(r) o` -...

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1-2 배리그논의 정리

여러 힘 들의 점O`(임의의)에 관한 모멘트의 총합계는 그 힘들의 합성력(R)의 같은 점 O`에 관한 모멘트와 같다는 것.

)...,,,( 21 nPPP

yyy PPR 21 +=

βαγ sinsinsin 21 PPR +=

bOOaOOcOO === βαγ sin`,sin`,sin`

∑=⋅+⋅=⋅ `21 oMbPaPcR

http://www.art-com.co.kr/online/ppt_gallery_1.htmhttp://www.art-com.co.kr/online/ppt_gallery_1.htm


(풀이) A점에 관한 모멘트

배리그논의 정리를 이용하면, P의 수직 및 수평분력을

이면, 이고,

21PM A =

HV PP ,

2/,2/ PPPP HV ==

2PllPOPlPM VHVA =⋅=⋅+⋅=

[예제 1-1] [그림 1]의 외팔보에 45° 경사된 하중이 작용할 때 고정단(fixed end)에 관한 굽힘모멘트를 구하라.

[그림1] 1



1-3 도심

두께 의 얇은 판(비중 )에서 미소면적 부분의 무게는 (그림 1-2) 가 된다. 이 미소부분의 무게에 관한 모멘트는 x축에 관해서는 임. 전체무게는 이며 x축에 관한 모멘트는 배리그논의 정리에 의해

γ

γ⋅⋅dAtdA

γ⋅⋅ tA

∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅A

ytAydAt γγ )(

ydAt )( γ⋅⋅

ytA )( γ⋅⋅

t

[그림 1-2]



⋅⋅=∴

⋅⋅=∴

∑∫

∑∫

=

=

A

Ay

A

dAyx

A

Ay

A

dAyy

n

iii

A

n

iii

A

1

1

또는

또는

yx,

∫ ⋅=⋅A

yAdAy

는 도심 G의 좌표

[그림 1-2]



[예제 1-2] [그림 2]의 삼각형단면의 도심을 구하여라( 만 구하라). y

(풀이) [그림 2] 에서 식 (1-3) 에서

dyh

yhadA )( −=

32/6/

2/

)(2

0 hahah

ah

dyh

yhay

A

dAyy

h

==

−⋅

=⋅

=∫∫

[그림 2]



[예제 1-3] [그림 3]의 도심을 구하라 (단위 : cm).

cmAA

yAyAy

cmAA

xAxAx

cmycmxcmAcmycmxcmA

2.15175100

5.221755.2100

2.5175100

5.2175101005.22)2/35(5,5.2,175

5.2,10,100

21

2211

21

2211

222

2

112

1

=+

×+×=

++

=

=+

×+×=

++

=

=+===

===

[그림 3]

[그림 3]

(풀이)



[예제 1-4] [그림 4]에서 빗금 친 부분의 도심을 구하라(단위 : cm).

=×−×+×

=−+−+

=

=×−×+×

=−+−+

=

=−+=

=⋅===×=

===×=

=+==×==×=

∑

)(18.747.139

4.353.1002968144

)(75.1047.139

853.10012968144

)(47.139

4.3834,8,53.100

28

2,12,96244

83

124,82431,144

22412

321

332211

321

332211

2321

33

2

3

222

111

cmAAA

yAyAyAy

cmAAA

xAxAxAx

cmAAAA

yxA

yxA

yxA

ππ

[그림 4]

(풀이)



1-4 짝힘(couple)

물체 S의 위치 a에 힘 P가 작용 할 때 같은 물체 내에 임의 점 O에 P와 평행한 작용선을 생각하여 점 O를 지나는 작용선상에 방향이 서로 반대되는 크기가 같은 P를 (2)처럼 생각해본다. 이때 결국 세 개의 P가 되나 이 중의 한 쌍은 짝힘이 되어 (3)과같이 점 O에는 P와 짝힘 M이 형성된다.

