razonamiento cuantitativo cap01

Razonamiento Cuantitativo

Dra. Irene F. Mikenberg, Dra. María G. Schwarze

Razonamiento Cuantitativo

Irene F. Mikenberg

Facultad de Matemáticas

Pontificia Universidad Católica de Chile

13 de marzo de 2013

1. Pensamiento Crítico 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. ¿Qué es la lógica?Falacias más comunes y argumentos correctos . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Proposiciones, Tablas de verdad, Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. La Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. La Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3. La Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4. El Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.5. El Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.6. Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.7. Diagramas de Venn para Proposiciones Categóricas . . . . . . . . . 26

1.4. Razonamientos Deductivos e Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5. Razonamiento Crítico en la vida diariao cómo leer el periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III

1.1. Representación de la negación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Tabla de verdad de la negación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Representación de la conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Tabla de verdad de la conjunción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Representación de la disyunción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Tabla de verdad de la disyunción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Representación del condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Tabla de verdad del condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9. Tipos de condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10.Tabla de verdad para cada tipo de condicional . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.11.Representación del bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.12.Tabla de verdad del bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.13.Tipos de argumentos deductivos condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 37

V

1.1. Ejemplo de falacia del uso indebido de términos emocionales. . . . . . . . 7

1.2. Diagrama de Venn para Todos los gatos son mamíferos . . . . . . . . . . . 23

1.3. Diagrama de Venn para el conjunto de las aves y de los reptiles. . . . . . . 24

1.4. Diagrama de Venn para el conjunto de los médicos y el de las mujeres. . . 24

1.5. Diagramas de Venn para proposiciones categóricas. . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Diagrama de Venn para la proposición Algunos pájaros pueden volar . . . 27

1.7. Diagrama de Venn para la proposición Los elefantes nunca olvidan . . . . . 27

1.8. Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9. Diagrama de Venn para los tramposos T, los jugadores de carta N y loscocodrilos C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10.Diagrama para los alumnos de primer año P, los de segundo S, los quefueron al paseo Q y los que se bañaron en la playa B. . . . . . . . . . . . . 30

1.11.Ejemplo de diagrama de Venn para determinar cantidades. . . . . . . . . . 30

1.12.Diagrama de Venn para los textos leídos por Matías . . . . . . . . . . . . . 31

1.13.Diagrama de Venn para la encuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14.Diagrama de Venn para las premisas del argumento 3 . . . . . . . . . . . . 35



1.17.Diagrama de Venn para el argumento 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.18.Diagrama de Venn para las premisas sobre Benjamín . . . . . . . . . . . . 38

1.19.Diagrama de Venn para las premisas sobre la película . . . . . . . . . . . . 39

1.20.Diagrama de Venn para las premisas sobre el estudio . . . . . . . . . . . . 40

1.21.Diagrama de Venn para las premisas sobre el clima de hoy . . . . . . . . . 41

1.22.Figuras para el problema 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

VII

1Pensamiento Crítico

Introducción 1.1

El razonamiento humano es la actividad mental que permite relacionar distintas ideaspara obtener conclusiones y/o para resolver problemas. En particular, el razonamientocuantitativo está relacionado con la capacidad de leer y comprender datos, compararlos,obtener conclusiones sobre ellos y poder resolver problemas de la vida diaria. Usual-mente se relaciona el razonamiento cuantitativo (QR) con matemática, y aunque estánrelacionados, hay una gran diferencia entre ellos. Mientras que matemática es una cien-cia, razonamiento cuantitativo es el desarrollo de habilidades con aplicaciones prácticas.

La idea central de este curso es desarrollar este tipo de habilidades.

¿Qué es la lógica?Falacias más comunes y argumentos correctos 1.2

La palabra lógica está directamente relacionada con la palabra griega logos, que sig-nifica en griego antiguo “pensamiento” o “razón”, pero también “palabra” o “conocimiento”y la lógica era “lo relativo al logos”.

Podríamos definir lógica como el conjunto de conocimientos que tienen por objeto elenunciado de las leyes que rigen los procesos del pensamiento humano; así como delos métodos que han de aplicarse al razonamiento y la reflexión para lograr un sistemaque conduzca a resultados que puedan considerarse certeros o verdaderos. El raciociniopuede definirse como un proceso del pensamiento humano que a partir de ciertos cono-

1

2 Capítulo 1. Pensamiento Crítico

cimientos establecidos (llamados premisas), conduce a adquirir un conocimiento nuevo(llamado conclusión) sin que para ello haya que recurrir a nuevas constataciones u ob-servaciones adicionales a las ya contenidas en las premisas.

La expresión argumento se referirá a un proceso razonado que constará de una seriede premisas que tienen como consecuencia una conclusión. Un argumento es correctosi aplicado a premisas verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera. El primerpaso para estudiar la validez de un argumento, es identificar cuales son las premisas ycual es la conclusión.Algunos argumentos pueden presentar fuertes evidencias de que la conclusión es co-rrecta y otros, no tanto.

En el caso en que un argumento no entregue suficiente evidencia para que la conclu-sión sea verdadera, se dice que es una falacia. Consideremos el siguiente argumento:

El 15 % de las personas que consumen alimentos con grasa padece dehipertensión y el 5 % de las personas que sólo consumen comidas magras lapadecen, por lo tanto, el consumo de comidas grasas aumenta la posibilidadde padecer hipertensión.

Posiblemente este argumento parece aceptable, pero si lo fuera, se tendría que paracualquier componente A presente en los alimentos y enfermedad B, si el porcentaje de laspersonas que padecen B, es significativamente mayor entre las personas que consumenalimentos que contienen A que entre las personas que consumen alimentos que no locontienen, entonces el consumo de alimentos con A aumenta la posibilidad de contraerB.

Sin embargo, si analizamos la relación entre el consumo de bebidas sin azúcar yla obesidad, este argumento nos podría llevar a la conclusión de que las bebidas lightengordan más que las bebidas normales.

Las falacias son muy comunes en la vida diaria, podemos encontrarlas en señaléticas,en publicidad, en campañas políticas, en comentarios editoriales, etc.

Comenzaremos nuestro estudio del pensamiento crítico, analizando algunos ejemplosde las falacias más usuales.

Argumentum ad Hominem (Dirigido al hombre)

En este tipo de falacias se refuta una conclusión, (resultado o testimonio) desacre-ditando a la fuente que lo emite y no a los argumentos que llevan a esa conclusión.

Para desacreditar un estudio es usual usar como argumento que quien lo realizó noes confiable.

Ejemplos

“Esas cifras sobre la influencia del consumo de café en las personas son falsasya que el estudio fue pagado por una compañía importadora de té.”

1.2. ¿Qué es la lógica? Falacias más comunes y argumentos correctos 3

“Yo no creo que este remedio para la obesidad sea efectivo porque en la clínicaMayo lo recomiendan.”

AnálisisSin duda uno debe revisar con mayor atención un estudio realizado a petición deun grupo con intereses creados, pero los resultados obtenidos en ese estudio, nonecesariamente deben ser falsos.

La falacia se presenta al aceptar como verdadero que todo lo afirmado por alguienpoco confiable es falso, es decir, tiene la forma siguiente: “Si una persona determi-nada afirma p entonces p no es verdad.”

Opuesta a la falacia anterior es

Argumentum ad Verecundiam (Dirigido al respeto)

En este tipo de falacias se acepta una conclusión usando como argumento el pres-tigio del experto que la emite.

Ejemplos

“Marcelo Salas era mejor que Iván Zamorano, por que me lo dijo mi papá”.

“La mecánica cuántica está errada, y de eso estoy seguro porque Einstein lodijo”.

“Yo creo que este remedio para la obesidad es efectivo porque en la clínicaMayo lo recomiendan”.

AnálisisEste tipo de falacias se produce al suponer que las opiniones vertidas por alguiencon gran prestigio son necesariamente válidas. Puede producirse un error si la opi-nión emitida se refiere a algo no relacionado con el campo de competencia del ex-perto o simplemente porque el experto no es infalible. Esta falacia tiene la siguienteforma: “p es verdad porque lo dijo alguien confiable.”

Argumentum ad Populum (Dirigido al pueblo)

Esta falacia se presenta al suponer que por el hecho de que mucha gente creaen algo o se actúe de una cierta manera, esa creencia o ese actuar es el mejor.En publicidad es usual usar como argumento para preferir una cierta marca que lamayoría de las personas la prefieren.

Ejemplo

“ Use xxxxxx. Si la mayoría de las personas prefieren xxxxxx, por algo será.”


AnálisisEn este ejemplo, la argumentación es que si la mayoría de las personas usan oprefieren algo, ese algo es la mejor opción.

De hecho, la publicidad influye mucho sobre las decisiones de las personas, enalgunos casos la mayoría de las personas consume un determinado producto, noporque sea la mejor opción, simplemente porque es el que tiene mejor campañapublicitaria. La forma de estas falacias es “si mucha gente cree que p es verdad,entonces p es verdad.”

Argumentum ad Ignorantiam (Dirigida a la Ignorancia)

Este tipo de falacias se presenta al dar como argumento que si un hecho nuncaha sido presenciado o si no está demostrado, entonces es falso. Es claro ver queesto es una falacia porque,a pesar de que no se ha demostrado ni la existencia nila no existencia de vida semejante a la humana en otras galaxias, una de estas dosalternativas es verdadera.

Ejemplo

“Mi vecino es un loco, cree en la existencia de platillos voladores provenientes deotros mundos.”

AnálisisLa falacia se presenta al aceptar verdadero solo aquello que ha sido demostrado opresenciado. La forma de estas falacias es: “si no hay una demostración de que pes verdad, entonces p es falso.”

Cum hoc ergo propter hoc (A causa de esto)

Esta falacia se comete al inferir que existe una relación causal entre dos o máseventos por haberse observado una correlación estadística entre ellos.

Ejemplos

El gallo siempre canta antes de la salida del sol, por lo tanto, el canto del galloprovoca que salga el sol.

“El porcentaje de niños con síndrome de Down es mayor cuando la madre esmenor de 15 años o mayor de 40 en el momento del parto que cuando la edadde la madre está entre esos valores, por lo tanto la edad de la madre influyeen la posibilidad de tener un hijo con síndrome de Down”

AnálisisMuchas veces se acepta el argumento que si cierto fenómeno F se presenta conmayor frecuencia cuando ocurre cierto hecho A que cuando no ocurre A, entoncesA causa F.


Si bien este argumento parece correcto, no se está considerando la posibilidad deque A se dé en forma simultánea con un hecho B, y sea B quien cause F.De hecho en el segundo ejemplo, se tiene que por lo general, mujeres muy jóvenestienen parejas muy jóvenes y mujeres mayores tienen parejas mayores, por lo quepodría ser la edad del padre la que influye sobre la posibilidad de tener un hijo consíndrome de Down.La forma de estas falacias es: “si p y q pueden relacionarse una o varias veces,entonces p es la causa de q.”

