przegląd wieloatrybutowych metod podejmowania decyzji

Przegląd wieloatrybutowych metod podejmowania decyzji

Opracował:Mirosław KwiesielewiczPWSZ Elbląg

Wybór samolotu bojowego

Wariant Prędkość

max.[Mach]

Zasięg

[NM]

Ładow-ność[funt]

KosztEksp.106 $

Niezawod-ność

ZdolnośćManewrow

a

A1 2.0 1500 20000 5.5 Średnia BardzoWysoka

A2 2.5 2700 18000 6.5 Niska Średnia

A3 1.8 2000 21000 4.5 Wysoka Wysoka

A4 2.2 1800 2000 5.0 Średnia Średnia

Atrybuty - Xj

ArytmetycznaNormalizcja

Atrybut

Wariant

X1 X2 X3 X4 X5 X6

A1 2.0 1500 20000 5.5 5 9

A2 2.5 2700 18000 6.5 3 5

A3 1.8 2000 21000 4.5 7 7

A4 2.2 1800 2000 5.0 5 5

jix

xr

m

iij

ijij ,,

1

Normalizacja arytmetyczna

44 1 rr Normalizacja

Normalizacja

Atrybut

Wariant

X1 X2 X3 X4 X5 X6

A1 2.0 1500 20000 5.5 5 9

A2 2.5 2700 18000 6.5 3 5

A3 1.8 2000 21000 4.5 7 7

A4 2.2 1800 2000 5.0 5 5

ji

i

x

xr

ij

ijij ,,

max

Normalizacja ji

i

x

xr

ij

ijij ,,

max

44 1 rr +Normalizacja

Metoda MAXIMIN

Wybór wariantu

Problem wspólnej skali normalizacja

minjrAA ijji

i ,,2,1,,,2,1,minmax;*

ji

i

x

xr

ij

ijij ,,

max

Inne propozycje normalizacji

Dla atrybutu czwartego

Wtedy

mi

xx

xx

xx

xxr

iji

j

iji

j

jj

jijij

,,2,1

,min

,max

gdzie

,

min

*

min*

min

,min*

*

jj

ijjij xx

xxr

mi

nj

rijji

,,2,1

,,,2,1

minmax

Przykład MAXIMIN

x1 X2 x3 x4 x5 X6

A1 0.80 0.56 0.95 0.82 0.71 1.0

A2 1.00 1.00 0.86 0.69 0.43 0.56

A3 0.72 0.74 1.00 1.00 1.00 0.78

A4 0.88 0.67 0.95 0.90 0.71 0.56

min

max

Metoda MAXIMAX

Wybór wariantu

mi

nj

rAA ijji

i

,,2,1

,,2,1

maxmax;*

Przykład MAXIMAX

x1 X2 x3 x4 x5 X6

A1 0.80 0.56 0.95 0.82 0.71 1.0

A2 1.00 1.00 0.86 0.69 0.43 0.56

A3 0.72 0.74 1.00 1.00 1.00 0.78

A4 0.88 0.67 0.95 0.90 0.71 0.56

max

max

Rozwiązanie kompromisowe

minj

rrAA ijj

ijji

i

,,2,1,,,2,1

max1minmax;*

- indeks pesymizm - optymizm

maximin maximax

Metoda satysfakcjonująca

Stanowisko wizytującego w szkole francuskiej amerykańskiego nauczyciela historiiNie można skompensować tutaj niewystarczającej znajomości francuskiego perfekcyjną znajomością historii, ani odwrotnieSzkoła decyduje się wyeliminować kandydatów o niewystarczającej wiedzy w obydwu zakresachDecydent musi znać minimalne, akceptowalne wartości dla obydwu atrybutów, które spełniają rolę wartości progowych

Wariant decyzyjny Ai jest akceptowany, gdy

njxx jij ,,2,1,0

Przykład obliczeniowy

Wariant X1 x2 x3 x4 x5 x6


A2 2.5 2700 18000 6.5 Niska Średnia

A3 1.8 2000 21000 4.5 Wysoka Wysoka


)srednia srednia,,0.6,20000,1500,0.2(0 x

Uwagi

Metoda ta nie jest stosowana do wyboru wariantów decyzyjnychSłuży ona głównie do zakwalifikowania ich do zbioru kategorii akceptowalnych i nie akceptowalnych

Metoda wydzielania

Wybierany jest wariant decyzyjny, którego poziom przekracza największą wartość dla jednego z atrybutówWybór wariantów „utalentowanych” pod jednym z kierunków

Wariant decyzyjny Ai jest akceptowany, gdy

dla j=1 lub 2 lub 3 lub ... lub n0jij xx




A2 2.5 2700 18000 6.5 Niska Średnia

A3 1.8 2000 21000 4.5 Wysoka Wysoka


) wysokabardzo wysoka,bardzo,5.4,21000,2500,4.2(0 x

Metoda leksykograficznaAtrybuty powinny być uszeregowane od najważniejszego do najmniej ważnegoNiech X1 – najważniejszy, X2 mniej ważny, itd..