[그림 1-3]



[예제 1-5] 레버(lever)가 [그림 5]과 같이 힘을 받을 때 힌지(hinge) 점 O가

받는 합성력을 구하라.

각 힘을 점 O에서 하나의 힘과 모멘트로 바꾸어 놓으면 O점에는 와 가 있게 된다. 같은 크기의 모멘트가 생기므로 O점에 대한 모멘트의 합성은 영( ) 이 된다. 점 O에서의 힘의 합성력은

cmkgfPMcmkgfPM⋅=×=⋅=×=

30020,30030

22

11

21, PP21, MM

00 =∴M

)(5101512 kgfPP =−=− (왼쪽으로 향함)

(풀이)

[그림 5]



[예제 1-6] [그림 6]와 같이 외력 120kgf을 받는 부착물 S가 A,B,C에서 리벳(rivet)으로 부착되어 힘을 받고 있다. 리벳 A,B,C에 걸리는 힘을 계산하라.

[그림 6]

(풀이) 그림 (a), (b)에서 리벳군의 중심점을 먼저 찾는다. 중심을 점 B에 대한 외력 P 대신 중심인 점 B에 같은 방향, 같은 크기의 하나의 힘과 하나의 모멘트( ) 로 바꾸어 놓을 수 있다. 점 B의 힘 P는 리벳 A,B,C에 나뉘어( ), 모멘트 M에 의한 힘이 리벳 A와 C에 각 리벳마다 걸리는 힘을 대수적으로 합하면 여기서 이 결함 부분의 모든 계산은 제일 큰 힘 70kgf을 기준으로 한다.

cmkgfPM ⋅=×= 240020kgfP 403/ =

kgfPkgfPkgfP CBA 703040,40,103040 =+===−=

kgfACM 3080/2400/ ==



1-5 힘의 평형상태

여러 힘을 받는 물체가 정지하고 있을 때, 어느 방향으로나 병진 및 회전이 없으며, 다음 식을 만족

)(0

),(0

합계대수적벡터의짝힘모든

합성력은합계대수적인힘의모든

∑∑=

==

M

RPR

이것이 평형상태라고 하며, 이 식은 다음과 같이 다시 표현됨.

=

==

==

==

∑∑∑∑

0

0

0

0

Q

zz

yy

xx

M

RP

RP

RP

(1-4)

(1-5)



=

=

=

∑∑∑

0

0

0

B

A

x

M

M

P (1) 일 때는 둘째식에서 점 A를 지나고 x축에 수직인 합성력이 있을 수 있다. 또

하나의 임의 점 B가 있어서 선분 가 x축과 수직

이 아닐 땐 점 B에 대한 위의 합성력의 모멘트가 0이

되려면 (즉, )

위의 합성력이 0이 되지 않으면 안 된다.

0==⋅ ∑ BMxR(1-6)

[그림 1-4] (1)

(2) (3)

0,0,0 === ∑∑∑ BxA MPM

AB



=

=

=

∑∑∑

0

0

0

C

B

A

M

M

M(2) [그림 1-4(2)]의 경우 식 (1-7)과 같은 평형식을 표현함.

[그림 1-4] (1)

(2) (3)

(1-7)

0,0 == ∑∑ BA MM 일 때는 합성력이 점 A와 점 B를 동시에

지날수 있어서 이때도 평형이 되지 않는다.이대 또 하나의 점 C가

선상에 있지 않고 가 되려면 점 A와 점 B를 동시

에 지나는 합성력은 0이 될 수 밖에 없어서 이때는 평형상태가

된다. 다만 A,B,C는 일직선상에 있지 않아야 한다는 조건이 필요

AB ∑ = 0CM



(3)공점력(concurrent force)의 경우 의 두 식만

으로 충분하다. 또한 평형력의 경우에도 평형방정식은 두 식만으로

족하다.

즉, 이다.