Falacia del Hombre de Paja

Una falacia usada frecuentemente por los participantes de un foro es deformar loafirmado por un contrincante para debilitar su posición, ya sea tergiversando suspalabras o sacándolas de contexto.

Ejemplos

Alguien afirma: “Mi contrincante afirmó que se debe dejar en libertad a losdelincuentes”Lo afirmado por su contrincante era “ Es preferible dejar en libertad un delin-cuente que condenar un inocente.”

Consideremos la afirmación “Mi contrincante no cree en la importancia de me-jorar la educación superior, ya que cree que el excedente debido al precio delcobre se debe usar para apoyar a las PYMES.”

AnálisisEn este tipo de falacias, se niega una afirmación tergiversando o sacando de con-texto lo afirmado por alguien. En el segundo ejemplo, el expositor está excluyendootras posibilidades, como por ejemplo, que para mejorar la educación superior sepueda obtener fondos de otra parte o simplemente que si bien el contrincante creeimportante mejorar la educación superior, es más urgente aumentar el empleo.Este tipo de falacias tiene la forma: "si tengo un argumento que involucra una ver-sión distorsionada de p, entonces afirmo la verdadera versión de p.′′

Falacia del Consecuente o Elección limitada

Esta falacia se produce cuando se afirma como verdadera una causa posible pa-ra un suceso observado. Sin embargo, puede ser que haya una gran cantidad decausas diferentes que producen el suceso.

Ejemplo

“Sin duda José ve televisión hasta tarde ya que padece de insomnio y se sabe quever televisión hasta tarde produce insomnio.”


AnálisisEn este tipo de falacias, se afirma como verdadera una de las posibles causas deun suceso verdadero.La forma de esta falacias es: “ si ( p → q ) es verdad y q es verdad, entonces pes verdad”

Falacia del Antecedente .

Esta falacia es muy similar a la anterior, se produce cuando en un argumento con-dicional se niega el antecedente y se concluye la negación del consecuente.

Ejemplo

“Ver televisión hasta tarde produce insomnio, como yo nunca veo televisión hastatarde, nunca padeceré de insomnio.”

AnálisisEn este tipo de falacias, se argumenta que si una de las posibles causas de unaafirmación es falsa, entonces la afirmación es falsa.La forma de estas falacias es:“ si ( p → q ) es verdad y p es falso, entonces q esfalso”

Generalizaciones negligentes

Como su nombre lo indica esta falacia se presenta al generalizar una situaciónbasándose en muy pocas evidencias.

Ejemplos

“Dos casos de leucemia infantil ocurrieron en niños que vivían en una calledonde hay una torre de telefonía celular. Las ondas emitidas por esta torre,deben ser la causa de la enfermedad de estos niños.”

“Yo sé que a todos los jóvenes les gusta leer porque a todos mis compañerosles gusta”. Si esta afirmación la hace un estudiante de Literatura es claro queestamos ante un caso de generalización inadecuada. Con este ejemplo semuestra claramente la falacia, ya que esta afirmación la podría estar haciendoun estudiante de literatura.

AnálisisLa falacia en este argumento se produce porque la premisa cita un número reducidode casos, los cuales no son prueba suficiente para la conclusión. Su forma es: sien algunos casos p puede relacionarse con q entonces p es la causa de q oviceversa.

Falacia de la Casuística

Esta falacia es inversa a la anterior, rechaza una generalización esgrimiendo ex-cepciones.


Ejemplo

“ ¿Como pueden decir que las madres darían todo por sus hijos si ayer aparecieronabandonadas en un auto 2 gemelas recién nacidas?”

AnálisisLa falacia se produce en este argumento cuando, en algunos casos, p puede rela-cionarse con la negación de q entonces nunca q es la consecuencia de p. Su formaes: “Si alguna vez p y no q aparecen relacionadas, entonces nunca p causa q.”

Falacia del Uso Indebido de Términos Emocionales

Este tipo de falacias se produce al emplear palabras que tienen la intención deofuscar emocionalmente el tema tratado, no contribuyendo a una clara reflexión.

Ejemplo

Figura 1.1: Ejemplo de falacia del uso indebido de términos emocionales.

AnálisisEl argumento en la publicidad es “Con más espacio, puedes demostrar más amor;la nueva Grand Carnival tiene más espacio. Por tanto, compra la nueva Grand Car-nival”. Este argumento no representa un argumento lógico, sólo tiene la esperanzaque tu amor por tu familia te haga comprar este auto. Es decir, apela a sentimien-tos. Su forma es: si p es una proposición que está asociada con alguna reacciónemocional positiva, entonces p es verdad.

Razonamiento circular

Esta falacia se presenta cuando se utiliza un argumento en que se supone como yademostrado aquello que se debe demostrar.


Ejemplo

“La sociedad tiene una obligación con los desposeídos, porque los necesitadostienen derechos sobre los bienes de la comunidad.”

AnálisisEn este argumento la premisa es “los necesitados tienen derechos sobre los bienesde la comunidad” y la conclusión es “la sociedad tiene una obligación con los des-poseídos”, y si lo pensamos bien, ambas proposiciones tienen el mismo significado,es decir: La sociedad tiene una obligación con los desposeídos si y solamente silos necesitados tienen derechos sobre los bienes de la comunidad. Es decir, tene-mos un argumento circular. Su forma es: “si p es equivalente con q entonces p esverdadero.”

Proposiciones, Tablas de verdad, Diagramas de Venn 1.3

Como base de nuestro razonamiento lógico, aceptaremos el principio de bivalenciaque afirma que toda afirmación es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Una pro-posición es una frase que puede ser verdadera o falsa. Debe tener la estructura de unaoración completa.

EjemploLas siguientes son ejemplos de proposiciones:

Tengo hambre.

Tres es mayor que cuatro.

Carlos está sentado.

2 + 5 = 8.

Las siguientes expresiones no son proposiciones:

Tres más dos.

¿Está lloviendo?

El papá le dio un regalo a su hijo.

Cinco kilómetros al norte de aquí.

Notemos que si bien la frase: “El papá le dio un regalo a su hijo” tiene la forma de unaproposición, no lo es, porque depende de quién sea el padre y de quién sea el hijo.

1.3. Proposiciones, Tablas de verdad, Diagramas de Venn 9

A partir de proposiciones básicas como las anteriores, se puede formar nuevas pro-posiciones usando conectivos como “y”, “o”, “no”,. . . El significado de ellos será siempreel mismo y el valor de verdad de una proposición que los incluye dependerá sólo de losvalores de verdad de la proposiciones que la conforman. En el lenguaje natural un mis-mo conectivo se puede interpretar de distintas maneras según el contexto. Por ejemplo,la afirmación ”Tomé desayuno y me duché”, lleva implícita una cierta noción de tempo-ralidad, se interpreta como ”Tomé desayuno y después me duché”; no es el caso de laafirmación ”Me comí una pera y una manzana”.

Análogamente, si en la promoción de un restaurante se ofrece un menú fijo con platode entrada, plato principal y café o postre, se entiende que el cliente debe elegir uno deellos café o postre, por otra parte si en la promoción de un seguro de salud se dice quecubre hospitalización en caso de enfermedad o accidente se sobreentiende que si unapersona está enferma y sufre un accidente el seguro cubre ambos siniestros.

La Negación 1.3.1

La negación es un conectivo unario, que actuando sobre la proposición p, genera laproposición negación de p la cual es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. Porlo general la negación de p se lee no p y se denota simbólicamente por ¬p. Por ejemplo,la negación de “Dos es par” es ”Dos es impar” y la de “Carlos está sentado” es “Carlos noestá sentado”. Cuidado, en este caso la negación no es “Carlos está parado” pues haymuchas más opciones para Carlos en caso de no estar sentado.

Podemos representar la asignación de los valores de verdad por medio de las llama-das tablas de verdad. En el caso de ¬p, como el conectivo es unario, sólo necesitamosconsiderar los 2 posibles valores de verdad de la proposición original.

Proposición Representación Lectura

Negación de p ¬p no p.

Tabla 1.1: Representación de la negación.

Lo que acabamos de decir en palabras, podemos graficarlo mediante lo que se cono-ce como una tabla de verdad:


p ¬p

V F

F V

Tabla 1.2: Tabla de verdad de la negación.

EjemploDada la proposición “Mila es la mejor alumna del curso”, escriba su negación.Si la negación es falsa, ¿es Mila la mejor alumna del curso?

Solución: La negación de la proposición es: “Mila no es la mejor alumnadel curso”. Si “Mila no es la mejor alumna del curso” es falsa, entonces laproposición original es verdadera.

Muchas frases del diario vivir contienen varias negaciones que no se dicen en formaexplícita:

Ejemplo“No es verdad que no estoy en desacuerdo contigo”

¿Como entender esta frase? La proposición básica ”estoy de acuerdo contigo” esverdadera siempre y cuando la proposición ” estoy en desacuerdo contigo” sea falsa .Por lo tanto en ese caso, ”yo no estoy en desacuerdo contigo” es verdadera, luego ‘Noes verdad que yo no estoy en desacuerdo contigo” es falsa. La frase dada contiene unatriple negación, vemos que tiene el valor de verdad opuesto al de la proposición original.Otro ejemplo es “Yo no pienso dejar de ir a la fiesta” ¿Como entiende usted esta frase?

La Conjunción 1.3.2

La conjunción es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q formauna nueva proposición llamada la conjunción de p y q , la cual es verdadera si y sólo siambas p y q lo son.


Ejemplo

a) El restaurante es caro y malo.

b) A pesar de que el restaurante es caro, es malo.

c) Aunque el restaurante es malo, es caro.

Solución: En los ejemplos anteriores notamos distintas intenciones, sin em-bargo, en los tres casos, las proposiciones son verdaderas si el restaurante esefectivamente caro y es malo. Por lo tanto, en los tres ejemplos, el conectivoque une las proposiciones el restaurante es caro y el restaurante es malo, esla conjunción.

La conjunción de p y q se lee p y q y se denota simbólicamente por p ∧ q. .


Conjunción de p y q (p ∧ q) p y q

Tabla 1.3: Representación de la conjunción

En este caso, para graficar su tabla de verdad tenemos que considerar todas lascombinaciones posibles de valores de verdad de las dos proposiciones que componenesta nueva proposición. Tanto p como q tienen cada una de ellas 2 posibles valoresde verdad (V o F) por lo tanto hay 4 casos a considerar:

p q (p ∧ q)

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla 1.4: Tabla de verdad de la conjunción.

De acuerdo con la definición de los conectivos dados vemos que para toda afirmaciónp, independientemente de lo que afirma, la proposición (p ∧¬p) es siempre falsa y por lotanto la proposición ¬(p ∧ ¬p) es siempre verdadera. Las proposiciones que son por su


estructura lógica siempre verdaderas, independientemente de lo que afirmen las propo-siciones que la conforman, se llaman tautologías.

EjemploDeterminar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) Santiago es la capital de Chile y Brasilia la capital de Brasil.

b) París es la capital de Francia y Madrid no es la capital de España.

