apuntes de teoria del consumidor
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Apuntes de Microeconomıa I*
18 de mayo de 2006
1. Introduccion
El objetivo de Microeconomıa I es introducir a los estudiantes a los conceptosbasicos de la microeconomıa, haciendo uso de ciertas herramientas de calculobasicas. Actualmente, la microeconomıa se basa en un instrumental matematicosolido que dıa a dıa se refina mas. Los temas centrales de este curso: (i) teorıadel consumidor, (ii) teorıa de la firma y la (iii) estructura de mercado de com-petencia perfecta.
La microeconomıa formaliza, a traves de modelos, el comportamiento de losagentes economicos y sus reacciones al entorno economico. Dichos modelos tienecomo fin examinar el proceso que genera el sistema de precios para los bienes yservicios. La microeconomıa explica, por ejemplo, como se genera la demandapor leche y como los consumidores reaccionan a cambios en los precios; o lamicroeconomıa tambien examina el proceso que conlleva a la oferta laboral porparte de los hogares.
Los modelos, cuyo objetivo es construir abstracciones de los fenomenos so-ciales, son una herramienta basica de la microeconomıa. Un modelo es unarepresentacion simplificada de la realidad, que detalla las caracterısticas rele-vantes del proceso economico y suprimir las caracterısticas irrelevantes, es decirun modelo se concentra en las caracterısticas esenciales del proceso.
Los supuestos y caracterısticas comunes de todos los modelos economicosson:
1. El supuesto de ceteris paribus: los modelos se concentran en establecerel efecto de ciertas variables economicas sobre otras variables economicas.Por ejemplo, los modelos de oferta laboral intentan explicar el impactode un cambio en el salario sobre la oferta de trabajo. Aunque hay otrosfactores que pueden afectar la oferta de trabajo, como los factores idios-incrasicos que impulsaron la entrada de la mujer a la fuerza laboral, losmodelos solo se concentran en algunos factores. No incluir estos factoresno significa que no son tambien determinantes de la oferta laboral. Elsupuesto implıcito en la supresion de dichos factores es que se mantienenconstantes en el periodo de analisis. Este supuesto de ceteris paribus (losotros factores constantes) es comun en todos los modelos economicos.
*Estos apuntes son el resultado de la experiencia compartida con los alumnos del curso demicroeconomıa en la Facultad de Economıa de la ESPOL.
1
2. El supuesto de optimizacion: la gran mayorıa de los modelos economi-cos asumen que los agentes economicos, ya sea firmas, individuos u hoga-res, son racionales y buscan alcanzar un objetivo. Las firmas buscan max-imizar sus beneficios, los individuos su funcion de utilidad y los hogares lafuncion de utilidad del hogar. Por lo tanto, la estructura de los modelos enmicroeconomıa es similar: el agente economico maximiza o minimiza unafuncion objetivo sujeto a algun tipo de restriccion (p. ej. el presupuesto,la tecnologıa de la firma).
3. La distincion entre preguntas normativas y positivas: los modeloseconomicos buscan contestar preguntas positivas y normativas. El objeti-vo de la economıa positiva es entender como los recursos se asignan en larealidad en la economıa. La economıa normativa va un paso adelante alintentar determinar que se debe hacer y no solo al comprender la realidad.Esta rama de la economıa busca entonces determinar como deberıan asig-narse los recursos de una economıa. El curso de Microeconomıa II se basaentonces en modelos acerca del comportamiento de los hogares y de lasfirmas. Dichos modelos tienen los supuestos y caracterısticas enumeradasanteriormente.
2. Teorıa del Consumidor
El objetivo de esta seccion es estudiar el proceso de decision de los individuos.En una economıa, los individuos deben decidir su consumo de bienes dados unosprecios y un ingreso monetario. Esta seccion analiza todos los componentes delproceso de decision del individuo: las preferencias, la funcion de utilidad, larestriccion de presupuesto, y la funcion de demanda. Adicionalmente, se estudianaspectos relacionadas a las elasticidades y medidas de bienestar. Se ha incluidouna sub-seccion referente a la teorıa del consumidor en base a las preferencias1
(Samuelson 1947).
2.1. Las preferencias y la utilidad del consumidor
Los individuos eligen entre una serie de bienes agrupados en canastas. Paraelegir una canasta de consumo, los individuos se basan en las preferencias queellos tienen hacia esas canastas. El consumidor elige, de manera racional, unacanasta de bienes para satisfacer sus preferencias. Ası, si un individuo tiene unafuerte preferencia por los caramelos y poco le gustan los tomates, en su canastade bienes seguramente habra mas caramelos que tomates. Las preferencias estandeterminadas tambien por el lugar y el momento en el cual se esta eligiendo.Para una persona que esta en medio de una tormenta, un paraguas puede serde gran utilidad, a diferencia si estuviera en la plata deseando broncearse.
Las preferencias permiten a los individuos ordenar canastas de bienes segunsu atractivo (es decir sus preferencias). Suponga dos canastas de consumo endonde cada canasta contiene los mismos bienes pero en distintas cantidades,estos bienes se los denomina bien 1 y bien 2, mientras que las canastas seran(x1, x2) y (y1, y2). Para el individuo la primera canasta puede ser estrictamentemejor que la segunda; la segunda puede ser estrictamente mejor que la primera;
1Por lo general este tema es tratado bajo el titulo de las preferencias reveladas
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o las dos canastas son identicas. Si la primera canasta se prefiere a la segundaesto se formaliza como,
(x1, x2) � (y1, y2)
Donde � significa que la canasta (x1, x2) se prefiere estrictamente a(y1, y2).
El hecho que el consumidor prefiera la primera canasta a la segunda significaque, si tiene la capacidad para hacerlo, el consumidor elegira la primera canastay no la segunda. La preferencia estricta implica que si el individuo se enfrentavarias veces a la misma decision y no tiene restricciones para la adquisicion delbien elige siempre la primera canasta.
Cuando las dos canastas de bienes brindan al consumidor la misma satisfac-cion, esto significa que el consumidor es indiferente entre las dos canastas. Ladefinicion formal de indiferencia es
(x1, x2) ∼ (y1, y2)
Por ultimo, el individuo puede preferir debilmente la primera canasta debienes a la segunda
(x1, x2) � (y1, y2)
Las anteriores definiciones asumen que los individuos son racionales y, cuan-do es posible, eligen la canasta de bienes que les brinda mas satisfaccion. Eneconomıa, se dice que las preferencias de un consumidor son racionales si cumplenlos axiomas de completitud, transitividad y continuidad.
Definicion 2.1.1. Se dice que las preferencias son racionales si se cumplen lastres axiomas siguientes:
1. Las preferencias son completas. En el momento de tomar una de-cision, el individuo siempre es capaz de ordenar las alternativas que se lepresentan. Ello implica que los individuos siempre entienden la decisionque toman y son capaces, por ende, de establecer el grado de preferen-cias de cada alternativa. Por lo tanto, los consumidores siempre puedencomparar dos canastas de bienes de la siguiente manera:
a) La primera canasta se prefiere a la segunda, (x1, x2) � (y1, y2).
b) La segunda canasta se prefiere a la primera, (y1, y2) � (x1, x2).
c) Hay indiferencia entre ambas canastas, (y1, y2) ∼ (x1, x2).
Dado que el consumidor puede establecer de manera exacta la preferenciapor las dos canastas de bienes, no se presenta nunca de manera simultaneaque el consumidor prefiere la primera canasta a la segunda (x1, x2) �(y1, y2) y la segunda canasta a la primera (y1, y2) � (x1, x2).
El axioma de las preferencias completas se cumple en un porcentaje sig-nificativo de las decisiones economicas. Por lo general, los consumidoressaben cuales bienes prefieren y pueden ordenar las preferencias por dichosbienes. Sin embargo, hay situaciones donde el cumplimiento del axioma esdifıcil.
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Cuando las decisiones son de vida o muerte, el axioma puede no cumplirse.Un ejemplo es el caso de una madre que padecio en el Tsunami ocurrido enel oceano Indico en el 2004. Ella en el medio del agua se hundıa teniendoen brazos a sus dos hijos pequenos y debio decir soltar a uno de ellos2. Esclaro que ella ama a sus dos hijos, uno era preferido al otro, pero el otrolo era igual, pero debıa soltar a uno pues sino se hundıan los tres.
En este caso, la madre no necesariamente entiende la decision que esta toman-do y mucho menos deriva satisfaccion de las dos acciones. Por consiguiente,la madre hogar esta eligiendo entre dos ”males”. Esta decision de vida omuerte Sen la denomina como la decision de Sophie3.
2. Transitividad. Suponga que un individuo debe elegir entre tres canastasde bienes: (x1, x2), (y1, y2) y (z1, z2). Si el consumidor prefiere la primeracanasta a la segunda canasta (x1, x2) � (y1, y2) y la segunda canasta a latercera (y1, y2) � (z1, z2), entonces debe preferir la primera canasta a latercera, (x1, x2) � (z1, z2).
El axioma de transitividad significa que los individuos deciden de maneraconsistente. Esto es un supuesto restrictivo de la definicion de las prefer-encias. La economıa experimental ha demostrado que en algunos casos esposible que la transitividad no se cumpla. Por ejemplo, es posible que unindividuo con la estructura de preferencias del parrafo anterior tambienprefiera la tercera canasta a la primera, es decir (z1, z2) � (x1, x2). Laestructura de preferencias serıa entonces circular
(z1, z2) � (x1, x2) � (y1, y2) � (z1, z2)
Aunque esta estructura de preferencias es extrana, pueden existir casosdonde se presenta. Si es ası, serıa imposible ordenar las canastas de bienesporque cualquier canasta de bienes que elija siempre preferira otra. Estaestructura de preferencias complicarıa el analisis economico. Por lo tanto,el axioma de transitividad es necesario para asegurarnos que el consumi-dor tome sus decisiones de la ”mejor manera posible”
Ejemplo 1: Casos de Intransitividad4
Una familia formada por la mama (M), el papa (P) y el hijo (H) toman las decisiones
por votacion. Las alternativas para el viernes en la noche son: ir a la opera (O), a un
concierto de Rock (R) e ir a patinar (I). Los tres miembros de la familia tiene preferen-
cias racionales sobre estas alternativas: O �M R �M I, I �P O �P R, R �H I �H O,
donde �M ,�P y �H son las relaciones de preferencias estrictas de cada individuo.
Ahora se realizan tres votaciones para escoger la alternativa por mayorıa: O versus R,
R versus I, y I versus O. Los resultados de la votacion O versus R indican que el padre
y la madre preferiran O a R, en cambio el hijo no. Revisando las otras votaciones, se
2Felizmente ella y sus dos hijos sobrevivieron3Sophie es la protagonista de una pelıcula. Su historia sucede en un campo de concentracion
Nazi. Un dıa sus carcelarios la obligan a escoger cual de sus dos hijos debe ir a la camara degases y morir
4Tomada de Mas-Collel
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detecta que las preferencias del hogar, muestran intransitividad: O � R � I � O. Esta
intransitividad es conocida como la paradoja de Condorcet.
3. Continuidad. Si un consumidor prefiere la primera canasta a la segundacanasta de bienes (x1, x2) � (y1, y2), entonces situaciones similares a laanterior deben derivar en una eleccion donde la primera canasta es preferi-da a la segunda. Este axioma es un supuesto ”tecnico”que permite derivarfunciones de utilidad continuas.
2.1.1. La funcion de utilidad
La funcion de utilidad permite contener el concepto de preferencias explicadoen la seccion anterior traduciendo las preferencias a una funcion.
Definicion 2.1.2. Diremos que una funcion de utilidad representa las prefer-encias de una persona cuando la canasta (x1, x2) es preferida debilmente a lacanasta (y1, y2), (x1, x2)�(y1, y2), sı y solo sı u(x1, x2)≥u(y1, y2).
Proposicion 2.1.1. Si las preferencias son completas, transitivas, continuas yxx5, entonces existe una funcion de utilidad continua u: R2
+→R que representaa esas preferencias. Formalmente tenemos:
u(x1, x2) = U (1)
Esta desigualdad de la definicion 2.2.1 significa que, dado que el consumidorprefiere la primera canasta de bienes a la segunda canasta, la utilidad que derivadel consumo de la primera canasta es mayor a la utilidad que deriva del consumode la segunda canasta. La funcion de utilidad permite entonces ordenar laspreferencias y, por lo tanto, es considerada una medida ordinal.
La funcion de utilidad permite, asimismo, realizar un ordenamiento cardi-nal de las preferencias de un consumidor. Esto significa que es posible asignarnumeros a la utilidad que deriva un individuo del consumo de un bien. Esimportante, sin embargo, que al asignar numeros a las funciones de utilidad sepreserve el ordenamiento de preferencias original. Por lo tanto, no es importantela magnitud del numero que se asigna sino la preservacion del ordenamiento delas preferencias. Por ejemplo, si U(x1, x2) = 5 y U(y1, y2) = 4, esto implicaque la primera canasta se prefiere a la segunda canasta de bienes. Asignar otrosnumeros a la funcion de utilidad denota el mismo ordenamiento: U(x1, x2)=1.000.000 y U(y1, y2) = 0.5.
Esta propiedad de la funcion de utilidad se denomina como monotonica6.La formalizacion matematica de dicha propiedad es la siguiente. Sea U una fun-cion de utilidad que provee un ordenamiento numerico de las preferencias. Estafuncion puede ser transformada en otro conjunto de numeros que conserve el or-denamiento original de las preferencias F (U). Esta nueva funcion debe cumplircon la condicion F ′(U) > 0.
5usted se preguntara que es xx, siga leyendo y lo descubrira6Esta propiedad de monotonıa es la parte xx que faltaba en la proposicion 2.2.1. con lo
que las preferencias del consumidor deben ser completas, transitivas, continuas y monotonaspara tener una representacion mediante una funcion de utilidad continua.
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Ejemplo 3: La aplicacion de la propiedad de monotonıa
En este ejemplo se demostrara que si existe una funcion de utilidad que defineun orden de preferencias, esta funcion de utilidad se la podra transformar; yaun ası se mantendra el orden inicial.
Suponga que existen dos canasta de bienes cada una con cantidades de x1
y x2: la canasta A esta compuesta de 5 unidades de x1 y 5 unidades de x2; yla canasta B contiene 5 de x1 y 4 de x2. El consumidor dice que A es preferibledebilmente a B. Se asume que esta relacion de preferencia se la representa me-diante la funcion de utilidad U = x0,5
1 x0,52 . Tomando logaritmos a ambos lados
de la funcion, se obtiene F (U) = 0,5lnx1 + 0,5lnx2.La utilidad de la canasta A y B con la funcion no transformada es 5 y 4.47,
respectivamente. Para la funcion transformada tenemos que la utilidad sera 1.60y 1.49 respectivamente. En ambas funciones la canasta A es preferida a la canas-ta B.
