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PROVE SCRITTE DI METODI MATEMATICI, ANNO 2001/02

Prova scritta del 30/01/2002

Esercizio 1

Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:∫ +∞

0

sin2 x

(x2 + 1)2dx.

Esercizio 2

Si calcoli la trasformata di Laplace della funzione:

f(x) = χ[0,A](x),

dove A = numero lettere del nome.

Esercizio 3

Nel semipiano Re(λ) > 0 e data la funzione:

F (λ) =1− e−λ

λ(λ+K),

ove K = numero lettere del cognome. Sfruttando opportunamente il risultato

dell’esercizio precedente, si determini la funzione reale g, definita per x > 0, tale

che F sia la trasformata di Laplace di g, e si controlli che g, pur essendo continua,

presenta un punto angoloso.

Soluzioni compito 30/01/02

Esercizio 1

Essendo sin2 x = 1−cos 2x2

, l’integrale si riconduce facilmente a quello della funzionee2ix

(x2+1)2: quest’ultimo, valutato tra −∞ e +∞, vale 3π

2e2 (metodo dei residui). Di

conseguenza, ∫ +∞

0

cos 2x

(x2 + 1)2dx =

1

2

∫ +∞

−∞

cos 2x

(x2 + 1)2dx =

3π

4e2;

essendo poi∫ +∞

01

(x2+1)2= π/4, in definitiva si ottiene∫ +∞

0

sin2 x

(x2 + 1)2dx =

π

8(1− 3

e2)

1

Esercizio 2 Chiaramente,

f(λ) =

∫ A

0

e−λxdx =1− e−λA

λ.

Esercizio 3

La funzione assegnata e il prodotto delle funzioni

G1(λ) = 1−e−λ

λe G2(λ) = 1

λ+K.

In base al risultato dell’Esercizio 2, e evidente che G1 e la trasformata di g1 = χ[0,1],

mentre G2 e notoriamente la trasformata di g2(x) = e−Kx.

Pertanto, la funzione g cercata e il prodotto di convoluzione g1 ∗ g2.

Ovviamente, g rimane definita per x > 0 e si ha:

g(x) =

∫ 1

0

g2(x− t)dt = e−Kx

∫ x∧1

0

eKt dt = e−Kx[eKt

K

]x∧1

0

Pertanto, per x ≤ 1, risulta g(x) = 1−e−Kx

K, mentre per x > 1 si ha g(x) = e−Kx eK−1

K.

Da qui si vede facilmente che g e continua, ma non e derivabile nel punto x = 1.


Esercizio 1

Si consideri la funzione reale

f(x) =1√x

definita per x ∈ [1,+∞[.

1) Per quali valori di p ≥ 1 risulta f ∈ Lp([1,+∞[?

2) Per tali valori di p, si determini ||f ||p.

3) Si puo’ affermare che limp→+∞ ||f ||p = ||f ||∞?

Esercizio 2

Nello spazio L2([0, 1]) e data la funzione

g(x) =√x.

Si determini, nello stesso spazio, la funzione lineare, h(x) = ax + b, che meglio

approssima g in L2.

2

Esercizio 3

Tenendo presente che la trasformata di Fourier della funzione φ(x) = e−x2e

φ(ω) =√πe−ω2/4

si determini la trasformata di Fourier delle funzioni:

φ1(x) = ex−x2

, φ2(x) = e−(x+x2), ψ = φ1 ∗ φ2

e se ne deduca l’espressione esplicita di ψ.

Esercizio 4

Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale

3p+ 4q = z


Esercizio 1

Chiaramente, f ∈ Lp se e solo se p2> 1, ossia se e solo se p > 2. Inoltre, ovviamente,

f ∈ L∞, essendo ||f ||∞ = f(1) = 1. Per 2 < p < +∞, si ha

||f ||pp =

∫ ∞

1

x−p/2dx =2

p− 2

da cui

||f ||p = (2

p− 2)

1p = e

1p

log( 2p−2

)

e un facile calcolo mostra che limp→∞ ||f ||p = 1 = ||f ||∞.

