raciocÍnio lÓgico análise combinatória prof. walter sousa

RACIOCÍNIO LÓGICO Análise Combinatória

PROF. WALTER SOUSA

Análise Combinatória

A análise combinatória preocupa-se com o estudo do número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento.

A partir de um conjunto A com n elementos, estuda-se as possibilidades de formação de agrupamentos diferentes, com p elementos escolhidos entre as n possibilidades.

Arranjos, Permutações e Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares.

FATORIAL (!)

Dado um número natural n>1, definimos fatorial de n, representado por n!, (leia fatorial de n) como sendo o produto de 1 até n.

Forma:

Exemplos:

6123!3

12012345!5

123)2()1(! nnnn

OBSERVAÇÕES

a) 1! = 1b)Exemplos:

c) 0! = 1 demonstração

)!1(! nnn

56!6

!678

!6

!8

7201206!56!6

!01

!01!1

)!11(1!1

1)!1(!

ndosubstituinnnn

Exemplo Calcule

Outra forma

356

567

!4123

!4567

!4!3

!7

!4!3

!7

351234

4567

1234!3

!34567

!4!3

!7

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM

1) Princípio multiplicativo (e): Regra do produto

Se um evento ocorre em etapas, independentes e sucessiva, o número de possibilidades para o evento é igual ao produto das possibilidades das etapas que compõe o acontecimento.

Total:

P1, P2, P3, ....,Pn são as possibilidades das etapas.

PPPP n

321

EXEMPLO 1

Se uma pessoa dispõe de três calças e duas blusas, de quanto modos distintos uma pessoa poderá escolher uma calça e um blusa, para ir a uma festa?

Solução : árvore de possibilidades

TOTAL = 6 possibilidades

Escolha de calça e blusa

B1

C1

C2

C3

B1

B2

B1

B2

B1

B2

C1B1

C1B2

C2B1

C2B2

C3B1

C3B2

EXEMPLO 1 Solução: Quadro de possibilidades das etapas.

C B 3 2

Total: 3 x 2 = 6 possibilidades

EXEMPLO 2

Uma moeda é lançada 03 vezes. Qual é o número de resultados possíveis?

EXEMPLO 2 São três etapas: lançar a moeda a primeira vez, a segunda vez e pela terceira vez.Cada etapa são 2 possibilidades: cara ou coroa

2 2 2

Total: 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades

EXEMPLO 3

Há oito finalistas em um prova de natação, sendo 3 deles brasileiros. Responda:

a) Qual o número de possibilidades para os três primeiros lugares?

b) Qual o número de possibilidades para os três primeiros lugares, de modo que não haja brasileiro medalhista?

c) o número de possibilidades para os três primeiros lugares, de modo que pelo menos um brasileiro seja medalhista?

EXEMPLO 3 a) São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 8 possibilidades

2⁰ colocado: 7 restantes 3⁰ colocado: 6 restantes

1⁰ 2⁰ 3⁰

8 7 6


EXEMPLO 3 b) São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 5 possibilidades (apenas estrangeiros)


1⁰ 2⁰ 3⁰

5 4 3


EXEMPLO 3 c) Pelo menos um brasileiro medalhista: 1 , 2 ou 3 Negação: nenhum brasileiro medalhista: 60 casos.

3 3 6 60

Total: 336 - 60 = 276 possibilidades

EXEMPLO 4

Quantas placas de veículos, com três letras e quatro números, podem ser formadas no sistema atual de emplacamento?

EXEMPLO 4 RESOLUÇÃOa) São três etapas para as letras do alfabeto: A, B, C, ... , Z

(26 letras possíveis para cada etapa)b) São quatro etapas para os números: 0, 1, 2, ..., 9.

(9 algarismos do sistema decimal para cada etapa)

L L L N N N N 26 26 26 10 10 10 10

Total = 26x26x26x10x10x10x10 = 175.760.000 placas

EXEMPLO 5

(CESPE/ANAC) Julgue: O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.