Wybiera się wariant

Jeśli otrzymamy zbiór jednoelementowy, to jest on najbardziej preferowanym wariantem, jeśli nie to

Jeśli otrzymamy pojedynczy element to STOP, jeśli nie to.......j.w., aż do otrzymania pojedynczego elementu.

mixAA ii

i ,,2,1},max;{ 11

112 },max;{ AixAA i

ii




A2 2.5 2700 18000 6.5 Niska Średnia

A3 1.8 2000 21000 4.5 Wysoka Wysoka


Ważność atrybutów X1, X3, X2 ...

Dodatkowe założenie (półporządek leksykograficzny)

Różnica 0.3 macha lub mniejsza nie jest znacząca



A2 2.5 2700 18000 6.5 Niska Średnia

A3 1.8 2000 21000 4.5 Wysoka Wysoka


Dodatkowe założenie

Różnica 1000 funtów lub mniejsza nie jest znacząca



A2 2.5 2700 18000 6.5 Niska Średnia

A3 1.8 2000 21000 4.5 Wysoka Wysoka


Metoda permutacjiTablica decyzyjna

Wektor wag

mn

n

n

mmm

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A

A

AXXX

2

1

2

22

12

1

21

11

2

1

21

D

nn

www

XXX

21

21

w

Permutacje dla 3 wariantów

Istnieje 6 możliwości

3211 ,, AAAP

2312 ,, AAAP

3123 ,, AAAP

1324 ,, AAAP

2135 ,, AAAP

1236 ,, AAAP

Testowanie porządku dla wariantu 5

Zbiór zgodnego częściowego uporządkowania

Zbiór niezgodnego częściowego uporządkowania

Jeśli występuje uporządkowanie to dla przypiszemy , natomiast dla przypiszemy

2135 ,, AAAP

212313 ,, AAAAAA

212313 ,, AAAAAA

lk AA

lhkh xx ljkj xx jw

hw

Zbiory zgodności i niezgodności

Załóżmy, że w permutacji Pi zachodzi , czyli

k-ty wariant jest bardziej preferowany od l-tegoWtedy permutacji Pi przypisujemy liczbę Ri

gdzie

(zbiór zgodności)

(zbiór niezgodności)

lk AA

kl klCj Dj

jji miwwR !,,2,1,

lkmlkxxjC ljkjkl ,,,2,1,,;

lkmlkxxjD ljkjkl ,,,2,1,,;

Rozważany przykładpermutacja 24314 ,,, AAAAP



A3 1.8 2000 21000 4.5 Wysoka Wysoka

waga 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3

31 AA

31 AA

0.2+

0.1+

0.1+ 0.1+ 0.2

0.3

=0.5

=0.5

31c

13c

Macierz dla rozważanej permutacji 24314 ,,, AAAAP

0

7.0

7.0

7.0

3.0

0

8.0

6.0

6.0

2.0

0

5.0

3.0

7.0

5.0

0

2

4

3

13431

4c

4.16.20.44 kl klCj Dj

jj wwR

sumy

Wagi zgodne z porządkiem

Wagi niezgodne

z porządkie

m

Wariant najlepszy

Najlepsze uporządkowanie wariantów odpowiada permutacji która posiada największą wartość Ri

W rozważanym przypadku jest to porządek 214317 ,,, AAAAP

Prosta addytywna metoda wagowa

Najbardziej znana i najczęściej stosowanaKażdemu z atrybutów przyporządkowuje się wagę Najlepszy wariant decyzyjny jest obliczany jako

n

jj

n

jijj

ii

w

xw

AA

1

1* max;

PrzykładAtrybut

Wariant

X1 X2 X3 X4 X5 X6

A1 2.0 1500 20000 5.5 5 9

A2 2.5 2700 18000 6.5 3 5

A3 1.8 2000 21000 4.5 7 7

A4 2.2 1800 2000 5.0 5 5

Porządek przeciwny

4

min

4*,6,5,3,2,1,

i

ii

j

ijij x

xrj

x

xr Normalizacja

Macierz znormalizowanaAtrybut

Wariant

X1 X2 X3 X4 X5 X6

A1 0.80 0.56 0.95 0.82 0.71 1.00

A2 1.00 1.00 0.86 0.69 0.43 0.56

A3 0.72 0.74 1.00 1.00 1.00 0.78

A4 0.88 0.67 0.95 0.90 0.71 0.36

Wektor wag )3.02.01.01.01.02.0(w

Wynik

Czyli

0738,852.0,709.0,835.0 4321 AAAA

241317 ,,, AAAAP

Metoda Electre

ELECTRE – Elimination et Choice Translating Reality)

Metoda wykorzystuje koncepcję relacji outrankingu , która mówi, że nawet jeśli dwa warianty nie dominują się wzajemnie matematycznie, decydent akceptuje ryzyko traktowania wariantu , jako prawie na pewno lepszego od wariantu

lk AA

kA

lA

Podstawy metody Electre

Metoda opiera się na porównaniach parami wariantów decyzyjnychSprawdza: stopień w jakim wagi preferencji są w

zgodzie z relacją dominacji par (zgodność)

Stopień w jakim obliczenia wagowe różnią się między sobą (niezgodność)

Krok 1. Obliczenie znormalizowanej macierzy decyzyjnej

mn

n

n

mmm

n

r

r

r

r

r

r

r

r

r

A

A

AXXX

2

1

2

22

12

1

21

11

2

1

21

R

gdzie jix

xr

m

iij

ijij ,,

1

Przykład

X1 X2 X3 X4 X5 X6

A1 2.0 1500 20000 5.5 5 9

A2 2.5 2700 18000 6.5 3 5

A3 1.8 2000 21000 4.5 7 7

A4 2.2 1800 2000 5.0 5 5

37274811.4605.5056.4392.5139.

