3.2). Prin urmare, mărimea pulsatorie este o succesiune de pulsuri identice.
Mărimea alternativă este mărimea periodică a cărei valoare medie calculată pe o perioadă este nulă:
0ydtT1y~
T1
1
t
t
== ∫+
(3.7)
Porţiunile de curbă pentru care mărimea este pozitivă (y > 0), respectiv negativă (y < 0) se numesc alternanţe: alternanţa pozitivă, respectiv negativă. Ariile delimitate de aceste alternanţe sunt egale (fig. 3.3).
Fig. 3.1. Exemplu de mărime periodică.
T
Ymaxy(t) y(t+T) YefYmed
0 t
y
Fig. 3.2. Exemplu de mărime pulsatorie.t0 T
puls
y
0 t1 t
T
Fig. 3.3. Exemplu de mărime alternativă.
58
3.1.2. Mărimi sinusoidale (armonice) Mărimea sinusoidală sau armonică este mărimea alternativă a cărei expresie
analitică poate fi pusă sub forma în ″sinus″,
)tsin(Y)t(y m γ+ω= , (3.8)
sau în ″cosinus″, )tcos(Y)t(y m δ+ω= (3.9) în care, Ym este valoarea maximă sau amplitudinea, unghiul variabil in timp ωt + γ, respectiv ωt + δ este faza (măsurată în radiani), iar valoarea fazei la momentul t = 0, γ, respectiv δ, este faza iniţială.
Valoarea medie a unei mărimi sinusoidale calculată cu relaţia dată este nulă:
0dt)tcos(TYdt)tsin(T
YY1
1
1
1
t
Tt
mTt
t
mmed ∫∫
+
+
=γ+ωω
=γ+ω= (3.10)
Pentru mărimile alternative se utilizează valoarea medie calculată numai pe o alternanţă:
mm0
2/Tm
2/T
0
mmed Y636,0Y2tcosT
Y2tdtsin2TYY ≈π=ωω=ω= ∫ (3.11)
Valoarea efectivă rezultă:
2Ydt)]t(2cos1[T2
Ydt)t(sinTYY
2m
T2m
T2
2m2
1
1
1
1
t
t
t
t=γ+ω−=γ+ω= ∫∫
++
(3.12)
respectiv, mm Y707,02
YY ≈= (3.13)
Raportul dintre valoarea efectivă şi valoarea medie (calculată pentru semiunda pozitivă) a unei mărimi se numeşte factor de formă:
medf Y
Yk = . (3.14)
Raportul dintre valoarea maximă şi valoarea efectivă se numeşte factor de vârf:
YYk m
v = . (3.15)
În cazul mărimilor sinusoidale rezultă:
2 k;11,122Y22
Yk vm
mf =≈π=π⋅= . (3.16)
În electrotehnică se operează cu valorile efective ale mărimilor sinusoidale şi din acest motiv, ele se scriu de obicei sub forma:
)tsin(Y2)t(y γ+ω= . (3.17) De exemplu: ).tsin(I2;)tsin(U2 β+ω=α+ω= (t)(t) i u
O mărime sinusoidală este deci complet determinată dacă i se cunosc valoarea efectiva Y, pulsaţia ω şi faza iniţială γ.
Două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă )tsin(Y2)t(y);tsin(Y2)t(y 222111 γ+ω=γ+ω= ,
sunt defazate dacă diferenţa fazelor lor, egală cu diferenţa fazelor iniţiale, este nenulă:
0)t(t 2121 ≠ϕ=γ−γ=γ+ω−γ+ω . (3.18)
59
y
0 ωt γ1
γ2
φ
y1y2
b)
y
0 ωtγ1
γ2 φ
y1 y2
a)Fig. 3.4. Defazajul undelor sinusoidale: a) unda y1 defazată înaintea undei y2;
b) unda y1 defazată în urma undei y2;
Diferenţa fazelor iniţiale se numeşte defazaj şi se măsoară în radiani. Unghiul de defazaj se notează, de obicei, cu φ = γ1 – γ2. Pot exista următoarele situaţii:
a) dacă 021 >γ−γ mărimea y1 este defazată înaintea mărimii y2 (fig. 3.4,a); b) dacă 021 <γ−γ mărimea y1 este defazată în urma mărimii y2 (fig. 3.4,b);
c) dacă 221π±=γ−γ mărimile sunt defazate în cuadratură;
d) dacă π±=γ−γ 21 mărimile sunt în opoziţie de fază. Noţiunea de defazaj între mărimile sinusoidale (în general, periodice) are sens numai dacă acestea au aceeaşi frecvenţă. Astfel, dacă frecventele mărimilor y1(t) şi y2(t) sunt diferite, diferenţa fazelor este variabilă în timp:
21212211 t)()t(t γ−γ+ω−ω=γ+ω−γ+ω (3.19)
şi noţiunile ″defazat înainte″ sau ″defazat în urmă″ nu mai au sens.
3.2. PUTERI ÎN CIRCUITE MONOFAZATE ÎN REGIM SINUSOIDAL
Se consideră tensiunea şi curentul mărimi sinusoidale de forma
⎩⎨⎧
β+ω=
α+ω=
)tsin(I2,)tsin(U2
(t)
(t)
i u
(3.20)
la bornele unui circuit dipolar. Pentru circuitele dipolare liniare, funcţionând în regim permanent sinusoidal, se definesc următoarele puteri:
1 Puterea instantanee p(t) dată de produsul valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului:
iup(t ⋅=) (3.21)
Înlocuind tensiunea şi curentul date de rel. (3.20), se obţine
)t2cos(UI)cos(UI)tsin()tsin(UI2 β+α+ω−β−α=β+ω⋅α+ω=⋅= iup . (3.22)
Puterea instantanee în regim sinusoidal conţine doi termeni: un termen constant în timp UIcos(α – β) = UIcosφ şi un termen sinusoidal, de frecvenţă dublă
)2t2sin(UI)t2cos(UI π−β+α+ω=β+α+ω−=op , (3.23)
numită putere oscilantă sau fluctuantă.
60
Din reprezentarea grafică din figura 3.5 se constată că pentru puterea instantanee pot exista intervale pe care aceasta este negativă, ceea ce înseamnă de fapt că în aceste intervale de timp puterea nu este primită, ci este cedată de circuit pe la borne spre exterior. Puterea instantanee negativă apare în circuitele care conţin, pe lângă rezistoare şi bobine sau condensatoare şi pentru care unghiul de defazaj φ = α – β este nenul. Intervalele pe care puterea instantanee este negativă corespund intervalelor de timp când energia magnetică sau electrică acumulată în câmpul magnetic al bobinelor sau în câmpul electric al condensatoarelor se transformă în energie electrică furnizată de circuit pe la borne.
2 Puterea activă P este dată de valoarea medie a puterii instantanee pe un interval de timp de o perioadă sau un multiplu întreg de perioade:
∫=T
0T1P pdt . (3.24)
Efectuând integrala pentru puterea instantanee p dată de rel. (3.22) în care se notează cu φ = α – β unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent (unghiul de defazaj al tensiunii faţă de curent), expresia puterii active în regim sinusoidal rezultă
ϕ= cosUIP . (3.25)
ωt
Fig. 3.5.
u,i,p,po
UIcosφ
po 0
φ
i
up
Unitatea de măsură pentru puterea activă se numeşte watt şi se notează cu W. Se folosesc şi multiplii: 1kW=103W; 1MW=106W; 1GW=109W.
Integrala în timp a puterii active reprezintă energia electrică activă:
(3.26) ∫=t
0
PdtW
Unitatea de măsură pentru energia activă este watt⋅secundă (Ws) cu multiplii kilowatt⋅oră (kWh), megawatt⋅oră (MWh) şi gigawatt⋅oră (GWh).
Puterea activă pozitivă e primită, iar cea negativă e cedată de dipol, dacă sensu-rile de referinţă ale tensiunilor şi curenţilor sunt asociate după regula de la receptoare. Invers, puterea activă pozitivă e cedată, iar cea negativă e absorbită, dacă sensurile de referinţa ale tensiunilor şi curenţilor sunt asociate după regula de la generatoare.
Din expresia (3.25) a puterii active se observă dependenţa acesteia de defazajul φ dintre curent şi tensiune. La aceleaşi valori efective ale tensiunii la borne şi curentului, puterea activă variază în limite largi cu φ. Pentru φ = 0, puterea activă este maximă, P = UI (circuit pur rezistiv – puterea instantanee are numai valori pozitive).
61
Dacă (circuit cu bobină ideală sau cu condensator ideal), P = 0 şi deci puterea instantanee, egală cu puterea fluctuantă, oscilează între circuit şi sursa de alimentare.
2/π±=ϕ
În raport cu puterea activă, pentru circuitele de curent alternativ se definesc:
- rezistenţa
0cosIU
IPR 2 >ϕ== ; (3.27)
- conductanţa
0cosUI
UPG 2 >ϕ== . (3.28)
Observaţie. Spre deosebire de circuitele de c.c. unde G = 1/R, în general, în circuitele de c.a. G ≠ 1/R.
3 Puterea aparentă S este dată de produsul valorilor efective ale tensiunii şi curentului:
S = U I (3.29)
Unitatea de măsură pentru puterea aparentă este voltamper (VA) cu multiplii: kVA, MVA, GVA.
Puterea aparentă reprezintă valoarea maximă a puterii active. În raport cu puterea aparenta se definesc:
- impedanţa
][ΩIU
ISZ 2 == ; (3.30)
- admitanţa
]S[Z1
UI
USY 2 === . (3.31)
Se numeşte factor de putere raportul pozitiv dintre puterea activă P şi puterea aparenta S:
SPKP = . (3.32)
În regim sinusoidal, factorul de putere rezultă
ϕ= cosKP . (3.33)
Cum unghiul de defazaj ia valori în domeniul 2/2/ π≤ϕ≤π− , rezultă: . 1K0 P ≤≤
4 Puterea reactivă Q este definită în regim sinusoidal prin relaţia
ϕ= sinUIQ (3.34)
Unitatea de măsură a puterii reactive se numeşte volt-amper-reactiv (VAR). Se utilizează multipli: KVAR, MVAR, GVAR.
Puterea reactivă poate fi pozitivă sau negativă după cum urmează:
- pentru defazaj inductiv, 20 π≤ϕ< , puterea reactivă pozitivă este primită de
dipolul receptor şi cedată de cel generator;
- pentru defazaj capacitiv, 02 <ϕ≤π− , puterea reactivă negativă e cedată de
dipolul receptor şi primită de cel generator.
62
În raport cu puterea reactivă se definesc:
- reactanţa
ϕ== sinIU
IQX 2 >< 0 [Ω ]; (3.35)
- susceptanţa
ϕ== sinUI
UQB 2 >< 0 [S]. (3.36)
5 Triunghiurile puterilor, impedanţei şi admitanţei În regim sinusoidal, între puterile aparentă, activă şi reactivă existând relaţiile
SPcos,QPS 222 =ϕ+= , (3.37)
acestea pot reprezentate prin laturile unui triunghi dreptunghic ca în figura 3.6,a) numit
triunghiul puterilor.
G
Y
φ X
Z
φ R
b)
Q
P a)
S
φ B
c)
Fig. 3.6. Triunghiurile puterilor (a), impedanţei (b) şi admitanţei (c).
Pe baza triunghiului puterilor pot fi scrise şi alte relaţii, de exemplu:
PQtg,sinSQ,cosSP =ϕϕ=ϕ= . (3.38)
Dacă se împarte fiecare latură a triunghiului puterilor prin valoarea efectivă a intensităţii curentului la pătrat I2, se obţine un triunghi asemenea, triunghiul impedanţei (fig. 3.6,b). Pe baza acestui triunghi pot fi scrise relaţiile:
RXt,XRZ,sinZX,cosZR 22 =ϕ+=ϕ=ϕ= g . (3.39)
Dacă se împarte fiecare latură a triunghiului puterilor prin valoarea efectivă a tensiunii la pătrat U2, se obţine un triunghi asemenea, triunghiul admitanţei (fig. 3.6,c), pe baza căruia se pot scrie unele relaţii cum sunt:
GBt,BGY,sinYX,cosYG 22 =ϕ+=ϕ=ϕ= g . (3.40)
63
3.3. REPREZENTĂRI SIMBOLICE ALE MĂRIMILOR SINUSOIDALE
3.3.1. Reprezentarea geometrică a mărimilor sinusoidale
Reprezentarea cinematică.
Prin această reprezentare se asociază unei mărimi sinusoidale un vector de modul egal cu amplitudinea Y2 care roteşte în plan, în sens trigonometric, cu viteza unghiulară egală cu pulsaţia ω şi formează în frecare moment t cu o axa de referinţă fixă 0x0 un unghi egal cu faza γ+ωt (fig. 3.7). Utilizând notaţiile lui Kennelly, avem cores-pondenţa biunivocă
γ+ω=⇔γ+ω= tY2A0)tsin(Y2)t(y . (3.41)
Axa 0x care roteşte cu viteza unghiulară ω în acelaşi sens cu vectorul şi formează cu acesta unghiul constant γ se numeşte axă origine de fază. Unghiul de fază iniţială γ se măsoară de la axa origine de fază 0x şi este pozitiv în sens trigonometric şi negativ în sens orar.
ω
y0
x0
ωt
Y2
ωt+γ
γ x
0
y(t)
A
Vectorul rotitor, numit fazor cinematic, respectiv fazor geometric nesimplificat, are proiecţia pe axa 0y0 egală cu valoarea instantanee y a mărimii sinusoidale.
Fig. 3.7.
Între operaţiile cu mărimi sinusoidale şi operaţiile cu fazori cinematici avem următoarea corespondenţă:
a) Operaţiei de multiplicare a mărimii sinusoidale y(t) cu un scalar λ >< 0 îi corespunde multiplicarea cu λ a amplitudinii (modulului) fazorului cinematic:
γ+ωλ→λ tY2y )t( (3.42)
b) Sumării a două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă y1(t) + y2(t) = y(t), îi corespunde fazorul egal cu compusa grafică a fazorilor mărimilor y1(t) şi y2(t), (fig.3.8):
γ+ω=γ+ω+γ+ω=+=→+ tY2tY2tY2A0A0A0yy 2211121 )t()t( 2 (3.43) unde,
2211
22112121
22
21 cosYcosY
sinYsinYarctgγ;)cos(YY2YYYγ+γγ+γ=γ−γ++= . (3.44)
b) Derivării în raport cu timpul a mărimii sinusoidale y(t), îi corespunde multiplicarea cu ω a modulului fazorului cinematic şi rotirea acestuia cu π/2 (în sens trigonometric, fig. 3.9):
2tY2B0 π+γ+ωω=→)2tsin(Y2dtdy π+γ+ωω= (3.45) y0
ωt+γ1
ωt+γ2
ωt+γ
2 Y12 Y
2 Y2
A1
A
A2
0 x0
c) Integrării în timp a mărimii sinusoidale îi cores-punde împărţirea cu ω a modulului fazorului cinematic şi rotirea acestuia cu –π/2 (în sens invers trigonometric, fig.3.9):
2tY2C0) π−γ+ωω
=→ 2tsin(Y2ydt π−γ+ωω
=∫ (3.46)
Fig. 3.8.
64
Reprezentarea polară. y0
ωt+γ2 ωY
2 YB
A
0 x0
ω2 Y
π/2
-π/2
C
În această reprezentare se asociază mărimii sinusoidale y(t) un vector fix OA , de modul egal cu valoarea efectivă Y şi care formează cu axa origine de faza 0x un unghi egal cu faza iniţială γ a mărimii sinusoidale (fig. 3.10):
γ= YA0⇔γ+ω= )tsin(Y2)t(y (3.47) Vectorul fix se numeşte fazor polar sau fazor geometric
simplificat. Unghiul γ este pozitiv în sens trigonometric şi negativ in sens orar.
Fig. 3.9.
γωY Y
BA
0 x
π/2
-π/2
CωY
y
Corespondenţa operaţiilor se modifică corespunzător:
a) λy(t) → λ γ Y ;
b) y1(t) + y2(t) → γ+γ 21 YY ;
c) 2YB0dtdy π+γ=→ , (fig. 3.10); Fig. 3.10.
d) 2YC0ydt π−γ=→∫ , (fig. 3.10).
Diagramele cu fazori polari se numesc diagrame polare.
Aplicarea metodei reprezentării polare la analiza circuitelor dipolare simple Se considera succesiv circuitele liniare cu rezistor ideal, bobină ideală şi respec-tiv condensator ideal sub tensiune sinusoidală, considerată origine de fază:
u(t) = 2 Usinωt → 0U (3.48) şi se determină cu metoda diagramelor polare valoarea efectivă I şi defazajul φ al curen-tului faţă de tensiune:
i(t) = 2 I sin(ωt+φ) → ϕ I (3.49)
1) Circuitul cu rezistor
Circuitul cu rezistor ideal (fig. 3.11,a) are ecuaţia caracteristică: iR(t)
u(t) R
b) IR
a) U
uR = R⋅iR (3.50)
Înlocuind tensiunea şi curentul din (3.48) şi (3.49),
2 2Usin ωt = RIRsin(ωt + φR),
rezultă valoarea efectivă a curentului GURUIR == şi unghiul de defazaj
φR = 0. Aşadar tensiunea şi curentul sunt în fază (fig. 3.11,b şi 3.12). Fig. 3.11. Puterile pe rezistor în regim sinusoidal sunt:
0 ωt
iRu
RU2
2RIPR = UIRcosφR = = R > 0; QR = 0; S = PR; (3.51)
Puterea activă PR reprezintă puterea electrică disipată pe rezistor prin efect Joule – Lenz.
Fig. 3.12.
65
2) Circuitul cu bobină.
Circuitul cu bobină liniară ideală (fig. 3.13,a) are ecuaţia caracteristică
dtdiuu L
L L== (3.52)
din care se deduce curentul bobinei,
2LUdtL
1)t(Lπ−ω→= ∫ u i ,
cu valoarea efectivă şi respectiv unghiul de defazaj
LL X
UL
UI =ω
= ; 2Lπ−=ϕ , (3.53)
unde XL = ωL este reactanţa inductivă. Curentul este defazat în urma tensiunii cu π/2 (fig. 3.13,b şi 3.14).
Expresiile puterilor se deduc având în vedere că unghiul φ din definiţia puterilor este unghiul de defazaj al tensiunii faţă de curent, considerat origine de fază: φ = – φL.
PL = UILcosφ = 0; QL = UILsinφ = UILsin(–φL) = XL > 0; S = QL; KL = 0. (3.54) 2LI
Puterea reactivă a bobinei fiind totdeauna pozitivă, bobina absoarbe putere reactivă din reţeaua de alimentare.
Puterea instantanee este egală cu puterea oscilantă
pL = po = – UILcos(2ωt – π/2) = – QLsin2ωt, (3.55)
iar energia în intervalul 0 – t este
)1t2(cos2QdtW L
t
0LL −ωω== ∫ p (3.56)
şi are valoarea medie: 2L
LT
0
LL LI21
2QdtWT
1W~ =ω== ∫ . (3.57)
Energia magnetică medie a bobinei sub tensiune sinusoidală la borne este egală cu energia magnetică Wm a bobinei parcursă de curent continuu de intensitate egală cu valoarea efectivă a curentului sinusoidal.
3) Circuitul cu condensator.
Circuitul cu condensator liniar (fig. 3.15,a) are ecuaţia caracteristică
dtdui CC = (3.58)
din care rezultă fazorul polar al curentului,
dtdui , 2CUC)t(C
πω→=
cu valoarea efectivă şi respectiv unghiul de defazaj
C
C XUCUI =ω= ; 2C
π=ϕ , (3.59)
unde XC =1/(ωC) este reactanţa capacitivă. Curentul condensatorului este defazat înaintea tensiunii cu π/2 (fig. 3.15,b şi 3.16).
Fig. 3.13.
iL
u L
U
φL = –φuL
IL
a) b)
Fig. 3.15.
iC
u C φC = –φ U
IC
a) b)
0 ωtiL
u
2π π2π
Fig. 3.14.
66
Expresiile puterilor se deduc având în vedere că φ = – φC :
PC = UIC cosφ = 0;
QC = UICsinφ = – UIC = – ωCU2 < 0;
S = CQ ; KC = 0. (3.60) Puterea reactivă a condensatorului fiind totdeauna negativă, condensatorul
debitează putere reactivă. Puterea instantanee este egală cu puterea oscilantă
pC = po = – UICcos(2ωt + π/2) = QCsin2ωt, (3.61)
iar energia în intervalul 0 – t este
)t2cos1(2QdtW C
t
0
CC ω−ω
== ∫ p (3.62)
şi are valoarea medie: 2C
T
0
CCC CU2
12QdtWT
1W~ ∫ =ω
== . (3.63)
Energia electrică medie a condensatorului sub tensiune sinusoidală la borne este egală cu energia electrică We a condensatorului sub tensiune continuă de valoare egală cu valoarea efectivă a tensiunii sinusoidale.
4) Circuitul RLC serie
Se consideră circuitul liniar serie cu rezistor ideal, bobină ideală şi condensator ideal (fig. 3.17,a) parcurs de curentul sinusoidal
tsinI2)t( ω= i (3.64)
considerat origine de fază (faza iniţială nulă) şi se determină tensiunea
)tsin(U2 s)t( ϕ+ω= u , (3.65)
adică se determină valoarea efectivă U şi unghiul de defazaj φs al tensiunii faţă de curent prin utilizarea diagramelor polare.
Ecuaţia de funcţionare a circuitului se scrie:
u = uR + uL + uC (3.66)
În reprezentarea polară, tensiunile pe rezistor uR, pe bobină uL şi pe condensator uC sunt respectiv:
uR = R⋅i → 0RI ; (3.67)
2LIL)t(Lπω→= dt
diu ; (3.68)
idtu 2π-C
IC1)t(C ω
→= ∫ , (3.69)
Diagrama polară prezentată în figura 3.18 se construieşte astfel: se alege arbitrar o valoare I a modulului fazorului de curent. Se trasează fazorii tensiunilor uR, uL şi uC.
0 ωtiC
u
π2
π 2π
Fig. 3.16.
Fig. 3.17.
R CLi
u
uR uL uC
ϕ
UC
UL U
UR IFig. 3.18.
67
Valoarea efectivă a tensiunii şi defazajul φs se determină din diagrama polară:
( ) IC1LRU
22 ⋅ω−ω+= ; R
C1L
arctgsω
−ω=ϕ (3.70)
Impedanţa circuitului RLC serie rezultă:
222
2 XRC1LRI
UZ +=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+== (3.71)
unde, C1LXXX CL ω
−ω=−= (3.72)
este reactanţa echivalentă sau totală a curentului RLC serie, XL= ωL – reactanţa bobinei, XC = 1/(ωC) – reactanţa condensatorului.
Puterile activă, reactivă şi respectiv aparentă, ţinând cont că φ = φs, sunt:
.UIS;XIIC1LsinUIQ;RIcosUIP 22
s2
s ==⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω=ϕ==ϕ= (3.73)
Relaţiile obţinute pentru puterile activă şi reactivă scot în evidenţă proprietatea separării acestor puteri în reţelele electrice de curent alternativ: puterea activă este localizată numai pe rezistenţa circuitului, iar puterea reactivă este localizată în elementele reactive, bobine şi condensatoare. Puterea reactivă a bobinei QL= ωLI2 este de semn contrar celei a condensatorului, QC = – 1/(ωC)⋅I2 şi excesul de putere reactivă este puterea reactivă schimbată de circuit pe la borne (absorbită sau cedată).
5) Circuitul RLC paralel
Circuitul liniar cu rezistor ideal, bobină ideală şi condensator liniar conectaţi în paralel (fig. 3.18) sub tensiune sinusoidală la borne,
tsinU2)t( ω= u (3.74)
considerată origine de fază (faza iniţială nulă), este parcurs de curentul sinusoidal
)tsin(I2 p)t( ϕ+ω= i , (3.75) a cărui valoare efectivă I şi unghi de defazaj φp faţă de tensiune se determină utilizând metoda reprezentării polare.
Ecuaţia circuitului se scrie:
a)
R
i
L C
iL iCiR i = iR + iL + iC (3.76)
ϕp
IR
UI IL
IC Fazorii polari ai curenţilor rezistorului
iR, bobinei iL şi condensatorului iC sunt: u iR = G⋅u → 0GU , (3.77)
udti 2π
LU
L1)t(L −
ω→= ∫ , (3.78) b)
2LUC)t(Cπω→= dt
dui , (3.79) Fig. 3.19.
Diagrama polară prezentată în figura 3.19 se construieşte astfel: se alege arbitrar o valoare U a modulului fazorului de tensiune. Se trasează fazorii curenţilor iR, iL şi iC conform relaţiilor de mai sus şi rezultă, prin sumarea grafică a acestora, fazorul curentului I şi unghiul de defazaj φp al acestuia faţă de tensiune.
68
Pentru valoarea efectivă I a curentului şi unghiul de defazaj φp se obţin relaţiile:
YUUL1CGI
22 =⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+= , G
L1C
arctgpω
−ω=ϕ , (3.80)
în care 22
22 BGL
1CGUIY +=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+== (3.81)
este admitanţa, iar
LC BBL1CB −=ω
−ω= (3.82)
este susceptanţa echivalentă a circuitului RLC paralel, BC = ωC – susceptanţa condensa-torului, BL = 1/(ωL) – susceptanţa bobinei.
Puterile activă, reactivă şi respectiv aparentă, ţinând cont că φ = – φp, sunt:
.UIS;QQUCL1sinUIQ;GUcosUIP CL
22 =+=⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ω−ω
=ϕ==ϕ= (3.83)
Dacă se compară între ele circuitele RLC serie şi RLC paralel se constată că expresiile pot fi deduse unele din celelalte pe baza următoarei corespondenţe duale:
a) parametri RLC serie RLC paralel
rezistenţă – R <=> G – conductanţă
inductanţă – L <=> C – capacitate
capacitate – C <=> L – inductivitate reactanţa inductivă
– XL = ωL <=> BC = ωC – susceptanţa capacitivă
reactanţa capacitivă
– XC = 1/(ωC) <=> BL = 1/(ωL) – susceptanţa inductivă
reactanţa – X = XL – XC <=> B = BC – BL – susceptanţa
impedanţa – 22 XRZ += <=> 22 BGY += – admitanţa
defazaj serie – RXarctgs =ϕ <=> G
Barctgp =ϕ – defazaj paralel
b) mărimi RLC serie RLC paralel
curent – tsinI2 ω= i <=> tsinU2 ω= u – tensiune
tensiune – )tsin(U2 sϕ+ω= u <=> )tsin(I2 pϕ+ω= i – curent tensiune rezistor
–
uR = Ri
<=>
iR = Gu
– curent rezistor
tensiune bobină –
<=>
tensiune capacitor
–
<=>
dtdiuL L=
i∫= idtuC C1
– curent capacitor
dtduiC C=
– curent bobină ∫= udtL L1
69
Clasificarea circuitelor dipolare in regim sinusoidal În funcţie de valorile şi semnele parametrilor, circuitele dipolare funcţionând în
regim permanent sinusoidal, pot fi clasificate după cum urmează:
a) circuit rezistiv: Z = R (Y = G); X = 0 (B = 0); φs = 0 (φp = 0);
b) circuit reactiv: X ≠ 0 (B ≠ 0); φs ≠ 0 (φp ≠ 0);
c) circuit pur reactiv sau nedisipativ:R = 0 (G = 0); XZ = )BY( = ;
2sπ±=ϕ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π±=ϕ 2p ;
d) circuit inductiv: X > 0 (B < 0); φs > 0 (φp < 0);
e) circuit pur inductiv:R = 0 (G = 0); Z = X (Y = B ); 2sπ=ϕ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π−=ϕ 2p ;
f) circuit capacitiv: X < 0 (B > 0); φs < 0 (φp > 0);
g) circuit pur capacitiv:R = 0 (G = 0); Z = X (Y = B); 2sπ−=ϕ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ π=ϕ 2p .
3.3.2. Reprezentarea analitică prin mărimi complexe
Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de argument variabil în timp (reprezentarea în complex nesimplificat)
În această reprezentare se asociază mărimii sinusoidale y(t) = Y2 sin(ωt + γ) o mărime complexă y , numită imagine în complex nesimplificat, având modulul egal cu amplitudinea Y2 şi argumentul egal cu faza mărimii sinusoidale, ωt + γ :
)t(jYe2 γ+ω=y)tsin(Y2)t(y ⇔γ+ω= (3.84)
Axa
im
agin
ară
+1
ω
+j
Axa realăωt+γ
Y2
0
y(t)
y
Mărimea complexă se reprezintă în planul complex (+1,+j) printr-un vector, numit fazor complex nesimplificat, care roteşte în plan, în sens trigonometric, cu viteza unghiu-lară ω, formând în orice moment cu axa reală un unghi egal cu faza mărimii sinusoidale ωt + γ (fig. 3.20).
Regula de trecere inversă, de la imaginea în complex la funcţia original, este dată de relaţia:
Fig. 3.20. y)t(y Im= (3.85)
Într-adevăr, )t(y)tsin(Y2)]tsin(j)t[cos(Y2Ye2y )t(j =γ+ω=γ+ω+γ+ω== γ+ω ImImIm
Corespondenţa operaţiilor în reprezentarea complexă a mărimilor sinusoidale se prezintă după cum urmează.
a) Operaţiei de multiplicare a mărimii sinusoidale y(t) cu un scalar real λ >< 0 îi corespunde multiplicarea cu λ a amplitudinii (modulului) fazorului complex:
)t(jYe2yy )t( γ+ωλ=λ→λ (3.86)
70
b) Sumării a două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă y1(t) + y2 (t) = y(t), îi corespunde fazorul complex dat de suma fazorilor complecşi ai mărimilor (fig. 3.21):
)t(j)t(j2
)t(j12121 Ye2eY2eY2yyyyy 21)t()t( γ+ωγ+ωγ+ω =+=+=→+ (3.87)
în care,
2211
22112121
22
21 cosYcosY
sinYsinYarctgγ;)cos(YY2YYY γ+γγ+γ=γ−γ++= . (3.88)
c) Derivării în timp a mărimii sinusoidale y(t), îi corespunde multiplicarea cu jω a imaginii în complex, respectiv multiplicarea cu ω modulului fazorului complex şi rotirea acestuia cu π/2 (în sens trigonometric):
2j)t(j eYe2yjπγ+ωω=ω→)2tsin(Y2dt
dy π+γ+ωω= (3.89)
Aşadar, operatorului de derivare dtd îi corespunde, în
complex, opratorul jω. În general, există corespondenţa:
.)(jωdtd;jωdt
d nn
n →→ (3.90)
d) Integrării în timp a mărimii sinusoidale îi corespunde împărţirea cu jω a imaginii în complex, respectiv împărţirea cu ω modulului fazorului complex şi rotirea acestuia cu –π/2 (în sens invers trigonometric):
2j)t(j eeY2yj1)2tsin(Y2ydt
π−γ+ω
ω=
ω→π−γ+ω
ω=∫ (3.91)
Prin urmare, operatorului de integrare îi corespunde, în complex, operatorul de divizare cu jω. În general, în condiţii iniţiale nule, corespondenţa operatorilor este:
n)(jω1dt;jω
1dt n
→∗→∗ ∫∫ ∫∫ 43421L . (3.92)
Reprezentarea mărimilor sinusoidale prin mărimi complexe de
argument constant (reprezentarea în complex simplificat)
În această reprezentare, se asociază mărimii sinusoidale o mărime complexă, notată Y, numită imagine în complex simplificat sau valoare efectivă complexă, având modul egal cu valoarea efectiva Y şi argumentul egal cu faza iniţială γ a mărimii sinusoidale:
γ=⇔γ+ω= jYeY)tsin(Y2)t(y . (3.93)
Mărimea complexă se reprezintă în planul complex (+1,+j) printr-un vector fix, numit fazor complex simplificat, având modul egal cu valoarea efectiva Y şi formând cu axa reală un unghi egal cu faza iniţială γ a mărimii sinusoidale (fig. 3.22).
Regula de trecere inversă, de la imaginea în complex la funcţia original, este dată de relaţia:
Ye2)t(y tjω= Im . (3.94)
ωt+γ1
ωt+γ2
ωt+γ
y1
2 Y1
2 Y
2 Y2 y2
0 +1
+j
Fig. 3.21.
y
Y +j
γ
Fig. 3.22. +10
Y
71
Într-adevăr,
)t(y)tsin(Y2Ye2eYe2Ye2 )t(jjtjtj =γ+ω=== γ+ωγωω ImImIm .
Corespondenţa operaţiilor în reprezentarea complexă este evidentă: a) γλ=λ→λ jYeYy )t( (3.95)
b) γγγ =+=+=→+= jj2
j12121 Ye2eYeYYYYyyy 21)t()t( (3.96)
în care,
2211
22112121
22
21 cosYcosY
sinYsinYarctgγ;)cos(YY2YYYγ+γγ+γ=γ−γ++= . (3.97)
c) 2jj eYeYj)2tsin(Y2dtdy πγω=ω→π+γ+ωω= (3.98)
d) 2jj eeYYj1)2tsin(Y2ydt
π−γ
ω=
ω→π−γ+ω
ω=∫ (3.99)
Observaţie: Metoda reprezentării în complex simplificat se poate aplica numai mărimilor sinusoidale care au aceeaşi pulsaţie (frecvenţă).
3.3.3. Caracterizarea în complex a circuitelor dipolare în regim permanent sinusoidal
Fie o reţea electrică liniară constituită exclusiv din elemente pasive liniare – rezistoare, bobine şi condensatoare. În raport cu două borne oarecare, reţeaua este echivalentă cu un dipol liniar pasiv. În regim sinusoidal, dipolul sub tensiune complexă la borne
,UeUsau Ue2u j)t(j αα+ω == (3.100) parcurs de curentul complex
,UeIsau Ie2i j)t(j ββ+ω == (3.101)
este caracterizat de un parametru complex după cum urmează.
1 Impedanţa complexă Z definită prin raportul dintre imaginile în complex ale tensiunii şi curentului,
ss jj)(j ZeeIUeI
UIU
iuZ ϕϕβ−α ===== . (3.102)
în care φs = α – β = φ este unghiul de defazaj al tensiunii faţă de curent. Expresia impedanţei complexe poate fi scrisă şi sub forma:
jXRsinIUj +=ϕ+cosI
UeIUZ sj ϕ== ϕ (3.103)
+1
Z
0 φs
+j
Z X
R
Impedanţa complexă are modulul egal cu impedanţa Z şi argumentul egal cu unghiul de defazaj φs = φ al circuitului, respectiv are partea reală egală cu rezistenţa R şi partea imaginară egală cu reactanţa X. Rezistenţa fiind pozitiv definită, fazorul impedanţei complexe este situat numai în semiplanul drept al planului complex (fig. 3.23).
Fig. 3.23.
72
2 Admitanţa complexă Y definită prin raportul dintre imaginile în complex ale curentului şi tensiunii,
pp jj)(j YeeIUeU
IUI
uiY ϕϕα−β ===== . (3.102)
în care φp = β – α = – φ este unghiul de defazaj al curentului faţă de tensiune. Expresia admitanţei complexe poate fi scrisă şi sub forma:
jBGsinUIjcosU
IeUIY j −=ϕ−ϕ== ϕ− (3.103)
Admitanţa complexă are modulul egal cu admitanţa Y şi argumentul egal cu unghiul de defazaj cu semn schimbat, φp = –φ, al circuitului, respectiv are partea reală egală cu conductanţa G şi partea imaginară egală cu susceptanţa cu semn schimbat, –B. Conductanţa fiind pozitiv definită, fazorul admitanţei complexe este situat, ca şi cel al impedanţei complexe, numai în semiplanul drept al planului complex (fig. 3.24).
+1+j
Y
0 φp= –φ
Y
G
B
Fig. 3.24.
3.3.4. Puterea complexă
Puterea instantanee p, egală cu produsul valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului sinusoidali în timp, nefiind o mărime sinusoidală, nu poate fi reprezentată în complex. Problema puterii complexe constă în stabilirea unei mărimi complexe a cărei modul să fie puterea aparentă, iar argumentul unghiul de defazaj al circuitului, respectiv a cărei parte reală să fie puterea activă, iar partea imaginară să fie puterea reactivă.
În aceste ipoteze, pentru puterea complexă, notată cu S şi numită uneori putere aparentă complexă, există două expresii după cum urmează.
∗∗ ⋅=⋅= iu sau 21S IUS , (3.104)
în care ∗∗ i , respectivI sunt conjugatele curentului complex I, respectiv i. Imaginile în complex ale tensiunii şi respectiv curentului fiind
, i u
αβ+ω
αα+ω
==
==j)t(j
j)t(j
IeIsauIe2;UeUsauUe2
(3.105)
rezultă: ϕ+ϕ===⋅=⋅= ϕβ−αβ−α∗ sinjUIcosUIUIeUIeIeUeIUS j)(jjj (3.106)
respectiv, S = Sejφ = P + jQ (3.107)
Aşadar, în această formă, puterea complexă are modulul egal cu puterea aparentă S = UI şi argumentul egal cu unghiul de defazaj al circuitului, φ = α – β, respectiv are partea reală egală cu puterea activă, P = UIcosφ şi partea imaginară egală cu puterea reactivă, Q = UIsinφ. În planul complex (+1, +j), puterea complexă se reprezintă printr-un fazor complex care are proiecţia pe axa reală egală cu puterea activă şi proiecţia pe axa imaginară egală cu puterea reactivă, aşa cum se arată în figura 3.25.
+1
+jS
0 φ
S Q
P Fig. 3.25.
73
Puterea complexă mai poate fi exprimată şi sub forma: 222 jXIRIIZIIZIUS +==⋅=⋅= ∗∗ (3.108)
iu sau ∗∗ == 21S IUS , (3.109)
în care ∗∗ u , respectivU sunt conjugatele tensiunii complexe U, respectiv u. Utilizând relaţiile (3.105), rezultă:
ϕ−ϕ===⋅=⋅= ϕ−β−α−βα−∗ sinjUIcosUIUIeUIeIeUeIUS j)(jjj (3.110)
respectiv, S = Se–jφ = P – jQ (3.111)
Definită cu rel. (3.108), puterea complexă are modulul egal cu puterea aparentă S = UI şi argumentul egal cu unghiul de defazaj al circuitului cu semn schimbat, φp = β – α = – φ, respectiv are partea reală egală cu puterea activă, P = UIcosφ şi partea ima-ginară egală cu puterea reactivă cu semn schimbat, – Q = – UIsinφ. În planul complex această putere se reprezintă printr-un fazor complex care are proiecţia pe axa reală egală cu puterea activă şi proiecţia pe axa imaginară negativă egală cu puterea reactivă, aşa cum se arată în figura 3.26.
+1
S
0 φp = –φ
+j
Q
P
Fig. 3.26.
Expresia (3.109) a puterii complexe poate fi explicitată şi sub forma: 222 jBUGUUYUYUIUS −==⋅=⋅= ∗∗ (3.112)
Utilizarea a două expresii pentru puterea complexă este justificată de posibili-tatea caracterizării circuitelor în regim sinusoidal în două moduri: prin impedanţa complexă (circuite de tip serie), sau prin admitanţa complexă (circuite de tip paralel).
