calcul diff

8/11/2019 Calcul Diff

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Anne universitaire 2013-2014

Le but du calcul diffrentiel est essentiellement de comprendre les phnomnes math-matiques qui interviennent une petite chelle de taille, afin de manipuler ce queles physiciens appellent parfois les infiniment petits. Dans la plupart des situationstudies, le fait de zoomer une petite partie dun objet diffrentiable a pour effetde rendre cette partie de plus en plus proche dun objet linaire ; ainsi une surfacediffrentiable est approche par son plan tangent au voisinage de chaque point.

On notera quil existe des objets gomtriques plus compliqus, comme les ensemblesfractals, qui nont pas cette proprit : le fait de zoomer indfiniment ne conduit pas une simplification de lobjet.


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Outre la manipulation des infiniment petits, un aspect essentiel du calcul diffrentielest de ramener la solution de problmes diffrentiables des problmes linaires, auprix dune erreur qui devient ngligeable petite chelle. Dans cette perspective,on est donc conduit faire intervenir de nombreux outils de lalgbre linaire. Laplupart des grands thormes affirment que si une certaine hypothse portant sur les

objets linariss a lieu, alors la mme conclusion sapplique aux objets diffrentiables,au moins sur de petits voisinages. Nous travaillerons ici dans le cadre des espacesde Banach, car la proprit de compltude est essentielle pour assurer lexistence delimites ; de la mme manire quil existe des suites de rationnels qui ne convergent quedans le corps R des rels, le calcul diffrentiel souffrirait de nombreuses lacunes dansdes espaces non complets. Une grande partie des applications intressantes se situedj en dimension finie, voire en dimension 1, 2 ou 3, mais le fait de travailler dans desespaces de Banach Eplutt que Rn a dune part, lavantage de dgager le caractregomtrique intrinsque des proprits, et dautre part, de fournir des notations trscompactes : ainsi, il est plus simple de noter h Eque (h1, . . . , hn)Rn. Il nous aparu galement utile de distinguer points et vecteurs, les vecteurs apparaissant souventcomme de petits dplacements h effectus partir dun point x pour aboutir unpoint x+h ; nous avons donc rappel cet effet les notions lmentaires concernantles espaces affines. Ceci permet de dgager plus systmatiquement la nature affine ouvectorielle des notions en fonction des situations mises en jeu.


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3. Thorme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274. quations diffrentielles dordre suprieur a un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Chapitre VMthodes de rsolution explicites

1. quations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452. quations du premier ordre non rsolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603. Problmes gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1664. quations diffrentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1735. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Chapitre VIquations diffrentielles linaires

1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872. Cas des coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1883. quations dordre p coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1954. Cas des coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Chapitre VIIStabilit des solutions et points singuliers dun champ de vecteurs

1. Stabilit des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2112. Singularits dun champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Chapitre VIIIquations diffrentielles dpendant dun paramtre

1. Dpendance des solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292. Petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2373. Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243


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et passage ladhrence ceci entrane que u(BE(0, r)) BF(0, ), donc en prenant= r1 on voit que que M= supxBE(0,1) u(x)F r1


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Dmonstration. Soit (uj ) une suite de Cauchy dans Lc(E, F) pour la norme||| |||.Pour tout >0, il existe N0()tel que pour j, k N0() on ait|||uj uk||| . PourxEfix, on voit que

uj (x)

uk(x)

F =

(uj

uk)(x)

F

|||uj

uk

||| x

E

x

E,

donc la suite (uj (x)) est une suite de Cauchy dans F. Soit u(x) = limj+ uj (x)salimite. Il est immdiat que uest linaire. Dautre part lingalit prcdente fournit la limite

u(x) uk(x)F xE = u(x) xE+ uk(x)F ( + |||uk|||)xE,

et par consquent uest bien continue. Enfin lingalit ci-dessus donne|||u uk||| pour k N0(), donc (uk)converge vers udans Lc(E, F).

1.8. Thorme de Baire. Dans un espace mtrique complet(X, d)non vide(i) toute intersection dnombrable douverts denses est dense;

(ii) toute runion dnombrable de ferms dintrieur vide est dintrieur vide;

(iii) si lespace entier est runion dnombrable de ferms, lun au moins de ces fermscontient un ouvert non vide.

Dmonstration. Montrons dabord(i). On noted la distance de X et B(x, r), resp.B(x, r), lensemble des y tels que d(x, y) < r, resp. d(x, y) r (boules ouverteset fermes). Pour tablir (i), soient (Un)n1 une suite douverts denses de X et

V un ouvert non vide de X. Comme U1 est dense, louvert V U1 contient uneboule ferme B(x1, r1), et on peut supposer 0 < r1 < 1. Comme U2 est dense,la boule ouverte B(x1, r1) rencontre U2, do une boule ferme B(x2, r2) telle queB(x2, r2) B(x1, r1)U2 VU1U2, et on peut supposer 0 < r2 < 1/2. Parrcurrence, on construit ainsi des boules fermes embotes B(xn, rn)telles que, pourn 2 on ait B(xn, rn) B(xn1, rn1)Un et 0 < rn < 1/n, ce qui implique deproche en proche

B(xn, rn)V U1 . . . Un.Les centres xn forment une suite de Cauchy : en effet, si p n on a xp B(x, rp)B(xn, rn), donc d(xn, xp) < 1/n. Comme X est complet, la suite (xp) converge

vers une limite x = limp+ xp et x B(xn, rn) pour tout n 1. Ceci impliquexVn1 Un. Par suite louvert V rencontre lintersectionn1 Un, et comme Vtait arbitraire, on a bien montr que

n1 Un est un ouvert dense.

(ii)se dduit de (i) par passage aux complmentaires.

(iii)Si tous les ferms taient dintrieur vide, leur runion le serait aussi, et elle nepourrait donc concider avec lespace entier.

1.9. Thorme de lapplication ouverte de Banach. SoientEetFdeux espacesde Banach, etu : E Fune application linaire continue et surjective deE surF.Alors u est une application ouverte (limage paru de tout ouvert deEest un ouvertdeF).


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Dmonstration. Soit BE = BE(0, 1) la boule unit ouverte de E. Comme E est larunion des boules homothtiques nBEon a

F =u(E) =

n1u(nBE) =

n1u(nBE).

Daprs le thorme de Baire, on en dduit que lun des ferms u(n0BE)est dintrieurnon vide, donc contient une certaine boule boule ouverteBF(y0, r0)deF. Ceci implique

BF(0, 2r0) =BF(y0, r0) BF(y0, r0)u(n0BE) u(n0BE)u(2n0BE)

[en prenant une diffrence de suites situes dans n0BEdont les images converge vers unpointy =y1y2BF(y0, r0)BF(y0, r0)]. Aprs homothtie, ceci montre queu(BE)contient la boule BF(0, ) de rayon = r0/n0, et de mme que u(2kBE) contientBF(0, 2

k). Fixons y

F, y

= 0. On a y0 = 2

y

F

y

BF(0, ), donc il existe

x0BEtel que u(x0)soit arbitrairement proche de y0, disonsy0 u(x0)F


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(i) est continue surE1 . . . Ep.(ii) est continue en(0, . . . , 0).

(iii) M= supx11,...,xp1

(x1, . . . , xp)< +.

(iv) Il existe une constanteM 0telle que pour tout(x1, . . . , xp)E1 . . . Ep onait lingalit

(x1, . . . , xp) Mx1 . . .xp.

On dit alors queest une application multilinaire continue(ou borne).

Dmonstration. Il est vident que (i) (ii). Montrons que (ii) (iii). Si est continue en (0, . . . , 0), il existe un voisinage de (0, . . . , 0) dans la produit, soitBE1(0, r1). . . BEp(0, rp) sur lequel(x1, . . . , xp) < = 1. Par homothtie etpassage ladhrence on voit facilement que

M= supx11,...,xp1

(x1, . . . , xp) 1r1 . . . rp

, do (iii).

Si (iii) est vrifi, (iv) sen dduit en remplaant xj par 1xjxj (compte tenu du faitque (iv) est aussi trivialement vrifi si xj = 0). Enfin, si (iv) est vrifi, on prend deslmentsxj , hjEj ,1 j p, quelconques et on part de lidentit de distributivit

(1.12) (x1+ h1, . . . , xp+ hp) =

I{1,...,p}(xj, hk)jI,kI,0est appele fonction jauge, et lintgrale de Kurzweil-Henstockest souvent dnomme galement intgrale de jauge. Dans le cas o la fonction


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est prise constante, on obtient une dfinition beaucoup plus restrictive qui est celleclassique de lintgrale de Riemann : on dira alors que f est intgrable au sens deRiemannet on crira

b

a f(x) dx= A = limRiemann, D SD(f).

Pour que la dfinition gnrale soit valide, il faut cependant sassurer de lexistence desubdivisions -fines :

2.3. Lemme. Soit : [a, b]R+ une jauge. Alors il existe une subdivision pointeD de lintervalle [a, b]qui est-fine.

Dmonstration.Elle est base sur un procd de dichotomie. Nous allons raisonner parlabsurde, en supposant que [a, b] nadmet pas de subdivision pointe -fine. Posons

a0 =a et b0 =b. Divisons lintervalle [a0, b0]en deux, et considrons les deux moitis[a0,a0+b0

2 ] et [ a0+b0

2 , b0] : si chacune des deux admettait une subdivision -fine, la

runion de ces deux subdivisions serait une subdivision -fine de [a0, b0]. Donc lunedes deux moitis au moins nadmet pas de subdivision -fine : on note celle-ci [a1, b1].

On itre ensuite le procd, de manire construire des intervalles embots [ak, bk],de longueur (b a)/2k, dont aucun nadmet de subdivision -fine. Les suites(ak) et(bk)sont adjacentes par construction, donc elles convergent vers la mme limite. Soitx0 cette limite. Puisque (x0)> 0, il existe k0 tel que

[ak0 , bk0 ][x0 12(x0), x0+ 12(x0)].

Donc la subdivision pointe de [ak0 , bk0 ]forme seulement de lintervalle tout entier etdu point x0 est-fine. Do la contradiction.(1)

Le critre de Cauchy fournit un critre commode dintgrabilit, en utilisant lacompltude de lespace.

2.4. Critre de Cauchy. Soitf : [a, b]R une fonction dfinie sur un intervalle[a, b]ferm born. Pour quefsoit KH-intgrable(resp. Riemann-intgrable), il faut et ilsuffit que pour tout >0 il existe une jauge: [a, b] R+ (resp. une constante >0),telle que pour toutes subdivisions pointesD etD -fines on aitSD(f) SD(f) .

Dmonstration. Sifest KH-intgrable dintgraleA, pour chaque jauge qui est /2-adapte f, les ingalits|SD(f) A| /2et|SD(f) A| /2pour D, D -finesentranent|SD(f) SD(f)| . La rciproque est une consquence de la compltudede R : il suffit de prendre une suite dcroissante de jauges telles que le critre deCauchy soit satisfait avec = 2 pour . Si Dest une subdivision pointe -fine,on trouve alorsSD(f)SDk(f) 2k pour k, de sorte que SD(f)est une suite

(1)

[a, b]

[a, b]

(ba)/2

kj


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de Cauchy dans E. Il est alors immdiat de vrifier en prenant A = lim+ SD(f)queA SD(f) 2k pour toute subdivisionD k-fine, ce qui montre bien que festKH-intgrable.

Il est facile de voir que les proprits 2.2 impliquent la limite les consquences

suivantes.2.5. Proprits. SoitEun espace de Banach sur le corpsK.

(a) Linarit. Si f, g : [a, b] E sont des fonctions quelconques et , K, alorsf+ g est KH-intgrable sur [a, b]et b

a

f(x) + g(x)

dx=

ba

f(x) dx +

ba

g(x) dx.