De manera general, la funcion de utilidad se puede definir entonces como larepresentacion de las preferencias de los consumidores de la siguiente manera.
U(x1, x2, ..., xn)
donde x1, x2, ..., xn es la cantidad consumida de cada uno de los n bienes en unperiodo de tiempo determinado. Un aspecto primordial de la funcion de utilidades la posibilidad de averiguar cual es la variacion de esta cuando varıe la cantidadconsumida.
Definicion 2.1.3. El cambio parcial de la funcion de utilidad cuando varia lacantidad consumida de un determinado bien se define como utilidad marginalde dicho bien.
u1 =∂U
∂x1
Proposicion 2.1.2. La utilidad marginal es estrictamente positiva.
∂U
∂x1≥ 0
Es decir, el consumidor consume unidades adicionales de un bien en la me-dida que este le genere utilidad.
Proposicion 2.1.3. La utilidad marginal es decreciente.
∂2U
∂x21
≤ 0
En la medida que una persona consuma mas de x1, y no varia el consumode los otros bienes, la utilidad adicional que le genere el bien x1 decrece pau-latinamente hasta hacerse cero7.
7Porque no puede ser negativa? Si la utilidad marginal es negativa eso significa que elconsumir una unidad mas, por ejemplo una lata de cerveza, va a provocar un perjuicio (porejemplo vomitar)a la persona que lo esta consumiendo, ante esta situacion se asume que elconsumidor nunca deseara llegar a este caso, por eso la utilidad marginal no es negativa.
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Ejemplo 4: Calculo de la utilidad marginal.
Obtenga la utilidad marginal de x1 de la funcion de utilidad, U =√
x1 + 2x2.
∂U
∂x1=
12x−0,5
1
La utilidad marginal de x1 es siempre positiva para valores positivos de x1.Para demostrar que la utilidad marginal es decreciente, la segunda derivada dela funcion de utilidad debe ser negativa.
∂2u
∂x21
= −14x−1,5
1
2.1.2. Las curvas de indiferencia
Cuando un consumidor elige entre canasta de bienes no puede escoger unconsumo ilimitado de bienes; la cantidad de ingreso disponible determina lacanasta de bienes que el individuo puede escoger. Mas aun, ası el consumidortuviera la capacidad economica para comprar una cantidad ilimitada de bienesno tendrıa el tiempo suficiente para consumirlos. Dado que el individuo esta re-stringido por su ingreso y tiempo disponibles, debe sacrificar el consumo de unosbienes para incrementar el consumo de sus bienes preferidos.
Por ejemplo, cuando un individuo decide comprar un par de zapatos esprobable que deba sacrificar la compra de otros bienes. Incluso debe intercambiarel par de zapatos por dinero y, por lo tanto, esta sacrificando voluntariamentesu ”dinero”(p.ej. ser menos rico para poder adquirir los zapatos).
La representacion grafica de como se realiza el intercambio voluntario entrezapatos y otros bienes se denomina las curvas de indiferencia de un individuo.Las curvas de indiferencia muestran la cantidad de otros bienes que el con-sumidor esta dispuesto a ceder por adquirir el par de zapatos. Las curvas deindiferencia denotan las combinaciones de zapatos y otros bienes que mantienenconstante la utilidad de un individuo.
Definicion 2.1.4. Se denomina curva de indiferencia o isoutilidad a la fronteradel conjunto U0, es decir al conjunto. {x ∈ X | u(x) = U0}.
2.1.3. Propiedades de las curvas de indiferencia
Propiedad 1: No saciedad
La figura 1 ilustra una propiedad de las curvas de indiferencia: la no saciedad(consumir mas se prefiere a consumir menos).El area punteada de la grafica rep-resenta todas las combinaciones de zapatos y otros bienes que son estrictamentepreferidos a la combinacion X∗,Z∗. Esto quiere decir que el individuo prefiereconsumir la canasta de bienes X1, Z1 a la canasta de bienes X∗,Z∗.
De otro lado, el area sombreada representa todas las combinaciones de za-patos y otros bienes que son menos preferidos estrictamente a la combinacion,X∗,Z∗. Por lo tanto, el individuo prefiere consumir la canasta de bienes X∗,Z∗
a la canasta de bienes X2, Z2. Esto implica que los individuos siempre van a
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Figura 1: No saciedad
preferir consumir mas bienes que menos bienes, es decir siempre van a estarmas satisfechos consumiendo mas zapatos y mas de los otros bienes que menosde zapatos y menos de los otros bienes.
Por ultimo, las areas con signo de interrogacion no permiten establecer cualcombinacion de bienes es mas preferida ya que en las dos areas siempre setendra un consumo superior a X∗,Z∗ para cualquiera de los dos bienes.
Figura 2: Una curva de indiferencia
Las curvas de indiferencia denotan las combinaciones de zapatos y otros bi-enes que mantienen constante8 la utilidad de un individuo, es decir todas lascombinaciones ubicadas en las regiones de signos de interrogacion de la figura1. La figura 2 muestra un ejemplo de una curva de indiferencia. El individuo esindiferente entre consumir la canasta de bienes X1, Z1 y X2, Z2. El consumode ambas canasta de bienes produce la misma utilidad U1. A lo largo de todala curva de indiferencia la funcion de utilidad se mantiene constante.
Propiedad 2: Pendiente Negativa8En este caso el nivel de utilidad es fijado en un valor U1
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La pendiente negativa de la curva de indiferencia denota como se intercam-bian los bienes. Por ejemplo, para adquirir mas zapatos el consumidor esta dis-puesto a sacrificar el consumo de otros bienes. Dado que es necesario disminuirel consumo de otros bienes para comprar mas zapatos, la pendiente de la curvade indiferencia es negativa. La figura 3 presenta un ejemplo de como se pro-ducirıa el intercambio entre zapatos y otros bienes para mantener la funcion deutilidad constante.
Figura 3: La pendiente negativa
Asuma que en la situacion inicial el consumidor tiene una canasta de bienescon una gran cantidad de otros bienes y con pocos zapatos. Esta canasta debienes esta representada por X1, Z1. El individuo decide que quiere adquirir maszapatos pero desea mantener su utilidad constante. Este objetivo se logra conun movimiento a lo largo de la curva de indiferencia, de modo que se disminuyeel consumo de otros bienes, se incrementa la cantidad de zapatos y se mantienela utilidad constante. En la nueva canasta de consumo X2, Z2, se cumple estacondicion. La curva de indiferencia muestra como para adquirir Z2 zapatos esnecesario reducir el consumo de otros bienes en X1 - X2.
La disponibilidad a ceder otros bienes por comprar mas pares de zapatosvarıa a lo largo de la curva de indiferencia. Cuando el individuo tiene la canastade bienes X1, Z1, es decir cuando el consumo de otros bienes es alto y el consumode zapatos es bajo, el individuo esta dispuesto a ceder una cantidad grande de losotros bienes para aumentar un poco el consumo de zapatos. Como lo ilustra lafigura 4, cuando el individuo esta en la canasta de bienes X1, Z1, debe disminuirel consumo de otros bienes en ∆XA para incrementar en ∆ZA el consumo dezapatos.
De otro lado, si el individuo esta ubicado en una canasta de bienes dondela cantidad de zapatos es alta y el consumo de otros bienes es pequeno (X3,Z3), la disponibilidad a ceder otros bienes para comprar mas pares de zapatoses reducida frente al caso anterior. Si el consumidor desea trasladarse de lacanasta de consumo (X3, Z3) a la canasta de consumo (X4, Z4), debera ceder∆Xb para obtener un incremento en ∆Zb. La cantidad que esta dispuesto aceder en el consumo en otros bienes y mantener la utilidad constante ∆Xb esmenor que el caso anterior: ∆XA > ∆Xb.
Esta disponibilidad a ceder otros bienes por pares de zapatos ∆Z∆X se de-
nomina la Tasa Marginal de Sustitucion. Tal como se aprecia en el ejemploanterior la Tasa Marginal de Sustitucion disminuye entre (∆XA, ∆ZA) y (∆Xb,
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∆Zb).
Figura 4: Cambios en la Tasa Marginal de Sustitucion
La cantidad de zapatos que se transan por otros bienes se denomina la tasamarginal de sustitucion. La derivacion matematica de la tasa marginal de susti-tucion es la siguiente. Asuma que la funcion de utilidad de zapatos (Z) y otrosbienes (X) se representa como U(Z,X). Al realizar la diferencial total de lafuncion de utilidad se obtiene:
dU =∂U
∂ZdZ +
∂U
∂XdX
Dado que la curva de indiferencia mantiene el nivel de utilidad constante,dU = 0. Por lo tanto la diferencia total se reescribe como
∂U
∂ZdZ +
∂U
∂XdX = 0
Si se despeja la diferencia total de X sobre Z, se obtiene
dX
dZ= − ∂U/∂Z
∂U/∂X
La tasa marginal de sustitucion se define como
TMS = −dX
dZ
∣∣∣∣∣U=U1
=∂U/∂Z
∂U/∂X
La tasa marginal de sustitucion es equivalente entonces a la pendiente de lascurvas de indiferencia. Esta pendiente difiere, por lo general, en cada punto dela curva de indiferencia como se demostro en la figura 4.
La curva de indiferencia solo representa uno de los infinitos niveles de utili-dad que puede alcanzar un individuo dadas las infinitas combinaciones de canas-ta de bienes. En un grafico se pueden representar los distintos niveles de utilidadque puede alcanzar un individuo y ordenar dichos niveles de utilidad. Un ejem-plo se presenta en la figura 5. Tal como lo ilustra la figura, U3 > U2 > U1.
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Figura 5: El mapa de curvas de indiferencia
Propiedad 3: No se pueden cortar
Como se explico en secciones anteriores, las preferencias son transitivas. Elloimplica que las curvas de indiferencia nunca se deben cruzar. Por la condicionde la transitividad, si la canasta de bienes A es preferida a la canasta de bienesB; la canasta de bienes C es preferida a la canasta de bienes D; el individuo esindiferente entre la canasta de bienes B y C; entonces la canasta de bienes A espreferida a la canasta de bienes D. Cuando las curvas de indiferencia se cruzan,la propiedad de transitividad no se cumple.
La figura 6 presenta un ejemplo. Por la propiedad de la no saciedad, lacanasta de bienes A se prefiere a la canasta de bienes B y la canasta de bienesC se prefiere a la canasta de bienes D. Dado que B y C se encuentran enla misma curva de indiferencia, el individuo es indiferente entre consumir B oconsumir C. Por transitividad, la canasta de bienes A deberıa ser preferida a lacanasta de bienes D. Sin embargo, la canasta de bienes A y la canasta de bienesD se ubican en la misma curva de indiferencia; por lo tanto, A no es preferidoa D y la propiedad de transitividad no se cumple. Esto se presenta porque lascurvas de indiferencia se cruzan lo cual implica que las curvas de indiferenciadeben ser siempre paralelas en cada punto.
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Figura 6: La transitividad
Propiedad 4: La convexidad de la curva de indiferencia
La Tasa Marginal de Sustitucion decreciente se representa matematicamentecon la convexidad de las curvas de indiferencia. Un conjunto es convexo cuandodos puntos al interior o en la frontera del conjunto se pueden unir con una lınearecta que esta contenida completamente en el conjunto. La convexidad de lascurvas de indiferencia se ilustra en la figura 7.
Figura 7: Convexidad de las curvas de indiferencia
Para demostrar matematicamente la convexidad de la curva de indiferenciadebe cumplirse que:
d(dX
dZ
)dZ
> 0
Procediendo, tenemos:
d
(UZ
UX
)dZ
= -
d
(− UZ(Z,X)
UX(Z,X)
)dZ
12
= -
UX
[dUZ
dZ+
dUZ
dX
dX
dZ
]− UZ
[dUX
dZ+
dUX
dX
dX
dZ
]U2
X
= -
UX
[UZZ + UZX
(− UZ
UX
)]− UZ
[UXZ + UXX
(− UZ
UX
)]U2
X
= -UXUZZ − UZXUZ − UXZUZ + UZZ
U2Z
UX
U2X
= -U2
XUZZ − UZXUZUX − UXZUZUX + UXXU2Z
U3X
= -U2
XUZZ − 2UZXUZUX + UXXU2Z
U3X
> 0
Donde UZX = UXZ de acuerdo al teorema de Young. Para que la curva deindiferencia sea convexa UZX > 0. Si UZX < 0, la convexidad no seria facilde determinar. De igual manera si UZX = 09, nos aseguramos que la curva deindiferencia sea convexa10.
Una implicacion adicional de la convexidad de las curvas de indiferencia esque los consumidores prefieren tener una canasta de bienes balanceada y nouna canasta de bienes con una cantidad excesiva de una de los dos bienes. Unejemplo de la preferencia por canastas balanceadas de bienes se presenta en lafigura 8. Las canastas de bienes (X1, Z1) y (X2, Z2) tiene una alta cantidad deotros bienes y una alta cantidad de pares de zapatos respectivamente. Las doscanastas le producen al consumidor una utilidad de U1.Debido a la condicion deconvexidad, el consumidor prefiere una canasta mas balanceada que le brindauna utilidad de U2.
2.1.4. Tipos de Preferencias
Como se menciono anteriormente, si las preferencias cumplen las propiedadesde completitud, transitividad y continuidad, entonces estas indican un compor-tamiento racional y consecuentemente pueden ser representadas por una funcionde utilidad. La tasa a la cual esta dispuesto un individuo a sacrificar el consumode un bien X por incrementar el consumo de un bien Y determina las preferen-cias.
Por tanto no todos los tipos de preferencias pueden representarse medianteuna funcion de utilidad porque puede suceder que alguna de ellas no cumplanalgunos de las propiedades anteriormente mencionadas.Ejemplo: Preferencias Lexicograficas: Estas se caracterizan por ser no contin-uas: tenemos x es al menos tan preferido como y si ”x1 > y1.o ”x1 = y1
2x2
≥ y2”por tanto el bien 1 tiene la mayor prioridad para determinar el orden depreferencias ası como la primera letra de una palabra determina el orden en el
9El hecho de que UZX = 0, nos indica que los cambios de la utilidad marginal de Z sonindependientes de los cambios de X. Es decir, la funcion de utilidad es separable.