EXEMPLO 5 RESOLUÇÃO São três etapas: Origem, Escala e Destino 1ª Origem: 3 possibilidades

2ª Escala: 4 possibilidades 3ª Destino: 7 possibilidades

1ª 2ª 3ª

3 4 7

Total: 3 x 4 x 7 = 84 possibilidadesitem CERTO (84 é múltiplo de 12)

EXEMPLO 6

(ANEEL 2006/ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:a) 24.360b) 25.240c) 24.460d) 4.060e) 4.650

EXEMPLO 6 RESOLUÇÃO a) São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 30 possibilidades


1⁰ 2⁰ 3⁰

30 29 28

Total: 30 x 29 x 28= 24.360 possibilidades

EXEMPLO 7

(CESPE/BB-2009) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir.(1) O total de possibilidades distintas para as três

primeiras colocações é 58.(2) O total de possibilidades distintas para as três

primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.

(3) Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24.

EXEMPLO 7 item (1)

Equipes A, B, C, D e E(1) O total de possibilidades distintas para as três

primeiras colocações é 58.São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 5 possibilidades


5 4 3

Total: 5x4x3 = 60 item: ERRADO

EXEMPLO 7 item (2)

(2) O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.

São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 1 possibilidade (equipe A)


1 4 3

Total: 1x4x3 = 12 item: ERRADO

EXEMPLO 7 item (3)

(3) Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24.

São três etapas: 1⁰ , 2⁰ e 3⁰ lugares 1⁰ colocado: 4 possibilidadeS (não equipe A)


4 3 2

Total: 4x3x2 = 24 item: CERTO

EXEMPLO 8

(CESPE/ANAC) Julgue: Considere a seguinte situação hipotética. O logotipo de uma empresa aérea é constituído por 4 listras diagonais, ainda sem cores definidas. Para essa definição, a companhia aérea deseja pintá-lo sobre um avião virtual usando 5 cores diferentes, de modo que as listras adjacentes não tenham a mesma cor. Nessa situação hipotética, o número de maneiras distintas de realizar tal procedimento será superior a 300.

EXEMPLO 8 - RESOLUÇÃO

Há cinco cores disponíveis: supor A, B, C, D e E.Há 4 etapasRestrição: listras consecutivas de cores diferentes.

5 4 4 4

Total: 5 x 4 x 4 x 4 = 320Item: CERTO

EXEMPLO 9

(CESPE/ANAC) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala em C é igual a 400.

EXEMPLO 9 – RESOLUÇÃO 6 estradas distintas ligando as cidades A e B 3 ligando B e C; 2 ligando A e C. Etapas: Origem e destino em A. (ABCBA; ABCA; ACBA; ACA) A-----B B -----C C-----B B-----A

6 3 3 6 = 6x3x3x6 = 324

A-----B B-----C C-----A 6 3 2 = 6 x 3 x 2 = 36

EXEMPLO 9 – CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO 6 estradas distintas ligando as cidades A e B 3 ligando B e C; 2 ligando A e C. Etapas: origem e destino em A.

A-----C C -----B B-----A 2 3 6 = 2 x 3 x 6 = 36

A-----C C-----A 2 2 = 2 x 2 = 4

Item CERTO Total: 324 + 36 + 36 + 4 = 400

EXEMPLO 10(CESGRANRIO/PETROBRAS ) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?

EXEMPLO 10 Resolução

Há 8 cores diferentes. primeira e a última contas devem ser da mesma cor (1ª = 5ª);a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor (2ª = 4ª);duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes.

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

8 7 7 1 1 = 8 x 7 x 7 = 392

EXEMPLO 11(ESAF/MF) Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo um em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis aprovados é igual aa) 720.b) 480.c) 610.d) 360.e) 540.

EXEMPLO 11 ResoluçãoSala 1: homem = C, D, E ou F

1 2 3 4 5 6 4 5 4 3 2 1

Total: 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 480

a) 720.b) 480.c) 610.d) 360.e) 540.