(b) Monotonie. Si E = R et si f, g : [a, b]

R sont des fonctions KH-intgrables,

alorsf g

ba

f(x) dx

ba

g(x) dx.

En particulier, sif 0, alorsb

af(x) dx 0.

(c) Majoration des normes. Pour toute fonction vectoriellef : [a, b]E telle quefetfsoient KH-intgrables, on a

b

a

f(x) dx

b

a

f(x) dx.

(d) Formule de Chasles. Soient a < b < c des rels et f : [a, c] E. Alors f estKH-intgrable sur[a, c]si et seulement sifest KH-intgrable sur[a, b]et sur[b, c],et on a c

a

f(x) dx=

ba

f(x) dx +

cb

f(x) dx.

Ce dernier rsultat est vrai aussi pour lintgrabilit au sens de Riemann.

Dmonstration. Par passage la limite au sens KH, les proprits (a), (b) et (c)sont des consquences immdiates des proprits correspondantes pour les sommes deRiemann :

SD(f+ g) =SD(f) + SD(g),(a)

f g SD(f) SD(g),(b)SD(f) SD(f).(c)

Vrifions maintenant limplication de (d), en supposant que f soit KH-intgrablesur [a, b]et sur [b, c], et posons

A1= ba

f(x) dx E, A2 = cb

f(x) dx E.


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Choisissons des jauges 1 : [a, b] R+,2 : [b, c] R+ -adaptes f sur[a, b]et [b, c]respectivement. On dfinit une jauge sur [a, c]en posant

(x) = min(1(x), b x) si x[a, b[,min(2(x), x

b) si x

]b, c],

min(1(b), 2(b)) si x= b.

de sorte que 1 sur [a, b] et 2 sur [b, c]. Soit D ={([aj, aj+1], xj)} unesubdivision -fine. Si xj [a, b[, alors on a aj+1 xj+ (xj ) xj+ (b xj ) =b,donc [aj , aj+1] [a, b]. De mme, si xj ]b, c], alors [aj, aj+1] [b, c]. Dansle cas o xj = b ]aj, aj+1[, on remplace lintervalle point ([aj , aj+1], xj ) par lesdeux intervalles points ([aj, b], b) et ([b, aj+1], b). On produit ainsi une subdivisionpointe D1 1-fine de [a, b] et une subdivision pointe D2 2-fine de [b, c] telles queSD(f) =SD1(f) + SD2(f). Si nous posons A= A1+ A2 il vientSD(f) A 2etla conclusion sensuit par passage la limite. Dans le cas de lintgrabilit au sens de

Riemann, on utilise le fait quef(x) M 0, il existe une jaugesur [a, b]telle que|SD(f) SD(f)| pour toutes subdivisions pointes -fines Det D de [a, b]. Soient maintenant et deux subdivisions pointes de [c, d]qui sont|[c,d]-fines. En considrant grce au lemme 2.3 des subdivisions de [a, c]et de[d, b]quisont -fines, on peut complter et en des subdivisions pointes D et D de [a, b]qui sont elles-mmes -fines. On obtient alors

S(f) S(f)=SD(f) SD(f)| .

Le thorme est dmontr. (Pour lintgrabilit au sens de Riemann la preuve est tout fait analogue, ceci prs que lon prend des jauges constantes.)

Le critre de Cauchy permet aussi dobtenir le rsultat classique suivant.

2.7. Thorme. Soitf : [a, b] Eune fonctionborne. On suppose quil existe unesubdivisiona =c0 < c1 < . . . < cs =b telle quefsoit continue sur chaque intervalleouvert ]ci, ci+1[. Alors f est Riemann intgrable (et donc KH-intgrable) sur [a, b].La conclusion est la mme siE= R et sifest monotone sur chaque intervalle]ci, ci+1[.

Dmonstration. Grce la formule de Chasles, il suffit de raisonner dans le cas o fest continue ou monotone sur lintervalle ]a, b[ lui-mme. Fixons > 0 assez petit etsupposons

f M. Prenons deux subdivisions pointe D =

{([aj, aj+1], xj)0j


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en des subdivisions D et de [a, b] = [a+/M, b /M] : pour D par exemple,on dsigne par j0 (resp. j1) le plus grand indice j tel que aj < a, resp. aj b, eton considre la subdivision pointe D de [a, b] forme par les intervalles ([aj , aj+1],j0+ 1 j j1 1, complte par les intervalles points ([a, aj0+1], a)et ([aj1 , b], b)(sils sont non rduits un point). On a

SD(f) SD(f) =

0jj0

(aj+1 aj)f(xj) +

j1j 0 fix, il existe > 0 tel que|yz| impliquef(y) f(z) . Soient D = ([aj , aj+1], xj) et = ([k, k+1], k)des subdivisions pointes de pas . SiDet sont constitus desmmes intervalles[aj, aj+1]et de points xj ,j ventuellement diffrents, on a aussittSD(f) S(f) =

0j


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2.10. Thorme fondamental de lAnalyse. Soit f : [a, b] E une fonctioncontinue. On suppose quil existe un ensemble fini ou dnombrableZ ={ui; i I},I N, tel quef soit drivable sur [a, b] Z. Alorsf (prolonge arbitrairement auxpointsui)est KH-intgrable sur [a, b]et on a

ba

f(x) dx= f(b) f(a).

Dmonstration.Soit >0fix. La drivabilit defsur [a, b]Zimplique par dfinitionde la limitef(x)lexistence dune fonction: [a, b]Z]0, +[telle que pour toutx[a, b] Zon ait

y[a, b], y[x (x), x + (x)]

f(y) f(x)y x f

(x) si y=x

f(y) f(x) (y x)f(x) |y x|,()la dernire ingalit tant satisfaite mme si y = x. Dautre part, la continuit de faupoint ui implique lexistence dun nombre (ui)> 0 tel que

() y[a, b], y[ui (ui), ui+ (ui)]f(y) f(ui) 2i.

On peut choisir en outre (ui)assez petit pour que

() (ui) f(ui) 2iCeci dfinit une fonction jauge : [a, b]

R+. Choisissons une subdivision pointe

D ={([aj, aj+1], xj)} -fine. Lorsque xj [a, b] Z, on applique () x = xj ety = aj , y = aj+1 successivement. Ceci donnef(aj) f(xj) (aj xj )f(xj ) (xj aj),f(aj+1) f(xj) (aj+1 xj )f(xj ) (aj+1 xj ),f(aj+1) f(aj) (aj+1 aj )f(xj ) (aj+1 aj ),la dernire ligne sobtenant par soustraction des deux prcdentes (ce qui conduit ajouter les majorants, en vertu de lingalitv u u + v). Lorsque xj Z,disons xj =ui, on applique (

) y = aj et y = aj+1, ce qui donne par soustractionf(aj+1) f(aj) 2 2i.

Daprs ()il vient(aj+1 aj )f(xj ) 2ien xj =ui, et en combinant avec ladernire ingalit on obtientf(aj+1) f(aj ) (aj+1 aj )f(xj ) 3 2i.La sommation de toutes ces majorations, suivant que xj [a, b]Zou quexj =uiZ,conduit

0j


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ce qui impliquef(b) f(a) SD(f) (b a) + 6= (b a + 6).Comme >0 est arbitrairement petit, on a bien montr(3) que b

a

f(x) dx= limKH, D

SD(f) =f(b) f(a).

2.11. Remarque. Le rsultat prcdent nest pas vrai si lon utilise lintgrale deLebesgue (et a fortiori lintgrale de Riemann ordinaire), mme lorsque fest partoutdrivable. En effet, prenons par exemple

f(x) =x2 sin(1/x2), x]0, 1], f(0) = 0.

On voit aussitt que f(0) = limx0 f(x)/x= limx0 x sin(1/x2

) = 0et

f(x) = 2x sin(1/x2) 2x

cos(1/x2), x]0, 1].

La fonction x2x sin(1/x2)se prolonge par continuit sur [0, 1], mais on va montrerque g(x) = 1xcos(1/x

2) nest pas intgrable au sens de Lebesgue sur [0, 1] et quon aen fait

gL1 = 10

|g(x)| dx= +.

Pour le voir, on se place sur les intervalles disjoints Ik = [(k)1/2, ((k

1/3))1/2],k 1, et on observe que| cos(1/x2)| 12 sur Ik, do

Ik

|g(x)| dx 12

Ik

1

xdx

1

2log

k

(k 1/3) = 1

4log

1

1 1/3k 1

12k.

Lintgrale10|g(x)| dxest donc divergente, puisquek1 1k diverge.

2.12. Corollaire. Soitfune fonction drivable sur un intervalleIdeR, sauf peut-tre sur un ensemble dnombrableZ I, telle quef = 0 surI Z (resp. E=R et

f

0, resp. f

0). Alorsf est constante(resp. croissante, resp. dcroissante).

Dmonstration. En effet, pour tous points a < b dans I, on voit que la diffrencef(b) f(a) = b

af(x) dxest gale 0(resp. positive ou nulle, ngative ou nulle).

2.13. Remarque. Pour quune fonction f : I R drivable soit strictementcroissante, il faut et il suffit, daprs ce qui prcde, que f 0 sur I et que la

(3)

f f

F

F

=f

F=f+


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drivefne sannule identiquement sur aucun sous-intervalle J Ide longueur> 0 :la dmonstration est immdiate. Ceci nempche pas que la drive dune fonctionstrictement croissante puisse cependant tre nulle sur un ensemble assez gros, mmenon dnombrable. Ainsi, siK [0, 1] est lensemble triadique de Cantor, la fonctionu(x) = d(x, K) est nulle sur K (qui est dintrieur vide) et strictement positive sur[0, 1] K, et sa primitive f(x) = x0 u(t)dt dfinit donc une fonction strictementcroissante dont la drive f(x) =u(x)sannule sur lensemble non dnombrable K.

2.14. Thorme des accroissements finis. Si f : [a, b] E est continue etadmet une drive telle quef(x) Men dehors dun ensemble au plus dnombrableZ[a, b], alors

f(b) f(a) M(b a).

Dmonstration. Si on pose f= 0sur Z, on obtient aussitt grce 2.5 (c)

f(b) f(a) b

a

f(x) dx b

a

f(x) dx M(b a).

Le corollaire 2.12 montre en particulier que les primitives sont uniques une constanteadditive Cprs. Le thorme fondamental 2.10 peut aussi snoncer comme une formulede calcul dune intgrale partir de la primitive dune fonction.

2.15. Calcul des intgrales au moyen de primitives. Sif : [a, b] Radmet uneprimitiveF (au sens gnralis oFest continue sur [a, b] etFdrivable de driveF =fsur le complmentaire dun ensemble au plus dnombrableZ [a, b]), alorsfest KH-intgrable et b

a

f(x)dx= F(b) F(a) encore notF(x)ba

.

2.16. Formule dintgration par parties. Soient E un espace de Banach sur lecorps K = R ou C, et u : [a, b] K, v : [a, b] E deux fonctions drivables. Leproduituv est alors drivable et (uv) =uv+uv. Par consquent uv = (uv) uvest intgrable si et seulement si uv lest, et dans ce cas

u(x)v(x)

ba

= b

a

(uv)(x) dx= b

a

u(x)v(x) dx + b

a

u(x)v(x) dx.

On a donc la formule ba

u(x)v(x) dx=

u(x)v(x)b

a b

a

u(x)v(x) dx,

qui peut encore se rcrire de manire plus abrge

ba

u dv= uvba ba

v du.