10Mas adelante veremos que el supuesto de convexidad de la curva de indiferencia nosasegura tener una sola solucion al problema de optimizacion del individuo.
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Figura 8: Preferencia por canasta de bienes balanceada
diccionario. Entonces si la cantidad del primer bien en la primera canasta esigual al de la segunda canasta, la cantidad del segundo bien en las dos canastasdetermina las preferencias del consumidor. Igualmente tenemos el caso de laspreferencias intransitivas.
Esta seccion da ejemplos de distintos tipos de curvas de indiferencia y cal-cula la tasa marginal de sustitucion para cada ejemplo.
Preferencias Sustitutos Perfectos
Los bienes pueden ser sustitutos perfectos cuando el individuo esta dispuesto asustituir el bien X por el bien Y a una tasa constante. Un ejemplo clasico desustitutos perfectos son la Coca-Cola y la Pepsi-Cola. Dado que los dos bienesson tan similares, el consumidor podrıa estar dispuesto a reducir su consumoen Coca-cola en 10 latas y aumentar su consumo de Pepsi-Cola en 10 latas ymantener su utilidad constante. Un ejemplo de una funcion de utilidad parabienes que son sustitutos perfectos es
U = aX + bY
Donde a y b son las valoraciones que tienen los bienes X e Y, respectivamente,para el individuo. Para el ejemplo de las colas, como ambas son igual de bue-nas para el consumidor, entonces a = b = 1. Para calcular la tasa marginal desustitucion de esta funcion es necesario calcular las dos utilidades marginales
dU
dX= a
dU
dY= b
Por lo tanto, la tasa marginal de sustitucion es igual a
TMS = −dY
dX
∣∣∣U=U1
=∂U/∂X
∂U/∂Y=
a
b
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La tasa marginal de sustitucion representa la pendiente de la curva de in-diferencia. Con esta informacion, se traza la curva de indiferencia en la figura9. La tasa marginal de sustitucion es identica en todos los puntos de la curvade indiferencia. Esto significa que el individuo esta dispuesto a ceder siempre lamisma cantidad de X para obtener una unidad adicional de Y pues el consumi-dor no encuentra diferencia entre los dos bienes. Por ejemplo, para el consumidorpuede ser lo mismo consumir Coca-cola y Pepsi, por lo tanto, no es importantela cantidad de cada uno de los dos productos que consume sino la cantidad to-tal de los dos. Cuando los bienes son sustitutos perfectos, la propiedad de tasamarginales de sustitucion decrecientes no se cumple.
Figura 9: Bienes sustitutos perfectos
Preferencias Complementos Perfectos
Los complementos perfectos son bienes que deben ser consumidos de maneraparalela para brindar bienestar. El cuba libre es un ejemplo. Una persona quedesea beber un cuba libre requerira una cantidad de ron y otra de coca-cola.Otro ejemplo de complementos perfectos son los zapatos del pie izquierdo y elpie derecho. El uso de los dos se da de manera simultanea y las proporcionesen el uso de los dos bienes son por lo general fijas (p.ej. por cada zapato del pieizquierdo se necesita tener un zapato del pie derecho).
La figura 10 ilustra un ejemplo de curvas de indiferencia para complementosperfectos. Si por cada zapato izquierdo es necesario un zapato derecho, los con-sumidores siempre demandaran zapatos en proporciones fijas. Por ejemplo, paraalcanzar la funcion de utilidad U1, el consumidor utiliza 4 zapatos izquierdos y 4zapatos derechos. Si el consumidor compra 9 zapatos derechos no se incrementala utilidad ya que los cinco zapatos adicionales no le sirven para nada si no tienelos zapatos correspondientes al pie derecho. Ello implica curvas de indiferenciacomo las curvas de la figura 10 donde el vertice de la curva de encuentra enel punto en el que el numero de zapatos del pie derecho es igual al numero dezapatos del pie izquierdo.
La funcion de utilidad de bienes que son complementos perfectos es igual a
U(X, Y ) = min[aX, bY ]
15
Figura 10: Bienes complementos perfectos
Donde a y b son las proporciones que se utilizan de X e Y respectivamente. Enel caso de complementos perfectos, el consumidor no puede reducir el consumodel bien X, incrementar el consumo del bien Y y mantener la utilidad constante.Por lo tanto, la tasa marginal de sustitucion de los complementos perfectos esigual a cero.
Preferencias Regulares o Cobb-Douglas
Dicha funcion esta representada por la siguiente ecuacion
U(X, Y ) = XαY β
Donde α y β representan la importancia relativa de los bienes X e Y, respecti-vamente, para este individuo. La utilidad marginal para X y Y de este ejemploparticular de funcion Cobb-Douglas es igual a
∂U
∂X= αXα−1Y β
∂U
∂Y= βXαY β−1
Por lo general se considera que α + β = 1, pues de esta forma la utilidadmarginal es decreciente. La tasa marginal de sustitucion de la funcion de utilidadCobb-Douglas es, por lo tanto, igual a
TMS =∂U/∂X
∂U/∂Y=
αY
βX
Tal como muestra la ecuacion anterior, la tasa marginal de sustitucion varia a lolargo de la curva de indiferencia. Por ejemplo, si X = 2, Y = 6 y α = β = 1
2 , latasa marginal de sustitucion es igual a 6/2 = 3. Ello significa que el consumidorestarıa dispuesto a ceder 3 unidades de Y por incrementar el consumo de X enuna unidad. De otro lado, si X = 4 y Y = 2, la tasa marginal de sustituciones igual a 2/4 = 1/2, es decir el consumidor esta dispuesto a ceder 1/2 unidaddel bien Y para incrementar el consumo de X en una unidad. La curva deindiferencia de una funcion de utilidad Cobb-Douglas se presenta en la figura11.
16
Figura 11: Funcion Cobb-Douglas
Preferencias CES
Una forma funcional que incorpora los tres casos anteriores esa es la funcionde elasticidad de sustitucion constante (CES) introducida por primera vez porArrow et al. en 1961. Esta funcion viene dada por
U(X, Y ) = (αXρ + βY ρ)ε/ρ
Donde α y β indican la importancia relativa de los bienes para el consumidor.La utilidad marginal para X y Y de esta funcion
∂U
∂X= αε(αXρ + βY ρ)
ερ−1Xρ−1
∂U
∂Y= βε(αXρ + βY ρ)
ερ−1Y ρ−1
La tasa marginal de sustitucion de la funcion de utilidad CES es, por lo tanto,igual a
TMS =α
β
(Y
X
)1−ρ
Las tres funciones de utilidad antes mencionadas, pueden ser derivadas apartir de la CES. Basicamente, dependiendo del valor de ρ se puede derivar lafuncion: sustitutos, complementarios o cobb-douglas:
ρ = 1 las curvas de indiferencias son lineales por tanto la funcion deutilidad se transforma en una de sustitutos cercanos.
ρ → 0 la funcion de utilidad se vuelve una Cobb Douglas. Aquı tenemosque aplicar la regla de L´Hopital.
ρ → ∞, esta funcion se convierte en una de complementos perfectos.
Todas las funciones de utilidad descritas con anterioridad son ((homoteticas)),es decir, la relacion marginal de sustitucion de estas funciones solo depende delcociente entre las cantidades de los dos bienes, no de las cantidades totales delos bienes. En el caso de la funcion Cobb-Douglas, la TMS = α
β(Y/X).
17
Claramente esta tasa marginal depende solamente del cociente Y/X. La impor-tancia de las funciones homoteticas se halla en que en ese tipo de situaciones unacurva de indiferencia es muy parecida a otra. Las pendientes de las curvas solodependen del cociente Y/X, no de lo lejos que se halle la curva del origen. Lascurvas de indiferencia correspondientes a una utilidad mayor son meras copiasde las curvas correspondientes a una utilidad menor. Por lo tanto, podemosestudiar la conducta de una persona que tenga preferencias homoteticas exam-inando solamente una curva de indiferencia o unas cuantas curvas cercanas sintemer que nuestros resultados varıen en los niveles de utilidad muy diferentes.
Preferencias Cuasi-Lineales
Una funcion de utilidad que representa preferencias cuasi-lineales tiene lacaracterıstica de generar funciones de demanda lineales11 Esta funcion vienedada por
U(X, Y ) = αX − 12βX2 + Y
Donde X es la cantidad de un bien en particular e Y es el consumo de todos losdemas bienes. La utilidad marginal para X y Y de esta funcion es igual a
∂U
∂X= α− βX
∂U
∂Y= 1
La tasa marginal de sustitucion es, por lo tanto, igual a
TMS = α− βX
Estas preferencias son no homoteticas, pues su tasa marginal de sustitucion nodepende del cociente entre los bienes, solamente depende de la cantidad de uno.
Preferencias sobre Males
Bienes que nos disgustan. Ejemplo: canasta de bienes formadas por carame-los y broccoli. Nos gusta los caramelos pero odiamos el broccoli y existe laposibilidad de intercambiar bienes. ¿Como? En la medida que reciba mas broc-coli pedire, como medida de compensacion, una mayor cantidad de caramelos.En este caso la pendiente de la curva de indiferencia es positiva.
11Este hecho se lo demostrara mas adelante
18
Figura 12: Preferencias sobre bienes males
Preferencias sobre Neutrales
El consumidor le da igual el consumir o no un bien. Si yo soy neutral conrespecto a las cebollas solo me interesara la cantidad de zanahorias que consumay no me importaran las cebollas. Cuanto mas zanahorias mejor pero el aumentode las cebollas no afecta en nada. TMS es infinita en todos los puntos.
Figura 13: Preferencias sobre bienes neutrales
2.2. La restriccion de presupuesto
Las secciones anteriores muestran como las preferencias de los individuospermiten ordenar las distintas canastas de bienes de tal manera que el consum-idor sabe cual es su canasta ”mas preferida 2su canasta ”menos preferida”. Sinembargo, los elementos anteriores no son suficientes para el proceso de elecciondel consumidor ya que este esta restringido por la cantidad de ingreso que puedegastar en el consumo de bienes. Por lo tanto, el consumidor no solo debe teneren cuenta la canasta ”mas preferida”de bienes tambien debe tener en cuentasi es posible adquirir dicha canasta dado su ingreso y los precios de los bienes.Esta restriccion se denomina la restriccion presupuestaria y combina el ingresodel individuo, los precios de los bienes y las cantidades consumidas.
Al igual que en la seccion anterior, se asume que el individuo puede consumirdos tipos de bienes: el bien X y el bien Y . El precio del bien X es igual a Px y
19
el precio del bien Y es igual a Py. El ingreso disponible del individuo esta rep-resentado por I. La restriccion presupuestaria del individuo esta representadapor
PxX + PyY ≤ I
Donde PxX representa el gasto total del consumidor en el bien X y PyY el gastototal en el bien Y . El consumidor elige entonces cuanto consume de los dos bienesde modo que el gasto de los dos bienes no exceda el ingreso disponible. Por lotanto, las canastas de consumo a las cuales accede el individuo son aquellas quepuede adquirir dada la restriccion de ingresos y no necesariamente las canastaspreferidas de bienes.
El conjunto de canastas de consumo que se pueden adquirir dados unosprecios (Px, Py) y un ingreso I se denomina el conjunto presupuestario.La recta presupuestaria denota entonces el conjunto de canastas de bienes quecuestan exactamente el ingreso disponible, es decir
PxX + PyY = In
La figura 14 presenta un ejemplo de un conjunto presupuestario y una recta
Figura 14: La recta presupuestaria: un ejemplo
presupuestaria. Suponga que el individuo tiene disponibles $1.000 para gastaren su consumo de bienes. El precio del bien X es igual a $5 y el precio del bienY es igual a $4. La restriccion presupuestaria se define como
5X + 4Y ≤ 1000
La recta presupuestaria se puede reescribir como
5X + 4Y = 1000
Despejando Y, tenemos
Y =1000− 5X
4Para encontrar los puntos de corte de la recta presupuestaria, se realiza el pro-cedimiento siguiente. Cuando el individuo no consume Y (Y = 0), la rectapresupuestaria se define como
0 =1000− 5X
4
20
Por lo que X es igual a 200. De otro lado, cuando el individuo no consume X(X = 0), la recta presupuestaria se define como
Y =1000
4= 250
La pendiente de la recta presupuestaria es igual a
∂Y
∂X= −5
4
Cuando el individuo escoge una canasta de bienes tal que agota la cantidad totalde ingreso disponible, se ubica en la recta presupuestaria. De otro lado, si el in-dividuo escoge una canasta de bienes que no agota el ingreso total disponible, seubica al interior del conjunto presupuestario representado por el area punteada.
La generalizacion del ejemplo anterior se presenta a continuacion. Supongaque el individuo enfrenta unos precios Px, Py y un ingreso I. La restriccionpresupuestaria se representa como
PxX + PyY ≤ I
La recta presupuestaria esta definida por
PxX + PyY = I
y se puede reescribir como
Y =I − PxX
Py
Los puntos de corte en el eje X y en el eje Y se definen a continuacion. Paradefinir el punto de corte en el eje X se asume Y = 0,
X =I
Px
Para definir el punto de corte en el eje Y se asume X = 0,
Y =I
Py
La pendiente de la recta presupuestaria es igual a
∂Y
∂X= −Px
Py
La figura 15 muestra esta restriccion presupuestaria. La pendiente de larestriccion presupuestaria representa la relacion en la que el mercado esta dis-puesto a sustituir el bien X por el bien Y . Suponga que el consumidor deseaaumentar su consumo del bien X. ¿En cuanto debe reducir el consumo del bienY para satisfacer su restriccion presupuestaria? Si la restriccion presupuestaramuestra que PxX + PyY = I, se deriva totalmente para determinar el cambiode Y como respuesta al cambio de X.