Solución: En el caso a) tenemos que la proposición es verdadera dado quetanto “Santiago es la capital de Chile” como “Brasilia es la capital de Brasil” sonverdaderas. Sin embargo en b) tenemos que “París es la capital de Francia”es verdad pero “Madrid no es la capital de España” es la negación de unaproposición verdadera y por lo tanto es falsa; luego nos encontramos en lasituación de la tercera segunda fila de la tabla de verdad que nos dice que laproposición es falsa.

ObservaciónA pesar que el conectivo lógico y es muy similar a la conjunción en caste-llano, de todas maneras podemos encontrar algunas diferencias. Por ejemplo:si afirmamos que “Paty y Germán son ingenieros”, esto es equivalente a laconjunción lógica de “Paty es ingeniero” y “Germán es ingeniero”. Por otrolado, si afirmamos que “Paty y Germán están casados”, esto no es lo mismoque decir “Paty está casada” y “ Germán está casado”.Piense en otros ejemplos en que la conjunción lógica y la usual, no coinciden.En el lenguaje natural, en algunos casos el conectivo y tiene asociada unanoción de temporalidad. Por ejemplo: Anoche comí una manzana y me fui aacostar. En este caso está implícito que primero comí la manzana y despuésme fui a acostar.

La Disyunción 1.3.3

La disyunción es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q formauna nueva proposición llamada la disyunción de p y q , la cual es falsa si y sólo siambas, p y q son falsas. La disyunción de p y q se lee p o q y se denotasimbólicamente por p ∨ q.



Disyunción de p y q (p ∨ q) p o q

Tabla 1.5: Representación de la disyunción.

p q (p ∨ q)

V V V

F V V

V F V

F F F

Tabla 1.6: Tabla de verdad de la disyunción.

.

Vemos que para toda afirmación p, independientemente de lo que afirma, la propo-sición (p ∨ ¬p) es siempre verdadera. El hecho de que (p ∨ ¬p) sea una tautología, seconoce como la regla del tercero excluido.

EjemploDeterminar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) Las vacas vuelan o los pájaros tienen plumas.

b) La nieve es blanca o las estrellas brillan.

Solución: En el caso a) la proposición está formada por dos proposiciones:“las vacas vuelan” y “los pájaros tienen plumas”. Como “las vacas vuelan” esfalso pero “los pájaros tienen plumas” es verdadero, estamos en la situaciónde la tercera línea de la tabla de verdad y obtenemos que la proposición origi-nal es verdadera. En el caso b) la proposición está formada por dos proposi-ciones: “la nieve es blanca” y “las estrellas brillan”. Como “la nieve es blanca”es verdadera y “las estrellas brillan” también lo es, estamos en la situación dela primera línea de la tabla de verdad y obtenemos que la proposición originales verdadera.

Si retomamos los ejemplos del comienzo de esta sección, a saber:


Ejemplo

a) En la promoción de un restaurante se ofrece un menú fijo con plato deentrada, plato principal y café o postre.

b) En la promoción de un seguro de salud se dice que cubre hospitalizaciónen caso de enfermedad o accidente .

Ambos ejemplos parecen tener la misma estructura, representada por la disyunciónde dos proposiciones, pero esto no es así. En el ejemplo a) el o que aparece es excluyen-te, pues nuestra alternativa consiste en escoger entre café o postre, pero no ambos. Encambio en el ejemplo b), el o que aparece es incluyente, porque la póliza cubrirá hospita-lización en caso de enfermedad, en caso de accidente o en ambas. En el diario vivir sólopodemos deducir de cual o se trata por el contexto de la frase; sin embargo, en lógicasiempre se interpreta como un o incluyente a menos que se especifique lo contrario. El oincluyente que une dos proposiciones para formar una tercera proposición, se lee comoy/o.

El Condicional 1.3.4

El condicional es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q formauna nueva proposición llamada el condicional de p y q (en ese orden), la cual es falsasi y sólo si p es verdadera y q es falsa. El condicional de p y q se lee si p entonces qy se denota simbólicamente por (p → q) y p se llama el antecedente y q se llama elconsecuente.


Implicación de p a q (p → q) Si p entonces q.

Tabla 1.7: Representación del condicional

Para ver la tabla de verdad de este tipo de proposiciones, analicemos la siguientesituación: “En una ocasión una profesora afirmó que a los alumnos que traían la tarea laclase siguiente les subiría en un punto la nota de taller.” En este caso p es si traes latarea la próxima clase y q es tendrás un punto más en la nota del taller. Recordemosque toda proposición siempre es verdadera o es falsa. En este caso, ¿cuándo un alumnopodría afirmar que la profesora mintió?

Vemos que esto se da solamente cuando un alumno trae la tarea y no se le sube lanota de taller, es decir, cuando p es verdadero y q es falso.


p q (p → q)

V V V

F V V

V F F

F F V

Tabla 1.8: Tabla de verdad del condicional.

Luego, la tabla de verdad del condicional está dada por:

A partir de la tabla podemos rescatar que una proposición condicional es falsasolamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

EjemploDeterminar el valor de verdad de las siguientes proposiciones referidas a laspersonas:

a) Si tiene 50 años entonces es mayor de edad.

b) Si es gordo es flojo.

c) Si es madre es mujer.

d) Si es hombre es padre.

Solución: En el primer ejemplo vemos que no puede darse el caso que elantecedente: tiene 50 años sea verdadero y que el consecuente: es mayorde edad sea falso, por lo tanto la proposición es verdadera. En el segundoejemplo, podría darse el caso de que el antecedente sea verdadero y el con-secuente falso, por lo tanto la implicación no es verdadera. El ejemplo c) essimilar al a) y por la misma razón es verdadero. En el ejemplo d) puede darseel caso de ser hombre pero no ser padre y por lo tanto, la proposición es falsa.

Otras maneras usuales de traducir “Si p entonces q ” son las siguientes:

p es suficiente para que se cumpla q.

De p se obtiene q.

p implica q.

q se cumple cada vez que p se cumple.


El orden de las proposiciones no influyen en los casos de la conjunción y de la dis-yunción, es decir, “p y q ” tiene el mismo significado que “q y p ” y lo mismo para el o yel si y sólo si, pero con la implicación no pasa lo mismo. A partir del condicional (p → q)podemos formar nuevos condicionales. La siguiente tabla muestra todas las posibilidadescon sus nombres respectivos:

Nombre Forma Ejemplo

Condicional de (p → q) Si p entonces q Si nieva entonces hace frío

Converso de (p → q) Si q entonces p Si hace frío entonces nieva

Inverso de (p → q) Si no p entonces no q Si no nieva entonces no hace frío

Contrapositivo de (p → q) Si no q entonces no p Si no hace frío entonces no nieva

Tabla 1.9: Tipos de condicionales

Así, si el condicional es: “Si es madre es mujer”, el converso es “Si es mujer es madre”,el inverso es “Si no es madre no es mujer” y el contrapositivo es: “Si no es mujer no esmadre”. Con lo que ya hemos visto podemos construir la tabla de verdad de todas lasproposiciones recién mencionadas:

p q ¬p ¬q (p → q) (q → p) (¬p → ¬q) (¬q → ¬p)

F F V V V V V V

F V V F V F F V

V F F V F V V F

V V F F V V V V

Tabla 1.10: Tabla de verdad para cada tipo de condicional


El Bicondicional 1.3.5

El bicondicional es un conectivo binario que a partir de las proposiciones p y q formauna nueva proposición llamada el bicondicional de p y q, la cual es verdadera siempre ycuando p y q tengan el mismo valor de verdad. El bicondicional de p y q se lee p si ysolo si q y se denota simbólicamente por p ↔ q:


Implicación de p a q (p ↔ q) p si y sólo si q.

Tabla 1.11: Representación del bicondicional

La tabla de verdad del bicondicional está dada por:

p q (p ↔ q)

V V V

F V F

V F F

F F F

Tabla 1.12: Tabla de verdad del bicondicional.

Ejercicio Si p y q representan dos proposiciones, entonces utilizando conectivos,represente las siguientes las siguientes proposiciones:

a) p sin embargo q

b) p es falso.

c) Al menos p o q

d) p y además q

e) p es necesario para q

f) ni p ni q

g) p a menos que q

h) A pesar de p, q

i) p siempre y cuando q

j) p es suficiente para q

k) q no obstante p

l) A lo más p o q

Equivalencia LógicaNotemos que en la tabla 1.10 la quinta y la octava columna son iguales y


también la sexta y la séptima son iguales entre sí. Decimos que dos proposi-ciones son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad.Por lo tanto, una proposición condicional y su contrapositiva son lógicamenteequivalentes.

Las proposiciones lógicamente equivalentes son muy importantes porque como tie-nen los mismos valores de verdad, cuando deseamos demostrar una, nos basta condemostrar la que es lógicamente equivalente a ella.

EjemploDada la proposición “Si Madrid es la capital de España entonces Londres es lacapital de Francia”, escriba su converso, inverso y contrapositivo. Determineel valor de verdad de cada una de ellas y de la original. ¿Hay algún par deellas lógicamente equivalentes?

Solución:

El converso es: Si Londres es la capital de Francia entonces Madrid esla capital de España.

El inverso es: Si Madrid no es la capital de España entonces Londres noes la capital de Francia.

El contrapositivo es: Si Londres no es la capital de Francia entonces Ma-drid no es la capital de España.

La proposición original es falsa pues su antecedente es verdadero y su con-secuente es falso.

El converso es verdadero porque su antecedente es falso y su consecuentees verdadero.

El inverso es verdadero porque su antecedente es falso y su consecuentetambién lo es.

El contrapositivo es falso porque el antecedente es verdadero y su conse-cuente es falso.

La proposición es lógicamente equivalente a su contrapositivo y la conversaes lógicamente equivalente a la inversa.

Por lo visto anteriormente ¬¬p es lógicamente equivalente a p, veamos que pasa al ne-gar proposiciones de otras formas. En efecto, la afirmación “ no es cierto que yo no estoymintiendo” es equivalente a la afirmación “ yo estoy mintiendo”.


Tenemos que (p ∧ q) es verdadera si ambas p y q son verdaderas, por lo tanto paraque ¬(p ∧ q) sea verdadera basta que al menos una de ellas p o q sea falsa, o seauna de ellas ¬p o ¬q sea verdadera. Por lo tanto ¬(p ∧ q) es lógicamente equivalente a(¬p ∨ ¬q). Por ejemplo, la afirmación “ no es verdad que el restaurante sea malo y caro ”es equivalente a “ el restaurante no es malo y/o no es caro”.

Otra forma de verlo es que para que la negación de (p ∧ q) sea verdadera es nece-sario que si p es verdadera entonces q necesariamente debe ser falsa, es decir se debecumplir que (p → ¬q) sea verdadera. Por otra parte si (p → ¬q) es verdadera, entoncesp es falsa y/o ¬q es verdadera . Por lo tanto ¬(p ∧ q) es equivalente a (p → ¬q).