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM

2) Princípio aditivo (ou)Se um evento A pode ocorrer de m modos distintos e um evento B pode ocorrer de n modos distintos e se não for possível a realização dos dois eventos em conjunto, então o número de possibilidades de ocorrência do evento A ou do evento B é a soma das possibilidades de A com as de B (m + n).

Total: m + n

EXEMPLO 12

Um casal está planejando uma viagem para um determinado destino. Existe a possibilidade de o casal escolher o transporte de por ônibus, por trem ou avião. Se existirem 3 rodovias, 1 ferrovia e 4 companhias aéreas que levem ao mesmo destino, então há quantas maneiras disponíveis para a viagem?

EXEMPLO 12 RESOLUÇÃO

Rodovias: 3Ferrovia : 1Aéreas: 4

Total: 3 + 1 + 4 = 8 maneiras disponíveis.

PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEMAGRUPAMENTOS SEM REPETIÇÕES

1) ARRANJOS SIMPLES São agrupamentos sem repetição de elementos, em

que cada grupo difere do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos no grupo. Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo simples de taxa p, a todo agrupamento de p elementos distintos, dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos no grupo. ARRANJO : ORDEM DE ESCOLHA É IMPORTANTE.(ao trocarmos a ordem, encontramos uma nova solução)

BAAB

np

BAAB

PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM

1) ARRANJOS SIMPLES

Escolher p elementos distintos (sem repetição) entre n possibilidades, em que a ordem de escolha é importante, ou seja, se trocarmos a ordem de escolha dos elementos, encontraremos uma nova solução para a questão.

Forma: leia: Arranjo de n p a p.

BAAB

)!(

!, pn

nA pn

EXEMPLO 13

a) Calcule A 3,7

210567!4

!4567!4

!7

)!37(

!7

3,7

3,7

3,7

3,7

A

A

A

A

EXEMPLO 14

Em um tribunal há 7 desembargadores, dos quais deve-se escolher 3 deles os cargos de presidente, vice-presidente e corregedor da justiça. De quantas formas distintas poderão ser escolhidos?

EXEMPLO 14 - Resolução

Supor escolhidos os desembargadores {A, B, C}, sendo A o presidente, B o vice e C o corregedor.Invertendo a ordem no grupo {C, B, A} gera uma nova solução (C presidente, B vice e A corregedor). A ordem é importante: caso de arranjo!Escolher 3 desembargadores entre 7:

formas distintas.

A 3,7

2105673,7

A

CBAABC


1) ARRANJOS SIMPLES – CÁLCULO PRÁTICO, SEM FÓRMULA

O arranjo arranjo de n p a p possui p fatores multiplicados a partir de n.

Exemplos

a)

b)

BAAB

2105673

3,7

fatores

A

909102

2,10

fatoresA


2) PERMUTAÇÃO SIMPLES

A permutação simples é um caso particular do arranjo simples, em que todos os n elementos do conjunto devem ser escolhidos .

O número total de agrupamentos é dado por

np

!!0

!

)!(

!

!

,

,

nn

nn

n

n

A

AP

nn

nnn

!nPn

EXEMPLO 15

De quantos modos distintos podemos organizar 5 pessoas em uma fila?


12012345

!5

5

5

P

P

EXEMPLO 16

Quantos anagramas podem ser formados a partir da permutação das letras da palavra PROVA?


Anagramas: Palavras com ou sem significado na linguagem, obtidas pela permutação das letras de uma palavra qualquer.

Palavra: PROVA = 5 letras.

Total = 120!55

P

EXEMPLO 17

Quantos anagramas da palavra PROVA começam com a letra P?


Começando com P, restam 4 letras.Total = P + 4 letras

Veja quadro de etapasP + 4 letras restantes1 4 3 2 1 = 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Total: 24

tesresletras

Ptan4

4241234!4

EXEMPLO 18

Quantos anagramas da palavra PROVA começam com a letra P e finalizam em A?

EXEMPLO 18 – Resolução1ª casa: Letra P (1 possibilidade)5ª casa: Letra A (1 possibilidade)Demais casas: 3 letras restantesTotal = P + 3 letras permutadas + A

Veja quadro de etapasP + 3 letras restantes A1 3 2 1 1 = 1 x 3 x 2 x 1 x 1 = 6

Total: 6

tesresletras

Ptan3

36123!3

EXEMPLO 19

Quantos anagramas da palavra PROVA apresentam as letras P e A juntas?