Esercizio 2

Poniamo

ϕ(a, b) =

∫ 1

0

(g(x)− ax− b)2dx

e cerchiamo i valori di a e b che minimizzano ϕ. Si ha facilmente

ϕ(a, b) = 1/2− (4/5)a− (4/3)b+ (1/3)a2 + ab+ b2.

Annullando il gradiente, si trova facilmente a = 4/5, b = 4/15 e quindi la retta

regressione e y = 45x+ 4

15.

3

Esercizio 3

Usando le proprieta’ della trasformata di Fourier, e osservando che si ha

x− x2 =1

4− (x− 1

2)2, −(x+ x2) =

1

4− (x+

1

2)2

si trova facilmente:

φ1(ω) =√πe

14 e−iω/2e−ω2/4, φ2(ω) =

√πe

14 eiω/2e−ω2/4, φ1 ∗ φ2(ω) = π

√ee−ω2/2.

Si riconosce quindi facilmente che la convoluzione tra φ1 e φ2 non e altro che la

funzione ψ(x) =√

eπ2e−x2/2.

Esercizio 4

Usando il metodo delle curve caratteristiche, le soluzioni cercate hanno la forma:

z(x, y) = ex3F (4x− 3y),

con F funzione arbitraria di classe C1.


Esercizio 1


0

sin2 x

2x2 + 1dx.

Esercizio 2

Si risolva la seguente equazione integrale:∫ x

0

f(t)ex−tdt = sin2 x

nell’ambito delle funzioni f di tipo esponenziale, in [0,+∞[.

Esercizio 3

Si risolva la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:

xq = (x+ y)z

e si determini quella soluzione z(x, y) tale che z(x, 0) = e2x.

4


Esercizio 1

La funzione f(z) = e2iz

1+2z2 ha poli nei punti ± 1√2i, dei quali occorre calcolare il residuo

solo in 1√2i. Risulta pertanto, dal teorema dei residui:∫ +∞

−∞

cos2 x

2x2 + 1dx =

√2

4π(1 + e−

√2).

Usando le relazioni tra sinx e cosx, e la parita’ dell’integranda, si ottiene infine∫ +∞

0

sin2 x

2x2 + 1dx =

√2

8π(1− e−

√2).

Esercizio 2

Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri dell’equazione, si ottiene

f(λ)1

λ− 1=

2

λ(λ2 + 4)

da cui f(λ) = 2λ2+4

− 2λ(λ2+4)

.

Antitrasformando, si ricava infine

f(x) = sin 2x− sin2 x.

Esercizio 3

Mediante il metodo delle curve caratteristiche, si vede facilmente che la soluzione

generale, esplicitata rispetto a z, ha l’espressione seguente:

z(x, y) = F (x)ey+ y2

2x

con F funzione arbitraria di classe C1. La soluzione particolare cercata si ottiene

scegliendo F (x) = e2x.


Esercizio 1


0

x3 sinx2

x4 + 1dx.

5

Esercizio 2

Mediante l’uso della trasformata di Fourier, si determini almeno una soluzione non

banale, integrabile in IR, dell’equazione differenziale:

y′′ + xy′ + 3y = 0.

Esercizio 3

Si consideri, nello spazio [0,+∞[, con l’usuale misura di Lebesgue, la funzione

f(x) = xe−x.

Si stabilisca per quali valori del parametro p ∈ [1,+∞] risulta f ∈ Lp e per tali valori

di p si calcoli la norma ||f ||p . (Si usi opportunamente la funzione Γ, definita da

Γ(t) =

∫ +∞

0

xt−1e−xdx

per t > 0, e verificante la relazione Γ(n) = (n− 1)! per n ∈ IN .)

Facoltativo: mediante la formula di Stirling, si valuti il limite

limp→∞

||f ||p

(Formula di Stirling:

limp→∞

Γ(p)ep

pp−1√

2πp= 1).


Esercizio 1

Adoperando la sostituzione t = x2, si ottiene∫ +∞

0

x3 sinx2

x4 + 1dx =

1

2

∫ +∞

0

tsin t

t2 + 1dt =

1

4

∫ +∞

−∞t

sin t

t2 + 1dt.

