apuntes de teoria de medidas

7/30/2019 Apuntes de Teoria de Medidas

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Apuntes de Teor a de la Medida

Badajoz, 5 de diciembre de 2012

Dpto. de Matematicas. Univ. de Extremadura


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Indice general

1. Medida 11.1. Introduccion Historica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. algebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Anillos, Algebras y algebras. . . . . . . . . . . . 41.2.2. algebra de Borel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Clases monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2. Cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3. Propiedades de haz en los espacios de medida. . . 18

1.4. Extension de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2. Teoremas de extension de medidas . . . . . . . . . 251.4.3. Aproximacion de medibles . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5. Complecion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6. Medidas de LebesgueStieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1. Medidas de LebesgueStieltjes en R. . . . . . . . . 331.6.2. Medidas de LebesgueStieltjes en Rn. . . . . . . . 381.6.3. Propiedades de la medida de Lebesgue. . . . . . . 441.6.4. Regularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.5. El conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.6.6. Sobre los conjuntos Lebesgue medibles. . . . . . . 511.7. Medidas de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.7.1. Medidas exteriores metricas . . . . . . . . . . . . . 53

1.7.2. Las medidas de Borel Hp . . . . . . . . . . . . . . 55

1.7.3. Medidas de Hausdorff en Rn. . . . . . . . . . . . . 571.8. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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ii INDICE GENERAL

2. Integracion 69

2.1. Introduccion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2.1. Propiedades de las funciones medibles . . . . . . . 702.2.2. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.3. Operaciones basicas de las funciones medibles. . . 762.2.4. Existencia de Lebesgue medibles no de Borel. . . . 76

2.3. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.1. Integral de funciones medibles . . . . . . . . . . . . 792.3.2. Propiedades basicas de la integral. . . . . . . . . . 82

2.4. Teoremas basicos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.1. Teorema de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.2. Teorema convergencia monotona . . . . . . . . . . 872.4.3. Integral de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4.4. Teorema de la convergencia dominada. . . . . . . . 912.4.5. Dependencia de un parametro. . . . . . . . . . . . 942.4.6. Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.4.7. Integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . . . 102

2.5. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3. Espacio de medida producto 111

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.2. Producto finito de espacios medibles . . . . . . . . . . . . 1 1 33.3. Medida producto de dos espacios . . . . . . . . . . . . . . 116

3.3.1. Medidas de transicion . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.4. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4.1. Teorema de Fubini para dos espacios . . . . . . . . 1233.5. Complecion de la medida producto . . . . . . . . . . . . . 1293.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.6.1. Medida en la esfera invariante por rotaciones . . . 1333.6.2. Convolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.7. Producto de mas de dos espacios . . . . . . . . . . . . . . 1383.7.1. Producto de n espacios medibles. . . . . . . . . . . 1383.7.2. Producto de infinitos espacios medibles. . . . . . . 1 4 0


4. El Teorema de RadonNikodym 149

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2. Teorema de descomposicion de carga . . . . . . . . . . . . 1504.3. Medidas reales y medidas complejas . . . . . . . . . . . . 1 5 5


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INDICE GENERAL iii

4.4. El Teorema de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . . . . 1604.5. Singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.6. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5. Diferenciacion 177

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.2. Diferenciacion de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.3. Derivacion e integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.3.1. Funciones de variacion acotada. . . . . . . . . . . . 1845.3.2. Medidas y funciones de variacion acotada. . . . . . 1 8 75.3.3. Teorema fundamental del calculo. . . . . . . . . . . 188

5.4. Transformaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.4.1. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.2. Transformaciones y medidas de Hausdorff. . . . . . 1 9 5

5.5. El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . 1975.5.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.5.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.5.3. Forma de volumen. Variedad Riemanniana . . . . 2045.5.4. Coordenadas hiperesfericas . . . . . . . . . . . . . 205

5.6. Calculo de la constante n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 213


6. Espacios de funciones medibles 221

6.1. Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.1.1. El espacio L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6.2. Los espacios de Banach Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.2.1. Desigualdades fundamentales. . . . . . . . . . . . . 2246.2.2. El espacio Lp para 0 < p < 1. . . . . . . . . . . . . 2 2 76.2.3. Los espacios Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.2.4. Complecion de los espacios Lp. . . . . . . . . . . . 2306.3. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.4. El espacio dual de Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.5. Tipos de convergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.6. Aplicaciones que conservan la medida . . . . . . . . . . . 2536.7. Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7. Espacios de Hilbert 261

7.1. Espacios prehilbertianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.2. Propiedades de los espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . 2637.3. Clasificacion de los Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . 267


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iv INDICE GENERAL

7.4. Teorema Ergodico en L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8. Espacios de Banach 273

8.1. El Teorema de HahnBanach . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.2. Teoremas clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.3. El Teorema de VitaliHahnSaks . . . . . . . . . . . . . 278

9. La transformada de Fourier 281

9.1. Analisis de Fourier en L2(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.2. Analisis de Fourier en L1(T) y C(T) . . . . . . . . . . . . 2849.3. Analisis de Fourier en L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2869.4. El Teorema de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.5. Teorema de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2909.6. El algebra de Banach L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.7. La transformada de FourierStieltjes . . . . . . . . . . . . 2 9 5

10.Medida y topologa 305

10.1. Espacios Hausdorff LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30510.2. Medidas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.2.1. Funciones continuas y funciones medibles . . . . . 3 1 310.3. Teoremas de representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . 3 1 7

10.4. Regularidad. T. de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . 3 2 510.5. El dual de L1 en un espacio Hlc . . . . . . . . . . . . . . . 32610.6. Funcionales de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.7. Producto de dos espacios HLC . . . . . . . . . . . . . . . 33110.8. Producto no numerable de espacios . . . . . . . . . . . . . 33410.9. Medida de Haar en grupos compactos . . . . . . . . . . . 33710.10.La integral de Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.11.Bibliografa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Densidades 351

Ejercicios difciles 353

Ejercicios resueltos 355

Otros Ejercicios 381


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Indice de figuras

1.1. Semi-rectangulos acotados y no acotados de R2 . . . . . . 391.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3. Particion entera del semirectangulo . . . . . . . . . . . . . 431.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1. Graficas de s1 y s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2. Algunos peldanos de la funcion de Cantor . . . . . . . . . 772.3. Graficas de las funciones P f P. . . . . . . . . . . . 103

3.1. Las secciones Ex y Ey de E . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.2. Interpretacion geometrica del determinante . . . . . . . . 195

10.1. Mitad superior de la Pseudoesfera y Esfera de igual radio 406

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Captulo 1

Medida

1.1. Introduccion Historica.

El concepto de medida tiene una larga historia de mas de 5000 anos,que surge del manejo de longitudes, areas y volumenes fundamentalmen-te y de la necesidad de su calculo. Estos tres ejemplos particulares demedidas son los que han servido como gua para sacar a la luz el conceptoque detras de ellos se esconda.

El Papiro de Moscu, considerado del 1800 A.C., es, con el de Rhind,uno de los documentos egipcios con problemas matematicos, mas anti-guos que se conocen (ver pag.406). En el encontramos problemas como el

del calculo del volumen de un tronco de piramide o el calculo del area deuna superficie curva (en este no se aprecia si se trata de una semiesferao de un semicilindro de altura el diametro, los cuales tienen igual area).En cualquier caso en la solucion que da el papiro de este problema, apa-rentemente se hace uso de la aproximacion de , 4(1 1/9)2 = 3, 160....

Sin embargo no es hasta el libro de Euclides (300 a.c.?) Los Ele-mentos (ver VanDalenMonna, p. 78 y Boyer, p. 129), que aparecenlas primeras demostraciones satisfactorias de teoremas relativos a areasy volumenes. Aunque, tambien es cierto, en este libro no hay definiciones

de longitud, area o volumen; Euclides las considera caractersticas quepuede medir respectivamente en las figuras que s define, como

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2 Captulo 1. Medida

Linea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2).