EXEMPLO 19 – ResoluçãoApresentam as letras P e A juntas.Em todos os problemas de permutação onde houver pessoas ou objetos que obrigatoriamente fiquem juntos, deveremos transformá-los em elemento único e colocá-los dentro de “caixas”.PA juntas (igual a únicos) dentro da caixa e a seguir devemos organizar a caixa: P2 modos.

Após, permutamos a caixa com as demais letras: 1 (caixa) + 3 letras = P4 modos.

Total:

48242!4!2

3

42

caixacaixa

PP

EXEMPLO 20

Quantos anagramas da palavra PROVA apresentam as letras as vogais em letra alfabética?

EXEMPLO 21 – ResoluçãoPalavra PROVAVogais: A e OConsoantes: P, R e V

Devemos alocar 3 consoantes em 5 espaços. Após, teremos, nos espaços restantes, apenas uma possibilidade para as vogais em ordem alfabética: A seguida de O.

A OP 1 R V 1

Resposta:

603453,5

A

EXEMPLO 22(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,a) 1112 e 1152.b) 1152 e 1100.c) 1152 e 1152.d) 384 e 1112.e) 112 e 384.

EXEMPLO 22 a)a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados;

começando com homemH1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 =

ou (princípio aditivo)

começando com mulherM1 H1 M2 H2 M3 H3 M4 H4 =

Total: 576 + 576 = 1152

57611223344

57611223344

EXEMPLO 22 b)b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas

4 homens serão permutados dentro da caixa, pois devem estar juntos. As 4 mulheres serão permutadas dentro da caixa, pois devem estar juntas. Em seguida devemos permutar as duas caixas, pois as caixas não obrigatoriamente estarão na ordem descrita.

Total:

Gabarito: C

115222424!2!4!4

244

caixasMH

PPP

EXEMPLO 23

Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5algarismos distintos obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, que posição ocupa o número 61 473?

EXEMPLO 23 - Resoluçãoalgarismos distintos 1, 3, 4, 6 e 7posição ocupada por 61.473

Começando com 1:

Começando com 3:

Começando com 4:

Começando com 6: seguido de 1 3: 2! = 2seguido de 1 4: 37 e 73 = 2 Total: 72 + 2 + 2 = 76ª

24!44

P

24!44

P

24!44

P

PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM3) Permutações circulares (PC)Nesta seção estamos interessados em determinar de quantos modos podemos dispor n objetos distintos em n lugares em torno de um círculo. A cada disposição possível chamamos de Permutação Circular. O número de permutações circulares de n objetos é indicado por PCn. Duas permutações circulares são consideradas idênticas se, e somente se, quando percorremos o círculo no sentido anti-horário a partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elementos que formam seqüências iguais.

EXEMPLO 24 De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?


PERMUTAÇÕES CIRCULARES - Fórmula

Forma: PC n = (n-1)!

Da árvore de possibilidades temos que 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular de 6 modos diferentes, ou seja, PC 4 = 6.

PC 4 = (4 – 1)! = 3! = 6 possibilidades


3) PERMUTAÇÕES CIRCULARESProvaComo o que importa é a posição relativa dos objetos, há 1 modo de colocar o 1º objeto no círculo (onde quer que o coloquemos, ele será o único objeto no círculo); há 1 modo de colocar o 2º objeto (ele será o objeto imediatamente após o primeiro); há 2 modos de colocar o 3º objeto (imediatamente após o primeiro ou imediatamente após o segundo elemento); há 3 modos de colocar o 4º objeto ( imediatamente após o primeiro ou imediatamente após o segundo ou imediatamente após o terceiro) e assim sucessivamente; existem n-1 modos de colocarmos o n-ésimo elemento. Portanto, PC n = 1 x 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) = (n-1)!

PC n = (n-1)!