3.3.5. Forma în complex a legii lui Ohm (ecuaţia lui Joubert) Fie o latură de circuit activă, liniară, cu rezistor Rj, bobină Lj şi condensator Cj,
parcursă de curentul sinusoidal ij şi conţinând un generator cu tensiunea electromotoare sinusoidală ej (fig. 3.27). Rj Lj Cj ij
uj
uR uL uC
ej
(5)
(4)(3)(2)
(1)
φsΓ
Γ
Se consideră curba închisă Γ trasată de-a lungul conductoarelor, prin dielectri-cul condensatorului şi care se închide după curba tensiunii uj la bornele laturii, (1)–(5). Conform legii inducţiei electromagnetice, t.e.m. indusă (autoindusă) în bobină este: Fig. 3.27.
dtdsdEee S
sLΓψ−=== ∫
Γ
Γ (3.113)
în care sE este intensitatea câmpului electric solenoidal. Se efectuează integrala după curba închisă Γ a intensităţii câmpului electric total,
jS
isC edtdsd)EEE(sdE +ψ−=++= Γ∫∫
ΓΓ
(3.114)
în care: cc E,0sdE =∫Γ
fiind câmpul electrostatic, iar ji esdE =∫Γ
este t.e.m. a sursei.
74
Integrala din membrul întâi a ec. (3.114) se descompune astfel:
jCR
1
5
5
2
2
1jjsdEsdEsdEsdE uuu −+=++= ∫∫∫ ∫
Γ
(3.115)
Se notează cu dtde S
LjLjΓψ=−=u căderea inductivă de tensiune (tensiunea la
bornele bobinei şi din rel. (3.114) şi (3.115) rezultă:
jjj CLRjj uuueu ++=+ (3.116)
în care: jjRjjR IRUR jj =→= iu – tensiunea la bornele rezistorului;
jjLj
jL ILjUL jj ω=→= dtdiu – tensiunea la bornele bobinei;
jj
Cjj
C ICj1UdtC
1jj ω=→= ∫ iu – tensiunea la bornele condensatorului.
În complex, ecuaţia (3.116) se scrie:
jjjjjj
jjjjjj IZEUsauICj1ILjIREU =+ω+ω+=+ (3.117)
unde, jjj
jjj jXRC1LjRZ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ω+ω+= (3.118)
este impedanţa complexă proprie a laturii. Dacă bobina este cuplată magnetic cu alte l bobine, căderea inductivă de
tensiune este:
∑∑≠==
+==l
kl
jk
dtdi
dtdi
dtdiu
)jk(1k
kj1k
jkjL LLLj (3.119)
care, în complex se scrie:
∑≠=
ω+ω=l
)jk(
1kkkjjjLj ILjILjU (3.120)
Ecuaţiile (3.117) se completează astfel:
,IZIZEU,sauILjICj1ILjIREU
)jk(1k
kkjjjjj
)jk(1k
kkjjj
jjjjjj ∑∑≠=
≠=
+=+ω+ω
+ω+=+l
l
(3.121)
în care kjkj LjZ ω= este impedanţa complexă mutuală dintre bobinele j şi k. Pentru latura de circuit analizată (fig. 3.27) s-a
considerat convenţia de sensuri pentru receptoare. Dacă sensurile pentru tensiunea la borne şi curent se iau după regula pentru generatoare ca în figura 3.28, legea lui Ohm în complex se scrie:
ZI
U
E
Fig. 3.28.. (3.122) IZEU ⋅=+−
75
3.3.6. Analiza în complex a circuitului RLC serie. Rezonanţa de tensiuni.
Circuitul cu elemente liniare ideale – rezistor, bobină şi condensator – conectate
în serie (fig. 3.29) sub tensiune sinusoidală la borne sj
s UeU)tsin(U2) ϕ=⇔ϕ+ω= (tu , (3.122)
va fi parcurs de un curent sinusoidal de aceeaşi frecvenţă 0jIeItsinI2 =⇔ω= (t)i , (3.123)
considerat origine de fază (faza iniţială nulă). R L Ci
u
uR uL uC
Valoarea efectivă U a tensiunii şi unghiul de defazaj ϕs dintre tensiunea şi curentul la bornele circuitului se determină utilizând reprezentarea în complex. Ecuaţia de tensiuni a circuitului este
Fig. 3.29.∫++=++= C1
dtdiLRiCLR uuuu idt (3.124)
ϕ IUR
UL
UC
U
şi, având în vedere corespondenţa operaţiilor, în complex se scrie:
ICj
1Iω
+LjIRUUUU CLR ω+=++= . (3.125)
Diagrama fazorială a tensiunilor prezentată în figura 3.30 se construieşte luând ca referinţă (origine de fază) un fazor arbitrar pentru curentul I în raport cu care se trasează succesiv fazorul tensiunii pe rezistor IRU R = în fază (coliniar) cu curentul, fazorul tensiunii la bornele bobinei ILjU L ω= , defazat
înaintea curentului cu 2π şi fazorul tensiunii la bornele condensatorului I
Cj1U C ω
= ,
defazat în urma curentului (în sens invers trigonometric) cu − 2π .
Fig. 3.30.
Atât din diagrama fazorială din figura 3.30, cât şi din ecuaţia circuitului (3.125), rezultă:
( ) IZIC1LjRUUUU CLR ⋅=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+=−+= (3.126)
unde
jXRC1LjRI
UZ +=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+== (3.127)
este impedanţa complexă a circuitului RLC serie, cu partea reală rezistenţa R şi partea imaginară reactanţa echivalentă CL XXX −= , LX L ω= fiind reactanţa inductivă şi
C1X C ω
= reactanţa capacitivă.
Valoarea efectivă U a tensiunii şi unghiul de defazaj ϕs rezultă:
arctgarctg , RC
1ωLRXIXRIZUU s
22 ω−==ϕ⋅+=⋅== . (3.128)
76
Puterile activă, reactivă şi respectiv aparentă se deduc pe baza puterii complexe pentru φ = φs :
( )C1LjRIIZIIZSsaujQPUIeIUS 22j
ω−ω+=⋅=⋅=+==⋅= ∗ϕ∗ (3.129)
respectiv, .UIS;QQIC1LQ;RIP CL
22 =+=⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω== (3.130)
Un regim particular de funcţionare a circuitului este regimul de rezonanţă care apare în situaţia în care reactanţa echivalentă a circuitului se anulează, adică când reactanţa inductivă XL este egală cu reactanţa capacitivă XC, la o pulsaţie ω0, respectiv frecvenţă f0, numite de rezonanţă:
LC2
1f ;LC1f2ωC
1LXX 0000
0CL π==π=⇒ω=ω⇒= . (3.131)
Din aceste relaţii se constată că fenomenul de rezonanţă se poate obţine la variaţia uneia dintre mărimile L, C sau f.
ϕs = 0 Fig. 3.31.
IU = UR
UL
UC La rezonanţă, se constată că tensiunile pe bobină şi pe condensator sunt egale în valoare efectivă (în modul), dar în opoziţie de fază, astfel că se anulează reciproc, iar tensiunea la bornele circuitului este egală cu tensiunea pe rezistor, fiind în fază cu curentul, ϕs = 0. Impedanţa circuitului are valoarea minimă, Z0 = R şi curentul are valoarea maximă I0 = Imax = U/R. Din diagrama fazorială pentru rezonanţă, figura 3.31, rezultă că tensiunile pe bobină şi pe condensator, egale, pot avea valori oricât de mari, uneori mai mari decât tensiunea U aplicată la bornele circuitului (pot apare supratensiuni), de unde şi denumirea de rezonanţă de tensiuni pentru rezonanţa circuitului serie.
Valoarea reactanţei bobinei sau condensatorului la rezonanţă reprezintă impedanţa caracteristică:
CL
C1LZo
oC =ω=ω= , (3.132)
iar raportul
CL
R1
CR1
RL
RZQ
0
0Cs =ω=
ω== (3.134)
este factorul de calitate al circuitului RLC serie. Factorul de calitate Qs al circuitului arată de câte ori, la rezonanţă, tensiunea pe bobină sau pe condensator este mai mare ca tensiunea aplicată la bornele circuitului.
La rezonanţă, puterea reactivă a bobinei este egală şi de semn contrar puterii reactive a condensatorului, astfel că puterea reactivă a circuitului (schimbată de circuit pe la borne) este nulă.
Sub aspect energetic, rezonanţa de tensiuni se caracterizează prin faptul că întreaga putere instantanee primită de circuit se transformă în căldură prin efect Joule pe rezistenţa circuitului,
2Riiuiuuuiup ==++=⋅= RCLR )( . (3.135)
Energia electromagnetică se transformă, oscilând din forma magnetică în forma electrică şi invers, astfel încât suma energiilor înmagazinate în bobină şi în condensator este constantă şi egală cu valoarea maximă comună a energiei magnetice a bobinei şi a energiei electrice a condensatorului:
77
+ω=+=+= tsin)I2(L21Cu2
1Li21WW)t(W o
222C
2em
2Cm
2mo
22
oCU2
1LI21)2t(sin)IC
12(C21 ==π−ωω+ (3.136)
în care CCmm U2U,I2I == sunt amplitudinile curentului i, respectiv tensiunii uC. 3.3.7. Analiza în complex a circuitului RLC paralel.
Rezonanţa de curenţi.
Se consideră circuitul cu elemente liniare ideale – rezistor, bobină şi condensator – conectate în paralel (fig. 3.32,a) sub tensiune sinusoidală la borne
0jUeUtsinU2 =⇔ω= (t)u , (3.137)
considerată origine de fază. Curentul la bornele circuitului este de forma:
( ) pjp IeItsinI2 ϕ−=⇔ϕ+ω= (t)i , (3.138)
Ecuaţia de curenţi în mărimi instantanee este
∫ + dtdCdt uu+=++= L
1R1 uiiii CLR (3.139)
a)
R L C
iL iCiR
i
care, în complex, se scrie
UCjULj1 ω+ωUGIIII CLR +=++= , (3.140) u
în care: UGI este curentul prin rezistor, în fază cu tensiunea,
G = 1/R – conductanţa rezistorului, R =
ULj1ω=IL este curentul prin
bobină, defazat în urma tensiunii cu –π/2 (în sens invers trigonometric), UCjIC ω= este curentul condensatorului, defazat înaintea tensiunii cu π/2.
ϕp
I
RI
LI
CI U
Dacă ecuaţia (3.140) se scrie sub forma
Fig. 3.32.b)
UYUL1 =⎟⎠⎞
ω CjUGI ⎜⎝⎛ −ω+= , (3.141)
se pune în evidenţă admitanţa complexă a circuitului RLC paralel,
jBGY += , (3.142)
având partea reală egală cu conductanţa G şi partea imaginară egală cu susceptanţa echi-
valentă a circuitului, B = BC – BL, BC = ωC – susceptanţa capacitivă, BL = L
1ω
–
susceptanţa inductivă. Din ecuaţia (3.141) şi din diagrama fazorială a curenţilor prezentată în figura
3.32,b), se determină valoarea efectivă I a curentului şi unghiul de defazaj ϕp al curentului faţă de tensiune:
78
.GL
1CGB;UBGUYII p
22 ω−ω==ϕ⋅+=⋅== arctgarctg (3.143)
Puterile activă, reactivă şi respectiv aparentă se deduc pe baza puterii complexe pentru φ = –φp :
( ) 222j UL1CjGUUYUYUSsaujQPUIeIUS ω−ω+=⋅==−=== ∗ϕ−∗ (3.144)
respectiv, ( ) .UIS;QQUCL1Q;GUP CL
22 =+=ω−ω== (3.145)
Fenomenul de rezonanţă la circuitul RLC paralel se produce la anularea susceptanţei echivalente a circuitului, adică atunci când susceptanţa capacitivă BC este egală cu susceptanţa inductivă BL, la o pulsaţie ω0, respectiv frecvenţă f0 de rezonanţă, astfel: ϕp = 0
LI CI
UIR = I
LC21f,LC
1f2ωL1
000o π==π=⇒ω=CBB 0LC ω⇒= . (3.146) Fig. 3.33.
Şi în acest caz, ca şi la circuitul RLC serie, rezonanţa se poate obţine la modificarea uneia dintre mărimile L, C sau f . La rezonanţa circuitului RLC paralel, curenţii prin bobină şi prin condensator au valori efective egale, dar sunt în opoziţie de fază, admitanţa echivalentă a circuitului are valoarea minimă, egală cu conductanţa rezistorului, Y = G, astfel încât curentul luat de circuit pe la borne are valoarea minimă, egală cu curentul prin rezistor:
I = Imin = IR = GU. (3.147)
Dacă conductanţa scade, curentul minim scade şi el şi pentru G = 0 ⇒ I = 0, adică, la rezonanţă, circuitul RL paralel este echivalent cu un circuit deschis, numit şi circuit buşon.
Din diagrama fazorială pentru regimul de rezonanţă prezentată în figura 3.33, rezultă că, la rezonanţă, curenţii prin bobină şi condensator pot avea valori oricât de mari, în anumite condiţii mai mari decât curentul luat de circuit pe la borne, de unde şi denumirea de rezonanţă de curenţi pentru rezonanţa circuitului RLC paralel.
Valoarea comună a susceptanţei bobinei şi condensatorului la rezonanţă reprezintă admitanţa caracteristică:
LC
L1CY0
0C =ω=ω= , (3.148)
iar raportul
LC
G1
LG1
GC
GYQ
0
0Cp =ω=
ω== (3.149)
este factorul de calitate al circuitului RLC paralel. Factorul de calitate Qp al circuitului arată de câte ori, la rezonanţă, valoarea efectivă a curentului prin bobină sau prin condensator este mai mare ca valoarea efectivă a curentului luat de circuit pe la borne.
79
3.4. ANALIZA ÎN COMPLEX A REŢELELOR ELECTRICE LINIARE
3.4.1. Analiza în complex a reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff
Se consideră o reţea electrică liniară şi invariabilă în timp, conexă şi plană cu l
laturi şi n noduri. Forma în complex a sistemului complet de ordinul l al ecuaţiilor corespunzătoare teoremelor lui Kirchhoff, conţinând n' = n – 1 ecuaţii de noduri pentru curenţii din laturi şi o = l – n + 1 ecuaţii de ochiuri pentru tensiunile la bornele laturilor, se obţine înlocuind valorile instantanee ale curenţilor ij şi tensiunilor uj, sinusoidali în timp şi de aceeaşi frecvenţă, cu imaginile lor in complex Ij şi respectiv Uj. Astfel, ecuaţiile în complex corespunzătoare teoremelor a I-a şi a II-a Kirchhoff în forma topologică se scriu:
1n...,,2,1k;0I)k(j
j −==∑∈
(3.150)
1n...,,2,1m;0U]m[j
j +−==∑∈
l (3.151)
unde cu (k) şi respectiv cu [m] s-au notat nodurile, respectiv ochiurile independente sau fundamentale ale reţelei.
Analiza în complex a reţelelor electrice cu teoremele lui Kirchhoff se poate face, fie în raport cu curenţii – înlocuind în ecuaţiile (3.151) tensiunile complexe Uj în funcţie de curenţii complecşi Ij, fie în raport cu tensiunile – înlocuind în ecuaţiile (3.150) curenţii Ij în funcţie de tensiunile complexe Uj. În continuare se prezintă metoda de analiză în raport cu curenţii.
Se considera reţeaua cu l laturi din care lE sunt laturi cu generatoare ideale de tensiune, lJ laturi cu generatoare ideale de curent, l – lE – lJ fiind laturi cu elemente pasive. Se numerotează întâi laturile cu elemente pasive, apoi laturile cu generatoare ideale de tensiune lE şi la urmă laturile cu generatoare ideale de curent lJ.
În cazul general (fig. 3.34), pentru nodurile (k) ale reţelei, ecuaţiile cores-punzătoare teoremei a I-a Kirchhoff în raport cu curenţii se scriu:
( ) 1n'n...,,2,1k;JII)k(p )k(s
spE)k(j
j −==−=+∑ ∑∑∈ ∈∈
(3.152)
jI jZ
(k)
pEsJ ( )pEI
jI
pE
jZ
sJ(UJ)s
(UJ)s (IE)p
[m]
Fig. 3.34.
80
Dacă reţeaua nu are cuplaje magnetice, pentru ochiurile independente [m] ale reţelei, ecuaţiile corespunzătoare teoremei a II-a Kirchhoff în raport cu curenţii se scriu:
( ) ∑∑∑∈∈∈
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω+ω+]m[p
p]m[s
sJ]m[j
jj
jj EUICj1LjR , m = 1, 2, ..., o
sau, ( ) ∑∑∑∈∈∈
=+]m[p
p]m[s
sJ]m[j
jj EUIZ , m = 1, 2, ..., o (3.153)
unde j
jjj Cj1LjRZ ω+ω+= este impedanţa proprie a unei laturi complete.
Dacă reţeaua are cuplaje magnetice, adică are bobine cuplate magnetic, ecuaţiile de ochiuri se scriu:
( ) ∑∑∑ ∑∈∈∈ ≠
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω+ω+ω+
]m[pp
]m[ssJ
]m[j jkkkjj
jjjjj EUILjICj
1ILjIR ,
sau ( ) ∑∑∑ ∑∈∈∈ ≠
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
]m[pp
]m[ssJ
]m[j jkkkjjj EUIZIZ , m = 1, 2, ..., o (3.154)
unde cu jkjkkj LjZZ ω== s-a notat impedanţa complexă mutuală sau de cuplaj magnetic dintre bobinele j şi k.
Termenii care conţin inductivităţile mutuale Lkj se iau cu semnul plus sau minus în funcţie de coincidenţa sau opoziţia sensurilor curenţilor din laturile j şi k, atât faţă de sensul ochiului, cât şi faţă de bornele polarizate. Orice necoincidenţă conduce la o schimbare de semn.
Rezolvând sistemul format de ecuaţiile (3.152) şi (3.153) sau (3.154), se obţin necunoscutele, curenţii laturilor Ij şi tensiunile (UJ)s la bornele generatoarelor de curent .
În forma matriceală, sistemul de ecuaţii în complex corespunzător teoremelor lui Kirchhoff se scrie în mod similar ca în cazul reţelelor de curent continuu. Astfel, dacă se numerotează întâi laturile cu elemente pasive, apoi cele cu generatoare ideale de tensiune şi în final cele cu generatoare ideale de curent, pentru teorema a I-a Kirchhoff, în forma matricială ecuaţiile (3.152) se scriu:
[ ] [ ] [ ] 'n,'n 'JIA JJ −=⋅ −− llll (3.155) în care este matricea de incidenţă redusă laturi–noduri cu n' = n –1 linii şi l – l[ ] J,'nA ll− J coloane (corespunzătoare laturilor fără generatoare de curent), [ ] JI ll− este matricea coloană cu l – lJ termeni, reprezentând curenţii din laturile reţelei, iar matricea [ ] 'n'J se calculează cu relaţia
[ ] [ ] [ ]JJ
JA'J ,'n'n ll ⋅= (3.156) [ ] JJ l fiind matricea coloană a curenţilor generatoarelor de curent.
În cazul general, al unei reţele cu cuplaje magnetice, ecuaţiile (3.154) cores-punzătoare teoremei a II-a Kirchhoff, în forma matricială se scriu:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]oJ,o,o 'EUBI'Z JJJJ −=+⋅ −− llllll (3.157) în care intervin matricele:
[ ] [ ] [ ]JJJ
ZB'Z ,o,o l-ll-lll =− , (3.158)
81
unde, este matricea de incidenţă redusă laturi–ochiuri cu o linii şi primele l–l[ ] J,oB l-l J coloane, iar matricea [ ] JZ l-l este matricea pătrată de ordinul l–lJ a impedanţelor complexe, având pe diagonală impedanţele proprii ale laturilor şi înafara diagonalei impedanţele complexe mutuale dintre laturile reţelei:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωωω
ωωωω
ωωωωωω
=
−−−−
−
−
−
−
JJJJ
J
J
J
J
ZLjLjLj
LjLjLjLj
LjLjZLjLjLjLjZ
Z
................
................
......
......
j,2,1,
,kkjk21k
,1j2221
,1j1121
llllllll
ll
ll
ll
ll ; (3.159)
[ ] JJU l este matricea coloană cu lJ termeni a tensiunilor la bornele generatoarelor ideale de curent, iar matricea din membrul drept este dată de relaţia
[ ] [ ] JJ E]B['E ,oo llll −− ⋅= (3.160)
în care [ ] JE ll− este matricea coloană a tensiunilor electromotoare ale generatoarelor din laturile reţelei.
În formă compactă, sistemul complet de ecuaţii în complex al reţelei corespun-zător teoremelor lui Kirchhoff se scrie:
[ ][ ]
[ ][ ] lll
ll
ll,lll
lll⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
−
−
o
'n
Jo,o,
,n',n'
E'J
UI
[B]]'Z[[0][A]
J
J
JJ
JJ (3.161)
sau, [ ] [ ] [ ]SNKi =⋅ (3.162)
unde s-a notat cu [ ]iK matricea Kirchhoff în raport cu curenţii, cu [ ]N matricea necunoscutelor şi cu [ ]S matricea surselor. Semnificaţia acestor matrice este evidentă. Prin rezolvarea ecuaţiei (3.162) se obţine:
[ ] [ ] [ ]SKN 1i−= (3.163)
3.4.2. Analiza în complex a reţelelor electrice prin metoda curenţilor ciclici Sistemul de o = l – n + 1 ecuaţii corespunzător teoremei curenţilor ciclici se scrie
în complex sub forma:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=+++++=+++++
]o['o
'oo
'j
'oj
'2
'2o
'1
'1o
]m['o
'mo
'j
'mj
'2
'2m
'1
'1m
]2['o
'o2
'j
'j2
'2
'22
'1
'21
]1['o
'o1
'j
'j1
'2
'12
'1
'11
EIZ...IZ...IZIZ
EIZ...IZ...IZIZ
EIZ...IZ...IZIZEIZ...IZ...IZIZ
(3.164)
82
Impedanţele de pe diagonală sunt de forma:
∑∑∈∈
+=]m[k,j
jk]m[j
j'mm ZZZ , (1.163)
în care intră suma impedanţelor proprii Zj ale laturilor ochiului [m] şi suma algebrică a impedanţelor de cuplaj magnetic Zjk dintre laturile ochiului [m].
În sumele din (1.163), impedanţele proprii Zj se iau cu semnul "+", iar impedanţele mutuale Zjk se iau cu semnul "+" în următoarele situaţii:
a) sensurile de referinţă ale laturilor j şi k (ale curenţilor Ij şi Ik) sunt la fel faţă de bornele polarizate şi ambele coincid sau ambele sunt opuse sensului ochiului (al curentului ciclic I'
m, fig.3.35,a );
kZ
jZ
* *
a)
[m] 'mI
0Zjk >
kZ
jZ
* *
b)
[m] 'mI
0Zjk >b) sensurile de referinţă ale laturilor j şi k sunt diferite faţă de bornele polarizate şi sensul uneia din laturi coincide şi al celeilalte este opus sensului ochiului (fig.3.35,b).
Fig. 3.35.În celelalte situaţii, impedanţele mutuale Zjk se iau cu semnul "–". Impedanţele din afara diagonalei sunt de forma:
∑∑∈∈
∈∈
+=
]j[q]m[p
pq
]j[k]m[k
k'mj ZZZ (3.164)
în care intră suma algebrică a impedanţelor proprii Zk ale laturilor comune ochiurilor [m] şi [j] şi suma algebrică a impedanţelor de cuplaj magnetic Zpq dintre o latură p aparţinând ochiului [m] şi o latură q aparţinând ochiului [j].
Impedanţele Zk se iau cu semnul "+" sau "–" după cum curenţii ciclici ai celor două ochiuri au acelaşi sens, respectiv sens opus, prin latura comună ochiurilor.
Impedanţele mutuale Zpq se iau cu semnul "+" în următoarele situaţii: a) sensurile de referinţă ale laturilor p şi q sunt la fel faţă de bornele polarizate
şi ambele coincid, sau ambele sunt opuse sensurilor ochiurilor la care aparţin laturile (fig. 3.36,a );
b) sensurile de referinţă ale laturilor p şi q sunt diferite faţă de bornele polarizate şi sensul uneia din laturi coincide şi al celeilalte este opus sensului ochiului la care aparţine latura (fig.3.36,b).
În celelalte situaţii, impedanţele mutuale Zpq se iau cu semnul "–".
0Zjk >
qZpZ* *
b)
[m] 'mI
[j] 'jI
0Zjk >
qZpZ * *
a)
[m] 'mI
[j] 'jI
În membrul drept al sistemului de ecuaţii (3.162), termenii notaţi ]m[E reprezintă suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile ochiului [m],
Fig. 3.36.
∑∈
=]m[j
j]m[ EE . (3.165)
83
Sumarea este algebrică, tensiunile electromotoare Ej luându-se cu semnul "+" sau "–" după cum sensul lor coincide sau este opus sensului ochiului.
Pentru aplicarea metodei curenţilor ciclici se impune transformarea în prealabil a generatoarelor de curent în generatoare echivalente de tensiune (dacă este posibil).
În forma matriceală, metoda curenţilor ciclici se scrie în mod similar ca pentru reţelele de curent continuu. Astfel, sistemul de ecuaţii (3.162) se scrie:
o'
o'
o,o' ]E[]I[]Z[ =⋅ (3.166)
în care o']I[ este matricea coloană cu o termeni a curenţilor ciclici din ochiurile
fundamentale ale reţelei. Matricea pătrată de ordinul o a impedanţelor, o,o']Z[ , se
determină cu relaţia: t
llll ,o,,oo,o' ]B[]Z[]B[]Z[ ⋅⋅= (1.167)
în care matricea ll,]Z[ este matricea pătrată şi simetrică de ordinul l a impedanţelor complexe proprii şi mutuale, având pe diagonală impedanţele proprii ale laturilor şi înafara diagonalei impedanţele complexe mutuale dintre laturile reţelei:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωωω
ωωωω
ωωωωωω
=
llll
l
l
l
ll
ZLjLjLj
LjLjLjLj
LjLjZLjLjLjLjZ
Z
................
................
......
......
j21
kkj2k1k
2j2221
1j1121
, (3.168)
Evident, pentru laturile care nu conţin inductivităţi, termenii corespunzători inductivită-ţilor proprii şi mutuale din această matrice sunt nuli. Matricea coloană cu o termeni din membrul drept a ecuaţiei (3.166) se determină cu aceeaşi relaţie ca în cazul teoremelor lui Kirchhoff:
[ ] [ ]ii E]B['E ,oo ll ⋅= (3.169)
Curenţii reali din laturile reţelei se determină cu relaţia:
o'1
o,o't
,ot,o ]E[]Z[]B[]I[]B[]I[ ⋅⋅=′⋅= −
lll (3.170)
3.4.3. Analiza în complex a reţelelor electrice prin metoda potenţialelor la noduri
Forma în complex a sistemului de ecuaţii pentru cele n' = n –1 noduri ale reţelei, corespunzător teoremei potenţialelor la noduri se scrie sub forma:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=+++++
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=+++++−=+++++
)'n(g'
'n'
'n'n'i
'i'n
'2
'2'n
'1
'1'n
)k(g'
'n'
'kn'i
'ki
'2
'2k
'1
'1k
)2(g'
'n'
'n2'i
'i2
'2
'22
'1
'21
)1(g'
'n'
'n1'i
'i1
'2
'12
'1
'11
IVY...VY...VYVY
IVY...VY...VYVY
IVY...VY...VYVYIVY...VY...VYVY
(3.171)
84
Admitanţele complexe de pe diagonala principală, de forma
∑∑∈∈
+=′)i(k,j
jk)i(j
jii YYY , (3.172)
sunt constituite din: o ∑
∈(i)jjY – suma admitanţelor proprii Yj ale laturilor legate la nodul (i);
o ∑∈ )i(k,j
jkY – suma admitanţelor mutuale Yjk dintre laturile j şi k legate la nodul (i).
Admitanţele de cuplaj magnetic dintre laturile j şi k, de forma Yjk = jkj1 Γω
,
conectate la un nod al reţelei se ia cu semnul "+" dacă: a) sensurile de referinţă ale laturilor sunt
la fel faţă de bornele polarizate şi faţă de nod (fig. 3.37,a );
b) sensurile de referinţă ale laturilor sunt diferite faţă de bornele polarizate şi sensul uneia din laturi este de la nod şi al celeilalte laturi către nod (fig. 3.37,b ).
În celelalte situaţii aceste admitanţe se iau cu semnul "–".
Admitanţele complexe din afara diagonalei principale sunt de forma
∑∑∈∈
∈∈
+−=′
)i(s)k(m
ms
)i(j)k(j
jki YYY , (3.173)
b)
0Yjk > kY
jY
*
*
(i)
0Yjk > kY
jY
*
*a)
(i)
Fig. 3.37.
fiind constituite din: o ∑
∈∈
)i(j)k(j
jY – suma admitanţelor proprii ale laturilor j care leagă nodul (k) de nodul (i);
o ∑∈∈
)i(s)k(m
msY – suma admitanţelor de cuplaj magnetic (mutuale) dintre laturile m
conectate la nodul (k) şi laturile s conectate la nodul (i). Aşa cum se vede din rel. (1.173), admitanţele proprii Yj ale laturilor care leagă
două noduri între ele se iau totdeauna cu semnul "–", iar admitanţele Yms se iau cu semnul "+" dacă:
a) sensurile de referinţă ale laturilor sunt la fel faţă de bornele polarizate şi la fel faţă de noduri (fig. 3.38,a );
b)
0Yms> mY
sY (i)*
*
(k)
b) sensurile de referinţă ale laturilor sunt diferite faţă de bornele polarizate şi sensul uneia dintre laturi este dinspre nod şi a celeilalte spre nod (fig. 3.38,b);
În celelalte situaţii aceste admitanţele Yms se iau cu "–".
0Yms>mY
sY(i)
(k)
**
a)Fig. 3.38.
85
Observaţie. Aplicarea metodei presupune caracterizarea bobinelor şi a cuplajelor magnetice dintre ele prin inductivităţile reciproce proprii şi respectiv mutuale. Dacă reţeaua electrică este caracterizată prin inductivităţile proprii şi mutuale, inductivităţile reciproce se calculează prin inversarea matricei inductivităţilor proprii şi mutuale aşa cum s-a arătat în §2.2.3.
În forma matriceală, ecuaţiile corespunzătoare metodei potenţialelor la noduri se scriu în mod similar celor ale reţelelor de curent continuu. Astfel, sistemul de ecuaţii (3.171), în formă matriceală, se scrie:
'n'g'n
''n,'n
' ]I[]V[]Y[ −=⋅ (3.174)
în care 'n']V[ este matricea coloană cu n' = n –1 termeni a potenţialelor raportate ale
nodurilor independente ale reţelei. Matricea pătrată de ordinul n' a admitanţelor complexe reciproce proprii şi mutuale, 'n,'n
']Y[ , se determină cu relaţia: tllll 'n,,',nn,n
' ]A[]Y[]A[]Y[ ⋅⋅=′′ (3.175)
în care matricea ll,]Y[ este matricea pătrată şi simetrică de ordinul l a admitanţelor complexe reciproce, având pe diagonală principală admitanţele complexe reciproce proprii ale laturilor şi înafara diagonalei admitanţele complexe reciproce mutuale:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ω
=
llll
l
l
l
ll
YYLjY
YYYY
YYYYYYYY
Y
................
................
......
......
j21
kkj2k1k
2j2221
1j1121
, . (3.176)
Evident, pentru laturile fără cuplaje magnetice, termenii corespunzători admitanţelor complexe mutuale din această matrice sunt nuli. Matricea coloană cu n′ termeni din membrul drept a ecuaţiei (3.171) se determină cu o relaţie similară celei corespunzătoare teoremei a I-a Kirchhoff (1.154):
[ ]ll g,nn'g I]A[]I[ ⋅= ′′ (3.177)
în care matricea l]I[ g este matricea coloană cu l termeni a curenţilor generatoarelor de curent din laturile reţelei. Evident, pentru laturile fără generatoare, termenii corespunză-tori din această matrice sunt nuli.
După determinarea potenţialelor raportate 'iV ale nodurilor (i = 1, 2, …, n′),
tensiunile Uj la bornele laturilor (j = 1, 2, …, l), se calculează cu relaţia:
n'g
1n,n
'tn,n
'tn, ]I[]Y[]A[]V[]A[]U[ ′
−′′′′′ ⋅⋅−=⋅= lll (3.178)
86
3.5. TEOREMA CONSERVĂRII PUTERILOR COMPLEXE, ACTIVE ŞI REACTIVE
Se consideră o reţea electrică liniară, conexă şi izolată, cu n noduri şi l laturi în regim permanent sinusoidal.
Pentru puterea complexă a unei laturi complete de circuit se consideră expresia: ∗= jjj IUS (3.179)
Dacă se transformă generatoarele de curent în generatoare echivalente de tensiu-ne şi se aplică teorema a I-a Kirchhoff la cele n noduri ale reţelei, se obţin ecuaţiile:
0I)k(j
j =∑∈
, k = 1, 2, …, n. (3.180)
Luând valorile complexe conjugate ale celor doi membri ai fiecărei ecuaţii, avem:
0I)k(j
j =∑∈
∗ , k = 1, 2, …, n. (3.181)
Înmulţind frecare din aceste relaţii cu valoarea complexă Vk a potenţialului sinusoidal al nodului (k) şi adunând membru cu membru ecuaţiile astfel obţinute, rezultă:
0IV)k(j
j
n
1kk =∑∑∈
∗
=
. (3.182)
În aceasta relaţie fiecare curent ∗jI este conţinut de doi termeni: unul cu semnul
"+" pentru nodul (k) din care iese curentul şi altul cu semnul minus "–" pentru nodul (i) în care intră curentul (fig. 3.39). Dând factor comun curentul din cei doi termeni care-l conţin, se obţin termeni de forma: ikjkjkik VVUunde,IUI)VV( −=⋅=⋅− ∗∗ este tensiunea la bornele laturii. În acest fel, relaţia (1.182) se scrie
∑=
∗ =l
1jjj 0IU , respectiv: ∑
=
=l
1jj 0S . (3.183)
Separând părţile reale şi imaginare ale puterilor complexe, rezultă prima formă a teoremei de conservare a puterilor active şi reactive:
ll
∑∑==
==1j
j1j
j .0Q;0P (3.184)
Puterile complexă S, activă P şi reactivă Q ale unei reţele conexe şi izolate, egale cu sumele puterilor complexe Sj, active Pj şi reactive Qj ale laturilor sunt nule:
. lll
∑∑∑===
∗ =ϕ==ϕ===1j
jjj1j
jjj1j
jj 0sinIUQ;0cosIUP;0IUS (3.185)
Teorema conservării puterilor complexe se poate scrie şi sub o altă formă dacă tensiunile la bornele laturilor se exprimă pe baza formei generalizate a legii lui Ohm. Astfel, pentru o latură ca cea din figura 3.39, legea lui Ohm în complex se scrie
jI jZ (i)(k)
Ej
Uj
Fig. 3.39. Uj + Ej = ZjIj , respectiv: Uj = ZjIj – Ej. (3.186)
87
Multiplicând ambii membri ai ultimei ecuaţii cu ∗jI şi adunând membru cu membru
ecuaţiile pentru toate laturile reţelei, se obţine
0IEIIZIU1j
jj1j
jjj1j
jj =−= ∑∑∑=
∗
=
∗
=
∗lll
, (3.187)
respectiv: ∑∑==
∗ =ll
1j
2jj
1jjj IZIE , (3.188)
Separând părţile reală şi imaginară, rezultă:
.IXsinIE;IRcosIE1j
2jj
1jjjj
1j
2jj
1jjjj ∑∑∑∑
====
=ψ=ψllll
(3.189)
Suma puterilor complexe ale surselor de energie din reţea este egală cu suma puterilor complexe ale elementelor pasive (impedanţelor). Corespunzător se formulează şi teoremele de conservare ale puterilor active şi reactive. Pentru o reţea deschisă, pasivă, alimentată din exterior pe la m borne de acces, teorema conservării puterilor se formulează în mod adecvat: puterile activă Pb şi reactivă Qb transmise reţelei pe la bornele de acces sunt egale cu suma puterilor active Pj, respectiv reactive Qj din laturile reţelei:
. ll
j1j
jjk
m
1kkkbj
1jjjk
m
1kkkb sinIUsinIVQ;cosIUcosIVP ϕ=ψ=ϕ=ψ= ∑∑∑∑
====
(3.190)
Ţinând cont de proprietatea de separare a puterilor pe elementele de circuit în regim sinusoidal, bilanţul puterilor active şi reactive poate fi scris şi sub forma:
. ll
∑∑∑∑====
=ψ==ψ=1j
2jjk
m
1kkkb
1j
2jjk
m
1kkkb IXsinIVQ;IRcosIVP (3.191)
3.6. TEOREMA TRANSFERULUI MAXIM DE PUTERE ACTIVĂ
Se consideră circuitul constituit din generatorul de tensiune E de impedanţă Zg (generator Thevènin), conectat în serie cu impedanţa de sarcină Zs (fig. 3.40).
Curentul complex debitat de generator este
)XX(j)RR(EI
sgsg +++= , (3.192)
iar puterea activă transmisă sarcinii este
22 E2
2
)XX()RR(RIRP
sgsg
sss
+++== . (3.193)
Pentru calculul puterii active maxime transmisă de generator sarcinii Zs, se
disting următoarele cazuri:
Rezistenţa sarcinii Rs variabilă. Valoarea maximă a puterii active, Psmax , se obţine pentru valoarea rezistenţei de
sarcină Rs care anulează derivata:
Fig. 3.40.
U
I
Zs
E
Zg
88
22
gsgs
gssgsgs
s
s E])XX()RR[(
)RR(R2)XX()RR(RP
22
22
++++−+++=∂
∂ , (3.194)
adică pentru 22 )XX(RR gsgs ++= . (3.195)
Valoarea maximă a puterii active este:
( )2
2222
22
max E)XX()XX(RR
)XX(RPgsgsgg
gsgs
+++++
++= . (3.196)
Dacă, în plus, reactanţele generatorului Xg şi sarcinii Xs sunt egale în valoare absolută, însă una inductivă şi cealaltă capacitivă, Xs = – Xg , rezultă Rs = Rg şi puterea activă are valoarea
g
2
s R4EP mamax =x (3.197)
Se observă că transferul de putere activă Psmax max are loc dacă impedanţa sarcinii este egală cu conjugata complexă a impedanţei generatorului:
∗= gs ZZ . (3.198)
Reactanţa sarcinii Xs variabilă. Puterea activă este maximă pentru valoarea reactanţei Xs care anulează derivata
[ ]2
gsgs
gss
s
s E)XX()RR(
)XX(R2XP
222 +++
+−=
∂∂ , (3.199)
deci pentru gs XX −= (3.200)
Valoarea maximă a puterii active în acest caz este: 2
2max E)RR(
RPgs
ss
+= (3.201)
Dacă, în plus, Rs = Rg, puterea activă are valoarea g
2
s R4EP mamax =x .
Rezistenţa şi reactanţa sarcinii variabile.
Derivatele s
s
s
s
XPşiR
P∂∂
∂∂ se anulează pentru valorile Rs şi Xs determinate
anterior, respectiv dacă este îndeplinită condiţia ∗= gs ZZ , când puterea activă are
valoarea maximă posibilă, g
2
s R4EP mamax =x .
În condiţiile transferului de putere activă Psmax max , randamentul transmisiei este:
%)50(5,0IR2IR
PP
2g
2g
g
s
total
maxmax ===η (3.202)
unde Pgtotal = 2RgI² este puterea activă totală debitată de generator. Adaptări de tipul (3.198) sunt curente în domeniul curenţilor slabi. În acest scop
se folosesc în practică deseori transformatoare de adaptare.
89
3.7. LINIA MONOFAZATĂ SCURTĂ Transmiterea energiei electromagnetice de la surse la consumatori se face prin linii electrice. O linie electrică cu mai multe conductoare de lungime l se numeşte linie scurtă dacă efectul de propagare a tensiunilor şi curenţilor în lungul liniei este neglijabil. Aceasta presupune că lungimea l a conductoarelor liniei este mult mai mică decât lungimea de undă λ a tensiunii sau curentului.