Superficie es lo que solo tiene longitud y anchura (Libro I, Def.5).

Solido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad (Libro XI,

Def.1).

y tampoco define que es medir, es una palabra que utiliza no solo enestas tres magnitudes, sino tambien en los numeros; por ejemplo en ellibro VII, las definiciones 3 y 4 dicen

3.- Un numero es parte de un numero, el menor del mayor, cuandomide al mayor.

4.- Pero partes cuando no lo mide.

por ejemplo 3 es partede 15 y 6 es partesde 15.Las longitudes las daba en comparacion con un segmento unidad,

las areas con un cuadrado unidad y los volumenes con un cubo unidad,de este modo dio los valores correspondientes a figuras simples comopolgonos y poliedros y demostro teoremas como el de Pitagoras. Otrosautores griegos mas que dar la medida de una figura daban resultadosdel tipo: A y B tienen igual area o volumen. Por ejemplo Arqumedes(287212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408355 a.c.) la demostracion de queel volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma

base y altura. Esto sin conocer este volumen, para el que hace faltaconocer el area del crculo, que descubrio casi 100 anos despues el propioArqumedes demostrando que es el de un triangulo rectangulo con uncateto el radio y el otro la longitud de la circunferencia; suyo tambien esque el volumen de la esfera es 2/3 el volumen del cilindro o que el areade la esfera es la del cilindro circunscrito (ver Boyer, p.177). Para estaultima, que demuestra en Sobre la esfera y el cilindro (ver la bibliografaen la pag.63), utiliza los axiomas de Euclides junto con cinco principiosde los que destacan

4.- Dos superficies que tienen los mismos lmites en un plano sondesiguales cuando ambas son concavas en la misma direccion y una deellas esta completamente limitada por la otra y por el plano que tiene losmismos lmites que esta otra, o cuando una de ellas solo esta parcial-mente limitada por la otra y el resto es comun. La superficie limitada esla menor.

5.- Dadas dos lneas, dos superficies o dos solidos desiguales, si elexceso de una de estas figuras sobre la otra se anade a s mismo un

cierto numero de veces, se puede superar una u otra de las figuras quese comparan entre s.


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1.1. Introduccion Historica. 3

(este ultimo es el conocido Axioma de Arqumedes). Y en la demos-tracion hace un uso riguroso del concepto de lmite.

Por ultimo suya es tambien la mejor acotacion de de la epoca:

3 + (10/71) < < 3 + (10/70).As se mantuvieron mas o menos las cosas durante 2000 anos, hasta

que en 1883 G. Cantor (18451918) dio la primera definicion de medidam(A) de un conjunto arbitrario (acotado) A Rn. Otros autores comoStolz en 1884 y Harnack en 1885 dan definiciones equivalentes en R.Para ellas la propiedad aditiva de la medida m[A B] = m[A] + m[B],para conjuntos disjuntos A y B, se satisfaca si los conjuntos estabancompletamente separados, pero no en general, pues con sus definicionesun conjunto y su adherencia median lo mismo y por tanto los racionales

y los irracionales de [0, 1] median 1, lo mismo que todo [0, 1].El primero en considerar que conjuntos A son medibles y dar una

definicion de su medida fue en 1887 G. Peano (18581932), el cualconsidero la medida m[A] de sus predecesores (que en el caso del planodefina mediante aproximaciones externas de A con polgonos) y a la quellamo medida exterior y considero, para A R, con R un rectangulo,la medida interior de A como m[R] m[R\A]; definio conjunto mediblecomo aquel cuya medida interna coincide con la externa y demostro quela medida era aditiva. Ademas explico la relacion existente entre medidae integracion, demostrando (ver Pesin, p.38) que una funcion acotadaf: [a, b] [0, ), era Riemann integrable si y solo si el conjunto E deR2 limitado por la grafica de f y las rectas x = a, x = b e y = 0 eramedible, en cuyo caso b

a

f(x)dx = m[E].

En 1892 C. Jordan (18381922) dio una definicion mas simple utili-

zando una malla de cuadrados de igual lado, en lugar de polgonos, paraaproximar el conjunto.

Sin embargo estas definiciones eran pobres, pues por ejemplo conellas los racionales ya no eran medibles.

E.Borel (18711956) dio, en su doctorado de 1894, el siguiente pa-so importante considerando la numerable aditividad para sus medidas.Ademas dio una definicion razonable de conjuntos de medida nula, dehecho mientras que para sus antecesores los racionales de [0, 1] medan 1,Borel concluyo que medan menos que (1/n

2) y por tanto cero,

considerando para cada rn Q [0, 1] un segmento de longitud /n2,con > 0 arbitrariamente pequeno.


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4 Captulo 1. Medida

Se saba desde Cantor que todo abierto A R era union, A = In,a lo sumo numerable de intervalos abiertos In disjuntos. Borel definesu medida como la serie m[A] = m[In] y describe la clase de los con-juntos (ahora llamados Borelianos) que pueden obtenerse a partir de losabiertos, mediante iteraciones en las que se hacen uniones o diferenciasA\B numerables de conjuntos de la clase, e indica que para estos con-

juntos puede definirse una medida que es numerablemente aditiva (i.e.la medida de una union numerable y disjunta de conjuntos medibles esla suma de sus medidas). La numerable aditividad de Borel frente ala finita aditividad de PeanoJordan fue una propiedad basica quepermitio obtener los resultados fundamentales en la teora de integra-cion abstracta, teora que desarrollo fundamentalmente H. Lebesgue

(18751941) a partir de su tesis de 1902. La numerable aditividad y laintegracion estan muy relacionadas, de hecho la originalidad de Lebes-gue no reside tanto en haber extendido la integral de Riemann, comoen su descubrimiento obtenido independientemente por W.H.Youngpara funciones semicontinuas del teorema fundamental sobre el pasoal lmite de la integral, que obtiene como consecuencia de ser la medidanumerablemente aditiva.

1.2. algebras de conjuntos

1.2.1. Anillos, Algebras y algebras.

Entre las actividades caractersticas de la ciencia destacan la obser-vacion de formas o sucesos y su medicion. En la leccion siguiente defi-niremos el concepto de medida, que engloba terminos como: longitud,area, volumen, probabilidad o carga y en esta primera nos fijaremos deforma muy general en los objetos o sucesos a medir. Para ello considera-remos un conjunto del que queremos medir (en algun sentido) algunosde sus subconjuntos, definiremos la estructura que tiene esa colecci on

de conjuntos que vamos a medir y estudiaremos sus propiedades yconsecuencias basicas.


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1.2. algebras de conjuntos 5

Definicion. Llamaremos anillo en , a una coleccion no vaca A P(), para la que:

A, B A A B, A\B A,lo cual implica que A B A (ver el ejercicio 10.11.2, pag.381). Ob-servemos que = A\A A, pero no esta necesariamente en A.Llamaremos algebra a un anillo A para el que A y por tanto ce-rrada por paso al complementario y por uniones o intersecciones finitas.Llamaremos algebra a un algebra A cerrada para uniones numerables,por lo tanto con las siguientes propiedades:

a)

A.

b) Si A A entonces Ac A.c) Si A1, . . . , An, . . . A, entonces n=1An A.Se sigue de forma inmediata que un algebra y un anillo son cerrados

para intersecciones finitas y una algebra para intersecciones numera-bles.

Ejemplo 1.2.1 P() es la mayor algebra de .

Ejemplo 1.2.2 {, } es la menor algebra de .

Ejemplo 1.2.3 Sea con infinitos elementos (numerable o no) y consi-deremos la coleccion A de todos los subconjuntos A , tales que Ao Ac sea numerable. Entonces A es algebra de .

Ejemplo 1.2.4 Sea con infinitos elementos y consideremos la colec-cion

Ade todos los subconjuntos A de , tales que A o Ac sea finito.