PXdX + PY dY = dI
21
Figura 15: La recta presupuestaria
Si el ingreso no cambia (dI = 0), entonces se puede escribir el cambio de Yen terminos de la variacion de X.
dY
dX= −PX
PY
Esta relacion es la pendiente de la recta presupuestaria. Cambios en los preciosy en el ingreso del consumidor modifican la restriccion de presupuesto. Supongaque en el ejemplo anterior el consumidor recibe una herencia y su ingreso seaumenta de $1000 a $2000. Los precios de los dos bienes permanecen constantes.La nueva restriccion presupuestaria se define como
5X + 4Y ≤ 2000
La recta presupuestaria se puede reescribir como
Y =2000− 5X
4
Los puntos de corte de los dos ejes se van a modificar de la manera siguiente.Cuando el individuo no consume Y (Y = 0), X = 400; y cuando X = 0, Y = 500.La pendiente de la recta presupuestaria continua siendo la misma, es decir
∂Y
∂X= −5
4
Por lo tanto, un incremento en el ingreso disponible del individuo expande larecta presupuestaria y mantiene constante la pendiente de la recta tal como seilustra en la figura 14. Ahora suponga que en el ejemplo anterior, el ingreso delindividuo ($1000) y el precio del bien Y se mantienen constantes mientras queel precio del bien X se aumenta de $5 a $10. La nueva restriccion presupuestariase define como: 10X + 4Y ≤ 1000. La recta presupuestaria se puede reescribircomo
Y =1000− 10X
4Los puntos de corte de los dos ejes se van a modificar de la manera siguiente.Cuando el individuo no consume Y (Y = 0), X = 100; y cuando X = 0, Y = 250.
22
Figura 16: Un incremento en el ingreso
Por lo tanto, el punto de corte del X se modifica y el punto de corte del ejeY permanece igual. Como resultado, la pendiente de la recta presupuestaria semodifica a
∂Y
∂X= −10
4
Figura 17: Un incremento en el precio
2.3. La eleccion optima: Maximizacion de la funcion deutilidad
Las secciones anteriores definen los dos elementos esenciales para el procesode eleccion optima del consumidor: la funcion de utilidad y la restriccion depresupuesto. En el proceso de eleccion optima, el consumidor elige su canastade bienes preferida dentro del conjunto de canasta de bienes que puede elegirdada su restriccion de presupuesto. El individuo maximiza entonces su funcionde utilidad, es decir alcanza el maximo nivel de utilidad dada una restriccionpresupuestaria, cuando escoge una canasta de bienes que agota su restriccion
23
de presupuesto. Esto ocurre cuando la tasa marginal de sustitucion (la disponi-bilidad a ceder bien X por incrementar el consumo del bien Y ) se iguala a lapendiente de la recta presupuestaria (la relacion en la que el mercado esta dis-puesto a sustituir el bien X por el bien Y ).
Un ejemplo grafico de la maximizacion de la funcion de utilidad se presentaen la figura 18. Si el individuo escoge el punto A en la curva de indiferencia U1,el consumo se ubica en el conjunto presupuestario y, por lo tanto, no se agotatodo el ingreso disponible para consumo. Dado el supuesto de no saciedad, elconsumidor siempre prefiere consumir mas a consumir menos. Este punto no esracional porque el individuo podrıa incrementar el consumo de los dos bienes yderivar una mayor utilidad aun cumpliendo con la restriccion presupuestaria.
Figura 18: La maximizacion de la funcion de utilidad
El consumidor podrıa entonces ubicarse en un punto como B, donde agota larestriccion de presupuesto. Sin embargo, el individuo puede buscar otro puntodonde se agote la restriccion de presupuesto y se alcance un mayor nivel deutilidad. En el punto C, se cumple con esta restriccion: se agota el ingresodisponible y se alcanza el mayor nivel de utilidad posible. Ello sucede cuandola pendiente de la restriccion de presupuesto se iguala a la tasa marginal desustitucion.
En el punto C se cumple entonces con dos condiciones: se gasta un pre-supuesto igual a I y se alcanza el maximo nivel de utilidad posible. Esto sucedeen el punto de tangencia entre la restriccion de presupuesto y la curva de in-diferencia, es decir donde se igualan las dos pendientes.
Px
Py= −dY
dX
∣∣∣U=constante
=∂U/∂X
∂U/∂Y
La convexidad de las curvas de indiferencia permite que solo exista unacanasta de bienes que maximice la funcion de utilidad. Si se tuvieran curvas deindiferencia como el conjunto no convexo en la figura 7, se tuvieran posiblementedos puntos que sean tangentes a la restriccion de presupuesto.
La derivacion matematica del analisis anterior se realiza a continuacion.Suponga un individuo que consume dos bienes (X,Y ), enfrenta unos preciosde (Px, Py) y tiene un ingreso de I. El individuo escoge X,Y para maximizarsu funcion de utilidad.
Maxx,y U(X, Y )
24
Sujeto a la restriccion presupuestaria.
PxX + PyY = I
El lagrangiano de este problema de maximizacion esta definido por
L = U(X, Y ) + λ[I − PxX − PyY ]
Las condiciones de primer orden para obtener una maximizacion de la funcionde utilidad son:
∂L
∂X=
∂U
∂X− λPX = 0
∂L
∂Y=
∂U
∂Y− λPY = 0
∂L
∂λ= I − PXX − PY Y = 0
¿Como se interpretan las condiciones de primer orden? Las dos condicionesde primer se interpretan de manera muy similar. El primer termino ∂U/∂X rep-resenta la utilidad marginal para el individuo de consumir una unidad adicionaldel bien X. El segundo termino (λPx)representa el costo para el individuo deincrementar el consumo de X en una unidad. Un incremento en una unidad delbien X tiene dos efectos: Por un lado se aumenta el gasto en el bien X en Px; ypor el otro lado, se reduce el ingreso disponible para consumir otros bienes. Elcosto por dicha reduccion esta representado por λ.
El termino λ representa la utilidad marginal del ingreso. Por el teorema dela envolvente12
∂L
∂I=
∂U
∂I= λ
Por lo tanto, un incremento en el gasto del bien X reduce el ingreso disponiblepor otros bienes y la utilidad. Esta condicion de primer orden muestra entoncesque el individuo aumenta su consumo de X hasta el punto donde se igualan lasutilidades marginales con los costos marginales, es decir
∂U
∂X= λPx
La segundo condicion de primer orden se interpreta de una manera muy similar.La tercera condicion de primer orden significa que el individuo consume hastaagotar su presupuesto
I = PxX + PyY
De las dos primeras condiciones de primer orden se pueden despejar los λ, detal manera que se obtiene que la pendiente de la restriccion presupuestaria debeser igual a la tasa marginal de sustitucion.
PX
PY=
∂U/∂X
∂U/∂Y
Tal como se demostro graficamente, el individuo maximiza su funcion deutilidad en el punto donde se iguala la pendiente de la restriccion de presupuesto
12Vease el apendice 1 para una demostracion formal de este resultado.
25
con la tasa marginal de sustitucion. Otra forma de escribir las condiciones deprimer orden es la siguiente
λ =∂U/∂Y
Py=
∂U/∂X
Px
Esta ecuacion muestra que en el punto de maximizacion de utilidad cadabien debe proveer el mismo beneficio marginal por dolar gastado en el bien.Esta relacion debe ser igual a la utilidad marginal del ingreso, λ.
Una ultima forma de interpretar las condiciones de primer orden es la sigu-iente. La condicion de primer orden del bien X se puede reescribir como
Px =∂U/∂X
λ
Esta ecuacion significa que el precio representa la utilidad marginal por laultima unidad consumida del bien, es decir representa la disponibilidad a pagarpor el consumo de la ultima unidad consumida del bien X.
Una vez se ha realizado el proceso de maximizacion de la funcion de utilidad,se obtiene la cantidad de X y Y optima como funcion de los precios y el ingresodel individuo. Esta cantidad optima de X y Y se llaman funciones de demanday se expresan de la manera siguiente.
X∗ = X(Px, Py, I)
Y ∗ = Y (Px, Py, I)
Estas demandas garantizan el cumplimiento de las condiciones de primerorden. Para asegurarnos que estas demandan maximizan la utilidad del con-sumidor se recurren a las condiciones de segundo orden. Vease el apendice 2para una demostracion formal de estas condiciones.
Ejemplo 5: Maximizacion de una funcion Cobb-Douglas
Asuma que el proceso de maximizacion del individuo esta representado por
Maxx,y U = X12 Y
12
sujeto a 2 = 0,25X + Y
El lagrangiano de este problema de maximizacion esta representado por
L = X12 Y
12 + λ[2− 0,25X − Y ]
Las condiciones de primer orden son
∂L
∂X=� Y
X
� 12 − 0,25λ = 0
∂L
∂Y=�X
Y
� 12 − λ = 0
∂L
∂λ= 2− 0,25X − Y = 0
Despejando el λ de la condicion 1, y el de la condicion 2; se los iguala y se obtiene.
0,25X = Y
Esta igualdad se reemplaza en la tercera condicion de primer orden y se despeja X.
Ello significa que la cantidad optima para el proceso de maximizacion de utilidad anterior
es (X,Y ) = (4,1). El maximo nivel de utilidad alcanzado con esta canasta de consumo es
U = (4)12 (1)
12 = 2.
26
2.3.1. La funcion de utilidad indirecta
El proceso de maximizacion de utilidad del individuo sujeto a una restriccionde presupuesto genera funciones de demanda que representan las cantidadesoptimas de X e Y . Cuando se reemplazan las funciones de demanda en la funcionde utilidad, se obtiene la funcion de utilidad indirecta.
Si las cantidad optimas de X∗ e Y ∗ dependen de los precios e ingreso, la fun-cion de utilidad indirecta permite establecer el efecto de cambios en los preciosy en el ingreso sobre la funcion de utilidad del individuo.
U(X∗(PX , PY , I), Y ∗(PX , PY , I)) = V (PX , PY , I)
2.3.2. Propiedades de la Funcion de Utilidad Indirecta.
Estas propiedades son:
1. V (PX , PY , I) es no creciente en PX , PY . Es decir, un incremento en elprecio de cualquiera de los dos bienes reduce la utilidad al restringir elconjunto de las canastas de bienes disponibles para el consumidor.
∂V
∂Px< 0
2. V (PX , PY , I) decreciente en al menos uno de los precios. Es decir, unincremento en el ingreso aumenta la funcion de utilidad del individuo yaque puede expandir su consumo de bienes. Por lo tanto,
∂V
∂I> 0
3. V (PX , PY , I) es no decreciente en I, cuando las preferencias son localmenteno-saturadas
4. V (PX , PY , I) es homogenea de grado cero en PX , PY , I.
5. V (PX , PY , I) es cuasi-convexa en PX , PY .
6. Identidad de Roy. Si X(PX , PY , I) es la demanda, entonces:
X = −
∂V
∂PX
∂V
∂I
Ejemplo 6: Derivacion de la Funcion de utilidad Indirecta
Dado el siguiente problema de maximizacion de utilidad,
Maxx,y X12 Y
12
sujeto a 2 = 0,25X + Y
la demanda por bienes X y Y es respectivamente
X∗ = 4
Y ∗ = 1
La funcion de utilidad indirecta se deriva reemplazando ambas cantidades en la funcion deutilidad
V (Px, Py , I) = 412 1
12 = 2 ∗ 1 = 2
27
2.3.3. La minimizacion del gasto
El proceso de eleccion del consumidor se puede analizar desde otra perspec-tiva: la minimizacion del gasto. Al elegir su canasta de consumo, el individuopuede escoger la cantidad de bienes que maximizan su funcion de utilidad dadauna restriccion presupuestaria o, por otro lado, escoger la cantidad de bienesque minimizan el gasto para alcanzar un nivel dado de utilidad. Los dos proble-mas son identicos y llevan a la misma solucion. En terminos matematicos, estosignifica que los problemas son duales, es decir la minimizacion del gasto es elproblema dual de la maximizacion de utilidad y viceversa.
La figura 19 presenta un problema de minimizacion de gastos y un proble-ma analogo de maximizacion de utilidad. Para el problema de minimizacion degastos, asuma que el individuo debe escoger una canasta de bienes tal que min-imice su nivel de gastos y alcance el nivel de utilidad U1. Si el individuo escogegastar E1 para alcanzar el nivel de utilidad U1, el gasto sera insuficiente y por lotanto no podra alcanzar la meta establecida. De otro lado, cuando el individuoescoge gastar E2, el gasto sera excesivo para alcanzar el nivel de utilidad U1.Aunque este nivel de gasto corta la curva de indiferencia en dos puntos de U1,el individuo podrıa disminuir su nivel de gasto y alcanzar todavıa la utilidadU1. Por ultimo, elegir un nivel de gasto E3 le permite al individuo alcanzar losdos objetivos: minimizar el gasto y llegar al nivel de utilidad previsto.
Figura 19: El problema dual
28
El proceso de la maximizacion de utilidad fija el nivel de ingresos y escogeuna canasta de bienes que maximice la funcion de utilidad. En este caso, elindividuo toma el ingreso como dado y escoge la funcion de utilidad. Supongaque el ingreso equivale a un nivel de gasto E2. El individuo no puede ubicarseen el nivel de utilidad U3 porque su ingreso disponible no se lo permite. De otrolado, cuando el individuo decide ubicarse en una canasta de bienes que le generauna utilidad equivalente a U2 no agotarıa su ingreso disponible. Esta eleccionno cumple con la condicion de no saciedad.
El individuo puede consumir mas y aun cumplir con su restriccion de pre-supuesto. Por lo tanto, puede incrementar su consumo para alcanzar el nivel deutilidad U1. Para maximizar su nivel de utilidad, el individuo escoge entoncesla canasta de bienes X1,Y1 y elige una cantidad optima. Dicha canasta de bi-enes es identica a la canasta de bienes elegida a traves de la minimizacion degastos. Por lo tanto, los dos problemas son duales y son simplemente diferentesalternativas para analizar el mismo proceso: el proceso de eleccion optima deun consumidor. Sin embargo, mientras el gasto de un individuo es observable lafuncion de utilidad no lo es.
La definicion formal de la minimizacion de gastos se describe a continuacion.Asuma que un individuo escoge Xh,Y h para minimizar su gasto de modo quepuede alcanzar un nivel de utilidad igual a U . El problema de minimizacion degastos se define como
Minx,y E = PXX + PY Y
sujeto a U = U(X, Y )
El lagrangiano de este problema esta dado por
L = PXX + PY Y λ(U − U(X, Y ))
Las condiciones de primer orden son
∂L
∂X= PX − λ
U
X= 0
∂L
∂Y= PY − λ
U
Y= 0
∂L
∂λ= U − U(X, Y ) = 0
La interpretacion de las dos primeras condiciones de primer orden es identicaa aquellas del problema de maximizacion de utilidad. El individuo consume Xhasta el punto en el cual el beneficio por consumir una unidad adicional de X(el incremento en la utilidad) es igual al costo de consumir una unidad adicionalde X (la reduccion en el gasto disponible para otros bienes).