Essendo Res[ zeiz

1+z2 , i] = 12e

, il teorema dei residui fornisce facilmente il risultato:∫ +∞

0

x3 sinx2

x4 + 1dx =

π

4e.

6

Esercizio 2

Denotando con F(ω) la trasformata di Fourier di y(x), l’equazione data diviene:

ω2F(ω) + ωF ′(ω)− 2F(ω) = 0

da cui l’equazione in F(ω):

dF(ω)

F(ω)= (−ω +

2

ω)dω,

che ha per soluzione

F(ω) = ω2 e−ω2/2.

Poiche e−ω2/2 e la trasformata di f(x) = 1√2πe−x2/2, la funzione ω2 e−ω2/2 e la trasfor-

mata di y(x) = −f ′′(x). La soluzione cercata e dunque

y(x) = (1− x2)e−x2/2

(dato che l’equazione assegnata e omogenea, ogni funzione del tipo ky(x) e soluzione,

con k costante reale.)

Esercizio 3

Essendo f(x)p = xpe−px un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di 1x,

per x→ +∞, e chiaro che f ∈ Lp per ogni p ∈ [1,+∞[. Usando la funzione Γ, e un’

ovvia integrazione per sostituzione, si trova facilmente ||f ||p = Γ(p)1/p

p. Per p intero,

si ottiene ||f ||n = (n−1)!1/n

n; adoperando la formula di Stirling, si puo’ anche valutare

il limite:

limp→+∞

||f ||p =1

e.

Quanto a L∞, chiaramente si vede che f e limitata, e un facile calcolo mostra che

essa ammette massimo in x = 1, con f(1) = 1e. Dunque, ||f ||∞ = 1

e.


Esercizio 1


−∞

cos4 x− sin4 x

x2 + 4dx.

7

Esercizio 2

Si determini una funzione f : [0,+∞[→ IR, di tipo esponenziale, la cui trasformata

di Laplace abbia la forma

f(λ) = logλ+ 2

λper λ > 0.

Esercizio 3

Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:

xy p +1

xyq = xy2 +

1

y,

(al solito, p = ∂z∂x

e q = ∂z∂y

).

Si determini la soluzione generale dell’equazione omogenea associata; si cerchi poi

una soluzione particolare dell’equazione completa, nella forma z(x, y) = ϕ(xy), con

ϕ : IR → IR funzione opportuna di classe C1. Si scriva infine un’espressione della

soluzione generale dell’equazione completa assegnata.


Esercizio 1

Tenendo presente che cos4(x) − sin4(x) = cos2(x) − sin2(x) = cos(2x), l’integrale

assegnato si riduce a: ∫ +∞

−∞

cos (2x)

x2 + 4dx.

Applicando il metodo dei residui, si trova facilmente che∫ +∞

−∞

cos (2x)

x2 + 4dx =

∫ +∞

−∞

e2ix

x2 + 4dx = 2πiRes(f(z); 2i) =

π

2e4

essendo f(z) = e2iz

z2+4.

Esercizio 2

Posto F (λ) = log(λ+2λ

), si ha

F ′(λ) =1

λ+ 2− 1

λ

da cui F ′(λ) = g(λ), essendo g(x) = e−2x − 1. Per le proprieta’ della trasformata di

Laplace, l’antitrasformata di F e allora

f(x) =1− e−2x

x.

8

Esercizio 3

L’equazione omogenea associata e:

xy p+1

xyq = 0.

Usando ad esempio il metodo delle caratteristiche, la soluzione generale di questa e:

z(x, y) = h(y3

3+

1

x)

con h funzione arbitraria di classe C1. La ricerca di una soluzione particolare, nella

forma z0 = ϕ(xy), conduce all’equazione:

xy2ϕ′(xy) +ϕ′(xy)

y= xy2 +

1

y.

Un’ovvia semplificazione fornisce ϕ′(xy) = 1, e quindi

z0(x, y) = ϕ(xy) = xy

e una soluzione particolare dell’equazione assegnata. La soluzione generale e allora

z(x, y) = xy + h(y3

3+

1

x).