3.7.1. Linia monofazată scurtă fără efecte transversale
Fiecare conductor k al unei linii electrice scurte poate fi modelat cu elemente de circuit cu parametrii concentraţi (fig. 3.41).
n
k
2
1Dacă intensitatea curentului ik prin conduc-torul k este independentă de distanţa x măsurată de la una din extremităţile liniei, rezultă că intre conductoarele j şi k ale liniei nu se stabilesc prin dielectric curenţi transversali de pierderi
iGjk = 0, (3.203) l << λ
iar curenţii transversali capacitivi sunt neglijabili, ⇔
iCjk = 0. (3.204)
∗R2 L2
∗R1 L1
∗Rk Lk
∗RnLkn
L2k
L12
Ln
Linia electrică care satisface condiţiile (3.203) şi (3.204) se numeşte linie scurtă fără efecte transversale.
În cazul unei linii bifilare, ultima condiţie presupune neglijabile, fie viteza de variaţie în timp a tensiunii u12, fie capacitatea C12 a condensatorului având ca armături conductoarele 1 şi 2 ale liniei.
Fiecare conductor k al unei linii multifilare în condiţiile (3.203) şi (3.204) este caracterizat de rezistenţa Rk, de inductivitatea proprie Lk şi mutuală Ljk (fig. 3.41).
Fig. 3.41.
O linie electrică de curent alternativ constituită din două conductoare se numeşte linie monofazată. Generatorul de t.e.m. complexă E şi impedanţa interioara Zg în serie cu conductoarele liniei şi cu receptorul de impedanţă Zs alcătuiesc un sistem monofazat de transmisie a energiei (fig. 3.42,a). Aplicând teorema a II - a Kirchhoff se obţine:
U1
(1)
Zg
ER1
R2
∗jωL1
L12 = L21
∗jωL2
U2
I
(2′ )
(2)
(1′ )a)
Zs
E = ZgI + R1I + R2I + jω(L1+L2+ L12 + + L21)I+ ZsI,
respectiv, E = ( Zg + Zl + Zs)I, (3.205)
unde: Zl este impedanţa echivalentă a liniei,
Zl = R1+ R2 + jω(L1+L2 + L12 + L21) = Rl jωLl
(2′ )
(2)(1)
(1′ )b)
U2 U1
I = Rl + jωLl , (3.206) cu,
• Rl = R1+ R2 – rezistenţa echivalentă, • Ll = L1+L2 + L12 + L21 – inductivitatea echivalentă a liniei. Fig. 3.42.
90
Schema liniei monofazate scurte, fără efecte transversale, se reprezintă cu Rl şi Ll înseriate numai pe unul din conductoarele liniei ca în figura 3.42,b).
Una din problemele transmisiei energiei pe liniile electrice constă în deter-minarea tensiunii U1 care trebuie aplicată liniei, încât la bornele receptorului tensiunea U2 sa aibă o valoare dată. Dacă rezistenţa Rg şi reactanţa Xg ale generatorului nu sunt neglijabile, acestea se includ cu rezistenţa echivalentă Re şi reactanţa echivalentă Xe:
Re = Rl + Rg ; Xe = Xl + Xg . (3.207)
Se obţine astfel schema echivalentă a sistemului monofazat dată în fig. 3.43,a). Diferenţa dintre valorile efective ale t.e.m. E a generatorului şi tensiunii U2,
δU = E – U2 (3.208) se numeşte variaţie de tensiune sau pierdere de tensiune pe linie, iar diferenţa
∆U = E – U2 (3.209)
este numită cădere complexă sau geometrică de tensiune pe linie: ∆U = (Re + jXe)I. Din diagrama fazorială prezentată în figura 3.43,b) rezultă:
2t
22
21
21
)U()UU(AAA0A0E∆+∆+=
=+==
l
(3.209)
în care,
221 sinIXcosIRBAU ee ϕ+ϕ==∆l (3.210)
este căderea longitudinală de tensiune, iar
221t cosIXsinIRAAU ee ϕ+ϕ−==∆ (3.211)
este căderea transversală de tensiune pe linie. Pentru variaţia de tensiune pe linie,
rezultă:
22
t2
2
22
U)U()UU(B0A0UEU
−∆+∆+=
=−=−=δ
l
(3.212)
Linia funcţionează în limite acceptabile dacă: 2
22
t )UU()U( l∆+<<∆ (3.213)
şi, prin urmare, se poate considera δU = ~∆lU. Din diagrama fazorială se vede că modulul căderii complexe de tensiune ∆U este
mai mare decât variaţia (pierderea) de tensiune δU
U)U()U(U 2t
2 δ>∆+∆=∆ l . (3.214)
Dacă receptorul este capacitiv, ϕ2 < 0, e posibil ca valoarea efectivă a tensiunii U2 la bornele receptorului să fie mai mare decât valoarea efectivă E a tensiunii electro-motoare a generatorului (U2 > E).
Fig. 3.43.
ERe jXe I
U2 Zs
a)
ReIϕ1
0
A
E∆U
jXeIU2 B
IA1 A2 ϕ2
Cb)
91
3.7.2. Linia monofazată scurtă cu efecte transversale
O linie electrică cu mai multe conductoare în care, deşi efectul de propagare este neglijabil, intensitatea curentului în fiecare conductor la una din extremităţi, ik(t), este diferită în fiecare moment de intensitatea curentului la cealaltă extremitate, , )(tki′
ik(t) – )(tki′ ≠ 0,
se numeşte linie scurtă cu efecte transversale. Diferenţa curenţilor corespunde, fie curenţilor transversali de pierderi iG, fie
curenţilor capacitivi iC, fie atât celor de pierderi, cât şi celor capacitivi. Dacă linia are două conductoare, se numeşte linie monofazată scurtă. Într-o primă aproximaţie, conductanţa transversală Gt (numită şi perditanţă) şi capacitatea transversala Ct se reprezintă la mijlocul liniei ca în schema din figura 3.44, astfel că:
i1 – i2 = iG + iC , (3.215)
Prin introducerea perditanţei Gt şi a capacităţii Ct simetric în raport cu extremităţile liniei, se obţine schema simetrică de iteraţie ″1″ (fig. 3.44).
Schema simetrică de iteraţie ″n″ se obţine divizând Rl şi Ll prin 2n şi multiplicând cu n Gt şi Ct, aşa cum se arată în figura 3.45.
Rl 2 (2)(1)
Fig. 3.44. Schema simetrică de iteraţie ″1″.
i1 Ll 2 Ll 2
(1) (2)
Rl 2n
Fig. 3.45. Schema simetrică de iteraţie ″n″.
i1 i2
nGt nCtu1 u2
(1)
(1)
(2)
(2)
Ll n
nCt
Ll n
nGt nCt
Rl 2n Ll 2n
Rl /2n
Rl n
nGt
Rl n Ll 2n
u2u1 CtGt
iC iG
Rl 2 i2
Precizia reprezentării efectelor transversale este cu atât mai bună, cu cât ordinul
iteraţiei n este mai mare.
92
4. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
În tehnica actuală de producere, transport şi distribuţie a energiei electrice se utilizează aproape în exclusivitate sistemul trifazat. În principiu, un sistem trifazat este constituit dintr-un generator care produce trei tensiuni electromotoare alternative, o linie alcătuită din trei conductoare principale (de fază) şi receptorul cu impedanţele de sarcină conectate în stea sau în triunghi (fig. 4.1).
Generator trifazat
Receptor trifazat
Linie trifazată
Fig. 4.1. Schema de principiu a sistemului trifazat.
4.1. SISTEME POLIFAZATE SIMETRICE DE MĂRIMI SINUSOIDALE
Un sistem polifazat (m–fazat) simetric de mărimi periodice de succesiune directă de ordinul 1, este un ansamblu ordonat de m mărimi periodice yk(t), k = 1, 2, …, m, de perioadă T, care se succed la un interval de timp T/m,
y1(t) = y(t) , y2(t) = y(t – T/m), … yk(t) = y[t – (k–1)T/m], … ym(t) = y[t – (m–1)T/m] (4.1)
în care y(t) = y(t + nT), n = 0, 1, 2, …, este o funcţie periodică de perioadă T. Dacă y(t) este sinusoidală, y(t) = 2 Ysin(ω t + γ ), se obţine sistemul polifazat
simetric de mărimi sinusoidale de succesiune directă de ordinul 1, constituit din m mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă, având valori efective egale şi fiind defazate cu un unghi –2π/m,
]m2)1m(tsin[Y2)]m
T)1m(t[sinY2)t(y
]m2)1k(tsin[Y2)]m
T)1k(t[sinY2)t(y
)m2tsin(Y2])m
Tt(sin[Y2)t(y
)tsin(Y2)t(y
m
k
2
1
π−−γ+ω=γ+−−ω=
π−−γ+ω=γ+−−ω=
π−γ+ω=γ+−ω=
γ+ω=
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
(4.2)
cu următoarea reprezentare în complex: ( ) [ ] [ ]m
2m2
m2 )1m(j
m)1k(j
kj
2j
1 YeY,...,YeY,YeY,YeYπππ −−γ−−γ−γγ ====
..., (4.3)
93
Notând cu a operatorul complex de rotaţie cu unghiul 2π/m,
m2sinjm
2cosea m2j π+π==π
(4.4)
sistemul polifazat simetric de fazori se pune sub forma:
Y1 = Y1, Y2 = a-1Y1, …, Yk = a1-kY1, …, Ym = a1-m Y1 (4.5)
Din diagrama fazorilor ak , k = 0, 1, 2, … , m –1, (fig. 4.2), rezultă relaţiile:
1 + a + a2 + … + ak + … + am-1 = 0; a2
···
ak
a
1
am-1
···
a1+m = a; ak+m = ak; am-k = a-k. (4.6)
În consecinţă, sistemul polifazat simetric de fazori complecşi satisface relaţia
··Y1 + Y2 + … + Yk + … + Ym =0, (4.7) ·
căreia îi corespunde următoarea relaţie între mărimile instantanee yk(t):
Fig. 4.2.y1 + y2 + … + yk + … + ym = 0. (4.8)
Fazorii complecşi Yk ai unui sistem polifazat simetric de succesiune directă de ordinul 1 se reprezintă în raport cu o origine comună, alcătuind, fie un sistem stelat cu m braţe, fie un sistem poligonal cu m laturi (fig. 4.3).
Ym
Yk
Y2
Succesiune directăY1
Y1
Y2
m2π−
m2π
Succesiunedirectă
Y3
Yk
Ym
Y3
Fig. 4.3. Reprezentarea fazorială a sistemului simetric de succesiune inversă.
Dacă se consideră, de exemplu, fazorul Y1 origine a sistemului, se numeşte sens direct sensul de rotire orar şi sens invers, sensul antiorar.
Dacă mărimile sunt ordonate astfel încât succesiunea fazelor este directă, iar
două mărimi succesive Yk şi Yk+1 au diferenţa fazelor egale cu m2π− , sistemul de mărimi
se numeşte sistem direct de ordinul 1 sau de secvenţă 1.
Dacă diferenţa de fază a două mărimi succesive este m22 π− , sistemul direct este
de ordinul 2 sau de secvenţă 2, ş.a.m.d.
Analog se definesc sistemele inverse de succesiune 1, 2, …(fig. 4.4).
94
Y1
Y2
m2π−
m2π
Succesiune inversă
Y3
Ym
Ym
Yk
Y3
Y2
Succesiune inversă Y1
Yk
Fig. 4.4. Reprezentarea fazorială a sistemului simetric de succesiune inversă.
Se observă că luând fazorul Y1 origine de fază, fazorii sistemului invers sunt conjugaţii fazorilor sistemului direct.
4.2. SISTEME TRIFAZATE SIMETRICE DE MĂRIMI SINUSOIDALE
Un sistem trifazat simetric de mărimi periodice, de succesiune directă, este un ansamblu ordonat de trei mărimi periodice y1d, y2d, y3d de perioadă T, care se succed la un interval de timp de T/3, astfel că mărimea y2d este în urma mărimii y1d şi y3d în urma mărimii y2d:
y1d(t) = yd(t); y2d(t) = yd(t – T/3); y3d = yd(t – 2T/3) (4.9)
în care yd(t) = yd(t + kT), k = 1, 2, 3, … , este o funcţie periodică de perioadă T. Dacă funcţia yd(t) este sinusoidală, se obţine sistemul trifazat simetric de mărimi sinusoidale, de succesiune directă, constituit din trei mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă, având valori efective egale şi fiind defazate între ele cu un unghi de 2π/3,
( ) ( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
π−γ+ω=γ+−ω=
π−γ+ω=γ+−ω=
γ+ω=
)34tsin(Y2])3
T2t(sin[Y2ty
)32tsin(Y2])3
Tt(sin[Y2ty
tsinY2ty
ddd3
ddd2
dd1
(4.10)
cu următoarea reprezentare în complex:
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
π−π−γ
π−π−γ
γ
34j
d3
4jdd3
32j
d3
2jdd2
dj
dd1
eYeYY
eYeYY
YeYY
(4.11)
Se notează cu a operatorul complex de rotaţie cu unghiul 32π ,
23j2
132sinj3
2cosea 32j +−=π⋅+π==π
, (4.12)
95
care are următoarele proprietăţi: 0aa1;aa;aaa;1a 22123 =++==== −∗− . Utilizând operatorul a, scris pentru simplitate nesubliniat, fazorii sistemului trifazat simetric (4.11) se pun sub forma:
dd3d2
d2dd1 YaY;YaY;YY === . (4.13) Având în vedere că , rezultă: 0aa1 2 =++ 0YYY d3d2d1 =++ respectiv, în mărimi instantanee, , ceea ce înseamnă că suma mărimilor unui sistem trifazat simetric de mărimi sinusoidale este totdeauna nulă.
0yyy d3d2d1 =++
În figura 4.5, a) se prezintă curbele de variaţie în timp ale mărimilor sistemului trifazat pentru fază iniţială nulă (γ = 0), iar în figura 4.5, b) se prezintă diagrama
Analog se defi
fazorilor complecşi.
neşte sistemul trifazat simetric de mărimi periodice de succesiune inversă
ntea măr
y3i = yd(t + 2T/3) (4.14)
unde yi(t) = yi(t + kde mărimi
sinusoi
0
y1d y2d y3d
tω0=γ
32π
π 3
4π π2 sens direct
+1γ
+j
d1Y d3Y
d2Y
32π
32π−
34π−
b) Fig. 4.5.
a)
i3i2i1 y,y,y , în care mărimile se succed la un interval de T/3, astfel că mărimea y2i este înai imii y1i şi y3i înaintea mărimii y2i,
y1i(t) = yi(t); y2i(t) = yi(t + T/3);
T), k = 1, 2, 3, … , este o funcţie periodică de perioadă T. Dacă funcţia yi(t) este sinusoidală, se obţine sistemul trifazat simetric dale de succesiune inversă
( ) ( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧ = sinY2ty
π+γ+ω=γ++ω=
π+γ+ω=γ++ω=
γ+ω
)34tsin(Y2])3
T2t(sin[Y2ty
)32tsin(Y2])3
Tt(sin[Y2ty
t
iii3
iii2
ii1
(4.15)
cu imaginile în complex: i
2i3ii2ii1 YaY;YaY;YY === . (4.16)
În figura 4.6, a) se prezintă curbele de variaţie în ttrifazat
imp ale mărimilor sistemului pentru fază iniţială nulă (γ = 0), iar în figura 4.6, b) se prezintă diagrama
fazorilor complecşi.
96
În mod normal, sistemele trifazate simetrice de tensiuni şi curenţi sunt de succesiune directă. Pentru simplificare, se renunţă la indicele ″d ″ şi se scriu sub forma:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
π−α+ω=
π−α+ω=
α+ω=
)34tsin(U2)t(u
)32tsin(U2)t(u
)tsin(U2)t(u
3
2
1
;
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
π−β+ω=
π−β+ω=
β+ω=
)34tsin(I2)t(i
)32tsin(I2)t(i
)tsin(I2)t(i
3
2
1
. (4.17)
4.3. CONEXIUNILE SISTEMELOR TRIFAZATE
Se consideră trei sisteme monofazate de transmisie a energiei electrice (fig. 4.7) constituite din:
0
y1iy2iy3i
tω0=γ
32π
π 3
4π π2
sens invers
+1γ
+j
i3Y
i1Y
i2Y32π
32π−
34π
a) b) Fig. 4.6.
Receptoare monofazate
gg ,Z ϕrr ,Z ϕ eT iT
uT uC
Zl
T′
T C
C′
gg ,Z ϕ rr ,Z ϕ eR
R iR A
uR uA
Zl
R′ A′
gg ,Z ϕrr ,Z ϕ eS iS
uS uB
Zl S
S′
B
B′
Generatoare monofazate Linii monofazate
Fig. 4.7.
97
– trei generatoare cu t.e.m. sinusoidale în timp, alcătuind un sistem trifazat simetric,
( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
π−α+ω=
π−α+ω=
α+ω=
)34tsin(E2te
)32tsin(E2te
)tsin(E2te
gT
gS
gR
(4.18)
şi având impedanţele interioare identice: gj
gggTgSgR eZZZZZ ϕ==== ; (4.19)
– trei linii bifilare cu impedanţele conductoarelor identice, l
lllllϕ==== j
TSR eZZZZZ ;
– trei receptoare monofazate cu impedanţe identice, rj
rrrCrBrA eZZZZZ ϕ==== . (4.20)
Curenţii iR, iS, iT prin circuite sunt defazaţi cu acelaşi unghiϕ faţă de t. e. m. ale generatoarelor şi formează un sistem trifazat simetric:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
π−ϕ−α+ω=
π−ϕ−α+ω=
ϕ−α+ω=
)34tsin(I2
)32tsin(I2
)tsin(I2
gS
gS
gR
)t(
)t(
)t(
i
i
i
(4.21)
Tensiunile la bornele generatoarelor monofazate uR, uS, uT şi tensiunile la bornele receptoarelor uA, uB, uC alcătuiesc, de asemenea, sisteme simetrice:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
π−α+ω=
π−α+ω=
α+ω=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
π−α+ω=
π−α+ω=
α+ω=
)34tsin(U2
)32tsin(U2
)tsin(U2
;
)34tsin(U2
)32tsin(U2
)tsin(U2
r
r
r
)g(C
)g(B
)g(A
g)g(
S
g)g(
S
g)g(
R
)t(
)t(
)t(
)t(
)t(
)t(
u
u
u
u
u
u
. (4.22)
Fiecare generator de tensiune se numeşte fază generatoare (prescurtat fază). Sistemul trifazat format din trei circuite monofazate izolate este un sistem necatenat. Un sistem trifazat este catenat dacă are legături conductoare între circuitele monofazate la generator şi/sau la receptor. Sunt posibile două conexiuni ale fazelor: în stea (respectiv, stea cu fir neutru) şi în triunghi.
Sistemele trifazate de transmisie a energiei obţinute în acest fel se numesc simetrice (din punct de vedere a tensiunilor şi curenţilor care formează fiecare sisteme simetrice) şi echilibrate (din punct de vedere a impedanţelor, identice pentru cele trei circuite monofazate).
98
4.3.1. Conexiunea în stea a sistemelor trifazate
În figura 4.8, a) şi b) se prezintă, aranjată în două moduri, schema sistemului trifazat generator – linie – receptor în conexiunea stea cu fir neutru.
Receptor trifazat steaGenerator trifazat stea Linie trifazată
uAN
Zl,ϕl
T Zl,ϕl
Zl,ϕl
C
Zr,ϕr
Zr,ϕr
Zr,ϕr
A
B S
R
uRS
uST
uTR
0
uR0
uS0
uT0
uAB
uBC
uCA
N
uBN
uCN
iT
iR
iS
iN
Receptor trifazat stea
a)
gg ,Z ϕrr ,Z ϕ eR
R iR A
uRS uAB
Zl,ϕl
0eS iS rr ,Z ϕ S Bgg ,Z ϕ
eT iT rr ,Z ϕ T C
Zl,ϕl
gg ,Z ϕ uST uBCuTR uCA
N
Z,ϕl
Linie trifazatăGenerator trifazat stea
b)Fig. 4.8.
S-au notat cu: 0 – neutrul sau nulul generatorului; N – neutrul sau nulul receptorului; R, S, T – bornele generatorului; A, B, C – bornele receptorului.
Prin conectarea în stea, curenţii prin fazele generatorului, prin conductoarele liniei şi prin impedanţele receptorului rămân neschimbaţi. Cei trei curenţi prin conductoarele principale (de fază) ale liniei, formând sistem trifazat simetric, au suma nulă. În consecinţă, curentul iN prin conductorul N0, numit conductor de nul sau fir neutru, este nul (iN = iR + iS + iT = 0) şi acest conductor (trasat cu linie întreruptă în fig. 4.8) poate fi suprimat, obţinându-se astfel conexiunea stea fără fir neutru. Se numesc tensiuni de linie sau compuse, tensiunile dintre două borne ale generatorului sau ale receptorului, egale cu tensiunile dintre conductoarele liniei la generator, respectiv la receptor. Astfel, tensiunile uRS, uST şi uTR sunt tensiunile de linie la
99
generator, iar tensiunile uAB, uBC şi uCA sunt tensiunile de linie la receptor. Se numesc tensiuni de fază, simple sau stelate, tensiunile pe fazele generatorului sau pe impedanţele de fază ale receptorului respectiv, la conectarea în stea, tensiunile dintre bornele generatului şi neutrul acestuia şi tensiunile dintre bornele receptorului şi neutrul acestuia. Astfel, tensiunile uR0, uS0 şi uT0 sunt tensiunile de fază la generator, iar tensiunile uAN, uBN şi uCN sunt tensiunile de fază la receptor. Curenţii de linie, sunt curenţii de pe conductoarele liniei, respectiv iR, iS şi iT, iar curenţii de fază sunt curenţii prin fazele generatorului şi respectiv prin impedanţele receptorului. Este evident că la conexiunea în stea a sistemelor trifazate, curenţii de linie coincid cu curenţii de fază. Notând cu şi respectiv valorile efective ale curenţilor prin fazele generatorului şi respectiv prin impedanţele de sarcină ale receptorului şi cu I
)g(fI )r(
fIl
valoarea efectivă a curentului prin conductoarele liniei (de linie), rezultă:
lIII )r(f
)g(f == (4.23)
Fiecare tensiune de linie, de la generator sau de la receptor, se compune din câte două tensiuni de fază de la generator, respectiv de la receptor. Astfel tensiunile de linie la generator se pot scrie:
uRS = uR0 – uS0; uST = uS0 – uT0; uTR = uT0 – uR0. (4.24) De exemplu:
)6tsin(U2)32tsin(U2)tsin(U2 g
)g(g
)g(fg
)g(fRS )t( π+α+ω=π−α+ω−α+ω= lu , (4.25)
în care s-a notat cu valoarea efectivă a tensiunii de fază şi cu valoarea efectivă a tensiunii de linie la generator,
)g()g(f UU = )g(Ul
)g(f
)g( U3U =l . (4.26)
Se demonstrează astfel că tensiunile de linie la generator alcătuiesc sistem trifazat simetric,
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
π−π+α+ω=
π−π+α+ω=
π+α+ω=
)34
6tsin(U2
)32
6tsin(U2
)6tsin(U2
g)g(
TR
g)g(
ST
g)g(
RS
l
l
l
u
u
u
(4.27)
fiind defazate cu unghiul π/6 înaintea tensiunilor de fază. Similar, tensiunile de linie la receptor se scriu:
.0A0C u;; CA0C0BBC0B0AAB uu uuu uuu − (4.28) =−=−=
De exemplu: UANUAB
)29.4()6tsin(U2
)32tsin(U2)tsin(U2
r)r(
r)r(
fr)r(
fAB )t(
u
lπ+α+ω=
=π−α+ω−α+ω=
în care s-a notat cu valoarea efectivă a tensiunii de fază la receptor şi cu valoarea efectivă a tensiunii de linie la bornele receptorului,
)r()r(f UU =
UBC
UBN
)r(Ul
)r(f
)r(l U3U =
UCN
–UBN
ϕr π6
IR
IS
IT
C B
A
N
U (4.30)
CA
Fig. 4.9.
100
În figura 4.9 este prezentată diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor la receptorul conectat în stea. Prin conexiunea în stea a unui sistem trifazat echilibrat şi simetric, valoarea efectivă a curentului de linie este egală cu valoarea efectivă a curentului de fază, iar valoarea efectivă a tensiunii de linie la generator, respectiv la receptor, este de 3 ori mai mare decât valoarea efectivă a tensiunii de fază de la generator, respectiv de la receptor.
.IIU3U ff == ll , (4.31)
4.3.2. Conexiunea în triunghi a sistemelor trifazate
Receptor trifazat triunghi
Generator trifazat triunghi Linie trifazată
eR R iR A
uRS uAB
Zl,ϕl
eS iS S B
eT iT T C
uST uBCuTR
Zl,ϕl
Zl,ϕl
a)
iRS
iST
iTR
Zr,ϕr
Zr,ϕr
Zr,ϕr
uCA
iAB
iBC
iCA
Zg ,ϕg
Zg ,ϕg
Zg ,ϕg
uCA
Zl,ϕl
Zl,ϕl
Zl,ϕl
A
B S
R
uRS
uST
iRS
uAB
uBC
T
iAB
iR
iS
uTR
Zg ,ϕg
Zg ,ϕg
iBC
iCAiSTiTR
Generator trifazat în triunghi
Receptor trifazat în triunghiLinie trifazată
Zg ,ϕg
Zr,ϕrZr,ϕr
Zr,ϕr
b)
iT
C
Fig. 4.10.
Schema sistemului trifazat generator – linie – receptor în conexiunea triunghi este prezentată, aranjată în două moduri, în figura 4.10, a) şi b), în care s-au notat astfel:
iRS, iST, iTR = curenţii prin fazele generatorului – curenţii de fază la generator;
iAB, iBC, iCA = curenţii prin impedanţele receptorului – curenţii de fază la receptor;
iR, iS, iT = curenţii prin conductoarele liniei – curenţii de linie.
101
Se observă că fiecare curent de linie se compune din câte doi curenţi de fază de la generator sau de la receptor. Astfel, funcţie de curenţii de fază de la generator, curenţii de linie sunt:
TRSTTRSSTSTRRSR ;; iii iii iii −=−=−= (4.32) De exemplu:
=π−ϕ−α+ω−ϕ−α+ω= )34tsin(I2)tsin(I2 g
)g(fg
)g(fRi
)6
tsin(I2)6
tsin(I32 glg)g(
fπ
−ϕ−α+ω=π
−ϕ−α+ω= (4.33)
unde s-a notat cu valoarea efectivă a curentului de fază la generator şi cu )g()g(f II =
)g(fI3I =l valoarea efectivă a curentului linie.
Curenţii de linie alcătuiesc sistem trifazat simetric,
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
π−π−ϕ−α+ω=
π−π−ϕ−α+ω=
π−ϕ−α+ω=
)34
6tsin(I2
)32
6tsin(I2
)6tsin(I2
glT
glS
glR
)t(
)t(
)t(
i
i
i
, (4.34)
fiind defazaţi în urma curenţilor de fază cu –π/6 şi având valoarea efectivă de 3 ori mai mare ca valoarea efectivă a curenţilor de fază de la generator. Relaţiile dintre curenţii de linie şi curenţii prin fazele receptorului sunt:
.iii iii iii BCCATABBCSCAABR ;; −=−=−= (4.35)
Procedând în mod similar, rezultă şi în acest caz că valoarea efectivă a curenţilor de linie este de 3 ori mai mare ca valoarea efectivă a curenţilor de fază de la receptor,
)r(fl I3I = . (4.36)
Este evident că tensiunile de linie de la generatorul sau de la receptorul conectat în triunghi coincid cu tensiunile de fază, având valori efective egale:
.UU;UU )r(f
)r()g(f
)g( == ll (4.37) În figura 4.11 se prezintă diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor la receptorul trifazat echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice în conexiunea triunghi.
IAB
UAB
IRUBC
ICA
ϕr
π 6
IS
IT
IBC
–ICA
UCA
Prin conexiunea în triunghi a unui sistem trifazat simetric la generator, respectiv la receptor, valoarea efectivă a tensiunii de linie este egală cu cea a tensiunii de fază şi valoarea efectivă a curentului de linie este de 3 ori mai mare decât valoarea efectivă curentului de fază
ff I3IUU == ll , . (4.38) Fig. 4.11.
102
4.4. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE TRIFAZATE, SIMETRICE ŞI ECHILIBRATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
Se analizează sistemul electric liniar de transmisie trifazat, simetric şi echilibrat, generator – linie – receptor. Prin această analiză se urmăreşte determinarea tensiunilor şi curenţilor, cunoscând tensiunile electromotoare ale generatorului şi impedanţele interioare ale acestuia, liniei şi receptorului. Deoarece tensiunile aplicate liniei pot fi de la un generator sau din secundarul unui transformator electric, se va analiza sistemul constituit din linia trifazată echilibrată la care este conectat un receptor trifazat echilibrat cu impedanţele conectate în stea (stea cu fir neutru) sau în triunghi. La bornele de intrare ale liniei, tensiunile reţelei de alimentare sunt simetrice, sinusoidale.
4.4.1. Circuitul în conexiunea stea cu fir neutru
Se consideră circuitul constituit din linia trifazată echilibrată cu fir neutru, având impedanţele conductoarelor de fază Zl şi a firului neutru ZN, la care este legat un receptor trifazat echilibrat conectat în stea cu neutrul N accesibil, având impedanţele proprii Zr şi mutuale Zmr (fig. 4.12,a).
R Zl IR A Zr*
S Zl IS B Zr*
T Zl IT C Zr*
Zmr
Zmr
0
N
ZN IN N
UAB
UBC
UCA
Zmr
UT0
US0
R ZIR
S ZIS
T ZIT
0
US0
ZN IN
N
UT0
UN0
UTN
USN
URN
⇔UR0 UR0
a) b) Fig. 4.12.
La bornele de intrare ale liniei tensiunile de alimentare sunt date prin compo-nentele lor de fază simetrice:
.UaU;UaU;UU f0Sf2
0Sf0R === (4.39)
Prin aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff ochiurilor [ANBA] şi respectiv [BNCB], se obţin ecuaţiile:
SmrrRmrrTRmrSrTSmrRrAB I)ZZ(I)ZZ()II(ZIZ)II(ZIZU −−−=+−−++= (4.40) respectiv,
TmrrSmrrSRmrTrTRmrSrBC I)ZZ(I)ZZ()II(ZIZ)II(ZIZU −−−=+−−++= . (4.41)
Din aceste relaţii rezultă că receptorul trifazat stea cu cuplaje magnetice între impedanţele fazelor poate fi înlocuit cu un receptor stea fără cupaje magnetice, cu impedanţele echivalente
mrrre ZZZ −= . (4.42)
103
Se obţine schema echivalentă a sistemului din figura 4.12,b), în care:
.ZZZ re l += (4.43)
Curenţii: TSR I,I,I prin impedanţele Z şi curentul NI prin impedanţa NZ se calculează cu relaţiile:
.ZUI;T,S,R,Z
UIN
0NN
N ==α= αα (4.44)
În general, pentru un circuit în conexiunea stea ca cel din figura 4.13, curenţii R, S, T)(αI =α , pot fi scrişi sub forma:
)VV(YI N−= ααα (4.45) (R) YR
VR IR
(S) YS VS
IS (N)
(T) YT VT
IT
(0) YN V0
IN
unde: NV, R, S, T)(αV =α – potenţialele complexe ale bornelor;
R, S, T)(αZ1Y ==α
α – admitanţele complexe ale fazelor.
Aplicând teorema a I-a Kirchhoff şi legea lui ohm se obţine: )VV(YI 0NNNIII TSR −==++ , respectiv Fig. 4.13.
)VV(Y)YYY(VVY 0NNTSRNTTSVYVY SRR −=++−++ Expresia generală a potenţialului punctului neutru pentru un circuit în conexi-unea stea, numită şi formula lui Millman, rezultă:
NTSR
0NTTSSRRN YYYY
VYVYVYVYV ++++++= (4.45)
În cazul de nostru, circuitul fiind echilibrat, Z/1YYY TSR === , relaţia (4.45) devine
N
0NTSRN YY3
VY)VVV(YV ++++= , (4.46)
şi tensiunea (diferenţa de potenţial) dintre neutrul N al receptorului şi neutrul 0 al reţelei de alimentare, UN0, rezultă:
0YY3)UUU(Y
YY3VY3)VVV(YVVU
N
0T0S0R
N
0TSR0N0N =+
++=+−++=−= , (4.47)
deoarece tensiunile 0T0S0R U,U,U alcătuiesc sistem trifazat simetric, 0UUU 0T0S0R =++ . Aplicând teorema a II-a Kirchhoff ochiurilor [RN0R], [SN0S], [TN0T] ale circuitului din figura 4.12,b), se obţine:
.T,S,R,UUUU 00N0N =α=−= ααα (4.48) Aşadar, tensiunile de fază la receptor sunt egale cu tensiunile de fază ale reţelei de alimentare ( 0N UU αα = ), formând, prin urmare, şi ele un sistem simetric. Curenţii pe linie şi prin impedanţele receptorului rezultă din (4.44):
.0I;T,S,R,ZZZUI N
mrr
0 ==α−+= αα
l (4.49)
Tensiunile CNBNAN U,U,U la bornele impedanţelor receptorului (fig. 4.12,a), sunt egale cu căderile de tensiune corespunzătoare:
104
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+−==
−+−==
−+−==
0Tmrr
mrrTreCN
0Smrr
mrrSreBN
0Rmrr
mrrRreAN
UZZZZZIZU
UZZZZZIZU
UZZZZZIZU
l
l
l
, (4.50)
iar căderile de tensiune pe impedanţele Zl ale conductoarelor de fază ale liniei pot fi calculate cu relaţiile:
R, S, T. α,UZZZZIZU 0
mrr=−+==∆ αα
l
lllα (4.51)
În concluzie, în regim echilibrat simetric, curentul prin firul neutru este nul, curenţii de linie (egali cu cei de fază), tensiunile de fază la receptor şi căderile de tensiune pe linie alcătuiesc sisteme simetrice. Diagrama fazorială pentru tensiuni şi curenţi se prezintă în figura 4.14,a).
Se observă că diagramele fazorilor tensiunilor şi curenţilor pentru fazele S şi T rezultă prin rotirea în sens orar (pentru un sistem de succesiune directă) a diagramei
fazorilor fazei R cu 32π , respectiv 3
4π .
Circuitul trifazat echilibrat, alimentat cu tensiuni simetrice, se poate analiza numai pentru una dintre faze şi, în consecinţă, schemele circuitelor trifazate se pot înlocui în acest regim cu scheme monofazice (fig. 4.14, b,c).
4.4.2. Circuitul în conexiunea stea fără fir neutru
R Zl IR A Zre
S Zl IS B Zre
T Zl IT C Zre
N
URS
UST
ZIR
ZIS
ZIT
N
URN
USN
UTN
⇔
a) b)
UTR
R
S
T
URS
UST UTR
UAN
UBN
UCN
Fig. 4.14. b)
Zl
RUR0
UAN∆UlR
0
ϕ
∆UlR
A NZr – Zmr
UAN
IR
0≡N
R
UR0
NZ
0≡N
UR0
R IR
AIRS
R
UBN
US0∆UlR
0≡N
T
UT0 IT
UCN
∆UlT
IS ∆UlR
IR UAN
UR0
ϕ
Fig. 4.15.
c)
a)
105
Punctul neutru N al receptorului nu este accesibil (fig. 4.15) şi tensiunile complexe ale reţelei de alimentare sunt date prin componentele lor de linie, STRS U,U şi
TRU , formând un sistem simetric:
lll UaU,UaU,UU TR2
STRS === (4.52) Curenţii TSR I,I,I din circuitul echivalent dat în figura 4.15,b), în care reZZZ += l
se determină cu relaţiile:
T,S,R;ZUI N =α= α
α . (4.53)
Deoarece circuitul nu are fir neutru şi prin urmare ∞=NZ , potenţialul complex NV al neutrului receptorului se obţine cu formula lui Millman, rel. (4.45), luând 0YN = ,
3VVVV TSR
N++= (4.54)
şi tensiunile de fază )T,S,R(U N =αα se calculează astfel:
3UUVVU
3UUVVU
3UUVVU
STTRNTTN
RSSTNSSN
TRRSNRRN
−=−=
−=−=
−=−=
(4.55)
Se verifică uşor că valoarea efectivă a tensiunilor de fază Uf este:
lll U3
1U|e|33U3
|a1|UUUU 6jTNSNRNf ==−====
π− , (4.56)
unde Ul este valoarea efectivă a tensiunilor de linie. Înlocuind tensiunile date de rel.(4.55) în (4.53), se obţin relaţiile de calcul ale curenţilor:
mrr
STTRR
mrr
RSSTS
mrr
TRRSR
ZZZUU
31I
ZZZUU
31I
ZZZUU
31I
−+−=
−+−=
−+−=
l
l
l
(4.57) UTR
π URScu valoarea efectivă
mrrTSR ZZZ
U331IIII −+====
l
l (4.58)
Tensiunile la bornele impedanţelor recep-torului sunt egale cu căderile de tensiune cores-punzătoare:
TmrrTreCN
SmrrSreBN
RmrrRreAN
I)ZZ(IZUI)ZZ(IZUI)ZZ(IZU
−==−==−==
(4.59)
iar căderile de tensiune pe conductoarele liniei au expresiile,
TSR IZU;IZU;IZU TSR ll ll ll =∆=∆=∆ . (4.60) Curenţii, tensiunile de fază şi căderile de tensiune pe linie alcătuiesc sisteme
simetrice. Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor este dată în figura 4.16.
UST
ϕ6
IR
ISURS – UTR
–UTR
IT
UTR – UST
UST – URS
URNUTN
USN
Fig. 4.16.
106
4.4.3. Circuitul în conexiunea triunghi Se consideră circuitul format din linia trifazată echilibrată conectată la un receptor trifazat în triunghi, având impedanţele proprii ∆Z şi mutuale ∆mZ , fig. 4.17,a).
RZlIR A
SZlIS B
TZlIT C
URS
USTUTR
N
ZY
ZY
ZY R
Zl IR A
* S
Zl IS B
*
T Zl IT
C
*UAB
UBC
UCAURS
UST
Zm∆
Zm∆
Zm∆
Z∆
Z∆
Z∆
UTR
ICA
IBC
IAB
⇔
b) a) Fig. 4.17.