Entonces A es algebra pero no algebra de .Ejemplo 1.2.5 Sea = R y A la coleccion de todas las uniones finitasy disjuntas de los semiintervalos1 acotados (a, b], con < a b < .Entonces A es anillo pero no algebra ni algebra.

Ejemplo 1.2.6 Sea = R y A la coleccion de todas las uniones finitasy disjuntas de intervalos del tipo (a, b] o (a, ), con a b < .

Entonces A es algebra pero no algebra.1Para a = b, entendemos (a, a] =


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6 Captulo 1. Medida

Definicion. Llamaremos espacio medible al par (, A), donde es unconjunto y A es una algebra de y conjuntos medibles a los elementosde

A.

Definicion. Diremos que una aplicacion entre espacios medibles, F: (1, A1) (2, A2), es una aplicacion medible, si F1(B) A1 para todo B A2,es decir2 F1(A2) A1.

Nota 1.2.7 Es obvio que la interseccion arbitraria de algebras en es una algebra, esto justifica la siguiente definicion.

Definicion. Si C es una familia de subconjuntos de , denotaremos con(C) la mnima algebra que contiene a C, que por la nota anterior existey es la interseccion de todas las algebras que la contienen (observemosque al menos hay una, P()). Del mismo modo se tiene la existencia dela mnima algebra que contiene a la familia, que denotamos (C).

Nota 1.2.8 Si hay confusion y necesitamos hacer referencia al conjunto denotaremos las familias de conjuntos anteriores: (C), (C).

1.2.2. algebra de Borel.

Un caso particularmente importante de espacio medible se tiene cuan-do (, T) es un espacio topologico. Recordemos que T P() es unatopologa si verifica:

1) , T.2) Si A1, . . . , An T, ni=1Ai T.3) Dada una coleccion arbitraria de Ai T, su union iAi T.

Definicion. Dado un espacio topologico (, T), llamaremos algebrade Borel a la generada por sus abiertos, que denotaremos (T) = B()y a sus elementos los llamamos borelianos .

Ejemplo 1.2.9 Los abiertos y cerrados son borelianos y si el espacio esHausdorff tambien los compactos (pues son cerrados).

2Notacion: Si F: 1 2 y C P(2), denotamos

F1

(C) = {F1

(B) : B C}.


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En el siguiente resultado volvemos a utilizar el principio de los buenosconjuntos.

Lema 1.2.10 Para cada A se tiene que3(C) A = A(C A).

Demostracion. Se demuestra facilmente que (C) A es una algebra de A que contiene a C A, por lo tanto

(C) A A(C A),

y para demostrar la otra inclusion consideramos la familia de buenosconjuntos

A = {C (C) : C A A(C A)},la cual es algebra y satisface C A (C), por tanto

A = (C),

y se tiene el resultado.

Proposicion 1.2.11 SiXes un espacio topologico eY Xes un subes-pacio suyo, entonces

B(Y) = B(X) Y.Demostracion. Por ser T(Y) = T(X) Yy por el Lema anterior

(1.2.10).

Definicion. Llamamos base de un espacio topologico a una coleccion deabiertos tal que todo abierto del espacio es union de abiertos de la base.

Proposicion 1.2.12 Si un espacio topologico tiene una base numerablede abiertos4N, entonces B() = (N).

Demostracion. Obvio pues T (N), por tanto (N) = B().3Notacion: Dada una familia de conjuntos C en y un A , consideramos la

familia en AC A = {C A : C C}.

4Esto suele nombrarse diciendo que el espacio satisface el segundo axioma denumerabilidad.


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8 Captulo 1. Medida

Ejemplo 1.2.13 En = R con la topologa usual TR, de las uniones ar-bitrarias de intervalos abiertos (a, b), podemos tomar comoN= {(a, b) :a, b

Q

}, para el que (

N) =

B(R). Como consecuencia veamos que

C = {(a, b] : a, b R} B(R) = (C)(en los ejercicios se veran mas familias generadoras).

Demostracion. Por una parte (a, b] = (a, ) (b, )c B(R) ypor otra

(a, b) =

n=1

a, b 1

n

,

por lo que N (C) B(R) y el resultado se sigue.Ejemplo 1.2.14 En = R = R {, }, definimos la topologa T,formada por las uniones arbitrarias de intervalos del tipo

[, b), (a, b), (a, ],con a b R, para la que TR = T R. Esta topologa tiene una basenumerable NR formada por los mismos intervalos pero con a, b Q.Observemos que por (1.2.11) se tiene

B(R) = B(R) R,por lo tanto como R, {}, {}B(R), se tiene que

B(R) = {E, E{}, E{}, E {, } : E B(R)}.

Ejemplo 1.2.15 Si = Rn, podemos considerar la base numerable Nformada por los rectangulos abiertos (a, b) con a, b Qn, donde paraa = (ai), b = (bi)

Rn utilizamos la notacion

(a, b) = (ai, bi) = {(x1, . . . , xn) : ai < xi < bi},(a, b] =

(ai, bi] = {(x1, . . . , xn) : ai < xi bi}, etc . . .

Proposicion 1.2.16 LaalgebraB(Rn) esta generada por cualquiera delas clases:

C1 = {(a, b), a , b Rn},

C2=

{(a, b], a , b

Rn

},

C3 = {H = {(x1, . . . , xn) : xi b}, para algun 1 i n y b R}.


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Demostracion. Por una parte todo abierto es union numerable derectangulos abiertos con extremos en Qn, por otra parte observemos que

(a, b] = {x1 a1}c

{x1 b1} {xn an}c

{xn bn},por tanto se tienen la primera y tercera inclusiones (las otras son obvias)

B(Rn) (C1) (C2) (C3) B(Rn).Nota 1.2.17 Dada una clase Fde conjuntos, denotaremos con

F, F,las familias de las intersecciones numerables y uniones numerables res-

pectivamente, de elementos de F.Estas clases de conjuntos juegan un papel importante en el estudiode la relacion entre topologa y medida (cuestion que trataremos en elTema 10, pag.305). Por ahora veamos algunas relaciones conjuntistasentre estas familias.

Denotemos con C y A respectivamente las familias de los cerrados yde los abiertos de Rn.

Proposicion 1.2.18 En los terminos anteriores se tiene que

A= A, C= C, A = A, C = C, . . .

A

C A

C A

C A

C B(Rn)

donde en las dos ultimas filas queremos indicar que cada uno de los dosconjuntos a la izquierda de esta contenido en cada uno de los de laderecha y por tanto corresponden a cuatro inclusiones.

Nota 1.2.19 Como consecuencia del Teorema de la categora5 de Baire,

que se vera en Analisis Funcional, puede probarse sin dificultad que

Q C, Q / Apues en caso contrario tendramos abiertos Vn tales que

Q = Vn, R = Vcn Q = Vcn {x1} {xn} y por el Teorema de Baire algun Vcn tendra interior no vaco, siendoVcn R\Q.

5Este resultado dice que si un espacio metrico completo Xes union de una sucesionde cerrados Un, entonces para algun n,

Un es no vaco (ver Ash, pag.398).


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10 Captulo 1. Medida

1.2.3. Clases monotonas

Definicion. Llamaremos lmite superior y lmite inferior de una suce-

sion de conjuntos An respectivamente a los conjuntos

lm sup An =

m=1

n=m

An, lm infAn =

m=1

n=m

An,

y denotaremos con

An A An An+1, para cada n N y An = A.An

A

An

An+1, para cada n

N y

An = A.

Definicion. Una clase monotona C de es una familia de subconjuntosde satisfaciendo las condiciones:

a) Si An C y An A, entonces A C.b) Si An C y An A, entonces A C.

Ejemplo 1.2.20 Sea = R, la coleccion de todos los intervalos es clase

monotona y no es algebra.

A continuacion damos unas simples propiedades de las estructurasconjuntistas definidas.

Proposicion 1.2.21 Una familiaA de es una algebra si y solo si esalgebra y clase monotona.