Esercizio 1


−∞

sin2 x cos2 x

4x2 + 9dx.

Esercizio 2

i) Si consideri la funzione f(a,b) := 1[a,b], ove a e b sono due numeri reali qualsiasi,

con a < b, e si calcoli la trasformata di Fourier di f(a,b).

ii) Si esprima in termini espliciti la funzione reale g, antitrasformata della funzione

F (ω) =(1− e−iω)2

ω2.

9

Esercizio 3

Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:

yp+ xq =xy

z.

Dopo aver determinato la soluzione generale, si trovino due soluzioni particolari, z1

e z2, in modo tale che z1 + z2 non verifichi l’equazione data.


Esercizio 1

Essendo sin2 x cos2 x = 14sin2 2x, e operando un’ovvia sostituzione, l’integrale dato si

riduce a1

8

∫ +∞

−∞

sin2 u

u2 + 9du.

Ora, sin2 u = (1− cos 2u)/2, e quindi∫ +∞

−∞

sin2 x cos2 x

4x2 + 9dx =

1

16

∫ +∞

−∞(

1

u2 + 9− cos 2u

u2 + 9)du.

Semplici calcoli forniscono:∫ +∞−∞

1u2+9

du = π3, e dal teorema dei residui si ricava:∫ +∞

−∞

cos 2u

u2 + 9du =

π

3e6,

dunque il risultato finale e:∫ +∞

−∞

sin2 x cos2 x

4x2 + 9dx =

π

48(1− 1

e6) ≈ 0.06528762.

Esercizio 2

La trasformata di Fourier di f(a,b) e data da:

f(a,b)(ω) =

∫ b

a

e−iωtdt =e−iωa − e−iωb

iω:

in particolare, f(0,1)(ω) = 1−e−iω

iω.

Ora, risulta chiaramente F (ω) = −(f(0,1)(ω))2, e quindi l’antitrasformata cercata e

l’opposto del prodotto di convoluzione di f(0,1) con se stessa:

f = −f(0,1) ∗ f(0,1).

10

Un’espressione esplicita per f e data da:

f(x) =

0, se x < 0, oppure x > 2

x, se 0 ≤ x ≤ 1

2− x, se 1 ≤ x ≤ 2.

Esercizio 3

Con metodi usuali, si perviene alla soluzione:

z2 = f(x2 − y2) + x2.

Soluzioni particolari sono le funzioni z1(x) = x e z2(y) = y, come si puo’ facilmente

controllare; altrettanto facilmente si vede che z1+z2 non e una soluzione dell’equazione

data, essendo, per tale funzione:

yp+ xq = x+ y 6= xy.


Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:∫ +∞

1

cos (x2 − 1)

x3/2− x+ 1/xdx.

Esercizio 2

Si determini l’antitrasformata di Laplace della funzione

F (λ) =1

λ4 + λ2 + 1.

Esercizio 3

Si risolva rispetto a z la seguente EDP, di I ordine:

xp+ yq log y = 2z.


11

Esercizio 1

Risulta, con facile sostituzione:∫ +∞

1

cos (x2 − 1)

x3/2− x+ 1/xdx =

∫ +∞

1

2x cos (x2 − 1)

(x2 − 1)2 + 1dx =

∫ +∞

0

cosu

u2 + 1du.

Usando il metodo dei residui, si trova facilmente∫ +∞

0

cosu

u2 + 1du =

π

2e≈ 0.57786.

Esercizio 2

Scomponendo, si ottiene

1

λ4 + λ2 + 1=

1

λ2 + λ+ 1

1

λ2 − λ+ 1.

Poniamo

F1(λ) =1

λ2 + λ+ 1, F2(λ) =

1

λ2 − λ+ 1

e cerchiamo l’antitrasformata di entrambe. Essendo

λ2 + λ+ 1 = (λ+1

2)2 +

3

4=

3

4(2λ+ 1√

3+ 1)

l’antitrasformata di F1 e f1(x) = 2√3e−x/2 sin(

√3x/2); in maniera analoga si ricava

l’antitrasformata f2 di F2, dunque:

f2(x) =2√3ex/2 sin(

√3x/2), f1(x) =

2√3e−x/2 sin(

√3x/2).

