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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
Métodos Computacionales en Ingeniería
PROYECTO FINAL
David Alejandro Tapia Martínez
A01138017
Monterrey, N.L. a 13 de Mayo de 2015
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Contenido
Índice de Imágenes 3
1. Introducción 4
2. Marco Teórico
2.1 Temperatura adiabática de flama 5
2.2 Equilibrio de reacción 6
2.3 Transferencia de calor 7
3. Métodos Numéricos
3.1 Método de Newton 9
3.2 Método de Broyden 10
3.3 Discretización de ecuaciones diferenciales parciales 11
4. Implementación en Matlab
4.1 Temperatura adiabática de flama 12
4.2 Equilibrio de reacción 13
4.3 Transferencia de calor 15
5. Resultados 17
6. Discusión de Resultados 19
7. Conclusión 20
8. Bibliografía
9. Anexos
9.1. Código Matlab
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Índice de Imágenes
Figura 1. Balance de energía en la flama
Figura 2. Ejes de placa metálica
Figura 3. Plano medio eje “z”
Figura 4. Mallado de dominio
Figura 5. Distribución de temperatura de placa metálica
Figura 6. Distribución de temperatura en forma de mallado de placa metálica
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1. Introducción
Los hornos industriales pueden trabajar con dos tipos de medio de calentamiento,
resistencia eléctrica y gas natural. Por conveniencia operativa y económica, en el caso de
grandes hornos como lo son para la industria metalúrgica y cerámica, el uso del gas natural
como combustible para operar los hornos es muy común. Para el caso de ingeniería de hornos
industriales, el uso de métodos numéricos para la resolución de problemas es posible de
observar en varias aplicaciones.
La primera aplicación de métodos numéricos esencial para la ingeniería de un horno
es el cálculo de la tempera adiabática de flama. Ésta representa la máxima temperatura que
se puede producir de la quema de algún combustible y por tanto la temperatura que pudiesen
llegar a tener algunas partes del horno. El cálculo de este parámetro involucra un
procedimiento iterativo para cuadrar el balance de energía específico para el material que se
usará como combustible, por ello el uso de métodos numéricos es importante.
La segunda aplicación está relacionada con el balance de materia del horno, en el cual
se pueden llevar a cabo varias reacciones de producción de contaminantes como lo son el NO
y el NO2. Los métodos numéricos son de gran importancia para la resolución de varias
ecuaciones no lineales multivariable que representa la producción de dichos contaminantes,
y el resolver las ecuaciones iterativamente de forma simultánea es esencial para que el
balance de materia sea consistente.
Finalmente, otra aplicación de métodos numéricos es para la resolución de las
ecuaciones que modelan la transferencia de calor, específicamente aquellas que involucran
ecuaciones diferenciales parciales para describir el fenómeno. La discretización de
ecuaciones diferenciales parciales permite el acoplamiento de métodos numéricos para la
resolución de los modelos de transferencia de calor en varias dimensiones y con ello modelar
el calentamiento de un cuerpo bajo ciertas condiciones denominadas condición frontera.
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2. Marco Teórico
2.1. Temperatura adiabática de flama
La combustión de cualquier material es la expresión de una reacción química de
oxidación exotérmica. Comúnmente, la energía liberada por este proceso es disipada por
medios como la radiación, convección y conducción; la temperatura adiabática de flama es
aquella que se obtiene cuando se ignora la energía disipada de la reacción de combustión, y
toda ésta es utilizada idealmente para calentar los gases de producidos [1].
Considerando idealmente un proceso de combustión adiabática, la energía de entrada a
la reacción debe ser igual a la energía de salida, por tal motivo:
𝑄 = ∆𝐻 = 0
𝐻2 = 𝐻1
La energía de entrada al proceso de combustión se puede
definir como la energía que carga el combustible para ser
liberada en el proceso, y esta se define como:
𝐻1 = �̇�𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝐻𝑓−𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒° + ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇
𝑇𝐴𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
25°𝐶
)
Por otro lado, la energía de salida es aquella que es
acaparada por los gases de combustión una vez que éstos
son producidos por la reacción, y se puede definir como:
𝐻2 = �̇�𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 (𝐻𝑓−𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠° + ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇
𝑇𝐴𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑎
25°𝐶
)
En donde los valores de 𝐻𝑓° y 𝐶𝑝 son comúnmente reportados en la literatura y son
posible de observar como parte complementaria en [1].