Receptorul trifazat conectat în triunghi cu elemente cuplate magnetic este echivalent cu un receptor în triunghi fără cuplaje magnetice, având impedanţele echivalente eZ∆ care se determină astfel:
)II(ZIZU)II(ZIZU)II(ZIZU
BCABmCACA
CAABmBCBC
CABCmABAB
++=++=++=
∆∆
∆∆
∆∆
(4.61)
Scăzând relaţiile două câte două, se obţine:
ABmCAmABCA
CAmBCmCABC
BCmABmBCAB
I)ZZ(I)ZZ(UUI)ZZ(I)ZZ(UUI)ZZ(I)ZZ(UU
⋅−−⋅−=−⋅−−⋅−=−⋅−−⋅−=−
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
(4.62)
Prin identificare se deduce: ∆∆∆ −= me ZZZ (4.63)
Receptorul cu impedanţele eZ∆ necuplate magnetic, conectat în triunghi, se poate transfigura în receptorul echivalent cu impedanţele YZ conectate în stea:
)ZZ(31
3ZZ m
e∆∆
∆ −==Y (4.64)
Circuitul echivalent astfel obţinut este similar celui de la conexiunea stea fără fir neutru şi deci curenţii au expresii de forma:
.ZZUU
31I;ZZ
UU31I;ZZ
UU31I
Y
STTRT
Y
RSSTS
Y
TRRSR +
−=+−=+
−=lll
(4.65)
Pentru căderile de tensiune pe linii se obţin expresii de forma:
.IZU;IZU;IZU TSR TSR 1l 1l 1l =∆=∆=∆ (4.66)
Tensiunile de bornele receptorului pot fi calculate cu relaţiile:
107
RT
TS
SR
UUUUUUUUUUUU
TRCA
STBC
RSAB
ll
ll
ll
∆+∆−=∆+∆−=∆+∆−=
(4.67)
iar pentru curenţii din impedanţele receptorului de sarcină – CABCAB I,I,I – se folosesc relaţiile:
e
CACA
e
BCBC
e
ABAB Z
UI;ZUI;Z
UI∆∆∆
=== (4.68)
Diagrama fazorială a circuitului trifazat în conexiunea triunghi, construită pe
baza relaţiilor de mai sus, se prezintă în figura 4.18.
UAB
UST
UTR
IR
IS
URS – UTR
–UTR
UTR – UST
UST – URS
URS
IT
UBC
UCA
IAB
–∆UlR∆UlS
IBC
ICA
Fig. 4.18.
4.4.4. Puteri în reţele trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice
Se consideră receptorul trifazat echilibrat RT (fig. 4.19) alimentat cu un sistem
trifazat simetric de tensiuni sinusoidale: f0Tf2
0Sf0R UaU,UaU,UU === . Puterea instantanee la bornele circuitului
poate fi determinată aplicând unei suprafeţe închise care conţine în interior receptorul teorema energiei electromagnetice [10]. Se obţine astfel:
RT
IR
VR
IS
VS
IT
VT
V0
R
UT0
T
S
US0
UR0
I0
p = vRiR + vSiS + vTiT – v0i0 (4.69)
Potenţialele şi curenţii fiind sinusoidali, puterea complexă este:
∗∗∗∗ −++= 00TTSSRR IVIVIVIVS (4.70) , înlocuind IDeoarece TSR0 IIII ++= 0 se obţine:
Fig. 4.19. ∗∗∗ −+−+−= T0TS0SR0R I)VV(I)VV(I)VV(S respectiv,
∗∗∗ ++= T0TS0SR0R IUIUIUS (4.71) Întrucât şi curenţii formează sistem trifazat simetric, f0Tf
2SfR IaI,IaI,II === , înlocuind
tensiunile şi conjugaţii curenţilor complecşi în rel. (4.71) se obţine:
108
jQPIU3I)a(UaI)a(UaIUS fffff2
f2
ff +==++= ∗∗∗∗∗∗ , (4.72)
unde s-a ţinut cont că: 1a,aa,a)a( 322 === ∗∗ . Dacă ϕ este unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent pe fiecare fază, separând părţile reală şi imaginară ale puterii complexe, se obţin expresiile puterii activă P şi respectiv reactivă Q:
ϕ= cosIU3P ff , (4.73)
ϕ= sinIU3Q ff . (4.74)
Puterea aparentă este dată de modulul puterii complexe:
ffIU3S= (4.75)
Dacă receptorul este conectat în stea, relaţiile dintre curenţii şi tensiunile de linie şi cei de fază sunt: ff II,U3U == ll , iar expresiile puterilor funcţie de mărimile compuse (de linie) devin:
.IU3S;sinIU3Q;cosIU3P llllll =ϕ=ϕ= (4.76)
Dacă receptorul este conectat în triunghi, ff I3I,UU == ll şi înlocuind se obţin aceleaşi relaţii pentru puteri.
Se observă că pentru măsurarea puterii, de exemplu a puterii active, este suficient un singur wattmetru a cărei bobină de tensiune se montează între conductorul pe care este înseriată bobina de curent şi conductorul de nul (fig. 4.20,a).
Dacă neutrul receptorului nu este accesibil, se realizează un neutru artificial cu ajutorul a trei rezistoare de aceeaşi rezistenţă ca în figura 4.20,b).
Zs
R I *
Pw
a)
* U
S
RI*
Pw
P=3Pw
S
0
R R R
T
U *
Zs
0
T
b)
Fig. 4.20.
109
4.5. CIRCUITELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE ALIMENTATE CU TENSIUNI NESIMETRICE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
Circuitele trifazate dezechilibrate au impedanţele complexe ale fazelor diferite.
Dezechilibrul poate fi accidental, ca urmare a unor defecte (scurtcircuite şi întreruperi), sau permanent, dacă cele trei faze sunt încărcate inegal.
Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate se poate efectua, fie direct, cu oricare dintre metodele de calcul pentru reţelele de curent alternativ, fie indirect, cu metoda componentelor simetrice.
4.5.1. Analiza prin metoda directă a circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice
4.5.1.1. Circuitul în conexiunea stea cu fir neutru
Se consideră circuitul format din linia trifazată echilibrată cu fir neutru, având
impedanţele echivalente ale conductoarelor de fază Zl şi a firului neutru ZN, la care este conectat un receptor trifazat dezechilibrat cu impedanţele proprii CCBBAA ZZZ ≠≠ şi impedanţele mutuale CABCAB ZZZ ≠≠ (fig.4.21,a)
R Zl IR A ZAA*
S Zl IS B ZBB*
T Zl IT C ZCC*
0
N
ZN IN N
UAB
UBC
UCA
ZAB
ZBCZCA
UT0
US0
R ZR IR
S ZS IS
T ZT IT
0
US0
ZN IN
N
UT0
UN0
UTN
USN
URN
⇔UR0 UR0
a) b) Fig. 4.21.
La bornele de intrare ale liniei se aplică tensiunile de fază sinusoidale, nesimetrice: .U ,U ,U 0T 0S 0R
Receptorul conectat în stea cu elemente cuplate magnetic, se înlocuieşte cu un receptor în stea fără cuplaje magnetice, având impedanţele echivalente [4]:
ABBCCACC0C
CABCABBB0B
BCCAABAA0A
ZZZZZZZZZZZZZZZ
+−−=+−−=+−−=
(4.77)
Curenţii Iα (α = R, S, T) prin impedanţele echivalente 0ZZZ βα += l (β = A, B, C) şi curentul NI prin firul neutru se determină cu relaţiile:
N
0NN
N
ZUI;3,2,1,Z
UI ==α=α
αα , (4.78)
110
în care tensiunile UαN se determină cu relaţiile
.T,S,R;UUU 0N0N =α−= αα (4.79)
Pentru potenţialul punctului neutru se utilizează relaţia Millman:
NTSR
0NTTSSRRN YYYY
VYVYVYVYV ++++++= (4.80)
în care: N
N Z1Y;Z
1Y ==α
α .
Tensiunea între punctul neutru al receptorului şi cel al generatorului rezultă:
NTSR
0TT0SS0RR
NTSR
0TT0SS0RR0N0N YYYY
UYUYUYYYYY
)VV(Y)VV(Y)VV(YVVU +++++=+++
−+−+−=−= . (4.81)
Înlocuind tensiunea UN0 în rel.(4.79) ale tensiunilor UαN şi apoi aceste tensiuni în rel. (4.78), se obţin expresiile curenţilor IR, IS, IT şi IN. Din expresia sa (1.81), ca şi din diagrama fazorială dată în figura 4.22, se constată că tensiunea UN0 este nenuă chiar şi pentru tensiuni simetrice Uα0 şi constituie deplasarea potenţialului neutrului sarcinii faţă de potenţialul neutrului reţelei de alimentare – prescurtat deplasarea neutrului sau nulului.
0 NUN0
UR0URN
USNUS0UTN
UT0
T S
R
Dacă impedanţa firului neutru NZ este foarte mică şi se poate considera ∞→NY , deplasarea neutrului este neglijabilă,
0Ulim 0NYN=
→∞. Fig. 4.22.
În reţelele cu fir neutru a cărui secţiune este suficient de mare pentru a asigura anularea tensiunii UN0, tensiunile UαN la bornele impedanţelor Zα sunt egale cu tensiunile reţelei Uα0:
R, S, T. ,UU 0N =α= αα (4.82)
În reţelele cu tensiuni simetrice, firul neutru asigură aplicarea acestor tensiuni la bornele impedanţelor conectate în stea ale receptorului dezechilibrat. Dacă impedanţa firului neutru NZ este foarte mare şi, la limită, 0YN → (firul neutru lipseşte), deplasarea neutrului UN0 poate fi mare. În lipsa firului neutru, tensiunile UαN aplicate receptorului pot fi mult diferite, unele fiind mai mari şi altele mai mici decât tensiunile reţelei Uα0. În consecinţă, impedanţele receptorului pot fi supuse la supratensiuni, punând în pericol instalaţiile.
4.5.1.2. Circuitul în conexiunea stea fără fir neutru
R Zl IR A ZAA*
S Zl IS B ZBB*
T
URS
UST Zl IT C ZCC*
NZAB
ZBCZCAUTR
⇔
ZR IR
ZS IS
R
S
T
URS
UST ZT IT
N
UTN
USN
URN
a) b) Fig. 4.23.
111
În lipsa firului neutru 0YN = (fig. 4.23) şi tensiunea UN0 între neutrul sarcinii N şi neutrul 0 al reţelei de alimentare (deplasarea neutrului) este dată de relaţia:
TSR
0TT0SS0RR0N YYY
UYUYUYU ++++= (4.83)
Pentru tensiunile de fază se obţin relaţiile:
TSR
STSTRR0N0TTN
TSR
RSRSTT0N0SSN
TSR
TRTRSS0N0RRN
YYYUYUYUUU
YYYUYUYUUU
YYYUYUYUUU
++−=−=
++−=−=
++−=−=
(4.84)
Curenţii IR, IS, IT se calculează cu relaţiile ,T,S,R,ZUI N =α=
α
αα respectiv:
.YYYUYUY
Z1I;YYY
UYUYZ1I;YYY
UYUYZ1I
TSR
STSTRR
TT
TSR
RSRSTT
SS
TSR
TRTRSS
RR ++
−=++−=++
−= (4.85)
Dacă tensiunile de linie sunt simetrice:
l l l .UaU;UaU;UU AB2
ABAB === (4.86) Curenţii au expresiile:
( ) ( ) ( ) .UYYYYaaYYI;UYYY
YaYYI;UYYYYaYYI
TSR
S2
RTT
TSR
RTSS
TSR
TSRR l l l ++
−=++−=++
−= (4.87)
Curenţii pot constitui un sistem simetric dacă: .IaI;IaI RTR2
S == Înlocuind curenţii din rel. (4.87), se obţine relaţia:
0YYaYYaYY TR2
TSSR =++ (4.88) respectiv:
0ZZaZa TS2
R =++ (4.89)
Condiţia este satisfăcută pentru TSR ZZZ == – receptor echilibrat. Dacă se notează cu )T,S,R(,jXRZ =α+= ααα şi se separă din (4.89) părţile reală şi imaginară, rezultă:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) .0XXX21RR2
3
,0XX23RR2
1R
,0jXRjXR23j2
1jXR23j2
1
TSRSR
SRSRT
TTSSRR
=+−−−
=−−+−
=+++⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−++⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
(4.90)
Relaţiile pot fi îndeplinite pentru mai multe valori ale lui Rα şi Xα. De exemplu dacă:
R3C;3
RL;3RX;3
RX;0X;0R;0R;RR TTTSRTSR ω=ω=−====== (4.91)
deşi receptorul este dezechilibrat, curenţii sunt simetrici. În schimb tensiunile , )R, S, T(IZU N =α= ααα nu sunt simetrice.
112
4.5.1.3. Circuitul în conexiunea triunghi
Receptorul trifazat conectat în triunghi este dezechilibrat, cu admitanţele proprii )CA(
CAY)BC(BC
)AB(AB YY ≠≠
şi mutuale )AB(CA
)CA(BC
)BC(AB YYY ≠≠ (fig. 4.24,a).
La bornele de intrare ale liniei, tensiunile reţelei de alimentare sunt date prin componentele lor de linie nesimetrice:
R .eU TjTRTR
α= U;eUU;eUU STRS jSTST
jRSRS
αα == (4.92)
R Zl IR A
* S
Zl IS B
*
T
URS
UST
C
*
a) b)
⇔
RZR IR
SZS IS N
TZT IT
URS
USTUTR
)AB(ABY
RZlIR A
SZlIS B
TZlIT
C
UAB
UBC
URS
USTUTR
ZY
IBC
IAB
ICA
)BC(ABY
)CA(BCY
)AB(CAY
)BC(BCY ICA
IBC
IAB
CAY
BCY
ABY
)CA(CAY
Zl IT
UTR
Receptorul trifazat în triunghi cu elemente cuplate magnetic poate fi înlocuit cu un receptor echivalent triunghi cu elemente necuplate magnetic (fig. 4.24,b) cu admitanţele [4]:
Fig. 4.24. c)
)BC(AB
)BC(CA
)AB(CA
)CA(CACA
)AB(CA
)AB(BC
)CA(BC
)BC(BCBC
)CA(BC
)CA(AB
)BC(AB
)AB(ABAB
YYYYYYYYYYYYYYY
+−−=
+−−=
+−−=
(4.93)
Receptorul conectat în triunghi cu impedanţele CA
CABC
BCAB
AB y1Z;Y
1Z;Y1Z === , poate fi
înlocuit prin transfigurare cu receptorul conectat în stea cu:
.ZZZZZZ;ZZZ
ZZZ;ZZZZZZ
CABCAB
CABCC
CABCAB
BCABB
CABCAB
CAABA ++=++=++= (4.94)
Se obţine în final schema echivalentă a liniei cu receptorul conectat la borne (fig. 4.24,c) cu impedanţele:
.ZZZ;ZZZ;ZZZ CTBSAR lll +=+=+= (4.95)
S-a obţinut astfel un circuit trifazat dezechilibrat în conexiunea stea fără fir neutru pentru care curenţii se determină cu rel. (4.87) stabilite în paragraful anterior.
113
4.5.2. Puteri în circuite trifazate dezechilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice
Se consideră receptorul trifazat dezechilibrat
RD cu neutrul accesibil sub tensiuni şi curenţi nesimetrici: .T,S,R;I,I,U N0 =ααα
IR
VR
IS
VS
IT
VT
V0
R
UT0
T
S
US0
UR0
I0
RD Puterea complexă S se calculează cu relaţia:
∗∗∗ ++= T0TS0SR0R IUIUIUS (4.96)
din care, prin separarea părţilor reală şi imaginară, se deduc expresiile puterilor activă şi respectiv, reactivă:
TT cosϕ0TSS0SRR0R IUcosIUcosIUP +ϕ+ϕ= (4.97) Fig. 4.25.
TT sinϕ0TSS0SRR0R IUsinIUsinIUQ +ϕ+ϕ= (4.98)
în care sunt unghiurile de defazaj între tensiunile de fază
TSR ,, ϕϕϕ
0T0S0R U,U,U şi curenţii corespunzători TSR I,I,I (fig. 4.26).
UT0US0
UR0
IR 0
IR
ϕT
IS
ϕS
ϕR
Pentru măsurarea puterilor sunt necesare trei aparate, respectiv trei echipamente, câte unul pentru măsurarea puterii pe fiecare fază (fig. 4.27,a).
Dacă nulul circuitului nu este accesibil, tensiunile reţelei de alimentare sunt date prin componentele lor de linie nesime-trice: .U,U,U TRSTRS Înlocuind în expresia puterii complexe S curentul ,III SRT −−= se obţine:
Fig. 4.26.
∗∗∗∗∗∗ +=−−+= SSTRRTS0TR0TS0SR0R IUIUIUIUIUIUS (4.99) iar puterile activă şi reactivă au expresiile următoare:
STSSTRTRRT cosIUcosIUP ϕ+ϕ= ; (4.100) STSSTRTRRT cosIUcosIUQ ϕ+ϕ= , (4.101)
în care ϕ şiϕ sunt respectiv defazajele dintre tensiunile RT ST STRT U,U şi curenţii RI , TI . Pentru măsurarea puterii active, se utilizează două wattmetre, cu bobinele de tensiune conectate între fazele R,T şi respectiv S,T şi cu bobinele de curent înseriate pe conductorii R şi respectiv T ca în figura 4.27,b).
RD
R I *
PR
a)
* U
S
RD
RI*
P1
S
T
I *
PS
* U
I PT
* U
*
P = PR + PS + PT
I*
P2
P = P1 + P2
U *
U *
0
T
b)Fig. 4.27.
114
4.6. ANALIZA CIRCUITELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE PRIN METODA COMPONENTELOR SIMETRICE
4.6.1. Metoda componentelor simetrice
Această metodă constă în descompunerea unui sistem trifazat nesimetric în trei
sisteme simetrice, numite componente simetrice şi apoi în suprapunerea regimurilor de funcţionare produse de fiecare sistem simetric în parte. Metoda se poate aplica deci numai circuitelor electrice liniare, unde este valabil principiul suprapunerii efectelor.
Metoda se bazează pe teorema Stokvis–Fortescue conform căreia un sistem trifazat nesimetric de mărimi sinusoidale se descompune în trei sisteme de mărimi sinusoidale: un sistem simetric de succesiune directă, în care fiecare mărime este defa-zată înaintea celei care îi succede 32π ; un sistem simetric de succesiune inversă, în care fiecare mărime este defazată în urma celei care îi succede cu 32π ; un sistem omopolar, în care mărimile au amplitudini egale şi sunt în fază.
Fie sistemul trifazat nesimetric dat de mărimile
⎪⎩
⎪⎨⎧
γ+ω=γ+ω=γ+ω=
)tsin(Y2)t(y)tsin(Y2)t(y
)tsin(Y2)t(y
333
222
111
, (4.102)
cu reprezentarea în complex: 321 j
33j
22j
11 eYY,eYY,eYY γγγ === . (4.103)
Sistemul nesimetric se descompune în trei sisteme simetrice (fig. 4.28):
- sistemul simetric de succesiune directă
dd3d2
d2dd1 YaY;YaY;YY === ; (4.104)
- sistemul simetric de succesiune inversă
i2
i3ii2ii1 YaY;YaY;YY === ; (4.105)
- sistemul omopolar
hh3hh2hh1 YY;YY;YY === . (4.106)
= d1Y
d3Y
0d
d2Y2Y
3Y
1Y 0
h3h2h1 Y,Y,Y
i1Y
i3Y
0i
i2Y
sim rsSistemuletric inve
++
0h
Sistemul omopolar
Sistemul nesimetric
Sistemulsimetric direct
Fig. 4.28.
115
În conformitate cu teorema Stokvis-Fortescue, relaţiile dintre componentele corespunzătoare sistemului nesimetric şi cele ale sistemelor simetrice sunt:
⎪⎩
⎪⎨⎧
++=++=++=
h3i3d33
h2i2d22
h1i1d11
YYYYYYYY
YYYY (4.107)
respectiv, ⎪⎩
⎪⎨⎧
++=++=
++=
hi2
d3
hid2
2
hid1
YYaYaYYYaYaY
YYYY. (4.108)
Deoarece determinantul ultimului sistem este diferit de zero:
0j33aa1aa1111
2
2 ≠==∆ (4.109)
această descompunere este unică şi totdeauna posibilă. Mărimile fundamentale id Y,Y şi hY se numesc respectiv componenta directă,
componenta inversă şi componenta omopolară. Aşadar, cele trei sisteme de componente simetrice sunt:
dd2
d Ya,Ya,Y – sistemul direct;
i2
ii Ya,Ya,Y – sistemul invers;
hhh Y,Y,Y – sistemul omopolar.
Rezolvând invers sistemul de ecuaţii (4.108), se obţine:
( )
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
321h
322
1i
32
21d
YYY31Y
YaYaY31Y
YaYaY31Y
(4.110)
Pe baza acestor relaţii componentele simetrice se pot determina prin construcţie grafică ca în exemplul din figura 4.29.
Yd 3Yd
Y1
aY2
a2Y3
Y3
Y2 3Yh
Yh
Y3 Y2 aY3 a2Y2
Yi
0
Fig. 4.29.
116
4.6.2. Proprietăţi ale componentelor simetrice ale tensiunilor şi curenţilor
Se consideră 321 Y,Y,Y fazorii complecşi ai mărimilor simple – de exemplu,
tensiunile de fază, cărora le corespund componentele simetrice .Y,Y,Y fhfifd Fazorii complecşi 312312 Y,Y,Y ai mărimilor compuse – de exemplu, tensiunile
de linie, definiţi de relaţiile
133132232112 YYY;YYY;YYY −=−=−= , (4.111)
au componentele simetrice hid Y,Y,Y lll care se calculează astfel:
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) .0)YYYYYY(YYY31Y
;Ye3YYaYYaYY31YaYaY3
1Y
;Ye3Y21j2
3323j2
11Ya1
Yaa1aa1Yaaaaa1Yaaaaa1[31
)YYaYa(aa)YYaYa(1a)YYY(a1[31
]Y)aa(Y)1a(Y)a1[(31)YY(a)YY(aYY3
1)YaYaY(31Y
133221312312h
fi6
13322
2131232
12i
fd6j
fdfd2
fh22
fi3422
fd23232
fhfi2
fd2
fhfifd2
fhfifd2
32
212
132
3221312
2312d
=−+−+−=++=
=−+−+−=++=
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++=−=
=−+−+−+−+−+−+−+−+−=
=++−+++−+++−=
=−+−+−=−+−+−=++=
π−
π
l
l
l
Aşadar, componentele simetrice ale mărimilor de linie sunt date de relaţiile:
0Y;eY3Y;eY3Y hj
fiij
fdd66 ===ππ −
lll (4.112)
şi deci, în modul, au valorile .0Y;Y3Y;Y3Y hfiifdd === lll (4.113)
Din aceste relaţii se deduc următoarele proprietăţi ale componentelor simetrice de tensiune şi de curent:
1) Componentele tensiunilor şi curenţilor de linie directe şi inverse sunt de 3 ori mai mari decât componentele tensiunilor şi curenţilor de fază, directe şi inverse:
.I3I;I3I;U3U;U3U
fiifdd
fiifdd
====
ll
ll (4.114)
2) Într-un sistem de transmisie trifazat fără fir neutru (IN = 0), curenţii de linie I1,
I2, I3 nu conţin componentă omopolară:
( ) 0I31III3
1I N321 ==++=lh . (4.115)
3) Într-un sistem de transmisie trifazat cu fir neutru, curentul IN prin firul neutru conţine numai componenta omopolară:
lhI3IN = . (4.116)
4) Tensiunile de linie 312312 U,U,U nu conţin componenta omopolară:
( 0UUU31U 312312 =++=lh ) . (4.117)
117
Nesimetria unui sistem trifazat, ,Y,Y,Y 321 se apreciază prin parametrii:
a) gradul de disimetrie – definit prin raportul valorilor efective ale compo-nentelor inversă şi respectiv directă,
d
ii Y
Y=ε ; (4.118)
b) gradul de asimetrie – definit prin raportul valorilor efective ale componen-telor omopolară şi respectiv directă,
d
hh Y
Y=ε . (4.119)
În practică, un sistem trifazat se consideră simetric dacă valorile acestor doi parametri sunt mai mici de 5% . )05,0,( hi ≤εε
4.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice prin metoda componentelor simetrice
Analiza regimurilor nesimetrice din circuitele trifazate liniare cu metoda
componentelor simetrice se face pe baza teoremei superpoziţiei astfel: se consideră separat regimurile stabilite de componentele directe, inverse şi omopolare ale tensiunilor şi apoi se suprapun regimurile corespunzătoare.
4.6.3.1. Impedanţe statice şi dinamice
Se consideră cazul general al unui circuit trifazat echilibrat al unei maşini
electrice. La o maşină rotativă simetrică, impedanţele de cuplaj magnetic nu satisfac relaţiile de reciprocitate, ele depinzând de poziţia circuitelor faţă de sensul de mişcare al rotorului (fig. 4.30):
13m32m21mm31m23m12m ZZZZZZZZ // /
m ===≠=== (4.120) Relaţiile dintre curenţi şi tensiuni sunt:
A
UA
Z *
UB
Z *
Zm
UC
Fig. 4.30.
Z * C
B
IC
IA
IB
Zm
Zm Zm
Zm
Zm
CBmAmC
CmBAmB
CmBmAA
IZIZIZUIZIZIZUIZIZIZU
///
///
///
++=
++=
++=
(4.121)
Printr-un calcul simplu se arată că între componentele simetrice ale tensiunilor şi curenţilor există relaţiile:
hhhiiiddd IZU;IZU;IZU === , (4.122) în care mărimile
///
///
///
mmh
m2
mi
mm2
d
ZZZZZaZaZZZaZaZZ
++=
++=
++=
(4.123)
sunt impedanţele complexe dinamice directă, inversă şi omopolară.
118
Pe baza relaţiilor (4.123) schemei circuitului maşinii din figura 4.30 îi corespund schemele echivalente fără elemente cuplate magnetic din figura 4.31.
Ad
Ud
a2Ud
Zd Bd a2Id
aUd
Zd Cd aId
Zd Id Ah
Uh
Uh
Zh Ih
Ud
Zh Ih
Zh Ih Ai
Ui
aUi
ZiaIiBi
a2Ui
Zia2IiCi
ZiIi
Bh+ +
Ch
Fig. 4.31.
În cazul circuitelor statice (fără mişcare), impedanţele de cuplaj magnetic sunt egale, mmm ZZZ /// == şi din sistemul (4.123) rezultă:
mh
mid
Z2ZZZZZZ
+=−==
(4.124)
şi se numesc impedanţe complexe statice directă, inversă şi respectiv omopolară. Circuitele echilibrate fără impedanţe de cuplaj au impedanţele directă, inversă şi
omopolară egale:
ZZZZ idh === (4.125)
4.6.3.2. Receptorul trifazat echilibrat conectat în stea cu fir neutru
IiZi
a2Ii
Ui
Ri
Zi
Zi
0i
Ni
Ii+a2Ii+aIi = 0
Si
Ti
aUi
a2Ui
aIi
ZN
Rh Ih Zh
Sh Ih
Th
Uh Zh
Zh
Nh
Uh
3Ih
Ih
0h
Uh
ZN
R IR Z*
S IS *
T IT *
N UR0
Z
Z
0
UT0
US0
IN ZN
Id Zd
a2Id Nd
Ud
Rd
Zd
Zd
0d
aUd
Id+a2Id+aId = 0b)
Td
Sd
aId
a2Ud
ZN
+= +
d) c) a)
Fig. 4.32. Receptor trifazat echilibrat în stea cu fir neutru: a) regimul nesimetric; b) regimul simetric direct; c) regimul simetric invers; d) regimul omopolar.
Impedanţele directă, inversă şi omopolară sunt date de relaţiile deduse anterior funcţie de natura elementelor (statice sau dinamice) şi de existenţa cuplajelor magnetice. În regimurile simetrice direct şi invers (fig.4.32,b,c), componentele curenţilor dI şi iI prin impedanţele primei faze se determină cu relaţiile
i
ii
d
dd Z
UI;ZUI == , (4.126)
iar prin firul neutru curenţii sunt nuli.
119
Prin impedanţele celorlalte două faze, curenţii se obţin multiplicând pe dI şi iI cu a2, respectiv cu a. Prin urmare, pentru regimurile simetrice, este suficient să se calculeze curenţii numai pentru una din faze. Se pot astfel folosi schemele monofazate prezentate în figura 4.33.
SMh 3ZN
Zh
0h
Uh
Nh Ih Rh
SMd
Zd
0d
Ud
Nd Id Rd
SMi
Zi
0i
Ui
Ni Ii Ri
b) c)a)Fig. 4.34. Schemele monofazate pentru regimurile simetrice: a) schema monofazată pentru regimul simetric direct (SMd); b) schema monofazată pentru regimul simetric
invers (SMi); c) schema monofazată pentru regimul omopolar (SMh).
În regim simetric omopolar (fig. 4.33,d), componenta hI se deduce aplicând teorema II Kirchhoff circuitului [RhNh0hRh]:
Nh
hhhNhhh Z3Z
UIIZ3IZU +=⇒+= . (4.127)
Pe baza acestei relaţii se realizează schema monofazată SMh corespunzătoare regimului omopolar, prezentată în figura 4.34,c).
Având componentele simetrice hid I,I,I , se calculează curenţii TSR I,I,I cu relaţiile de forma (4.108), respectiv
⎪⎩
⎪⎨⎧
++=++=
++=
hi2
dT
hid2
S
hidR
IIaIaIIIaIaI
IIII
(4.128)
şi curentul prin firul neutru, IN = 3Ih .
4.6.3.3. Receptorul trifazat echilibrat conectat în stea fără fir neutru
R IR Z*
S IS * Z
T
N
IT * Z
URS
USTUTR
IdZd
a2Id
aUld
Rd
Zd
b)
aId
Zd
Uld
Td
Sd
a2Uld
Nd
c)
Ii Zi
a2Ii
Ri
a2Uli
aIi
Zi
Zi Uli
Si
Ti
aUli
Ni = +
a)
SMd
0d
Ud
NdZd Ni Ri
Ii
Ui
0i
Zi
SMi
d) e)
Id Rd
Fig. 4.35. Receptorul trifazat echilibrat în stea fără fir neutru: a) regimul nesimetric; b) regimul simetric direct; c) regimul simetric invers; d) schema monofazată pentru regimul
simetric direct (SMd); e) schema monofazată pentru regimul simetric invers. (SMi);
120
Se dau tensiunile de alimentare prin componentele lor de linie nesimetrice TSSTRS U,U,U (fig. 4.35,a), având componentele simetrice directă dUl şi inversă iUl ,
componenta omopolară hU l fiind nulă, aşa cum s-a demonstrat în paragraful 4.6.2. În regim simetric direct (fig. 4.35,b), componenta directă dI se obţine aplicând
teorema a II-a Kirchhoff circuitului [RdNdSdRd]:
( ) d2d
dd2
dddd Za1UIIaZIZU−
=⇒−= ll . (4.129)
Similar, pentru regimul simetric invers (fig. 4.35,c), se obţine:
( ) i
ii Za1
UI −= l . (4.130)
Notând cu ,UU,UU fiifdd == componentele simetrice ale tensiunilor de fază corespunzătoare tensiunilor de linie, din rel. (4.129) şi (4.130) rezultă:
d
i
d6ji
d
ii
d
d
d6jd
d
dd
ZU
Ze3
UZ2
1j233UI
ZU
Ze3
UZ2
1j233UI
==⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=
==⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
=
π−
π
ll
ll
(4.131)
Schemele monofazice pentru regimurile simetrice direct (SMd) şi respectiv invers (SMi) sunt prezentate în figura 4.35, d), respectiv e).
4.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate prin metoda componentelor simetrice
4.6.4.1. Principii generale Un sistem simetric de tensiuni aplicat unui circuit trifazat dezechilibrat stabileşte
curenţi nesimetrici. Componentele simetrice de succesiune directă, inversă şi omopolară nu sunt independente şi relaţiile dintre ele fiind complicate nu se pot stabili scheme monofazate SMd, SMi, SMh ca în cazul circuitelor echilibrate.
În general, dezechilibrul reţelelor nu este total, fiind posibilă separarea părţilor echilibrate şi dezechilibrate. De exemplu, avariile de întrerupere a fazelor sau de scurt-circuitare a acestora, cu sau fără arc electric, monofazate sau trifazate, pot fi modelate prin elemente trifazate dezechilibrate, conectate la reţeaua echilibrată.
Pentru ilustrarea acestor situaţii se consideră o reţea trifazată conţinând, în afară de partea echilibrată Re, un element trifazat dezechilibrat fără cuplaje magnetice cu impedanţele TSR Z,Z,Z conectate în stea sau în triunghi (fig. 4.36). Notând cu TSR U,U,U tensiu-nile şi cu TISR ,I,I curenţii, ecuaţiile elementului de circuit sunt:
IR
UR
IT IS
US
ZR ZS ZT Re
UT
.IZU;IZU;IZU TTTSSSRRR === (4.132) Fig. 4.36.
121
Dacă se înlocuiesc tensiunile şi curenţii în funcţie de componentele lor simetrice, se obţine:
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ].IZaZaZIZaZaZIZZZ31
IIaIaZaIIaIaZaIIIZ31
IZaIZaIZ31UaUaU3
1U
hT2
SRiTS2
RdSTR
hi2
dT2
hid2
ShidR
TT2
SSRRT2
SRd
++++++++=
=++++++++=
=++=++=
În acelaşi mod se stabilesc relaţiile pentru componentele inversă şi omopolară ale tensiunilor. Prin analogie cu componentele simetrice, se notează cu şi următoarele impedanţe de calcul:
id,ξξ hξ
( 32
21d ZaZaZ31 ++=ξ ) – impedanţa directă
( 322
1i ZaZaZ31 ++=ξ ) – impedanţa inversă
( 321h ZZZ31 ++=ξ ) – impedanţa omopolară (4.133)
Pentru componentele simetrice ale tensiunilor se obţin ecuaţiile:
hhiddih
hiihddi
hdiidhd
IIIUIIIUIIIU
ξ+ξ+ξ=ξ+ξ+ξ=ξ+ξ+ξ=
(4.134)
Pentru partea echilibrată a reţelei (Re) schemele SMd, SMi, SMh se pot construi, fie ca dipoli echivalenţi Thèvenin (fig. 4.37)
Id
Ed0
ZABd
(Rd)
(0d)
Ud
Ii
Ei0
ZABi
(Ri)
(0i)
Ui
Ih
Eh0
ZABh
(Rh)
(0h)
Uh
Fig. 4.37.
cu ecuaţiile: ,IZUE;IZUE;IZUE hABhh0h iABii0i dABdd0d =−=−=− (4.135)
fie ca dipoli Norton (fig. 4.38)
YABdIgd
Id
Ud
(0d)
(Rd)
YABiIgi
Ii
Ui
(0i)
(Ri)
YABhIgh
Ih
Uh
(0h)
(Rh)
Fig. 4.38.
122
cu ecuaţiile: .UYII;UYII;UYII hABhhgh iABiigi dABddgd =−=−=− (4.136)
S-au notat cu: – 000 hid E,E,E = componentele simetrice ale t.e.m. în gol; – ghgigd I,I,I = componentele simetrice ale injecţiilor de curent;
– ABhABiABd Z,Z,Z , respectiv ABhABiABd Y,Y,Y = impedanţele, respectiv admitan-ţele reţelelor pasivizate SMd, SMi, SMh. Cu ecuaţiile (4.134) şi (4.135) sau (4.136) se pot determina componentele simetrice ale tensiunilor şi curenţilor şi deci necunoscutele 321321 I,I,I,U,U,U .
4.6.4.2. Studiul regimurilor de avarie ale reţelelor trifazate cu metoda componentelor simetrice
Principalele avarii în reţelele electrice trifazate care produc regimuri de funcţionare nesimetrică sunt întreruperile şi scurtcircuitele.
Întreruperile pot fi monofazate, bifazate sau trifazate şi se modelează prin elemente trifazate cu impedanţe statice longitudinale de valori infinite sau nule (fig. 4.39). Acest dezechilibru se numeşte dezechilibru longitudinal.
R
S
T
R S T
RS T T
RS
ZR=∞
ZS=0
ZT=0
R
S
T
ZR=∞
ZS=∞
ZT=0
R
S
T
Fig. 4.39. Modelarea avariilor cu întreruperi: a) monofazate; b) bifazate; c) trifazate. a)
ZT=∞
ZS=∞
ZR=∞
b) c)
Scurtcircuitele pot fi: monofazate – între o fază şi pământ, bifazate – între două faze, cu sau fără punere la pământ, trifazate, cu sau fără punere la pământ. Modelarea scurtcircuitelor se realizează cu impedanţe statice transversale (dezechilibru transversal) de valori nule sau infinite. Scurtcircuitele pot avea impedanţa nulă – scurtcircuit net – sau impedanţa arcului – scurtcircuit cu arc (fig. 4.40, fig. 4.41). R S T
R S T
0
Z R =
0
Z s =∞
Z s =∞
0
RST
RST
0
Z R =
0
Z s =
0
Z s =∞
0
a) b)
Fig. 4.40. Modelarea avariilor cu scurtcircuit: a) monofazat; b) bifazat fără (cu) punere la pământ.
123
În continuare se consideră câteva exemple de studiu a avariilor în reţelele electrice cu ajutorul componentelor simetrice.
Scurtcircuit pe faza 1 cu întreruperea fazelor 2 şi 3.
Se consideră scurtcircuitul monofazat la bornele unui generator trifazat cu tensiunile electromotoare simetrice 0EE,EE hid === şi cu impedanţele dinamice id Z,Z şi hZ , acesta reprezentând partea echilibrată a reţelei Re (fig. 4.42).
Dacă scurtcircuitul este net, acest defect se modelează cu impedan-ţele transversale: ∞=== TSR ZZ;0Z .
La locul defectului se pot scrie următoarele ecuaţii:
.0II;0U TSR === (4.137)
Chiar dacă fizic fazele S şi T nu sunt întrerupte, producerea unui scurt-circuit pe faza R duce la creşterea puternică a curentului pe această fază şi la micşorarea curenţilor pe fazele S şi T, aceştia putând fi neglijaţi.
Dacă scurtcircuitul este cu arc electric, impedanţa de modelare RZ este egală cu impedanţa arcului, aR ZZ = (fig. 4.43) şi ecuaţiile la locul defectului devin:
.II;0II;IZU scRTSRaR ==== (4.138)
Acestor ecuaţii le corespund următoarele ecuaţii în componente simetrice:
0IIaIaIIaIa)III(ZUUU
hi2
dhid2
hidahid
=++=++++=++
(4.139)
Din ultima ecuaţie rezultă:
hid III == , (4.140) şi
hRscdahid I3II;IZ3UUU ===++ . (4.141)
Fig. 4.41. Modelarea avariilor cu scurtcircuit: a) trifazat fără (cu) punere la pământ; b) monofazat cu arc.
a) b)
R S T
0
Z R =
0
Z s =
0
Z s =
0
RRST
0
ST
0
Z R =
Z a
Z s =∞
Z s =∞
R S T
0
Ea
R
S
T
E
a2E
UR US UT
IT
IS
IR Re
Fig. 4.42.
E R
EaS a2E
T
US U UR T
IT
IS
IR
Za
Isc
Re
Fig. 4.43.
124
Schemele monofazate de succesiune directă SMd, inversă SMi şi omopolară SMh se pot conecta astfel încât să satisfacă aceste relaţii ca în figura 4.44. Curentul prin reţeaua monofazată astfel obţinută este
ahid
dhid Z3ZZZ
EIII +++=== , (4.142)
iar relaţia de calcul a curentului de scurtcircuit rezultă:
ahidsc Z3ZZZ
E3I +++= . (4.143) Ed Z
Pentru determinarea tensiunilor se determină mai întâi componentele simetrice ale acestor tensiuni:
.IZU; hhhIZU;IZEU iiidddd −=−=−= (4.144)
Tensiunile rezultă:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++−=++=
+++−=++=
+==++=
ZZZ)aa(UUaUaU
ZZZ)aa(UUaUaU
ZZIZ3UUUU
id
i2
hi2
dT
id
i2
hid2
S
dhahidR
+−
+−
++
EZ3ZZ)1a(
EZ3ZZ)1a(
Z3ZEZ3
ah
h
ah
h2
ahi
a
(4.145)
Pentru a limita sau eventual chiar anula curentul de scurtcircuit Isc, unica posibi-litate practică constă în creşterea până la valori infinite a impedanţei omopolare .Z h Modificarea impedanţelor dZ sau iZ ar atrage după sine modificarea corespunzătoare a curenţilor pe fazele S şi T la funcţionarea în sarcină a generatorului. Cum numai componentele omopolare ale curenţilor se închid prin pământ la neutrul generatorului, curentul poate fi limitat introducând între neutrul generatorului şi pământ o impedanţă, de obicei o bobină, numită bobină de stingere, calculată astfel încât curenţii de scurtcircuit să fie limitaţi la valori nepericuloase.