Un modo per dedurre l’antitrasformata di F e calcolare il prodotto di convoluzione

di f1 con f2; un altro modo e quello di decomporre F come somma di due funzioni

razionali di λ:

F (λ) =1

2

λ+ 1

λ2 + λ+ 1+

1

2

1− λ

λ2 − λ+ 1.

Poiche λλ2+λ+1

e la trasformata della derivata di −f1, e −λλ2−λ+1

e la trasformata della

derivata di f2, l’antitrasformata di F e la funzione

f(x) =1

2(f1(x)− f ′1(x) + f2(x) + f ′2(x)) =

=1

6e−x/2

(√

3 sin(

√3

2x) (ex + 1) + 3 cos(

√3

2x) (1− ex)

)=

=1√3

sin(

√3

2x) cosh

x

2− cos(

√3

2x) sinh

x

2.

12

Esercizio 3 Usando il metodo delle caratteristiche, ricaviamo le seguenti equazioni:

dz

2z=dx

x,

dx

x=

dy

y log y

da cui

k = zx−2, h =x

log y

e quindi la soluzione generale puo’ essere scritta nella forma

F (h, k) = 0,

con F funzione arbitraria: esplicitando z, avremo infine

z(x, y) = x2φ(x

log y)

con φ funzione arbitraria.


Esercizio 1 Integrando per parti, e usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente

integrale definito: ∫ +∞

−∞

2x+ 1

(x2 + x+ 2)2sinx cosx dx.

Esercizio 2 Si scriva la trasformata di Laplace della funzione

f(x) = 1− cosx

e si ricavino le trasformate di Laplace delle funzioni

f1(x) =f(x)

x, f2(x) =

f(x)

x2.

Si deduca infine il valore del seguente integrale (chiaramente positivo):∫ +∞

0

1− cosx

x2dx.

Esercizio 3 Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:

p sin 2y + q cos 2y = 0.

Dopo aver determinato la totalita’ delle soluzioni, si provi che alcune di queste (nella

forma z = φ(x, y)), sono funzioni armoniche.

13


Esercizio 1 Integrando per parti, si ricava∫ +∞

−∞

2x+ 1

(x2 + x+ 2)2sinx cosx dx =

∫ +∞

−∞

cos 2x

x2 + x+ 2dx−

[ sinx cos x

x2 + x+ 2

]+∞−∞

e chiaramente l’ultimo termine si annulla. Si ha ora, con il metodo dei residui:∫ +∞

−∞

cos 2x

x2 + x+ 2dx = Re

{2πiRes

[ e2iz

z2 + z + 2;1− i

√7

2

]}=

= Re{ 2π√7(e−

√7−i)} =

2π√7e−√

7 cos 1 ≈ 0.09014.

Questo e dunque il valore dell’integrale richiesto.

Esercizio 2 Notoriamente, la trasformata di Laplace di f e data da:

f(λ) =1

λ− λ

1 + λ2.

Per noti teoremi, la trasformata di f1 e una primitiva di −f(λ), dunque

f1(λ) = − log λ+1

2log(1 + λ2)

(la costante si ricava imponendo che sia nullo il limite per λ → ∞). In maniera

analoga, si ottiene

f2(λ) = λ log λ− 1

2λ log(1 + λ2)− arctanλ+

π

2.

L’integrale richiesto, infine, non e altro che f2(0) = π2.

Esercizio 3 Metodi usuali forniscono la soluzione nella forma

z(x, y) = ψ(2x+ log(cos 2y)),

con ψ funzione arbitraria. Scegliendo ψ(u) = eu, si ottiene la soluzione z(x, y) =

e2x cos 2y, che e armonica.


14


−∞

x sinAx

(x2 + 1)2dx,

dove A = numero lettere del nome.