Análogamente, (p ∨ q) es falsa si ambas, p y q son falsas, por lo tanto para que¬(p ∨ q) sea verdadera, ambas, p y q deben ser falsas, o sea, ¬p y ¬q deben ser ambasverdaderas. Por lo tanto ¬(p ∨ q) es lógicamente equivalente a (¬p ∧ ¬q). Por ejemplo laafirmación “ no es cierto que la póliza cubre hospitalización por enfermedad o accidente”es equivalente a decir “ la póliza no cubre hospitalización por enfermedad y no cubrehospitalización por accidente”.

Tenemos que (p → q) es falsa si p es verdadera y q es falsa, por lo tanto para que¬(p → q) sea verdadera, ambas, p y ¬q deben ser verdaderas. Por lo tanto ¬(p → q) eslógicamente equivalente a (p ∧ ¬q). Por ejemplo, la afirmación “no es cierto que si songemelos, son iguales” es equivalente a “son gemelos y no son iguales ”

Por último (p ↔ q) es verdadera si ambas p y q tiene el mismo valor de verdad, porlo tanto ¬(p ↔ q) es verdadera si p es verdadera y q es falsa o si p es falsa y q esverdadera. Vemos así que ¬(p ↔ q) es lógicamente equivalente a (p∧¬q)∨ (¬p∧ q) Porejemplo, la afirmación “ es cantante siempre y cuando tenga buena voz” es falsa si y sólosi “es cantante y no tiene buena voz ”y/o “no es cantante y tiene buena voz ”

EjemploUsando tablas de verdad demuestre que ¬(p ∧ q) es lógicamente equivalentea (p → ¬q) y ¬(p ↔ q) es lógicamente equivalente a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

Solución:

p q ¬p ¬q (p ∧ q) ¬(p ∧ q) (p → ¬q)

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V


p q ¬p ¬q (p ↔ q) (p ∧ ¬q) (¬p ∧ q) (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ¬(p ↔ q)

V V F F V F F F F

V F F V F V F V V

F V V F F F V V V

F F V V V F F F F

Ahora podemos determinar si algunos argumentos son verdaderos. Recordemos quepara que esto ocurra, es necesario que si todas las premisas son verdaderas la con-clusión también debe serlo. Notemos que de acuerdo a esta definición a partir de unapremisa falsa se puede concluir correctamente cualquier afirmación. Por ejemplo, pormedio de un argumento correcto, a partir de la premisa “1=0 ” podemos deducir que “yosoy un gato ”. Considere el siguiente argumento: Si 1 = 0 entonces 1 + 1 = 0 + 1 por lotanto 2 = 1 . Mi gato Balú y yo somos dos seres vivos, pero 2 = 1 somos el mismo ser.

EjemploDetermine si el siguiente argumento es verdadero.

Si el mayordomo cometió el crimen, sus manos le tiemblan.

El mayordomo respondió las preguntas del policía a pesar de estar ner-vioso.

Al mayordomo le tiemblan las manos cuando está nervioso.Por lo tanto, el mayordomo cometió el crimen.

Solución: Sean

p: el mayordomo cometió el crimen.q: el mayordomo le tiemblan las manos.r : el mayordomo respondió las preguntas del policía.t : el mayordomo está nervioso.Las premisas serían: (p → q), (r ∧ t), (t → q) y la conclusión p.

Para resolver el problema podríamos construir una tabla de verdad y verificarsi en todos los casos en los cuales todas las premisas son verdaderas laconclusión también lo es. Otra forma es analizar los casos en los cuales laspremisas son verdaderas y determinar si en alguno de ellos la conclusiónpuede ser falsa.


Como intervienen 4 proposiciones básicas, una tabla de verdad para estecaso requiere de 16 filas así que seguiremos el segundo camino.

Si (r ∧ t) es verdadera, entonces t es verdadera y por lo tanto q también lo esya que (t → q)es verdadera.

Pero si q es verdadera, (p → q) es siempre verdadera independientementedel valor de verdad de p. Vemos que si q, r y t son verdaderas, las premisasson todas verdaderas aunque p sea falsa. Por lo tanto el argumento no escorrecto, es una falacia.

Ejemplo

Si el profesor Jirafales la deja, doña Florinda se tira al tren.

Doña Florinda se tira al tren siempre y cuando don Ramón pague la renta.

Por lo tanto, si don Ramón no paga la renta, el profesor Jirafales no deja adoña Florinda.

Solución: Sean

p: el profesor Jirafales deja a doña Florinda.q: doña Florinda se tira al trenr : don Ramón paga la renta.

Las premisas son (p → q) y (q ↔ r ) y la conclusión (¬r → ¬p)

Construyamos la tabla de verdad

p q r ¬r ¬p (p → q) (q ↔ r ) (¬r → ¬p)

V V V F F V V V

V V F V F V F F

V F V F F F F V

V F F V F F V F

F V V F V V V V

F V F V V V F V

F F V F V V F V

F F F V V V V V


Vemos que (¬r → ¬p) es falsa sólo en la segunda y cuarta fila, pero en lasegunda fila (q ↔ r ) es falsa y en la cuarta fila (p → q) es falsa, por lo tanto elargumento es correcto.

También se puede resolver sin usar tablas de verdad, tenemos que(¬r → ¬p) es falsa si y sólo si ¬r es verdadera y ¬p es falsa, o sea r es falsa y pverdadera.

Pero en ese caso, si la premisa (p → q) es verdadera, entonces necesariamente qtendría que ser verdadera por lo tanto la otra premisa, (q ↔ r ) tendría que ser falsa.

Vemos entonces que no pueden ser ambas premisas verdaderas y la conclusión falsa.

Diagramas de Venn 1.3.6

En esta parte nos concentraremos en proposiciones que afirman una cierta relaciónentre dos categorías de objetos, por ejemplo: “Todos los gatos son mamíferos”. Aquítenemos la categoría de ser gato y la de ser mamífero, y estamos afirmando que laprimera categoría está completamente contenida en la segunda. Para estudiar este tipode proposiciones usaremos dos conceptos fundamentales, a saber: concepto de conjuntoy de diagrama de Venn.

Un conjunto es una colección de objetos y un elemento del conjunto es un objetoque vive dentro de él. Por ejemplo, si el conjunto son los meses del año, entonces suselementos son cada uno de los doce meses, a saber, Abril es un elemento del conjunto.Si el conjunto son los números naturales, entonces el 2 sería un elemento del conjunto.En estos dos ejemplos, el primer conjunto es finito mientras que el segundo es infinito, esdecir nunca terminaremos de decir todos sus elementos. Los conjuntos los denotamosentre {, }. Así nuestro primer conjunto sería:

A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre,Noviembre, Diciembre}y el segundo

N = {1, 2, 3, 4, · · · }.También podemos tener el conjunto de los números enteros:

Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }.El lógico inglés John Venn (1834-1923) creó una forma simple y visual para describir

relaciones entre conjuntos, utilizando círculos para denotar los conjuntos. Este método esahora conocido como los diagramas de Venn. Es fácil entenderlo a través de ejemplos:


Ejemplos

Veamos el ejemplo original con que partimos: Todos los gatos son ma-míferos.

Figura 1.2: Diagrama de Venn para Todos los gatos son mamíferos

Los círculos están encerrados en un cuadrado que representa nuestrouniverso de trabajo, que en este ejemplo son los animales. El diagramade la Figura 1.2 tiene tres regiones:

a) Dentro del círculo más pequeño tenemos todos los gatos.b) El círculo más grande que lo contiene, representa a los mamíferos.

La región del círculo grande sin contar el pequeño, representa a losmamíferos que no son gatos, por ejemplo: las vacas, los perros, etc.

c) La región del cuadrado fuera del círculo representa a animales queno son mamíferos. Dentro de esta región estarían por ejemplo, lasaves, los reptiles, etc.

En este ejemplo, un círculo está completamente contenido en el otro.

Grafiquemos ahora el conjunto de las aves y de los reptiles dentro deluniverso de los animales:Como vemos en la Figura 1.3 los dos círculos son disjuntos, es decir,no tienen intersección común, lo que en este caso significa que ningúnanimal puede ser simultáneamente ave y reptil.


Figura 1.3: Diagrama de Venn para el conjunto de las aves y de los reptiles.

Veamos ahora el conjunto de los médicos y el de las mujeres dentro deluniverso de los chilenos:

Figura 1.4: Diagrama de Venn para el conjunto de los médicos y el de las mujeres.

Como vemos del diagrama de la Figura 1.4, los dos círculos se inter-sectan representando en esa región los médicos que son mujeres, luegotenemos la parte de las mujeres que no son médicos y en el otro extre-mo los médicos hombres y lo que está fuera de los círculos y dentro delcuadrado, serían los hombres chilenos que no son médicos.

Estos tres ejemplos nos dicen que si A y B son dos conjuntos, tenemostres maneras diferentes en que pueden relacionarse entre ellos, a saber:

A es un subconjunto de B (Figura 1.2).A y B son disjuntos (Figura 1.3).A y B se intersectan compartiendo sólo algunos de sus elementos(Figura 1.4).


Proposiciones Categóricas

Llamamos proposiciones categóricas a las proposiciones que afirman o niegan queun conjunto esté total o parcialmente incluido en otro. Por ejemplo: “Todos los gatos sonmamíferos”. Las proposiciones categóricas tienen además una característica importante,uno de los conjuntos que aparece es el sujeto y el otro es el predicado. En nuestroejemplo, los gatos son el sujeto y los mamíferos son el predicado. Usualmente denotamospor S al sujeto y por P al predicado, entonces en el ejemplo, la proposición es de laforma:

Todos los S son P.

Las proposiciones categóricas tienen cuatro formas estándar:

Universal afirmativa: Todos los S son P.

Ejemplo:

Todos los gatos son mamíferos.

Afirma que la primera clase(la de los gatos) está contenida en la segunda(la de lomamíferos), o sea, todo miembro de la primera clase es también miembro de lasegunda(inclusión universal). En este ejemplo,el sujeto son los gatos y el predicadolos mamíferos.

Universal negativa: Ningún S es P .

Ejemplo:

Ningún reptil es ave.

Afirma que la primera clase(la de los reptiles) está totalmente excluida de la segun-da(la de las aves), o sea, ningún miembro de la primera clase es también miembrode la segunda(exclusión universal). Aquí el sujeto son los reptiles y el predicado lasaves.

Particular afirmativa: Algunos S son P.

Ejemplo

Algunas mujeres son médicos.

Afirma la existencia de una relación entre las clases, pero no universalmente, sinosólo parcialmente de algún elemento de la primera clase.Aquí el sujeto son lasmujeres y el predicado, los médicos.

Particular negativa: Algunos S no son P.

Ejemplo:

Algunas mujeres no son madres.


Figura 1.5: Diagramas de Venn para proposiciones categóricas.

Al igual que en el ejemplo anterior la relación entre las clases no es universal, afirmaque al menos un elemento de la primera clase (la de las mujeres) está excluido de lasegunda clase (la de las madres). Aquí el sujeto son las enfermeras y el predicadoson las mujeres

Diagramas de Venn para Proposiciones Categóricas 1.3.7

EjemploIdentifica la forma de las siguientes proposiciones categóricas y dibuja su dia-grama de Venn:

a) Algunos pájaros pueden volar.b) Los elefantes nunca olvidan.