예로서 [그림 1-4(3)]과 같이 세 평면력이 작용할 때 평형이 되려면

반드시 이 세힘은 한 점에서 만난다. 즉 평형을 이루는 세 힘은 한

점에서 만난다(물론 평형력은 제외). 그 이유는 [그림 1-4(3)]과 같

이 두 힘 P1, P2의 합성력 R12와 R12=P3인 P3과 같은 작용선상에 서

로 반대로 있으면 이 세 힘은 평형상태에 있는 것이고 또 한 점에서

만나고 있는 것이다.

∑∑ == 0,0 yx PP

∑∑∑ === 0),0 (,0 MPP yx 또는



1-6 자유 물체도(free body diagram)

m

n

P R R

m

n

P

(a) (b)

(a)인장력을 받는 균일 단면봉의 전체 FBD과 (b) mn단면에서의 FBD

[그림 1-5]

[그림 1-5]와 같이 외력 P가 작용하는 균일 단면봉(봉의 전 길이에 걸쳐 일정한 단면을 갖는 구조용 부재) 외력 P에 의해 봉의 내부에 발생하는 저항력을 알기위해 그림과 같이 단면 mn을 절단하여 자유물체도(free body diagram:FBD)를 그릴수 있다. FBD에서 x방향의 힘의 평형방정식을 적용시키면 이므로 고정단의 저항력 R도 구할 수 있다.

RPRPPx =∴=−=∑ 0:0



[예제 1-7] [그림7]의 정역학 문제에서 많이 취급되는 외력이 작용하는 역학계와 이 경우의 자유도를 나타낸 불완전한 FBD를 나타낸 것이다. 잘못된 점을 생각하여 보고 올바른 FBD를 그려 보아라.

[그림 7]

[그림 7]

(풀이) 1. 핀 연결부 A의 반력을 기입하지 않았다. 그림처럼 Ax, Ay를 기입하면 된다 2. 지지점 O의 반력 Ox, Oy를 기입하면 된다. 3. B점의 수평면은 거친 면이므로 면에 따라 마찰력 Bx를 기입하면 되고, A점은 매끄 러운 면이므로 Ay에는 마찰력이 없다.



[예제 1-8] [그림 8]의 평면 트러스는 (a)와 같이 봉재를 핀 결합한 것이다. A점은 고정부, B점은 이동 가능한 지지점일 때 전체 FBD와 ①②③의 각 FBD을 각각 도시하여라.

[그림 8]

[그림 8]

(풀이) 점선으로 표시한 부분의 FBD를 각각 (b), (c), (d) 및 (e)의 그림에 나타내었다. (b)는 전체 FBD, (c)는 ①부분의 FBD, (d)는 ②부분의 FBD, (e)는 ③부분의 FBD이다. 이렇게 외력 100N, 각도 60°, 길이 1m, 2m 및 미지 반력 를 표시한 FBD를 완성하게 되면 미지수는 각 FBD에서 평형방정식을 적용하면 순차적으로 반력을 구할 수 있다.


[예제 1-9] [그림 9]의 레버에 50kgf의 하중을 점 A에 가했을 때 점 B에 연결되어 있는 쇠줄의 인장력 PT와 점 O에서의 반력(reaction)을 구하라 (단, 자중(自重)은 무시함).

[그림 9]

(풀이) 평형방정식을 적용(점 O의 반력 Rx, Ry)

)(7.102

)(1.70,015sin50:0

)(1.75,015cos:0

)(8.77,091450:0

22 kgfRRR

kgfRPRP

kgfRPRP

kgfPPM

yx

xTxy

xTxx

TTo

=+=

==−−=

==−=

==×+×−=

∑∑∑

반력

(참고) 그림에서 평형이 되려면 은 한 점에서 모인다. 따라서 방향을 알고 있는 의 교점을 구하고 이와 지점 O와 연결하면 반력 R의 방향이 된다. 시력도처럼 은 풀이와 같이 두 방향으로 분해 할 수 있으므로 도식해법(圖式解法)으로도 쉽게 를 구할 수 있다 (즉 벡터로 생각하면 쉽다).

kgfRPT 50,,kgfPT 50,

RPT 와,RPT 와,

[예제 1-10] [그림 10]에서 , A, B지점의 반력을 구하라. A는 핀(pin) 연결이고, B는 돌기물이므로 트러스와 마찰없이 접촉하고 있다(단위: cm).