Scurtcircuit net pe fazele 2, 3 cu întreruperea fazei 1.
Reţeaua electrică se compune din partea echilibrată Re (generatorul trifazat) şi din elementul trifazat dezechilibrat care modelează defectul cu impedanţele: ∞=1Z ,
∞=== N32 Z,0ZZ , aşa cum se poate vedea în figura 4.45. Ecuaţiile la locul defectului sunt:
,II;0I;UU TSRTS −=== (4.146)
care, în componente simetrice, se scriu:
.IIaIaII
;UUaUa
hi2
dni
hi2
d
−−−=+
++
aIa;0III
UUaUa
d2
nid
hid2
+=++
=++
(4.147) Din aceste ecuaţii rezultă:
Ud
Id d
SMd
Ui
Ii Zi
SMi
Uh
Ih Zh
Id = Ii = Ih
3Za
SMh
Fig. 4.44.
E R
a2E IS
IR
Z R =
∞ aE
Z S =
0
Z T =
0
ZN = ∞
IT T
S
US = UT
Re
UR
Fig. 4.45.
125
.II;0I;0U;UU idhhid −==== (4.148) E
Pe baza acestor relaţii, schema echivalentă monofazată în componente simetrice a scurtcir-cuitului bifazat fără punere la pământ este cea din fig. 4.46. Din această schemă se determină componentele simetrice ale curenţilor şi tensiu-nilor:
.EZZZIZEUU;IZZ
EIid
iddidi
idd +=−==−=+= (4.149)
Curentul de scurtcircuit rezultă:
id
2
id2
TSsc ZZE)aa(IaIaIII +
−=+=−== . (4.150)
Tensiunile la locul defectului sunt:
.ZZEZUU)aa(UaUaUU
;ZZEZ2IZ2UUU
id
idd
2id
2TS
id
idiidR
+−=−=+=+==
+==+= (4.151)
Scurtcircuitul trifazat (cu sau fără punere la pământ).
Dacă într-o reţea simetrică se produce un scurtcircuit trifazat, regimul este echilibrat (fig. 4.47), ecuaţiile la locul defectului fiind:
0UUU TSR === . (4.152)
Prin urmare şi componentele simetrice ale tensiunilor sunt de asemenea nule:
0UUU idh === . (4.153)
Schema monofazată pentru com-ponentele simetrice se dă în figura 4.48. Numai componenta directă a curentului este nenulă:
ZEId = (4.154)
Pentru curenţii de scurtcircuit rezultă relaţiile:
.ZEaIaI
;ZEaIaI
;ZEII
ddT
d
2d
2S
ddR
==
==
==
(4.155)
Ud = Ui
Id Zd Zi Ii
SMi SMd
Fig. 4.46.
R
E dZ dI
Fig. 4.48.
EaS
T
E
a2E
UR
=0
IT
IS
IR U
T=
0 U
S=
0 Re
Fig. 4.47.
126
4.6.5. Calculul puterilor în circuite trifazate cu ajutorul componentelor simetrice
Puterea complexă a unei reţele trifazate dezechilibrate în regim nesimetric are
expresia: .IUIUIUS *
T0T*S0S
*R0R ++= (4.156)
Înlocuind tensiunile cu expresiile lor în funcţie de componentele simetrice
fhfi2
fd0Tfhfifd2
0Sfhfifd0R UUaUaU;UUaUaU;UUUU ++=++=++= ,
şi grupând după aceste componente, se obţine:
( ) ( ) ( ),IU3IU3IU3S
,IIIUIaIaIUIaIaIUS*fhfh
*fifi
*fdfd
*T
*S
*Rfh
*T
2*S
*Rfi
*T
*S
2*Rfd
++=
++++++++= (4.157)
în care s-a ţinut seama de relaţiile ( ) .aa;aa 22 == ∗∗ Separând părţile reală şi imaginară, se deduc expresiile puterilor activă P şi
reactivă Q în funcţie de componentele simetrice ale tensiunilor şi curenţilor:
,sinIU3sinIU3sinIU3Q;cosIU3cosIU3cosIU3P
hfhfhififidfdfd
hfhfhififidfdfd
ϕ+ϕ+ϕ=
ϕ+ϕ+ϕ= (4.158)
în care sunt defazajele dintre componentele simetrice ale tensiunilor şi cele ale curenţilor. Nu este posibilă stabilirea unei expresii similare pentru puterea aparentă.
hid ,, ϕϕϕ
4.6.6. Filtre pentru componente simetrice
Sunt circuite prevăzute cu borne de intrare la care se aplică mărimile nesimetrice
şi cu borne de ieşire la care se obţin componentele lor simetrice. Ele servesc pentru măsurarea componentelor simetrice precum şi pentru detectarea şi protejarea împotriva regimurilor de avarie.
Filtrul pentru componenta omoplară de tensiune
Filtru pentru componenta omopo-lară a tensiunilor se compune din trei transformatoare monofazate de tensiune identice, cu înfăşurările primare conectate între fiecare conductor de fază şi firul neutru (nul) şi cu înfăşurările secundare legate în serie la voltmetrul V (fig. 4.49).
RST0
UR0 UR0 UR0
Tensiunea la bornele voltmetrului V este dată de relaţia UR0/ku UR0/ku UR0/ku
( ) hu
0T0S0Ru
Uk3UUUk
1U =++= V, (4.159)
în care: ku este raportul de transformare al transformatoarelor de tensiune, iar Uh este valoarea efectivă a componentei omopolare a tensiunilor de fază.
Fig. 4.49.
127
Filtrul pentru componenta omopolară de curent. Se compune din trei transformatoare de curent identice TI1, TI2, TI3, cu înfăşu-
rările primare conectate în serie pe fiecare conductor de fază şi cu înfăşurările secundare legate în paralel la un ampermetru A (fig. 4.50).
Curentul prin ampermetru rezultă:
( ) hi
TSRi
Ik3IIIk
1I =++= , (4.160)
în care: ki – raportul de transformare a transfor-matoarelor de curent;
Ih – valoarea efectivă a componentei omopolare a curenţilor.
Filtrul pentru componentele directă şi inversă ale tensiunilor de linie. Conţine impedanţele Z1 şi Z2 conectate în serie între fazele R şi S şi impedanţele
Z3 şi Z4 conectate între fazele S şi T ca în figura 4.51. Tensiunea în gol UAB0 între bornele
de ieşire A şi B este:
ST43
3RS
21
20AB UZZ
ZUZZZU +++= . (4.161)
Tensiunile de linie, având compo-nenta omopolară nulă, se poate scrie,
lild UaU +lild aU;UUU 2STRS =+=
şi ecuaţia devine:
lild UZZZaZZ
ZUZZZaZZ
ZU43
3
21
2
43
32
21
20AB ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
++++⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+++= (4.162)
Dacă impedanţele satisfac relaţia:
;UU0ZZZaZZ
Z0AB
43
3
21
2ld≈⇒=+++ (4.163)
iar dacă
.UU0ZZZaZZ
Z0AB
43
32
21
2li≈⇒=+++ (4.164)
De exemplu, dacă:
,23jRZ;2
RZ;2RZZ 24
23
121 −==== (4.165)
circuitul este un filtru pentru componenta directă a tensiunilor de linie.
R
S
T
A
Fig. 4.50.
TI1IR
IR/kiTI2
TI3
IS
IR/kiIT
IR/ki
RST
A
URS
Z4 Z3 Z2Z1
B UAB0
UST
Fig. 4.51.
128
5. CUADRIPOLI ELECTRICI ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
5.1. GENERALITĂŢI Se numeşte cuadripol general sau tetrapol, un circuit electric cu patru borne de
acces, ale cărui laturi nu prezintă cuplaje magnetice cu exteriorul. Dacă se alege potenţialul uneia dintre borne potenţial de referinţă, de exemplu
potenţialul V4 al bornei (4), fig. 5.1, urmează că trei tensiuni sunt independente:
Uk = Uk4 = Vk – V4, k = 1, 2, 3. (5.1)
Deoarece suma curenţilor printr-o suprafaţă închisă care conţine în interior cuadripolul este nulă:
, rezultă că unul din curenţi, de exemplu 0I4
1kk =∑
=I4, se
exprimă în funcţie de ceilalţi prin relaţia:
CUADRIPOL GENERAL
(5.2) ∑=
−=3
1kk4 II
şi, în consecinţă, trei curenţi sunt liniar independenţi. Funcţionarea unui cuadripol general ca element al
unui lanţ de transmisie a energiei electromagnetice sau a semnalelor electromagnetice, e determinată prin şase variabile, care pot fi trei tensiuni electrice (U1, U2, U3) şi trei curenţi (I1, I2, I3). Ţinându-se seama de structura interioară a cuadripolului, curenţii pot fi determinaţi in funcţie de tensiunile la borne cu ajutorul a trei ecuaţii de forma:
I1 = I1(U1, U2, U3); I2 = I2(U1, U2, U3); I3 = I3(U1, U2, U3), (5.3)
numite ecuaţiile caracteristice ale cuadripolului, necesare şi suficiente pentru studiul comportării lui în conexiunea din care face parte.
Cuadripolii diport sunt cuadripolii generali ai căror borne sunt grupate în două porţi (prin poarta a unui multipol electric înţelegându-se o grupare de borne de acces pentru care suma algebrică a curenţilor este nulă, oricare ar fi potenţialele bornelor multipolului): una de intrare sau primară, la care sensurile de referinţă ale tensiunii aplicate U1 şi curentului I1 sunt asociate după regula de la receptoare şi alta de ieşire sau secundară, la care sensurile de referinţă ale tensiunii U2 şi curentului I2 sunt asociate după regula de la generatoare (fig. 5.2).
Interacţiunea unui astfel de cuadripol cu exteriorul este complet caracterizată de numai patru variabile: tensiunea de intrare sau primară U1, curentul de intrare sau primar I1, tensiunea de ieşire sau secundară U2 şi curentul de ieşire sau secundar I2.
(3)
(1)(2)
(4)
V1 V2
V4
I1 I2
I3 I4
U4
U4
V3
U1
Fig. 5.1.
I1
(1′ )
(1)U1
(2)
I2
I2
U2
(2′ )
CUADRIPOL DIPORT I1
Fig. 5.2.
129
5.2. ECUAŢIILE ŞI PARAMETRII CUADRIPOLILOR LINIARI, PASIVI ŞI RECIPROCI ÎN R.P.S. 5.2.1. Forma fundamentală a ecuaţiilor cuadripolilor. Parametrii fundamentali. Dacă se consideră cuadripolul cu bornele de intrare (1) – (1′ ) şi bornele de ieşire
(2) – (2′ ), prima formă fundamentală a ecuaţiilor cuadripolilor liniari, numite şi ecuaţiile de transfer, exprimă mărimile de intrare U1, I1 în funcţie de mărimile de ieşire U2, I2 prin ecuaţii liniare şi omogene de forma:
⎩⎨⎧
+=+=
2222211
2122111
IAUAIIAUAU
(5.4)
Coeficienţii A11, A12, A21 şi A22 sunt mărimi complexe şi se numesc parametrii fundamentali ai caudripolului sau parametrii de transfer.
Matricial, ecuaţiile de transfer se scriu sub forma
[T1] = [ Γ ] [T2] , (5.5)
în care: [T1] [T2] – matricele coloană ale mărimilor de intrare, respectiv de ieşire,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
2
22
1
11 I
U]T[,
IU
]T[ , (5.6)
[ Γ ] – matricea de transfer sau fundamentală,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=Γ
2221
2111
AAAA
][ . (5.7)
La o frecvenţă invariabilă a tensiune de alimentare, parametrii cuadripolului sunt constante şi din acest motiv se mai numesc şi constantele cuadripolului.
Parametrii A11 şi A22 sunt adimensionali, A12 este o impedanţă şi A21 este o admitanţă cu următoarele interpretări:
• 02
111
2IUUA
== – raportul de transformare al tensiunilor la funcţionarea in gol;
• 0U2
112
2IUA
== – impedanţa de transfer la funcţionarea in scurtcircuit (bornele de
ieşire (2) – (2′ ) scurtcircuitate);
• 0I2
121
2UIA
== – admitanţa de transfer la funcţionarea în gol;
• 0U2
122
2IIA
== – raportul de transformare al curenţilor în scurtcircuit.
Dacă între parametrii fundamentali ai cuadripolului există relaţia:
(5.8)
numită condiţia de reciprocitate, cuadripolul se numeşte reciproc deoarece, cu această
A11A22 – A12A21 = 1
(1′ )
I2I1
(2′ )
(2)
U2
(1)A11 A12
U1A22A21
Fig. 5.3.
130
condiţie, teorema reciprocităţii din studiul reţelelor electrice liniare este verificată în raport cu oricare pereche de laturi ale cuadripolului conectat la bornele de acces sau, altfel spus, conectând la bornele intrare generatorul de t.e.m. E, curentul I2 care se obţine scurtcircuitând bornele de ieşire, este egal cu curentul /
1I care se stabileşte conectând la ieşire generatorul E şi scurtcircuitând bornele de intrare:
01U,EU0U,EU2
2
/
211II
===== (5.9)
Cuadripolii liniari şi pasivi sunt reciproci. O a doua formă fundamentală a ecuaţiilor cuadripolilor exprimă mărimile de
ieşire U2, I2 in funcţie de cele de intrare, U1, I1. Astfel, din ecuaţiile (5.4) pentru cuadripolul reciproc se obţine:
⎩⎨⎧
+−=−=
1111212
1121222
IAUAIIAUAU
(5.10)
În cazul alimentării inverse a cuadripolului, pe la bornele (2) – (2′ ), se schimbă sensul de referinţă al curenţilor din fig. 5.3, aşa cum se arată în fig. 5.4. Totodată, în ecuaţiile (5.10) curenţii schimbă de semn şi notând 2211 II,II // −=−= , se obţine:
⎩⎨⎧
+=
+=///
///
1111212
1121222
IAUAIIAUAU
(5.11)
Matricea de transfer în acest caz devine:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=Γ
1121
2122
AAAA
][ / (5.12)
şi se obţine din matricea [Γ] inversând termenii primei diagonale, A11 şi A22. Daca A11 = A22, matricele de transfer [Γ] şi [Γ/] sunt identice, [Γ] ≡ [Γ/] şi
cuadripolul are comportări identice faţă de cele două sensuri opuse de alimentare. Cuadripolul se numeşte simetric şi condiţia de reciprocitate devine:
1AAA 2112211 =− (5.13)
Cuadripolul simetric este complet caracterizat numai de doi parametri. 5.2.2. Ecuaţiile în impedanţe Explicitând tensiunile U1 şi U2 din ecuaţiile fundamentale (5.4) în raport cu
curenţii I1 şi I2, dacă A21 ≠ 0, se obţin ecuaţiile
⎩⎨⎧
+=+=
2221212
2121111
IZIZUIZIZU
(5.14)
în care Zjk sunt parametrii impedanţă ai cuadripolului:
• 21
11
01
111 A
AIUZ
2I==
= – impedanţa de intrare la funcţionarea în gol;
• 210I1
221 A
1IUZ
2
===
– impedanţa de transfer la funcţionarea în gol;
(1′ )
I2I1 (2)(1) A22 A12
U2U1A11A21
(2′ )Fig. 5.4.
131
• 2121
21122211
0I2
112 A
1A
AAAAIUZ
1
−=−−===
;
• 21
22
0I2
222 A
AIUZ
1
−−===
.
În forma matricială, ecuaţiile în impedanţe se scriu:
[U] = [Z] [I], (5.15)
unde ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
2221
1211
ZZZZ
]Z[ (5.16)
este matricea impedanţă. Condiţia de reciprocitate devine
(5.17) Z12 = – Z21
deci matricea [Z] este antisimetrică, iar condiţia de simetrie este
(5.18) Z11 = – Z22
5.2.3. Ecuaţiile în admitanţe Explicitând curenţii I1 şi I2 din ecuaţiile fundamentale (5.4) în funcţie de
tensiunile U1 şi U2, dacă A12 ≠ 0, se obţin ecuaţiile
⎩⎨⎧
+=+=
2221212
2121111
UYUYIUYUYI
(5.19)
în care Yjk sunt parametrii admitanţă ai cuadripolului:
12
22
0U1
111 A
AUIY
2
===
– admitanţa de intrare la funcţionarea în scurtcircuit; •
• 120I1
221 A
1UIY
2
===
– admitanţa de transfer la funcţionarea în scurtcircuit;
• 1212
21122211
0U2
112 A
1A
AAAAUIY
1
−=−−===
; 12
11
0I2
222 A
AUIY
1
−−===
.
În forma matricială, ecuaţiile în admitanţe se scriu:
[I] = [Y] [U], (5.20)
unde ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
2221
1211
YYYY
]Y[ (5.21)
este matricea admitanţă. Condiţia de reciprocitate devine
, (5.22) Y12 = – Y21
deci matricea [Y] este antisimetrică, iar condiţia de simetrie este
. (5.23) Y11 = – Y22
132
Observaţie. Din ecuaţiile (5.15) şi (5.20) rezultă că matricele [Z] şi [Y] sunt matrici inverse:
[Z]⋅[Y] = [1] . (5.24) 5.2.4. Ecuaţiile hibride Din ecuaţiile fundamentale (5.4) se explicitează tensiunea de intrare U1 şi
curentul de I2 în funcţie de curentul la intrare I1 şi tensiunea la ieşire U2 şi se obţin ecuaţiile tensiune – curent de forma:
⎩⎨⎧
+=+=
2221212
2121111
UHIHIUHIHU
(5.25) )8(
respectiv matricial, ]T[]H[]T[ IUUI ⋅= . (5.26)
Similar, ecuaţiile hibride curent la intrare, tensiune la ieşire se scriu:
⎩⎨⎧
+=+=
2221212
2121111
IFUFUIFUFI
(5.27)
]T][F[]T[ UIIU = . (5.28)
Matricele care intervin în aceste ecuaţii sunt: [H] = matricea parametrilor hibrizi tensiune – curent sau matricea mixtă directă; [F] = matricea parametrilor hibrizi curent – tensiune sau matricea mixtă inversă. )9(Matricele [H] şi [F] sunt, de asemenea, matrici inverse:
[H]⋅[F] = [1] . (5.29)
5.3. IMPEDANŢE CARACTERISTICE ALE CUADRIPOLILOR LINIARI, PASIVI 5.3.1. Impedanţe de intrare Fie Z2 impedanţa conectată la bornele de ieşire a cuadripolului (fig. 5.5). Cuadripolul va prezenta la intrare
impedanţa echivalentă complexă Ze1, numită impe-danţa de intrare primară, care se obţine împărţind membru cu membru ecuaţiile
fundamentale (5.4) şi înlocuind 2
22 I
UZ = :
22221
12211
222221
212211
1
1AZAAZA
IAUAIAUA
IUZ1e +
+=++== . (5.30)
Similar, dacă Z1 este impedanţa conectată la bornele primare (fig. 5.6), cuadripolul va prezenta la bornele secundare impedanţa echiva-lentă complexă Ze2, numită impedanţa de intrare secundară, care se obţine
( )1
A11 A12
A21 A22
U1
I2I1 (2)(1)Ze1 U2 Z2
(2 )(1)Fig. 5.5.
Z1 A11
A22
A21
A12U1
(1) (2 )
U2
(2) (1) I2I1
Ze2
Fig. 5.6.
133
împărţind membru cu membru ecuaţiile fundamentale (5.11) şi înlocuind /
/
1
11 I
UZ = :
11121
12122
111121
112122
2
2
AZAAZA
IAUAIAUA
IUZ //
//
/
/
2e++=
++== . (5.31)
5.3.2. Impedanţe caracteristice sau iterative Se defineşte impedanţa caracteristică directă Zc1 impedanţa de sarcina Z2 care
conectată la bornele secundare ale cuadripolului corespunde unei impedante de intrare primară Ze1 egală cu Zc1. Altfel spus, Zc1 este valoarea impedanţei de sarcină care trebuie conectată la bornele secundare ale cuadripolului pentru ca impedanţa de intrare primară sa fie egală cu ea (fig. 5.7,a):
1c1e1c2 ZZZZ =⇒= . (5.32)
Înlocuind în rel.(5.30) Ze1 şi Z2 cu Zc1, rezultă expresia impedanţei Zc1:
21
21122
22112211c
22c21
12c11c A2
AA4)AA(AAZAZAAZAZ 1
1
11
+−±−=⇒++= . (5.33)
Zc1A11
A11
A21
A12U1
I1 I2(1)
(1)
(2)
(2 )
U2A11
A22
A21
A12U1
(1) (2 )
U2
(2) (1) I2I1
Zc2Zc1 Zc2
a) b)Fig. 5.7.
Analog, impedanţa caracteristică inversă Zc2 este impedanţa de sarcină Z1 care trebuie conectată la bornele primare pentru ca impedanţa de intrare secundară Ze2 să fie egală cu ea (fig. 5.7,b):
222 cec ZZZZ1 =⇒= . (5.34)
Expresia impedanţei Zc2 se obţine înlocuind în rel. (5.31) Ze2 şi Z1 cu Zc2:
21
21122
11221122c
11c21
12c22c A2
AA4)AA(AAZAZAAZAZ 2
2
22
+−±−=⇒++= . (5.35)
În expresiile impedanţelor caracteristice Zc1 şi Ze1 se alege semnul (′+′ sau ′−′) care corespunde condiţiei de realizare a acestor impedanţe:
.0Z;0Z 21 cc ≥≥ ReRe (5.36)
Impedanţele caracteristice intervin în problemele de adaptare a unui dipol gene-rator de impedanţă Zg cu un dipol receptor de impedanţă Zs în anumite condiţii care nu permit legarea lor directă. De exemplu, dacă e necesară separarea componentelor de curent continuu din circuitele celor doi dipoli, se intercalează un cuadripol. Condiţiile de adaptare nu se modifică prin introducerea cuadripolului dacă impedanţa caracteristică directă Zc1 a cuadripolului este egală cu impedanţa Zs a sarcinii, sc ZZ 1 = , iar impedanţa caracteristică inversă Zc2 este egală cu impedanţa Zg a dipolului generator, gc ZZ 2 = .
134
5.3.3. Impedanţe imagini Se numesc impedanţe imagini ale unui cuadripol o pereche de impedanţe Zi1 şi
Zi2 dacă conectând impedanţa Zi2 la bornele secundare, impedanţa de intrare primară este Zi1 şi dacă conectând impedanţa Zi1 la bornele primare, impedanţa de intrare secundară este egala cu Zi2 ,
Z2 = Zi2 ⇒ Ze1 = Zi1 şi Z1 = Zi1 ⇒ Ze2 = Zi2 (5.37)
Impedanţele Zi1, Zi2 sunt soluţii ale sistemului de ecuaţii:
.AZAAZAZ;AZA
AZAZ11121
121222
22221
122111
i
ii
i
ii +
+=++= (5.38)
Prin rezolvare se obţine:
.AAAAZ;AA
AAZ2111
22122
2221
12111 ii ±=±= (5.39)
Şi în acest caz, ca şi în cazul impedanţelor caracteristice, se alege semnul care corespunde condiţiei de realizare a acestor impedanţe: ReZi1≥ 0; ReZi2≥ 0.
A11
A11
A21
A12E
(2)
(2 ) (1 )
(1)
Zs = Zi2Zg = Zi1
Impedanţele imagini intervin în probleme de satisfacere a condiţiilor de adaptare a sarcinii Zs la un dipol generator de impedanţă Zg, încât, prin intercalarea unui cuadripol, condiţia de adaptare a celor două impedanţe să rămână neschimbată, adică: Zi1 = Zg ⇒ Zi2 = Zs (fig. 5.8). Fig. 5.8.
Dacă cuadripolul este simetric A11 = A22, impedanţele caracteristice şi impedan-
ţele imagini au aceeaşi valoare:
21
122i1i2c1c A
AZZZZ ±==== . (5.40)
5.4. SCHEME ECHIVALENTE ALE CUADRIPOLILOR Doi cuadripoli sunt echivalenţi şi se pot substitui unul celuilalt dacă au aceiaşi
parametri de transfer, de impedanţă, de admitanţă sau hibrizi. Deoarece cele patru constante ale cuadripolului sunt legate prin condiţia de
reciprocitate, rezultă că numai trei dintre ele sunt independente. Deoarece cu trei elemente de circuit se pot realiza numai două structuri de cuadripoli – stea sau triunghi – cele mai simple scheme echivalente ale cuadripolilor sunt schemele în ″T″ şi în ″π″ .
5.4.1. Schema echivalentă în T
YtU1
I1(1)
(1)
U2
(2)
(2 )
I2Z1l Z2l
(a )
(a) Schema cuadripolului în T conţine două impe-danţe longitudinale Z1l şi Z2l şi o admitanţă transver-sală Yt ca în figura 5.9.
Ecuaţiile fundamentale ale cuadripolului se determină aplicând teorema a II-a Kirchhoff ochiuri-lor [1a22′a′1′1] şi respectiv [a22′a′a]. Rezultă astfel:
Fig. 5.9.
135
U1 = Z1lIl + Z2lI2 + U2 respectiv, 222t
21 IIZYII +=− . (5.41)
Din ultima ecuaţie se explicitează I1, 2t2t21 UYI)YZ1(I ++= l , care se înlocuieşte în prima ecuaţie din (5.41). Ecuaţiile fundamentale ale cuadripolului în T rezultă de forma
⎩⎨⎧
++=
++++=
2tl22t1
2t21212t11
I)YZ1(UYII)YZZZZ(U)YZ1(U lllll (5.42)
din care se deduc parametrii de transfer:
t222
t21
t212112
t111
YZ1AYA
YZZZZAYZ1A
l
llll
l
+==
++=+=
(5.43)
Dacă Z1l = Z2l = Zl, cuadripolul este simetric şi parametrii de transfer au expresiile:
t21
t2
12
t2211
YAYZZ2A
YZ1AA
=+=
+==
ll
l
(5.44)
5.4.2. Schema echivalentă în π Schema cuadripolului în π conţine o impedanţă longitudinala Zl şi două
admitanţe transversale Y1t, Y2t (fig. 5.10). Curentul prin impedanţa Zl este:
Y1tU1
I1(1)
(1)
U2
(2)
(2 )
I2
Y2t
Zl
I1 – Y1tU1 = I2 + Y2tU2. (5.45)
Înlocuind în aceasta ecuaţie tensiunea U1 dedusă prin aplicarea teoremei a II-a Kirchhoff ochiului [122′ 1′ 1],
U1 = Zl(I2 + Y2tU2) + U2, (5.46) Fig. 5.10.
rezultă ecuaţiile de transfer ale cuadripolului în π,
⎩⎨⎧
++++=
++=
2t12t2t1t2t11
22t21
I)YZ1(U)YYZYY(IIU)YZ1(U
ll
l (5.47)
din care se deduc expresiile parametrilor de transfer:
.YZ1A;YYZYYA
;ZA;YZ1A
t122
t2t1t2t121
12
t211
l
l
l
l
+=++=
=+=
(5.48)
Dacă Y1t = Y2t = Yt, cuadripolul este simetric şi
.YZY2A;ZA;YZ1AA
2tt2112
t2211
ll
l
+==
+== (5.49)
136
5.5. CONEXIUNILE CUADRIPOLILOR
Conexiunea în lanţ (cascadă)
În figura 5.11 este prezentată schema de conexiune în lanţ sau în cascadă a cudripolilor diport.
)1(1U
)1(1I
[Γ1 ]
)1(2I
[Γ2 ]
)2(1I
)2(2U
)2(2I
[Γn ]
)n(1I
)2(nU)2(
1)1(
nUU
)n(2I
)1(2U
Fig. 5.11.
Pentru doi cuadripoli cu matricile de transfer [Γ1], [Γ2], matricile mărimilor de intrare şi de ieşire , restricţia de conexiune în lanţ este: ]T[],T[ )2(
1)1(
1 ]T[],T[ )2(2
)1(2
.]T[]T[,adică,IU
IU,respectiv;II,UU )2(
1)1(
2)2(1
)2(1
)1(2
)1(2)2(
1)1(
2)2(
1)1(
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
Cum .]T][][[]T[:rezultă],T][[]T[şi]T][[]T[ )2(221
)1(1
)2(22
)2(1
)1(21
)1(1 ΓΓ=Γ=Γ=Deci matricea de transfer a cuadripolului echivalent celor doi cuadripoli
conectaţi în cascadă este: ][][][ 21e Γ⋅Γ=Γ . În general, pentru n cuadripoli conectaţi în lanţ, ecuaţiile de transfer se scriu
]T[][]T[ )n(2
n
1kk
)1(1 ∏ Γ=
= (5.50)
şi deci matricea de transfer este dată de produsul matricilor de transfer ale cuadripolilor componenţi:
[ ] [ ]kn
1ke ΓΠ=Γ=
(5.51)
Conexiunea în serie
[Z1]
)1(1I
)1(1U )1(
2U
)1(2I
)2(1I
)2(2U
)2(2I
)2(1U [Z2]
I2 I1
U2 U1
Ecuaţiile tensiunilor (ecuaţiile în impedanţe) pentru doi cuadripoli conectaţi în serie la intrare şi la ieşire (fig. 5.12) se scriu:
[U(1)] = [Z1][I(1)];
[U(2)] = [Z2][I(2)]. (5.52)
Fig. 5.12. Tensiunile şi curenţii satisfac relaţiile:
.II
II
II
]I[;UU
UU
UU
]U[ )2(2
)2(1
)1(2
)1(1
2
1
)2(2
)2(1
)1(2
)1(1
2
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= (5.53)
Din relaţiile (5.52) şi (5.53) rezultă:
]I][Z[]I][Z[]Z[]U[]U[]U[ e21)2()1( =+=+= . (5.54)
În general, pentru n cuadripoli conectaţi în serie, matricea echivalentă pentru impedanţe rezultă:
∑=
=n
1kke ]Z[]Z[ . (5.55)
137
Conexiunea în paralel Plecând de la ecuaţiile în admitanţe
pentru doi cuadripoli conectaţi în paralel ca în figura. 5.13,
[I(1)] = [Y1][U(1)],
[I(2)] = [Y2][U(2)] (5.56)
şi ţinând cont de restricţiile de conexiune,
.II
II
II
]I[;UU
UU
UU
]U[ )2(2
)2(1
)1(2
)1(1
2
1
)2(2
)2(1
)1(2
)1(1
2
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= (5.57)
rezultă: ]U][Y[]U][Y[]Y[]I[]I[]I[ e21
)2()1( =+=+= (5.58) În general, pentru n cuadripoli conectaţi în paralel, matricea echivalentă pentru
admitanţe rezultă:
∑=
=n
1kke ]Y[]Y[ . (5.59)
Conexiunea serie – paralel
Se consideră ecuaţiile hibride tensiune – curent pentru doi cuadripoli conectaţi în serie la intrare şi în paralel la ieşire ca în figura 5.14,
]T[]H[]T[,]T[]H[]T
)2(IU1
)2(UI
)1(IU1
)1(UI
⋅=⋅=[
(5.60)
şi ţinând cont de relaţiile,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= )2(
2
)2()1(1
)1(2
1
2
1IU)2(
2
)2(1
)1(2
)1(1
2
1UI
UI
UI
UI
]T[;IU
IU
IU
]T[ (5.61)
rezultă: ]H[]H[]H[ respectiv, în cazul general: 21e +=
∑=
=n
1kke ]Z[]Z[ . (5.62)
Conexiunea paralel – serie Se consideră ecuaţiile hibride curent –
tensiune pentru cuadripolii conectaţi în paralel la intrare şi în serie la ieşire ca în figura 5.15,
]T[]F[]T[,]T[]F[]T
)2(UI1
)2(IU
)1(UI1
)1(IU
⋅=⋅=[
(5.63)
şi ţinând cont de relaţiile,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= )2(
2
)2(1
)1(2
)1(1
2
1UI)2(
2
)2(1
)1(2
)1(1
2
1IU
IU
IU
IU
]T[;UI
UI
UI
]T[ (5.64)
rezultă: ]H[]H[]H[ 21e += respectiv, în cazul general:
∑=n
]Z[]Z[ . =1k
ke (5.65)
[Z1]
Fig. 5.15.
)1(1I
)1(1U
)1(2U
)1(2I
)2(1I
)2(2U
)2(2I
)2(1U
U1 U2
I1I2
[Z2]
)1(1I )1(
2I
[Y1]
Fig. 5.13.
)1(1U
)1(2U
)2(1I
)2(2U
)2(2I
)2(1U
I1 I2
U1 U2
[Y2]
[H1]
)1(1I
)1(1U
)1(2U
)1(2I
)2(1I
)2(2U
)2(2I
)2(1U
I1
U2
I2
[H2]
U1
Fig. 5.14.
138
5.6. ECUAŢIILE CANONICE AL CUA RIP LIL LINIARI, RECIPROCI ŞI SIMETRICI
impeda ţa caracteristică (fig. 5.16),
E D O OR
Dacă cuadripolul simetric este închis pe n
21
12c2 A
AZZ == , (5.66)
şi ecuaţiile de transfer se scriu:
( )( )21121122112211
21121122122111 AU=
=
AAAIIAUAIAAAUIAU
⋅+=+
⋅+=+ (5.67)
Din aceste ecuaţii rezultă:
2112112
1
2
1 AAAII
UU ⋅+== (5.68)
Mărimea complexa adimensională
2112112
1
UUln ==γ AAA ⋅+ (5.69)
se numeşte exponent de transfer caracteristic (constanta ag cusimetric).
de prop are a adripolului
Mărimea complexă γ este în general de forma
β+α=γ j , (5.70)
în care: α – constanta de atenuare (atenuarea caracteristică); β – constanta de fază (faza caracteristică).
1212
2
1
2
1
2
1 saueUeIUe =⇔==j
2
1 eIϕ . (5.71)
Se constată de aici că:
jbajj IeUIU +ϕβ+αγ=
−==α ]Np[IIlnU
Uln2
1
2
1 atenuarea în Neperi;
−ϕ=β 12 defazajul dintre U1 şi U2 respectiv, dintre I1 şi I2;
[ ] −= dBIlog20Ug2
1
2
1 atenuarea în decibeli. =α IUlo20
entru cuadripolii disipativi (R ≠ 0) mărimea α ecinţă, în cazul unui lanţ de cuadripoli, valorile efective ale tensiunilor şi curenţilor scad monoton expone
P este pozitivă şi, în cons
nţial, .eI
IUU 1k1k α−++ == (5.72)
kk
Atenuarea caracteristică şi defazajul caracteristic depind de frecvenα(ω) – caracteristica de frecvenţă a atenuării;
Deoarece
ţă:
β(ω) – caracteristica de frecvenţă a defazajului.
211211 AAAe +=γ
(5.73)
A11 A12 I1
A21 A11
. 5.16. Fig
ZC U2
I2 (2)
(2)
(1)
U1
(1)
139
i 21122
11 AAA1 −= (condiţia de reciprocitate a cuadripolului simetric), rezultă că: ş
211211 AAAe −=γ−
(5.74)
Din ecuaţiile (5.73) şi (5.74) rezultă:
( ).shZA;shZA;A
AZ
;shee21AA
;ch)ee(1A +=γ−γ
2
1c21c12
21
12c
2112
11
γ=γ==
γ=−=
γ=
−
γ−γ (5.75)
Forma canonică a ecuaţiilor cuadripolului simetric:
⎪⎩
⎪⎧ γ+γ= shIZchUU 2C21 ⎨
γ+γ= − chIshUZI 221
c1
(5.76)
Din încercările în gol şi în scurtcircuit (I2 = 0 respectiv, U2 = 0) rezultă:
γ==⇒γ=γ=→= − thZUZshUZI;chUU0I 102
1 I c10
10c102102 (5.77)
γ==⇒γ=γ=→= thZIUZchII;shIZU0U c
sc1
sc1sc12sc12csc12 (5.78)
respectiv, .ZZth;ZZZ
10
sc1sc110C =γ= (5.79)
expresia: Matricea de transfer are
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Γ
cγγγγ
− chshZshZh
][ 1c
c (5.80)
şi 1shch]det[ 22 =γ−γ=Γ , (5.81)
adripolului simetric îneste condiţia de reciprocitate a cu chis pe impedanţa caracteristică. Dacă se consideră un lanţ de n cuadripoli reciproci şi simetrici, identici, închis
pe impedanţa caracteristică (adaptat), impedanţa caracteristică (Zc)L şi constanta de propagare
Lγ a lanţului de cuadripoli sunt date de expresiile evidente (care se pot
demonstra simplu prin inducţie): .n;Z)Z(
LcLc γ=γ= (5.82)
Matricea de transfer [Γe] a lanţului de cuadripo onside at, rezli c r ultă:
.nchnshZnshZnch c ⎤⎡][ 1
ce ⎥
⎦⎢⎣ γγ
γγ=Γ − (5.83)
140
5.7. FILTRE ELECTRICE DE FRECVENŢĂ
recerea semnalelor de anumite frecvenţe, respectiv semnale ale căror frecvenţe sunt cuprinse într-un anumit interva
r de frecvenţe inferi-oare un
T″ sau în ″π″ , închişi pe impeda
Filtrele electrice de frecvenţă sunt circuite care permit t
l. Un filtru electric se prezintă obişnuit ca un cuadripol sau lanţ de cuadripoli a cărui constantă de atenuare a cărui constantă de atenuare este mică (sau nulă dacă filtrul este fără pierderi) în anumite intervale de frecvenţă numite intervale sau benzi de trecere, iar celelalte intervale, numite intervale sau benzi de trecere, de atenuare sau de oprire, constanta de atenuare este sau foarte mare (ideal infinită).
Frecvenţele care delimitează benzile de trecere şi de atenuare se numesc frecvenţe de tăiere ( fi, fs ). Dacă filtrul permite trecerea semnalelo
ei valori ( fi = 0, fs ≠ 0) se numeşte filtru trece jos, respectiv de la o frecvenţă inferioară ( fi ≠ 0, fs = ∞), filtru trece sus. Dacă transmisia semnalelor este neatenuată într-un interval cuprins între două valori finite ( fi ≠ 0, fs ≠ 0) se numeşte filtru trece bandă, iar dacă în intervalul respectiv semnalele sunt atenuate, filtru opreşte bandă. Dacă pierderile de energie pe rezistenţele conductoarelor, în dielectricii condensa-toarelor şi în miezurile bobinelor sunt neglijabile – sau se pot neglija într-o primă aproximaţie – filtrul se numeşte fără pierderi sau nedisipativ.
Se analizează filtrele realizate cu cuadripoli liniari, reciproci şi simetrici, nedisi-pativi (conţinând numai elemente pur reactive), de forma în ″
nţa caracteristică Zc (adaptaţi). Parametrii de transfer A11, A12, A21 şi impedanţa caracteristică Zc ai cuadripolului
simetric în ″T″ sunt:
.AAZ;YA;ZYZA;YZ1A 122
11 ===+= (5.84) 221
ct21t12t + lll
Dacă elementele cuadripolului sunt pur reactive (bobine şi condensatoare ideale), impedanţele longitudinale şi admitanţa transversală sunt mărimi imconseci
aginare şi, în nţă, A11 este real, iar A12 şi A21 imaginari:
.0A;0A;0A 1211 21 === ReReIm (5.85) Pentru cuadripolul sim tric în ″π″ : e
21
12c
2tt2112t11 ;ZA;YZ1A =+= ll AZ;YZY2A =+= l (5.86)
şi similar, dacă elementele cuadripolului sunt pur reactive, se verifică condiţiPentru cuadripolul simetric avem:
A
ile (5.85).