Si se despeja λ en la primera y segunda condicion, se obtiene
PX
∂U/∂X= λ
yPY
∂U/∂Y= λ
29
Al igualar las dos ecuaciones,
Py
∂U/∂Y= λ =
Px
∂U/∂X
PY
∂U/∂Y=
PX
∂U/∂X
PY ∂U/∂X
∂U/∂Y=
PX
1∂U/∂X
∂U/∂Y=
PX
PY
Ello implica que el individuo minimiza su nivel de gastos cuando la tasa marginalde sustitucion iguala a la pendiente de la restriccion presupuestaria, es decir sealcanza la misma solucion que en el proceso de la maximizacion de la funcionde utilidad.
Del proceso de minimizacion de gastos, tambien se obtiene la cantidad de-mandada de Xh y Y h. Sin embargo, en este caso, la cantidad demandada de-pende de los precios y de la funcion de utilidad y no del ingreso como en elproblema de la maximizacion de utilidad
Xh(PX , PY , U)
Y h(PX , PY , U)
El problema con las demandas generadas por el proceso de minimizacion de gas-tos es que no son observables debido a que uno de sus argumentos es la funcionde utilidad.
Ejemplo 7: Minimizacion del Gasto
El ejemplo siguiente muestra un problema de minimizacion de gastos con la misma funcionde utilidad Cobb-Douglas que hemos utilizado hasta el momento.
Minx,y E = 0,25X + Y
sujeto a U = X12 Y
12
El lagrangiano de este problema esta dado por
L = 0,25X + Y + λ[U −X12 Y
12 ]
Las condiciones de primer orden son
∂L
∂X= 0,25− λ
1
2(Y
X)12 = 0
∂L
∂Y= 1− λ
1
2(X
Y)12 = 0
∂L
∂λ= U −X
12 Y
12 = 0
Despejando los λ de las dos primeras condiciones, e igualandolos se tiene,
0,25X = Y
Si asumimos que el individuo desea alcanzar un nivel de utilidad equivalente a 2 unidades, latercera condicion de primer orden es
X12 Y
12 = 2
Dado que 0.25 X = Y , entonces la funcion de utilidad es anterior es igual a X12 (0,25X)
12 = 2,
siendo Xh = 4 y Y h = 1. Se llega entonces a la misma solucion del problema de maximizacion.
30
2.3.4. Funcion del Gasto
La solucion al problema de minimizacion, es la funcion de gasto. Esta in-dica el mınimo gasto, en a realizar para obtener U de utilidad. Formalmente,introduciremos las demandas del proceso dual dentro de la funcion objetivo delproblema de minimizacion del gasto, esto es:
E = PXX(PX , PY , U) + PY Y (PX , PY , U)
En forma general, podemos tener que la funcion de gasto depende exclusiva-mente de los precios:
E = E(PX , PY , U)
2.3.5. Propiedades de la funcion de Gasto
Estas propiedades son:
1. E(PX , PY , U) es no decreciente en PX , PY . Esto se deriva del axioma deinsaciabilidad ya que dados unos precios, el consumidor tiene que gastarmas para estar mejor, debido a que un incremento en precios requiere mascantidad de dinero para permanecer mejor.
2. E(PX , PY , U) es creciente en al menos uno de los precios.
3. E(PX , PY , U) es creciente en la utilidad.
4. E(PX , PY , U) es homogenea de grado 1 en precio. Esto es, si los preciosse doblan se debera desembolsar dos veces mas cantidad de dinero paraestar en la misma curva de indiferencia.
5. E(PX , PY , U) es concava en los precios para cada nivel de utilidad. Cuan-do el precio de un bien cambia, mientras los precios y la utilidad per-manecen constantes, la concavidad implica que el costo aumenta no masque linealmente, esto es esencial, porque el consumidor minimiza sus gas-tos reasignando sus compras en orden a tomar las ventajas de la estructurade precios.
6. Lema de Shepard13:
Xh =∂E
∂PX
Dem:E = XhPX + Y hPY
∂E
∂PX=[PX
∂xh
∂PX+ PY
∂Y h
∂PX
]+ xh
La expresion entre parentesis es igual a cero, como se demostrara mas adelante.Entonces se cumple que:
Xh =∂E
∂PX
13Esta demostracion tambien se valida para Y h
31
2.3.6. Algunas identidades importantes
Cuando la restriccion presupuestarıa esta activa, es decir, se gasta todo elingreso, se establece una correspondencia entre el problema de maximizacion dela utilidad y el de minimizacion del gasto.
U = V (I, PX , PY ) ⇔ I = E(PX , PY , U)
Algunas identidades utiles son las siguientes:
1. X(PX , PY , I) ≡ Xh(PX , PY , V (PX , PY , I)
);
2. Y (PX , PY , I) ≡ Y h(PX , PY , V (PX , PY , I)
);
3. Xh(PX , PY , U) ≡ X(PX , PY , E[PX , PY , U ]);
4. Y h(PX , PY , U) ≡ Y (PX , PY , E[PX , PY , U ]);
5. V [PX , PY , E(PX , PY , U)] ≡ U
6. E[PX , PY , V (PX , PY , I)] ≡ I
2.4. La funcion de demanda: el efecto ingreso y efectosustitucion
Una vez se han derivado las funciones de demanda, que representan la can-tidad optima demandada por el individuo dada una combinacion de precios eingreso, se puede establecer los efectos de cambios en el entorno economico sobreel proceso de eleccion del individuo. La herramienta para estudiar el impactode cambios en variables exogenas (p.ej. los precios y el ingreso) sobre variablesendogenas (p. ej. Cantidad demandada) es la estatica comparativa.
La estatica comparativa compara dos situaciones: antes y despues de uncambio en el entorno economico. Por ejemplo, la estatica comparativa permiteestablecer como cambia la demanda por automoviles cuando caen los arancelesa los carros extranjeros. En los analisis de estatica comparativa solo se comparacomo era la demanda antes y como es ahora. Nunca se analiza el proceso quellevo a dicho cambio.
2.4.1. Propiedad de Homogeneidad
Antes de realizar los ejercicios de estatica comparativa para cambios en losprecios y en el ingreso es necesario analizar una propiedad de la funcion dedemanda: la homogeneidad. Segun la propiedad de homogeneidad, si se in-crementan los precios y el ingreso por una misma proporcion y de manera si-multanea, las cantidades demandadas no varıan. Por ejemplo, si los precios yel ingreso se duplican, la cantidad demandada continua siendo igual. La figura18 presenta un ejemplo de la homogeneidad de la demanda. Asuma que en elmomento inicial la restriccion de presupuesto es igual a
PXX + PY Y = I
32
Los puntos de corte de esta restriccion de presupuesto son respectivamente
X =I
Px
Y =I
Py
La pendiente de la restriccion de presupuesto es igual a
pendiente = −PX
PY
Con esta combinacion de precios y de ingreso, el individuo demanda las canti-dades X1 y Y1. Ahora, si el precio de los bienes X y Y se duplica y el ingresotambien, la nueva restriccion de presupuesto es igual a
2PxX + 2PyY = 2I
Los puntos de corte de la nueva restriccion de presupuesto se derivan a contin-uacion.Para Y = 0,
2PxX = 2I
X =I
Px
Para X = 0,2PyY = 2I
Y =I
Py
Y la pendiente es igual a −2Px2Py
= −PxPy
Esto implica que la restriccion de
presupuesto continuan siendo igual y la demanda por los bienes X y Y continuaigual.
Figura 20: La homogeneidad de la funcion de demanda
33
La formalizacion de la homogeneidad de la funcion de demanda se presentaa continuacion. Asuma la siguiente funcion de demanda.
X = X(Px, Py, I)
Si los precios y el ingreso cambian por una cantidad t, la funcion de demandaes igual a
X(tPx, tPy, tI)
Dado que la demanda no varia con cambios identicas en precios e ingresos, lafuncion de demanda despues de este cambio es
X(tPx, tPy, tI) = tkX(Px, Py, I) = X(Px, Py, I)
es decir k = 0 y la funcion es homogenea de grado cero.
¿Cual es el cambio de la demanda cuando cambia I?
Cuando solo cambian los ingresos o solo cambian los precios, la demanda porbienes si se modifica. Una expansion el ingreso de un individuo incrementa, porlo general la demanda por bienes mientras una contraccion en el ingreso reducela demanda por bienes. Para establecer el efecto de una variacion en el ingresosobre la demanda por bienes, se asume que los precios permanecen constantesy el ingreso cambia.
Un ejemplo de cambios en el ingreso se presenta en la figura 19. Con unnivel de ingreso equivalente a I1 el individuo demanda una canasta de bienes(X1,Y1). Una expansion del ingreso del individuo de I1 a I2, cuando los preciospermanecen constantes, incrementa el consumo de ambos bienes a (X2,Y2). Algosimilar sucede cuando el ingreso aumenta a I3. Dado que los precios permanecenconstantes, la pendiente de la restriccion presupuestaria tambien permanececonstante y por lo tanto la tasa marginal de sustitucion es igual en todoslos puntos de optimizacion.
Figura 21: Un incremento en el ingreso con precios constantes
34
La figura anterior es solo un ejemplo del efecto que puede tener un cambio enel ingreso sobre la demanda de los bienes. En este caso, la demanda por ambosbienes es mayor con incrementos en el ingreso. Este tipo de bienes, cuya demandaaumenta con aumentos en el ingreso y cae con disminuciones en el ingreso, sedenominan bienes normales. La principal caracterıstica de los bienes normalesse caracteriza por la siguiente derivada.
∂X
∂I> 0
Sin embargo, no siempre aumentos en el ingreso implican una mayor deman-da por el bien. Hay bienes cuya demanda cae con incrementos en el ingreso. Estosbienes se denominan bienes inferiores. Los bienes de baja calidad pueden serbienes inferiores. Por ejemplo, el consumo de papas, ropa de segunda o colegiosde baja calidad. Cuando el hogar percibe un mayor ingreso, puede sustituir elconsumo de bienes de baja calidad por bienes de mejor calidad y por lo tantodisminuye la demanda por los primeros.
Figura 22: Los bienes inferiores
35
Un ejemplo de bienes inferiores se presenta en la figura 20. La cantidaddemandada por los dos bienes con un ingreso equivalente a I1 es igual a (X1,Y1).Una expansion del ingreso a I2 incrementa el consumo del bien Y a Y2 y reducela demanda del bien X a X2.Por consiguiente, el bien X es un bien inferior cuyoatractivo disminuye cuando el ingreso aumenta. La condicion matematica paraque un bien sea inferior es entonces
∂X
∂I< 0
La relacion entre el ingreso y la demanda por un bien cuando los precios per-manecen constantes se denomina la curva de Engel. La curva de Engel muestratodas las combinaciones optimas de cantidades e ingresos cuando los precios per-manecen constantes. Las curvas de Engel para los bienes normales tienen unapendiente positiva tal como lo ilustra la figura 23.
Figura 23: Curva de Engel los bienes normales
Ejemplo 8: La curva de Engel en una funcion cobb-douglas
La curva de Engel de una funcion de utilidad Cobb-Douglas se deriva a contin-uacion. Asuma que la funcion de utilidad tiene la siguiente forma
U = XαY 1−α
Si la restriccion de presupuesto es igual a
PXX + PY Y = I
las funciones de demanda correspondientes son
X = αI
PX
Y = (1− α)I
PY
La curva de Engel es igual a
I =PXX
α
Cuando I = 0 entonces X = 0. La pendiente de la curva es igual a PXXα .
El ejemplo de esta curva de Engel se muestra en la figura 24.
36
Figura 24: Curva de Engel de una funcion Cobb-Douglas
Las curvas de Engel y la ley de Engel provienen originalmente de un estu-dio empırico realizado por Ernst Engel. Dicha ley establece que a medida queaumenta el ingreso se reduce la proporcion del ingreso asignada al consumo dealimentos. Esto significa que la necesidad por el consumo de alimentos crecemenos rapido que el ingreso.
Las lıneas de pobreza se construyen con base en la ley de Engel. Numerososestudios han demostrado que a medida que el ingreso aumenta el gasto en al-imentos como proporcion del ingreso disminuye. Por lo tanto, una familia seconsidera pobre cuando 35 % de sus ingresos se asignan al consumo de alimen-tos.
¿Cual es el cambio de la demanda cuando cambian los precios?
Los cambios en precios tambien implican un cambio en la demanda de bienes.No obstante, los cambios en precios producen efectos mas complejos: el efectosustitucion y el efecto ingreso. El efecto sustitucion se presenta porque unincremento en el precio del bien X necesariamente conlleva a una modificacionde la canasta de bienes de tal manera que se sustituye consumo del bien Xpor consumo del bien Y . De otro lado, un incremento en el precio del bien Ximplica que el individuo tiene menos ingreso disponible para gastar en el bienY porque el bien X es ahora mas caro. Dado que un cambio en los precios llevaa un cambio en la pendiente de la restriccion presupuestaria, el nuevo punto deoptimizacion sucede en una Tasa Marginal de Sustitucion diferente.
La figura 25 ilustra el efecto de una caıda en los precios y distingue el efectosustitucion del efecto ingreso. Suponga que en una situacion inicial los precios delbien X y el bien Y son P 1
X y PY . Con esa restriccion de ingresos, se demanda(X1,Y1). Una caıda en el precio del bien X a P 2
X modifica la restriccion depresupuesto de tal manera que se incrementa la demanda por el bien X a X2.Dado que el precio del bien Y permanece constante y que el individuo tiene maspresupuesto disponible, la demanda por el bien Y tambien sube a Y2. El efectosustitucion y el efecto ingreso estan contenidos en el cambio de X1 a X2.
Ambos efectos se pueden analizar entonces en esta figura. El efecto sustitu-cion refleja el proceso de sustitucion que se lleva a cabo entre X y Y debidoa cambios en los precios. Los cambios en los precios conllevan a una alteracionde la tasa a la que el mercado permite sustituir el bien X por el bien Y . Paraestablecer el efecto sustitucion, se analiza como varıa el consumo en el bien X si
37
Figura 25: La caıda en precios: el efecto ingreso y el efecto sustitucion
el individuo continua en la misma curva de indiferencia pero se modifica la pen-diente de la restriccion de presupuesto. Esto equivale a permitir que el individuocambie la composicion de la canasta de bienes pero restringirlo a que continuesobre la misma curva de indiferencia, es decir los precios relativos se modificanpero se ajusta el ingreso para mantener constante el poder adquisitivo. Cuandose lleva a cabo este procedimiento, se obtiene que debido al efecto sustitucionel consumo del bien X sube de X1 a Xs y el consumo del bien Y se contrae deY1 a Ys.