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Il en rsulte que la translationg : xg(x) =g xest une bijection de X dinverseg1 , et que g g est un homomorphisme de groupes de (G, ) dans le groupe(Bij(X), ) des bijections de Xdans lui-mme : on a en effet g1 g2 = g1g2 pourtous g1, g2 G. On pourrait dailleurs, de manire quivalente, dfinir une action gauche deGdansXcomme tant un homomorphisme de groupesG

Bij(X),g

g,

et on poserait alors g x= g(x).De manire similaire, une action droitede Gsur Xest une application

X GX, (x, g) x g

satisfaisant les proprits x 1G =x et (x g1) g2 =x (g1 g2)pour tous g1, g2Get tout xX. Si g(x) =x g est la translation droite, on a

g2g1(x) = g2(g1(x)) = g2(x g1) = (x g1) g2

et on voit donc que g2 g1 = g1g2 . Si le groupe G est commutatif, on le note engnral sous la forme dun groupe additif(G, +)et une action gauche(g, x) g +xest la mme chose quune action droite (x, g)x +g , on se permet donc dutiliserindiffremment lune ou lautre des notations.

3.2. Dfinition. tant donn un espace vectoriel(E, +, )sur un corpsK, un espaceaffineEde directionEest un ensembleEdlments appels points, muni dune actionadditive droite de(E, +)sur Eque lon notera dans un premier temps

E EE, (M, v)M+v (parfois note gauchev +M),satisfaisant les proprits additionnelles suivantes :

(i) laction est fidle, cest--dire que la translation v : M M + v concide aveclapplication identiqueIdE si et seulement siv= 0 ;

(ii) laction est transitive, cest--dire que pour tous points M, N E, il existe unvecteurvEtel queM+v =N.

Laxiome (i) revient dire que lhomomorphismvvest injectif. Il en rsulte que levecteurvstipul par laxiome (ii) est unique. En effet, si N=M +v =M+w, alorsM+ (v w) =M. Mais alors tout point Pscrit sous la forme P =M +h, hEen utilisant de nouveau (ii), donc

vw(P) =P + (v w) = (M+h) + (v w) =M+ (h + v w)= (M+ (v w)) +h = M+h = P

do vw = IdE et par suite v w= 0daprs laxiome (i).Pour ne pas alourdir les notations, on notera simplement + laction +, et luniquevecteurvtel que M+v = N sera not simplement v=M N, ou encore v= N M.


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E0

v

E M

N=M+ v

M+ N ???

Fig. 3. Espace affine Eet espace vectoriel associE

3.3. Remarque. Insistons sur le fait que Ene possde pas dorigine privilgie, alors

que lespace vectoriel E, quant lui, possde un point privilgi qui est le vecteur0.Outre laddition dun point et dun vecteur, note indiffremment droite E EEou gauche, E E E (v, M) M +v = v +M, on a donc une opration desoustraction E EE, (M, N)N Mbien dfinie. On notera cependant quilnexiste pas dopration daddition des points E EE, (M, N)M+ N, cf. Fig. 3ci-dessus. En revanche (voir Problme 3.14 ci-dessous), on peut dfinir un espacevectorielE contenant la fois lespace vectoriel Eet lespace affine E comme partiesdisjointes, dans lequel toutes les oprations algbriques usuelles daddition et decombinaisons linaires sont autorises (comme cest le cas dans tout espace vectoriel).Cet espace vectoriel

E vrifie dimK

E = dimK E+ 1 et sappelle lespace vectoriel

universel associ lespace affine E. Nous naurons pas loccasion dutiliser de telsespaces dans ce cours, mais ils peuvent tre trs utiles en gomtrie projective.

3.4. Consquence. Pour tout pointM0E, lapplicationEE, vM=M0+ vest une bijection, dont la bijection inverse est E E, M v =M0M = MM0.En outre, si(ei)iIest une base algbrique deE, on a une bijection

K(I) E, (xi)iIM=M0+iI

xiei

de lensembleK(I) des familles(xi)iI coefficients presque tous nuls dansKvers E.On voit alorsM0 comme point origine, et on dit que(M0; ei)iIest un repre deE.

On notera que la bijection ainsi construite entre Eet Edpend du choix de lorigine,un changement dorigine M0M1 revenant juste oprer une translation de vecteurM0M1 dans E.

3.5. Exemple. Tout espace vectoriel E, muni de laction additive E E E,(v, M)v + Mpeut tre considr comme un espace affine de direction E. On critdans ce cas E = E, lidentification entre E et E tant ralis par le choix du vecteurnul comme origine particulire.


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3.6. Sous-espaces affines. On dit quune partieSdun espace affineEest un sous-espace affine siS=et sil existe un sous-espace vectorielSEtelle que la restrictionde laction(v, M) v + M S Sfasse de Sun espace affine de directionS.

Si Sest un sous-espace vectoriel de E et P

E un point quelconque, alors P+S={M = P+v ; v S} est un sous-espace affine de E. Par dfinition, les sous-espacesaffines sont tous de cette forme. On notera que les sous-espaces affines dun espacevectorielEsont des translatsP+ Sdes sous-espaces vectoriels, mais en gnral ils necontiennent pas le vecteur nul et ne sont alors pas des sous-espaces vectoriels (cest lecas seulement si P S, auquel cas P+ S=S).

3.7. Proposition. Toute intersection

Side sous-espaces affines(Si)Ide directionsSi est soit lensemble vide, soit un sous-espace affineS de directionS=

Si.

Nous laissons au lecteur la vrification trs facile de ce rsutat. On notera en particulier

que si S1 = P1 + S, S2 = P2+S sont des sous-espaces affines de mme direction S(sous-espaces affinesparallles), alors S1 S2 =ds que S1=S2, ce qui quivaut lacondition v= P2 P1 /S.On introduit maintenant les applications affines, qui sont aux espaces affines ce quesont les applications linaires aux espaces vectoriels.

3.8. Applications affines. Soient E, Fdes espaces affines associs des espacesvectoriels E, F sur le corpsK. On dit quune application u : E F est affine silexiste une application linaireLK(E, F)telle que pour tous pointsM , N E on ait

u(M)u(N) =(M N), soit encore u(N) u(M) =(N M).

On notera que cette application linaire si elle existe, est ncessairement unique dufait que les diffrences N Mengendrent tous les vecteurs de E.

3.9. criture des applications affines. Fixons un point O E comme origine deE et un point O F comme origine de F. Si u : E F est une application affinedapplication linaire associe, il existe un vecteur bFtel queu(O) =O + b. Pourtout point M=O + x

E on a alors

u(M) u(O) =(M O) =(x) =u(M) =u(O) + (x) =O + ((x) + b),

et on peut donc crire au choix

u: O + xO + ((x) + b) ou(3.9)u: MO+ (M O) + b.(3.9)

Si lon utilise les identifications

EE, xO + x, F F, yO+ y,


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lapplication constante fv(M) = v. Si E est de dimension finie, montrer quelon a dimKE= dimK E+ 1.

(iii) Montrer quon peut dfinir une application affine E

Een associant tout point

A E lapplication fA(M) =M A et que A fA est une bijection de E surlhyperplan affine p

1

(1)deE.Dans la suite on identifie EE et EE aux hyperplans vectoriel p1(0) et affinep1(1)deE, via les injections dfinies en (ii) et (iii).(iv) Avec lidentification ci-dessus, calculer B A(cest--direfB fA) dansE. Plus

gnralement, si (Ai, i) est un systme de points pondrs, i K, calculeriAi suivant que

i est nul ou non, et interprter p(

iAi) [on utilisera

bien sr le barycentre . . .]

(v) Montrer quun repre (O; ei)de E nest pas autre chose quune base de

Etelle que

OE et eiE.

(vi) Soit Fun autre espace affine,Fson espace vectoriel universel, et p :F K lepoids associ. Si u : E Fest une application affine, montrer que ustend enune application linaireu:EFunique, et que lon a pu= p.Si Y =AX+ B est lcriture de udans des repres (O; ej)de Eet (O; i)de F,interprter la matrice deulorsquon considre ces repres comme des bases deEetFrespectivement.


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Contexte gnral. Nous travaillerons ici dans le contexte des espaces de Banach ; plusprcisment on prendra souvent un espace affine Eassoci un espace de BanachEsurK = Rou C (mais seule la structure despace vectoriel rel interviendra au niveau desvariables). Les lments de Eseront considrs comme des points, et souvent nots x,tandis que les lements de h E seront utiliss comme des petits accroissementsvectoriels, de sorte que x + h E est un point voisin de x. La norme de Edfinitune distance d(x, y) =yx sur E, et (E, d) peut ainsi tre vu comme un espacemtrique complet. Les calculs concrets et les exemples seront souvent prsents en

dimension finie, mais beaucoup de dmonstrations utilisent seulement la compltude,et fonctionnent sans changement en dimension infinie. Lintrt de ce point de vue estaussi de permettre des notations plus concises il est plus simple dcrire x E que(x1, . . . , xn) Rn, outre le fait quon dgage ainsi davantage les structures gomtriquesmises en jeu et leur caractre intrinsque.

Soient E, F des espaces de Banach rels et E, F des espaces affines associs. Onconsidre unouvertUde Eet une application f :U F.

1.1. Dfinition. On dit quef : EU Fest diffrentiable en un pointxU silexiste une application linaire continue Lc(E, F) et un voisinageV de0 dansEtel quex + VU et

f(x + h) =f(x) + (h) + h (h) pour touthV ,o: VFest telle que limh0 (h) = 0.

Lorsque dimR E= dimR F= 1on peut visualiser cette dfinition comme suit :

U

f g

x + V0 x x + h

f(x)

f(x + h)

E

F

h

(h)

h(h)

Fig. 1. Applicationfet son application linaire tangente


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On peut interprter ici (h)comme lapartie linairede laccroissementf(x + h) f(x)eth(h)comme un terme derreur, infiniment petit devanth(le rapport vaut(h)qui tend vers 0 en norme quand h0). Pour cette raison le terme derreur est parfoisnoth(h) =o(h), mais par souci de prcision nous nutiliserons pas trs souventcette notation dans les dmonstrations. La fonction affine g: E

Ftelle que

(1.3) g(x + h) =f(x) + (h) g(w) =f(x) + (w x), wEadmet un graphe qui fournit la tangente ou plutt lespace tangent au graphe de f,cf. Chap. III); on lappelle la fonction affine tangente fau point xU.

1.3. Dfinition. Lapplication linaire Lc(E, F) (associe lapplication affinetangenteg)sappelle lapplication linaire tangente fau pointxU.

En dimension quelconque le schma est le suivant (ici, dimR E= dimR F= 2).

x

w= x+h

F

f(x)+(h)

EF

h

h(h)

(h)

U E

V

f f(x)

f(x+h)

g g(w)

Fig. 2. Application linaire tangente et affine tangenteg une fonctionf

Une formule essentielle est la suivante :

(1.4) (h) =hf(x) =def

limt0 f(x + th) f(x)t ,

o hf(x)est par dfinition ladrive directionnelledefsuivant le vecteurhau pointx.Cest aussi par dfinition la drive u(0)de la fonctionu(t) =f(x + th),t] 0, 0[.Pour dmontrer (1.4), on remplace h par th dans la dfinition de la diffrentiabilit, cequi donne pour t= 0assez petit

f(x + th) f(x)t

=1

t

(th) + th (th)

=(h) h (th),

et on a bien limt0 (th) = 0. Lunicit de la limite dans un espace norm implique

alors la consquence suivante.


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Lexemple suivant montre que la rciproque est fausse.

1.10. Exemple.Sur E= R2, soit f : R2 Rtelle que f(0, 0) = 0et

f(x1, x2) = x31x2

x81+ x22si (x1, x2)

= (0, 0).

Regardons la drive directionnelle enx= (0, 0)suivant un vecteurh= (h1, h2)= (0, 0)quelconque. Si t= 0, on a

f(th) =f(th1, th2) = t4h31h2

t8h81+ t2h22

=t2 h31h2

t6h81+ h22

, f(th)

t =t

h31h2t6h81+ h

22

.