[그림 10]

(풀이)

. ,

6,06:0

33.9,0:0

33.9,0901406:0

방향이다옳은방향이가정했던이므로방향은의반력 +

==−=

==−=

==×−×−=

∑∑∑

ABx

AxAxy

AxAxxx

BxBxA

RR

TRRTP

TRRRP

TRRTM지점 B에서 반력은 수평방향으로만 있다.

ABx RRT ,,6도식해법의 시력도에서 반력을 구할 수도 있다. 의 세힘은 한점(점 C) 에 모인다. 시력도에서 의 하중을 , 또 이 하면 풀이와 같은 해를 구할 수도 있다.

T6 로와 ABx RR 분해로다시를 , AyAxA RRR

(참고)


[예제 1-11] [그림 11]에서 무게 10kgf, 길이 50cm인 봉 A가 그림과 같이 벽에 기대어 있다. B에서 10cm떨어진 점 C를 쇠줄로 점 O와 연결했을 때 이 쇠줄의 장력 와 벽의 반력 를 구하라(마찰은 무시한다.)

TP BA RR ,

[그림 11]

(풀이) 마찰이 없으므로 는 벽에 수직이다. 봉 AB의 (b)와 같은 자유물체도에서 해를 구할 수 있다.

BA RR ,

kgfPkgfRkgfRWRRM

WPRP

PRP

TBA

ABo

TBy

TAx

05.9,67.11,9.80203040:0

0sin:0

0cos:0

===∴

=×−×−×=

=−−=

=−=

∑∑∑

θ

θ

(그림에서 의 값을 계산할 수 있다.) θθ sin,cos



1-7 트러스(truss) *부재를 PIN연결 다각형, 외력을 받아을 때 삼각형만 안정 유지*

트러스 : 삼각형으로 된 구조물. 스팬이 큰 교량, 지붕에 이용.

부재를 PIN 연결(결합점, 강절점); 축력 만존재 굽힘 MOMENT 無,

트러스의 해법에는 격점법( joint method), 절단법, 기타 몇 가지가 있음.

격점법 : 결합점마다 평형방정식 을 적용하는 방법

절단법 : 구하고 싶은 부재가 포함되도록 절단하여 계산하는 방법

[그림 1-6]

0,0 == ∑∑ yx PP



트러스를 계산할 때는 먼저 정정(靜定)여부를 따져야 한다.

결합점의 수를 n , 부재의 수를 m이라 하면, 식 (1-8)을 만족하는 트러스는

정정트러스,

만족하지 않을 때는 m’가 계산되어 부정정트러스가 되며,

m’ – m 를 부정정수(不靜定數) 또는 잉여재(redundant member)라고도 한다.

그러나 여기서는 정정트러스만 취급하기로 한다.

m = 2n - 3 (1 – 8)



[예제 1-12] [그림 1-12]의 기중기(crane, 起重機)에서 P=7t(ton)의 무게가 걸렸을 때 각 부재의 축력을 계산하라.

[그림 12]

[그림 12]



(풀이) 점 B에서 평형방정식을 적용시킨다.

Ay

AyAyB

R

tPRPRM 575,057:0 ===×−×=∑

를 알면 [그림(a)]에서 를 알 수 있다. 즉 AR

tRR AyA 135135

513

=×=×= (단, :계산결과)

이 가 AC부재의 축력 가 된다. 이번에는 점 A에서

mAC 13=

AR ACS

BRtRR

tRPRM

ByB

ByByA

97.162

127

12,0127:0

=×=

===×−×=∑는 CB부재의 축력 이다. CBS

(별법) 점 C에서 평형조건식을 적용 [그림(b) 및 (c)]

,02

1135:0 =−×+×=∑ PSSP BCACy

tSAC 13−= (-는 처음 가정했던 방향과 반대가 되므로 부재가 인장됨을 알 수 있다.