El cambio de Xs a X2 representa el efecto ingreso y este efecto equivalea un incremento en el ingreso disponible del consumidor quien incrementa suconsumo del bien X y su consumo del bien Y para poder alcanzar un nivel deutilidad mas alto: U2. Esto implica ajustar el poder adquisitivo (I/PX) paraque el consumidor alcance una nueva curva de indiferencia. Si el bien es normal,el efecto ingreso es positivo.
Aunque el efecto ingreso y el efecto sustitucion se pueden analizar grafica-mente, en la realidad simplemente se observa el cambio de una canasta optimade bienes a otra canasta optima de bienes. El consumidor nunca elige en dosetapas tal como se ilustro en el ejemplo anterior.
El ejemplo anterior aplica para los bienes normales. En este ejemplo, el efectoingreso y el efecto sustitucion opera en la misma direccion. Si los precios del biense incrementan, el efecto sustitucion y el efecto ingreso son negativos. De otrolado, si los precios del bien decrecen, el efecto sustitucion y el efecto ingreso sonpositivos. Esto se presenta porque el efecto de una expansion en el ingreso espositivo.
∂X
∂I> 0
Sin embargo, para los bienes inferiores, el efecto de una expansion del ingresoes negativo, es decir
∂X
∂I< 0
Ello significa que el efecto ingreso y el efecto sustitucion operan en direc-ciones contrarıas y no es posible por lo tanto establecer cual es el efecto final de
38
un cambio en los precios. Por ejemplo, si cae el precio de la ropa de segunda,debido al efecto sustitucion la demanda por esta ropa crece. De otro lado, dadoque el individuo tienen mas ingreso para gastar por la caıda en precios, la de-manda por ropa de segunda cae debido al efecto ingreso. En este caso, el efectoingreso y el efecto sustitucion tiene efectos contrarios.
2.4.2. Las funciones de demanda: demanda marshalliana y demandahicksiana
Hasta ahora, las variaciones en las elecciones de los individuos se han grafi-cado unicamente con funciones de utilidad, curvas de indiferencia y curvas deEngel. Sin embargo, las funciones de utilidad y las curvas de indiferencia noson observables y la curva de Engel no permite inferir como cambia el com-portamiento de los consumidores con movimientos en los precios. Las curvas dedemanda son una forma adicional de analizar las elecciones de los consumidores.Estas curvas son observables y se pueden estimar con metodos econometricos.
La figura 26 deriva la curva de demanda para el bien X. Esta grafica asumeque el precio del bien Y y el ingreso se mantienen constante mientras el preciodel bien X varıa. En un precio de P 1
X , el individuo demanda X1. Un preciomas bajo P 2
X expande la demanda a X2 y ası sucesivamente. La funcion dedemanda derivada de esta forma refleja elecciones maximizadoras de la funcionde utilidad.
Figura 26: La derivacion de una curva de demanda marshalliana
39
La curva de demanda anterior asume que tres variables permanecen con-stantes: (i) el precio del bien Y ; (ii) el ingreso; y (iii) las preferencias. Estascurvas de demanda se denominan curvas de demanda marshallianas o ordinar-ias. Estas curvas fueron obtenidas analıticamente al momento de maximizar lautilidad del consumidor. Por ejemplo, si el ingreso disponible del individuo seexpande, la curva de demanda se expandirıa tal como se presenta en la figura27.
Figura 27: La expansion del ingreso
Un cambio en las preferencias tambien modifica la curva de demanda. Porejemplo, si se hace una campana publicitaria agresiva para promocionar el con-sumo del bien X, esto desplaza la curva de demanda e incrementa el consumode dicho bien tal como en el caso del incremento del ingreso.
La diferencia entonces entre una funcion y una curva de demanda radica encuales determinantes de la funcion de demanda permanecen constantes. Parala funcion de demanda, tanto los precios como el ingreso pueden variar. Deotro lado, para la curva de demanda, se asume que solo el precio del bien varıamientras los otros precios, el ingreso y las preferencias permanecen constantes.
Las funciones de demanda hicksianas o compensadas asumen que el in-greso permanece constante mientras la utilidad varıa. Por lo tanto, una funcionde demanda compensada denota las elecciones optimas para un conjunto decombinaciones de precios y utilidades. Estas son obtenidas matematicamentecuando minimizamos el gasto sujeto a un determinado nivel de utilidad.
X = hx(Px, Py, U)
Para derivar la curva de demanda compensada del bien X, se asume que elprecio del bien Y se mantiene constante y la utilidad se mantiene constante, U .La figura 28 indica una derivacion de la funcion de demanda compensada. Eneste caso, la utilidad se mantiene constante en U1 y se disminuye el precio delbien X. Las caıdas en los precios del bien X, aunque incrementan el ingresonominal del individuo, se compensancon una utilidad constante. Por lo tanto,las reacciones en los cambios en los precios solo incluyen el efecto sustitucion.
40
Figura 28: La derivacion de una curva de demanda hicksiana
La relacion entre las curvas de demanda marshalliana y hicksiana se pre-sentan en la figura 29. Las curvas de demanda se intersectan en el precio P 2
x .Cuando se alcanza este precio, el ingreso es apenas suficiente para alcanzar elnivel de utilidad U1. Para precios menores a P 2
x , por ejemplo P 3x , es necesario
compensar”negativamente al individuo, restringiendo su consumo de X, paraevitar que alcance un mayor nivel de utilidad. Por lo tanto, en estos puntos lademanda compensada es menor que la demanda marshalliana. Por el contrario,cuando los precios son superiores a P 2
x , es necesario compensar”positivamenteal individuo con el fin de evitar que el nivel de utilidad del individuo disminuya.Esta compensacion se logra con un mayor consumo de X. Como resultado, lademanda compensada excede a la demanda marshalliana.
Las graficas de las curvas de indiferencia, la derivacion de la demanda mar-shalliana y la demanda compensada, y la comparacion entre ambas demandasbrinda una explicacion grafica del efecto ingreso y el efecto sustitucion. En losparrafos siguientes se deriva el efecto ingreso y el efecto sustitucion con un mod-elo matematico.
2.4.3. Ecuacion de Slutzky
El objetivo del modelo es establecer cual es el efecto de un cambio en elprecio de un bien sobre su demanda, es decir
∂X∗
∂Px
y descomponer el efecto total entre el efecto ingreso y el efecto sustitucion. Parallevar a cabo este proceso es necesario utilizar la funcion de demanda compen-
41
Figura 29: La demanda hicksiana y la demanda marshalliana
sada Xh(PX , PY , U) y la funcion de demanda marshalliana X∗(PX , PY , I) yestablecer una relacion entre estas. La manera de establecer una relacion entreambas funciones de demanda es a traves de la funcion de gasto. El gasto mınimoesta definido por
gasto mınimo = E(PX , PY , U)
Dado que la funcion de demanda marshalliana depende del ingreso del individuoy este ingreso es equivalente al gasto cuando se alcanza el nivel de utilidaddeseado,
Xh(PX , PY , U) = X∗[PX , PY , E(PX , PY , U)]
42
La igualdad de las funciones de demanda marshalliana y compensada seilustra en la figura 29. Esto sucede cuando el ingreso es exactamente el necesariopara alcanzar la utilidad predeterminada en el problema de minimizacion degastos. Si se calcula la derivada parcial de la ecuacion anterior se obtiene
∂Xh
∂PX=
∂X∗
∂PX+
∂X∗
∂E
∂E
∂PX
Al despejar esta ecuacion para derivar ∂X∗
∂Px
∂X∗
∂PX=
∂Xh
∂PX− ∂X∗
∂E
∂E
∂PX
Esta ecuacion se puede descomponer en dos terminos. El primer termino reflejalas variaciones en la demanda como consecuencia de un cambio en el precio cuan-do se mantiene constante el nivel de utilidad (demanda compensada) mientrasel segundo termino refleja variaciones en la demanda por cambios en el preciocuando se mantiene constante el nivel de ingreso (demanda marshalliana).
El termino ∂Xh
∂Pxrepresenta el efecto sustitucion pues muestra como cambia
la demanda compensada por el bien cuando el precio se altera y la utilidad semantiene constante.
El termino ∂X∗
∂E∂E∂PX
muestra como variaciones en el precio del bien PX
afectan la demanda por el bien X a traves de cambios en los ingreso, es decirrefleja el efecto ingreso. El significado de cada termino es el siguiente:
1. ∂E∂PX
: cuando los precios cambian es necesario variar el gasto para man-tener el nivel de utilidad constante. Por ejemplo, si el precio del bien Xsube, el consumidor debera gastar mas para alcanzar el mismo nivel deutilidad anterior. Ello implica que ∂E
∂PX> 0
2. ∂X∗
∂E: como en la demanda marshalliana el ingreso se mantiene constante,
no es posible gastar mas para mantener constante el nivel de utilidad. Estose logra por lo tanto reduciendo el consumo en el bien X.
Esta ecuacion se puede reescribir de la manera siguiente. Para derivar ambos esnecesario realizar unas manipulaciones sencillas. El efecto sustitucion es igual a
Efecto sustitucion =∂Xh
∂PX
∣∣∣U=constante
El efecto ingreso esta representado por
Efecto ingreso = −∂X∗
∂E
∂E
∂Px= −∂X∗
∂I
∂E
∂PX
Este termino se puede reescribir utilizando el lema de Shepard. Esto implicaque el efecto ingreso se puede reescribir entonces como
Efecto ingreso = −X∂X∗
∂I
43
La ecuacion de Slutsky, que muestra el efecto total de la variacion de un preciosobre su funcion de demanda se define entonces como
∂X
∂Px=
∂Xh
∂PX
∣∣∣∣∣U=constante
−X∂X
∂I
Para definir el signo de esta derivada, es decir para conocer cual es el efecto deuna variacion en el precio sobre la demanda por el bien, es necesario establecercual es el signo de cada uno de los componentes.
Cuando el bien es normal:∂X∗
∂Px
∣∣∣U=constante
< 0: es siempre negativo. Una caıda en Px reduce la
pendiente de la restriccion de presupuesto - Px∂Py
y, por lo tanto, la tasa
marginal de sustitucion tambien debe caer para preservar la tangencia.Esto significa que la disponibilidad a ceder bien X por incrementar elconsumo del bien Y aumenta. Esto sucede cuando se esta consumiendomucho del bien X y poco del bien Y tal como muestra la figura 30.
- X ∂X∂I
< 0: dado que el bien es normal, un incremento en el ingresoconlleva a una mayor demanda por el bien X.
Figura 30: El efecto sustitucion: una caıda en precios
Por lo tanto, para bienes normales, el signo de esta derivada es negativo
∂X
∂Px=
∂X∗
∂Px
∣∣∣∣∣U=constante
−X∂X
∂I< 0
De otro lado, cuando el bien es inferior, el signo del primer termino continuasiendo negativo, pero el signo del segundo termino es ahora negativo. Comovimos en parrafos anteriores, un bien inferior es aquel cuyo consumo disminuyecuando el ingreso se expande. Ello implica que
−X∂X
∂I> 0
44
y∂X
∂Px=
∂X∗
∂Px
∣∣∣∣∣U=constante
−X∂X
∂I
Tiene, por ende, un signo indeterminado. Esto significa que un incremen-to en el precio del bien X no necesariamente produce una disminucion en lademanda por el bien. Es posible, aunque bastante improbable, que el efecto in-greso domine sobre el efecto sustitucion. Cuando esto sucede un incremento enlos precios produce una expansion en la demanda. Dicho fenomeno se denominaen economıa la Paradoja de Giffen y es bastante inusual.
En los cuadro siguientes se muestra el signo del efecto sustitucion, ingresoy total para cada tipo de bien. Primero se considera el caso de que aumenta elprecio del bien X, y luego en el caso de que disminuya.
Si aumenta el precio del bien X
Si disminuye el precio del bien X
2.4.4. Los bienes sustitutos y complementarios
Los analisis anteriores se concentran en el impacto del cambio en el precio deun bien sobre su misma demanda. Sin embargo, el cambio de un precio no soloafecta la demanda del mismo bien, tambien afecta la demanda por otros bienesde la economıa. El efecto del cambio en el precio del bien sobre la demandade otros bienes depende de su relacion con los otros bienes. Ası, si los bienesson sustitutos, como la coca-cola y la pepsi, un incremento en el precio de lacoca-cola reduce la demanda por coca-cola e incrementa la demanda por pepsi.De otro lado, si los bienes son complementarios, tal como las raquetas y lasbolas de tennis, un incremento en el precio de las raquetas de tenis deriva enuna menor demanda por raquetas y bolas de tennis. El objetivo de esta secciones formalizar el analisis anterior cuando hay dos bienes.
Los dos ejemplos anteriores se grafican a continuacion. La figura 31 ilustra elcaso de un bien complementario. Suponga que el individuo consume dos bienes,bien X y bien Y .
45
Figura 31: Efectos cruzados de precios: bienes complementarios
La grafica muestra el efecto de una caıda en el precio de Y sobre la demandapor X cuando los dos bienes son complementarios. Una caıda en el precio delbien Y , tal como se analizo en la seccion anterior, conlleva a una mayor demandapor dicho bien cuando este es normal. El efecto sobre el bien X depende delefecto sustitucion entre el bien X y el bien Y . En el caso presentado en estafigura, los dos bienes son complementos perfectos y, por lo tanto, una caıdaen el precio del bien Y implica un incremento en la demanda por el bien X.Esta expansion en la demanda del bien X obedece al efecto ingreso: una caıdaen el precio del bien Y incrementa el ingreso disponible para consumir ambosbienes y, como los bienes son complementos perfectos, el consumo de ambos seincrementa. Ello implica que
∂X
∂PY< 0
La literatura define que en este caso el bien X es un complementario brutode Y. El efecto opuesto, es decir cuando los bienes son sustitutos, se presentaen la figura 32. La caıda de PY expande la demanda del bien Y pero contraela demanda por el bien X. La caıda en la demanda por X se da porque elconsumidor decide sustituir consumo del bien X por consumo del bien Y : estele resulta mas barato y, con una misma cantidad de gasto, puede alcanzar unmayor nivel de utilidad. Sin embargo, la caıda en el consumo del bien X, deX1 a X2, es menor que el incremento en el consumo del bien Y , de Y1 a Y2.Ello se debe a que, aunque el efecto sustitucion prima sobre el efecto ingreso,el efecto ingreso permite que la caıda en la demanda por el bien X no sea tanpronunciada. Cuando los bienes son sustitutos brutos, se encuentra que
∂X
∂PY> 0
En este caso el bien X es un sustituto bruto de Y.La ecuacion de Slutskypermite nuevamente diferenciar el efecto ingreso y el efecto sustitucion paraefectos cruzados. Esta ecuacion se escribe como
∂X
∂PY=
∂Xh
∂PY
∣∣∣∣∣U=constante
− Y∂X
∂I
46
Figura 32: Efectos cruzados de precios: bienes sustitutos
El primer termino de la ecuacion representa el efecto sustitucion mientrasel segundo termino representa el efecto ingreso. Para establecer el signo de laecuacion, es necesario conocer si el bien es normal y si son bienes sustitutos ocomplementarios.