5217.6736.4143.5380.4882.4204.

3727.2887.5983.4550.6591.5839.

6708.4811.5063.5056.3662.4671.

R

Krok 2. Obliczenie macierzy ważonej znormalizowanej

mnn

nn

nn

mmm

n

rw

rw

rw

rw

rw

rw

rw

rw

rw

A

A

AXXX

2

1

22

222

122

11

211

111

2

1

21

V

nn

www

XXX

21

21

wGdzie wektor wag

Przykład)3.02.01.01.01.02.0(w

1118.0962.0460.0506.0439.1028.

1565.1347.0414.0531.0488.0841.

1118.0577.0598.0455.0659.1168.

2012.0962.0506.0506.0366.0934.

V

Krok 3. Określenie zbioru zgodności i niezgodności

Dla każdej pary wariantów decyzyjnych k i l zbiór atrybutów dzielony jest na dwa podzbiory: zbiór zgodności ( preferowane nad

)

zbiór niezgodności

kA lA

lkmlkxxjC ljkjkl ,,,2,1,,;

lkmlkxxjD ljkjkl ,,,2,1,,;

Przykład C12

1118.0962.0460.0506.0439.1028.

1565.1347.0414.0531.0488.0841.

1118.0577.0598.0455.0659.1168.

2012.0962.0506.0506.0366.0934.

V

C12={3, 4, 5 ,6}D12={1, 2}

Krok 4. Wyznaczenie macierzy zgodności

Wyznaczenie indeksu zgodności

Macierz zgodności

wane)znormalizo (gdy wagi lub ,

1

kl

kl

Cjjkln

jj

Cjj

kl wcw

w

c

m

m

mm

c

c

c

c

c

c 2

1

2

12

1

21C

PrzykładC12={3, 4, 5 ,6}

)3.02.01.01.01.02.0(w

7.012

12 Cj

jwc

suma

m

m

mm

c

c

cc

2

1

21

7.0

3.0C

Krok 5. Wyznaczenie macierzy niezgodności

Wyznaczenie indeksu zgodności

Macierz niezgodności

klkl

ljkjJj

ljkjDj

kl DCJvv

vvd kl

,max

max

m

m

mm

xd

d

d

d

d

d 2

1

2

12

1

21D

Przykład

3277.

0894,.0385,.0092,.0051,.0239,.0234.max

0293,.0234.max

max

max12

ljkjJj

ljkjDj

vv

vvd kl

1118.0962.0460.0506.0439.1028.

1565.1347.0414.0531.0488.0841.

1118.0577.0598.0455.0659.1168.

2012.0962.0506.0506.0366.0934.

V

m

m

mm

xd

d

dd

2

1

21

3277.

1D

Wyznaczone macierze

8.0

6.0

6.0

2.0

3.0

5.0

7.0

7.0

7.0

7.0

5.0

3.0C

4183.0

.1

1051.0

.1

.1

8613.0

5714.0

4247.0

3277.0

.1

.1

.1xD

Wyznaczenie macierzy dominacji zgodności

Tworzona jest z macierzy zgodności w oparciu o pewien próg zgodności

Z macierzy C tworzy się macierz F taką, że

m

lkk

m

kll

kl

mm

cc

1 1 1 ccf

ccf

klkl

klkl

gdy ,0

gdy ,1


1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0F

8.0

6.0

6.0

2.0

3.0

5.0

7.0

7.0

7.0

7.0

5.0

3.0C 55.0341 1

m

lkk

m

kll

klcc

Wyznaczenie macierzy dominacji niezgodności

Tworzona jest z macierzy niezgodności w oparciu o pewien próg zgodności

Z macierzy D tworzy się macierz G taką, że

m

lkk

m

kll

kl

mm

dd

1 1 1 ddg

ddg

klkl

klkl

gdy ,0

gdy ,1


1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0G757.0341 1

m

lkk

m

kll

kldd

4183.0

.1

1051.0

.1

.1

8613.0

5714.0

4247.0

3277.0

.1

.1

.1xD

Wyznaczenie zagregowanej macierzy dominacji

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0E

E=FxG

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0F

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0G

Eliminacja najgorszych wariantów na podstawie zagregowanej macierzy dominacji

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0E

24

4323

4121

,

,

AA

AAAA

AAAA

21 AA

43 AA

przegląd wieloatrybutowych metod podejmowania decyzji

Documents