Si h2= 0 le dnominateur ne sannule pas, et on trouve hf(0) = limt0 f(th)t = 0.Mais il en est de mme si h2 = 0, car dans ce cas f(th)est identiquement nul. Toutesles drives directionnelles hf(0) existent et sont nulles, et on a donc en particulier

fx1(0, 0) =fx2(0, 0) = 0. Cependant, si on prend la limite de f(x1, x2)en (0, 0)le longde la courbe (x1, x2) = (t, t4), il vient

limt0

f(t, t4) = limt0

t7

2t8= lim

t01

2t=,

la fonction f nest mme pas borne au voisinage de (0, 0), a fortiori elle nest pascontinue et pas diffrentiable en (0, 0). Cet exemple souligne aussi le fait que pourtudier le comportement dune fonction en un point x, il nest pas du tout suffisantdexaminer le comportement de f le long les droites t x+ th passant par x, lespathologies pouvant par exemple se manifester le long de certaines courbes passant

par xautres que des segments de droites.

Un cas intressant est le cas o la fonction f est valeurs dans F = R. Alorsdf(x) Lc(E,R) = E, cest--dire que df(x) peut tre considr comme une formelinaire (continue) sur E. Si E est de dimension finie et rapport un repre(O; ej )1jn, les fonctions coordonnes j : x xj sont alors des fonctions affinesdont les applications linaires associes hhj ne sont autres que les formes linairescoordonnes, cest--dire par dfinition les lmentsej de la base duale(e

j )de E

. Onconvient de noter simplement dxj ce que formellement on devrait plutt noter dj(x)[ou, pour pinailler encore plus, d(xxj )(x)] et daprs la Proposition 1.7 (i) on a(1.11) dxj =e

j , dxj (h) =e

j (h) =hj .

On a fxj (x) =ejf(x) =df(x)(ej), donc pour h=

1jn hj ejEquelconque

df(x)(h) =df(x)1jn

hj ej

=

1jn

hjf

xj(x) =

1jn

f

xj(x) dxj(h)

On obtient ainsi lexpression usuelle de la diffrentielle

(1.12) df(x) = 1jnf

xj (x) dxj.


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o toutes les variables xk, k=j , sont fixes. Il est facile de voir que df(x)existe si etseulement si toutes les applications linaires tangentes dfi(x) Lc(E, Fi) existent, etalors

df(x)(h) = df1(x)(h)

..

.dfm(x)(h) .De plus, si df(x)existe, toutes les diffrentielles partielles dxjfi(x)existent, et on a

dxjfi(x)(hj ) =dfi(x)(0, . . . , 0, hj , 0, . . . , 0), dfi(x)(h) =

1jn

dxjfi(x)(hj )

[cependant, lexistence des diffrentielles partielles dxjfi(x) nimplique pas celle de ladiffrentielle totale df(x), comme on la vu dj dans le cas o Ej =R, 1 j 2, etF =F1 = R ]. Enfin, si het df(x)(h)sont nots sous forme de matrices colonnes, on a

(1.15) df(x)(h) =

1jn

dxjfi(x)(hj )1im

=

dxjfi(x)1im1jn

h1...hn

,ce quon interprte en dimension finie par le fait que la matrice jacobienne de df(x)se dcompose en blocs qui sont les matrices jacobiennes des diffrentielles partiellesdxjfi(x) Lc(Ej, Fi).

2.A. LinaritUne premire opration trs simple consiste prendre des combinaisons linaires,lorsque F = F est un espace de Banach sur le corps K = R ou C. Dans ce cas,nous laissons au lecteur le soin de vrifier quune combinaison linaire f+g estdiffrentiable en un point x dun ouvert Udun espace affine de Banach E ds quef, g: U Fsont diffrentiables au point x, et que(2.1) d(f+ g)(x) =df(x) + dg(x) Lc(E, F).Autrement dit, la diffrentiation est une opration linaire, aussi bien sur K= R que

surK = C, ds lors que lespace darrive F= Fest unK-espace vectoriel.

2.B. Composition des applications

Soient E, F, Gdes espaces affines associs des espaces de Banach E, F, G. Soient Uun ouvert de Eet Vun ouvert de F. On considre une compose

(2.2) g f :U f V g G, xy =f(x)z =g(y) =g(f(x)).Supposons que fsoit diffrentiable en xUet que g soit diffrentiable en y= f(x),dapplications linaires tangentes respectives

= df(x) Lc(E, F), m= dg(y) Lc(F, G).


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Pour tudier la diffrentiabilit de g f, on calcule la variation g f(x + h) g f(x)en fonction de h, pour hassez petit. Le schma est le suivant.

E F G

f g

= df(x) m= dg(y)

U

V

E F G

x

x+h

y=f(x)

z=g f(x)

g f(x+h)y+k

h

(h)

m((h))

y+k= f(x+h)

Fig. 3. Diffrentielle dune composeg fde fonctionsLes hypothses impliquent respectivement

f(x + h) f(x) =(h) + h(h), sih< ,g(y+ k) g(y) =m(k) + k(k), sik< ,

pour h E, k F, > 0, > 0 assez petits, et limh0 (h) = 0, limk0 (k) = 0.Fixons assez petit pour que suph


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Dans des espaces de dimension finie E, F, Gmuni de repres, on a des isomorphismesE Rm, F Rn, G Rp, et en notant les coordonnes respectivement (xk)1km,(yj )1jn, (zi)1ip sur E, F, G, la formule de composition quivaut lgalitmatricielle

gi fxk

(x)1ip1km

= giyj

(f(x))1ip1jn

fjxk

(x)1jn1km

,

ou encore

(2.4) gi f

xk(x) =

1jn

giyj

(f(x))fjxk

(x), 1 i p, 1 k m.

On notera que la dmonstration directe dune telle formule en coordonnes serait bienplus lourde que la dmontration gomtrique en termes des diffrentielles ! De faonabrge, et la manire des physiciens, on crit parfois

zixk

=

1jn

ziyj

yjxk

, 1 i p, 1 k m,

en sous-entendant que y = f(x) est fonction de x et z = g(y) fonction de y (et doncaussi de xpar composition).

Un cas particulier noter est celui o lespace de dpart est E= R, cest dire le caso x f(x) est une fonction dune variable. On utilise dans ce cas le lemme trivialsuivant.

2.5. Lemme. Pour toutR-espace vectorielF, on a un isomorphisme canonique

L(R, F) F, v = (1)F,dont lisomorphisme inverse est

F L(R, F), v(: hhv).

Cet isomorphisme est tellement canonique quon se permet mme souvent dcrireL(R, F) =F. Pour une fonction f :U Fdfinie sur un ouvert U deR ceci revient identifier df(x) L(R, F) =Lc(R, F)avec le vecteur driv

f(x) = limt0

f(x + t) f(x)t

=df(x)(1) F.

Pourg :V G diffrentiable au pointy = f(x), la formule de composition scrit dansce cas sous la forme

(2.6) (g f)(x) =dg(f(x))(f(x)),comme il rsulte de la formule gnrale applique sur laccroissement h = 1. Cest aussile cas particulier de la formule (2.4) lorsquil ny a quune seule variable x1=x.


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2.C. Formule de Leibniz gnralise

Nous commenons par calculer la diffrentielle dune application multilinaire continue,ce qui est assez facile.

2.7. Proposition. SoitE1, . . . , E p, Fdes espaces de Banach et

:E1 . . . EpF, (x1, . . . xp)(x1, . . . xp)

une application multilinaire continue. Alors est diffrentiable en tout point(x1, . . . xp)E1 . . . Ep et pour tout(h1, . . . hp)E1 . . . Ep on a la formule

d(x1, . . . xp)(h1, . . . hp) =

pj=1

(x1, . . . , xj1, hj , xj+1, . . . , xp).

Dmonstration. On reprend essentiellement les mmes calculs que dans le Chap. 0,formules (1.12, 1.13, 1.14) et lon pose x= (xi), h= (hi), M=||||||. Il vient

(x1+ h1, . . . , xp+ hp) (x1, . . . , xp) p

j=1

(x1, . . . , xj1, hj , xj+1, . . . , xp)

=

I{1,...,p}, card I2(xj , hk)jI,kI,< ,

et en notant (h)cette diffrence on obtient

(h) M

I, card I2

iI

xiiI

hi Mp

s=2

p

s

hsxps

M

ps=2

p(p 1)s(s 1)

p 2s 2

hsxps M p(p 1)h2(x + h)p2

=O(h2) =o(h).

De la nous dduisons diverses gnralisations de la formule de Leibniz pour la diffren-tiation dun produit.

2.8. Corollaire. Soit U G un ouvert dun espace affine G, fj : U Ej desapplications diffrentiables valeurs dans des espaces de Banach Ej, 1 j p, et : E1 . . .Ep F une application multilinaire continue. Alors la fonctionu(t) = (f1(t), . . . , f p(t)), tU G est diffrentiable, et

du(t)(k) =

p

j=1 (f1(t), . . . , f j1(t) , dfj (t)(k) , fj+1(t) , . . . , f p(t)), kG.


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Soit A une algbre de Banach. Une premire observation simple est que les lments1A h et 1A+ h sont inversibles pourh < 1. En effet on obtient les inverses sousforme de sries gomtriques convergentes

(1A h)1

=

+

k=0 hk,(3.2)(1A+ h)

1 =+k=0

(1)khk.(3.2)

La formule (3.2) se vrifi immdiatement par passage la limite partir de lindetitalgbrique

(1A+ h + . . . + hN)(1A h) = 1A hN+1,

en utilisant le fait quehN hN tend vers 0 quand N +. La formule (3.2)sen dduit en remplaant hparh. De l on dduit :3.3. Corollaire. LensembleUdes lments inversibles deA est un ouvert. De faonprcise, pour toutxU, la boule ouverteB(x, r) de rayonr


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Dans une algbre commutative comme A = R ouA = Con a ainsid(x)(h) =x2h,mais ceci ne sapplique dj plus aux matrices carres dordre n 2.

Une autre fonction trs importante dans une algbre de Banach est la fonctionexponentielle

(3.7) exp(x) =+k=1

1

k!xk.

Commexk xk, le rayon de convergence de la srie est infini, et exp estdonc dfinie sur A tout entier. Lorsque les lements x, y commutent (xy = yx), ladmonstration usuelle par srie produit montre que exp(x+y) = exp(x) exp(y), maisen gnral cette galit nest pas vraie. Si lalgbreAest commutative, lgalit

exp(x + h) = exp(x) exp(h) = exp(x)

1A+ h + O(h2

montre facilement qued exp(x)(h) = exp(x)h, mais cette formule nest pas valable dans

le cas non commutatif. En gnral, la formule (attribue R.M. Wilcox, 1966) est lasuivante :

(3.8) d exp(x)(h) =

10

exp(tx) h exp((1 t)x) dt.

Nous laissons le lecteur vrifier les dtails. En utilisant les calculs dj faits pour ladiffrentiation des formes multilinaires, on voit que

(x + h)k xk =k1

j=0xj hxkj1 + O(h2),

les termes derreur tant majors prcisment par k(k1)h2(x+h)k2. Ontrouve ainsi que la diffrentielle de lexponentielle est donne par la srie convergente

d exp(x)(h) =+k=0

1

k!

k1j=0

xj hxkj1,

et il faut comparer ce rsultat avec lintgrale (3.8), ce quon fait en vrifiant parrcurrence sur nque

10

tn(1 t)pdt= n!p!(n+p+1)! .Pour terminer, nous considrons le cas de lalgbre An des matrices carres nnsur K = R ou C, et allons donner de nouvelles formules pour la diffrentiation dudterminant. Commenons par le cas o X = In (matrice unit dordre n). Dans cecas, si h= (hij)un calcul direct donne

det(In+ h) =

1in

(1 + hii) + O(h2)

car les termes non diagonaux du dterminant comportent ncessairement au moinsdeux termes situs hors de la diagonale (une permutation de n lments ne peut pasfixer (n 1)lments sans les fixer tous). En dveloppant le produit, on trouve ainsi

det(In+ h) = 1 + 1in hii+ O(h2) = 1 + tr(h) + o(h)


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ou tr :htr(h)est la trace, la diffrentielle de Axdet(x)au point x= Inestdonc autre que la forme linaire trace. En une matrice inversible x, on trouve ainsi

det(x + h) = det

x(In+ x

1h)

= det(x) det(I+ x1h)

= det(x)1 + tr(x1h) + o(h),do, pour xAn inversible la formule

(3.9) d det(x)(h) = det(x) tr(x1h) = det(x) tr(hx1).