.AAZ
;shchjcossh)j(shshAA
(chchA11 +α=γ= ;shshjcosch)j βα+βα=β
21
12c
2112
=
βα+βα=β+α=γ= (5.87)
Din condiţiile (5.85) rezultă: βα===βα=γ coschAA;0sinshch 1111Im (5.88)
şi dacă ;0Z;0cosshsh0AA c2112 ==βα=γ⇒<⋅ ImRe (5.89)
0Z;0sinchsh0AA c2112 ==βα=γ⇒>⋅ ReIm . (5.90)
141
Calculul intervalelor de trecere. fiind nulă, din (5.88) rezultă şi
pentru În intervalele de trecere, atenuarea β= cosA11 orice defazaj ,, π≤β≤π−β avem inegalităţile:
1A1 11≤≤− (5.91)
Întrucât condiţia (5.90) nu este îndeplinită entru rice fazaj,impeda
p o de urmează că nţa caracteristică este reală şi pozitivă:
0AAZZ
21
12cc >== . (5.92)
Intervalele de trecere se deduc din inegalităţile (5.91), iar frecvenţele de tsunt de
ăiere terminate de valorile extreme A11(ω) = –1 şi A11(ω) = 1, sau din 1)(A2
11 =ω , sau din 0AA 2112 = .
Defazajul depinde de frecvenţă, caracteristica de frecvenţă a defazajului fiind dată de relaţia:
.)(Aarccos)( ω=ωβ (5.93)
Pentru cuadripolii în ″T″ sau în ″π″ , frecve ele de trelaţiile
nţ ăiere se determină din :
0YZ;0YZ2 tt ==+ ll , (5.94)
caracteristica de frecvenţă a defazajului fiind
arcco)( .)YZ1(s tl+=ωβ (5.95)
Calculul intervalelor de atenuare.
În intervalele de atenuare, sh,0 ,0≠α≠α iar condiţia (5.88) implică sinβ = 0,
adică: π±=β ,0 (5.96) t , iar din condiţia 5.90)
caracteCondiţia (5.89) nu este satisfăcu ă ( rezultă că impedanţa ristică este imaginară. Deci,
21
12c1111 AA = A
AjZ;ch ±=α±= . (5.97)
Deoarece 1ch ≥α , rezultă şi deci,
(ω) ≤ –1 ; A11(ω) (5.98)
În intervalele de frecve ces r ineg lită, aeste nul
1Asau1A 1111 ≥−≤
A11 ≥ 1.
nţă limitate de soluţiile a to a tenuarea nu ă, ci depinde de frecvenţă
0Acharg)( 11 >=ωα . (5.99)
În cazul cuadripolilor reali, cu pierderi, impedanţa de sarcin a uncuadrip
toţi cuadripolii componenţi sunt identici, prima şi ultima bobină a lanţului de cuadripoli
ă ui lanţ de oli nu poate fi realizată astfel încât să depindă de frecvenţă ca în condiţiile
impuse mai sus. Rezultatele de mai sus sunt aplicabile în cazul unor idealizări. În continuare se studiază câteva exemple de filtre ideale.
a) Filtrul trece jos este un lanţ de cuadripoli simetrici în ″T″ sau în ″π″ , în care elementele longitudinale sunt bobine, iar cele transversale sunt condensatoare. Deoarece
142
în ″T″
analiză calitativă pune în ev ţă comportarea filtrului: dacă s plică filtrului la bornele de intrare o ten recvenţă joasinductivităţile longitudinale, reactanţa i iind relativ mică în raport cu reactanţa capa
are inductivitatea L, iar inductivităţile echivalente din interiorul lanţului sunt egale cu 2L (fig. 5.17,a). Similar, condensatoarele de la extremităţile lanţului au capaci-tatea C, iar capacităţile interioare sunt egale cu 2C (fig. 5.17,b).
O iden e asiune de fnductivă f
ă, curentul trece prin
citivă a condensatoarelor transversale; la frecvenţe mari, reactanţa inductivă a fiind mare, închiderea curenţilor este favorizată de condensatoarele transversale şi ca urmare semnalul ajunge mult atenuat la bornele de ieşire.
Înlocuin în inegalităţile (5.91) LjZ ω=l şi CjYt ω= se obţine
1LC11 2 ≤ω−≤− , (5.100)
cu solu , ţiile pentru frecvenţele de tăiere
.LC2
1;0 siπ
== ff
filtrul este de tipul trece jos. Caracteristica de frecvenţă a atenuării calculată cu relaţia (5.99) este
(5.101)
Frecvenţa inferioară fiind nulă,
.)1LC(chargAcharg)( 211 −ω==ωα (5.102)
În figura (5.18) sunt reprezentate grafic caracteristicile de frecvenţă A11(ω) şi α(ω).
a) ″π″ , în care elem re, iar cele transversale sunt bobine. Cuadripolii în ″T″ ai lanţului fiind identici, condensatoarele de la extremităţi au capacit
a)5.17.
Filtrul trece sus este un lanţ de cuadripoli simetrici în ″T″ sau în entele longitudinale sunt condensatoa
atea C, iar ceilalţi au capacitatea echivalentă C/2 (fig. 5.19,a). Similar, prima şi ultima bobină a lanţului de cuadripoli în ″π″ au inductivitatea L, iar celelalte au inductivitatea echivalentă L/2 (fig. 5.19,b). Dacă se aplică filtrului la bornele de intrare o tensiune de frecvenţă joasă, curentul prin condensatoarele longitudinale este mult
Fig.
L
C
I1 L2L
C
I2
U1 U2
1′ 2
1
′
2
b)
C
I1 LL I2 21
2CU1 U2
1′ 2′
C
A11
Fig. 5.18.
1
ωi = 0 ωs = 2πfs ω
–1
α
ωi = 0 ωs = 2πfs ω
143
atenuat, fiind în schimb favorizată trecerea curentului prin bobinele transversale. Semnalele de frecvenţă înaltă sunt însă favorizate de condensatoare şi închiderea lor prin bobinele transversale este blocată datorită reactanţei mari a acestora.
Înlocuin în inegalităţile (5.91) Cj1Z ω=l şi Lj1Yt ω= se obţine
1111 ≤−≤− , LC2ω
(5.103)
cu soluţiile pentru frecvenţele de tăiere,
.;LC2
1si ∞=
π= ff (5.104)
Frecvenţa inferioară fiind nulă, filtrul este de tipul trece jos. Caracteristica de frecvenţă a atenuării calculată cu relaţia (5.99) este
)( .1LC1chargAcharg)( 211 −
ω==ωα (5.105)
În figura (5.20) s-au reprezentat grafic caracteristicile de frecvenţă A11(ω) şi α(ω).
a)Fig. 5.19.
C
L
I1 I2
U1 U2
1
1′ 2′
2
b)
C/2 C
L L
I1 I2
U1 U2
1
1′ 2′
2C C
LL/2
αA11
Fig. 5.20.
0 ωi = 2πfi
ω
1
–1 ω ωi = 2πfi 0
144
6. LINII ELECTRICE LUNGI ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 6.1. ECUAŢIILE LINIILOR LUNGI ÎN MĂRIMI INSTANTANEE. PARAMETRII LINEICI PRIMARI. O linie electrică lungă reprezintă un exemplu de circuit electric cu parametri
repartizaţi. Liniile electrice se utilizează pentru transmisia energiei electromagnetice la distanţe mari (în electroenergetică) şi pentru transmiterea semnalelor electromagnetice (în telecomunicaţii). Aceste circuite se caracterizează prin parametrii raportaţi la unitatea de lungime a liniei, numiţi şi parametri lineici.
Se consideră o linie bifilară de lungime l, constituită din două conductoare dispuse paralel; se notează cu (1) – (1') bornele de intrare (dinspre generator), cu (2) – (2') bornele de ieşire (dinspre receptor) şi cu x distanţa măsurată în lungul liniei de la extremitatea (1) – (1'), figura 6.1,a).
u1(t)
dx2R
f ildu =
dφ =Llidx
(1′ )
(2)
dx dx x
dq = =Cludx
i2(t)
u(x+dx,t) u2(t)
(1) i1(t) i(x,t) i(x+dx,t)
u(x,t)
(2′ )
Fig. 6.1. a)
l
dx2R
f ildu =
b)
La repartiţie dată a tensiunii şi curentului la momentul iniţial t = 0, u(x,0), i(x,0) – condiţii iniţiale – şi la valori date ale tensiunii şi curentului la extremitatea (1) – (1') a liniei, u(0,t) = u1(t), i(0,t) = i1(t) – condiţii la limită, problema fundamentală a liniei constă în determinarea tensiunii u(x,t) şi a curentului i(x,t) la distanţa x şi la momentul t.
În cazul liniei electrice lungi, parametrii se consideră repartizaţi continuu în lungul liniei şi, în consecinţă, se definesc şi se utilizează parametrii specifici sau lineici, consideraţi ca densităţi de linie a rezistenţei, inductivităţii, capacităţii şi perditanţei:
rezistenţa longitudinală lineică [ ] l mxRlimR
0xΩ∆
∆=→∆
; (6.1)
inductivitatea longitudinală lineică [ ] l mHxL
limL0x ∆∆=
→∆; (6.2)
capacitatea transversală lineică [ ] l mFxC
limC0x ∆∆=
→∆; (6.3)
perditanţa sau conductanţa transversală lineică [ ] l mSxG
limG0x ∆∆=
→∆ (6.4)
în care R, L, C şi G sunt parametrii liniei, în general dependenţi de x.
145
Pentru un tronson elementar de lungime dx al liniei (fig. 6.1,b), avem:
• căderea de tensiune elementară duf în lungul unui conductor pe lungimea dx datorată curentului i care circulă în această porţiune a liniei se exprimă cu relaţia:
dx2R
f idu l= ; (6.5)
• fluxul magnetic elementar dφ prin suprafaţa tronsonului elementar este dxLd i l=φ ; (6.6)
• sarcina electrică elementară dq care încarcă suprafaţa unuia din conduc-toarele liniei pe lungimea dx este dată de relaţia
dxCdq ul= (6.7)
• curentul elementar diG care se închide prin izolantul imperfect dintre cele două porţiuni de conductoare ale liniei corespunzătoare tronsonului este
dxGG udi l= (6.8) Parametrii Rl, Ll, Cl şi Gl caracterizează intrinsec linia şi se numesc parametri
primari sau naturali ai liniei lungi. Dacă aceşti parametri nu depind de distanţa x, linia se numeşte omogenă.
Pentru o linie bifilară, omogenă, aeriană şi izolată, cu conductoare subţiri de rază a, situate la distanţa D şi la mare depărtare de pământ, parametrii Rl, Ll şi Cl se calculează, la frecvenţe joase, cu relaţiile:
[ ]ma1R 2 Ωσπ= l ; [ ]mHL r0 a
Dln l πµµ= ; [ ]mHC r0
ln aDlπεε= (6.9)
Ecuaţiile de ordinul I
Considerând u(x,t) şi i(x,t) tensiunea şi curentul la distanţa x şi la momentul t, tensiunea u(x+dx,t) şi curentul i(x+dx,t) la distanţa x+dx şi la momentul t se pot dezvolta în serie Taylor şi reţinând numai primii doi termeni rezultă relaţiile:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+∂∂+≈+
+∂∂+≈+
...dx)t,x()t,dxx(
...dx)t,x()t,dxx(
xiii
xuuu
(6.10)
Schema cuadripolului în "T" al tronsonului de linie de lungime dx este similară celei de la linia scurtă şi este prezentată în figura 6.2.
dx2Lldx2
Rl dx)t,x( xii ∂∂+
A M
B
C D
Gldxu(x,t)
i(x,t)
diG
dx2Ll dx2
Rl
dx)t,x( xuu ∂∂+ Cldx
diC
Fig. 6.2.
146
Aplicând teorema a II- a Kirchhoff în lungul conturului [AMBCDA], se obţine:
,0dx2Rdx2
Ldx2Ldx2
R =−∂∂+++∂
∂+∂∂+ ux
uuiti
tii llll
respectiv, tiix
ull ∂∂+=∂
∂− LR . (6.11)
Ecuaţia se interpretează astfel: scăderea tensiunii xu∂∂− pe unitatea de lungime a liniei
este egală cu suma dintre căderile de tensiune rezistivă şi inductivă, ambele luate pe unitatea de lungime.
Aplicând teorema a întâia Kirchhoff la nodul (M), se obţine:
0dxdd CG =∂∂−−++− xiiiii
Din ecuaţia (6.7) avem tui 1 ∂∂= dxCd C şi ţinând cont de relaţia (6.8) rezultă:
tuux
ill ∂∂+=∂
∂− CG . (6.12)
Ultima ecuaţie se interpretează astfel: scăderea curentului xi
∂∂− pe unitatea de
lungime a unui conductor al liniei este egală cu suma dintre curentul de pierderi prin izolantul dintre conductoare şi curentul capacitiv, ambii luaţi pe unitatea de lungime.
Ecuaţiile (6.11) şi (6.12) alcătuiesc un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale de primul ordin în raport cu tensiunea u şi curentul i.
Dacă în locul distanţei x măsurate de la intrare, se consideră distanţa , măsurată de la ieşire, ecuaţiile (6.11) şi (6.12) scrise pentru u(x',t) şi i(x',t) în raport cu x' sunt următoarele:
xx −=′ l
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∂∂+=∂
∂∂∂+=∂
∂
tuux'
i
tiix'
u
ll
ll
CG
LR (6.13)
Ecuaţiile de ordinul II. Ecuaţiile telegrafiştilor.
Între ecuaţiile de primul ordin (6.11) şi (6.12) se elimină una dintre necunos-cutele u(x,t) sau i(x,t) şi se obţine o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul doi. Astfel, dacă se derivează prima ecuaţie, (6.11), în raport cu x,
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛∂∂
∂∂−∂
∂−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛∂∂
∂∂−∂
∂−=∂∂
xi
txi
ti
xxi
xu
llll2
2
LRLR
(în care s-a inversat ordinea de derivare în ultimul termen, deoarece linia este fixă) şi se înlocuieşte expresia lui x∂∂i din (6.12), se obţine ecuaţia pentru tensiunea u(x,t),
2
2
llllllll2
2
tu
tuux
u∂∂+∂
∂++=∂∂ CL)GLCR(GR . (6.14)
Procedând la fel pentru curentul i, se deduce ecuaţia:
2
2
llllllll2
2
ti
tiix
i∂∂+∂
∂++=∂∂ CL)GLCR(GR . (6.15)
Tensiunea u(x,t) şi curentul i(x,t) satisfac ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi de aceeaşi formă, cu coeficienţi identici, numite şi ecuaţiile telegrafiştilor.
147
6.2. ECUAŢIILE LINIILOR LUNGI ÎN REGIM ARMONIC PERMANENT
În regim armonic permanent, tensiunea u(x,t) şi curentul i(x,t) sunt în fiecare punct al liniei funcţii sinusoidale de timp de aceeaşi frecvenţă, πω= 2f :
]tsin[U2 )x()x()t,x( ψ+ω=u ; ]tsin[I2 )x()x()x()t,x( ϕ−ψ+ω=i , (6.16)
în care valorile efective U(x) şi I(x), faza iniţială ψ(x) şi defazajul ϕ(x) depind de distanţa x.
Regimul armonic permanent se stabileşte ca urmare a aplicării unei tensiuni sinusoidale la una din extremităţile liniei, după armotizarea componentelor libere datorate excitaţiei şi condiţiilor iniţiale. Tensiunea aplicată, de exemplu la bornele de intrare (1) – (1'), u(0,t) = u1(t) şi curentul i(0,t) = i1(t) se presupun date:
]tsin[U2 11)t( ψ+ω=1u ; )]tsin[I2 111)t( ϕ−ψ+ω=1i . (6.17) Forma în complex a ecuaţiilor telegrafiştilor.
Imaginile în complex ale tensiunii u(x,t) şi curentul i(x,t) fiind )x(jUeU )x()t,x( ψ=→u , ))x()x((jIeI )x()t,x( ϕ−ψ=→u , (6.18)
imaginile în complex ale derivatelor parţiale ale tensiunii u(x,t) şi curentul i(x,t) sunt următoarele:
.Ij;Uj;dxId
xI;dx
UdxU ω→∂
∂ω→∂∂=∂
∂→∂∂=∂
∂→∂∂
ti t
u xi x
u (6.19)
Cu aceste specificaţii, ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul I în mărimi instantanee (6.11), (6.12) le corespund ecuaţiile diferenţiale ordinare cu mărimi complexe:
ll
ll
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω+=−
ω+=−
I)CjG(dxId
I)LjR(dxUd
(6.20)
Mărimile complexe
, llllll CjGYrespectivLjRZ ω+=ω+= (6.21)
se numesc impedanţa complexă lineică longitudinală Zl respectiv, admitanţa complexă lineică transversală Yt şi ecuaţiile (6.20) se scriu astfel:
.IYdxId;IZdx
Udll =−=− (6.22)
Prin derivarea în raport cu x şi eliminarea succesivă a uneia dintre necunoscute, se obţine forma în complex a ecuaţiilor telegrafiştilor
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
++=
I)Cjω)(GLjω(RdxId
U)Cjω)(GLjω(RdxUd
2
2
2
2
llll
llll (6.23)
respectiv, ;UYZdx
Ud2
2
ll= IYZdxId2
2
ll= . (6.24)
148
Notând cu γ mărimea β+α==ω+ω+=γ jYZ)jCG)(jLR( llllll , (6.25)
numită constanta complexă de propagare, ecuaţiile (6.24) se pun sub forma:
;UdxUd 2
2
2
γ= IdxId 22
2
γ= . (6.26)
Soluţiile U(x) şi I(x) nu sunt independente, fiind legate între ele prin ecuaţiile de ordinul I (6.22). Pentru rezolvare se procedează astfel: se integrează una dintre ecuaţiile de ordinul II, de exemplu cea pentru tensiunea U(x), iar curentul I(x) se deduce din oricare dintre ecuaţiile (6.22). Pentru prima ecuaţie din (6.26), ecuaţia caracteristică
0p 22 =γ− are rădăcinile )j(p 2,1 β+α±=γ±= şi soluţia ecuaţiei este de forma
,eAeAU xi
xd)x( γγ− += (6.27)
în care Ad şi Ai sunt două constante complexe de integrare. Înlocuind în prima ecuaţie din (6.22), se deduce curentul complex I(x) :
]eAeA[ZI xi
xd)x( γγ− +γ=
l. (6.28)
Mărimea complexă Zc definită de raportul
ll
lllCjGLjRZZc ω+
ω+=γ= , (6.29)
se numeşte impedanţa caracteristică complexă a liniei şi ecuaţia (6.29) se scrie astfel:
]eAeA[Z1)x(I x
ix
dc
γγ− −= . (6.30)
Tensiunea complexă U(x) şi curentul complex I(x) conţin câte două constante complexe de integrare care se determină din condiţiile la limită (la capetele liniei). Astfel, când se dau, conform relaţiilor (6.17), tensiunea 1j
11 eUU ψ= şi curentul )(j
1111eII ϕ−ψ= la bornele de intrare (1) – (1') ale liniei (x = 0), avem
id1 AA)0(UU +== ; cZAA)0(II id
1−== (6.31)
şi rezultă: ).IZU(2
1A;)IZU(21A 11i11d cc −=+= (6.32)
Înlocuind aceste constante în ecuaţiile (6.27) şi (6.30) se obţine:
,2ee
ZU
2eeI)x(I
;2eeIZ2
eeU)x(Uxx
c
1xx
1
xx
1c
xx
1
γ−γγ−γ
γ−γγ−γ
−−+=
−−+= (6.33)
respectiv,
⎪⎩
⎪⎨⎧
γ−γ=
γ−γ=
xchZUxchI)x(I
xshIZxchU)x(U
c
11
1c1
(6.34)
care reprezintă forma complexă a ecuaţiilor liniilor lungi, bifilare, liniare şi omogene în regim sinusoidal în funcţie de mărimile de la intrare.
149
În mod analog, se scriu ecuaţiile liniilor lungi funcţie de mărimile, tensiunea şi curentul, de la bornele de ieşire ale liniei (x = l ):
lll γγ− +== eAeA)(UU id2 ; lll γγ− −== eZAeZ
A)(IIccid
2 . (6.35)
şi rezultă, ),IZU(21eA,)IZU(2
1eA 22i22d cc −=+= γγ− ll (6.36)
sau, .e)IZU(21A,e)IZU(2
1A 22i22d ccll γ−γ −=+= (6.37)
Înlocuind aceste constante în soluţiile generale (6.27) şi (6.30) se obţine:
,2ee
ZU
2eeI)x(I
;2eeIZ2
eeU)x(U)x()x(
c
2)x()x(
2
)x()x(
2c
)x()x(
2
−γ−−γ−γ−−γ
−γ−−γ−γ−−γ
−++=
−++=
llll
llll
(6.38)
În funcţie de distanţa x′ = l − x măsurată de la sfârşitul liniei, tensiunea şi curentul se scriu:
⎪⎩
⎪⎨⎧
′γ+′γ=′
′γ−′γ=′
xchZUxchI)x(I
xshIZxchU)x(U
c
22
2c2
(6.39)
care reprezintă forma complexă a ecuaţiilor liniilor lungi, bifilare, liniare şi omogene în regim sinusoidal în funcţie de mărimile de la ieşire.
6.3. UNDELE DE TENSIUNE ŞI DE CURENT ALE LINIILOR LUNGI ÎN REGIM SINUSOIDAL Din soluţia generală a ecuaţiilor telegrafiştilor – ecuaţiile (6.27), (6.30) – rezultă
că repartiţiile spaţiale de-a lungul liniei lungi ale tensiunii şi curentului la un moment dat t, se obţin prin adunarea a două componente:
⎩⎨⎧
=
=
+
+
)x()x()x(
)x()x()x(
id
id
IIIUUU
(6.40)
respectiv, în mărimi instantanee,
⎩⎨⎧
+=
+=
)t,x()t,x()t,x(
)t,x()t,x()t,x(
id
id
iiiuuu
(6.41)
numite unda directă de tensiune ud(x,t), unda directă de curent id(x,t), unda inversă de tensiune ui(x,t) şi respectiv unda inversă de curent ii(x,t).
Unda directă de tensiune Ud(x) este primul termen din membrul al doilea al ecuaţiei (6.27):
xdd eAU )x( γ−= (6.42)
în care, 00
djddd eUUA )0( ψ== .
Ţinând seama de relaţia (6.25), tensiunea Ud(x) se pune sub forma
,eeUeeUU )x(jxd
x)j(jdd
00
00
dd)x( ψ−β−α−β+α−ψ == (6.43)
150
căreia îi corespunde valoarea instantanee ud(x,t),
)xt(jx0d
tjd
0deeU2eU2 )x()t,x( ψ+β−ωα−ω == mmu IId respectiv,
).xtsin(eU2 00 dx
d(x,t) ψ+β−ω= α−du (6.44)
Din analiza termenului ud(x,t) rezultă următoarele: − amplitudinea sa scade exponenţial cu distanţa x, este maximă la bornele de
intrare ale liniei şi e minimă la bornele de ieşire; − dacă se consideră , termenul u0=α d(x,t) variază sinusoidal în raport cu
unghiul .xt 0dψ+β−ω Intervalul minim de timp după care, în acelaşi punct x, componenta ud are aceeaşi valoare, este perioada T,
.2T2xtx 00 dd)Tt()Tt,x( ωπ=⇒π+ψ+β−ω=ψ+β−ω⇒= ++ t)(x,uu dd (6.45)
– distanţa minimă λ măsurată în lungul liniei la care, în acelaşi moment t, componenta ud are aceeaşi valoare, este perioada spaţială sau lungimea de undă:
βπ=λ⇒π−ψ+β−ω=ψ+λ+β−ω⇒=λ+ 22xt)x(t)t,x(u)t,x( do0dddu ; (6.46)
– viteza de fază v a undei faţă de sensul pozitiv al axei x este prin definiţie viteza unui punct mobil fictiv în care faza undei este constantă:
βω==⇒ψ+β−ω=ψ++β−+ω dt
dxv0ddo xt)dxx()dtt( . (6.47)
Componenta ud(x,t) este deci o undă directă, mobilă, amortizată, în sensul că repartiţia ei spaţială de-a lungul liniei se deplasează pe linie cu viteza v de la începutul spre sfârşitul liniei şi se amortizează după exponenţiala . Atenuarea undei în sensul propagării acesteia este:
xe α−
.)x(U)0(Ulnx
d
d=α (6.48)
În figura 6.3 se prezintă o astfel de undă atenuată la momentele t şi t + ∆t. ud
x 0
∆x =v∆tl
x
ud(x,t) ud(x,t+∆t)
xd eU2 0
α−
v
Fig. 6.3.
Unda inversă de tensiune Ui(x), al doilea termen din membrul drept al ec. (6.27), este:
xii eAU )x( γ= . (6.49)
Efectuând schimbarea de variabilă x = l – x′, se obţine
151
'xi
'xi
)'x(ii eUeeAeAU )0()'x( γ−γ−γ−γ === l1 (6.50)
O analiză similară arată că termenul ui(x′,t) are, în raport cu x′, aceeaşi formă cu termenul ud(x,t),
)'xtsin(eU2)t,'x( 0i0'x
ii ψ+β−ω= α−u (6.51)
şi, prin urmare, este o undă – unda inversă de tensiune sau unda de tensiune reflectată – care se propagă de la ieşirea către intrarea liniei cu aceeaşi viteză v (rel. 6.47), fig. 6.4.
ui(x′,t)
∆x′ =v∆t =− ∆xl
0′
ud(x′,t+∆t)v
xeU2 0i′α−
ui
Fig. 6.4.
x′
x′ = l − x
Din ecuaţiile (6.27), (6.30) şi (6.40), curentul complex I(x) se scrie sub forma
)x()x()x()x()x( idc
i
c
d IIZU
ZUI +=−= (6.52)
Expresiile valorilor instantanee ale componentelor directă id(x,t) şi inversă ii(x,t) ale curentului, sunt de forma:
).xtsin(eZU2
);xtsin(eZU2
i0ix
C
ii
d0dx
C
dd
0
0
)t,x(
)t,x(
ϕ−ψ+′β−ω=
ϕ−ψ+β−ω=
′α−
α−
i
i (6.53)
152
7. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL 7.1. GENERALITĂŢI
În reţelele electrice de transport şi distribuţie a energiei electrice forma de
variaţie în timp a tensiunilor şi curenţilor nu este riguros sinusoidală, iar abaterea se numeşte distorsiune sau deformare.
Distorsiunea provine, în primul rând de la generatoarele centralelor electrice, tensiunile lor electromotoare nefiind sinusoidale, întrucât nu se poate realiza o înfăşu-rare căreia să-i corespundă o repartiţie sinusoidală a inducţiei magnetice în întrefier.
În al doilea rând, elementele neliniare sub tensiune sinusoidală distorsionează curentul, care la rândul său produce căderi de tensiune nesinusoidale în alte elemente de circuit, fie liniare, fie neliniare. Din această categorie fac parte: bobine cu miez de fier, redresoare, cuptoare electrice cu arc, de inducţie, etc.
În al treilea rând, elementele reactive liniare produc distorsiuni mai pronunţate a unora dintre mărimi în raport cu celelalte. Astfel, condensatorul liniar sub tensiune nesinusoidală, determină o deformare şi mai pronunţată a curentului. De asemenea, bobina liniară, la curent nesinusoidal, duce la deformarea pronunţată a tensiunii.
Regimul nesinusoidal duce la efecte supărătoare în reţelele de transmisie şi distribuţie a energiei şi în funcţionarea unor aparate sau echipamente electrice. Astfel, în regim nesinusoidal, factorul de putere se reduce, cresc pierderile şi implicit scade randamentul producerii, transmisiei şi conversiei energiei electrice.
Neliniaritatea unor elemente de circuit − bobine cu miez de fier saturat, conden-satoare neliniare − este aplicată în practică la realizarea unor aparate electromagnetice cum sunt: amplificatoare magnetice, stabilizatoare feromagnetice de tensiune sau de curent, multiplicatoare de frecvenţă, etc.
7.2. ANALIZA ARMONICĂ A MĂRIMILOR PERIODICE
7.2.1. Dezvoltarea în serie Fourier
a funcţiilor periodice nesinusoidale O funcţie y(t) de variabilă t, care în intervalul finit T îndeplineşte condiţiile lui
Dirichlet, adică:
o este mărginită, ∞<∫−
dt)t(y2T
2T
,
o în intervalul T are un număr finit de discontinuităţi de primă speţă, o intervalul T se descompune într-un număr finit de subintervale în care
funcţia este monotonă, se numeşte periodică şi admite o dezvoltare în serie Fourier dacă,
K.,2,1,0nyy ),nTt()t( ±±== +
în care: estef2,perioadaeste2T π=ωωπ= pulsaţia, f – frecvenţa.
153
Funcţiile periodice care satisfac condiţiile lui Dirichlet se reprezintă pe intervalul unei perioade prin seria:
∑∑∞
=
∞
=
ωω+= +1k
mk1k
mk0 tksinBtkcosAA)t(y , (7.1)
numită serie Fourier sau serie trigonometrică. Termenii şi tcosA 1m ω tsinB 1m ω pentru k =1, se numesc fundamentale în
cosinus, respectiv în sinus, iar tkcosAmk ω şi tksinBmk ω pentru , sunt armonici de ordinul k în cosinus, respectiv în sinus, iar termenul A
2k ≥0 este componenta continuă.
Dacă se multiplică ambii membri ai dezvoltării (7.1) cu , respectiv cu şi se integrează pe o perioadă sau pe un număr întreg de perioade, se obţin
amplitudinile armonicilor de ordin k în cosinus, , respectiv în sinus, :
tkcos ωtksin ω
mkA mkB
∫
∫
=ω=
=ω=
T
0
mk
T
0
mk
...,2,1k;tdtksin)t(yT2B
...,2,1k;tdtkcos)t(yT2A
(7.2)
Calculând valoarea medie a funcţiei y(t) pe o perioadă, se obţine componenta continuă:
∫=T
0
0 dtyT1A )t( . (7.3)
Amplitudinile şi componenta se numesc şi coeficienţi Fourier. mkmk B,A 0AÎn studiul circuitelor electrice în regim periodic permanent se utilizează şi
următoarea formă a dezvoltării în serie Fourier a unei funcţii periodice:
)tksin(Y2YyYy k1k 1k
k0k0 )t()t( γ+ω+=+= ∑ ∑∞
=
∞
=
(7.4)
în care Y0 este componenta continuă şi yk(t) este armonica de ordinul k, având valoarea efectivă Yk şi faza iniţială γk ( redusă la intervalul ],[ ππ− ).
Identificând expresiile dezvoltărilor (7.1) şi (7.4), rezultă următoarele relaţii între coeficienţii Fourier ai celor două serii:
.BAarctg;BAY2;AY
mk
mkk
2mk
2mkk00 =γ+== (7.5)
În electrotehnică, unde perioadei T îi corespunde unghiul π2 şi faza se notează cu tω=α , seria Fourier se scrie sub forma
∑∑∞
=
∞
=
α+α+=α1k
k1k
k0 ksinB2kcosA2A)(y , (7.6)
în care: ;dy1B2;dkcosy1A2;dy21A
2
0k
2
0k
2
00 ksin)()()( ∫∫∫
πππααπ=ααπ=απ= ααα (7.7)
respectiv, ∑∞
=
γ+α+=α1k
kk0 ,)ksin(Y2Y)(y (7.8)
cu: 2k
2kk00 BAY;AY +== şi
k
kk B
Aarctg=γ . (7.9)
154
7.2.2. Forme particulare ale dezvoltării în serie Fourier Examinând graficul funcţiei )(y α se pot stabili eventualele simetrii ale curbei
care simplifică calculul coeficienţilor Fourier, în sensul că anumite armonice ar putea lipsi din dezvoltare. Se prezintă în continuare câteva exemple.
Funcţia pară Curba este simetrică faţă de axa ordonatelor )(y α )(y)(y α−=α (fig. 7.1), iar
seria conţine componenta continuă şi armonicile în cosinus (Bk = 0). Într-adevăr, deoarece α−=α−α=α− ksin)ksin(,kcos)kcos( , avem:
∑ ∑
∑ ∑∞
=
∞
=
α−α
α+
k 1kkk
k 1kkk
,ksinB2kcosA
;ksinB2kcos
∞
=
∞
=
+=α−
+=α
10
10
2A)(y
A2A)(y
α
y
2π 0Fig. 7.1. Funcţia pară (exemplu).
de unde rezultă ∑∞
=
=1k
kB2 02 s 0au Bk = şi
seria devine:
∑∞
=
α+=α1k
k0 kcosA2A)(y . (7.10)
Funcţia impară Curba este simetrică faţă de origine )(y α )(y)(y α−−=α (fig. 7.2) şi în dezvoltare
apar numai armonicele în sinus ( )0A,0A . Aceasta rezultă din identitatea: k0 ==
∑ ∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
α
=
∞
=
α−α+−=α+α+1k 1k 1k 1k
kk0kk0 )ksinB2kcosA2A(ksinB2kcosA2A .
Prin identificare rezultă iar dezvoltarea în seria este
forma:
,0=A0
,0Ak =y
αα1
Fig. 7.2. Funcţia impară (exemplu).
0–α1
.ksinB2)(y1k
k∑∞
=
α=α (7.11)
Funcţia alternativ simetrică
Curba simetrică faţă de abscisă după suprapunerea semiperioadelor se defineşte prin relaţia
)(y α)(y)(y π+α−=α (fig. 7.3). Seria conţine numai armonici impare în
sinus şi cosinus 0B,0A,0A k2k20 === .
∑ ∑∞
=
∞
=
π+α−π+α−−=π+α−1k 1k
kk0 )kksin(B2)kkcos(A2A)(y .
Dacă : ν= 2k
,2sinB2
2cosA2A)(y
12
120
∑∑
∞
=νν
∞
=νν
να+
+να+=α
0 α
y
Fig. 7.3. Funcţia alternativ simetrică (exemplu).
155
∑∑∞
=νν
∞
=νν να−να−−=π+α−
12
120 2sinB22cosA2A)(y .
Prin identificare rezultă: 0B,0A,0A 220 === νν . Dacă α+ν= 2k :
.)12sin(B2)12cos(A2A)(y
;)12sin(B2)12cos(A2A)(y
012
0120
0 012120
∑∑
∑ ∑∞
=ν+ν
∞
=ν+ν
∞
=ν
∞
=ν+ν+ν
α+ν+α+ν+−=π+α−
α+ν+α+ν+=α
Se obţine: 0B,0A,0A 12120 ≠≠= +ν+ν . Deci, în final, seria se scrie:
∑ ∑∞
=ν
∞
=ν+ν+ν α+ν+α+ν=α
0 01212 )12sin(B2)12cos(A2)(y . (7.12)
Funcţia alternativ simetrică pară posedă simetrie faţă de abscisă după supra-punerea semiperioadelor şi simetrie faţă de ordonată ca în exemplul din figura 7.4:
şi . )(y)(y π+α−=α )(y)(y α−=αSeria conţine numai armonice impare
în cosinus.
y
α+ν=α ∑∞
=ν+ν
012 )12cos(A2)(y (7.13)
Funcţia alternativ simetrică impară are simetrie faţă de abscisă după supra-punerea semiperioadelor şi simetrie faţă de origine: )(y)(y π+α−=α şi . )(y)(y α−−=αSeria conţine numai armonice impare în sinus:
.)12sin(B2)(y1
12∑∞
=ν+ν α+ν=α (7.13)
7.2.3. Seria Fourier complexă O funcţie periodică reală care admite o dezvoltare în serie Fourier de forma: )t(y
∑ ∑∞
=
∞
=
ω+ω+=1k 1k
mkmk0 tksinBtkcosAA)t(y (7.14)
se poate scrie şi ca sumă a unei serii cu termeni complecşi. Dacă se dă lui k valoarea zero şi valori negative, coeficienţii Fourier devin:
.BtdtkyT2B;AtdtkcosyT
2Akk
;0B;A2dtyT2A0k
mk
T
0
k,mmk
T
0
k,m
0m0
T
0
0m
sin)t()t(
)t(
−=ω−==ω=⇒−→
===⇒=
∫∫
∫
−−
Se observă că este o funcţie pară de k, iar o funcţie impară de k. Avem
deci mkA mkB
mkk,mmkk,m0m
0 AA,BB,2AA şi seria (7.14) se poate aduce la forma: =−== −−
.)tksinBtkcosA(21)t(y
kmkmk∑
+∞
−∞=
ω+ω= (7.15)
2π 0 α
Fig. 7.4. Funcţia alternativ simetrică impară.
156
Într-adevăr, pentru: 0k > – se obţin jumătate din termenii seriei (7.14);
0k = – rezultă termenul liber al seriei, 00m AA21 = ;
0k < – se obţine cealaltă jumătate a termenilor seriei (7.14). Înlocuind funcţiile sinus şi cosinus cu relaţiile lui Euler:
,2eetkcos;j2
eetksintjktjktjktjk ω−ωω−ω +=ω−=ω
seria (7.15) devine:
∑+∞
−∞=
ω−ω ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−=
k
tjkmkmktjkmkmk e4jBAe4
jBA)t(y . (7.16)
Deoarece pentru se obţin aceleaşi valori ca pentru , se pot restrânge termenii seriei şi se obţine:
0k < 0k >
∑+∞
−∞=
ω−=k
tjkmkmk e2jBA)t(y sau ∑
+∞
−∞=
ω=k
tjkmkeC)t(y , (7.17)
unde, ∫ ω−=−=T
0
tjkmkmkmk dteyT
12
jBAC )t( (7.18)
se numeşte amplitudine complexă spectrală. Amplitudinile armonicilor unui semnal sunt dublul amplitudinilor complexe
spectrale. Într-adevăr:
.C2Y22Y2
2BACC mkk
k2mk
2mk
mkmk =⇒=+== (7.19)
7.2.4. Spectrul de frecvenţă al unei mărimi periodice Graficul amplitudinilor kY2 ale armonicilor unei funcţii periodice cu dezvolta-
rea în serie de forma
∑∞
=
γ+ω+=1k
kk0 )tksin(Y2Y)t(y ,
conţine în planul ),Y2( ω segmente proporţionale cu amplitudinile kY2 şi se numeşte spectru de frecvenţă (fig. 7.5,a). Spectrul funcţiilor periodice este un spectru discret.
Din cunoaşterea spectrului de frecvenţă nu e posibil să se deducă dezvoltarea în serie, deoarece spectrul de frecvenţă se referă exclusiv la amplitudinile armonicilor şi fundamentalei, dar nu indicaţii asupra unghiurilor de fază. Dacă se dă şi spectrul de frecvenţă al fazelor iniţiale (fig. 7.5,b), seria Fourier este univoc determinată.
0 ω 2ω
3ω 4ω
0Y2
ω
1Y2
2Y2
3Y2 4Y2
Y2
. . . 0 ω
2ω3ω 4ω ω
γ4 γ3
γ2
γ1
γ
. . .
b)a) Fig. 7.5.