Solución:

a) Podemos reescribir la proposición “Algunos pájaros pueden volar” como“Algunos pájaros son animales que vuelan”, luego es claro que tiene laforma de:


“Algunos S son P “, donde S es pájaros y P son animales quevuelan. Luego su diagrama se ve en la Figura 1.6:

Figura 1.6: Diagrama de Venn para la proposición Algunos pájaros pueden volar

b) Aquí podemos reescribir “Los elefantes nunca olvidan” como “ningún ele-fante es un animal que olvida” y por lo tanto es de la forma: “Ningún S esP ” donde S es elefante y P es animal que olvida. Luego su diagramase ve en la figura 1.7:

Figura 1.7: Diagrama de Venn para la proposición Los elefantes nunca olvidan

Podemos generalizar esta idea para trabajar con más de dos conjuntos.

EjemploRepresentar en un diagrama de Venn los conjuntos P, Q y R si se sabe que

(1) Todo R es P

(2) Ningún Q es R

(3) Algún Q es P

(4) Algún Q no es P.


Solución: Por (1), sabemos que P debe estar incluido en Q, por (2) R y Pdeben ser disjuntos, por (3) y (4) R debe tener puntos dentro de Q y fuera deQ.

Figura 1.8: Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R

Ejemplo

Identifique el tipo de las siguientes proposiciones categóricas y represéntelasen un posible diagrama de Venn .

(1) Los monos hacen trampas

(2) No todos los que hacen trampas juegan a las cartas

(3) Ningún cocodrilo hace trampa.

(4) Hay cocodrilos que juegan a las cartas.

Solución: Si M representa el conjunto de los monos, T el conjunto de lostramposos, N los que juegan a las cartas y C los cocodrilos, entonces lasproposiciones categóricas dadas tienen las siguientes formas:

(1) Todo M es T

(2) Algún T no es N

(3) Ningún C es T

(4) Algún C es N

La figura 1.9 muestra el diagrama de Venn que representa estas categorías:


Figura 1.9: Diagrama de Venn para los tramposos T, los jugadores de carta N y los coco-drilos C.

EjemploA partir de las siguientes premisas:

1) Todos los alumnos de primer año asistieron al paseo.

2) Algunos alumnos de segundo año asistieron al paseo.

3) Todos los asistentes al paseo se bañaron en la playa.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones se pueden concluir de ellas?

(a) Todos los alumnos de segundo año se bañaron en la playa.

(b) Todos los estudiantes de primer año se bañaron en la playa.

(c) Algún estudiante de segundo año se bañó en la playa.

(d) Cualquiera de los que se bañó en la playa está en primer o segundo año.

Solución: Si P representa los alumnos de primer año, S los de segundo, Qlos que fueron al paseo y B los que se bañaron en la playa entonces lasafirmaciones son de la forma

1) Todos P es Q.

2) Algún S es Q.

3) Todo Q es B.

(a) Todos S es B.

(b) Todos P es B.

(c) Algún S es B.

(d) Todo B es P o S.


Es claro que si todo P es Q y todo Q es B, entonces todo P es B, además sialgún S es Q y todo Q es B, entonces algún S es B, vemos así que tanto (b)como (c) son consecuencia de las premisas.

Un posible diagrama de Venn es

Figura 1.10: Diagrama para los alumnos de primer año P, los de segundo S, los quefueron al paseo Q y los que se bañaron en la playa B.

Es claro que en este diagrama de Venn se cumplen las premisas dadas, sin embargoni (a) ni (d) se cumplen por lo tanto no se pueden concluir de las premisas.

Los diagramas de Venn también sirven para resolver problemas de conteo.

En el siguiente diagrama, los números en cada región indican la cantidad de elemen-tos:

Figura 1.11: Ejemplo de diagrama de Venn para determinar cantidades.

Por lo tanto, hay 15 elementos que están en A pero no en B, 27 que están en B perono en A, 8 que están en A y en B y 27 que están ni en A ni en B. Por lo tanto hay 23elementos en A, 35 elementos en B y 73 elementos en total.


EjemploSobre los textos leídos por Matías, se nota lo siguiente:

a) Algunos novelistas son poetas.

b) Ningún novelista es guionista.

c) Todos los escritores nacidos en el siglo XIX son guionistas.

d) Todos los novelistas nacieron en el siglo XX.

¿Matías leyó algo de algún novelista nacido en el siglo XIX? ¿Matías leyó algode algún poeta nacido en el siglo XIX? ¿Matías leyó algo de algún escritornacido en el siglo XX que fuera simultáneamente guionista y poeta?

Solución: Partimos dibujando el diagrama de Venn, el cuadrado serán todoslos escritores y sea

A el conjunto de novelistas

B el conjunto de poetas

C el conjunto de guionistas.

D escritores nacidos en el siglo XX

E escritores nacido en el siglo XIX.

Del contexto tenemos que:

D y E son conjuntos disjuntos

a) nos dice que algún A es B

b) nos dice que ningún A es C

c) nos dice que todo E es C

d) nos dice que todo A es D

Luego el diagrama se ve en la Figura 1.12:

Figura 1.12: Diagrama de Venn para los textos leídos por Matías

Con lo cual, analizando el diagrama vemos que A y E son disjuntos, loque nos dice que Matías no leyó a ningún novelista del siglo XIX (qué pena,


¿verdad?), también vemos que B y E se intersectan, por lo tanto Matíasleyó algo de algún poeta nacido en el siglo XIX y finalmente vemos que laintersección de B con C y D no es vacía, con lo cual Matías leyó algode algún escritor nacido en el siglo XX que fue simultáneamente guionista ypoeta.

EjemploDespués de analizar una encuesta realizada a personas, donde se les pre-guntó si bebían té o café, se obtuvieron los datos graficados en la Figura 1.13:

Figura 1.13: Diagrama de Venn para la encuesta

Solución:

¿Cuantas personas tomaban café? 90 personas

¿Cuantas personas tomaban té y café? 40 personas

¿Cuantas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? 10 perso-nas

¿Cuantas personas no tomaban té? 60 personas

¿Cuantas personas no tomaban café? 30 personas

¿Cuantas personas tomaban al menos una de esas bebidas? 110 perso-nas

¿Cuantas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? 70 personas

¿Cuantas personas tomaban sólo café? 50 personas.

1.4. Razonamientos Deductivos e Inductivos 33

Razonamientos Deductivos e Inductivos 1.4

Recordemos que un argumento es un conjunto de proposiciones que llamamos premi-sas que tienen por objeto deducir una proposición que es la conclusión. En esta seccióntrataremos el problema de determinar si un argumento está bien construido, si es correc-to y si debemos o no aceptarlo. Los tipos de argumentos son de dos formas: inductivo ydeductivo. Veamos un par de ejemplos:

Argumento 1

Premisa: Las personas que saltan al aire caen en la tierra.

Premisa: Si se lanza un objeto al aire, cae en la tierra.

Premisa: Si se lanza una pelota al aire, vuelve a la tierra.

Conclusión: Todo lo que sube, debe bajar.

Argumento 2

Premisa: Todos los hombres son mortales.

Premisa: Sócrates es hombre.

Conclusión: Sócrates es mortal.

En el argumento 1 tenemos una serie de premisas, todas refiriéndose a objetos parti-culares que tienen la misma propiedad y la conclusión es una generalización que afirmaque todo objeto tiene dicha propiedad. Este tipo de argumento en el cual se generalizapara obtener una conclusión a partir de casos particulares, se llaman argumentos induc-tivos. Es una creencia popular que todo lo que sube debe bajar, sin embargo podemospensar en un cohete lanzado con suficiente velocidad, puede elevarse y nunca volver ala Tierra. Esto destaca un factor primordial de los argumentos inductivos y es que sinimportar cuán fuerte sean las premisas, ellas no pueden probar que la conclusión es ver-dadera. Evaluamos los argumentos inductivos en términos de su fuerza. Un argumentofuerte es aquel que logra que la conclusión sea convincente, a pesar que no la puedeprobar. Un argumento inductivo es débil si las premisas no logran que la conclusión seaconvincente. Por supuesto que lo que acabamos de decir es algo subjetivo, es decir, paraalgunas personas puede parecer que un argumento inductivo es fuerte y para otras no.Nótese también que la fuerza del argumento inductivo no depende de la veracidad de laconclusión. El argumento 1 es suficientemente fuerte como para haber convencido a laspersonas durante muchos siglos, pero la conclusión es falsa. Sin embargo, un argumentodébil puede tener una conclusión verdadera, por ejemplo, “las aguas del Océano Pacíficoson muy saladas porque lo digo yo” es un argumento sumamente débil cuya conclusiónes verdadera.


En el argumento 2, se parte con una premisa general sobre una condición de losseres humanos y se obtiene una conclusión sobre un ser humano en particular, es decir,estamos deduciendo una conclusión específica a partir de premisas generales, esta es laforma de los argumentos deductivos. En el caso de los argumentos deductivos es claroque si aceptamos la verdad de las premisas, en nuestro ejemplo: “Todos los hombres sonmortales” y “Sócrates es hombre”, entonces necesariamente la conclusión es correcta.Sin embargo uno no está obligado a considerar verdaderas las premisas, por ejemplo:

Argumento 3

Premisa: Todos los médicos están casadosPremisa: René es médicoConclusión. René está casado.

En este argumento, vemos que la conclusión se sigue de las premisas, sin embargola primera premisa no es verdadera.

En general, cuando se evalúa un argumento deductivo, debemos contestar dos pre-guntas:

¿La conclusión sigue necesariamente de las premisas?

¿Son las premisas verdaderas?

Podemos asegurar que la conclusión es verdadera solamente si la respuesta a las dospreguntas es SI. Más formalmente, decimos que un argumento deductivo es válido si laconclusión se obtiene necesariamente de las premisas. La noción de validez dependesolamente de la forma lógica del argumento y no de su verdad. En nuestro caso, ambosejemplos de argumentos deductivos son válidos. En el caso que un argumento deductivosea válido y sus premisas verdaderas, entonces decimos que el argumento es correcto.En nuestros ejemplos, el argumento 2 es correcto mientras que el argumento 3 no lo es.

Para evaluar argumentos deductivos, podemos utilizar los diagramas de Venn vistosen la sección anterior. Para indicar que el objeto X está en el conjunto A, asignaremos aX un punto dentro del círculo que representa a A.

Al ver el diagrama podemos concluir que X está en A e Y no está en A.

Volvamos al argumento 3. Construimos el diagrama de Venn para las premisas, te-nemos el conjunto de las personas casadas, tenemos dentro de él, el conjunto de losmédicos y simbolizamos con una X al Dr. René dentro del conjunto de los médicos (Fi-gura 1.14).