On observera que det(x)x1 nest autre que la transpose de la comatrice de x, quenous noteronsx. Ceci donne encore(3.10) d det(x)(h) = tr(

x h) = tr(h

x).

Si on crit x = (x1, . . . , xn) sous forme de n matrices colonnes xj conscutives, laformule de Leibniz donne pour tout xAn

(3.11) d det(x)(h) =n

j=1

det(x1, . . . , xj1, hj, xj+1, . . . , xn).

La comparaison de (3.10) et (3.11) implique quil sagit dune identit polynomiale enles coefficients dex et h, en particulier la formule (3.10) est vraie mme lorsque x nestpas une matrice inversible.

Soient E, Fdes espaces de Banach, et E, Fdes espaces affines associs. On se donneune fonction diffrentiable f : U Fdfinie sur un ouvert U de E. La question quelon se pose est destimer la variationf(b)f(a)de fentre deux points a, bUsitusdans la mme composante connexe de U. Rappelons dabord le lemme topologiquesuivant.

4.1. Lemme. Soit U sur un ouvert dun espace norm (lhypothse de compltudenest pas ncessaire ici). Alors deux points a, b U sont dans la mme composanteconnexe deUsi et seulement si il peuvent tre joints dansUpar un chemin polygonal(ligne brisea= a0, a1, . . . , aN =b avec [ai, ai+1]U).

Dmonstration. Comme limage dun connexe par une application continue est unconnexe, limage dun chemin continu : [, ] U (en particulier un cheminpolygonal) est connexe, et les extrmits a=(), b= () sont alors dans la mmecomposante connexe de U. Inversement, considreons la relationRdansUdfinie parx R y si x, ypeuvent tre joints dansUpar un chemin polygonal. Cest clairement unerelation dquivalence, et daprs ce qui prcde la classe dquivalence CR(x)de toutpoint x Uest contenue dans la composante connexe Cx de x. Or, si y CR(x), ilexiste une boule ouverteB(y, r)telle queB(y, r)

U, et comme tout pointz

B(y, r)

est reli y par le segment [y, z] B(y, r) U, on en dduit que B(y, r) CR(x).


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Ceci montre que les classes dquivalence sont ouvertes. Mais alors, elles sont aussincessairement fermes dans U, car toute classe dquivalence est le complmentairede la runion des autres classes. Il en rsulte que CR(x) Cx est la fois ouvert etferm dans Cx, non vide (puisque xCR(x) Cx). Ceci implique CR(x) Cx =Cx,donc Cx

CR(x).

Compte tenu de ce qui prcde, il est naturel de supposer que les points a, U sontrelis entre eux par un chemin : [, ] U continu et disons de classe C1 parmorceaux, avec

() =a, () =b

(on peut prendre une ligne brise, mais, bien sr, si on le souhaite, il est possibledarrondir les points anguleux pour avoir un chemin de classe C1). Alors f estcontinue sur [, ]et diffrentiable en dehors des points anguleux de (en nombre finipar hypothse). Comme (f )= (df )()daprs (2.6), il vient

(4.2) f(b) f(a) =f(()) f(()) =

df((t)

((t)) dt

On utilise maintenant lingalit

df((t)((t)) |||df((t))|||(t).La quantit(t)dtsinterprte comme la norme du dplacement infinitsimal, et onpose par dfinition

(4.3) longueur() =

(t)dt

[dans le cas dune ligne brise, cette longueur nest autre queN1

i=0 ai+1ai, cf.aussi Exercice ???]. En passant au sup de la norme pour lintgrande de (4.2), on endduit :

4.4. Ingalits des accroissements finis. Si f : U F est diffrentiable et si : [, ]Uest un chemin de classeC1 par morceaux relianta, bU, on a

f(b) f(a) supxIm() |||df(x)||| longueur().

Le cas le plus simple est bien sr celui dun segment [a, b] contenu dans louvert U,paramtr par

(t) =a + t(b a) = (1 t)a + tb, t[0, 1].

Dans ce cas on trouve simplement

(4.5) f(b) f(a) supx[a,b] |||df(x)|||b a.


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On notera quen fait 4.2 et 4.4 sont vrifis ds lors que est continu sur [a, b] etdiffrentiable en dehors dun ensemble dnombrable, et quil suffit de mme que f soitcontinue surIm()et diffrentiable en dehors dune partie dnombrable de Im()(resp.du segment [a, b], pour ce qui est du cas particulier (4.5)). Le cas particulier de (4.2)avec(t) =x + th, t

[0, 1], donne galement la formule utile

(4.6) f(x + h) f(x) = 10

df(x + th)(h) dt

ds que fest diffrentiable sur le segment [x, x+ h]. Voici quelques consquencesimmdiates de ces ingalits.

4.7. Proposition. Soitf :U Fune fonction diffrentiable telle quedf= 0surU.Alorsfest constante sur chaque composante connexe deU.

4.8. Proposition. Soitf :U

Fune fonction diffrentiable.

(i) Sifest lipschitzienne de rapportsurU, cest--dire quef(y)f(x) yxpour tousx, yU, alors|||df(x)||| en tout pointxU.

(ii) Rciproquement, siU est convexe et si|||df(x)||| M sur U, alors f est lipschi-tzienne de rapportM surU.

Dmonstration. (i)On sait que

df(x)(h) =hf(x) = limt0

f(x + th) f(x)t

.

Llypothse quefest-lipschitzienne implique f(x +th)f(x) |t| h, on trouvedoncdf(x)(h) het donc|||df(x)||| .(ii) Cette affirmation rsulte aussitt de (4.5) appliqu tout segment [a, b] U,compte tenu de lhypothse de convexit.

4.9. Remarque. Lnonc 4.8 (ii) nest pas vrai si Unest pas convexe. Considronspar exemple dansR2 Cla couronne U={z C ; 1


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Il rsulte de lexemple 1.10 quune fonction admettant des drives partielles entout point nest pas ncessairement diffrentiable. Cependant, la situation samliorebeaucoup si on suppose que les drives partielles sont continues.

5.1. Thorme. Soit sur un ouvertUdun espace affineEde dimension finie, munidun repre et de coordonnes E Rn. Soit f : U F une fonction admettant desdrives partielles f

xjsur un voisinage V dun point x U, qui sontcontinues au

point x. Alorsfest diffrentiable au pointx, et

df(x)(h) =n

j=1

f

xj(x) hj .

Dmonstration. On peut supposer E= Rn. Lexistence des drives partielles permetdcrire

f(x + h) f(x) =n

j=1

f(x1+h1, . . . , xj1+hj1 , xj +thj, xj+1, . . . , xn)

t=1t=0

=n

j=1

10

f

xj(x1+h1, . . . , xj1+hj1 , xj +thj, xj+1, . . . , xn) hjdt,

lintgrale tant bien dfinie au sens de Kurzweil-Henstock puisquon intgre la drivedune fonction drivable. Si on pose (h) =

1jn

fxj

(x)hj , il vient

f(x + h) f(x) (h) =

=

nj=1

10 f

xj(x1+h1, . . . , xj1+hj1 , xj +thj, xj+1, . . . , xn) f

xj(x)hjdt.

Fixons > 0. Lhypothse de continuit de fxj implique quil existe > 0 tel

quey x = max |yj xj| < implique fxj (y) fxj

(x) . Si on prendh= max |hj |< , on obtient donc en normef(x + h) f(x) (h) n

j=1

|hj | nh.

Ceci montre bien quefest diffrentiable en xet que df(x) =.

5.2. Gnralisation.Une dmonstration presque identique donnerait le rsultat plusgnral suivant : soit E = E1. . .En un produit despaces de Banach, U Eun ouvert et f : U F, (x1, . . . , xn) f(x1, . . . , xn) une fonction admettant desdiffrentielles partielles dxjf(y) Lc(Ej, F) pour y dans un voisinage V dun pointx = (x1, . . . , xn) E, avec de plus y dxjf(y) continue au point x. Alors f estdiffrentiable en xet

df(x)(h) =n

j=1

dxjf(x)(hj) Lc(E, F).


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6.A. Isomorphismes canoniques

Soient E1, E2, . . . E p, F des espaces de Banach. Nous affirmons quil existe un

isomorphisme canonique

(6.1) Lc(E1, Lc(E2, F)) L2c (E1, E2; F)

sur lespace des applications bilinaires continues E1 E2F, et plus gnralementun isomorphisme canonique

(6.1p) Lc(E1, Lc(E2, Lc(. . . Lc(Ep, F) . . .))Lpc (E1, E2, . . . , E p; F)

sur lespace des applications p-multilinaires continues E1

E2

. . .

Ep

F. De

plus ces isomorphismes sont aussi desisomtries despaces de Banach, cest--dire quilsconservent les normes||| |||. Dmontrons-le par exemple pour (6.1).Partons dune application linaire Lc(E1, Lc(E2, F)). Pour h1E1, h2E2 nousavons (h1) Lc(E2, F)et on peut donc valuer (h1)(h2)F. Posons

(h1, h2) =(h1)(h2).

Il est clair que dfinit une application bilinaire E1 E2F. De plus

(h1, h2)=(h1)(h2) |||(h1)||| h2 |||||| h1 h2,donc est continue et|||||| ||||||. Rciproquement, si nous partons dune formebilinaire continue L2c (E1, E2; F) on peut lui associer lapplication linaire Lc(E1, Lc(E2, F))en posant

: E1h1(h1) =

h2(h1, h2) Lc(E2, F).

Comme(h1, h2) |||||| h1 h2, on trouve|||(h1)||| ||||||h1 pour touth1E1, donc|||||| ||||||. Lisomorphisme (6.1p)sobtient de mme en posant

(6.2) (h1, h2, . . . , hp) =(h1)(h2) . . .(hp).

Comme lcriture ne diffre que par la position de virgules et des parenthses, on sepermet didentifier les espaces obtenus : on identifiera ainsi et , et on utilisera lesymbole = au lieu depour un tel isomorphisme canonique. Par rcurrence sur p, oneffectuera galement lidentification

(6.3) Lc(E1, Lp1c (E2, . . . , E p; F)) = L

pc (E1, E2, . . . , E p; F)


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6.B. Diffrentielles dordre suprieur

On note ici Lpc (Ep ; F)lespace des applicationsp-multilinairesEp =E . . .EF.

Daprs les isomorphismes 6.A, on peut dfinir par rcurrence une diffrentielle p-ime

d

p

f :U Lp

c (E

p

; F) par dp

f=d(dp

1

f),

car on obtient inductivement

d(dp1f) Lc(E, Lp1c (Ep1 ; F)) = Lpc (Ep ; F).

De faon prcise :

6.4. Dfinition. Soient E, Fdes espaces affines associs des espaces de BanachE, F, soitUun ouvert de Eetf :U Fune application. On dit que(i) f estp-fois diffrentiable en un pointx

Usil existe un voisinage ouvertV dex

sur lequeldf, d2f, , . . . , dp1fexistent, et sidpf(x)existe.(ii) que f est de classe Cp sur U si f est continue et admet des diffrentielles

df, d2f , . . . , dpf qui sont elles-mmes continues sur U tout entier (commela diffrentiabilit implique la continuit, il suffit bien sr de vrifier que ladiffrentiellep-imedpf est continue). Sip= 0, fde classeC0 veut simplementdire quefest continue.

