r. ¿qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?
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R
¿Qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?
Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia
P
QT
S
R
R
R
O: Centro
OP=OQ=OT=OS=…:Radio
CIRCUNFERENCIA
Actividad
ACTIVIDAD
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
DiámetroAB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
interactúa
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA
Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a la recta tangente que determina dicho punto de tangencia
Recta Tangente
Radio
1.-Recta Tangente
ACTIVIDAD
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
ON : radio
DN : Diámetro
EF : Cuerda
ACTIVIDAD
P
Q
M
N
R
MQ PM PQ R MQ PM PQ R
Actividad
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si mBDmAC CD // AB :Si
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentes
Arcos congruentesLas cuerdas
equidistan del centro
mCD mAB CD AB:Si mCD mAB CD AB:Si
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro
T punto de tangencia
ET=TF
Rr
Distancia entrelos centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + rd > R + r
R r
d = R + r d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.
r
R
R r
Punto de tangencia
Distancia entrelos centros (d)
d
R
d = R - rd = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
05.-CIRCUNFERENCIAS SECANTES
Tienen dos puntos comunes
5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.
R r
( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entrelos centros (d)
5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2
Distancia entrelos centros (d)
rR
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PBAP = PB
A
B
P
R
R
ACTIVIDAD
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CDAB = CD
A
B
C
D
R
Rr
r
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CDAB = CD
A
B
C
DR
R
r
r
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.
a + c = b + d a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
= mAB = mAB
ACTIVIDAD
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos
2
mCDmAB
2
mCDmAB
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.
2
mAB
2
mAB
ACTIVIDAD
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB
2
mAB
A
BC
2
mABC
2
mABC
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
+ mAB = 180° + mAB = 180°
2
mAB - mACB
2
mAB - mACB
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
2
mBC - mAB
2
mBC - mAB
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD-mAB
2
mCD-mAB