Exemplo 25(ESAF/MF-2012) Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos?

a) 96b) 360c) 120d) 48e) 24

Exemplo 25 - ResoluçãoSeis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos.Transformar Presidenta e vice em único (colocar na “caixa”)Pemutação circular de 5 elementos PC 5 = (5-1)! = 4!Organizar a caixa: P2 = 2!

Total: 2! x 4! = 2 x 24 = 48 modos. Letra d)a) 96b) 360c) 120d) 48e) 24


4) COMBINAÇÕES SIMPLES

Uma combinação simples é um tipo de agrupamento, sem repetição de elementos, em que cada elemento do grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes. A ordem de escolha dos elementos não influencia o resultado, de modo que ao modificá-la não se obtém uma nova solução para a questão.

BAAB


4) COMBINAÇÕES SIMPLES - Fórmula

Escolher p elementos distintos entre n possibilidades em que a ordem não é importante.

)!(!

!, pnp

nC pn

BAAB

Exemplos 26 Escolha 4 elementos distintos entre 10, sem que seja considerada a ordem na escolha.

2101234

78910!61234

!678910!6!4

!10

)!410(!4

!10

4,10

4,10

4,10

4,10

4,10

C

C

C

C

C

COMBINAÇÃO – CÁLCULO PRÁTICO

A combinação de n p a p, possui p fatores multiplicados a partir de n, divididos por p! (fatorial de P)

35123

567

!3

567

2101234

78910

!4

78910

3

3,7

4

4,10

fatores

fatores

C

C

Exemplos 27 Determine quantos triângulos podem ser formados a partir de 7 pontos sobre uma circunferência.

Solução: Escolher 3 pontos entre 7 possíveis.A ordem importa? Não!

A

G B

F C

E D

35!4123

!4567!4!3

!7

)!37(!3

!7

3,7

3,7

3,7

3,7

C

C

C

C

A

CBAABC

EXEMPLO 28

Em um setor do TJDFT há 6 técnicos administrativos e 4 analistas. Determine o número de comissões de 5 servidores que podem ser formadas,

a) contendo 3 técnicos e 2 analistas.b)contendo 2 técnicos e 3 analistas.

EXEMPLO 28 a)

Comissão: A ordem não é importantea) contendo 3 técnicos e 2 analistas.

Escolher 3 técnicos entre 6:

Escolher 2 analistas entre 4:

Total:

20!3

4563,6

C

6!2

342,4

C

1206202,43,6

CC

EXEMPLO 28 b)

Comissão: A ordem não é importante b) contendo 2 técnicos e 3 analistas.

Escolher 2 técnicos entre 6:

Escolher 3 analistas entre 4:

Total:

15!2

562,6

C

4!3

2343,4

C

604153,42,6

CC


4) PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES

Permutação com repetição de n elementos, em que a, b, c, .... são taxas de repetições.

!!!!....,,

cba

nP

cba

n

EXEMPLO 29

Anagramas da palavra ANA.

1º) ANA* 2º) AA*N 3º) NAA* 4º) NA*A 5º) A*NA 6º) A*AN

Mas, 1º = 5º; 2º = 6º; 3º = 4º.Logo, temos apenas 3 anagramas.

32

6

!2

!32

3P

EXEMPLO 30

Anagramas da palavra MATEMÁTICA

M = 2 vezes;A = 3 vezes; T = 2 vezes.

200.151!2!3!2

!345678910

!2!3!2

!102,3,2

10

P

6) COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO

Escolher p elementos entre n possibilidades em que a ordem não é importante, mas há repetições de elementos.

Transformaremos combinação com repetição de n elementos p a p em combinação simples de n+p-1 elementos p a p.

CCR ppnpn ,1,

Exemplo 31

De quantos modos distintos um pessoa pode escolher duas bolas de sorvetes entre cinco possibilidades?

Escolher 2 bolas entre 5 possibilidades. Pode repetir sabor!

15!2

562,6

2,5 2,62,125

C

CCCR

raciocÍnio lÓgico análise combinatória prof. walter sousa

Documents