Verificamos la validez del argumento, comprobando que la conclusión está contenidadentro del diagrama de Venn para las premisas. En este caso, observamos que X estádentro del círculo de las personas casadas, demostrando que el argumento es válido.


Figura 1.14: Diagrama de Venn para las premisas del argumento 3

Argumento 4

Premisa: Todos los peces viven en el agua

Premisa: Las ballenas no son peces

Conclusión: Las ballenas no viven en el agua.

En este caso, no se trata de un individuo, si no, de un conjunto de ballenas y por lo tantodebemos representarlo con un círculo.Ambas premisas son verdaderas, sin embargo la conclusión es falsa, por lo tanto nuestroargumento no es válido, así es que debe tener algún error en su estructura lógica. Bus-quemos este error por medio del diagrama de Venn (Figura 1.15). Denotemos el conjuntode los objetos que viven en el agua con A, dentro de él tenemos el conjunto de los peces.Denotemos por X el conjunto de las ballenas, la premisa nos dice que X está fuera delconjunto de los peces, lo que nos da tres posibilidades para ubicar a X. Veamos los tresposibles diagramas:



Vemos que en dos de estos casos, la conclusión no se da, por lo tanto nuestro argu-mento es inválido.

Argumento 5

Premisa: Todos los presidentes de Chile del siglo XX fueron hombres

Premisa: Eduardo Frei Montalva fue un hombre

Conclusión: Eduardo Frei Montalva fue presidente de Chile en el siglo XX.

Consideremos como A el conjunto de los hombres y como B el conjunto de los pre-sidentes de Chile del siglo XX. Entonces la primera premisa nos dice que el conjunto Bestá íntegramente contenido dentro del conjunto A. La segunda premisa nos dice que Xque representa a Frei es hombre, es decir lo podemos ubicar en cualquier lugar dentrodel conjunto A, lo que no necesariamente dice que debe estar dentro de B, producién-dose aquí la invalidez del argumento, a pesar de que la conclusión es verdadera al igualque las premisas.


Para demostrar que un argumento no es válido, es suficiente encontrar un diagramade Venn en al cual está representado lo afirmado por las premisas, pero no se cumple loafirmado por la conclusión.

Una familia importante dentro de los argumento deductivos son los que llamamosargumentos deductivos condicionales. Por ejemplo:

Argumento 6

Premisa: Si vive en Temuco es amante de la lluvia

Premisa: Elena vive en Temuco

Conclusión: Elena es amante de la lluvia.


La característica de este tipo de argumentos deductivos es que una de las premisases un condicional, en este caso, si p denota una persona que vive en Temuco y qla persona que ama la lluvia, entonces nuestra primera premisa es de la forma: “si pentonces q ”; la segunda afirma que para la persona llamada Elena, p es verdad, yla conclusión afirma que para la persona llamada Elena, q es verdad. Es claro queeste argumento es válido. Los argumentos deductivos condicionales son de cuatro tiposlógicos, a saber:

Argumento antecedente consecuente Neg. antecedente Neg. consecuente

Premisas Si p entonces q Si p entonces q Si p entonces q Si p entonces q

p es verdad q es verdad p no es verdad q no es verdad

conclusión q es verdad p es verdad q no es verdad p no es verdad

Validez válido inválido inválido válido

Tabla 1.13: Tipos de argumentos deductivos condicionales

En todos estos casos podemos usar diagramas de Venn para demostrar los argumen-tos válidos y los inválidos, con la diferencia que en lugar de usar círculos para representarconjuntos, los usamos para representar las proposiciones p y q.Para graficar (p → q) dibujamos el círculo p enteramente dentro del círculo q des-tacando así, que cada vez que p es verdad, necesariamente q es verdad. Cuandodeseamos graficar que una cierta propiedad p es verdad para un objeto X , entoncescolocamos el objeto X dentro del círculo de p . Finalmente, verificamos si en estediagrama de las premisas está contenida la conclusión. Veamos algunos ejemplos paraaclarar estos conceptos, y también para graficar cada uno de los cuatro tipos de argu-mentos deductivos condicionales

EjemploUtilizar diagrama de Venn para demostrar la validez del argumento 6, el quecorresponde a un argumento antecedente.

Solución: Denotemos por p una persona que vive en Temuco y por q lapersona que ama la lluvia. Para graficar “si p entonces q” colocamos elcírculo de p enteramente dentro del de q La segunda premisa nos dice quep es verdad para la persona Elena, eso lo graficamos colocando a X dentrodel círculo de p.

Para verificar si en este diagrama de las premisas están contenidas en laconclusión, observamos que X está contenido en el círculo de q diciéndonosque Elena ama la lluvia. El diagrama demuestra que el argumento es válido.


Figura 1.17: Diagrama de Venn para el argumento 6

EjemploUse diagrama de Venn para verificar si el siguiente argumento que correspon-de al tipo consecuente es válido:

Premisa: Si no estudias, reprobarás el curso.

Premisa: Benjamín reprobó el curso.

Conclusión: Benjamín no estudió.

Solución: En el diagrama de Venn representado en la figura 1.12, si p corres-ponde a las personas que no estudian, q aquellas que reprueban el curso yX a Benjamín, vemos que las premisas se cumplen pero no la conclusión. Porlo tanto,s el argumento es inválido.

Figura 1.18: Diagrama de Venn para las premisas sobre Benjamín


EjemploUse diagrama de Venn para determinar si el siguiente argumento del tipo ne-gación de antecedente es válido:

Premisa: Si te gustó el libro, entonces te encantará la película.

Premisa: No te gustó el libro.

Conclusión: No te encantará la película.

Solución: Denotemos por p : “te gustó el libro” y por q : “te encantará lapelícula” y graficamos “si p entonces q”, que representa la primera premisa.La segunda premisa nos dice que p es falso para ti, lo que graficamoscolocando una X fuera del círculo p , pero no sabemos si debe estar tambiénfuera del círculo q , por lo tanto el diagrama 1.13 satisface las premisas perono la conclusión. Por lo tanto, el argumento es inválido.

Figura 1.19: Diagrama de Venn para las premisas sobre la película


EjemploUse diagrama de Venn para determinar si el siguiente argumento del tipo ne-gación del consecuente es válido:

Premisa: Si estudias, entonces aprobarás el curso.

Premisa: Reprobaste el curso.

Conclusión: No estudiaste.

Solución: Denotemos por p : “tu estudias” y por q : “aprobarás el curso”y graficamos “si p entonces q”, que representa la primera premisa. Lasegunda premisa dice q es falso para ti, es decir, graficamos una X fuera delcírculo q y como el círculo q contiene al círculo p , X queda fuera del círculop , lo que representa la conclusión. Por lo tanto el argumento es válido.

Figura 1.20: Diagrama de Venn para las premisas sobre el estudio

Observación. También son comunes argumentos inductivos con cadenas de condicio-nales, estos argumentos tienen la siguiente estructura lógica:

Premisa: Si p entonces q .

Premisa: Si q entonces r .

Conclusión: Si p entonces r .

Claramente, esta cadena de condicionales da por resultado un argumento válido.

También podemos encontrarnos con argumentos que utilizan varias de las estructurasanteriores simultáneamente.


EjemploUse diagrama de Venn para determinar la validez del siguiente argumento:

Premisa: Si hoy llueve, entonces voy a ir al cine.

Premisa: Si voy al cine no podré terminar mi tarea.

Premisa: Terminé mi tarea.

Conclusión: Hoy no llovió.

Solución: Denotemos por p : “hoy llueve”, por q : “voy al cine” y por r :“no podré terminar mi tarea”. Entonces al graficar la primera y la segundapremisa obtenemos el círculo p contenido completamente en el círculo q ,el que está enteramente contenido en el círculo r . La tercera premisa quedenota la negación de la propiedad r para mí, la graficamos con una X fueradel círculo r y por lo tanto observamos que X también está queda fuera delcírculo p , lo que representa la conclusión. Por lo tanto, el argumento esválido.

Figura 1.21: Diagrama de Venn para las premisas sobre el clima de hoy


Razonamiento Crítico en la vida diariao cómo leer el periódico 1.5

Las habilidades discutidas en las secciones anteriores son útiles en sí mismas, pero elrazonamiento crítico requiere de muchas más destrezas. El razonamiento crítico requie-re entre otras cosas, lectura cuidadosa (o escuchar en forma cuidadosa), pensamientoagudo, análisis lógico, buena visualización y cierto escepticismo. Debido a su amplio es-pectro, no podemos dar un procedimiento paso a paso, en su lugar, lo desarrollaremos através de experiencia, cuestionando y analizando cada argumento o decisión que debe-mos enfrentar. En esta sección, daremos algunas ayudas generales (indicaciones) quepodrían ser de utilidad.

Lectura cuidadosa.

El lenguaje puede utilizarse de variadas y complejas formas que requieren de unesfuerzo cuidadoso para entender. Siempre leer (o escuchar) cuidadosamente paraasegurarse que se entendió exactamente lo leído (o escuchado). Además, debemosasegurarnos que entendimos realmente lo que leímos (o escuchamos), lo que sedaba por supuesto y lo que debemos determinar.

EjemploEn un plebiscito se solicita a los ciudadanos que voten a favor o en contrade la propuesta C. La información con que cuenta la ciudadanía es lasiguiente: “Si se desea proteger los servicios sociales que se perderíanen caso de una reducción de impuestos apropiada, entonces vote contrala propuesta C”.

Solución: La decisión es difícil porque la información es confusa dadoque está planteada en términos negativos. Pero una lectura cuidadosanos dirá que votar a favor de la propuesta C significa una reducción deimpuestos pero a su vez una pérdida de servicios sociales ya logrados.

Buscar por supuestos implícitos.

Muchos argumentos reales son poco claros y se basan en términos ambiguos oen supuestos implícitos. En muchos casos el escritor (u orador) puede pensar queciertas premisas son obvias pero los lectores (u oyentes) no concuerdan.

Ejemplo“Debemos construir más cárceles porque encarcelando más criminalesva a disminuir la tasa de crímenes”.

Solución: Da la impresión de un argumento extremadamente simple por-que es muy corto, sin embargo, el argumento tiene la siguiente forma:

1.5. Razonamiento Crítico en la vida diaria o cómo leer el periódico 43

Premisa: Si encarcelamos más criminales, se reduce la tasa de crímenes.Conclusión: Debemos construir más prisiones.Mirado de esta manera, el argumento no tiene sentido, pues las premisasno dicen nada sobre construcción de cárceles. Por lo tanto, el escritor (uorador) está dando por hecho algunos supuestos implícitos, como ser:Supuesto 1: Si construimos más prisiones, entonces más criminales pue-den ser encarcelados.Supuesto 2: Si la tasa criminal disminuye, tendremos una mejor sociedad.Supuesto 3: Si una política nos lleva a tener una mejor sociedad, entoncesdebe llevarse a cabo.Ahora bien, todos los supuestos son debatibles y también la premisa delargumento, por ejemplo, podríamos argumentar que tener más prisionesrequiere además de un sistema judicial más justo, complejo y eficiente.También, que encarcelar no necesariamente significa rehabilitar, etc.En resumen, el argumento original, sólo tiene sentido si agregamos variossupuestos escondidos como premisas y todos ellos son debatibles.