Para obtener la temperatura adiabática de flama haciendo uso de las ecuaciones
presentadas con anterioridad, es necesario implementar algún método numérico que permita
Figura 1. Balance de energía
en la flama
6
iterar en relación al valor de 𝑇𝐴𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑎, con la finalidad de que el balance de energía sea
consistente. Para ello, se puede expresar el balance de energía como sigue:
𝑓(𝑇𝐴𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑎) = 0 = 𝐻1 − 𝐻2
0 = 𝑚𝑐𝑜𝑚𝑏 (𝐻𝑓−𝑐𝑜𝑚𝑏° + ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇
𝑇𝐴𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
25°𝐶
) − 𝑚𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 (𝐻𝑓−𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠° + ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇
𝑇𝐴𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑎
25°𝐶
)
En donde la única incógnita es 𝑇𝐴𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑎.
2.2. Equilibrio de reacción
Teóricamente, la combustión es una reacción de oxidación de algún combustible, en
el caso de gases el material típicamente utilizado para su combustión es el metano por su
gran presencia en el gas natural, siendo la reacción de combustión ideal de este compuesto la
siguiente:
𝐶𝐻4 + 2 𝑂2 → 𝐶𝑂2 + 2 𝐻2𝑂
Por cuestiones operativas y económicas, en los procesos industriales es imposible
llevar a cabo la combustión de algún material utilizando oxígeno elemental. Lo que se realiza
para llevar a cabo la combustión es utilizar aire, el cual cuenta con una composición molar
de 79% nitrógeno y 21% oxígeno. Debido a lo anterior, la reacción ideal de los combustibles
no es posible llevarla a cabo, y es aquí cuando se producen otras reacciones secundarias como
lo son la de la producción de óxido de nitrógeno y dióxido de nitrógeno:
0.5 𝑁2 + 0.5 𝑂2 → 𝑁𝑂
𝑁𝑂 + 0.5 𝑂2 → 𝑁𝑂2
Estos compuestos químicos son regulados ambientalmente por ser altamente
contaminantes, por lo que el estudio de la producción de estos compuestos en reacciones de
combustión es muy importante. Uno de los métodos analíticos más utilizados para el estudio
de la producción de estos contaminantes está basado en el equilibrio químico de reacción
utilizando como referencia de cálculo la temperatura adiabática de flama.
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Para las reacciones de producción de NO y NO2, se puede escribir el equilibrio
químico entre los compuestos de la reacción como sigue:
𝐾𝑁𝑂 =𝑋𝑁𝑂
𝑋𝑁20.5 𝑋𝑂2
0.5 y 𝐾𝑁𝑂2=
𝑋𝑁𝑂2
𝑋𝑁𝑂 𝑋𝑂20.5
Adicionalmente a lo anterior, estudios previos han sido realizados para obtener los
valores de la constante de equilibrio de ambas reacciones a diferentes valores de temperatura,
siendo posible obtener de la literatura las siguientes expresiones [2]:
𝐾𝑁𝑂 = 𝑒−1.0857 𝑇+1.5429 y 𝐾𝑁𝑂2= 𝑒2.9444 𝑇−18.278
Debido a que ambas reacciones químicas son llevadas a cabo de forma simultánea, el
resolver numéricamente ambas ecuaciones de la misma forma es importante, por ello el
aplicar un método numérico que permita obtener la solución de ambas es ideal. Para lo
anterior, se pueden manipular las ecuaciones de la siguiente forma:
𝑓(𝑥𝑁𝑂) = 0 = 𝑒−1.0857 𝑇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏+1.5429 −𝑋𝑁𝑂
𝑋𝑁2
0.5 𝑋𝑂2
0.5
𝑓(𝑥𝑁𝑂2) = 0 = 𝑒2.9444 𝑇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏−18.278 −
𝑋𝑁𝑂2
𝑋𝑁𝑂 𝑋𝑂2
0.5
En donde las incógnitas son las fracciones molares de NO (𝑋𝑁𝑂) y NO2 (𝑋𝑁𝑂2).