Demostracion. Hagase como ejercicio. Observese que toda union

numerable Ai, se puede poner como union de una sucesion creciente deconjuntos del algebra

Bn =n

i=1

Ai.

Tambien se tiene que la interseccion arbitraria de clases monotonases clase monotona y por tanto dada una clase C de subconjuntos de ,existe la mnima clase monotona que la contiene, que denotamos con

M(

C). Para la que se tiene que si

C D P() entonces

(C) (D), (C) (D) y M(C) M(D).


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El siguiente resultado es importante no solo por lo que dice sino por-que nos ofrece un buen ejemplo en el que se utiliza (tres veces) unatecnica comun en Teora de la medida, el principio de los buenos con-

juntos.

Lema 1.2.22 Si A es algebra, M(A) es algebra.Demostracion. 1.- M(A) es obvio pues A.2.- A M(A) Ac M(A), pues la clase {A M(A) : Ac

M(A)} es monotona6 y contiene al algebra A, por tanto es M(A).3.- A, B M(A) A B M(A), pues la clase

{A M(A) : A B M(A), B A},es monotona y contiene a A, por tanto es M(A), es decir que para todoA M(A) y todo B A, A B M(A), lo cual significa que la clase(tambien monotona)

{B M(A) : A B M(A), A M(A)}

contiene a A y por tanto es M(A).

Teorema de la clase monotona 1.2.23 Si A es algebra entonces

(A) = M(A).

Demostracion. Por (1.2.21) (A) es clase monotona, por tanto(A) M(A). Por el lema anterior M(A) es algebra y por (1.2.21)algebra, por tanto (A) M(A).

6Observemos que la demostracion no se hace para un elemento A, sino para todoslos elementos a la vez, viendo que tienen estructura de clase monotona. En estoconsiste el principio de los buenos conjuntos.


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Ejercicios

Ejercicio 1.2.1 Demostrar que una clase no vaca A es un algebra en si ysolo si se verifican las siguientes propiedades:

i) Si A A entonces Ac A.ii) Si A, B A, entonces A B A.

Ejercicio 1.2.2 Dada una aplicacion F: , demostrar las siguientespropiedades:

(i) F

1

(Bi) = F1

(Bi), F

1

(Bi) = F1

(Bi), F

1

(B

c

) = [F

1

(B)]

c

,(ii) F(Ai) = F(Ai), F(Ai) F(Ai),(iii) Si F es sobre F(A)c F(Ac).(iv) Si F es inyectiva F(A)c F(Ac) y F(A)c F() = F(Ac).

Ejercicio 1.2.3 Dada una aplicacion F: , demostrar que:(a) Si A es una algebra de , A = {B : F1(B) A} lo es de .(b) Si A es una algebra de , A = F1[A] = {F1(B) : B A} loes de .(c) Si

C P(), [F1(

C)] = F1[(

C)].

(d) Demostrar que si (, T) y (, T) son espacios topologicos y F es continua,entonces F1(B) B(), para todo B B().

Ejercicio 1.2.4 Consideremos las siguientes extensiones de una familia C desubconjuntos de :

C1 = {A : A C o Ac C},C2 = {A1 An : Ai C1, n N},

C3 = {A1 An : Ai C2, n N}.Demostrar que C3 = (C).

Ejercicio 1.2.5 Sean (1, A1), . . . , (n, An) espacios medibles. Demostrar quela familia de los productos de medibles,

R = {A1 An 1 n : Ai Ai},

es una clase elemental (es decir que satisface las condiciones: (i)

C, (ii) si

A, B C, entonces A B C y (iii) si A C, Ac es union finita disjunta deelementos de C).


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1.3. Medida 13

Ejercicio 1.2.6 Demostrar que si C es una clase elemental, la familia de unionesfinitas disjuntas de conjuntos de C es el algebra (C).

Ejercicio 1.2.7 Demostrar que la algebra B(R) se genera por las familias:C1 = {(a, b) : a, b R}, C2 = {(a, b] : a, b R},C3 = {[a, b) : a, b R}, C4 = {[a, b] : a, b R},C5 = {(, b) : b R}, C6 = {(, b] : b R},

Ejercicio 1.2.8 Demostrar que la algebra B(R) se genera por la familia C ={(a, b] : a, b R}.

Ejercicio 1.2.9 Demostrar: (a) lm inf An lm sup An .(b) Si An A (o An A), entonces lm sup An = lm infAn = A.

Ejercicio 1.2.10 Puede una algebra infinita contener solo una coleccionnumerable de elementos?

Ejercicio 1.2.11 Demostrar que para cada funcion f: R R: (a) El conjuntode puntos de continuidad de f, C(f)

A y los de discontinuidad D(f)

C.

(b) Demostrar que C(f) y D(f) son borelianos.

1.3. Medida

1.3.1. Definicion y propiedades

Definicion. Por una medida7, en un espacio medible (, A) con Aalgebra o anillo, entenderemos una funcion no negativa

: A [0, ],

que satisface:(a) () = 0.

7Algunos autores la llaman medida positiva.


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(b) Es numerablemente aditiva, es decir si dados A1, . . . , An, . . . Adisjuntos es decir tales que Ai Aj = , para i = j y cuya unioneste en

A(esto es automatico si

Aes algebra), entonces

(

n=1

An) =

n=1

(An).

Si la condicion (b) solo es valida para colecciones finitas de conjuntosdisjuntos, A1, . . . , An, diremos que la medida es aditiva.

Diremos que una medida es finita si existe una sucesion de con-juntos medibles y disjuntos An A, tal que An = y cada (An) < .Llamaremos probabilidad a toda medida verificando () = 1.

Definicion. Llamaremos espacio de medida a toda terna (, A, ), don-de es una medida sobre la algebra8 A de .Definicion. Diremos que un espacio de medida (, A, ) es completo sipara cada B A, con A A y (A) = 0, tambien es B A.

Ejemplo 1.3.1 La medida delta de Dirac. Consideremos (, A, ),x y para cada E A, (E) = 0, si x / E y (E) = 1, si x E.Es la probabilidad concentrada en x, o delta de Dirac en x, sueledenotarse con x.

Ejemplo 1.3.2 La medida de contar. Consideremos (, A, ), con lospuntos x medibles, {x} A y () = 0, (A) = n si A es finito y tienen N elementos y (A) = en cualquier otro caso.

Ejemplo 1.3.3 Consideremos = N, y una sucesion de numeros realesno negativos pn 0. Para cada A N definimos

(A) = nA

pn,

la cual es una medida en (N, P(N)), para la que ({n}) = pn. Si lapn = 1 entonces es una probabilidad y si pn = 1 para cada n, es la

medida de contar en los naturales.

Otros ejemplos de medidas, de las que estudiaremos algunas a lo largo

del curso, son:8En algunas ocasiones A es solo algebra o anillo, en cuyo caso lo especificaremos.


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1.3. Medida 15

Ejemplo 1.3.4 La medida de Lebesgue en Rn. Demostraremos laexistencia de una unica medida, definida en los borelianos de Rn, inva-riante por traslaciones y que en el cubo unidad vale 1.

Ejemplo 1.3.5 Las medidas de LebesgueStieltjes en Rn.

Ejemplo 1.3.6 La medida de Haar en un grupo localmente compac-to9, que generaliza a la de Lebesgue en el sentido de que son invariantespor traslaciones en el grupo (ver Cohn; Folland).

Ejemplo 1.3.7 La medida asociada a una variedad Riemanniana.

Ejemplo 1.3.8 Las medidas de Hausdorffen un espacio metrico. Masgenerales que la de Lebesgue nos permitiran definir el area de una su-perficie del espacio.