Cuando el bien X es normal y los bienes son complementarios entonces,
∂X
∂Py︸︷︷︸(−)
=∂X
∂Py
∣∣∣∣∣U=constante︸ ︷︷ ︸
(−)
−Y∂X
∂I︸︷︷︸(+)
De otro lado, cuando bien X es normal y los bienes son sustitutos:
∂X
∂Py︸︷︷︸(− o +)
=∂X
∂Py
∣∣∣∣∣U=constante︸ ︷︷ ︸
(+)
−Y∂X
∂I︸︷︷︸(+)
Por lo tanto, el termino es indefinido. Si el efecto sustitucion prima sobre elefecto ingreso, entonces es negativo.
La definicion de sustitutos y complementos brutos presenta algunos resulta-dos contradictorios debido al efecto ingreso y al efecto sustitucion. Es posibleque el bien X sea sustituto del bien Y mientras que el bien Y sea complementodel bien X.
Para evitar las asimetrıas en la definicion de bienes sustitutos y complemen-tarios, se utiliza mas comunmente la definicion de sustitutos y complementosnetos. En la definicion neta, se desconoce el efecto ingreso y solo se tiene encuenta el efecto sustitucion, es decir que tanto se sustituye bien X bien Y mien-tras se mantiene la utilidad constante. Ello implica que la definicion neta se basaen la forma de las curvas de indiferencia. Dos bienes son considerados sustitutosnetos cuando
∂X
∂Py
∣∣∣∣∣U=constante
> 0
47
De otro lado, dos bienes son considerados complementos netos cuando
∂X
∂Py
∣∣∣∣∣U=constante
< 0
Un resultado adicional de la definicion de sustitucion neta es la simetrıa perfectade los efectos cruzados. Es decir14,
∂X
∂Py
∣∣∣∣∣U=constante
=∂Y
∂Px
∣∣∣∣∣U=constante
2.5. El excedente del consumidor
Las variaciones en los precios y sus consecuentes cambios en la funcion dedemanda afectan el bienestar de los consumidores. Al trasladarse a otra canastade bienes, la utilidad del individuo cambia y esto puedo implicar una perdida enbienestar (una caıda en la utilidad) o una ganancia en bienestar (un incrementoen la utilidad). Un ejemplo de esto se presenta en la figura 33. En un momentoinicial, los precios del bien X y Y son P 1
x y Py. Con estos precios, el individuodemanda unas cantidades (X1,Y1) y alcanza un nivel de utilidad U1. Si el preciodel bien X se incrementa, la demanda por los dos bienes cae hasta alcanzar unascantidades de (X2,Y2) y el individuo alcanza un menor nivel de utilidad U2. Lacaıda en la utilidad del individuo se denomina la perdida en bienestar por unincremento en el precio del bien X.
Figura 33: Una perdida de bienestar por incrementos en Px
Si las utilidades fueran observables y comparables entre individuos, la variacionen el bienestar, como consecuencia del cambio en precios, se medirıa compara-ndo la diferencia entre la utilidad despues del cambio (U2) y la utilidad antesdel cambio (U1), es decir ∆U = U2 - U1. Sin embargo, las utilidades no son ob-servables y, por lo tanto, es imposible medir la perdida o ganancia de bienestarde esta manera. Ademas, no es posible comparar los cambios en utilidad de dos
14Para una demostracion formal de este resultado ver el apendice 4
48
individuos diferente. Es necesario entonces definir una medida de bienestar quesea cuantificable y comparable entre individuos.
La funcion de gasto puede proveer una aproximacion para medir los cambiosen bienestar de los consumidores debido a variaciones en el entorno economico.Asuma que un individuo debe alcanzar un nivel de utilidad igual a U0 y losprecios de los bienes X y Y son respectivamente P 0
x y Py. La funcion de gastocon este entorno economico esta definida por
E0 = E(P 0x , Py, U0)
Asuma que los precios del bien Y continuan iguales y los precios del bien Xson ahora P 1
x . Para establecer el impacto en bienestar, se compara el nivel degasto necesario para mantener el individuo en la funcion de utilidad inicial conlos nuevos precios. Esta funcion de gasto es igual a
E1 = E(P 1x , Py, U0)
La perdida en bienestar (ganancia en bienestar) si los precios suben (bajan) semide entonces como la diferencia entre el gasto inicial y el gasto final
Cambio en bienestar = E0 − E1
Si el precio del bien X sube, el gasto necesario para mantener el individuoen la misma funcion de utilidad debe incrementarse frente a E0 y, por lo tanto,el cambio en bienestar es negativo. Ello significa que el individuo enfrenta unacaıda en el bienestar como consecuencia del incremento en el precio del bien X.De otro lado, una caıda en el precio del bien X implica que el individuo puedereducir su gasto para mantener el nivel de utilidad constante. Por consiguiente,el cambio en bienestar es positivo y el individuo percibe entonces mejorıas ensu bienestar.
La medida de bienestar definida anteriormente se puede representar grafi-camente con las demandas compensadas. El cambio en bienestar para unavariacion infinitesimal en los precios es igual a
dE
dPx
es decir el cambio en la funcion de gasto, dado que los precios del bien X varıany las demas variables se mantienen constantes. Por el teorema de la envolvente,
dE
dPx= hx(Px, Py, U0)
Cuando la variacion en los precios es significativa y no infinitesimal, el cambioen bienestar se define como
E(P 0x , Py, U0)− E(P 1
x , Py, U0) =∫ P 1
x
P 0x
dE
dPxdPx =
∫ P 1x
P 0x
hx(Px, Py, U0)dPx
49
Esta medida de bienestar se puede evaluar en la funcion de demanda com-pensada como el area debajo de la curva de demanda y entre los dos preciosP 0
x y P 1x tal como se presenta en la figura 34. El cambio en bienestar por el
incremento en el precio del bien X esta representado por el area punteada.
Figura 34: Medida de bienestar - demanda compensada
El problema de la medida de bienestar presentada en la figura anterior esque no es observable. Dado que la demanda compensada depende de la funcionde utilidad, no es posible estimar la curva de demanda y, por ende, el cambioen bienestar tampoco se puede medir.
La medida de bienestar derivada de la demanda compensada se denomi-na variacion compensada y representa el cambio en utilidad debido a unavariacion en el entorno economico, medido en terminos monetarios. Esta medidasi es comparable entre individuos porque esta medida en terminos monetarios($, pesos). Sin embargo, la medida no es observable. Una forma de aproximarla variacion compensada es con el excedente del consumidor.
El excedente del consumidor aproxima la variacion compensada con elarea debajo de la curva de demanda marshalliana entre los precios iniciales y losprecios finales. La figura 35 permite entender de manera intuitiva el excedentedel consumidor. Cada punto de la funcion de demanda representa la maximadisponibilidad a pagar por cada unidad del bien. A medida que se incrementala cantidad de bienes consumidos la disponibilidad a pagar disminuye debidoa la utilidad marginal decreciente. El precio del mercado es igual a P . Si elconsumidor consume y1, esta dispuesto a pagar dap1 y el excedente por consumiry1 a P es equivalente al area abcP . Si el consumidor consume y2, esta dispuestoa pagar dap2 y el excedente por consumir y2 a P es equivalente al area defP .El consumidor demanda hasta el punto donde la disponibilidad a pagar es igualal precio de mercado. En ese punto, el excedente por consumir y∗ es equivalentea ghP . Dicha area representa el bienestar economico para los consumidores porel consumo del bien.
50
Figura 35: El excedente del consumidor
Por consiguiente, para aproximar el cambio en bienestar por un incrementoen el precio del bien X se puede hacer uso de la curva de demanda marshallianay se mide el area de la curva tal como lo ilustra la figura 36
Figura 36: El excedente del consumidor - incremento en precio de X
2.6. La demanda de mercado
Los analisis anteriores se basan en el comportamiento de un solo individuo. Elproceso de maximizacion de utilidades y de minimizacion de gastos produce lasdemandas de cada individuo por cada bien. Aunque la demanda individualpermite entender el proceso de eleccion del individuo de manera detallada, enmuchos casos los datos de demanda se presentan de manera agregada, es decirel total de tomates demandados cada dıa o el numero total de motocicletascompradas en Ecuador cada mes. Para analizar los datos agregados, es necesarioconstruir demandas de mercado, las cuales llevan implıcita la agregacion delas demandas de cada uno de los individuos de la economıa.
La derivacion de una demanda de mercado se lleva a cabo en esta seccion.Para simplificar, asuma que hay dos individuos en la economıa (individuo 1 eindividuo 2) y hay dos bienes en la economıa, bien X y bien Y . La demanda
51
por el bien X para el individuo 1 esta definida por
X1 = X1(Px, Py, I1)
y la demanda del individuo 2 esta definida por
X2 = X2(Px, Py, I2)
En las demandas anteriores esta implıcito un supuesto sumamente importanteque a lo largo de la clase se analizara de manera detenida. Ambos individuosson tomadores de precios, es decir ninguno de los dos individuos tiene lacapacidad para manipular los precios del mercado por lo tanto ambos enfrentanel mismo vector de precios Px y Py.
La demanda total de la economıa por el bien X, es decir la demanda demercado, esta dada por la suma de las dos demandas
XTotal = X1 + X2 = X1(Px, Py, I1) + X2(Px, Py, I2)
La demanda de mercado esta entonces definida por
XTotal = X(Px, Py, I1, I2)
Para derivar la curva de demanda de mercado, se debe realizar una suma hori-zontal. Esto significa que para cada Px se establece la cantidad demandada decada individuo y se suman las cantidades para ası obtener la cantidad total. Enla curva de demanda de mercado del bien X se mantiene constante el precio delos otros bienes (bien Y ), el ingreso del individuo 1 (I1) y el ingreso del individuo2 (I2).
La derivacion de una curva de demanda de mercado se presenta en la figura37. Al precio P 1
x , el individuo 1 demanda X11 y el individuo 2 demanda X1
2 . Lademanda de mercado al precio P 1
x estara dada por X∗1 = X1
1 + X12 . Al precio
P 2x , el individuo 1 demanda X2
1 y el individuo 2 demanda X22 . La demanda de
mercado al precio P 2x estara dada por X∗
2 = X21 + X2
2 . Este procedimiento selleva a cabo para cada uno de los precios.
Figura 37: Construccion de la curva de demanda de mercado
Cuando hay M individuos que demanda el bien X, la curva de demanda demercado se define como
X∗ =m∑
i=1
Xi(Px, Py, Ii)
52
2.7. Las elasticidades
Las secciones anteriores han caracterizado las funciones de demanda condiferentes conceptos que permiten establecer si los bienes son normales o inferi-ores o si los bienes son sustitutos o complementarios. Sin embargo, los conceptosutilizados hasta el momento no permiten definir que tan sensible es la deman-da a cambios en el precio, es decir que tanto reaccionan los individuos, en suconsumo por un bien, a variaciones en los precios.
Presumiblemente, los individuos pueden reaccionar de manera diferente acambios en los precios de acuerdo a sus preferencias y necesidades. Por ejemplo,una familia con ninos pequenos necesita consumir leche; un incremento en elprecio de la leche no deriva en una disminucion fuerte en la demanda. De otrolado, una persona que compra leche casualmente si disminuirıa drasticamentela demanda por leche. Las elasticidades permiten medir las sensibilidades delconsumo a los precios.
Una elasticidad pretende medir como se modifica, por ejemplo, la demandapor el bien cuando su precio varıa en un uno por ciento. Para definir la elasticidadprecio de la demanda, es necesario primero redefinir una notacion. Cuando seanaliza la demanda de un solo mercado se utilizara el termino Q. El preciode este bien se definira como P . La elasticidad precio de la demanda se defineentonces como
eQ,P =cambio porcentual en Q
cambio porcentual en P=
∂Q
∂P
P
Q
Dicha elasticidad denota como varıa la demanda por el bien Q cuando el preciocambia en un uno por ciento y los demas determinantes de la demanda con-tinuan constantes (Ceteris paribus).
¿Porque no utilizar simplemente ∂Q∂P
? Esta medida mostrarıa como se mod-ifica la cantidad demandada por una variacion en el precio. Dado que loscambios en la demanda se manifiestan en unidades consumidas, es imposiblecomparar las sensibilidades de la demanda por diferentes productos. Por ejem-plo, un estudio de mercado quiere comparar la sensibilidad a los precios en lademanda por leche en polvo y leche de vaca de las familias con hijos pequenos.El estudio demuestra que, tras un incremento de $10 en el precio de la leche devaca, disminuirıa el consumo de leche en 1/4 de litro para cada familia con hijos.De otro lado, un incremento de $10 en el precio de la leche en polvo disminuyeel consumo, por parte de cada familia, en 250 gramos. Ambas cantidades sondiferentes y, por lo tanto, no son comparables. La elasticidad precio de lademanda si permite realizar comparaciones porque indicarıa porcentualmentecual es el efecto de un cambio de uno por ciento en el precio de la leche de vacay la leche en polvo.
Los valores de la elasticidad precio de la demanda son negativos ya queun incremento en los precios lleva a una caıda en la cantidad demandada. Losvalores de las elasticidades precio de la demanda permiten clasificar las funcionesde demanda en tres categorıas:
1. Funcion de demanda elastica: demandas cuya reaccion a una variacional precio es mas que proporcional, es decir la variacion en la cantidad de-mandada es mayor que el cambio respectivo en el precio (p.ej. un incre-mento de 1 % en el precio del bien reduce la demanda por ese bien en 2 %).
