pye-clase 3u2 va industrial 2011
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FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FS. Y NATURALES. UNC.
CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Tres mquinas fresadoras funcionande manera independiente.La probabilidad de que una mquinacualquiera no funcione es de 0,30.Cul es la probabilidad de que en uninstante cualquiera al menos dosmquinas no funcionen?.
?SITUACIN
FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FS. Y NATURALES. UNC.
CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
VARIABLES
ALEATORIAS
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FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FS. Y NATURALES. UNC.
CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
El resultado de un experimento aleatorio puede serdescrito en ocasiones como una cantidad numrica.
Experimento Variable aleatoria Valores posibles
Inspeccionar un
embarque de 40 chips
Cantidad de chips
defectuosos
0,1,2,.,40
Funcionamiento de un
restaurante durante un
da
Cantidad de clientes 0,1,2,3.
Funcionamiento de un
banco
Tiempo en minutos, entre
llegadas de clientes
x>=0
Llenar una lata de
bebida
(mx =300ml)
Cantidad de ml 0
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Conforme a Rx, elrecorrido, las
variables aleatoriasse clasifican en:
Variables aleatoriasDISCRETAS, si Rx es unconjunto finito o infinito
numerable
Variables aleatorias
CONTINUAS, si Rx es unconjunto infinito NO
numerable
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
VARIABLES
ALEATORIASDISCRETAS
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Una vez definida una variable aleatoria discreta X, esposible definir otra funcin que indica laprobabilidad de cada valor posible.
( )iii
xxx ==
XP)(p
]1,0[:p
La funcin debe cumplir:
=
ix
i
ii
x
xx
1)(p)ii(
1)(p0)i(
Se denomina F u n c i nd e P r o b a b i l i d a d
Grficamente
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CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Experimento: La n z a r u n a m o n e d a a l a i r e t r e s v e c e s
= { CCC , CXX , XCX , XXC , CCX , CXC , XCC , XXX }
S e d e f i n e l a v a r i a b l e X : Cantidad de caras obtenidas
Qu valores puede adoptar la variable aleatoria X?
Qu probabilidades tienen estos valores?
EJEMPLO
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X
Valores
0
1
2
3
XXXCXXXCXXXCCCXCXCXCCCCC
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 40 1 2 3
Probabilidad
p(0)=P(X=0)=1/8p(1)=P(X=1)=3/8p(2)=P(X=2)=3/8p(3)=P(X=3)=1/8
Funcin de Distribucin deProbabilidad
Comportamiento de laVariable Aleatoria
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Funcin de Distribucin Acumulada
Grficamente resulta en la funcin escalera:
)()(
]1,0[:
xXPxFx
F
=
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
F(xi) representa la probabilidad deencontrar un valor menor o igual que xi
F(xi) = P( X xi)
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
CUL ES LA FUNCIN DEDISTRIBUCIN ACUMULADA PARA LA
VARIABLE X ASOCIADA ALEXPERIMENTO ALEATORIO
LAZAR UNA MONEDA AL AIRETRES VECES ?
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Tres mquinas fresadoras funcionan demanera independiente.La probabilidad de que una mquinacualquiera no funcione es de 0,30. Cules la probabilidad de que en un instantecualquiera al menos dos mquinas nofuncionen?.
?SITUACIN
Se considera definir la variable aleatoriaX: N de mquinas detenidas en un instante dadoDeterminar la distribucin de probabilidades de dichavariable, resolver el problema y calcular la probabilidadde que a lo sumo dos mquinas no funcionen.
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CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
VARIABLESALEATORIASCONTINUAS
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
LA FUNCIN ES POSITIVA
EL REA ENCERRADA BAJO LA CURVA ESIGUAL A 1
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
DISTRIBUCINUNIFORME
Funcin deDensidad deProbabilidad
X ~ U [a, b]
Ejemplo:
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Funcin de densidad acumulada:
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
X ~ U [a, b]
Funcin Distribucin deProbabilidad o DENSIDAD
ACUMULADA
Ejemplo:
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Sea X ~ U [5,10]Determinar la funcin dedistribucin o densidad
acumulada.
