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RACCONTARE LA MATEMATICA
IL TEOREMA DI PITAGORA: UN INTRIGO MATEMATICO
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TEOREMA
è una proposizione che, a partire da condizioni iniziali
arbitrariamente stabilite (ipotesi), trae delle
conclusioni (tesi), dandone una dimostrazione
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ETIMOLOGIAproposizione, regola d’arte o di scienza, trovata e stabilita a
forza di considerazioni e investigazioni
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La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (attribuito alla scuola pitagorica)
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PITAGORA (570-500 a.C.)
Matematico e filosofo greco che fondò una scuola a Crotone in Calabria (Magna Grecia)
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Scuola Pitagorica
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LA SCUOLA PITAGORICA
A questa scuola erano ammesse anche le donne(fatto assai strano per
quell’epoca!)Era una sorta di società segreta dove venivano imposte delle regole di vita
molto rigide (ad es. erano tutti vegetariani) e dove era vietato
divulgare all’esterno le scoperte fatte all’interno della scuola
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Uno dei simboli della scuola pitagorica era il pentagono stellato
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Che relazione esiste fra numero dei lati (n)e numero delle diagonali (d) di un poligono?
PROVIAMO
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QUADRILATERO (n=4, d=2)
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PENTAGONO (n=5, d=5)
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ESAGONO (n=6, d=9)
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Quante diagonali escono da un vertice?
� Nel quadrilatero� UNA� Nel pentagono� DUE� Nell’esagono� TRE� …..
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GENERALIZZANDO
� Quadrilatero 1=4-3� Pentagono 2=5-3� Esagono 3=6-3Diagonali uscenti da un
vertice: n-3
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COMPLESSIVAMENTE
�Quadrilatero 1x4:2�Pentagono 2x5:2�Esagono 3x6:2
d=n(n-3):2
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RIASSUMIAMO CON UNA TABELLA
n n-3 d=n(n-3)/2
3 0 0
4 1 2
5 2 5
6 3 9
7
8
9
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IL TEOREMA DI PITAGORA
UNA SCOPERTA CHE CAMBIO’ LA VITA DEI PITAGORICI
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Le terne pitagoriche possono essere
primitive o derivate
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Primitive Derivate
� Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c non hanno divisori comuni
� Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc), dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d è quindi un divisorecomune dei tre numeri da, db, dc.
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Stabilisci se le seguenti terne sono pitagoriche e fra queste quali sono primitive
( 3, 4, 5) (5, 6, 7) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) (9, 12, 15) ( 8, 15, 17)
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I triangoli descritti da terne pitagoriche derivate sono sempre simili a quelle descritte dalla corrispondente terna primitiva.
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DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
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IPPASO DA METAPONTO (allievo di Pitagora)
Fece una scoperta applicando il teorema
del maestro ai triangoli rettangoli
isosceli
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LA SCOPERTA DEGLI IRRAZIONALI
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COSA SUCCESSE?� Poiché Pitagora aveva sempre sostenuto che
tutti i numeri erano interi o rapporto di interi (i razionali) la scoperta degli irrazionali non doveva essere ASSOLUTAMENTE divulgata all’esterno
� Ippaso contravvenne a questa regola e venne trovato morto in riva al mare con la stella pitagorica marchiata a fuoco sul petto (Pitagora sostenne che era stato colpito dalla furia di Giove)
� In realtà è certo che fu Pitagora stesso ad organizzare una congiura per assassinare Ippaso
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Il triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato (gli angoli acuti misurano 45°)
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Dimostrazione del teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo isoscele
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I due cateti sono uguali
� Se l=10 applicando il teorema di Pitagora avremo
� d² = 10² + 10² da cui� d = √2 . 10² = √2 . √ 10² =
10√2
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Per cui in un quadrato la diagonale è
l√2
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Un altro triangolo rettangolo particolare con gli angoli acuti di 30° e 60° (metà di un triangolo equilatero)
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Il cateto minore è metà dell’ipotenusa
Se BC=10 avremo AC=5Applicando il teorema di Pitagora: AB² = BC² - AC²Cioè AB = √100-25 = √7575 non è un quadrato perfetto per
cui:√75 = √25.3= √25.√3= 5.√3
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Per cui in un triangolo equilatero l’altezza è
l/2√3
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Occorre confezionare una tenda da sole per il balcone in figura
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La tenda deve essere fissata al muro a 3 m di altezza dal pavimento del balcone, che èlargo 1 m. La tenda deve sporgere 0,5 m dalla ringhiera che è alta 1 m
Scrivi i calcoli che fai per trovare la lunghezza
x della tenda e infine riporta il risultato
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LA GEOMETRIA FRATTALE
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LA GEOMETRIA FRATTALE E IL TEOREMA DI PITAGORA