Proposicion 1.3.9 Sea (, A, ) un espacio de medida, entonces paraA, B A:(a) (B) = (B A) + (B Ac).(b) Si A B entonces (B) = (A) + (B\A).(c) Si A B y (A) = , entonces (B) = .(d) Si A B entonces (A) (B).(e) (A B) + (A B) = (A) + (B).(f) (A B) (A) + (B).(g) Si A1, . . . , An A, entonces

(A1 An) (A1) + + (An).Demostracion. (e) Como A B = (A Bc) (A B) (Ac B),

tendremos que

(A) + (B) = (A B) + (A Bc) + (A B) + (Ac B)= (A B) + (A B).

(g) Por induccion y usando (f).

9Ver la definicion de espacio topologico localmente compacto en la pag.305.


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Nota 1.3.10 Los apartados anteriores son validos si A es anillo y esaditiva.

Una de las propiedades basicas y mas utiles de las medidas consecuen-cia de ser numerablemente aditivas, es la de la continuidad secuencial.

Proposicion 1.3.11 Sea (, A, ) un espacio de medida y An A unasucesion, entonces:

(a) Si An A, entonces (An) (A).(b) Si An A y (A1) < , entonces (An) (A).

Demostracion. (a) Consideremos los conjuntos disjuntos

B1 = A1, Bn = An\An1 = An Acn1,

para los que por induccion se tiene An = B1 . . . Bn y A = n=1An =n=1Bn, por tanto

(A) = (

n=1

Bn) =

n=1

(Bn)

= lmn

nm=1

(Bm) = lmn

(nm=1Bm) = lmn (An).

(b) Como An A1, tenemos por (1.3.9)(b) que

(An) + (A1\An) = (A1) = (A) + (A1\A),

y todos los terminos son finitos por serlo la suma. Ahora como An A,entonces A1

\An

A1

\A y por (a) lm (An) = (A).

1.3.2. Cargas.

Tambien hay medidas que toman valores negativos un ejemplo enla fsica es la carga electrica, pero preferimos no llamarlas medidaspara evitar confusion.

Definicion. Llamaremos carga en un espacio medible (, A), a todafuncion : A (, ], numerablemente aditiva y tal que () =0 (como para las medidas la llamaremos carga aditiva si es aditiva).Obviamente las medidas son las cargas no negativas.


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1.3. Medida 17

Nota 1.3.12 Entendemos que la suma en R, es la de R y

a + = + a = , a = + a = , para a R, + = , = ,

(para a b = a + (b)) y no esta definido, ademas extendemosel orden siendo < x < para todo x R. As se tiene por ejemploque si a,b,c,d R y a + b, c + d estan bien definidos entonces

(1.1) a c, b d a + b c + d.

Por otra parte observemos que toda carga (en particular toda medida)

es aditiva, pues como () = 0 tendremos que para A y B disjuntos

(A B) = (A B ) = (A) + (B),

y por tanto aunque hubiesemos puesto que el rango de fuese R, el hechoes que si es aditiva el rango no puede contener ambos extremos infinitos,pues si existe A con (A) = , entonces () = (A) + (Ac) = y siexiste A con (A) = , entonces () = (A) + (Ac) = .

Por ultimo observemos que si : A (, ] es numerablementeaditiva, entonces es una carga salvo que sea degenerada y solo tomeel valor (A) = para todo A A, pues si existe un medible A con(A) R, tendremos

(A) = (A ) = (A) +

(),

y por tanto () = 0.

Las cargas conservan algunas de las propiedades de las medidas.

Proposicion 1.3.13 Sea una carga en (, A), con A anillo, entoncespara A,B,An, An A:(a) (B) = (B A) + (B Ac).(b) Si A B entonces (B) = (A) + (B\A).(c) Si A B y (A) = , entonces (B) = .(d) (A B) + (A B) = (A) + (B).(e) Si A

n A, entonces (A

n)

(A).

(f) Si An A y |(A1)| < , entonces (An) (A).


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Nota 1.3.14 Se sigue de (1.3.9)(d) que una medida aditiva en unalgebra es acotada si y solo si es finita, es decir que

() = sup{(A) : A A} < (A) < , A A,tal resultado no es cierto en general si quitamos la no negatividad (verprob.4 del Ash,p.12). Sin embargo veremos en (4.2.7) de la pagina 152,que s es cierto para cargas sobre algebras.

Si de una medida o una carga solo sabemos que es aditiva, el si-guiente resultado nos dice cuando es numerablemente aditiva.

Teorema 1.3.15 Una carga aditiva sobre un anilloA

es numerable-mente aditiva, si se verifica una de las dos condiciones:

(a) es continua superiormente, es decir dados An, A A con An A,(An) (A).(b) es continua inferiormente en el, es decir si dados An A, conAn , se tiene (An) 0.

Demostracion. Sea An A una sucesion de conjuntos disjuntostales que A = An A, entonces para Bn = ni=1Ai tendremos queBn A, por tanto en el caso (a)

ni=1

(Ai) = (ni=1Ai) = (Bn) (i=1Ai),

y el resultado se sigue. Ahora en el caso (b) como A\Bn A\A = ,tendremos que (A\Bn) 0, y como

(A) = (A

\Bn) + (Bn),

el resultado se sigue.

1.3.3. Propiedades de haz en los espacios de medida.

Definicion. Dado un espacio de medida (, A, ). Llamamos restricciondel espacio de medida a un conjunto medible B A, al nuevo espaciode medida (B,

AB , |B ), para

AB = {A A : A B}, |B (A) = (A).


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1.3. Medida 19

Proposicion 1.3.16 Dado un espacio medible(, A) y una coleccion(U, A, )de espacios de medida, con los U A un recubrimiento de y A =

A U y las medidas tales que = en U

U . Si existe un su-

brecubrimiento numerable de , Un = Un , entonces existe una unicamedida en A que por restriccion en cada U define .

Demostracion. Consideramos los medibles disjuntos Bn = Un\(n1i=1 Ui)y definimos en A

(A) =

n(A Bn),la cual es medida, pues si Am A, son disjuntos y A = Am,

(A) = n n(A Bn) = n m n(Am Bn)=

m

n

n(Am Bn) =

m

(Am).

Coincide con en cada U, pues si A A,

(A) =

n(A Bn) =

(A Bn) = (A).

Y es unica pues si es otra tendremos que

(A) =

n

(A Bn) =

n

n(A Bn) =

n

(A Bn) = (A).

En los libros de Tjur, p.23 y Lang, p.339 se demuestra (ver el temade medida y topologa), que si es Hausdorff y localmente compactoy los Ui son un recubrimiento por abiertos de tal que la restricciona Ui Uj de (Ui, Ai, i) y (Uj , Aj , j ) coinciden donde las medidasi satisfacen ciertas propiedades de regularidad, entonces se puede

construir un unico espacio de medida (, A, ) cuya restriccion a cadaUi es (Ui, Ai, i).


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Ejercicios

Ejercicio 1.3.1 Consideremos (N, P(N), ), el espacio de medida de contar enlos naturales. Encontrar una sucesion An para la que no se verifique(An) () = 0.

Ejercicio 1.3.2 Consideremos (N, P(N), ), para (A) = 0 s i A es finito y(A) = en caso contrario.

(a) Demostrar que es aditiva pero no numerablemente aditiva.

(b) Encontrar una sucesion An A para la que no se verifique (An) (A).

Ejercicio 1.3.3 Dada una medida y una sucesion An A, demostrar que

(

n=1

An)

n=1

(An).

Ejercicio 1.3.4 Sea :A

[0,

], aditiva en un algebraA

. Dada una sucesionAn A de conjuntos disjuntos cuya union esta en A, demostrar que

(

n=1

An)

n=1

(An).

Ejercicio 1.3.5 Dado un espacio de medida (, A, ) y una sucesion An A,demostrar que:

i) (lm inf An) lm inf (An).

ii) Que si (An) < , entonces lm sup (An) (lm sup An).Ejercicio 1.3.6 Demostrar el Lema de BorelCantelli: Sea (, A, ) un espaciode medida y Cn A, entonces

n=1

(Cn) < (lm sup Cn) = 0.