Prenons (h1, . . . , hp)Ep. Nous avons par dfinition

dpf(x)(h1) =d(dp1f)(x)(h1) =h1(d

p1f)(x)

Lp1c

(Ep1 ; F).

Pour h = (h2, . . . , hp)Ep1, dsignons par h lapplication linaire continue

h : Lp1c (E

p1 ; F)F, (h2, . . . , hp).

Comme h est linaire continue, elle concide avec sa diffrentielle en chaque point eton a donc

d(h dp1f) =h d(dp1f) =h dpf.Il vient

dpf(x)(h1, . . . , hp) =hdpf(x)(h1) =d(h dp1f)(x)(h1) =h1(h dp1f)(x)avec

h dp1f(x) =dp1f(x)(h2, . . . , hp).On peut encore reformuler ce calcul en crivant de manire condense que

dpf(x)(h1, . . . , hp) =h1

xdp1f(x)(h2, . . . , hp)

(x).

Par rcurrence sur p, on obtient donc

(6.5) dpf(x)(h1, . . . , hp) =h1. . . hpf(x)


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o h dsigne loprateur f hf de diffrentiation dans la direction h E. Endimension finie, disons ERn, il en rsulte galement par rcurrence sur p que pourtout (h1, . . . , hp)Ep on a la formule

(6.6) dpf(x)(h1, . . . hp) = 1j1,...,jpnpf

xj1. . . xjp(x)h1,j1. . . hp,j

p

,

avechi = (hi,1, . . . , hi,n).

Nous verrons plus loin que lordre des diffrentiations nimporte pas si fest supposep-fois diffrentiable. Mais ce nest pas vrai si on suppose seulement lexistence de drivespartielles, comme le montre lexemple suivant.

6.7. Exemple de non commutation des drives partielles. Considrons lafonction f : R2 Rtelle que

f(x, y) = xy3

x2 + y2 si(x, y) = (0, 0), f(0, 0) = 0.

Les drives partielles premires sont donnes par

f

x(x, y) =

y3(y2 x2)(x2 + y2)2

si (x, y) = (0, 0), fx

(0, 0) = 0,

f

y(x, y) =

xy2(3x2 + y2)

(x2 + y2)2 si (x, y) = (0, 0), f

y(0, 0) = 0.

Elles sont continues en (0, 0), de sorte que f est partout diffrentiable (et mme de

classe C1

) surR2

, et on af

x(0, y) =y =

2f

yx(0, 0) = 1,

f

y(x, 0) = 0 =

2f

xy(0, 0) = 0.

Accessoirement, on peut vrifier que pour (x, y) = (0, 0),2f

xy(x, y) =

2f

yx(x, y) =

(6x2y2 3x4 + y4)y2(x2 + y2)3

na pas de limite en (0, 0).

A laide dun raisonnement par rcurrence, le Thorme 5.1 fournit aussitt la con-squence suivante qui montre que le point cl est la continuit des drives partiellesdordre le plus lev.

6.8. Proposition. SiU E est un ouvert dun espace affineEde dimension finie, etsif :U Fadmet des drives partiellessf/xj1. . . xjs jusqu lordres= p, et siles drives partielles dordrepsont continues surU, alorsfest de classeCp surU.


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6.C. Diffrences finies et thorme de Schwarz

On va maintenant donner une expression commode de la diffrentielle p-ime en termesde diffrences finies itres. Ce type de formule a dailleurs une grande importanceen calcul numrique, car on obtient ainsi aisment des approximations des drives

partielles. Pour hE, on introduit loprateur aux diffrences finies (6.9) hf(x) =f(x + h) f(x).

On suppose ici fdfinie et diffrentiable sur U, avec U ouvert, de sorte que hf estbien dfinie au voisinage de tout point xUsihest assez petit. Pour xUet kEassez petit, la formule (4.6)donne

(6.10) kf(x) =f(x + k) f(x) = 10

df(x + tk)(k) dt.

Supposonsfdeux fois diffrentiable au pointx(cest--direfdiffrentiable au voisinagede xet dfdiffrentiable en x). On peut alors crire

(6.11) hkf(x) = kf(x + h) kf(x) = 10

df(x + h + tk) df(x + tk)(k) dt.

Lhypothse de diffrentiabilit de df en xpermet dcrire

df(x + h) =df(x) + d2f(x)(h) + h(h)

et on trouve donc par diffrence

df(x + h + tk) df(x + tk) = df(x) + d2f(x)(h + tk) + h + tk(h + tk) df(x) + d2f(x)(tk) + tk(tk)

=d2f(x)(h) + h + tk(h + tk) tk(tk).

En valuant cette diffrence (qui est un lment de de Lc(E, F)) sur le vecteur k, onobtient

df(x + h + tk) df(x + tk)(k) d2f(x)(h, k) (h + tk)k (h + tk) + (tk)k (tk).Pour tout > 0 on a(h) sih est assez petit. Pourh /2 etk /2, on en dduit alorsdf(x + h + tk) df(x + tk)(k) d2f(x)(h, k) (h + 2tk)k.Par intgration sur [0, 1]et compte tenu de lgalit (6.11)il vient

hkf(x) d2f(x)(h, k) 10

(h + 2tk)k dt= (h + k)k.


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Si nous remplaons (h, k) par (h, k) avec tendant vers 0, alors peut tre prisarbitrairement petit, et on en dduit aprs division par 2 que

(6.12) d2f(x)(h, k) = lim0

1

2hkf(x).

Commehkf(x) =f(x + h + k) f(x + h) f(x + k) + f(x),

on voit que les oprateurs h et k commutent. Nous pouvons alors noncer :

6.13. Thorme de Schwarz.

(i) Sifest deux fois diffrentiable en un pointxdun ouvertU,d2f(x) Lc(E2, F)esttoujours une application bilinaire symtrique, cest--dire que pour toush, kE

d2f(x)(h, k) =d2f(x)(k, h)

hkf(x) =khf(x).

(ii) Si f est p fois diffrentiable en un point x, dpf(x)(h1, . . . , hp) Lpc (Ep ;F) estp-multilinaire symtrique, cest--dire que

dpf(x)(h(1), . . . , h(p)) =dpf(x)(h1, . . . , hp), h1, . . . , hpE, Sp.

La proprit 6.13 (ii) rsulte de (6.5) et de la commutation des drives directionnelles.Lorsque f est p fois diffrentiable, on peut aussi vrifier cette symtrie directement

partir de la limite des diffrences finies itres, qui fournit la formule

(6.14) dpf(x)(h1, . . . , hp) =h1. . . hpf(x) = lim0

1

ph1. . . hpf(x).

La dmonstration de cette dernire formule est trs semblable au cas p = 2, on critpar rcurrence

h2. . . hpf(x) =

10

. . .

10

dp1f(x + t2h2+ . . . + tphp)(h2, . . . hp) dt2 . . . d tp

laide dune itration de (4.6), ce qui donne

h1. . . hpf(x) =

10

. . .

10

dp1f(x + h1+ t2h2+ . . . + tphp)dp1f(x + t2h2+ . . . + tphp)

(h2, . . . hp) dt2 . . . d tp.

Le reste de la preuve se poursuit de manire analogue en exprimant la condition dediffrentiabilit deg = dp1fenx, qui fait apparatre par diffrencedpf(x)(h1, . . . , hp)et des termes derreur contrls par

hjh2 . . . hpau second membre.


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6.D. Composition de fonctions de classe Cp

Lobjet de cette courte section est de montrer le rsultat assez peu surprenant qui suit.

6.15. Proposition. Si E, F, G sont des espaces affines associs des espaces de

Banach E, F, G, si U E, V F sont des ouverts et f : U V et g : V G

sont des applications p-fois diffrentiables (resp. de classe Cp), alors gf est p-foisdiffrentiable(resp. de classeCp).

Dmonstration. Pour p= 0, cest le thorme de composition des fonctions continues.Pour p= 1, on a d(g f)(x) = (dg)(f(x)) df(x), ce qui peut se rcrire

d(g f) = (dg f, df)

o : Lc(F, G) Lc(E, F) Lc(E, G), (u, v) u v est une application bilinairecontinue (noter que

|||u

v

|||

|||u

||| |||v

|||). Sifetg sont de classeC1, alorsf,df,dg et

sont continues, doncd(g f)est continue et par suiteg fest bien de classe C1. On vavoir en fait plus loin (Lemme 6.16) que toute application multilinaire continue estde classe C. Si nous admettons ce rsultat, alors on voit facilement par rcurrencesurp quef , gde classeCp g fde classeCp. Supposons ce rsultat dj dmontr lordrep 1. Alorsdg tant de classeCp1, on en conclut que dg fest de classeCp1par lhypothse de rcurrence. Mais si f1 : U E1, f2 : U E2 sont de classe Ck,il est trivial que = (f1, f2) : U E1 E2, x (x) = (f1(x), f2(x)) est aussi declasse Ck et que dk= (dkf1, dkf2). Par consquent

(dg f, df) :U Lc(F, G) Lc(E, F)

est de classeCp1, et commeest de classeC(donc en particulierCp1), lhypothsede rcurrence implique de nouveau que d(g f) = (dg f, df)est de classe Cp1.Ceci entrane bien que g fest de classe Cp. Le cas p-fois diffrentiable se dmontrede mme.

6.16. Lemme. Toute applicationp-multilinaire continue

:E1 . . . EpF

est de classeC. Pourhi,j

Ej, 1 i k, 1 j p, etk p on a

dk(x1, . . . , xp)

(h1,1, . . . , h1,p), . . . , (hk,1, . . . , hk,p)

=

Sk, 1j1


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6.17. Remarque. On appelle application polynomiale P : E F de degr s touteapplication de la forme

P(x) =a0+ a1(x) + a2(x)2 + . . . + as(x)

s

o a0 Fest une constante et o, pour k 1, ak : Ek F est une application k-multilinaire continue. Iciak(x)k est une criture abrge pourak(x , . . . , x)(la variablex figurant k fois). On remarquera que lon peut toujours supposer ak multilinairesymtrique, quitte remplacer ak par sa symtrise

ak(x1, . . . , xk) = 1k!

Sk

ak(x(1), . . . , x(k)).

Lorsque E = Rn et F = R, cette notion redonne exactement la notion usuelle depolynme en n variables sur Rn (la continuit tant alors automatique). Notons que

pour tout scalaire Ron aP(x) =a0+ a1(x) +

2a2(x)2 + . . . + sas(x)

s,

de sorte que fk(x) = ak(x)k est la composante homogne de f de degr k. Aprscomposition de ak avec lapplication linaire x (x)k = (x , . . . , x), E Ek,le lemme 6.16 montre que fk est de classe C et donne prcisment dkfk(x) = k!akpour tout x E (si ak est symtrique, on a donc plus simplement dkfk(x) = k! ak).Pour m > kil vient dmfk = 0, doncPest de classe C et dmP = 0pour m > s.

Soit f : U Fune fonction diffrentiable plusieurs fois. Lobjectif est de trouver undveloppement def(x + h)en fonction des puissances successives de h. Pour cela, il estcommode de poser g(t) =f(x +th), t[0, 1], en supposant que le segment [x, x+h]soit contenu dans U. On trouve de proche en proche

g(t) =df(x + th)(h), g(t) =d2f(x + th)(h, h), . . . , g(p)(t) =dpf(x + th)(h)p

o dpf(x)(h)p est une abrviation commode pour dpf(x)(h , . . . , h), comme dans la

remarque 6.17. Si festp-fois diffrentiable sur U, la fonctiong estp-fois drivable sur[0, 1]et des intgrations par parties successives et un raisonnement par rcurrence surpdonnent

() g(1) =g(0) + g(0) + . . . + 1(p 1)! g

(p1)(0) + 10

(1 t)p1(p 1)! g

(p)(t) dt.