157
7.2.5. Proprietăţi ale mărimilor periodice Valoarea medie a produsului a două armonici.
Fie funcţiile periodice nesinusoidale:
.)tksin(I2II
;)tksin(U2UU
1k 1kkk00
1k 1kkk00
∑ ∑
∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
β+ω+=+=
α+ω+=+=
(t)i(t)
(t)(t)
k
k
i
uu
Valoarea medie a produsului armonicilor şi este: (t)mu (t)ni
( ) ( )∫
∫∫β+α+ω+−β−α+ω−=
=β+ωα+ω==
T
0
nmnmnm
T
0
nmnm
T
0
mm
dt]tnmcos[)]tnmcos[TIU
dt)tnsin()tmsin(IUT2
T1~
dtiuiu nn
Dacă armonicile sunt de acelaşi ordin, knm == , valoarea medie este
( ) ( )[ ] ( kkkk
T
0
kkkkkk
kk cosIUdttk2coscosTIU )
~β−α=β+α+ω−β−α= ∫iu (7.20)
şi este nulă dacă nm ≠ .
Valoarea efectivă a unei mărimi periodice se defineşte prin relaţia:
∫=T
0
2 dtyT1Y )t( (7.21)
Înlocuind funcţia cu dezvoltarea sa în serie, se obţine: )t(y
.yyy~Y2YdtyyT1
dt)t(y)t(yTYdtYT
1dt])t(yY[])t(yY[T1Y
1m 1m 1nnmm0
20
T
01m 1n
nm
T
01n 1m
mn0
T
0
20
1mm0
T
0 1nn0
2
~∑ ∑∑∫ ∑∑
∫ ∑ ∑∫∑∫ ∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+⋅+=+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=+⋅+=
Deoarece, , , rezultă: ∑∞
=
=1m
m 0y~ ∑∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
==1m 1n 1n 1n
2n
2nnm Yy~yy
~
2d
21
20
2n
22
21
20 YYY...Y...YYYY ++=+++++= (7.22)
unde Yd se numeşte reziduul deformant, dat de valoarea efectivă a armonicelor de ordin superior :)2k( ≥
....Y...YYYY 2n
24
23
22d +++++= (7.23)
Astfel, pentru tensiune şi curent cu dezvoltările
( ) ( ),tnsinI2I,tnsinU2U1n 1n
nn0nn0 ∑ ∑∞
=
∞
=
β+ω+=α+ω+= (t)(t) iu
valorile efective sunt ,IIII,UUUU 2
d21
10
2d
21
20 ++=++=
unde rezidiurile deformante ale tensiunii şi curentului sunt:
....I...III;...U...UUU 2d
23
22d
2n
23
22d ++++=++++=
158
Factor de vârf, factor de formă şi coeficient de distorsiune. Factorul de vârf al unei funcţii periodice alternative , simetrice sau
antisimetrice, vk )t(y
)2/Tt(y)t(y +−= , se defineşte prin raportul dintre valoarea de vârf şi valoarea efectivă:
2d
21
maxv YY
YYyk
+== . (7.24)
Factorul de formă al unei funcţii periodice alternative se defineşte prin raportul dintre valoarea efectivă Y şi valoarea medie pe o jumătate de perioadă:
fk
0
y
tt0
YefYmax
∫+= 2/Tt
t
f 0
0
dt)t(yT2
Yk (7.25)
în care t0 este momentul trecerii prin zero a funcţiei cu valori crescătoare (fig. 7.6). )t(y Fig. 7.6.
Coeficientul de distorsiune al unei funcţii periodice se defineşte prin raportul dintre rezidiul deformant Y şi valoarea efectivă a componentei alternative:
dk )t(yd
...Y...YY
...Y...YYYY
Yk 2n
22
21
2n
23
22
20
2d
d ++++++++
=−
= (7.26)
Coeficientul este pozitiv şi subunitar. Dacă dk %)5(05,0kd ≤ tensiunile şi curenţii periodici pot fi aproximaţi sinusoidali.
În cazul mărimilor sinusoidale: 11,122
kf =≈π= ; 0k;2k dv == .
7.3. PUTERI ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL Puterea instantanee p a unui dipol sub tensiune nesinusoidală la borne u(t) şi
parcurs de curentul nesinusoidal i(t),
∑ ∑
∑∑∞ ∞
∞∞
β+ω+=+=
α+ω+=+=
1 1nn0n0
1nn0
1n0
)tnsin(I2I)t(iI
)tnsin(U2U)t(uU
(t)
(t)
i
u
se defineşte prin produsul uip = . Puterea activă P este media pe o perioadă a puterii instantanee:
]W[,cosIUIU~P1k
kkk00~
∑∞
=
ϕ+=== uip (7.27)
în care kkk β−α=ϕ este defazajul dintre armonicile de tensiune u şi de curent . k kiÎn regim periodic nesinusoidal, puterea activă este egală cu suma dintre puterea
de curent continuu şi suma puterilor active ale armonicilor. 00IUPuterea reactivă Q este egală cu suma puterilor reactive ale armonicilor:
∑∞
=
ϕ=1k
kkk ]VAR[,sinIUQ (7.28)
159
Puterea aparentă S se defineşte prin produsul valorilor efective ale tensiunii U şi curentului I:
]VA[UIS= (7.29) În regim nesinusoidal 222 QPS +≠ . Puterea deformantă D este definită de relaţia:
222 QPSD −−= [VAD] (7.30) Prin analogie cu unităţile celorlalte puteri, profesorul român C-tin Budeanu a
propus unitatea de măsură numită VAD (volt – amper – deformant) pentru puterea deformantă. Înlocuind S, P, Q în relaţia de definiţie a puterii deformante D, se obţine:
( )[ ]∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑∑∑∑∑
∞
<
∞
≠
∞∞ ∞
≠
∞
<
∞
<
∞∞∞∞∞
ϕ−ϕ−+=ϕϕ−
−ϕ−ϕϕ−ϕ−+
++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
nm1
nmnmnm2m
2n
2n
2m
nm1
nmnmnm
1m
22m
2m
1nm
1nmnmnmm
22m
2m
nm1
2m
2n
nm1
2n
2m
1
2m
2m
2
1nnn
2
1mmm
1
2n
1
2m
2
cosIIUU2IUIUsinsinIIUU2
sinIUcoscosIIUU2cosIUIU
IUIUsinIUcosIUIUD
Expresia puterii deformante se aduce la forma:
( )∑∞
<
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ−ϕ+−=
nm1
nm2nmnm
2mnnm 2sinIIUU4IUIUD (7.31)
Puterea deformantă se anulează dacă se realizează condiţiile:
.ttancons.....;ttanconsIU.....I
UIU
n21n
n
2
2
1
1 =ϕ==ϕ=ϕ==== (7.32)
Factorul de putere în regim nesinusoidal este definit prin relaţia: pk
222p DQPP
SPk
++== (7.33)
şi poate fi subunitar chiar când puterea reactivă este nulă. Dacă , ca urmare a unghiurilor de defazaj 0Q= nϕ pozitive şi negative, puterea
deformantă poate fi nenulă şi kp < 1; dacă, în plus, .1kşi0D;0Q0 pn ===⇒=ϕ Rezultă deci că, în general, anularea puterii reactive nu îmbunătăţeşte factorul de
putere la valoarea unu ca în regim sinusoidal. Este posibil chiar, ca prin reducerea puterii reactive să crească şi mai mult puterea deformantă şi în consecinţă factorul de putere rezultă înrăutăţit. În regim nesinusoidal introducerea de condensatoare poate înrăutăţi factorul de putere.
pk
Prin introducerea unei noi puteri – puterea complementară Qc – dată de relaţia 22
c DQQ += , (7.34) expresia factorului de putere kp se pune sub o formă similară celei din regim sinusoidal:
2c
2p QPPk+
= . (7.35)
Pentru îmbunătăţirea factorului de putere în regim nesinusoidal este necesară reducerea puterii complementare Qc.
160
7.4. ANALIZA CIRCUITELOR LINIARE ÎN REGIM PERMANENT PERIODIC NESINUSOIDAL Fiind daţi parametrii circuitului şi tensiunile nesinusoidale aplicate la borne,
analiza constă în determinarea curenţilor care se stabilesc în fiecare latură de circuit. În circuitele liniare e valabil principiul suprapunerii efectelor. Descompunând
t.e.m. nesinusoidale (cu ajutorul seriei Fourier) în componenta continuă şi în armonici (componente sinusoidale), se reduce studiul regimului periodic nesinusoidal la:
a) studiul unui regim de curent continuu pentru componenta continuă (termenul liber al seriei Fourier);
b) studiul unor regimuri sinusoidale pentru fiecare armonică de pulsaţie . ωk
În analiza circuitelor se poate utiliza reprezentarea în complex pentru fiecare armonică, observând că la frecvenţa ωk a armonicii k, reactanţele condensatoarelor vor
fi de k ori mai mici, Ck1X kC ω= , iar ale bobinelor de k ori mai mari, , decât
cele pentru fundamentală. Pentru fiecare armonică, studiul se poate face cu metodele de analiză cunoscute de la regimul permanent sinusoidal.
LkXLk ω=
7.4.1. Circuite simple cu elemente liniare în regim nesinusoidal Se presupun succesiv circuitele liniare cu rezistor ideal, bobină ideală şi
condensator ideal sub tensiune nesinusoidală, având componenta continuă nulă:
∑ ∑∞ ∞
α+ω==1 1
kk )tksin(U2(t)(t) kuu (7.36)
şi coeficientul de distorsiune
...U...UU
...U...UUUUk 2
k22
21
2k
23
22d
du++++++++== , (7.37)
Se va determina curentul i(t),
∑ ∑∞ ∞
ϕ−α+ω==1 1
kkk )tksin(I2(t)(t) kii , (7.38)
coeficientul de distorsiune,
...I...II
...I...IIIIk 2
k22
21
2k
23
22d
di++++++++== (7.39)
\şi puterile absorbite.
a) Rezistorul ideal
Ecuaţia caracteristică a circuitului cu rezistor liniar ideal fiind iRu= , rezultă:
∑ ∑∞ ∞
==1 1
kRU2R
(t)(t) kui α+ω k)tksin(
u
i u
0
u,i i
t
R (7.40) Comparând cu ecuaţia (7.38), rezultă valorile efective şi defazajul armoni-celor de curent:
Fig. 7.7.
161
.0;RUI k
kk =ϕ= (7.41)
Coeficientul de distorsiune al curentului este:
du
1
2k
2k
2k
12
2k
22
2k
di kU
U
RURU
k ===
∑
∑
∑
∑∞
∞
=∞
∞
. (7.42)
Rezistorul nu modifică forma curbei curentului faţă de forma curbei tensiunii (fig. 7.7). Puterile sunt:
.PS;0Q;0D;0Q;RIRIRUcosIUP c
1k 1k 1k
22k
2k
kkk =======ϕ=∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
(7.43)
b) Bobina ideală
Din expresia căderii inductive de tensiune pe bobina liniară, dtdiu L= , se deduce:
∑∫∞ π−α+ωω==1
kk )2tksin(Lk
U2L1 udti(t) (7.44)
Valorile efective şi defazajele armonicilor de curent rezultă deci:
.2;LkUI k
kk
π=ϕω= (7.45)
Deoarece,
0LkUlim k
k=ω∞→
(7.46)
urmează că armonicele de curent contribuie cu atât mai puţin la modificarea formei curbei curentului faţă de cea a tensiunii cu cât ordinul armonicii este mai mare; bobina ideală reduce distorsiunea curentului.
du
22
2k2
1
22
2k
1
2k
2
2k
di k
kUU
kU
LkU
LkU
k <+
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ω
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ω
=
∑∑
∑
∑∞
∞
∞
∞
(7.46)
Puterile electrice în cazul bobinei ideale (fără pierderi) sunt:
.SDQQ;QSD;UIS;LIksinIUQ;0P 22c
1 1
222kkkk =+=−==ω=ϕ== ∑ ∑
∞ ∞
(7.47)
c) Condensatorul ideal
Din ecuaţia tensiunii, ∫= idtu , se deduce intensitatea curentului, C1
∑∞
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π+α+ωω==
1kk 2tksinCUk2C dt
dui(t) (7.48)
şi deci, valoarea efectivă şi defazajul armonicelor de curent la condensator sunt:
.2;CUkI kkkπ−=ϕω= (7.49)
u,i u
t 0
Fig. 7.8.
i i
u L
162
Deoarece, u,i ∞=ω=
∞→∞→ kkkkCUklimIlim (7.50)
urmează că armonicele de curent con-tribuie cu atât mai mult la modificarea formei curentului faţă de cea a tensiu-nii cu cât ordinul lor este mai mare.
( )
( )du
2
2k
221
2
2k
2
1
2k
2
2k
di kUkU
Uk
CUk
CUkk >
+=
ω
ω=
∑
∑
∑
∑∞
∞
∞
∞
. (7.50)
Condensatorul liniar determină o deformare mai pronunţată a curbei curentului faţă de cea a tensiunii (fig. 7.9).
Puterea activă este nulă, P =0, iar celelalte puteri sunt:
( )( ).....II...UUS;SQ;QSD
;kUCCUksinIUQ
22
21
22
21c
22
1k 1k 1k
2k
2kkkk
++++==−=
ω−=ω−=ϕ=∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
= (7.51)
d) Circuitul RLC serie sub tensiune nesinusoidală
Din ecuaţia circuitului (fig. 7.10),
∫idtC1++= dt
diLRiu , (7.52)
rezultă, în baza teoremei superpoziţiei, că armonica de ordin k a tensiunii stabileşte armonica de ordin k a curentului i soluţie a ecuaţiei (t)ku (t)k
∫+ dtiC1
k+= dtdiLRiu k
kk , (7.53)
adică:
( kk22
k tksin
Ck1LkR
U2 ϕ−α+ω⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+=(t)ki ) (7.54)
în care:
o RCk
1Lkarctgk
ω−ω=ϕ – defazajul armonicelor de ordinul k;
o 2
2k Ck
1LkRZ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+= – impedanţa circuitului RLC serie la pulsaţia k ;ω
o 2
2
kk
Ck1LkR
UI⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+= – valoarea efectivă a armonicii de ordin k a
curentului. Expresia curentului este deci de forma:
t
u
0
Fig. 7.9.
i
i
u C
L
R
C
u
i
Fig. 7.10.
163
( )∑∑∞∞
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ω−ω
−α+ω
ω−ω+==
1k2
2
n
1R
Ck1Lk
arctgtksin
Ck1LkR
U2(t)(t) kii . (7.55)
În regim nesinusoidal, rezonanţa intervine pentru armonica de ordinul k dacă este satisfăcută ecuaţia:
0Ck1Lk =ω−ω . (7.56)
La L,C şi ω daţi, ordinul k al armonicii pentru care circuitul este în rezonanţă rezultă din relaţia:
LC1k
ω= . (7.57)
e) Teoremele lui Kirchhoff în regim periodic nesinusoidal.
Ecuaţiile corespunzătoare celor două teoreme ale lui Kirchhoff pentru regimul periodic nesinusoidal, în forma topologică, se scriu:
0]I[)s(j 1k
0j =+∑ ∑∈
∞
=
(t)jki , s = 1, 2, … , n –1; (7.58)
, m = 1, 2, … , l – n +1. (7.59) 0]U[]m[j 1k
j0 =+∑ ∑∈
∞
=
(t)jku
În regim nesinusoidal, pentru circuitele liniare, teoremele lui Kirchhoff se pot scrie separat pentru componentele continue şi separat pentru fiecare armonică, astfel:
s = 1, 2, ….. , n – 1; (7.60) ;,...,2,1kpentru0)t(i,0I)s(j
jk)s(j
j0 ∞=== ∑∑∈∈
; m = 1, 2, ….. , l – n +1. (7.61) ∞=== ∑∑∈∈
,...,2,1kpentru0,0U]m[j
jk]m[j
j )t(0 u
7.4.2. Circuite liniare trifazate echilibrate sub tensiuni simetrice nesinusoidale
Fie sistemul trifazat simetric caracterizat de mărimile
)t(y)t(y,)t(y)t(y,)t(y)t(y3T2
3T
321 −=−== , (7.62)
periodice, nesinusoidale, de succesiune directă (fig. 7.11). Dezvoltările în serie Fourier ale mărimilor de forma 321 y,y,y
∑
∑
∑
∞
∞
∞
π−γ+ω=
π−γ+ω=
γ+ω=
1kk3
k1
k2
1kk1
)34ktksin(Y2)t(y
)32ktksin(Y2)t(y
)tksin(Y2)t(y
0 t
y3 y2 y1
(7.63)
pun în evidenţă următoarele proprietăţi: Fig. 7.11.
164
Armonicile de ordinul ν= 3k sunt în fază (sinfazice) şi alcătuiesc sisteme omopolare
)t3sin(Y2)343t3sin(Y2y
)t3sin(Y2)323t3sin(Y2y
)t3sin(Y2y
33333,3
33333,2
333,1
ννννν
ννννν
ννν
γ+νω=πν−γ+νω=
γ+νω=πν−γ+νω=
γ+νω=
(7.64)
Armonicele de ordin 13k +ν= alcătuiesc sisteme de succesiune directă
( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
γ+ω+ν=
πγ+ω+νπ+νγ+ω+ν
πγ+ω+νπ+νγ+ω+ν
−=−=
−=−=
+ν+ν+ν+ν+ν
+ν+ν+ν+ν+ν
+ν+ν+ν
34t13sinY23
413t13sinY2
32t13sinY23
213t13sinY2
1313131313,3
1313131313,2
131313,1
y
y
t13sinY2y
(7.65) Armonicele de ordin 23k +ν= alcătuiesc sisteme de succesiune inversă
( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ]3
2t23sinY23423t23sinY2
34t23sinY23
223t23sinY2y
t23sinY2
23232323
2323232323,2
232323,1
23,3y
y
π−γ+ω+ν=π+ν−γ+ω+ν=
π−γ+ω+ν=π+ν−γ+ω+ν=
γ+ω+ν=
+ν+ν+ν+ν
+ν+ν+ν+ν+ν
+ν+ν+ν
+ν
(7.66) Y3v
a) Circuitul în conexiunea stea fără fir neutru.
Din relaţia: în care: 0321 =++ iii
( )
( )
( )∑
∑
∑
∞
+ν+νν
∞
+ν+νν
∞
+ν+νν
++=
++=
++=
0
23,313,33,33
0
23,213,23,22
0
23,113,13,11
iiii
iiii
iiii
rezultă: ( )1
=+++
(7.67)
0=+ ∑∞
3,3ν2,3ν1,3ν1 iiii . (7
Prin urmare, curenţii de linie nu conţin armonicile trei şi multiplu dDeoare
32 ii .68)
e trei. ce în reţelele electrice de frecvenţă industrială (50Hz), curenţii şi tensiunile
conţin numai armonici impare, valoarea efectivă a curentului de linie are expresia:
...IIIII 2222 ++++= . (7.69) 11751l
Fig. 7.12.
Y1,3v +1
Y3,3v +1 Y2,3v +2Y1,3v +2
Y3,3v +2Y2,3v +1
(1) i1
u12
u23u31
i2
i3
(2)
(3)
(N)
iN
Fig. 7.13.
165
Analog, se demonstrează că tensiunile de linie nu conţin armonimultiplu de trei, ci restul armonicelor impare.
cele trei şi
Tensiunile de fază conţin toate armonicele impare şi au valoarea efectivă:
...UUUUUUU 211
29
27
25
23
21f ++++++= . (7.70)
Rezultă imediat, că în regim nesinusoidal, faţă de regimul sinusoidal, valorile efective i ale tensiunilor de linie şi de fază nu mai satisfac aceeaşi relaţie, c
fU3U <l (7.71)
respectiv, 211
25
2 U++ . 271
21
27
25
21 UUU3...UUUUU +=++++= 1llll
b) Circuitul în conexiunea stea cu fir neutru.
Curentul prin firul neutru 321N iiii ++= rezultă: ∞
( ) .3∑=+= 3,3νN ii11
∑∞
+ 3ν2,3ν1,3ν iii (7.72)
Prin urmare, conductorul neutru este parcurs de uarmonicile trei
triunghi.
ghiului este dată de suma tensiunilor la bornele latu
[
( ) (
( ) .31 1
0
∑ ∑
∑
∞ ∞
+++
++
=++=
=++++++
+++=
3ν31,3ν23,3ν12,3ν
231,3ν131,3ν31,3ν223,3ν123,3ν23,3ν
212,3ν112,3ν12,3ν31
uuuu
uuuuuu
uuu
Deci, această tensiune conţine numai armo-nicile trei
triunghiului fiind egale cu suma nsiunile la bornele laturilor vor
en
n curent ce conţine numai şi multiplu de trei.
b) Circuitul în conexiunea
Tensiunea Γu în lungul laturilor triunrilor:
∞
++= 2312Γ uuuu ( )
)]
)73.7(
+
şi multiplu de trei. Tensiunea Γu stabileşte un curent de circu-
laţie care va conţine numai armonici multiplu de trei. Căderile de tensiune pe fiecare din laturile
căderilor de tensiune ale armonicelor de curent, teconţine armonicile multiplu de trei.
Înfăşurările alternatoarelor (generatoarelor) trifazate se conectează în stea, evitându-se conexiunea în triunghi din cauza curentului de circulaţie Γi care ar încălzi înfăşurările chiar şi când alternatorul funcţionează în gol.
Curentul de linie, obţinându-se prin diferenţa a doi cur ţi din laturile triunghiului, nu va conţine armonici multiplu de trei.
Valorile efective ale curenţilor de fază (din laturile triunghiului) fI şi de linie lI , fiind date de relaţiile
;...IIIIIII 222222 ++++++= (7.7 ) 1197531f 4
,...II 211 (7.75) II3...IIIII 2
725
21
21
27
25
21 ++++=++++= lll1l
rezultă inegalitatea: fI3I <l .
Fig. 7.14.
(7.76)
(1)
i12
i23
i31
(2)
)
i2
u12
u23u
i1
uΓ
31
i3 (3
166
8. REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE
8.1. CONSIDERAŢII GENERALE Spre deosebire de regimul permanent, în care tensiunile şi curenţii sunt mărimi
constante (cazul circuitelor de curent continuu), sau variabile în timp cu amplitudini constante (cazul circuitelor de curent alternativ), regimul tranzitoriu este un regim nestaţionar corespunzător trecerii circuitelor de la un regim permanent, la alt regim permanent. Durata regimului tranzitoriu este teoretic infinită; practic însă această durată se apreciază de ordinul sutimilor, zecimilor şi unităţilor de secundă şi, foarte rar, de ordinul minutelor.
Regimurile tranzitorii pot fi întâlnite la închiderea sau deschiderea unor întrerupătoare care alimentează circuitul considerat sau în cazul în care parametrii circuitului (R, L, M, C) variază brusc datorită unor condiţii speciale de lucru sau unor avarii (scurtcircuite, întreruperi).
Circuitele liniare şi invariabile în timp (cu parametrii constanţi) sunt descrise de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. După cum se ştie, soluţia generală a unor astfel de ecuaţii se poate scrie sub forma unei sume de două soluţii şi anume
)t(y)t(y)t(y f+= l , (8.1) în care:
• este soluţia generala a ecuaţiei diferenţiale date, obţinute prin anularea termenului liber al acesteia (soluţia ecuaţiei omogene) şi se numeşte soluţie de regim liber sau componentă liberă.
)t(y l
• este o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale a circuitului – numită soluţie de regim forţat sau componentă forţată.
)t(yf
În teoria circuitelor electrice se folosesc noţiunile de componentă tranzitorie şi componentă permanentă.
În mod obişnuit prin componentă permanentă yp se înţelege expresia soluţiei generale y(t) pentru t → ∞.
Folosirea acestor denumiri este potrivită dacă semnalul excitaţie (tensiune sau curent) acţionează un timp relativ îndelungat faţă de intervalul de timp cât există şi componenta liberă. În aceste condiţii, componenta liberă e potrivit să se numească componenta tranzitorie ytr, deoarece este vorba de o componentă de scurtă durată, respectiv trecătoare. În regim tranzitoriu sunt prezente ambele componente, deci semnalul răspuns va fi de forma:
)t(y)t(y)t(y ptr += (8.2)
167
După un interval de timp după care componenta tranzitorie ytr(t) poate fi neglijată (se consideră practic nulă), rămâne numai componenta permanentă y(t) = yp(t); regimul se numeşte regim permanent.
Studiul circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu constă în determinarea tensiunilor şi curenţilor tranzitorii din circuit, fie prin metoda rezolvării directe a ecuaţiilor integro-diferenţiale care caracterizează circuitul, fie prin metode operaţionale, mult mai eficiente, care folosesc transformările Laplace şi Fourier.
8.2. COMUTARE. TEOREMELE COMUTĂRII. Operaţia prin care se generează apariţia unui regim tranzitoriu poartă
denumirea de comutare (comutaţie). În general, prin comutare se înţelege introducerea sau extragerea dintr-un circuit a unor elemente active sau pasive. La baza analizei circuitelor liniare în regim tranzitoriu stau teoremele comutării, valabile şi pentru circuitele neliniare sau parametrice şi care se sprijină pe considerente energetice.
Prima teoremă a comutării: într-o ramură a unui circuit liniar care conţine bobine, fluxul magnetic şi intensitatea curentului conservă, la comutare, valorile avute în acel moment, variaţiile lor ulterioare începând cu aceste valori iniţiale (fig. 8.1):
)0()0()0(0()0()0(
LLL
LLL ψψψiii =−=+
)=−=+ (8.3)
0
ψL,iL
)0()0()0()0(
LL
LL ψψ−+−+
==ii
t
Dacă la comutare curentul i ar varia prin salt, atunci tensiunea la bornele bobinei
++==+
00 dtdLdt
dψ)0(u LLL
i (8.4) Fig. 8.1.
ar fi nedeterminată, uL(0+) → ∞, ceea ce nu este posibil. uL
De asemenea, o creştere bruscă a intensităţii curen-tului sau a fluxului magnetic ar conduce la o creştere bruscă a energiei câmpului magnetic:
)0()0( LL −≠+ uu
L21L2
1W2L2
Lmψ== i (8.5)
0 tFig.8.2..
încât puterea furnizată de sursă ar rezulta nedeterminată, ceea ce din punct de vedere fizic este lipsit de sens.
Tensiunea la bornele bobinei poate varia prin salt (fig. 8.2).
A doua teoremă a comutării: într-o ramură a unui circuit liniar care conţine condensatoare, sarcina electrică de pe armaturile condensatoarelor şi tensiunile la bornele acestora conservă, la comutare, valorile avute în acel moment, variaţiile lor ulterioare începând cu aceste valori iniţiale (fig. 8.3):
).0(u)0(u)0(u);0(q)0(q)0(q
ccc
ccc
=−=+=−=+
(8.6)
Dacă la comutare sarcina condensatorului sau tensiunea la bornele sale ar varia prin salt, atunci curentul prin condensator
168
++==+
0
c
0
cc dt
duCdtdq)0(i (8.7)
ar fi nedeterminat, ic(0+) → ∞, ceea ce nu este posibil.
O creştere bruscă a tensiunii la bornele condensatorului sau a sarcinii electrice de pe armăturile sale ar implica o creştere bruscă a energiei câmpului electric,
Cq
21Cu2
1W2c2
ce == , (8.8)
încât puterea furnizată de surse rezulta nedeterminată, ceea ce este lipsit de sens din punct de vedere fizic.
Curentul condensatorului poate varia însă prin salt (fig. 8.4). 8.3. ANALIZA CIRCUITELOR LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU PRIN METODA DIRECTĂ 8.3.1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE ORDINUL I Se numesc circuite electrice de ordinul I, acele circuite a căror analiza în regim
tranzitoriu se efectuează integrând ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Cele mai simple circuite din aceasta categorie sunt cele care au în structura lor doar câte un singur element conservativ – o bobină sau un condensator.
8.3.1.1. Circuitul RL serie Ecuaţia circuitului serie cu rezistor ideal şi bobină ideală, RL serie (fig. 8.5),
căruia i se aplică o tensiune oarecare u(t), este:
)t(RdtdL uii =+ (8.9)
În regim tranzitoriu, răspunsul complet al circuitului, i(t), este dat de suprapunerea regimului liber caracteri-zat de componenta tranzitorie, itr = il(t), peste regimul permanent caracterizat de componenta permanentă ip(t):
i(t) = il(t) + ip(t). (8.10)
0
)0()0(
)0()0(
LC
CC
qq −+
−+== uu
t
uC, qC
0
)0()0( CC −≠+ ii
t
iC
Fig. 8.4.Fig. 8.3.
R i
u
K L, iL(0)
e(t)
Fig. 8.5.
169
Regimul liber este caracterizat prin soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene
0RdtdL =+ l
l ii , (8.11)
componenta il(t) fiind numită răspuns liber la excitaţie nulă, datorat exclusiv stării iniţiale.
Regimul permanent este o soluţie particulară a ecuaţiei cu membrul drept, de aceeaşi formă cu semnalul excitaţie u(t) şi dependent numai de acesta, numit răspuns la excitaţie şi stare iniţială nulă.
Ecuaţia caracteristică fiind,
,LRcu,0RL −=λ=+λ⋅ (8.12)
soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene este: tL
R
l e (t)i −= K . (8.13)
Răspunsul complet al circuitului în regim tranzitoriu este:
t e(t) ii L
R
p K −+= . (8.14)
Punând condiţia iniţială, i(0) = i0, conform cu teorema întâi a comutării avem: i0 = ip0 + + K, de unde rezultă K = i0 – ip0. Înlocuind valoarea constantei K în (8.14), rezultă:
t eiiii (t)(t) LR
0p0p )( −⋅−+= (8.15) Mărimea
RL=τ (8.16)
are dimensiunile unui timp şi se numeşte constanta de timp a circuitului RL serie. Răspunsul complet al circuitului în regim tranzitoriu se scrie
τe(t)(t) p0pp iiii /t)( −−+= (8.17) în care:
ip(t) – curentul de regim permanent, are aceeaşi formă de variaţie cu tensiunea aplicată; pentru circuitele liniare se determină cu metodele studiate la circuitele de c.c. sau la cele în regim permanent sinusoidal, dacă tensiunea este continuă, respectiv sinusoidală;
ip0 – valoarea lui ip pentru t = 0, ip0 = ip(0); i0 – curentul prin bobină înainte de comutaţie.
Ca exemplu se consideră regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RL serie la o sursă de tensiune constantă E:
.constEE ==⇒= u(t) e(t)Înainte de comutare, curentul prin bobină se consideră nul, i0 = 0 şi rezultă:
REdeci ,R
E0p p == ii şi τ/t
RE −−= ei(t)l (8.18)
Expresia curentului este:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⋅−= τττ −−− tttttt
eieei (t) 11RE
RE
RE
p (8.19)
170
Tensiunea la bornele bobinei este:
ττ −−=τ==
ttee uu Esau1
RELdt
diL LL (8.20)
RE
0 t
Fig. 8.6.
ip
RE−
il (t)
i(t)
t
E
0
uL (t)
Referindu-ne la constanta de timp τ a circuitului, se observă că tangenta în origine la curba i(t) intersectează dreapta i = ip în punctul A (fig. 8.7). Geometric, rezultă:
τdtditgdar p
0t
i =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=α
=tgAA'OA' , α
=
Cum AA' = ip, rezultă OA' = τ. În punctul A" curentul este
i(t)| t= τ = i(τ) = ip (1– e-1) = 0,632 ip (8.21)
Constanta de timp a circuitului, egală cu subtangenta în origine a curbei curentului, reprezintă timpul după care curentul ar atinge valoarea de regim permanent dacă ar varia cu aceeaşi viteză ca în momentul de imediat după comutare. Altfel spus, constanta de timp a circuitului reprezintă timpul după care curentul creşte la 0,632 din valoarea sa de regim permanent.
Din expresia curentului i = ip(1 – e–t/τ), se observă că din punct de vedere matematic regimul permanent este atins pentru t → ∞, când se anulează teoretic componenta tranzitorie. Practic se consideră că regimul permanent este atins şi deci componenta tranzitorie se anulează, după un timp egal cu (4 ÷ 5)τ.
Inversa constantei de timp, α = 1/τ, se numeşte constantă de amortizare. Cunoscând expresia curentului, se pot
determina şi tensiunile la bornele rezistorului uR şi ale bobinei uL:
ττ −−
−
=τ==
−⋅==
t
τt
E1RELdt
diL
);1(ERi
L
R
ee
e
u
u
t (8.22)
tensiuni reprezentate grafic în figura 8.8. Tensiunea electromotoare indusă (autoindusă)
eL = – uL, este de sens contrar tensiunii la bornele circuitului u = E, respectiv curentului din circuit, opunându-se creşterii acestuia. Valoarea ei maximă eL = – E, este în momentul conectării circuitului.
t
E
0
ip
uR
uL
eL= - uL
E−
i
0
ip
)(τi
τ A
'A
"A
tα
τ
)t(i
Fig. 8.7.
Fig. 8.8.
171
Se presupune acum circuitul RL parcurs de un anumit curent. Interesează regimul care se stabileşte dacă se scurtcircuitează brusc bornele circuitului, odată cu deconectarea sursei (fig. 8.9). Ecuaţia circuitului în acest regim (u = 0) este:
0dtdLR =+ ii (8.23) i R K L, iL(0)
Curentul, neavând altă componentă decât cea tranzitorie (liberă), soluţia ecuaţiei este de forma i = Ke-t/τ , în care τ = L/R. Notând cu i0 curentul la momentul t = 0, rezultă K = i0, astfel că expresia curentului devine: Fig.8.9.
i = i0e-t/τ. (8.24)
t0
Din punct de vedere energetic, se poate spune ca la momentul iniţial exista înmagazinată energia
20L2
1 i în câmpul magnetic al bobinei. În timp
curentul scade exponenţial, el anulându-se atunci când această energie s-a disipat complet pe rezistenţa circuitului:
∫ ∫∞ ∞
τ−==
0 0
t220
220 dteRidtRiLi2
1 (8.25)
Tensiunile la bornele elementelor de circuit sunt:
τt
τt
0L0R RdtdiL;R −− −=== ee iuiu (8.26)
În ce priveşte t.e.m. indusă dtdie LL −= , în acest caz ea acţionează în sens opus
curentului din circuit, opunându-se scăderii acestuia. Curentul scăzând în timp, di < 0, rezultă că 0LL >−= dt
die , deci această t.e.m. acţionează în circuit în sensul tensiunii la
borne, nefiind limitată de valoarea acesteia (ca în cazul conectării circuitului). Aceasta duce la apariţia unei supratensiuni la bornele întrerupătorului.
În condiţii reale, deconectarea unui circuit RL în sarcină ridică unele probleme legate de apariţia între contactele întrerupătorului a unui arc electric cauzat de supratensiunile de autoinducţie şi de tendinţa menţinerii curentului în circuit prin descărcarea energiei înmagazinată în câmpul magnetic al bobinei.
Fig. 8.10
uR
Ri0
uL
–Ri0
172
8.3.1.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RC serie la o sursă de tensiune constantă Se consideră regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RC serie la o sursă de
tensiune constantă, u = E = const. (fig. 8.11). La conectare, ecuaţia circuitului se scrie:
E)0(UdtC1Ri C
t
0
=++ ∫u . (8.27)
Derivând în raport cu timpul, rezultă: idt
di 0C1 =+R
respectiv, 0RC1 =+ idt
di
tKe)t(
(8.28)
Ecuaţia fiind omogenă, curentul are numai componenta tranzitorie dacă tensiunea la borne este invariabilă în timp.
Ecuaţia caracteristică λ +1/RC = 0, având rădăcina λ = –1/RC, soluţia ecuaţiei diferenţiale (8.28) este:
i (8.29) τ−= /
unde, τ = RC (8.30) este constanta de timp a circuitului RC serie.
Considerând în momentul conectării (t = 0) condensatorul neîncărcat, UC(0) = 0 şi ţinând seama că tensiunea la bornele condensatorului nu poate varia prin salt (teorema a doua a comutării), i(0) = I0 = E/R, pentru constanta de integrare rezultă valoarea K = = E/R, astfel că se obţine:
τ−τ− == /t/t eREeI)t( 0i . (8.31)
Tensiunea la bornele condensatorului are atât componenta tranzitorie (uC)tr, cât şi componenta permanentă (uC)p, astfel:
E)e1(dteRCE)0(UC
1)t(u /tt
0
/tC
t
0C
τ−τ−∫∫ −==+= idt (8.32)
E)t(lim)( CtpC ==→∞
uu , τ−⋅−= /ttrC eE)( (8.33) u
i R
u
K
C,UC(0)E
Fig. 8.11.
0 t
E (uC)p
uC
t
iE/R
0
– E
(uC)tr
E
Fig. 8.12.
173
Dacă la t = 0, UC(0) = UC0 ≠ 0, constanta K rezultă:
RUEK 0C−= (8.34)
în care se ţine seama de semnul lui Uc(0). Expresia curentului în acest caz este:
τ−τ− −== /t0C/t0 eR
UEeii(t) (8.35)
Curentul are aceeaşi formă de variaţie cu deosebirea că diferă valoarea iniţială i0. În ceea ce priveste tensiunea la bornele condensatorului, se obtine expresia:
[ ]( ) [ ]
trctrc
/t0C0C
/tt
0
0CCC)()(
EeUEU1eUE)0(UidtC1
uu u +−−=+−−−=+= τ−τ−∫ 44 344 21
(8.35)
Tensiunea uC are ambele componente şi este reprezentată grafic în figura 8.13
Se consideră procesul tranzitoriu la descărcarea condensatorului pe un rezistor. Ecuaţia circuitului în acest caz (fig. 8.14) este:
0UdtC1R 0C
t
0
=−+ ∫ii (8.36)
Prin derivare în raport cu timpul, rezultă:
0RC1 =+ idt
di
τ−= /tKe)t(
(8.37)
cu soluţia i (8.38)
Din condiţiile iniţiale avem: UC(0) = UC0, i(0) = = I0 = UC0/R şi rezultă: K = UC0/R = I0 respectiv,
τ−τ− == /t0C/t eRUeI0(t)i (8.39)
deci curentul are numai componenta tranzitorie. Tensiunea la bornele condensatorului se
determină astfel:
)40.8 (
U 0C
=+
)t(ueU
dteU)0(UidtC1)t(u
R/t
0C
t
0
/tt
0
0CCC
==
=+−=
τ−
τ−∫∫
şi este reprezentată grafic în figura 8.15.
(uC)pE uC E
UC0
0 t(uC)tr
Fig. 8.13.
– E –E+UC0
i
uC+ uR
UC(0)
K
R
Fig. 8.14.
0 t
uC UC0/R
i
UC0
Fig. 8.15.
174
8.3.2. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE ORDINUL II Se numesc circuite electrice de ordinul II, circuitele a căror analiză în regim
tranzitoriu se efectuează integrând ecuaţii diferenţiale de ordinul doi. Circuitele din aceasta categorie conţin în structura lor bobine şi condensatoare.
8.3.2.1. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o sursă de tensiune constantă
Se analizează regimul tranzitoriu la conectarea circuitului liniar serie cu rezistor ideal, bobină ideală şi condensator ideal la o sursă de tensiune continuă u=E (fig. 8.16).
i R
u
L, IL(0)K C,UC (0)
E
Fig. 8.16.
Se presupune condensatorul neîncărcat la momentul iniţial t = 0 şi ţinând seama de prezenţa inductivităţii, condiţiile iniţiale sunt:
i(0) = 0; UC(0) = 0 (8.41) Interesează în mod deosebit expresia curentului din circuit i(t) şi tensiunea la
bornele condensatorului uC(t). Considerând curentul şi ţinând seama de faptul că tensiunea aplicată este
constantă şi de conectarea în serie a condensatorului, rezultă că pentru t → ∞ se obţine i(t) = 0 şi deci, în acest caz, componenta permanentă a curentului este nulă, i = il = itr.
Ecuaţia diferenţială a circuitului se scrie:
EidtC1
dtdiLRi =++ ∫ . (8.42)
Derivând această ecuaţie în raport cu timpul, rezultă:
0iLC1
dtdi
LR
dtid2
2=++ respectiv, 0iC
1dt
idLdtdiR 2
2=++ .