Identificar el tema central

En un debate, no es simple identificar el tema central porque algunas personas pue-den estar escondiendo sus verdaderas intenciones. Afortunadamente, en general,analizando el argumento cuidadosamente podemos determinar si el tema centralestá encubierto, aunque no sepamos cuál es.

EjemploAnalizar el siguiente segmento de un editorial de un diario local:“Después del concierto realizado el Sábado pasado en el Estadio Monu-mental, es claro que el problema de estacionamientos es crítico y sin so-lución. Los asistentes al concierto estacionaron en torno a 10 manzanasde distancia, sobre las veredas, tapando accesos de casas particulares,obstruyendo el tránsito en las aceras del sector residencial y tapando gri-fos de emergencia. En vista de este problema de estacionamientos, losfuturos conciertos deberían prohibirse.”

Solución: El argumento hace referencia a una serie de problemas cau-sados por el mal estacionamiento, pero omitiendo detalles, el argumentotiene la siguiente forma:Premisa: Existen problemas de estacionamiento para conciertos en el Es-tadio Monumental.Conclusión: Futuros conciertos en ese lugar deben prohibirse.


La pregunta clave es ¿El problema de estacionamiento es razón suficientepara prohibir futuros conciertos? Después de todo, el problema de esta-cionamiento tiene posibles soluciones, entre ellas, buses de acercamien-to, nuevos lotes de estacionamiento, etc. La debilidad del argumento debehacernos sospechar si el tema central es realmente el problema de esta-cionamientos o se está haciendo uso del problema para prohibir próximosconciertos o inclusive que se trate de una queja de algunos vecinos influ-yentes del sector. Es difícil saber a ciencia cierta cual es el tema central,pero claramente no es el problema de estacionamientos.

Entender todas las opciones

Normalmente debemos tomar decisiones en aquellas situaciones en que tenemosmás de una opción: ¿qué auto comprar?, ¿qué póliza de seguro aceptar?¿quémodelo de computador me conviene?, etc. La clave en esta toma de decisiones estener claro cómo cada opción me va a afectar.

EjemploAnaliza la siguiente situación:Estoy planeando mis vacaciones con seis meses de anticipación, necesitocomprar un pasaje aéreo y las ofertas que tengo son las siguientes:

a) Una aerolínea me ofrece el pasaje por un costo de $400, pero encaso de cancelación, la devolución es de un 75 % del valor.

b) Otra aerolínea me ofrece el pasaje por un costo de $800 y devolucióncompleta en caso de cancelación.

Solución: Podemos pensar en las dos opciones como proposiciones con-dicionales:La opción a) nos dice:

Si compro el pasaje a) y voy al viaje, pago $400.Si compro el pasaje a) y no voy al viaje, pago $100.

La opción b) nos dice:

Si compro el pasaje b) y voy al viaje, pago $800.Si compro el pasaje b) y no voy al viaje, pago $0.

Es decir, me enfrento a cuatro posibilidades, claramente me conviene laopción a) si viajo, pero si no, me conviene la b), pero dado que estoyplanificando el viaje con seis meses de anticipación, es imposible prede-cir si podré o no viajar en esa fecha, por lo tanto tengo que analizar lasdiferencias considerando las dos posibilidades:

Si viajo: pasaje b) cuesta $400 más que pasaje a)

1.5. Razonamiento Crítico en la vida diaria o cómo leer el periódico 45

Si no viajo:pasaje a) cuesta $100 más que pasaje b)

¿Cuál creen que fue mi decisión?

Buscar la letra chica y la información faltante

Lo que puede parecer un gran trato sin la letra chica, podría ser nefasto con ella.Inclusive, en la letra chica, hay ocasiones en que falta información relevante. Usesu pensamiento crítico para decidir cual es la información omitida y pregunte porella.

EjemploPor Internet encontré una oferta para comprar tres libros que me interesa-ban mucho a un precio de $30 cada uno, por supuesto que me entusiasmépues el precio de ellos en cualquier librería de Santiago era por lo menosel triple. Llené la forma y envié el pedido inmediatamente. Al recibir loslibros, ellos vienen acompañados de una boleta por un total de $300. Mireacción inmediata fue de sorpresa y además de indignación, así es quesolicité una explicación.

Solución: El problema resultó ser que la forma que llené al comprarlos,tenía una letra chica que decía: “Se agregarán gastos de envío”. No so-lo me encontré con la letra chica, sino con falta de información, pues noespecificaba el valor de los gastos de envío. Terminé con mis tres librosa un precio mucho mayor, pero aprendí de qué se trata la letra chica y lafalta de información.

¿Existen otras posibles conclusiones?

Nunca debemos aceptar el primer argumento o elección que se nos propone. Inclu-sive cuando un argumento demuestra una cierta conclusión, es posible que hayanotras conclusiones que no fueron dichas. Recuerde que muchos argumentos realesson inductivos, lo que significa que la conclusión nunca es demostrada, indepen-diente de lo fuerte del argumento.


Ejercicios Propuestos 1.6

1. Escoja la mejor respuesta para las si-guientes preguntas y justifique su elec-ción:

a) Un argumento lógico siempre inclu-ye:

i) Al menos una premisa y unaconclusión.

ii) Al menos una premisa y una fa-lacia.

iii) Al menos una falacia y una con-clusión.

b) Una falacia es:

i) Una proposición que no es ver-dad.

ii) Un argumento apasionado.iii) Un argumento engañoso.

c) ¿Cuál de los siguientes no es un ar-gumento lógico?

i) Una serie de proposiciones enlas que la conclusión viene an-tes que las premisas.

ii) Una serie de proposiciones quegeneran un debate acalorado.

iii) Una serie de premisas que nollevan a una conclusión.

d) La falacia de “Apelar a la ignoran-cia”, ocurre cuando:

i) El hecho que la proposición pes verdad es utilizado para im-plicar que el opuesto de p esfalso.

ii) El hecho que no podamos pro-bar que p es verdad es utilizadopara implicar que p es falso.

iii) Una conclusión es descartadaporque la persona que la pro-puso es ignorante.

2. Considere el siguiente argumento: “Noapoyo el nuevo plan de salud propuestopor el Ministro, porque no confío en susmotivos”. ¿Cuál es la conclusión de esteargumento?

i) Yo no confío en sus motivos.ii) No apoyo el nuevo plan de salud del

Ministro.iii) El Ministro no es confiable.

3. El argumento del ejercicio 2 es un ejem-plo de:

i) Un argumento lógico bien razonado.ii) Un argumento que utiliza la falacia

del ataque personal.iii) Un argumento que utiliza la falacia

de apelar a sentimientos.

4. Considere el siguiente argumento: “Tu fal-ta de entusiasmo por el fútbol demuestraque no eres un amante de los deportes”.Este argumento es un ejemplo de:

i) Un argumento lógico bien razonado.ii) Un argumento que utiliza la falacia

de la desviación.iii) Un argumento que utiliza la falacia

de la generalización negligente.

5. Escoja la mejor respuesta para las si-guientes preguntas y justifique su elec-ción:

a) “La Matemática es entretenida” es:i) Un argumento.ii) Una falacia.iii) Una proposición.

b) Si usted conoce la tabla de verdadde la proposición p entonces ustedtambién conoce la tabla de verdadde :

1.6. Ejercicios Propuestos 47

i) Su negación.ii) Su conjunción.iii) Su disjunción.

c) Si se desea hacer una tabla de ver-dad para la proposición: p ∨ q ∨r ¿Cuántas filas serán necesarias?

i) Dosii) Cuatroiii) Ocho.

d) Dos proposiciones son lógicamenteequivalentes si:

i) Ambas tienen el mismo signifi-cado.

ii) Ambas tienen los mismos valo-res de verdad.

iii) Ambas son verdaderas.

e) Considere la proposición: “Tienesque competir si quieres ganar”. Si latraducimos a la forma p → q en-tonces q sería:

i) Tienes que competir.ii) Quieres ganar.iii) Tienes que competir si quieres

ganar.

6. Dadas las proposiciones:

a) p : 1 + 2 = 6

b) q : 8 > 5

c) r : x = 2→ x + 4 = 6.

Determine el valor de verdad de:

i) p, q, r

ii) ¬(p ∧ q)→ (p ∨ r )

iii) p → (¬r → (p ∧ p))

7. Para las siguientes proposiciones, escri-ba su converso, inverso y contrapositivo.Determine cuales son lógicamente equi-valentes.

a) Si Viviana vive en Bogotá entoncesella vive en Colombia.

b) Si el paciente está vivo, entonces élestá durmiendo.

c) Es un pingüino, entonces puede vo-lar.

d) Si vives cerca del océano, entoncesvives en Viña del Mar.

e) Ser novelista es necesario para serescritor.

8. Escriba una proposición condicional ver-dadera cuyo converso es falso.

9. Escriba una proposición condicional falsacuyo converso es verdadero.

10. Escriba una proposición condicional ver-dadera cuyo converso es verdadero.

11. Escriba una proposición condicional falsacuyo converso es falso.

12. Suponga que A representa el conjunto detodos los perros y B el conjunto de todoslos gatos, dibuje el diagrama de Venn querepresenta mejor esta situación.

13. Dibuje un diagrama de Venn que repre-senta las siguientes relaciones:

a) Veterinarios y mujeres.

b) Reptiles y mamíferos.

c) Músicos y pintores.

d) Enteros negativos y números natu-rales.

14. Dibuje el diagrama de Venn para las si-guientes proposiciones:

a) Todos los viudos son mujeres.

b) Algunos aviadores son mujeres.

c) Todos los presidentes de Chile hantenido más de 30 años.

d) Algunos mamíferos nadan.

e) Ningún perro tiene rabo.


15. Andrés, Luis, Nicolás y Francisco han si-do contratados recientemente para ven-der refrescos y golosinas en el estadioMiramar y uno de ellos se apellida Mo-ra. Cada uno de ellos vende sólo una cla-se de mercancía. Partiendo de las pistassiguientes, intente determinar el nombrecompleto de todos ellos y lo que venden.

a) Jorge, que no se apellida López, novende palomitas de maíz.

b) El que se apellida Díaz no vende nigaseosas ni caramelos.

c) Los cinco jóvenes son: Nicolás, Jor-ge, el que se apellida Soto, el que seapellida Cobos y el que vende hela-dos.

d) El apellido de Andrés no es López niCobos. Ni Andrés ni el que se ape-llida Cobos venden caramelos.

e) Ni el vendedor de maní ni el vende-dor de helados se llaman Franciscoo se apellidan Díaz.

16. Los caníbales de una cierta tribu se pre-paran para devorar a un misionero. Paraprobarle una última vez su respeto por lalibertad y la dignidad humana, los caní-bales proponen al misionero que decidaél mismo su suerte, haciendo una cortadeclaración: si es verdadera, lo serviránasado y, en caso de ser falsa, lo serviránhervido. ¿Qué debe decir el misionero pa-ra salvar su vida?