Ejercicio 1.3.7 Dada una medida finita sobre una algebra

Ay una su-

cesion An A tal que lm infAn = lm sup An = A, demostrar que (A) =lmn (An).


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1.3. Medida 21

Ejercicio 1.3.8 Dada una sucesion doble xnm (, ], tal que para cuales-quiera n, m N, xnm xn+1,m y xnm xn,m+1, demostrar que

lmn

lmm

xnm

= lmm

lmn

xnm

.

Ejercicio 1.3.9 Dado un espacio medible (, A) y una sucesion de medidas enel n. Demostrar:

a) Si n n+1, entonces (A) = lm n(A) define una medida en elespacio.

b) Sean como sean las n, (A) =

n(A), define una medida en elespacio.

Ejercicio 1.3.10 Dado un espacio no numerable y

A = {E : E o Ec es numerable},

(E) =

0, si E es numerable,

1, si Ec es numerable, para cada E A,

demostrar que A es algebra y medida.

Ejercicio 1.3.11 Dado un espacio de medida semifinita (, A, ), es decir talque para todo E

Acon (E) =

existe F

A, con F

Ey 0 < (F) 0 existe F A,con F E y r < (F) < .

Ejercicio 1.3.12 Demostrar que toda medida finita es semifinita. Dar uncontraejemplo para el recproco.

Ejercicio 1.3.13 Dado un espacio de medida (, A, ), definimos : A [0, ], de la siguiente manera

(A) = sup{(B) : B A, B A y (B) < },demostrar que:

a) es una medida semifinita.b) Que si es semifinita entonces = .


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1.4. Extension de medidas

1.4.1. Medidas exteriores

A menudo nos encontraremos ante la situacion de tener definida unamedida sobre una clase reducida de conjuntos y quererla extender auna clase mas amplia. Tomemos por ejemplo las medidas de la forma

(a, b] = F(b)

F(a),

sobre la clase C de los semiintervalos acotados (a, b] R cerrados a laderecha. Donde F es una funcion real, monotona creciente y continuaa la derecha. En particular para F(x) = x tendramos (a, b] = b a,la longitud del intervalo. La cuestion es: Podremos extender al anilloA0, de las uniones finitas de elementos de C, de manera que sea unamedida?. No es difcil ver que s, lo veremos en (1.6.4) de la pagina 36.Lo que no es tan facil de ver es que tambien puede extenderse de un unicomodo a la algebra (

C) =

B(R). El objetivo de esta leccion consiste

en demostrar que dada una medida

0 : A0 [0, ]

definida en un anillo A0 de , existe una algebra A que contiene aA0 y una medida sobre A, que coincide con 0 en A0 y que ademas esunica si 0 es finita en A0. El procedimiento que seguiremos se basaen la nocion de medida exterior.

Definicion. Una medida exterior en es una funcion de conjunto

: P() [0, ]

verificando las siguientes condiciones:a) () = 0.b) Si A B, entonces (A) (B).c) Si Bn es una sucesion de subconjuntos de , entonces

(

n=1

Bn)

n=1(Bn).


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1.4. Extension de medidas 23

Ejemplo 1.4.1 Consideremos un conjunto . La funcion () = 0 y(A) = 1 en cualquier otro caso, define una medida exterior en P()).

Ejemplo 1.4.2 Consideremos un conjunto infinito . La funcion (A) =0 si A es numerable y (A) = 1 en cualquier otro caso, define una me-dida exterior en P()).

A continuacion construimos una gran cantidad de medidas exteriores.

Proposicion 1.4.3 Sea C una coleccion de subconjuntos de y : C [0, ] una funcion cualquiera, tales que C y () = 0. Para cadaB ,

(B) = nf{

n=1

(An) : An C, B

n=1

An},

define10 una medida exterior (que llamaremos la medida exterior ge-nerada por ), para la que (A) (A), para A C. Ademas siC = A0es un anillo y una medida, coincide con sobre A0.

Demostracion. Las dos primeras propiedades son inmediatas. Vea-mos la tercera, para ello sea Bn una sucesion de subconjuntos de . Si

n=1 (Bn) = , la desigualdad es obvia, en caso contrario (Bn)

n=1 (Bn) < , para todo n. Tomemos ahora un > 0 y para cada

n N elijamos una sucesion Anm C tal que

Bn m

Anm, y

m

(Anm) (Bn) + 2n

,

entonces los Anm son una coleccion numerable de conjuntos de C, cuyaunion contiene la Bn, por tanto

(

n=1

Bn)

n=1

m

(Anm)

n=1

(Bn) + ,

y el resultado se sigue. Ahora que (B) (B), para B C se sigue dela definicion.

10Con el convenio nf = , con el que se verifica que si A B R, entoncesnf B nf A, incluido A = .


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Por ultimo supongamos que C = A0 es anillo y veamos que (B) =(B), para cada B A0. Para ver la desigualdad que nos falta conside-remos una sucesion An

A0 tales que B

An, entonces B =

(B

An)

y como es una medida en A0 tendremos(B)

n

(B An)

n

(An),

y por tanto (B) (B).Ejemplo 1.4.4 Medida exterior de Lebesgue. En R, sea C = {(a, b] : a b R} y (a, b] = b a, entonces para A R

m(A) = nf{

n=1(bn an) : an bn R, A

n=1

(an, bn]},

es una medida exterior (en el ejercicio (1.4.1) se dan otras clases con lasque tambien se genera m).

Ejemplo 1.4.5 Medida exterior de Hausdorff. Sea (, d) un espacio metri-co (i.e. un conjunto , con una aplicacion d : 2 [0, ), llamadadistancia, tal que d(x, y) = 0 sii x = y, d(x, y) = d(y, x) y d(x, y) d(x, z) + d(y, z)). Llamamos diametro de un B

al valor11

d(B) = sup{d(x, y) : x, y B}.Ahora para cada p > 0 y > 0 definimos la funcion de conjunto quepara cada A vale,

Hp,(A) = nf{

n=1

d(Bn)p : A Bn, d(Bn) },

(con el convenio nf =

), las cuales son medidas exteriores por

(1.4.3), que verifican

Hp,(A) Hp,(A),y por tanto existe el lmite, que tambien es medida exterior (ver ejercicio(1.3.8), pag.21)

Hp(A) = lm0

Hp,(A),

y que llamamos la medida exterior pdimensional de Hausdorff12. Vol-veremos a las medidas de Hausdforff en las paginas 53 y 195.

11Con el convenio sup= 0, por tanto d() = 0.12Para p = 0 tambien vale la definicion pero hay que precisarla. Entendemos que


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1.4.2. Teoremas de extension de medidas

Aunque una medida exterior tiene la ventaja de estar definida en

todo P(), tiene el defecto de no ser numerablemente aditiva, ni siquieraaditiva. Por ello trataremos de encontrar una algebra, sobre la ques sea numerablemente aditiva. Veremos que tal algebra existe y quesu construccion se basa en una simple aunque notable condicion debidaa Caratheodory, (aunque el germen de la definicion se encuentra enPeano, ver la introduccion).

Definicion. Sea una medida exterior en . Diremos que E esmedible si para todo A

(A) = (A E) + (A Ec).

y denotaremos con A la familia de los conjuntos medibles.

Nota 1.4.6 Se sigue de la definicion que E A sii Ec A y que si(E) = 0 entonces E A, pues

(A)

(A

E) + (A

Ec)

(E) + (A) = (A),

de donde se sigue que A y por tanto A. Ademas se seguira queel espacio de medida (ver el siguiente resultado) (, A, ) es completo.

Teorema de extension de Caratheodory 1.4.7 (1) Sea una medidaexterior en , entonces A es una algebra, la restriccion a ella de es una medida y (,

A,

) es completo. (2) Si ademas es la medida

exterior generada por una medida de un anillo A0 de , entonces es

A0 A y = en A0.