Cette formule se rduit en effet g(1) = g(0) +10

g(t) dt pour p = 1, et si g(p+1)

existe, une intgration par parties supplmentaire donne

10

(1

t)p1

(p 1)! g(p)(t) dt= (1 t)pp! g(p)(t)10 + 10 (1 t)p

p! g(p+1)(t) dt,


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le terme entre crochets tant gal prcisment 1p!g(p)(0). En remplaant les drives

de g par leur expression dans (), on obtient :

7.1. Formule de Taylor avec reste intgral. Soitf :U Fune fonctionp fois

diffrentiable surU. Alors pour tout segment [x, x + h]U on af(x + h) =

p1j=0

1

j!dj f(x)(h)j +

10

(1 t)p1(p 1)! d

pf(x + th)(h)p dt

en convenant de noterd0f(x)(h)0 =f(x).

Pour appliquer cette formule, il est indispensable de savoir calculer dpf(x)(h)p.Supposons que E de dimension finie, E Rn, et notons (h1, . . . , hn) les composantesde h dans la base choisie. Daprs (6.6) appliqu avec le vecteur h rpt p fois, on

obtientdpf(x)(h)p =

1j1,...,jpn

pf

xj1. . . xjp(x)hj1. . . hjp .

Il est souvent plus commode dutiliser une notation en multi-indices. Pour cela, chaquep-uplet(j1, . . . , jp),js {1, . . . , n} on associe unn-uplet = (1, . . . , n) Nn,tel que

i =nombre dindices stels que js =i.

Par exemple, si n = 4, p = 7 et (j1, . . . , j7) = ( 3, 4, 2, 4, 1, 3, 3), on trouve =(1, 2, 3, 4) = (1, 1, 3, 2). En regroupant les variables xjs et hjs dans lordre, onvoit que

pf

xj1. . . xjp(x)hj1. . . hjp =

pf

x11 . . . xnn

(x)h11 . . . hnn .

Lalongueurdu multi-indice est par dfinition|| =1+ . . . +n, ici on a|| = ppuisquil y a au totalp indicesjs,s= 1, . . . , p. Cependant, il est clair quon obtient lemme multi-indice si (et seulement si) on permute les indices js. Le nombre de p-uplets(j1, . . . , js)donnant un multi-indice fix est p!/(1! . . . n!). En effet si on faitoprer le groupe Spsur J= (j1, . . . , js), le sous-groupeG qui fixeJpossde1! . . . n!lments, de sorte que lorbite Sp/G possde bien p!/(1! . . . n!) lments. Ceciimplique la formule pratique

(7.2) 1p!

dpf(x)(h)p = Nn, ||=p

11! . . . n!

pfx11 . . . x

nn

(x)h11 . . . hnn .

Par exemple, pour un ouvert U R2 et f : U F, (x, y)f(x, y), on obtient pourtout accroissement (h, k) R2

(7.3) 1

p!dpf(x, y)(h, k)p =

(,)N2, =p

1

!!

pf

xy(x, y)hk .

Dans le cas o F= R, on utilise aussi frquemment la formule de Taylor en combinaisonavec la formule de la moyenne.


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7.4. Lemme (formule de la moyenne). Soit w : [a, b] R+ une fonctioncontinue 0 et g : [a, b] R une fonction relle. On suppose ou bien que g estcontinue, ou bien quewest de classeC1 et queg=f est une drive. Alors il existec]a, b[tel que

ba w(t) g(t) dt=g(c) b

a w(t) dt.

Dmonstration. On peut supposer w non identiquement nulle, et doncb

aw(t) dt >0,

sinon le rsultat est trivial. Posons

m= inf t[a,b]

g(t) [, +[, M= supt[a,b]

g(t)] , +[.

Lencadrementm g(t) M implique

m b

a

w(t) dt b

a

w(t) g(t) dt M b

a

w(t) dt m b

aw(t) g(t) dtb

aw(t) dt M.

Lorsque g est continue, les bornes m, Msont finies et il existe a1, b1 [a, b]tels queg(a1) =m, g(b1) =M. Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, on a

g(]a, b[) g(]a1, b1[)]m, M[,

on peut donc crire le quotient des intgrales sous la forme g(c), c]a, b[, sauf ven-tuellement si les bornes mou Msont atteintes. Si par exemple mest atteinte, on a b

a

w(t) (g(t) m) dt= 0, o w(t) (g(t) m) 0.

Comme w est continue non nulle, il existe un intervalle non vide ]a2, b2[ sur lequelw(t) > 0, ce qui implique

b2a2

(g(t) m) dt= 0. Mais alors la continuit de gimplique g(t) m= 0sur ]a2, b2[, donc il existe certainement encorec]a2, b2[tel queg(c) =m, ce qui donne le rsultat voulu.

Suppposons maintenant w de classe C1 et g=f. Une intgration par parties montreque lintgrale b

a

w(t) f(t) dt= w(t) f(t)ba b

a

w(t) f(t) dt

existe au sens de Kurzweil-Henstock, w et ftant continues. Le thorme de Darboux(cf. ci-dessous) montre que g satisfait encore la proprit des valeurs intermdiaires,donc g(]a, b[) ]m, M[. Ici les bornes ne sont plus ncessairement finies, mais leraisonnement est presque le mme. En effet, si une borne est atteinte par le quotientdes intgrales, elle est ncessairement finie et on conclut comme ci-dessus que (parexemple)

b2a2

(g(t) m) dt= 0. Mais alors, pour tout x]a2, b2[on a

0 = xa2 (g(t) m) dt= x

a2(f(t) m) dt= f(x) f(a2) m(x a2),


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Dmonstration.En effet, on peut appliquer 7.1 lordre p 1et estimer terme termele reste intgral 1

0

(1 t)p2(p 2)! d

p1f(x + th)(h)p1 dt,

au moyen de lgalit de dfinition

dp1f(x + th) =dp1f(x) + dpf(x + th)(th) + th(th),

qui exprime lhypothse de diffrentiabilit de dp1fau point x. tant donn >0,il existe >0 tel queh implique(h) . Comme10 t (1t)p2(p2)! dt = 1p! , ontrouve alors 1

0

(1 t)p2(p 2)! d

p1f(x)(h)p1 dt= 1

(p 1)! dp1f(x)(h)p1,

10

(1 t)p2(p 2)! d

pf(x)(th)(h)p1 dt= 1p!

dpf(x)(h)p, 10

(1 t)p2(p 2)! th(th)(h)

p1 dt p!hp pourh ,

ce qui conclut la preuve de 7.7.

7.8. Remarque. Si f : U F est suppose de classe Cp sur U, on peut appliquerdirectement la formule de Taylor avec reste intgral lordre ppour obtenir

f(x + h) =f(x) + df(x)(h) + . . . + 1p!

dpf(x)(h)p + (x, h) (h)p,

(x, h) =

10

(1 t)p1(p 1)!

dpf(x + th) dpf(x)dt.

On peut alors invoquer la continuit uniforme des fonctions continues sur les compactspour en dduire que limh0 (x, h) = 0uniformment sur tout compact KU, cest--dire que pour tout >0, il existe =K>0 tel que pour tout xKet touthEavech on ait(x, h) .

Remarquons tout dabord que si (fk) est une suite de fonctions C qui convergentuniformment vers une limite f sur un ouvert U E, on ne peut en gnral rien enconclure pour les diffrentielles dpfk. Par exemple, si fk(x) = 1ksin kx, alors il estclair que la suite (fk) converge uniformment vers f = 0 sur R, mais les drivesfk(x) = cos kx ne forment pas une suite convergente. En revanche, si lon fait deshypothses adquates sur les drives, il nest en principe pas trop difficile de remonteraux fonctions par intgration.

8.1. Thorme. Soitfk :U

Fune suite de fonctions diffrentiables sur un ouvertconvexe born U E. On suppose que :


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(i) la suite dfk : U Lc(E, F) converge uniformment vers une fonction limiteg: U Lc(E, F).

(ii) il existe un pointx0U tel que la suitefk(x0)converge vers une limitey0F.Alors la suite (fk) converge uniformment vers une limite f sur U, et on a df = g.

Si de plus les fonctionsfk sont de classeC1, alorsfest de classeC1.

Dmonstration. Soit diam U le diamtre de U, suppos fini. Pour x U, la formule(4.6) avec h= x x0 donne

fk(x) =fk(x0) +

10

dfk(x0+ t(x x0))(x x0) dt.

Grce au thorme I 2.17 et la convergence uniforme des fonctions dfk vers g, on endduit que fk(x)converge vers

f(x) =y0+ 10

g(x0+ t(x x0))(x x0) dt.

En majorant la diffrence, on obtient aisment

fk(x) f(x) fk(x0) y0) + diam U supU

|||dfk g|||

compte tenu du fait que xx0| diam U. Ceci dmontre bien la convergence uniformede (fk)vers f quand k+. Considrons maintenant un point fix xU et hEassez petit pour que x + hU. Nous avons[x, x + h]U et

fk(x + h) fk(x) dfk(x)(h) = 10

dfk(x + th) dfk(x)

(h) dt.

La convergence de fk versfet la convergence uniforme de dfk versg impliquent grceau thorme I 2.17 que

f(x + h) f(x) g(x)(h) = 10

g(x + th) g(x)(h) dt.

Fixons >0. Il existe alors un entier k0tel que|||dfk g||| pour toutk k0, sur Utout entier. En soustrayant les deux galits qui prcdent, on voit dans ces conditionsque fk(x + h) fk(x) dfk(x)(h) f(x + h) f(x) g(x)(h) 2h.En prenant par exemple k = k0, lhypothse que fk soit diffrentiable au point ximplique lexistence de >0 tel que

h< = fk(x + h) fk(x) dfk(x)(h) h.On en dduit

h< = f(x + h) f(x) g(x)(h) 3h.


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Ceci montre que f est diffrentiable en x et que df(x) = g(x). Si de plusfk est declasse C1, alors df = g = lim dfk est continue comme limite uniforme des fonctionscontinuesdfk, par suite fest de classe C1.

Dans les applications, il est utile de saffranchir de lhypothse que U soit convexe,et galement de lhypothse de convergence uniforme des diffrentielles dfk surU toutentier. Il suffit en fait de supposer quon a convergence uniforme localesur U, cest--dire que tout point x U possde un voisinage V sur lequel il y a convergenceuniforme.

8.2. Thorme. Soitfk :U Fune suite de fonctionsp-fois diffrentiables sur unouvertconnexe U E, p 1. On suppose que :(i) la suitedpfk : U Lpc (E, F) converge uniformment au voisinage de tout point

xVvers une fonction limiteg: U Lpc (Ep, F) ;

(ii) pour tout j = 0, 1, . . . , p 1, il existe un pointxj Utel que les suitesdj

fk(xj )converge vers une limiteyj F.Alors

(a) la suite(fk)converge vers une limitef surU, uniformment au voisinage de toutpointxU, etf estp-fois diffrentiable surU;

(b) pour toutj = 0, 1, . . . , p 1, les drivesdj fk convergent versdj f, uniformmentau voisinage de tout pointxU;

(c) si de plus les fonctions fk sont de classe Cp, alors f = lim fk est galement declasseCp.

Dmonstration. Si lon dmontre (a) et (b), alors (c) rsulte immdiatement de ce quedpf = g = lim dpfk est continue par convergence uniforme locale. Il suffit donc dedmontrer (a) et (b), et pour cela on procde par rcurrence sur p.

