R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1

L 24bAnalisi a molti obiettivi-esempi

Rodolfo Soncini Sessa

MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

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Esempio di problema a molti obiettivi

spazio delle alternative spazio degli obiettivi

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 +1( ) >10

J2

J1

1. Determinazione dell’insieme Z (alternative ammissibili) nello spazio delle alternative.

3. Mappatura delle soluzioni efficienti nel piano degli obiettivi: si ottiene così la frontiera di Pareto.

2. Determinazione delle soluzioni efficienti.

z2

z1

1. Determinazione dell’insieme Z nello spazio delle alternative.

Procedura di soluzione

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Determinazione dell’insieme Z

z2

z1

spazio delle alternative

Trasformo il vincolo in vincolo di uguaglianza.

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 +1( ) >10 1 2 1 10z z

Il vincolo è soddisfatto in quest’insieme.

1 2 1 10z z

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Determinazione dell’insieme Z

z2

z1

spazio delle alternative

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1 22 16z z

1 2 1 10z z

1 22 16z z

L’insieme Z delle alternative ammissibili è l’intersezione degli insiemi in cui i singoli

vincoli sono soddisfatti.

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Determinazione dell’insieme Z

z2

z1

spazio delle decisioni

Determinato l’insieme Z, bisogna individuare le alternative

efficienti.

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 +1( ) >10

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Problema a molti obiettivi

spazio delle alternative spazio degli obiettivi

J2

J1

1. Determinazione dell’insieme Z nello spazio delle decisioni.

3. Mappatura delle alternative efficienti nel piano degli obiettivi: si ottiene la frontiera di Pareto.

2. Determinazione delle alternative efficienti.

z2

z1

2. Determinazione delle alternative efficienti.

3. Mappatura delle alternative efficienti nel piano degli obiettivi: si ottiene la frontiera di Pareto.

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 +1( ) >10

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Metodi per l’individuazione della frontiera

Metodo dei pesi

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Metodo dei pesiesempio

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

min λ1 z1( )

2+λ2 z1 + z2( )

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

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Metodo dei pesi

z2

z1

21 1 20.2 0.8( )z z z k

Con λ1 = 0.2 λ2 = 0.8la funzione obiettivo è

spazio delle alternative

Con l’introduzione dei pesi λi, il problema a molti obiettivi si riduce a un problema a un solo

obiettivo.

La soluzione è il punto di tangenza tra la frontiera dell’insieme delle alternative ammissibili e la funzione obiettivo.

min λ1 z1( )

2+λ2 z1 + z2( )

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

k

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Metodo dei pesi

z2

z1

Individuato il minimo, si calcola il valore della coppia (J1,J2).

J2

J1

spazio degli obiettivi

min λ1 z1( )

2+λ2 z1 + z2( )

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

21 1 2min ,z z z

1 22 16z z

1 2 1 10z z >

Modificando i valori dei pesi λ1,λ2…

E’ una alternativa efficiente

del problema.

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Metodo dei pesi

z2

z1

Posti λ1 = 0.5 λ2 = 0.5

21 1 20.5 0.5( )z z z k

Modificando i valori dei pesiλ1, λ2 si ottengono linee di livello

differenti e quindi soluzioni differenti del problema.

k

min λ1 z1( )

2+λ2 z1 + z2( )

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

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Metodo dei pesi

z2

z1

J2

J1

Passando allo spazio degli obiettivi ..

min λ1 z1( )

2+λ2 z1 + z2( )

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

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Metodo dei pesi

z2

z1

J2

J1

min λ1 z1( )

2+λ2 z1 + z2( )

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

Al variare dei pesi λ1, λ2 si ottengono altri punti.

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

I punti così determinatiindividuano la frontiera di Pareto.

Per una soluzione numerica dell’esempio, vedi : L19c-Molti_Obiettivi.xls

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Metodi per la determinazione della frontiera

Metodo dei pesi Metodo dei vincoli

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Metodo dei vincoli

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10

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Metodo dei vincoli

z1( )

2=4

Posto L1 = 4

Il metodo dei vincoli prevede la trasformazione di un obiettivo in vincolo : il problema diventa a

un obiettivo e con tre vincoli.

z2

z1

Non potendo z1 essere negativo….