Demostracion. (1) Veamos en primer lugar que A es un algebra.Por la Nota anterior , A y si E A entonces Ec A. Consi-deremos B1, B2 A y demostremos que B1 B2 A, para ello sea

d()p = 0, para todo p

0 y d(A)0 = 1, para todo A= , en particular debemos

entender que d({x})0 = 1. Con estos convenios se tiene que para p = 0, Hp es lamedida de contar.


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A , entonces usando la medibilidad de los Bi[A (B1 B2)] + [A (B1 B2)c] =

=

[A (B1 B2) B1] +

[A (B1 B2) Bc1]+

+ [A (B1 B2)c]= (A B1) + [A B2 Bc1] + [A Bc1 Bc2]= (A B1) + (A Bc1) = (A).

Ahora bien toda union numerable de conjuntos En del algebra A sepuede poner como union numerable disjunta de los conjuntos B1 = E1y Bn = En Ecn1 Ec1, del algebra y para cada A

(A) = (A B1) + (A Bc1)= (A B1) + (A Bc1 B2) + (A Bc1 Bc2)= (A B1) + (A B2) + (A Bc1 Bc2)

=

ni=1

(A Bi) + [A (n

i=1

Bci )] (por ind. en n)

n

i=1(A Bi) + [A (

i=1Bci )],

y tomando lmites cuando n

(A)

i=1

(A Bi) + [A (

i=1

Bi)c]

[A (

i=1

Bi)] + [A (

i=1

Bi)c] (A),

por lo tanto

i=1Ei =

i=1Bi A y A es algebra. Pero ademas(A) =

i=1

(A Bi) + [A (

i=1

Bi)c],

y tomando A = Bn se sigue la numerable aditividad de en A, ypor tanto es una medida. Que es completo se sigue del Lema.

(2) Supongamos ahora que es la medida exterior generada por unamedida de un anillo A0 de . En (1.4.3) vimos que = en A0, faltapues ver que

A0

A, para ello sea E

A0 y A

y veamos que

(A) = (A E) + (A Ec),


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para ello tomemos Bn A0, con A Bn, ahora como A E (Bn E) y A Ec (Bn Ec), tendremos que

(A)

(A E) +

(A Ec

)

n

(Bn E) +

n

(Bn Ec) =

n

(Bn),

y el resultado se sigue tomando el nfimo de estas sumas.En el caso particular de que sea finita, es decir que exista una

sucesion An A0, tal que = An y (An) < , para cada n N,entonces la extension de a la algebra A es unica.

Teorema de extension de Hahn 1.4.8 Toda medida finita en un ani-llo A0 se extiende de modo unico a cada algebra A entre A0 y A.

Demostracion. Sea la medida exterior generada por y supon-gamos que es una medida en A que coincide con en A0. Sea E Ay Bn A0 tales que E Bn, entonces como Bn A

(E) (

n=1

Bn)

n=1

(Bn) =

n=1

(Bn),

tendremos que (E) (E). Ahora sean An A0, tales que An y(An) =

(An) = (An) < , por tanto como(EAn) + (Ec An) = (An) = (An) = (EAn) + (Ec An),tendremos que (E An) = (E An), pero entonces

(E) = lmn

(E An) = lmn

(E An) = (E).

1.4.3. Aproximacion de medibles

Por ultimo observemos que la idea intuitiva de construir A = (C)tomando complementarios y uniones e intersecciones numerables, en to-das las formas posibles, con elementos de C, sugiere que si C es un algebraA0, entonces los conjuntos de A debieran aproximarse bien por conjuntosde A0. Esto realmente es as como a continuacion formalizamos.Definicion. Llamaremos diferencia simetricade dos conjuntos A, B al conjunto

AB = (A Bc) (Ac B).


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Teorema de aproximacion 1.4.9 Sea (, A, ) un espacio de medida yseaA0 un algebra de conjuntos de tal queA = (A0). Si es finitaen

A0 y > 0, entonces para cada A

Acon (A) 0, por el primer Lema para cada An existe un Bn A0,Bn An y (An\Bn) < 2n. Ahora como Bn An = y los Bnson compactos tendremos por el Lema (1.6.3) que existe un N tal que

Nn=1

Bn N

n=1

Bn = N

n=1

Bcn = R,

y como An es decreciente, para todo n N(An) =

An (

Ni=1

Bci )

=

N

i=1

(An Bci )

Ni=1

(Ai Bci )

N

i=1

(Ai\Bi) ,

por tanto (An) 0. Por ultimo es finita pues (m, m] = F(m)F(m) < .

Como consecuencia tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.6.5 Dada una funcion de distribucion F en R, existe unaunica medida en B(R) tal que (a, b] = F(b) F(a), para cada a < bdeR y es una medida de LebesgueStieltjes.

Demostracion. Por el resultado anterior existe una unica medida,definida en el anillo

A0, que satisface la propiedad. Ademas es finita,

por tanto se sigue de los Teoremas de Caratheodory y Hahn que tieneuna unica extension a B(R) y es de LebesgueStieltjes.


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1.6. Medidas de LebesgueStieltjes 37

Nota 1.6.6 Observemos que para cada punto x R{x} = lm (x 1/n,x] = F(x) F(x),

y por tanto, como F es continua a la derecha, es decir F(x) = F(x+),se tiene que

F es continua en x {x} = 0.Podemos expresar la medida de cualquier intervalo en terminos de la

funcion de distribucion, por ejemplo

(a, b) = lm (a, b 1/n] = F(b) F(a),[a, b) = ({a}) + (a, b) = F(b) F(a),

[a, ) = F() F(a

), (, ) = F() F().Nota 1.6.7 Ahora podemos generar ya un buen numero de medidas enB(R). Por ejemplo si

f: R R,es no negativa e integrable (Riemann por ahora), sobre cada intervalofinito (eso significa que la integral en ese intervalo es finita), podemosdefinir la funcion de distribucion (continua)

F(x) = x

0

f(t)dt, si x > 0,

0, si x = 0,

0x

f(t)dt, si x < 0,

y se puede construir la medida de LebesgueStieltjes asociada, quesatisface

(a, b] =

ba

f(t)dt.

Ejemplo 1.6.8 La medida de Lebesgue unidimensional. Tomando

en particular la funcion de distribucion

F(x) = x, (a, b] = b a,la correspondiente medida finita : A0 [0, ] define la medidaexterior de Lebesgue que para A R vale

(A) = nf{

(Ai) : Ai A0, A Ai}= nf{

(Ii) : Ii C, A Ii}

= nf{(bi ai) : ai bi, A (ai, bi]}.


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Definicion. Llamamos Lebesgue medibles de R a los conjuntos de laalgebra A, definida por la medida exterior de Lebesgue anterior, ymedida de Lebesgue a la restriccion m = |A , de la medida exterior a

esta algebra, que denotaremos A = L(R).Tenemos las inclusiones B(R) L(R) P(R) y surgen dos preguntas

de forma natural:1) Es B(R) = L(R)?. Contestaremos negativamente a esta cuestion

en (2.2.11), pag.78. No obstante como es finita sabemos por (1.5.4),pag.31, que

L(R) es la algebra complecion de

B(R), con la medida de

Lebesgue, as que un conjunto Lebesgue medible es la union de un Borelcon un subconjunto de un Borel de medida de Lebesgue nula.

2) Es L(R) = P(R)?. Esta cuestion que nos lleva a la base de lateora de conjuntos, sera analizada mas adelante en (1.6.27), pag.51 ycomentada en el apendice final del tema.

1.6.2. Medidas de LebesgueStieltjes en Rn.

Vamos a considerar ahora las medidas de LebesgueStieltjes y lasfunciones de distribucion en Rn.