AACBBC RSRtS === ),()(212 압축

02

11312:0 =×+×=∑ BCACx SSP



[예제 1-13] [그림 13]과 같은 트러스의 각 부재의 축력을 격점법으로 계산하라.

[그림 13]



(풀이) 먼저 구조물 전체에 평형방정식을 적용하여 반력을 계산한다.

PRPRRPPRlPlRM BBAyAAB ⋅==+===⋅−⋅= ∑∑ 43,:0,

4,0

4:0

A지점에서 힘의 평형조건식을 적용하면 그림(2)와 같이 힘의 방향을 가정하여

−=

=∴

=−×==+×= ∑∑

PS

PS

RSPSSP

AB

AC

AACyABACx

43

2

030sin:0,030cos:0

C 지점에서 그림(3)과 같이 가정한다.

=⋅+⋅

=∴

=×−×==×+×= ∑∑

검산이됨.....23

23

21

2

23

030sin60sin:0,30cos60cos:0

PPP

PS

SSPPSSP

BC

BCACxBCACy

B지점에서의 계산도 검산된다 이상의 해법; 격점법(joint method, 格點法)

(압축)

(인장, 가정한 방향과 반대)



[예제 1-14][예제 1-13]의 트러스를 절단법으로 풀어라.

[그림 14]

(풀이)

=

=∴

=−⋅==−⋅= ∑∑

)(43

)(2

030sin:0,030cos:0

인장

압축

PS

PS

RSPSSP

AB

AC

AACyABACx

Amn 부분의 평형은 [예제 1-13]과 같이 해서 PRPR BA ⋅== 4/3,4/



,23

,060sin:0

PS

RSP

BC

BBCy

=∴

=−⋅=∑Am’n’ 부분의 평형에서

(별법) [그림(a)]에서

20

2:0

43

043

43:0

PSlSlRM

PS

lSlRM

ACACAB

AB

ABAC

=∴=×−×=

=

=×−×=

∑

∑

[그림(b)]에서

PS

lRlSM

BC

BBCA

23

023:0

=

=×−×=∑

ABBCx SSP =⋅=∑ 60cos:0

43

=ABS



[예제 1-15] [그림 15]의 트러스에서 부재 DC의 축력을 구하라.

[그림 15]

(풀이)

(1) (2) (3)

먼저 식 (1-8)의 정정트러스의 조건을 만족한다. 좌우대칭이므로 반력

tRR BA 15== (전체를 하나의 보라고 생각하고 격점법으로 푼다.)

A 격점 : [그림 15(1)]에서 AD, AC부재의 축력을 SAD, SAC

tStS

SSPSRP

ACAD

ACADxADAy

20, 25

043

4:0,043

3:02222

==∴

=−+

==+

−= ∑∑(압축) (인장)


D 격점 : [그림 15]에서

tS

SSSP

PSSSP

DC

DEDCADx

DCDEADy

325

043

443

443

4:0

025.1

5.143

343

3:0

222222

1222222

=∴

=+

−+

−+

=

=−+

++

−+

=

∑

∑

(별법) [그림 15(3)]의 절단법 : DC가 관계되도록 절단 트러스의 실선부분을 생각하여 SDC가 포함되는 식을 세운다.

tS

PSM

DC

DCA

33.84.2

20

02)]25.1sin(tan4[:0 1

1

−=−=

=×+××= −∑

(참고)

축력의 방향은 우선 임의로 설정하고, 다만 계산 후에 나온결과의 의 부호를 보고 결정한다. 즉 +이면 처음 생각했던 방향과 일치하며, -이면 생각했던 방향과 반대의 힘이다.

±

tSDE 350

=(압축) (압축)

(압축)

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