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10

z2

z1

z1( )

2≤4

L’insieme Z del nuovo problema è dato dall’intersezione delle superfici

individuate dai tre vincoli.z2

z1

Individuato l’insieme Z, bisogna risolvere il problema per trovare

le soluzioni.

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1 2z z k

Metodo dei vincoli

z2

z1

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10

La soluzione del problema coincide con lo spigolo inferiore

dell’insieme Z.

k

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Metodo dei vincoli

Individuato il minimo, si calcola il valore della coppia (J1,J2).

J2

J1

z2

z1

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10

Se si modifica il valore di L1…

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Metodo dei vincoli

Posto ad esempio L1 = 36z2

z1

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10

Il vincolo si sposta a destra..

z2

z1

..e si può così determinare il

nuovo insieme Z.

z2

z1

z2

z1

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Metodo dei vincoli

z2

z1

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10 Se si modifica il valore di

L1 si ottiene un vincolo differente e quindi una soluzione

differente del problema.

z1 z2 k

k

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Metodo dei vincoli

Passando allo spazio degli obiettivi ..

z2

z1

J2

J1

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10

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Metodo dei vincoli

z2

z1

J2

J1

Al variare del valore di L1

si ottengono altri punti.

min z1 + z2⎡

⎣⎤⎦

z1( )

2≤L1

2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10

min z1( )

2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 + z2 <16

z1 z2 1 >10

I punti così determinatiindividuano la frontiera di Pareto.

Per una soluzione numerica dell’esempio, vedi : L19c-Molti_Obiettivi.xls

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Metodi per la determinazione della frontiera

Metodo dei pesi Metodo dei vincoli

Metodo del punto di riferimento

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J2

J1

Metodo del punto di riferimento

• Preso un punto P qualsiasi nel piano (J1,J2), definiamo una misura S:

• Le linee di livello di S sono delle spezzate con vertice lungo la retta inclinata a 45° passante per R.

• Il DM sceglie un punto R nel piano.

R

P

S =max , ⎡⎣ ⎤⎦ 2 2J R

J 1 −R1

S

S

P

S

P

1 1Jz ,R RS J 2 2Jz ,R RS J max i i

iS J z ,R J R

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Metodo del punto di riferimento

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

minmax z1

( )2−R1, z1 + z2( )−R

2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

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Metodo del punto di riferimento

J2

J1

spazio degli obiettivi

1

1 R

minmax z1

( )2−R1, z1 + z2( )−R

2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

min max z1

( )2−1, z1 + z2( )−1

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

Posto R1 =1 , R2=1 il problema diventa ...

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Metodo del punto di riferimento

z2

z1

S =max z1( )

2−1, z1 + z2( )−1

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=k

La soluzione è il punto di tangenza tra la frontiera dell’insieme delle alternative ammissibili e le curve

di livello di S.

min max z1

( )2−1, z1 + z2( )−1

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

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Metodo del punto di riferimento

Individuato il minimo, si calcola la coppia (J1,J2).

z2

z1

J2

J11

1 R

min max z1

( )2−1, z1 + z2( )−1

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

Cambiando R…

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Metodo del punto di riferimento

J2

J1

z2

z1 5

2 R

min max z1

( )2−5, z1 + z2( )−2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

Posto R1 =5 , R2=2 il problema

diventa

R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 30

Metodo del punto di riferimento

z2

z1

min max z1

( )2−5, z1 + z2( )−2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

21 1 2max 5, 2S z z z k

Cambiando la posizione del punto R si ottengono curve di livello differenti e

quindi una diversa soluzionedel problema.

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Metodo del punto di riferimento

z2

z1

J2

J15

2 R

min max z1

( )2−5, z1 + z2( )−2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

Passando allo spazio degli obiettivi ..

R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 32

Metodo del punto di riferimento

J2

J1

z2

z1

Al variare della posizione del punto R si ottengono altri punti.

min max z1

( )2−5, z1 + z2( )−2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

min z1

( )2,z1 + z2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2z1 z2 16

z1 z2 1 >10

I punti così determinatiindividuano la frontiera di Pareto.

Per una soluzione numerica dell’esempio, vedi : L19c-Molti_Obiettivi.xls