2.3. Transferencia de calor [3]
La transferencia de calor en sólidos es bien estudiada con la finalidad de conocer la
distribución de temperatura a través de algún material y con ello realizar una gran cantidad
de estudios termo-mecánicos, entre ellos el estudio de la transferencia de calor con diferentes
conductividades del material.
Estudios previos han demostrado que en placas considerablemente largas con
respecto a uno de sus ejes, el efecto que tiene la transferencia de calor en el más grande de
estos puede ser despreciado para simplificar cálculos debido al bajo impacto que tiene
comparativamente la transferencia de calor [3].
8
Tomando como ejemplo una placa con dimensiones
0.5m x 2m x 8m, en los ejes “x”, “y” y “z” respectivamente, el
efecto que tiene la transferencia de calor en el eje “z” puede
ser despreciado para fines de cálculo. Asimismo, un 80% de la
placa con respecto al eje “y” es introducida a un horno a
1200°C y en el extremo dentro del horno se encuentra a la
temperatura adiabática de flama de los quemadores de gas
(Figura 2).
Tomando un plano medio sobre el eje “z” de la placa
metálica, como podemos observar en la Figura 3, la
transferencia de calor que impacta en el estudio es la producida
únicamente sobre los ejes “x” y “y”, siendo posible reducir la
ecuación de transferencia de calor en 3 dimensiones a la
siguiente expresión basada en 2 dimensiones:
𝜑 𝐶𝑝 𝜕𝑇
𝜕𝑡= 𝑘 (
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2)
Tras llevar a cabo la discretización de la ecuación de transferencia de calor en 2
dimensiones por medio de elementos finitos, es posible obtener la siguiente ecuación que
servirá para encontrar la temperatura en los diferentes nodos de la placa a un tiempo
determinado haciendo uso de métodos numéricos.
𝜑 𝐶𝑝 (𝑇𝑛+1−𝑇𝑛
𝑑𝑡) = 𝑘 (
𝑇(𝑖+1,𝑗) − 2 𝑇(𝑖,𝑗)+𝑇(𝑖−1,𝑗)
𝑑𝑥2+
𝑇(𝑖,𝑗+1) − 2 𝑇(𝑖,𝑗) + 𝑇(𝑖,𝑗−1)
𝑑𝑦2)
𝑇𝑛+1 = 𝑇𝑛 + 𝑑𝑡 (𝑘
𝜑 𝐶𝑝) (
𝑇(𝑖+1,𝑗) − 2 𝑇(𝑖,𝑗)+𝑇(𝑖−1,𝑗)
𝑑𝑥2+
𝑇(𝑖,𝑗+1) − 2 𝑇(𝑖,𝑗)+𝑇(𝑖,𝑗−1)
𝑑𝑦2)
En donde la única incógnita es la temperatura para cada nodo en la placa.
Figura 2. Ejes de placa metálica
Figura 3. Plano medio eje “z”
9
3. Métodos Numéricos
3.1. Método de Newton-Raphson
El método de Newton-Raphson es un método iterativo para ecuaciones no lineales
que permite aproximar la solución de una ecuación del tipo 𝑓(𝑥) = 0, haciendo uso de la
primera derivada de la función para determinar el paso a tomar en la variable independiente
hasta llegar a la solución [4].
A diferencia de otros métodos iterativos, Newton-Raphson no trabaja sobre un
intervalo de valores que asegure el encontrar una solución al sistema, por lo cual no existe
garantía alguna de encontrar la solución.
El método de Newton-Raphson está basado en series de Taylor como fundamento
matemático, dando pie a la siguiente ecuación:
𝑓(𝑥𝑛+1) = 𝑓(𝑥𝑛) +(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛)
1!+
(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)2 𝑓′′(𝑥𝑛)
2!+ ⋯
Realizando la suposición que el valor de (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) es tan pequeño que el efecto
que tiene elevarlo a alguna potencia lo hará prácticamente despreciable, se eliminan todos
términos que involucran alguna derivada mayor o igual dos, resumiendo la ecuación a lo
siguiente:
𝑓(𝑥𝑛+1) = 𝑓(𝑥𝑛) +(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛)
1!