17. El matemático Raymond Smullyan es elresponsable (junto a otros) de estos pro-blemas lógicos con “Buenos ”, y “Malos”.En todos ellos, el “Bueno” siempre dicela verdad y el “Malo ” siempre miente. Enlos siguientes problemas cada uno de lospersonajes es Bueno o es Malo de mane-ra excluyente:

a) A dice “B es bueno”, y B dice “A esbueno”. ¿Qué son A y B?

b) C dice “B es malo”, y dice “A y C sondel mismo tipo”. ¿Qué es A?

18. El rey explicó al prisionero que había untigre en una habitación y una dama en laotra. Los letreros podían ser ambos ver-daderos, o ambos falsos, y también podíaser que uno fuera verdadero y el otro fal-so. El letrero de la primera habitación de-cía:“Aquí hay un tigre y el otro letrero miente”.El letrero de la segunda habitación decía:“Aquí hay una dama y el otro letrero dicela verdad”.Traducir el problema al lenguaje lógico yprobar que con estos datos, el prisione-ro puede decidir la habitación en que seencuentra la dama.

19. En el bus de turismo Puerto Natales a To-rres del Paine viajaron 28 pasajeros delos cuales 15 eran Chilenos y el resto Ale-manes. Habían 12 varones Chilenos y só-lo 3 mujeres Alemanas. ¿Cuántos varo-nes Alemanes viajaron? Entre los 28 pa-sajeros de otro bus, también Chilenos yAlemanes, el número de mujeres Chile-nas era igual al de varones Alemanes. Sihabían 10 mujeres Alemanas y el total deChilenos es 11, ¿cuántos varones Chile-nos viajaban?

20. Se realizó una encuesta televisiva a 885alumnos de enseñanza superior de la re-gión metropolitana y se encontró la si-guiente información acerca de sus gustostelevisivos:

a) 600 ven noticieros.

b) 620 ven programas deportivos.

c) 400 ven programas culturales.

d) 195 ven noticieros y programas cul-turales.

e) 190 ven programas culturales y de-portivos.


f) 400 ven noticieros y programas de-portivos.

Todos ven al menos uno de estos trestipos de programas. ¿Hay algún alumnoque vea los tres tipos de programas?.

21. En los siguientes argumentos, decida sise trata de argumento deductivo o induc-tivo:

a) Veo a la misma señora salir del edifi-cio todos los días a las 8:00 hrs. Elladebe vivir en el edificio.

b) Si pongo mucho peso en la male-ta de mi auto, las ruedas traseraschirrean. Si las ruedas traseras chi-rrean, me da dolor de cabeza. Por lotanto, si cargo mucho la maleta demi auto, me da jaqueca.

c) Las últimas cuatro veces que fui alcentro en auto, el tráfico estaba pe-sadísimo el Martes y liviano el Sába-do. El tránsito en días de semana esmucho más pesado que en los finesde semana.

d) Los estudiantes que han hecho to-dos los problemas en el curso deMatemática, han aprobado. Yo hehecho todos los problemas, así esque tengo que aprobar.

22. Discuta la veracidad de las premisas y lafuerza de los siguientes argumentos in-ductivos:

a) Bach, Beethoven, Brahms, Berliozy Britten son grandes compositores.Por lo tanto los compositores cuyoapellido comienza con B son gran-diosos.

b) Los Toyotas son autos Japonesesque tienen muy buen rendimien-to de combustible. Los Suzuky sonautos Japoneses que tienen muybuen rendimiento de combustible.

Los Subarus son autos Japonesesque tienen muy buen rendimiento decombustible. Por lo tanto, todos losautos Japoneses tienen muy buenrendimiento de combustible.

c) El calentamiento mundial aumentóen la década de los años 80. El ca-lentamiento mundial aumentó en ladécada de los años 90. Podemosesperar que el calentamiento mun-dial siga aumentando durante la pri-mera década del año 2000.

23. Dadas las siguientes premisas, determi-ne cuál (cuales) de las conclusiones pro-puestas no son necesariamente ciertas.En ese caso justifique mediante un dia-grama de Venn.

Premisas.

Todos los artistas son pobres.

Para ser físico hay que titularse en la Uni-versidad.

Algunos matemáticos son artistas.

Ningún titulado de la Universidad es po-bre.

Conclusiones propuestas.

a) Algunos matemáticos no son físicos

b) Algunos físicos no son matemáticos

c) Los físicos son pobres.

d) Algunos matemáticos no son po-bres.

24. Dadas las siguientes premisas:

a) Todos los alumnos de Educaciónson inteligentes.

b) Las personas que no saben leer ale-mán, no aprecian a Kafka.

c) Algunos alumnos de Educación sa-ben alemán.

Y las siguientes conclusiones:


a) Algunas personas que saben ale-mán son inteligentes.

b) Algunos alumnos de Educaciónaprecian a Kafka.

c) No todas las personas inteligentesson alumnos de Educación.

Frente a cada conclusión, decida si es ono consecuencia lógica de las premisas yjustifique mediante diagramas de Venn.

25. Decida si los siguientes son o no argu-mentos correctos y justifique (sacados dela obra de Lewis Carroll).

a) Un hombre prudente rehuye las hie-nas. Ningún banquero es impruden-te. Por lo tanto, ningún banquero de-ja de rehuir las hienas.

b) Ningún pájaro, excepto los pavosreales, se pavonea de su cola. Algu-nos pájaros que se pavonean de suscolas no saben cantar. Por lo tanto,algunos pavos reales no saben can-tar.

c) Todos los leones son feroces. Algu-nos leones no beben café. Por lotanto, algunas criaturas que bebencafé son feroces.

26. Se proponen pares de proposiciones co-mo premisas. Encuentre una conclusiónpara que el argumento sea correcto.

a) Ningún producto que ha sido vendi-do por nosotros está contaminado.Los productos no vendidos por no-sotros son poco confiables.

b) Ningún chileno que ha nacido antesde 1970 está fuera del RegistroElectoral. Los chilenos que no hannacido antes de 1970 son ciudada-nos con menos responsabilidad po-lítica.

c) Ningún enfermo que ha acudido aeste consultorio ha dejado de reci-bir atención médica. Los enfermosque no han acudido a este consul-torio son mal atendidos.

d) Ninguna mujer tiene depresión postparto si tiene hijos sanos. Todas lasmujeres en el programa de atenciónmaterno-infantil tienen hijos sanos.

27. Busque en la prensa escrita un ejemplode cada una de las falacias tratadas eneste capítulo.

28. Lea cuidadosamente los extractos y res-ponda las preguntas a continuación.

Extracto 1 “Esta propuesta merece un deba-te serio, pero la obstinación a pesar deesta propuesta obliga al gobierno a decirque se acabaron las marchas estudian-tiles por la Alameda.”–Rodrigo Hinzpeter, Ministro del Interior,en relación con las manifestaciones es-tudiantiles.Fuente: latercera.com. Las razones del go-bierno para no autorizar las marchas de losestudiantes. 03/08/2011.

a) ¿Cuál es la estructura argumentati-va (premisas y conclusión)?

b) ¿Cree usted que el ministro incurreen alguna falacia?

c) ¿Qué supuestos implícitos contieneel argumento?

Extracto 2 La mujer más rica del mundo, laaustraliana Gina Rinehart, heredera delimperio construido por su padre, se burlóde “los envidiosos” que pasan más tiem-po bebiendo que trabajando y pidió algobierno que disminuya el salario míni-mo para atraer más inversiones.Fuente: emol.com. Mujer más rica del mun-do a los envidiosos: “Dejen de beber y tra-bajen”. 30/08/2012.


a) ¿Cuál es la estructura argumentati-va?

b) ¿Incurre Rinehart en alguna fala-cia?

c) ¿Qué supuestos implícitos hay ensu argumentación?

Extracto 3 – Publicidad en los alimentosSeñor Director:El proyecto de ley que regula la pu-blicidad de los alimentos poco saluda-bles que se envió al Congreso, se diri-girá principalmente a los menores de 14años, estableciendo que la propagandaen radio y televisión sólo se podrá reali-zar entre 22.00 y 6.00 horas.Esta iniciativa está destinada al fracaso,y una vez más nuestras autoridades in-tentan tapar el sol con un dedo.Un claro ejemplo de ello podría ser todala regulación en torno al consumo de ci-garrillos; se fuma en menos lugares, pe-ro se fuma igual.También ha sido un fracaso la regulaciónde la publicidad del consumo de alcohol,que la restringe al horario nocturno detelevisión: el consumo excesivo y los ac-cidentes se mantienen.[...]Fuente: latercera.com. Correos de los Lec-tores. 11/03/2012.

a) ¿Cuál es la estructura argumentati-va?

b) ¿Incurre en alguna falacia el autor?c) ¿Cuál cree usted que es el tema

central de la carta?

Extracto 4 “En Chile, si no se da una partici-pación real de la ciudadanía y de los ac-tores representativos que permita ir ge-nerando consenso de hacia donde vael país en su desarrollo eléctrico, van acontinuar los conflictos, por lo tanto, elsector empresarial seguirá con sus pro-yectos paralizados, porque la gente va adefender sus derechos, tanto en la víaadministrativa como la judicial”

–Representantes de la Comisión Ciuda-dana Técnico-Parlamentaria de Energía(CCTP).Fuente: elcuidadano.cl. Piden que no se le-gisle más a favor de las inversiones eléctri-cas. 30/08/2012.

a) Identifique las proposiciones en elargumento.

b) Exprese el extracto utilizando letraspara las proposiciones (p, q, etc.) yconectivos lógicos (condicional →,negación ¬, etc.).

c) ¿Cuáles son los supuestos implíci-tos en su argumentación?

Extracto 5 “La nuestra no es una campañade decir “no” porque sí, sino que porquetenemos una mejor alternativa, y no sólopor el punto de vista de la energía paralos chilenos, sino también por una mejoropción de desarrollo para la Patagonia”.–Antonio Horvath, senador RN, en rela-ción al proyecto Hidroaysén.Fuente: elmostrador.cl. Horvath (RN): “Tene-mos una mejor alternativa de desarrollo parala Patagonia”. 25/05/2011.

a) ¿Qué habría que considerar paraafirmar que la propuesta del sena-dor es una “mejor” opción? ¿Qué in-formación sería necesaria?

29. Estudie los siguientes avisos publicitarios(1.22a, 1.22b, 1.22c, 1.22d). Para cadauno de ellos responda:

a) ¿Cuáles son las premisas presenta-das?

b) ¿Cuál es la conclusión esperada porel anunciante?

c) Con lo anterior, ¿es correcto el argu-mento? Si no, ¿con qué falacia po-dría relacionarse?

d) Identifique supuestos implícitos enel argumento. ¿Por qué cree ustedque el anunciante utiliza estos su-puestos?


(a) (b)

(c) (d)

Figura 1.22: Figuras para el problema 29

razonamiento cuantitativo cap01

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