Esercizio 2 Si determini la funzione f , di tipo esponenziale, la cui trasformata di Laplace

sia la funzione

F (λ) =λ+ 16

(λ2 − 4)2

Esercizio 3 Esplicitare rispetto a z la soluzione generale dell’equazione differenziale

yp+ xq = 3x


Esercizio 1 L’integrale richiesto non e altro che la parte immaginaria dell’integrale

seguente: ∫ +∞

−∞

x eiAx

(x2 + 1)2dx,

che, per noti teoremi, concide con la quantita’:

2πiRes[zeiAz

(z2 + 1)2; z = i].

Il residuo suddetto si calcola con metodi usuali (si tratta di polo di ordine 2) e si ha

infine ∫ +∞

−∞

x sinAx

(x2 + 1)2dx =

Aπe−A

2.

Esercizio 2

Con metodi usuali, si riconosce che F (λ) puo’ esprimersi come segue:

F (λ) =9

8

1

(x− 2)2+

7

8

1

(x+ 2)2+

1

2

(1

x+ 2− 1

x− 2

)=

= − d

dλ

(9

8

1

x− 2+

7

8

1

x+ 2

)+

1

2

(1

x+ 2− 1

x− 2

).

Ora

− d

dλ

(9

8

1

x− 2+

7

8

1

x+ 2

)15

e la trasformata di g(t) = 98te2t + 7

8te−2t,

mentre1

2

(1

x+ 2− 1

x− 2

)e la trasformata di h(t) = 1

2(e−2t − e2t). Sommando, otteniamo infine

f(t) =1

2(e−2t − e2t) +

9

8te2t +

7

8te−2t.

Esercizio 3 Si puo’ risolvere l’equazione omogenea associata, e poi determinare una

soluzione particolare. L’equazione omogenea si risolve facimente con il metodo delle

caratteristiche, e fornisce la soluzione

z0(x, y) = ϕ(y2 − x2)

con ϕ funzione arbitraria. Una soluzione particolare dell’equazione data si trova

facilmente, imponendo che z dipenda solo da y: una soluzione di questo tipo si puo’

scrivere nella forma z = f(y), ove f verifica la condizione

xf ′(y) = 3x

ossia f ′(y) = 3, il che fornisce evidentemente f(y) = 3y. La soluzione generale ha

dunque la forma

z(x, y) = ϕ(y2 − x2) + 3y.


Esercizio 1

Nello spazio L2([−1, 1]) e data la funzione

g(x) = x3 − x.

Si determini, nello stesso spazio, la funzione lineare, h(x) = ax + b, che meglio

approssima g in L2.

Esercizio 2 Si determini la trasformata di Laplace della funzione

f(x) = cos4 x.

16

Esercizio 3 Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale

xp+ y2q = yz

in termini di z(x, y).


Esercizio 1 Si tratta di minimizzare la funzione

φ(a, b) =

∫ 1

−1

(g(x)− ax− b)2dx

rispetto ad a e b. Un calcolo diretto fornisce

φ(a, b) = −18/35− 4a/5 + 2(1 + a)2/3 + 2b2

da cui facilmente si deduce

φ′a(a, b) = 0 per a = −2/5 e φ′b(a, b) = 0 per b = 0.

La retta cercata e dunque y = −2x/5.

Esercizio 2 Ricordando che cos2 x = (1 + cos 2x)/2 e sin2 x = (1 − cos 2x)/2 si ricava

facilmente

cos4 x = cos2 x(1− sin2 x) = cos2 x− 1

4sin2 2x =

=1

2(1 + cos 2x)− 1

8(1− cos 4x) =

1

2cos 2x+

1

8cos 4x+ 3/8.

Ora, poiche la trasformata di cos(ax) e λλ2+a2 e quella di 1 e 1

λ, il risultato finale e

f(λ) =1

2

λ

λ2 + 4+

1

8

λ

λ2 + 16+

3

8λ=

λ4 + 16λ+ 24

λ(λ2 + 4)(λ2 + 16).

Esercizio 3 Metodi usuali forniscono la soluzione

z(x, y) = yf(log x+1

y),

con f funzione arbitraria.