Como en este caso, se está buscando que se cumpla la condición 𝑓(𝑥𝑛+1) = 0
0 = 𝑓(𝑥𝑛) +(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛)
1!
Y finalmente despejando para 𝑥𝑛+1
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 +𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
10
El método de Newton-Raphson, realizando una interpretación su formulación,
permite encontrar el valor de la variable independiente para que la función evaluada en este
valor se aproxime a cero. Para ello, se hace uso de un valor inicial en la variable
independiente y del comportamiento tanto de la función y su derivada evaluadas en este
punto, para con ello, iterativamente, realizar las aproximaciones adecuadas y encontrar una
solución al sistema cuando 𝑓(𝑥𝑛+1) = 0.
3.2. Método de Broyden [4]
El método de Broyden es un método iterativo muy similar al método secante para la
resolución de ecuaciones no lineales multivariable. Comúnmente conocido como un método
cuasi-Newton por el hecho de ser una aproximación al método de Newton-Raphson para
ecuaciones multivariable con el cual se evita la inversión de la matriz Jacobiana durante cada
iteración [4].
De forma general, el método de Newton-Raphson para ecuaciones multivariable se
puede resumir a la siguiente expresión:
𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 − 𝐽(𝑋𝑛)−1 𝐹(𝑋𝑛)
La peculiaridad del método de Broyden es que para la primera iteración se obtiene el
valor de la matriz Jacobiana utilizando las derivadas numéricas tal cual lo realiza el método
de Newton-Raphson, sin embargo para las iteraciones subsecuentes, la matriz Jacobiana es
obtenida por medio de una aproximación utilizando la fórmula de Sherman-Morrison:
𝐽𝑛+1−1 = 𝐽𝑛
−1 +(𝑠𝑛+1 − 𝐽𝑛
−1 𝑦𝑛+1) 𝑠𝑛+1𝑡 𝐽𝑛
−1
𝑠𝑛+1𝑡 𝐽𝑛
−1 𝑦𝑛+1
𝑦𝑛+1 = 𝐹(𝑋𝑛+1) − 𝐹(𝑋𝑛) 𝑠𝑛+1 = 𝑋𝑛+1 − 𝑋𝑛
Una de las desventajas de este método es que se requieren más iteraciones para
converger a la solución, comparado con Newton-Raphson, debido a que la evaluación de la
matriz Jacobiana es un estimado del real, entonces se genera cierto error que se corrige con
el aumento de las iteraciones.
11
3.3. Discretización de Ecuaciones Diferenciales Parciales [5]
En la actualidad existen una gran variedad de métodos numéricos utilizados para dar
solución a ecuaciones diferenciales parciales, entre los principales están:
Método de Diferencias Finitas (MDF)
Método de Elementos Finitos (MEF)
El método de diferencias finitas (MDF) es uno de los más antiguos utilizados para la
resolución de ecuaciones diferenciales parciales, ya que su aplicación es sencilla y logra dar
buenos resultados con su aproximación.
Las bases del método MDF están fundamentadas en
la construcción de una malla estructurada sobre el dominio
de estudio (Figura 4), en donde la unión de todas las líneas
conforma puntos llamados nodos sobre los cuales se calcula
la solución numérica de una ecuación diferencial parcial.
Estos nodos dentro del método numérico que da solución a
la ecuación son manejados en forma de una matriz para su
mejor manejo y solución.
Una vez que se establece el dominio de estudio, se manipulan las ecuaciones
diferenciales parciales para ser expresadas en diferencias finitas, para esto se hace uso de la
serie de Taylor sobre los nodos de la malla previamente establecida.