Definicion. Llamaremos rectangulo (acotado) en Rn al producto de nintervalos (acotados) de R. Llamaremos rectangulo semicerrado a la de-recha (a menudo lo llamaremos simplemente semirectangulo), de Rn alproducto

Ii, de n semiintervalos de R, del tipo (, b], (a, b] o (a, ),

de estos consideraremos especialmente los semirectangulos acotados, queson producto de Ii

C, es decir del tipo considerado en el caso unidi-

mensional (a, b]. Denotaremos con Cn el conjunto de los semirectangulosacotados. Llamaremos cubo semicerrado a la derecha (o simplemente se-micubo) a un semirectangulo (a, b] con todos los lados bi ai iguales.Llamaremos semicubo unidad a (0, 1]n y cubo unidad a Q = [0, 1]n.

Por ejemplo en R2 los semirectangulos (acotados y no acotados) sonconjuntos de uno de los nueve tipos de la Fig.1.1

Nota 1.6.9 Denotaremos (

, x] =

ni=1(

, xi], para cada x = (xi)

Rn. Dados a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) Rn

, diremos que a < b(a b) si ai < bi (ai bi) para i = 1, . . . , n. Si para algun i, ai = bi,


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tendremos que (a, b] =

(ai, bi] = y podemos entender el conjuntovaco como un semirectangulo.

Nota 1.6.10 Recordemos que B(Rn) es la algebra generada por losabiertos de Rn y por (1.2.16) tambien es la generada por los semi-rectangulos acotados de Rn, B(Rn) = (Cn). Ademas los semirectangu-los acotados tienen la propiedad de que sus uniones finitas disjuntasforman un anillo, que denotaremos con A0, pues si A, B Cn, Bc esunion finita disjunta de semirectangulos y A Bc A0 y si A, B A0,A\B, A B A0.Definicion. Diremos que una medida : B(Rn) [0, ], es de LebesgueStieltjes si es finita en los compactos (equivalentemente en los acotados)de Rn.

Definicion. Para cada a = (ai) b = (bi) Rn definimos Sab = {x =(xi) Rn : xi = ai o xi = bi} el conjunto de esquinas del rectangulodefinido por a y b y la aplicacion

: Sab {1, 1},

(x) = 1, si xi = ai para un no par de i,

1, si xi = ai para un no

impar de i,

Definicion. Diremos que F: Rn R es una funcion de distribucion si:a) Es continua a la derecha, es decir si x xn+1 xn y

xn x, entonces F(xn) F(x).

.......................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

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(, b1] (, b2]

(, b1] (a2, b2]

(, b1] (a2,)

(a1, b1] (, b2]

(a1, b1] (a2, b2]

(a1, b1] (a2,)

(a1,) (, b2]

(a1,) (a2, b2]

(a1,) (a2,)

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ...

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ...

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........

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Figura 1.1. Semi-rectangulos acotados y no acotados de R2


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b) Es monotona creciente en el siguiente sentido, para a b Rn,

xSab (x)F(x) 0.Por ejemplo para n = 3, que

xSab

(x)F(x) = F(b1, b2, b3) F(a1, b2, b3) F(b1, a2, b3)+

+ F(a1, a2, b3) F(b1, b2, a3) + F(a1, b2, a3)++ F(b1, a2, a3) F(a1, a2, a3) 0.

Ejemplo 1.6.11 Dadas n funciones de distribucion en R, F1, . . . , F n,

F: Rn R, F(x1, . . . , xn) = F1(x1) Fn(xn),es una funcion de distribucion en Rn, pues es continua a la derecha y esmonotona, pues por induccion en n se demuestra la ultima igualdad en

xSab(x)F(x) =

xSab(x)F1(x1) Fn(xn) =

n

i=1[Fi(bi) Fi(ai)].

Ejemplo 1.6.12 Para el caso particular Fi(x) = x, para i = 1, . . . , n,tenemos la funcion de distribucion F(x1, . . . , xn) = x1 xn.

Como para el caso unidimensional tenemos una biyeccion entre me-didas de LebesgueStieltjes y funciones de distribucion, si identificamosfunciones de distribucion que dan el mismo valor a

xSab

(x)F(x),para todo semirectangulo acotado (a, b] observemos que si F es fun-cion de distribucion tambien lo es F + c, para cada c R, pues se tieneque xSab (x) = 0 (esto es una simple consecuencia de (1.6.11), paraFi(x) = 1, por tanto F(x) = 1), ademas por esta misma razon F y F+ cestan identificadas pues ambas funciones dan el mismo valor a la expre-sion. Sin embargo encontrar una funcion de distribucion de la clase deequivalencia a partir de la medida no es inmediato en general, por ellooptaremos por dar los siguientes resultados que seran utiles en Teora deProbabilidades.

Teorema 1.6.13 Sea una medida finita en

B(Rn), entonces F(x) =

(, x], para cada x Rn es una funcion de distribucion que verificaxSab

(x)F(x) = (a, b], para cada a, b Rn, con a < b.


49/420


Demostracion. La continuidad a la derecha se sigue por ser unamedida finita, pues si xn x, con xn+1 xn, entonces (, xn] (

, x] y F(xn)

F(x). Que es monotona creciente se sigue de

(a, b] = ((a1, b1] (an, bn])= ((a1, b1] (, bn])

((a1, b1] (, an])= ((a1, b1] (, bn1] (, bn])

((a1, b1] (, an1] (, bn]) ((a1, b1] (, bn1] (, an])+

+ ((a1, b1] (, an1] (, an])

= =

xSab

(x)((, x1] (, xn])

=

xSab

(x)F(x).

Teorema 1.6.14 Dada F funcion de distribucion enRn, hay una unica

medida enB(Rn), tal que(a, b] = xSab (x)F(x), para cada semirectangulo acotado (a, b]. Ademas es de LebesgueStieltjes.

Demostracion. Como en el caso unidimensional construiremos enuna serie de pasos la medida. En primer lugar la hipotesis nos la da enlos semirectangulos acotados

(a, b] =

xSab(x)F(x),

con a < b, a, b Rn; y definimos () = 0. Ahora observamos que esaditiva en el siguiente sentido. Dados a = (ai) < b = (bi) y aj < ej < bjpara un j, se tiene (ver Fig. 1.2)

(a, b] = (a1, b1] ((aj , ej ] (ej , bj ]) (an, bn] = (a, c] (d, b],

para c = (ci) y d = (di) con

ci = bi si i = jej si i = j,

di = ai si i = jej si i = j,


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por tanto

Sac = {x : xi = ai o bi (i = j) y xj = aj o ej},Sdb = {x : xi = ai o bi (i = j) y xj = ej o bj},

y tenemos que

Sac Sdb = {x : xi = ai o bi (i = j) y xj = ej}Sac Sdb = Sab (Sac Sdb)

siendo la union de la derecha disjunta, y se demuestra facilmente que

(a, b] = (a, c] + (d, b],

...................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................ ........................................................................................................................................

.....

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a

b

a

b

d

c

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Figura 1.2.

pues si x Sac Sdb, los signos ac(x) y db(x), correspondientes a F(x)en (a, c] y en (d, b] se cancelan. Ahora aplicando sucesivamente esteargumento se tiene que dada una particion entera del semirectanguloacotado (a, b], es decir del tipo

(a, b] =n

i=1

(ai, bi] =n

i=1

(ai, a

i] (ai, a(2i ] (a(ki1i , bi]

=

k1j1=1

kn

jn=1

ni=1

(a(ji1i , a

(jii ], para ai = a

(0i y bi = a

(kii

como union disjunta de k1 kn semirectangulos acotados, tendremosque

(a, b] =

k1j1=1

kn

jn=1

(

ni=1

a(ji1i , a(jii ),


51/420


es decir es aditiva. Esto implica que si un semirectangulo acotado R =(a, b] es union finita disjunta de semirectangulos acotados Ri, entonces(R) =

(Ri), lo cual se demuestra considerando una particion entera

de (a, b], de la que se pueden seleccionar particiones enteras de cada Ri(ver la Fig.1.3).

......................................................................................................................................................................................................................

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a

b

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apuntes de teoria de medidas

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