17

Esercizio 1 Detto A il numero delle lettere del nome, si determini il valore del seguente

integrale: ∫ +∞

−∞

(x+ A) sinx

x2 + 4dx.


f(x) =1− cosx

x2.


xp sin y +q

y= x sin y



Esercizio 1 Dato che la funzione sin x e dispari, l’integrale cercato si riduce a∫ +∞

−∞

x sinx

x2 + 4.

Adoperando il metodo dei residui, si ottiene il risultato:∫ +∞

−∞

x sinx

x2 + 4= πe−2.

Esercizio 2 Poiche la trasformata di Laplace della funzione 1− cosx e data da

F (λ) =1

λ− λ

λ2 + 1,

integrando due volte, e tenendo conto dell’alternanza del segno, si ottiene il risultato:

L(f)(λ) = arctan1

λ− 1

2λ log (1 +

1

λ2).

Esercizio 3 Usando il metodo delle caratteristiche, si ottiene facilmente

z(x, y) = x+ f(sin y − y cos y − log x)



18

Esercizio 1 Si calcoli l’integrale definito, nell’intervallo [0,+∞[, della funzione

f(x) =x4 sin2 x+ x3 + sin2 x+ x

(x4 + 1)(x2 + 1).


h(x) = x2 cos2 x.


y2p2 − x2q2 = 0



Esercizio 1 Raccogliendo opportunamente a numeratore, si ottiene

f(x) =x

x4 + 1+

sin2 x

x2 + 1.

Il primo addendo e un integrale immediato:∫ +∞

0

x

x4 + 1dx =

1

2

∫ +∞

0

1

t2 + 1dt =

π

4.

Il secondo addendo si puo’ trasformare, osservando che sin2 x = 1−cos 2x2

, e∫ +∞

01

2x2+2dx =

π4. Applicando ora il metodo dei residui, si ottiene:∫ +∞

0

cos 2x

2x2 + 2dx =

π

4e2

e infine ∫ +∞

0

f(x)dx =π

2− π

4e2.

Esercizio 2 La trasformata di Laplace di cos2 x e

G(λ) :=2 + λ2

λ(λ2 + 4)

come si riconosce facilmente, dalla formula: cos2 x = 1+cos 2x2

. Derivando due volte

(due inversioni del segno non hanno influenza), si ottiene

h(λ) = 2λ6 + 24λ2 + 32

λ3(λ2 + 4)3.

19

Esercizio 3 L’equazione si scompone nella seguente:

(yp+ xq)(yp− xq) = 0

che e soddisfatta da tutte le funzioni z del tipo

z(x, y) = φ(x2 + y2), oppure z(x, y) = ψ(x2 − y2).



0

xcos2 x2

x4 + 1dx.

Esercizio 2 Si trovi la funzione f(x), la cui trasformata di Laplace e

f(λ) =2

λ(λ2 + 16).

Esercizio 3 Risolvere la seguente equazione differenziale:

p− 2xq + ex = 0.


Esercizio 1 Con la posizione x2 = t si perviene a∫ +∞

0

xcos2 x2

x4 + 1dx =

1

2

∫ ∞

0

cos2 t

t2 + 1dt =

1

4

∫ ∞

0

cos 2t

t2 + 1dt+

1

4

∫ ∞

0

1

t2 + 1dt.

Chiaramente, si ha∫∞

01

t2+1dt = π

2. Inoltre, usando il metodo dei residui, si trova

facilmente ∫ ∞

0

cos 2t

t2 + 1dt =

π

2e2.

Pertanto, si conclude:∫ +∞

0

xcos2 x2

x4 + 1dx =

π

8(

1

e2+ 1) ∼ .4458451233.

20

Esercizio 2 Scomponendo la funzione f(λ), si trova

f(λ) =1

8(1

λ− λ

λ2 + 16).

Poiche 1λ

e la trasformata della costante 1, e λλ2+16

e la trasformata di cos 4x, si deduce

f(x) =1

8(1− cos 4x) = sin2 x cos2 x.

Esercizio 3 I metodi usuali forniscono la soluzione nella forma

z(x, y) = f(x2 + y)− ex




0

(1− 2 sin2 x)2

x2 + 1dx.