En el caso de ecuaciones diferenciales de segundo orden, como lo son las ecuaciones
de transferencia de calor, es necesario escribir el desarrollo en serie de Taylor de la siguiente
forma:
𝑇𝑖+1,𝑗 = 𝑇𝑖,𝑗 +𝜕𝑇
𝜕𝑥 𝑑𝑥 +
1
2 𝜕2𝑇
𝜕𝑥2 𝑑𝑥2 + ⋯
Donde, despejando para la segunda derivada y suponiendo que el diferencial es tan
pequeño que elevarlo a una potencia superior a tres lo hará insignificante, por lo que se
desprecian todos los términos que involucran alguna derivada mayor o igual tres:
Figura 4. Mallado de dominio
12
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2=
𝑇𝑖+1,𝑗 − 2 𝑇𝑖,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗
𝑑𝑥2
A esta aproximación se le denomina diferencias centradas, ya que utiliza todos los
nodos colindantes al estudiado para calcular el valor deseado.
4. Implementación en Matlab
4.1. Temperatura adiabática de flama
En el presente código es posible observar la programación realizada para el cálculo
de la temperatura adiabática de flama bajo ciertas condiciones de operación.
Primeramente se calcula la entalpía contenida en el gas de entrada 𝐻1, para
posteriormente establecer 𝑓(𝑇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏).
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Una vez establecida la función 𝑓(𝑇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏), se calcula la derivada de esta función para
posteriormente comenzar el Método de Newton-Raphson y con ello encontrar una
𝑇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏 que satisfaga el balance de energía propuesto bajo una tolerancia de cálculo de 0.01.
4.2. Equilibrio de reacción
En el siguiente código es posible de observar la programación realizada para
encontrar la cantidad de NO y NO2 producidos bajo las condiciones de operación
previamente planteadas.
Primeramente, haciendo uso de la 𝑇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏 previamente encontrada, se calcula la
constante de equilibrio experimental a utilizar en el cálculo. Posteriormente se definen la
constante de equilibrio teórica con la finalidad de cuadrar el balance de materia haciendo uso
de las funciones 𝑓(𝑥𝑁𝑂) y 𝑓(𝑥𝑁𝑂2), de las cuales se calculan sus respectivas derivadas y se procede
a obtener una solución por medio del Método de Broyden bajo una tolerancia de cálculo de
0.0000001.
14
15
4.3. Transferencia de calor
En el siguiente código de resuelve la transferencia de calor en una placa utilizando
los parámetros de operación previamente planteados.
Primeramente se crea una matriz la cual contendrá los nodos de estudio, la cual cuente
con un tamaño de 50 x 50 nodos. Posteriormente se introducen las condiciones fronteras del
sistema y se comienza con el método iterativo en cada nodo hasta cuadrar los resultados bajo
una tolerancia de cálculo de 0.01.
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Esta etapa del código es el corazón de la solución, ya que se hace un barrido en cada
uno de los nodos de forma iterativa para encontrar la solución. Primeramente se realiza un
barrido en un eje y posterior en el otro hasta cuadrar los resultados.
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5. Resultados
Introduciendo los valores iniciales al programa, se obtienen los resultados señalados
con rojo, en los cuales se pueden observar los valores encontrados por los programas
previamente mostrados. Entre ellos están la temperatura adiabática de flama, la cantidad
másica y molar de NO y NO2 producidos bajo las mismas condiciones, así como el tiempo
total requerido para calentar la placa metálica.
18
De forma complementaria, se grafica la matriz de resultados de la discretización de
la ecuación de transferencia de calor, siendo posible observar la distribución de la
temperatura en un tiempo estable.
Figura 5. Distribución de temperatura de placa metálica
Figura 6. Distribución de temperatura en forma de mallado de placa metálica
19
6. Discusión de Resultados
Analizando los resultados arrojados por el programa desarrollado en Matlab, es
posible observar altas temperaturas adiabáticas de flama utilizando combustibles con
composiciones similares a la del gas natural. Tomando en cuenta ciertos ejemplos teóricos y
prácticos presentados por Himmelblau [1], es posible observar que los resultados arrojados
por el programa son consistentes cuantitativamente en cuanto a la temperatura adiabática de
flama del gas natural, la cual ronda los 2,100 °C, validando con ello el uso del programa para
este tipo de cálculos.