Commenons par dmontrer le cas p = 1. Soient z, w U. crivons x R w silexiste une chane de points w0 =x, w1, . . . , wN =w et des boules ouvertes Bj U,0 j N 1, en sorte que (a)wj , wj+1Bj et (b)dfk converge uniformment vers gsur Bj . Il est vident que Rest une relation dquivalence. Par hypothse, tout pointx

Upossde un voisinageV =B(x, )sur lequeldfk converge uniformment vers une

limite g, et on a donc x Rw pour tout w V =B (x, ). Ceci montre que les classesdquivalence x sont des ouverts. Mais comme chaque classe x est le complmentairedans Ude la runion des autres classes, cest galement une partie ferme (non vide),et la connexit de Umontre que x= U. En particulier on peut relier tout point xUpar une chane w0 = x0,. . ., wN=x, avec des boules Bj wj , wj+1sur lesquellesdfkconverge uniformment vers g. En utilisant le thorme 8.1 avec U = Bj qui est unouvert convexe born, on voit de proche en proche par rcurrence sur j que fkconvergeuniformment sur Bj . Pourj =N 1, on atteint la bouleBN1 qui contient x = wN,et les proprits (a), (b) sensuivent (dans ce cas, (b) est dailleurs contenue dans (a)).

Pour p 2, on peut appliquer ltape de rcurrence aux fonctions k = dfk quivrifient les hypothses lordre p 1. Les fonctionsk convergent donc localement


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uniformment vers une limite telle que dp1 = g, et le cas p = 1 dj dmontrdonne une limite f= lim fk telle que df= , do dpf=dp1 = g .

Pour les sries de fonctions, on a la consquence suivante.

8.3. Proposition. Soitkk0 fk une srie de fonctions fk : U F de classeCp valeurs dans un espace de Banach F, dfinies sur un ouvert connexe U E. Onsuppose que :

(i) la srie

kk0dpfkconverge uniformment sur un voisinageVde tout pointxU;

(ii) il existexjUtel que les sries

kk0dj fk(xj )convergent pourj = 0, 1, . . . , p1.

Alors la srieS(x) =

kk0fk(x)est uniformment convergente au voisinage de tout

point deU, la sommeSest de classeCp et on adj S=

kk0dj fk avec convergence

uniforme locale pourj = 0, 1, . . . , p ( proprit de drivation terme terme ).

Dmonstration. On se ramne au thorme 8.2 en considrant la suite des sommespartiellesSk(x) =

k0lk

fl(x), ce qui donne le rsultat pour la convergence uniformelocale des diffrentiellesdjfl.

8.4. Remarque. Sous des hypothses de convergence normale locale, cest--dire:

(i) la srie

kk0dpfkvrifie

+

k=k0supzV

dpfk(z)< +

pour Vx assez petit,(ii) il existe des points xj U tel que les sries

kk0

dj fk(xj ) convergent pourtout j = 0, 1, . . . , p 1 ,

alors la srie S(x) =

kk0fk(x)et les sries drives terme terme

kk0

dj fk(x),j p, sont normalement convergentes au voisinage de tout point de U.

Par rcurrence, il suffit en effet de vrifier ceci pour p = 1et pour un ouvertU convexeborn. Dans ce cas on utilise une majoration en norme

fk(x) fk(x0) + 10

|||dfk(x0+ t(x x0)||| x x0 dt

pour passer de la convergence normale de

dfk celle de

fk.

Dans le cas dun espace de dpart Ede dimension finie et dun ouvert U E, on peutmunir lespace Cp(U, F)des fonctions f :U Fde classe Cp des semi-normes

(8.5) NK,p(f) = max0jp

supxK

dj f(x)

pour tous les compacts K

U. Une suite (fk) converge par dfinition vers f dansCp(U, F) si NK,p(fk f) 0 quand k + pour tout compact K U. Ceci


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quivaut la convergence uniforme de toutes les drives au voisinage de tout point(Utant localement compact en dimension finie). On voit aisment quon obtient ainsiun espace vectoriel topologique complet, mais la topologie est dfinie par une famillede semi-normes et non pas par une seule norme ; cest ce quon appelle un espacede Frchet, savoir un espace vectoriel topologique localement convexe mtrisable et

complet.

Rappelons dabord quelques dfinitions standard.

9.1. Dfinition. Soit f : U R une fonction relle sur un espace mtrique outopologiqueU.

(i) On dit que f prsente un maximum global en a U si f(a) = supxUf(x),autrement dit sif(a) f(x)pour toutxU.

(ii) On dit quefprsente un maximum local enaUsil existe un voisinage ouvertV deatel quef(a) = supxVf(x), autrement dit sif(a) f(x)pour toutxV.

(iii) On dit quefprsente un maximum local strict ena U sil existe un voisinageouvertV dea tel quef(a)> f(x)pour toutxV {a}.

(iv) Les notions de minimum global, minimum local, minimum local strict se dfinissentde mme en renversant le sens des ingalits.

(iv) On dit quefprsente un extremum(resp. local, local strict)en un pointaU silsagit dun maximum ou dun minimum(resp. local, local strict).

a

R

E

f(a)

f

V U

Fig. 4. Maximum local strict ena

On suppose dsormais queUest un ouvert dun espace affine Eassoci un espace deBanach E, et que f :U Rest une fonction valeurs relles.

9.2. Condition ncessaire lordre 1. Sifadmet un extremum local en un pointa

Uet sif est diffrentiable ena, alorsdf(a) = 0.


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La forme quadratique q(h) = d2f(a)(h)2 sappelle la Hessiennede f au point a. Endimension finie E Rn, nous avons

(9.7) d2f(a)(h)2 =

1i,jn2f

xixj(a) hihj ,

il sagit de la forme quadratique dfinie par la matrice symtrique

2fxixj

(a)1i,jn

.La mthode de Gauss (ou la recherche des valeurs propres) permet de dterminerla signature (r+, r) de cette forme quadratique, savoir le nombre r+ de valeurspropres> 0 et le nombre r de valeurs propres < 0. Comme toute matrice symtriqueest diagonalisable, on a

r++ r =r n, o r= rang de q= rang de la matrice Hessienne.

9.8. Dfinition. En dimension finie, on dit quun point critique a U est nondgnr si la forme quadratique Hessienne d2f(a)(h)2 est non dgnre, cest--

dire sidet( 2f

xixj(a))= 0 (ceci suppose bien entendu que f soit au moins deux fois

diffrentiable au pointa).

Ltude plus fine de la Hessienne permet (avec un peu de chance) de dterminer si unpoint critique aest un extremum local.

9.9. Condition suffisante lordre 2. Soit f : U R une fonction deux foisdiffrentiable. On suppose queaest un point critique, i.e. df(a) = 0.

(i) Siq=d2f(a)est une forme coercive positive, cest--dire sil existe0 >0 tel queq(h) 0h2, alorsfprsente un minimum local strict ena. En dimension finie,il suffit pour cela queqsoit dfinie positive(i.e. positive non dgnre).

(ii) Siq= d2f(a)est une forme coercive ngative, cest--dire sil existe0 >0 tel queq(h)0h2, alorsfprsente un maximum local strict ena. En dimension finie,il suffit pour cela queqsoit dfinie ngative(i.e. ngative non dgnre).

En revanche, sih q(h) change de signe, la fonctionfne peut avoir un extremumlocal au pointa :on dit quil sagit duncol.

q >0 minimum q


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Dmonstration. Elle est quasi immdiate : la formule de Taylor-Young lordre 2donne

f(a + h) =f(a) +1

2q(h) + h2(h), lim

h0(h) = 0.

(i)Si par exemple qest coercive positive, avec q(h) 0

h2, il existe > 0 tel que

|(h)| 120 pourh< . On en dduit

f(a + h) f(a) + (0 (h))h2 f(a) +12

0h2 pourh< ,

donc aest un minimum local strict. Le raisonnement est identique dans le cas (ii).

En dimension finie, la sphre unit S ={h E; h = 1} est ferme borne, donccompacte. Siq >0surE{0}, on en dduit0 = minhSq(h)> 0, doncq(h/h) 0pour tout h= 0, et q(h) 0h2 par homognt. La forme qest par consquentautomatiquement coercive.

Enfin, si q(h)= 0, on voit en remplaant hpar thque

1

2q(th) + th2(th) =t2q(h) + h2(th)

est du mme signe que q(h)pour t >0assez petit, donc f(x) f(a)change de signeau voisinage de asi q(h)change de signe, et on a alors affaire un col.

9.10. Remarque : cas ambigus.Dans le cas o lespace Eest de dimension finie net o la forme quadratique qestnon dgnre, il ny a jamais dambigut : on a un

minimum local strict si qest de signature (n, 0) (q >0), un maximum local strict si lasignature est(0, n)(q 0, un minimum local non strict si= 0et un col (dgnr) si


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o(n)est une suite borne de nombres rels positifs. Il est clair que f(x) =q(x)x4o qest la forme quadratique associe la forme bilinaire symtrique diagonale (x, y) =

+n=0 nxnyn. Cette forme bilinaireest continue si et seulement si la suite

(n)est borne. On voit ainsi trs facilement qued2f(0) = 2q, et qest coercive positivesi et seulement si la suite des valeurs propres (n)admet une minoration n 0 >0.

Supposons au contraire quelimn+ n = 0,n >0. Alorsqest dfinie positive sur Emais non coercive. Dans ce cas, considrons le point anEtel que

an = (0, . . . , 0, 2

n, 0, . . .) (coefficient= 0en position n),de sorte quean2 = 4n et an0 quand n+. On trouve f(an) =122n 0 tel quedpf(a)(h)p 0hp, alorsfprsente un minimum local strict ena. En dimensionfinie, il suffit quedpf(a)(h)p >0 pourh= 0.

(iv) Si p est pair et si dpf(a) est coercive ngative, i.e. il existe 0 > 0 tel quedpf(a)(h)p 0hp, alorsfprsente un maximum local strict ena. En dimen-sion finie, il suffit quedpf(a)(h)p


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change de signe avec t, de sorte quil sagit dun col (dgnr puisquici d2f(a) = 0).La proprit (vi) est dmontre, et la parit de psensuit dans (i) et (ii), ainsi que lesconclusions sur le signe de dpf(a)(h)p.

La preuve de (iii), (iv) et (v) est entirement analogue au cas p = 2 (y compris le

raisonnement de compacit de la sphre en dimension finie) : nous laissons les dtailsau lecteur. Les cas ambigus sont ceux op est pair ethdpf(a)(h)p est semi-positiveou semi-ngative, mais non coercive.

Nous tudions ici les fonctions convexes de plusieurs variables, dfinies sur un ouvertconvexe arbitraireUdun espace affine Eassoci un espace de Banach E.

10.1. Dfinition. SoitUun ouvert convexe. On dit quune fonction rellef :U Rest convexe si pour tous pointsa, b

Uet toutt

[0, 1]on a

f

(1 t)a + tb (1 t)f(a) + t f(b),ce qui revient dire que le graphe de f est situ sous la corde reliant (a, f(a)) et(b, f(b)). De faon quivalente, ceci signifie que lpigraphe

(f) =

(x, y) UR ; y f(x)est une partie convexe deE R.

a b(1t)a+t b

f((1t)a+t b)(1t)f(a)+tf(b)

R

E

f(a)

f(b)

f

U

Fig. 6. Fonction convexe et son pigraphe

En renversant le sens des ingalits, on obtient la notion de fonction concave : pardfinition, une fonction estconcavesi

(10.2) a, bU, t[0, 1], f(1 t)a + tb (1 t)f(a) + t f(b).Une fonctionfestconcavesi et seulement sifest convexe, ce qui quivaut dire viala symtrie(x, y)

(x,

y)que lhypographe(f) = (x, y) UR ; y f(x) estune partie convexe de E R.


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Dans la dfinition de la convexit (resp. de l

calcul diff

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