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Cmo se calculaprobabilidad?
Dada la funcin de densidad deprobabilidad de una variablealeatoria continua
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
La probabilidad de que X tomevalores en [a,b] es igual a ladiferencia entre las probabilidadesacumuladas en los extremos delintervalo.
Siempre por intervalos de nmeros
Por ejemplo si se quiere:
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Sea X ~ U [5,10]Calcular:a) P(4< x< 8)=
b) P(x>7)=c) P(X< 10)=d) P(X>10)=e) P(X < 5) =
EJERCICIO
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MEDIDASDE UNA
DISTRIBUCIN
DE PROBABILIDAD(TERICAS)
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
VALOR ESPERADO O
ESPERANZA
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
=
=n
1i
ii )p(E(X) xx
E(X) es un valor fijo que depende de ladistribucin de probabilidad de X.
Est medida en las mismas unidades que X.
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
E(X) es un valor fijo que depende de f(X) lafuncin de densidad de probabilidad de X.
Est medida en las mismas unidades que X.
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Si C es una constante, entonces E(C) = C.
Linealidad: E ( aX + b) = a E(X) + b, a, b
Si g(X) es una funcin de X, entonces:
Si g(X), h(X) son funciones de X, entonces
E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)]
PROPIEDADES DE LA ESPERANZA
[ ] RE g(x) = g(x).f(x)dx[ ] RE g(x) = g(x).p(x)
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
VARIANZA
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) ( ) )p()p(XEXEXEXVar i2
i
ii
2
i
i
2xxxx ===
La raz cuadrada positiva de la varianza se
llama desviacin tpica y se denota con .
Tanto la varianza como la desviacin tpicamiden la dispersin de la variable aleatoriarespecto a su media.
2
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
La raz cuadrada positiva de la varianza sellama desviacin tpica y se denota con
.
Tanto la varianza como la desviacin tpicamiden la dispersin de la variable aleatoriarespecto a su media.
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Si C es una constante, V(C)=0
V(X) = E(X2)- E2(X)
Si a y b son constantes: V(aX+b) = a2 V(X)
Si X e Y son independientes, V(X Y) = V(X) + V(Y)
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
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CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
x p(x)
1 0.05
2 0.075
3 0.2
4 0.3755 0.15
6 0.1
7 0.05
Distribucin de probabilidad de la variable X
X= E(X)=x . p ( x ) = ?
2X= V(X)=(x- )2. p ( x ) = ?
EJEMPLO
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Qu puede decir de la distribucin delas Variables aleatorias X e Y?
x p(x)
1 0.05
2 0.075
3 0.2
4 0.3755 0.15
6 0.1
7 0.05
y p(y)
1 0.2
2 0.15
3 0.1
4 0.15
5 0.05
6 0.1
7 0.25
EJERCICIO
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U2: Probabilidad y Variables aleatorias
4X= E(X)=x.p(x) = Y= E(Y)=y.p(y)= 4
Distribuciones de probabilidad de las variables X e Y
2X= V(X)=(x-)2.p(x)= 1.95
2Y= V(Y)=(y-)
2.p(y)= 5.20
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CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
CALCULAR LA ESPERANZAy LA VARIANZA DE LA
VARIABLE ALEATORIA:
X ~ U [5,10]
EJERCICIO
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CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
OTRAS MEDIDAS TERICASCOEFICIENTE DE ASIMETRA:
COEFICIENTE DE KURTOSIS:
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CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
TEOREMA DE SHEBYSHEV
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CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
U2: Probabilidad y Variables aleatorias
Por ejemplo, para k=2 y para k=3 se tiene:
Al menos 3/4 75% de todos los valores dela variable estn dentro de dos desviacionesestndar de la media.
Al menos 8/9 89% de todos los valores dela variable estn dentro de tres desviacionesestndar de la media.