Por otro lado, analizando los resultados arrojados para el cálculo de la producción de
contaminantes como NO y NO2, es posible observar que, en comparación entre estos
compuestos, hay una considerable mayor producción de monóxido de nitrógeno que de
dióxido de nitrógeno. Los resultados son consistentes con lo presentado teórica y
experimentalmente por Smith [2], quien establece que termodinámicamente, comparando
ambas reacciones, la reacción que tiene mayor espontaneidad debido a su constante de
equilibrio, es la reacción de producción de NO, por lo cual se favorece la producción en
mayor cantidad de este compuesto.
Otro parámetro obtenido por el programa es la estabilización de la distribución de la
temperatura a lo largo de la placa metálica estudiada, siendo esta de 4.39 horas. Analizando
el código computacional es posible percatarse que, siendo el 𝑑𝑡 de la ecuación de
transferencia de calor de 1 segundo, al programa le tomó 15,797 iteraciones llegar a una
solución estable de la matriz de distribución de temperatura que modelaba el fenómeno.
Finalmente, analizando la distribución de la temperatura de la placa metálica en
estado estable, es posible (Figura 6) observar un comportamiento casi lineal en el descenso
de la temperatura si tomamos en consideración el eje central. Por otro lado, se observa la
influencia tanto de la temperatura dentro del horno como la del ambiente en las paredes
laterales para con la distribución de la temperatura, siendo estas las que afectan el
comportamiento lineal de la temperatura conforme se aproxima a las paredes de la placa
metálica. Por otro lado, aunque los patrones de distribución de la temperatura demuestran
que existe una temperatura relativamente fría, considerando el tono azul en la Figura 5, esto
20
no significa que lo sea, ya que observando la escala de colores, este tono abarca un amplio
rango de temperatura, desde la temperatura ambiente hasta los 400°C aproximadamente.
7. Conclusión
En el presente proyecto se mostraron tres aplicaciones de métodos numéricos de
forma computacional, permitiendo con comprender y estudiar fenómenos como el balance
de materia y el balance de energía en un horno industrial, desde la temperatura máxima
alcanzable por la flama producida, hasta la distribución del mismo parámetro en una placa
metálica.
En la vida real, el comprender los fenómenos que se llevan a cabo en muchos procesos
industriales puede resultar algo complejo, sin embargo en la mayoría de las ocasiones
estudios previos han sido realizados y ya es posible comprender cualitativamente fenómenos
como los estudiados en el presente proyecto, tratándose de balances de materia y balances de
energía.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones
aritméticas [6], y ello permite que los fenómenos industriales sean más sencillos de
comprender cuantitativamente, ya sea de forma precisa o aproximada.
Los métodos computacionales en ingeniería son una herramienta muy valiosa para la
resolución de problemas que, el realizarlos a mano, involucran la inversión de mucho tiempo
para obtener su solución, tal es el caso de los problemas presentados en el este proyecto. El
desarrollo de este tipo de programas computacionales, que involucran métodos numéricos,
permite obtener resultados de forma instantánea de problemas complejos con la simplicidad
de introducir de nueva cuenta los parámetros de operación del sistema, en este caso un horno
industrial.
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8. Bibliografía
[1] D. M. Himmelblau and J. B. Riggs, Basic Principles and Calculations in Chemical
Engineering, 8° Edition. Michigan: Pearson Education, 2012.
[2] J. M. Smith, H. C. Van Ness, and M. M. Abbott, Introduction to Chemical
Engineering Thermodynamics, 7° Edición. New York: McGraw-Hill, 2005.
[3] R. B. Bird, W. E. Stewart, and E. L. Lightfoot, Transport Phenomena, 2° Edition.
New York: John Wiley & Sons, Inc, 2002.
[4] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9° Edition. Boston: Cengage
Learning, 2011.
[5] J. Anderson, G. Degrez, J. Degroote, E. Dick, R. Grundmann, and J. Vierendeels,
Computational Fluids Dynamics: An Introduction, Berlin. Springer, 2009.
[6] S. C. Chapra and R. P. Canale, Métodos Numéricos para Ingenieros, 5° Edition.
D.F.: McGraw-Hill, 2007.
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9. Anexos
9.1. Código Matlab
En el CD adjunto es posible encontrar la programación realizada para el presente proyecto.