53
Las curvas de demanda elastica se presentan cuando la cantidad demanda-da es muy sensible a variaciones en los precios. Ello se presenta cuando elbien tiene un conjunto amplio de sustitutos cercanos; por lo tanto, cuandoel consumidor enfrenta una modificacion en los precios, puede sustituir elconsumo de ese bien por otro bien similar.Una demanda es elastica cuando
eQ,P < −1
2. Funcion de demanda con elasticidad unitaria: demandas cuya reac-cion a una variacion en el precio es de una proporcion identica a dichavariacion, es decir el cambio porcentual en la cantidad demandada esidentico a la variacion en el precio (p.ej, un incremento de 1 % en el precioreduce la demanda en 1 %).Una demanda tiene elasticidad unitaria cuando
eQ,P = −1
3. Funcion de demanda inelastica: demandas cuya reaccion a una variacional precio es menos que proporcional, es decir el cambio en la cantidaddemandada es menor que el cambio respectivo en el precio (p.ej. un in-cremento de 1% en el precio del bien reduce la demanda por ese bienen 0.5%). Los bienes con demandas poco sensibles a los precios son in-elasticas. Este tipo de demanda existen cuando el bien no tiene sustitutoscercanos y, por ende, cuando el consumidor enfrenta un cambio en los pre-cios, no tiene capacidad de sustituir el bien por bienes similares.Una demanda es inelastica cuando
eQ,P > −1
La figura 38 presenta ejemplos de una funcion de demanda bastante elastica yuna funcion de demanda inelastica. Una demanda elastica presenta una reaccionfuerte a las oscilaciones en precios. La demanda por dulces es un ejemplo dedemanda bastante elastica. De otro lado, las demandas inelasticas se presentancuando el consumidor tiene pocas alternativas para satisfacer sus necesidades.Algunos bienes con demanda inelastica son la energıa electrica, el agua potabley los servicios medicos.
Las elasticidades precio de la demanda son medidas puntuales, es decir laelasticidad cambia en cada punto de la funcion de demanda. (Algo muy similarsucede con la tasa marginal de sustitucion). Ello significa que la elasticidadprecio de la demanda se debe calcular para cada punto de la funcion de demanda.La siguiente funcion de demanda lineal ilustra este punto
Q = 36− 3P
Para estimar la elasticidad precio de la demanda, se lleva a cabo el siguienteprocedimiento
∂Q
∂P= −3
eQ,P = −3P
Q
54
Figura 38: Una demanda elastica y una demanda inelastica
Como se observa en la ecuacion anterior, la elasticidad depende del punto dela funcion de demanda donde este situado el consumidor. Por consiguiente, laelasticidad precio de la demanda difiere a lo largo de la curva de demanda. Conel fin de hallar la region elastica, unitaria e inelastica, se realiza el siguienteprocedimiento.
La elasticidad se puede reescribir como
eQ,P = −3P
36− 3P
La curva tiene una elasticidad unitaria cuando
eQ,P = −1 = −3P
36− 3P
Si se despeja para P,13
=P
36− 3P
36− 3P
3= P
12− P = P
12 = 2P
P = 6
De otro lado, la demanda es elastica cuando
13
<P
36− 3P
36− 3P
3< P
12− P < P
12 < 2P
P > 6
55
Por ultimo, la demanda es inelastica cuando
P < 6
La grafica 39 ilustra este ejemplo. La demanda tiene una region elasticay una region inelastica. Es importante, por ende, evaluar la elasticidad en lospuntos de precios que se pretenden analizar. Por ejemplo, cuando P = 8 y Q =12, la elasticidad precio de la demanda es igual a eQ,P = -3 8
12 = -2. Esto implicaque un incremento en el precio de 1% ocasiona una caıda en la demanda del2 % dado que este punto se ubica en una region elastica. De otro lado, cuandoP = 5 y Q = 21, la elasticidad precio de la demanda es eQ,P = -3 5
21 = -57= 0.71. Por ende, un aumento en los precios del 1 % significa un descenso enla demanda de 0.71 %. Esto descenso menos que proporcional sucede porque elpunto esta ubicado en la region inelastica de la funcion de demanda.
Figura 39: Un ejemplo de funcion de demanda lineal
2.7.1. El gasto en relacion a la elasticidad
La elasticidad precio de la demanda es una herramienta sumamente util nosolo para establecer la sensibilidad de la demanda frente a cambios en preciossino tambien para examinar el efecto de un cambio en precios sobre el gasto enese bien. El gasto total en el bien Q es igual a
GTQ = PQ
Un cambio en los precios del bien Q tiene el siguiente efecto en el gasto:
∂GTQ
∂P= Q + P
∂Q
∂P
Es decir el gasto en el bien se altera por dos efectos: (i) variaciones en el precio
(Q); y (ii) variaciones en la demanda P (∂Q∂P
). Al dividir ambos lados por Q, seobtiene
∂GTQ/∂P
Q= 1 +
P
Q
∂Q
∂P= 1 + eQ,P
Por lo tanto, el efecto de un cambio en el precio sobre el gasto depende de laelasticidad precio de la demanda. En este caso, hay tres opciones:
56
1. Demanda elastica: Si la demanda es elastica, eQ,P < - 1 y
∂GTQ/∂P
Q= 1 + eQ,P < 0
lo cual significa que un aumento en el precio del bien Q reduce el gasto endicho bien. Esto sucede porque, debido a que la demanda es elastica, lacaıda en la demanda es mas que proporcional al incremento en el precioderivando ası en una disminucion en el gasto total del bien.
2. Demanda con elasticidad unitaria: Si la demanda tiene una elastici-dad unitaria, eQ,P = - 1 y
∂GTQ/∂P
Q= 1 + eQ,P = 0
lo cual significa que un aumento en el precio del bien Q mantiene el gastototal en dicho bien constante. Este resultado no es sorprendente. Unademanda con elasticidad unitaria implica que un cambio en el precio derivaen una variacion identicamente proporcional en la cantidad demandada;por lo tanto, el incremento en el precio se contrarresta con una demandamenor.
3. Demanda inelastica: Si la demanda es inelastica, eQ,P ¿- 1 y
∂GTQ/∂P
Q= 1 + eQ,P > 0
lo cual significa que un aumento en el precio del bien Q deriva en un incre-mento en el gasto total de dicho bien. Dado que variaciones en los preciosde demandas inelasticas resultan en un cambio menos que proporcional enla cantidad demandada, el efecto sobre el gasto va en la misma direccion.Por ejemplo, cuando el precio del agua potable sube, el consumidor notiene flexibilidad para reducir el consumo de agua potable y utiliza unacantidad similar o muy similar a antes del cambio en precios. Ello implicaentonces un incremento en el gasto total en agua potable ya que el preciosubio y la cantidad demandada permanecio casi igual.
2.7.2. Tipos de elasticidades
Otras elasticidades importantes son la elasticidad ingreso de la deman-da y la elasticidad precio cruzada de la demanda. La elasticidad ingresodenota el impacto de un cambio de 1% en el ingreso sobre la cantidad demanday se define de la manera siguiente
eQ,I =cambio porcentual en Q
cambio porcentual en P=
∂Q
∂I
I
Q
El valor de la elasticidad ingreso de la demanda es diferente para los bienesinferiores y para los bienes normales. Para cada tipo de bien, la elasticidad esigual a
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1. Bienes normales. Por definicion, un bien es normal cuando ∂Q∂I
> 0.Por lo tanto, la elasticidad ingreso de la demanda de un bien normal eseQ,I > 0. Los bienes normales se pueden dividir entre bienes de lujo y elresto de los bienes. Un bien es considerado de lujo cuando la elasticidadingreso de la demanda es superior a uno.
2. Bienes inferiores. Por definicion, un bien es normal cuando ∂Q∂I
< 0.Por lo tanto, la elasticidad ingreso de la demanda de un bien inferior eseQ,I < 0.
La elasticidad precio cruzada de la demanda muestra como varıa lademanda por el bien Q cuando cambia el precio de otro bien P ′. La elasticidadprecio cruzada de la demanda se define como
eQ,P ′ =cambio porcentual en Q
cambio porcentual en P ′ =∂Q
∂P ′P ′
Q
El signo de la elasticidad precio cruzada de la demanda depende de la relacionentre los dos bienes.
1. Sustitutos brutos. Si los dos bienes son sustitutos brutos (∂Q/∂P ′ >0), la elasticidad precio cruzada de la demanda es positiva.
2. Complementos brutos. Si los dos bienes son sustitutos brutos (∂Q/∂P ′
< 0), la elasticidad precio cruzada de la demanda es negativa.
2.8. Apendices de Demostraciones Matematicas
2.8.1. Apendice 1: Utilidad Marginal del dinero
¿Cual es el cambio de la funcion de lagrange cuando hay un cambio en elingreso I?
∂L
∂I=
∂U
∂X
dX
dI+
∂U
∂Y
dY
dI+ λ− λPX
dX
dI− λPY
dY
dI
∂L
∂I=(
∂U
∂X− λPX
)dX
dI+(
∂U
∂Y− λPY
)dY
dI+ λ
Por las condiciones de primer orden los dos terminos en parentesis son nulos,con lo que
∂L
∂I= λ
2.8.2. Apendice 2: Condiciones de Segundo Orden para el maximo.
Las condiciones de primer orden de la seccion 2.3 son condiciones necesariaspara establecer si el consumidor maximiza su utilidad sujeto a la restriccion depresupuesto. Las condiciones suficientes para un maximo, se obtienen a partirde la derivacion total de las condiciones de primer orden, tal como.
∂U
∂XdX +
∂U
∂YdY − λdPX − PXdλ = 0
58
∂UY
∂XdX +
∂UY
∂YdY − λdPY − PY dλ = 0
dI = PXdX + XdPX + PY dY + Y dPY
Arreglando este sistema tenemos que:
UXXdX + UXY dY − PXdλ = λdPX
UY XdX + UY Y dY − PY dλ = λdPY
−PXdX − PY dY = XdPX + Y dPY − dI
Este es un sistema de tres ecuaciones y tres incognitas, el cual se lo puedeexpresar de manera matricial: UXX UXY −PX
UY X UY Y −PY
−PX −PY 0
dXdYdλ
=
λdPX
λdPY
XdPX + Y dPY − dI
A la matriz del lado izquierdo se denominara D. De acuerdo a las condiciones
de segundo orden, para obtener un maximo el determinante de esta matrizdebera ser negativo. Obteniendo el determinante D, tenemos:
D =
UXX UXY −PX
UY X UY Y −PY
−PX −PY 0
| D | = −PX
[UXY −PX
UY Y −PY
]+ PY
[UXX −PX
UY X −PY
]| D |= −PX [−PY UXY + PXUY Y ] + PY [−PY UXX + PXUY X ]
| D |= PXPY UXY − P 2XUY Y + PXPY UY X − P 2
Y UXX
| D |= −P 2XUY Y − P 2
Y UXX + 2PXPY UXY
Asumiendo los signos de las derivadas parciales de (??) (tal cual se lo hizo en2.1.3 y en ??), tenemos que | D | > 0; con lo que efectivamente el problema(??), es maximo. La matriz D es conocida tambien como el Hessiano Orlado.
2.8.3. Apendice 3: Identidad de Roy.
Demostracion15: Si V (P1, P2, I) = U [x1(P1, P2, I), x2(P1, P2, I)], diferencian-do V, con respecto a Pi, tenemos:
∂V
∂P1=
∂U
∂x1
∂x1
∂P1+
∂U
∂x2
∂x2
∂P1
∂V
∂P1=
2∑j=1
∂U
∂xj
∂xj
∂P1=
2∑j=1
λPj∂xj
∂P1
15En esta demostracion se asumira que existen mas de dos bienes; pues que en este caso,esto permite una mayor facilidad de desarrollo.
59
Dado que, λPj = Uj , ∀i = 1, 2, tenemos:
∂V
∂P1= λ
2∑j=1
Pj∂xj
∂P1
Por otro lado, diferenciando (a) con respecto al precio del bien 1; tenemos:
m = xP1 + x2P2
∂m
∂P1= P1
∂xi
∂P1+ P2
∂x2
∂P1+ x1 = 0
Este ultimo resultado es cero; puesto que el cambio del ingreso con respecto alprecio del bien 1 es cero. Luego tenemos que,
−xi = P1∂x1
∂P1+ P2
∂x2
∂P1
−xi =2∑
j=1
Pj∂xj
∂P1
Reemplazando este resultado en ∂V∂Pi
, tenemos:
∂V
∂Pi= −λx1
x1 = −
∂V
∂Pi
λ
Ahora bien, esta expresion indica que la demanda ordinaria del bien i, es igualal cociente anterior. Ahora cabe indicar a que es igual λ. Para tal efecto,recordemos que λ, es el beneficio marginal de gastar un dolar en el bien i,de tal manera que derivando la funcion de utilidad indirecta con respecto a m,tenemos:
V = V (P1, P2, I) = U [x1(P1, P2, I), x2(P1, P2, I)] (2)
∂V
∂I=
∂U
∂xi
∂xi
∂I+
∂U
∂x2
∂x2
∂I
Dado que, λPj = Uj ; tenemos:
∂V
∂I= λPi
∂xi
∂I+ λP2
∂x2
∂I
∂V
∂I= λ
[2∑
j=1
Pi∂xi
∂I
]De este ultimo resultado, la expresion entre parentesis es identicamente igual a1, de acuerdo a la condicion de agregacion de Engel16. Con lo que λ, es igual al
16Cuando estemos hablando de elasticidades, introduciremos con mayor claridad el conceptode la Condicion de Agregacion de Engel.
60
cambio de la funcion de utilidad con respecto a I. Entonces,
xi = −
∂V
∂Pi
∂V
∂m
A continuacion, estudiaremos el problema dual del consumidor, el cual planteacual debe ser el gasto mınimo en que debe incurrir un consumidor con el fin deobtener un determinado nivel de utilidad.
2.8.4. Apendice 4: Simetrıas de efectos sustitucion
Para demostrar la simetrıa, se puede usar el teorema de la envolvente. Ellagrangiano de la minimizacion de gastos esta dado por
L = PxX + PyY + λ(U − U(X, Y ))
Por el teorema de la envolvente
∂E
∂Px=
∂L
∂Px= X |U=constante
Esta igualdad se conoce como el lema de Shephard. Si se deriva respecto alprecio de Y se obtiene
∂2E
∂Px∂Py=
∂X
∂Py
∣∣∣∣∣U=constante
Para el bien Y , se puede llevar a cabo el mismo procedimiento
∂E
∂Py=
∂L
∂Py= Y |U=constante
La derivada de la demanda del bien Y respecto a Px es equivalente a
∂2E
∂Py∂Px=
∂2E
∂Px∂Py
Esto significa que
∂X
∂Py
∣∣∣∣∣U=constante
=∂Y
∂Px
∣∣∣∣∣U=constante
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