Ecuaţia se pune de obicei sub forma:
0idtdi2
dtid 2
02
2=ω+α+ (8.43)
în care, o L2
R=α – constanta de atenuare (amortizarea circuitului RLC serie);
o LC1
0 =ω – pulsaţia de rezonanţă sau pulsaţia proprie a circuitului RLC serie.
Rădăcinile polinomului caracteristic p(λ) = λ2 + 2αλ + ω02 se numesc pulsaţii
naturale sau frecvente ciclice naturale ale circuitului:
β±α−=ω−α±α−=λ 20
22,1 (8.44)
în care s-a notat cu 20
2 ω−α=β , mărime numită pseudopulsaţia circuitului.
175
În funcţie de valorile lui α şi ω0 se disting patru regimuri de variaţie în timp ale curentului, după cum urmează.
Regimul aperiodic – are loc când
α > ω0, β2 > 0 sau CL2R > . (8.45)
Frecvenţele ciclice naturale λ1, λ2 sunt reale şi negative. Soluţia ecuaţiei (8.42) este de forma:
.0,0;eKeK 21t
2t
121)t( <λ<λ+= λλ i (8.46)
Constantele K1 şi K2 se determină din condiţiile iniţiale (8.41). Astfel, din
KKK,0K K0 2121)0( =−==+⇒= i (8.47)
Din ecuaţia circuitului (8.42), înlocuind pentru t = 0, i(0) = 0, se obţine:
EdtdiL
0t=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
= (8.48)
Efectuând calculul, rezultă:
( ) ( ) LEKL
EKdtdi;eKeKdt
di21
0t
t22
t11
21
β=⇒=λ−λ=λ+λ=
=
λλ (8.49)
Înlocuind constantele K1 şi K2 în (8.45) se obţine expresia analitică a curentului
( ) ( )ttttt eeeL2EeeL2
E 21)t( ββ −α−λλ −=−=ββ
i (8.50)
respectiv, tsheL
E t)t( ββ
α−=i (8.51)
Pentru t = 0, i(0) = 0 şi pentru t → ∞ , i → 0. Curentul creşte de la zero, la t = 0, la o valoare maximă im, la t = tm şi apoi, teoretic, tinde la zero pentru t → ∞ fără să-şi schimbe semnul (fig. 8.17,a).
0 t
im
a)
i
tm 0 +1
+j
λ1 λ2
b) Fig. 8.17.
Frecvenţele ciclice naturale sunt situate în planul complex pe axa reală negativă (fig. 8.17,b).
Timpul tm se determină din condiţia 0dtdi
mtt=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
= respectiv, utilizând rel. (8.50),
( ) 0eeL2E m2m1 t
2t
1 =λ−λ λλ
β şi rezultă:
12
m ln21t λ
λ=β
, (8.52)
iar valoarea maximă a curentului este
176
( )( ) ( )m1m2m21m2m2m1 t
1
2t1ttttm eL
E1eL2EeeL2
E)ee(L2E λλ−λ−λλλλ
ββββ −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −λλ==−=
αi . (8.53)
Tensiunea la bornele condensatorului se calculează astfel:
( ) ( ) ( ) =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −λ−−λ=−== λλλλ
ββ ∫∫ 1e11e1LC2EdteeLC2
EC1 t
2
t
1
t
0
ttt
0C
2121)t( idtu
Ee1e1LC2E t
2
t
1
21 +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
λ−λ= λλ
β (8.54)
în care: EU;e1e1LC2E
p21
tr Ct
2
t
1C =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
λ−λ= λλ
β u .
0 t
E
–EuCtr
uC
UCp
Tensiunea pe condensator uC şi componentele sale liberă sau tranzitorie uCtr. şi permanentă UCp s-au trasat în figura 8.18, ţinând cont de următoarele:
E,ELC2E
t0t C21
12 →−=λλλ−λ=
→∞= βu ,0 .trCC )0( = u u ;
Fig. 8.18..LC12
021 =ω=λλ;221 β=λ−λ
Regimul aperiodic critic – are loc când este satisfăcută condiţia
CL2sau R0β,0 ==ω=α . (8.55)
Frecvenţele ciclice naturale sunt egale şi negative: α−=λ=λ 21 . Curentul, soluţia ecuaţiei (8.42), este de forma:
t2
t1 teKeK)t( α−α− +=i (8.56)
Din condiţia iniţială i(0) = 0 ⇒ K1= 0 şi deci i(t) = Kte-αt. Prima derivată în
raport cu timpul a curentului la t = 0 este K0t=
=dtdi , iar din ec. (8.42) avem: L
E0t=
=dtdi .
Aşadar LEK şi expresia curentului pentru regimul aperiodic critic este: =
tetLE)t( α−⋅= ⋅i (8.57)
Pentru t → ∞, aplicând regula lui l′Hôpital, rezultă i → 0. Curentul are şi în acest caz o variaţie aperiodică, dar mai rapidă, regimul numindu-se aperiodic critic deoarece este la limita dintre regimul aperiodic şi regimul oscilatoriu.
Valoarea rezistenţei CL2R = se numeşte rezistenţă critică.
Momentul tm la care curentul trece prin valoarea maximă im şi această valoare maximă se determină astfel:
e1
LCEeR
E2;RL21t0etL
EeLE0 1
mmt
mt
tt
mm
m
⋅===α
=⇒=α−⇔= −α−α−
=i dt
di (8.58)
Tensiunea la bornele condensatorului se determină după cum urmează:
177
( )[ ] ( )[ ] .Eet111e1etLCE
dte1etLCEdtteLC
E)0(UC1
tt2
t
t
0
tt
0
tt
0
tC
t
0
⋅α+−=−α
−α
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α
+α
−==+=
α−α−α−
α−α−α− ∫∫∫ dtiu (t)C
S-a utilizat metoda de integrare prin părţi şi s-a ţinut cont că LC12
02 =ω=α . Sub forma
EEe)t1( tCCC ptr +α+−=+= α−uuu , (8.59)
sunt evidente componentele tranzitorie şi permanentă ale tensiunii pe condensator. Variaţiile în timp ale curentului şi tensiunii condensatorului sunt asemănătoare
cu cele de la cazul , cu observaţia că în regimul aperiodic critic acestea sunt cele mai rapide (regimul tranzitoriu are durata minimă).
Regimul oscilatoriu amortizat – are loc când este satisfăcută condiţia
CL2sau R0β, 2
0 <<ω<α . (8.60)
Frecvenţele ciclice naturale sunt complexe:
d2d1 j,j ω−α−=λω+α−=λ (8.61) în care s-a notat cu
0L2R
LC1 2
d >⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−=ω (8.62)
pulsaţia sau frecvenţa ciclică proprie a circuitului. Expresia curentului din cazul , rel. (8.46), în acest caz devine:
tsineLEtshjeLj
Ed
t
dd
t
dω
ω=ω
ω= α−α−(t)i . (8.63)
Intensitatea curentului are o variaţie oscilatorie amortizată ca în figura 8.19,a).
b)
i. uC
UCp.
uC
uCtr.
E
–E
00
a) Fig. 8.19.
Tensiunea la bornele condensatorului se determină astfel:
( ) pC
trCUEtcostsineEtdtsine
LCE)0(U
C1
dddt
d
t
0
dt
t
0 dCc
u
idtu +ωω+ωαω
−=ωω
=+= α−α−∫∫44444 344444 21
. (8.64)
(S-a folosit integrala )bxcosbbxsina(baebxsine 22
axax −
+=∫ ).
178
Dacă se fac înlocuirile
,cos,sin ,respectivtg00
dd
ωα
=θωω
=θαω
=θ (8.65)
se obţine: ( )[ ] [ ]=
θωθ+ωθ−=ω+ω
ωα−= α−α− tddt
ddd
C esintcossintsincos1Eetcostsin1E)t(u
( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡ θ+ωω
−= α− tsineLC
11E dt
d. (8.66)
Formele de undă ale tensiunii uc pe condensator şi a componentelor sale perma-nentă, UCp= E şi tranzitorie,
( )θ+ωω
−= α− tsineLC
Eu dt
dC .tr
sunt prezentate în fig.3.19,b).
Pentru t = 0, LCsin)tsin( d0
dd ω=ω
ω=θ=θ+ω şi rezultă: uCtr.(0) = 0, uC.(0) = 0. De ase-
menea, pentru t → ∞, se obţine uC = E. Din figura 3.19,b) se mai observă că, în regim tranzitoriu, la bornele condensatorului apare o supratensiune (uC > E).
Regimul oscilant. În cazul particular (idealizat) în care se consideră R ≈ 0, avem: 0,2
πθ,0L2R ω=ω=≈=α d şi . 0201 j,j ω−=λω=λ Expresiile curentului şi tensiunii
pe condensator rezultă prin particularizarea relaţiilor (8.63) şi respectiv (8.66) pentru condiţiile acestui regim:
( ) Etcos1
tsinC/LEtsinL
E
0
000
C ⋅ω−
ω=ωω
=
=(t)
(t)
u
i (8.67)
i
0
0
E
uC
t
t
Fig. 8.20.
Se obţine în acest caz regimul oscilatoriu neamortizat, curentul în circuit şi tensiunea pe condensator având variaţii sinusoidale neamortizate, însă tensiunea oscilează în jurul valorii mijlocii egale tot cu E (fig. 8.20).
179
8.3.2.2. Regimul tranzitoriu la conectarea circuitului RLC serie la o sursă de tensiune sinusoidală
Se presupune că tensiunea la care se conectează circuitul are o variaţie sinusoidală, deci de forma
)tsin(Um γ+ω=(t)u . (8.68)
Curentul de regim permanent are expresia
)tsin(Im ϕ−γ+ω=(t)pi , (8.69)
în care: RC1Larctg;
)C1L(RUI
22m
mω−ω=ϕ
ω−ω+= .
Expresia curentului în regim tranzitoriu, la conectarea circuitului, este: tt
m 21 eKeK)t(sinI 21λλ ++ϕ−γ+ω=+= trp iii(t) (8.70)
componenta tranzitorie fiind aceeaşi ca în cazul conectării circuitului la o sursă de tensiune constantă, deoarece aceasta nu depinde de felul excitaţiei. Prin urmare, rezultatele din paragraful precedent rămân valabile:
( ) .LC1;LC
1L2
R;L2R;; 0
221 =ω−=β=αβ−α−=λβ+α−=λ
Se consideră condiţii iniţiale nule: i(0) =0; uC(0) =0. Din aceste condiţii rezultă:
0KK)sin(I0 21m =++ϕ−γ⇒=(0)i ; (8.71)
.0CK
CK)cos(C
I0C1
22
11m
0t=
λ+
λ+ϕ−γ
ω−⇒==
=∫idtu (0)C (8.72)
Rezolvând sistemul format de aceste două ecuaţii în raport cu constantele K1 şi K2, se obţine succesiv,
( ) )];cos(LC1)(sin[2
IK;01K)](cos)([sinI 1m
112
12
m ϕ−γω
+ϕ−γλβ
−==λλ−+ϕ−γ
ωλ+ϕ−γ
;)cos()(sin2I)cos()(sinLC)(LC2
IK 20
20mm
1 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ωϕ−γ+ϕ−γ
ωβ−α−
βω−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
ωϕ−γ+ϕ−γβ−α−
β−=
(8.73)
.)cos()(sin2I)cos()(sinLC)(LC2
IK 20
20mm
2 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ωϕ−γ+ϕ−γ
ωβ+α−
βω−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
ωϕ−γ+ϕ−γβ+α−
β−=
(8.74)
a) Se presupune mai întâi cazul α > ω0, β2 > 0. Rădăcinile λ1, λ2 sunt reale şi
negative, λ1 < 0, λ2 < 0. În acest caz se ia în considerare şi momentul conectării circuitului în raport cu
faza iniţială a tensiunii. Presupunem conectarea circuitului într-un astfel de moment încât curentul permanent să fie nul, ceea ce se realizează dacă γ–ϕ=0, respectiv dacă faza iniţială γ a tensiunii este egală cu defazajul ϕ (γ=ϕ ). În această situaţie, constantele de integrare sunt:
βωω=
βωω−= 2
IK;2IK
20m
2
20m
1 . (8.75)
180
Cu aceste relaţii expresia curentului devine:
.tsheItsinI)ee(2ItsinI t
20
mmtt
20m
m21
443442143421
trp
ii
(t)i ββωω−ω=−
βωω−ω= α−λλ (8.76)
Componenta tranzitorie are o variaţie aperiodică (fig. 8.21). Se poate observa că dacă , în timpul regimului tranzitoriu pot să apară valori ale curentului mult mai mari decât în regim permanent (supracurenţi).
βω>>ω20
t
i(t)
itr
ip
u(t)
ϕ 0
Fig. 8.21.
b) Se consideră acum cazul α < ω0, β2 < 0. Rădăcinile λ1, λ2 sunt imaginare. Se
notează ( ) 0L2R
LC1,j
222
0dd >−=α−ω=ωω=β , ωd fiind pulsaţia proprie a circuitului.
Presupunând aceeaşi condiţie de conectare (γ–ϕ=0) , expresiile constantelor K1 şi K2 devin
md
20
2md
20
1 Ij2K;Ij2Kωω
ω=ωω
ω−= , (8.77)
iar expresia curentului rezultă:
.tsineItsinItjsheI2tsinI dt
md
20
mdt
md
20
m44 344 21
43421
trp i
i(t)i ω
ωωω−ω=ω
ωωω−ω= α−α− (8.78)
Dacă amortizarea circuitului este mică, respectiv d0 ω≈ω , expresia curentului devine
tsineItsinI dt
md
m ωωω−ω= α−(t)i . (8.79)
Valoarea maximă a amplitudinii componentei tranzitorii este de aproape ωd/ω ori mai mare decât amplitudinea componentei permanente (amortizarea α fiind mică). Rezultă că dacă ωd >> ω, pot să apară supracurenţi importanţi (fig. 8.22).
Fig. 8.22.
181
Dacă conectarea circuitului s-ar face în momentul în care curentul permanent trece prin valoarea maximă, adică pentru 2/π=ϕ−γ , expresiile constantelor sunt:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ωω−=
ωω+α−=
ωω=
ωω−α=
θ−
θ−
jm
d
0m
d
d2
jm
d
0m
d
d1
eIj2Ij2jK
eIj2Ij2jK
, (8.80)
unde s-a notat cu 00dd /cos,/sin),/(arctg ωα=θωω=θαω=θ . Expresia curentului rezultă:
]ee[Ij2)2tsin(I )t(j)t(jm
d
0m
dd θ−ω−θ−ω −ωω+π+ω=(t)i
respectiv, )t(sineI)2tsin(I dt
md
0m θ−ω
ωω+π+ω= α−(t)i . (8.81)
Presupunând ,2respectiv,dπ=θω<<α expresia curentului poate fi scrisă
tcoseItcosI dt
md
m ωωω−ω= α−(t)i . (8.83)
Deoarece )0(d0 ≅αω≅ω , curentul în regim tranzitoriu nu poate depăşi în acest caz de aproximativ două ori curentul în regim permanent. Se poate deci observa că dacă frecvenţa tensiunii aplicate ω diferă sensibil de frecvenţa proprie a circuitului ωd, caracterul regimului tranzitoriu depinde în mare măsură de faza iniţială, respectiv de momentul conectării.
O situaţie particulară o constituie cazul în care cele două frevenţe sunt egale, deci (amortizare mică). Particularizând relaţia curentului pentru cele două momente ale conectării se obţine:
,dω=ω
;0pentru,tsin)e1(I tm =ϕ−γω−= α−(t)i (8.84)
.2pentru,tcos)e1(I tm
π=ϕ−γω−= α−(t)i (8.85)
În acest caz amplitudinea curentului creşte continuu după o exponenţială până la atingerea valorii de regim permanent (fig. 8 22). Nu apar supracurenţi, dar trebuie ţinut seama de faptul că deoarece 0d ω≅ω , condiţia dω=ω coincide practic cu condiţia de rezonanţă a circuitului, ceea ce conduce la anumite particularităţi. 0ω=ω
Fig. 8.23.
182
O altă situaţie caracteristică se referă la cazul când ω are valori apropiate de ωd. În acest caz, în timpul regimului tranzitoriu apare fenomenul de bătăi. Curentul are pulsaţia variaţie a amplitudinii care scade treptat, devenind nulă la atingerea regimului permanent.
,2/)( dω−ω
Ca un caz particular se analizează regimul tranzitoriu ce se stabileşte la conectarea unui circuit RL la o sursă de tensiune sinusoidală. Expresia curentului în acest caz se poate obţine particularizând corespunzător relaţiile stabilite pentru cazul general (circuitul RLC). Ţinând seama de absenţa condensatorului, respectiv conside-
rând , rezultă ∞→C ,L2R=β=α iar )0(,L2
R,0 021 =ω−=λ=λ şi constantele devin:
.)sin(IK,0K m21 ϕ−γ−== În consecinţă, curentul are expresia: tL
R
mm e)sin(I)tsin(I −ϕ−γ−ϕ−γ+ω=+= trp iii . (8.86)
Componenta tranzitorie este o exponenţială descrescătoare. Valoarea acestei componente în momentul conectării, la t = 0, şi implicit curba curentului i(t) în timpul regimului tramzitoriu depinde de acest moment.
Dacă conectarea circuitului are loc când componenta permanentă trece prin zero ),0( =ϕ−γ componenta tranzitorie este nulă.
Pentru o conectare, de exemplu în momentul când tensiunea trece prin zero, ,0=γ în acest caz, la t = 0, ϕ=ϕ−= sinI,sinI mm trp ii şi deci se asigură condiţia i(0) = 0.
Cea mai dezavantajoasă conectare este desigur atunci când componenta perma-nentă trece prin valoarea maximă. Dacă circuitul RL are rezistenţa foarte mică, ϕ ≈ π/2 şi se presupune că are loc conectarea atunci când tensiunea trece prin zero, 0=γ la t = 0, variaţia curentului va fi de forma:
.marefoarteRL,eItcosI)t(i tmm −=τ+ω−= τ− (8.86)
Fig. 8.24.
După cum se vede din figura 8.24, după aproximativ jumătate de perioadă, curentul poate deveni dublu faţă de regimul
permanent. Într-adevăr, din dtdiuu , valabilă
în acest caz, se obţine: L L=≈
∫ ψ=ω
===
2T
2T0
mm
t 2U2udti
ψ2ψm
. (8.86) ψm
După o jumătate de perioadă, în regim tranzitoriu, fluxul magnetic poate atinge valoarea 2ψm, iar curentul corespunzător (fig. 8.25), conform caracteristicii ψ(i), rezultă foarte mare (10 ÷ 20 ori curentul nominal).
Im 0 iFig. 8.25.
183
8.4. METODA OPERAŢIONALĂ DE ANALIZĂ A CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU
8.4.1. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
În principiu, metoda operaţională de calcul bazată pe transformata Laplace
constă în reprezentarea simbolică a operatorului de derivare d/dt prin operatorul s, respectiv a celui de integrare prin operatorul 1/s.
Aplicând transformata Laplace unei ecuaţii integro – diferenţiale, aceasta devine o ecuaţie algebrică de variabilă s. Se rezolvă ecuaţia algebrică în s şi aplicând transformata Laplace inversă, se obţine soluţia generală a ecuaţiei integro – diferenţiale.
8.4.1.1. Transformata Laplace. Funcţii original şi imagini Laplace.
Transformata Laplace a unei funcţii ( )tf se defineşte astfel:
∫∞
−==0
dte)t(f)s(F)]t(f[ stL , (8.87)
unde operatorul s este un număr complex de forma
ω+σ= js . (8.88)
Pentru simplificare, deşi s este mărime complexă, nu se va reprezenta subliniat. Funcţia se numeşte funcţie original, iar F(s) se numeşte imaginea sau
transformata Laplace. ( )tf
Pentru a se putea aplica transformata Laplace unei funcţii f(t), funcţia trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:
o să fie netedă pe porţiuni (mărginită, conţine numai discontinuităţi finite şi e absolut integrabilă în origine); ( )tf
o să crească mai lent decât exponenţiala deoarece, în caz contrar, integrala din (8.87) nu are limită; ( )tf teσ
o să fie nulă pentru ( )tf 0t < .
În general toate funcţiile uzuale din electrotehnică satisfac aceste condiţii. Transformata Laplace este biunivocă. Unei funcţii ( )tf i se asociază o funcţie
unică pe baza integralei (8.87) şi invers, fiecărei transformate Laplace îi corespunde pentru o funcţie original unică
( )sF ( )sF0t > ( )tf .
Funcţia original este exprimată, în forma generală, prin integrala
( ) ( )∫ω+σ
ω−σπ=
j
j
st0
0
dtesFj21tf (8.89)
numită formula lui Mellin – Fourier în care: σ0 este abscisa de convergenţă absolută – cea mai mică valoare a lui σ pentru care transformarea Laplace există (σ = Re (s) > σ0 ).
184
Pentru trecerea de la funcţia imagine la funcţia original, în practică se aplică diferite metode de inversiune.
Se consideră, în continuare, câteva exemple simple. a) Transformata Laplace a funcţiei exponenţiale este ate)t(f =
as1esa
1dtee)s(F0
t)sa(
0
stat
−=⋅
−==
∞−∞
−∫ (8.90)
pentru Re (a) < Re (s). b) În cazul funcţiei sinusoidale, tsin)t(f α= , ţinând seama de relaţia
( )tjtj eej21tsin α−α −=α ,
pentru transformata Laplace se obţine expresia
.sjs
1js
1j2
1dttsine)s(F 220
st
α+α=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
α+−
α−=α= ∫
∞− (8.91)
c) Pentru funcţia impuls unitate a lui Dirac (fig. 8.26) definită de relaţiile
0 ε
δ
t
∞
[ ] ∫
∫∞
ε
δ=δ
δ
⎪⎩
⎪⎨⎧∞
∫ε
−− δ=
→ε=
>→=→<→
0
stst dte)t(dte
,0cu1
0tpentru0tpentru0tpentru
=δ
0
0
)t()t(
dt)t(
0
0)t(
L
(8.92)
Fig. 8.26.deoarece integrala de la ε la ∞ este nulă. Întrucât 0→ε , exponenţiala
poate fi considerată egală cu unitatea în intervalul ste− ε÷0 , deci în final
[ ] .1dt)t()t(0
=δ=δ ∫ε
L (8.93)
d) Imaginea funcţiei treaptă unitate (fig. 8.27) definită astfel:
[ ]
).t(
,s1dte
0t0t
st
δ
=
>
dtdhdeoarece
dte)t(h)t(h
pentru1pentru0
)t(h
00
st
=
==
⎩⎨⎧→
≤→=
∫∫∞∞
−L − (8.94) 0 t
1
h
Fig. 8.27.
În literatura de specialitate se dau tabele cu transformatele Laplace ale unor funcţii uzuale în electrotehnică.
185
8.4.1.2. Teoreme ale transformatei Laplace pentru stabilirea funcţiilor imagini
a) Teorema liniarităţii
[ ] [ ] [ ])t(gb)t(fa)t(bg)t(af LLL +=+ (8.95) a şi b fiind două constante.
b) Teorema derivării funcţiei original
)0(f)s(Fsdt)t(df −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡L (8.96)
unde este valoarea iniţială a funcţiei f(t). )0(fSe demonstrează integrând prin părţi:
[ ] [ ] .)0(f)s(sF)0(f)t(fsdte)t(fse)t(fdtedtdf
dtdf
0
st0
st
0
st −=−=+== ∫∫∞
−∞−∞
− LL
În general,
)0(f...)0('fs)0(fs)s(Fsdt
)t(fd )1n(2n1nnn
n−−− −−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡L (8.97)
În condiţii iniţiale nule, operatorului de derivare n
n
dtd îi corespunde multiplicarea
imaginii Laplace cu : nsn
n
ns
dtd ⇒ . (8.98)
c) Teorema integrării funcţiei original
[ ])t(fLs1dt)t(f
t
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫L (8.99)
Într-adevăr, notând ;dt)t(f)t(gt
0∫= 0)0(g = ; dt
)t(dg)t(f = şi utilizând demonstraţia
anterioară rezultă:
[ ] [ ] [ ] [ ])t(fs1dt)t(f)t(g)t(gsdt
dg)t(ft
0
LLLLLL =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= ∫ .
În general,
n
n
t
0
t
0
t
0s
)s(Fdt)t(f ][ =∫ ∫ ∫321
LL . (8.100)
d) Teorema întârzierii
Transformata Laplace a funcţiei întârziată cu )t(f τ (fig.8.28) este
[ ] .)s(Fe)t(f sτ−=τ−L (8.101)
186
Relaţia se demonstrează astfel:
)t(f τ−
0 τ t
ff(t) [ ])t(f
0∫∞
=τ−L .dte)t(fdte)t(f stst ∫∞
τ
−− τ−=τ−
Folosind schimbarea de variabilă 'tt =τ− , avem
[ ] t(f)'t(f0
∞
= ∫L )s(Fe'dte)'t(fe'dte)' s
0
'sts)'t(s τ−∞
−τ−τ+− == ∫ .
Fig. 8.28 e) Teorema deplasării
[ ] )s(F)t(feL t λ+=λ− . (8.102)
Relaţia se demonstrează simplu astfel:
[ ] [ ] ( ) ( ).sFdte)t(fdte)t(fe)t(fe0
s
0
sttt λ+=== ∫∫∞
λ+−∞
−λ−λ−L
f) Determinarea funcţiei original când se cunoaşte imaginea sa. Teoremele lui Heaviside
În majoritatea cazurilor întâlnite în electrotehnică, funcţia imagine rezultă sub
forma unor fracţii raţionale (raportul a două polinoame în s) de forma
)s(P)s(P)s(F
2
1= , (8.103)
în care gradul polinomului de la numitor P2 (s) este mai mare cu cel puţin o unitate decât gradul polinomului de la numărător P1. Funcţia F(s) se descompune în fracţii simple.
Prima teoremă a dezvoltării. Se consideră două polinoame P1(s) şi P2(s) prime între ele şi că polinomul P2(s)
are numai rădăcini simple (sk), ceea ce înseamnă că 0)s(P k2 ≠′ , unde s k este o rădăcină a ecuaţiei . În aceste condiţii, expresia (8.103) se poate descompune într-o sumă de fracţii simple
0)s(P2 =
∑=
−=
−++
−++
−+
−==
n
1k k
k
n
n
k
k
2
2
1
1
2
1
ssC
ssC...ss
C...ssC
ssC
)s(P)s(P)s(F . (8.104)
unde Ck sunt coeficienţi constanţi, n este gradul polinomului de la numitor P2(s). Pentru determinarea coeficienţilor Ck se multiplică ambii membrii ai ecuaţiei
(8.104) cu s şi se calculează limita ks−
kk2
k1
2
k
kssk12
1k
kssC)s(P
)s(P)s(P
sslim)s(P)s(P)s(P)ss(lim =′=−⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−
→→ (8.105)
unde s-a aplicat regula lui l’Hopital.
kssk ds
dP)s(P 22
==′
.)s(PC k1
k = (8.106)
)s(P k2′
187
Relaţia (8.104) devine
∑=
−⋅==
n
1k kk2
k1
2
1
ss1
)s(P)s(P
)s(P)s(P)s(F . (8.107)
Ţinând seama de faptul că transformatei kss
1−
îi corespunde funcţia original tske
tskess1
k
1 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−L şi aplicând corespunzător teorema liniarităţii, se obţine:
[ ] .e)s(P)s(Pe)s(P
)s(P)s(Fn
ts
k2
k1tsn
k2
k1
1k1k
kk ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′=′= ∑∑
==LL (8.108)
Funcţia original corespunzătoare transformatei considerate are deci expresia:
∑=
′=n
1k
ts
k2
k1 ke)s(P)s(P)t(f . (8.109)
numită şi prima formă a teoremei dezvoltării sau teorema I a lui Heaviside.
A doua teoremă a dezvoltării. Se consideră polinoamele P1, P2 prime între ele, gradul lui P1 este mai mic decât
gradul lui P2 şi polinomul P2(s) are rădăcini simple, dintre care una este nulă (funcţia F(s) are un pol în origine). F(s) se pune sub forma
)s(Ps)s(P
)s(P)s(P)s(F
3
1
2
1 == , (8.110)
în care P3(s) are numai rădăcini simple, diferite de zero. F(s) se descompune astfel:
1n
1n
k
k310
2
1
ssC.....ss
C.....ssC
ssC
sC
)s(P)s(P)s(F
21 −
−
−++
−++
−+
−+== . (8.111)
Coeficienţii 1n,...,2,1k,Ck −= , se calculează cu relaţia (8.106), iar C0 se determină luând limita produsului , )s(Fs
.)s(P)s(P
)s(P)s(Plim)s(FslimC
2
1
2
10
0s0s===
→→ (8.112)
Deoarece rezultă ,)s(Ps)s(P),0(P)0(P),s(P)s(Ps)s(P k'3kk
'23
'23
'3
'2 ==+=
∑−
=−
⋅+⋅=1n
1k kk'3k
k1
3
1
ss1
)s(Ps)s(P
s1
)0(P)0(P)s(F (8.113)
şi deci, funcţia original este
∑−
=
⋅+=1n
1k
ts
k'3k
k1
3
1 ke)s(Ps
)s(P)0(P)0(P)t(f . (8.114)
188
8.4.2. FORMA OPERAŢIONALĂ A ECUAŢIILOR CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE
8.4.2.1. Precizări privind aplicarea transformatei Laplace la studiul circuitelor electrice Aplicarea metodei transformatei Laplace la studiul circuitelor electrice în regim
tranzitoriu presupune parcurgerea a două etape principale de calcul. Într-o primă etapă se aplică transformarea Laplace ecuaţiilor diferenţiale ale circuitelor liniare studiate. Ecuaţiile algebrice obţinute pe baza acestor transformări reprezintă ecuaţiile operaţio-nale, respectiv forma operaţională a ecuaţiilor circuitelor respective. Rezolvând aceste ecuaţii se obţin imaginile funcţiilor necunoscute. Cea de-a doua etapă de calcul constă în determinarea funcţiilor original corespunzătoare acestor imagini (fig. 8.29).
Ecuaţii diferenţiale alecircuitelor electrice
Ecuaţii algebrice satisfăcute de imagini
Transformare Laplace [L]
Imaginile funcţiilor necunoscute
Rezolvare
Fig. 8.29.
Transformare inversă [L-1]
Funcţiile de timp necunoscute
În formulările operaţionale ale ecuaţiilor intervin impedanţele operaţionale. Considerând, de exemplu, o latură de circuit pasivă şi cu condiţii iniţiale nule, raportul dintre imaginea tensiunii la borne şi imaginea curentului se numeşte impedanţă operaţională a laturii respective
)s(I)s(U)s(Z = , (8.115)
iar mărimea reciprocă se numeşte admitanţă operaţională
)s(Z1)s(Y = . (8.116)
Se defineşte în mod corespunzător şi impedanţa operaţională mutuală dintre două laturi cuplate magnetic.
În cadrul acestei metode, pentru stabilirea ecuaţiilor operaţionale se obişnuieşte să se introducă şi scheme echivalente operaţionale. Acestea sunt scheme de calcul în care intervin imaginile tensiunilor şi curenţilor şi impedanţele operaţionale ale
elementelor de circuit: .sC1C;sLL;RR →→→
Considerând un circuit RLC serie în condiţii iniţiale nule (fig. 8.30), căruia i se aplică la momentul t = 0 o tensiune continuă E(s) şi aplicând transformata Laplace ecuaţiei diferenţiale a circuitului
189
,E=C1LR ++ ∫ idtdt
dii
se obţine: R sL sC
1I(s)
E(s))s(E)s(I]sC1sLR[ =⋅++ , (8.117)
impedanţa operaţională a circuitului fiind, Fig. 8.30.
sC1sLR)s(I
)s(E)s(Z ++== . (8.118)
sE)s(E = şi expresia operaţională a curentului este
LC1
LRss1
LE
)sC1sLR(s
E)s(I2 ++
⋅=++
= (8.119)
Pentru determinarea funcţiei original se aplică prima teoremă a lui Heaviside:
;)ss()ss(LC1sL
RsP;1P;e)s(P)s(P
LE
212
21
2
1k
ts
k'2
k1 )s()s(k −−=++==⋅= ∑=
(t)i
;ss)s(P;ss)s(P;s 22 122'2211
'22,1 βββ±α− −=−==−==
Expresia curentului rezultă în final
.tsheLEe2
1e21
LE tt)(t)( β
βββαβ−α−β+α− −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=(t)i (8.120)
Ţinând seama de teorema liniarităţii, respectiv de faptul că
[ ] [ ] ∑∑∑ == )s(jj IiLL ji
prima teoremă a lui Kirchhof în formă operaţională se scrie:
1n...,,2,1k;0)s(I)k(j
j −==∑∈
, (8.121)
adică suma algebrică a imaginilor Laplace ale curenţilor ce concură la un nod este nulă. În ceea ce priveşte cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff, ţinând seama de
faptul că [ ] ∑∑∑ == )s(Ej][ jj ee LL
se obţine următoarea formă operaţională
∑∑ ∑∈∈
≠=
=+⋅]m[j
j]m[j
jk1k
kjkjj )s(E])s(I)s(Z)s(I)s(Z[l
; m = 1, 2, … , l–n+1, (8.122)
în care:
jjjj sC
1sLR)s(Z ++= – impedanţa operaţională proprie a laturii j;
jkjk Ls)s(Z = – impedanţa operaţională mutuală (de cuplaj magnetic) dintre laturile j şi k.
190
Deci, suma algebrică a imaginilor Laplace ale tensiunilor electromotoare de-a lungul unui ochi [m] este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune operaţionale.
Se poate face o analogie între scrierea ecuaţiilor în complex pentru regimul permanent sinusoidal şi ecuaţiile operaţionale în condiţii iniţiale nule, în sensul că formele ecuaţiilor operaţionale se obţin înlocuind tensiunile şi curenţii complecşi cu imaginile lor, iar impedanţele operaţionale se obţin din cele complexe prin înlocuirea lui
. scujω 8.4.2.2. Circuite electrice cu condiţii iniţiale diferite de zero Pentru un condensator cu sarcina iniţială )0(UC)0(q C= , expresia tensiunii este
)t(hUC1 )0(C
t
0
⋅+= ∫ idtu (t)C , (8.123)
şi prin aplicarea transformatei Laplace rezultă
sUIsC
1U )0()s()s( CC += . (8.124)
Schema operaţională corespunzătoare cu sursă fictivă de tensiune este dată în figura 8.31,c).
sC1
I(s)
sU )0(C
UC(s)C, UC(0)
i
uC(t)C,
UC(0) = 0
i
uC(t) UC(0)h(t)
c)a) b)Fig. 8.31.
Înmulţind cu C relaţia (8.122) şi derivând,
)t()0(CUCC δ+= (t)idtduC , (8.125)
rezultă, )0(CU)s(UsC)s(I CC −= . (8.126)
Schema operaţională corespunzătoare cu sursă fictivă de curent este dată în figura 8.32, a).
sL
I(s) I(s)
UL(s) s)0(I
sL1
LI(0) = = ψ(0)
UL(s)CUC(0) sC
I(s)
UC(s)
b) c)a)Fig. 8.32.
În cazul unei bobine având curentul iniţial 0≠(0)i (fig. 8.32,b) expresia curentului este
191
∫ +=t
0
h(t))0(IL1 dtui (t)(t) L . (8.127)
Aplicând transformata Laplace se obţine expresia curentului
sI)s(UsL
1)s(I )0(L += (8.128)
şi respectiv expresia tensiunii )0(LI)s(IsL)s(UL −= . (8.129)
Schemele operaţionale cu surse fictive de tensiune şi respectiv de curent sunt date în figura 8.32, b), respectiv 8.32.c).
Dacă se consideră expresiile curenţilor se pot construi scheme operaţionale echivalente cu generatoare fictive de curent pentru condiţii iniţiale diferite de zero.
Pentru circuitul RLC serie în condiţii iniţiale nenule 0)0(U,0)0(I)0(I CL ≠≠= , aplicând transformata Laplace ecuaţiei circuitului
),t(h)0(UC1LRC
1LR C
t
0
t
⋅+++=++=++= ∫∫∞−
idt'dtdiiidt'dt
diiuuuu CLR
se obţine ecuaţia operaţională
)s(E)s(I)s(Zs)0(U)0(LI)s(I)sC
1sLR(U 0C
L)s( −=+−++= , (8.130)
în care Z(s) este impedanţa operaţională a circui-tului, iar E0(s) este tensiunea echivalentă a genera-torului echivalent condiţiilor iniţiale (fig. 8.33),
.s)s(U)0(LI)s(E
;sC1sLR)s(Z
CL0 −=
++= (8.131)
Considerând circuitul RLC paralel cu injecţie de curent, transformata Laplace a ecuaţiei circuitului,
)t(h)0(I'L1CGu L
t
0
+++=++= ∫ udtdtduiiii CG ,
este
)s(I)s(U)s(Ys)0(I)0(CU)s(U)sL
1sCG()s(I 0gL
C −=+−++= , (8.132)
în care Y(s) este admitanţa operaţională a circuitu-lui RLC paralel, iar Ig0(s) este injecţia de curent operaţională a generatorului echivalent condiţiilor iniţiale (fig. 8.34),
.sICU)s(I
;sL1sCG)s(Y
)0()0( LC0g −=
++= (8.132)
R sC1 sLI(s) E0(s)
U(s)Fig. 8.33.
G sCsL1
I(s)
U(s)Ig0(s)
Fig. 8.34.
192
B i b l i o g r a f i e [1]. Antoniu I. S. – Bazele electrotehnicii, vol. I, II. Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1974. [2]. Corduneanu A. – Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în electrotehnică. Editura Facla,
Timişoara, 1981. [3]. Mocanu C. I. – Teoria câmpului electromagnetic. Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1981. [4]. Mocanu C. I. – Teoria circuitelor electrice. Edit. Didactică şi Pedagogică, Buc., 1979. [5]. Livinţi P., Puiu-Berizinţu M. – Electrotehnică şi maşini electrice. Editura Tehnica Info-
Chişinău, 2003. [6]. Livinţi P., Puiu-Berizinţu M. – Electrotehnică şi maşini electrice. Îndrumar de
laborator. Editura Alma Mater, Bacău, 2008. [7]. Potolea E. – Calculul regimului permanent al sistemelor electrice. Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1970. [8]. Preda M., Cristea P. – Bazele electrotehnicii. Circuite electrice. Vol. II. Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980. [9]. Preda M., Cristea P., Spinei F. – Bazele electrotehnicii. Probleme. Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1983. [10]. Puiu-Berizinţu M., Livinţi P. – Bazele electrotehnicii. Electromagnetismul. Editura
Tehnica Info - Chişinău, 2003. [11]. Răduleţ R. – Bazele electrotehnicii. Probleme. Vol. I, II. Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1981. [12]. Simion E., Maghiar T. – Electrotehnică. Editura Didactică şi Pedagogică, Buc., 1981. [13]. Simonyi K. – Electrotehnică teoretică. Editura Tehnică (traducere din limba maghiară),
Bucureşti, 1974. [14]. Şabac I. Gh. – Matematici speciale. Vol. I, Editura Didactică şi Pedagogică, Buc., 1965. [15]. Şora, C. – Bazele electrotehnicii. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982. [16]. Timotin Al., Hortopan, V. ş.a. – Lecţii de bazele electrotehnicii. Vol. I, II. Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964. [17]. Tomescu A., Tomescu F.M.G. – Bazele electrotehnicii. Circuite electrice. Editura
Matrix Rom, Bucureşti, 2000.
193