Esercizio 2 Si trovi la funzione f(x), la cui trasformata di Laplace e

f(λ) = arctan2

λ.

Esercizio 3 Risolvere la seguente equazione differenziale:

p = qx+ z


Esercizio 1 Note formule trigonometriche permettono di esprimere il numeratore come

segue:

(1− 2 sin2 x)2 = cos2 2x =1 + cos 4x

2.

Usando il metodo dei residui, si ha facilmente:∫ +∞

0

cos 4x

x2 + 1dx =

π

4e4∼ .014385.

Essendo poi∫∞

01

2(x2+1)dx = π

4, ne segue che l’integrale cercato e uguale a π

4+ π

4e4 ∼ .8

21

Esercizio 2 Calcolando la derivata di f , si ha

f ′(λ) = − 2

λ2 + 4= g(λ),

ove g(x) = − sin 2x. Note regole di trasformazione forniscono facilmente

f(x) =sin 2x

x.

Esercizio 3 Applicando il metodo delle curve caratteristiche si ricava:

z(x, y) = exF (y +x2

2),

con F funzione arbitraria.


Esercizio 1 Si calcoli il seguente integrale definito:∫ +∞

−∞

sin2 x

x2 + 4πx+ 4(π2 + 1)dx.

Esercizio 2

Si determini la funzione f , la cui trasformata di Laplace sia:

f(λ) = arctan5

λ.

Esercizio 3

Si risolva in termini di z la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:

xp+ (x+ y)q = 2z.


Esercizio 1 L’espressione a denominatore puo’ scriversi: (x+ 2π)2 + 4. La sostituzione

t = x+ 2π trasforma l’integrale da calcolare come segue:∫ +∞

−∞

sin2 x

x2 + 4πx+ 4(π2 + 1)dx =

∫ +∞

−∞

sin2 t

t2 + 4dx.

A questo punto il calcolo procede mediante il metodo dei residui. Il risultato e:∫ +∞

−∞

sin2 t

t2 + 4dx =

π

4(1− e−4) ∼ .771.

22

Esercizio 2

Poiche (f )′(λ) = g(λ), dove g(x) = − sin 5x, facilmente ne segue che

f(x) =sin 5x

x.

Esercizio 3 Dalle equazioni caratteristiche si ricava

z = Kx2, y = cx+ x log x,

per cui la soluzione generale e:

z(x, y) = x2F (y

x− log x),



Esercizio 1 Si calcoli il seguente integrale definito:∫ +∞

−∞

4 sin2 x cos2 x

x2 − 2x+ 3dx.

Esercizio 2 Si determini la funzione f , la cui trasformata di Laplace sia:

f(λ) =λ

λ2 + 2λ+ 2.

Esercizio 3 Si risolva in termini di z la seguente equazione differenziale alle derivate

parziali:

(1 +√x)p+ xq = 1.


Esercizio 1 Essendo 4 sin2 x cos2 x = sin2 2x = 1−cos 4x2

, l’integrale da calcolare e

1

2

∫ +∞

−∞

1

x2 − 2x+ 3dx− 1

2

∫ +∞

−∞

cos 4x

x2 − 2x+ 3dx.

Usando il metodo dei residui, si trova:∫ +∞

−∞

1

x2 − 2x+ 3dx =

π√2,

23

∫ +∞

−∞

cos 4x

x2 − 2x+ 3dx =

π√2e−4

√2 cos 4,

pertanto si ha∫ +∞

−∞

4 sin2 x cos2 x

x2 − 2πx+ 3dx =

π

2√

2(1− e−4

√2 cos 4) ∼ 1.113257

Esercizio 2 Chiaramente, si ha

f(λ) =λ

(λ+ 1)2 + 1

dunque f = −g′, ove g(λ) = 1(λ+1)2+1

. Semplici proprieta’ della trasformata di Laplace

comportano che g(x) = − sinxe−x, per cui

f(x) = e−x(cos x− sinx).

Esercizio 3 Col metodo delle curve caratteristiche, si ottiene:

C1 = 2√x− x+

2

3x√x− 2 log(1 +

√x)− y,

C2 = 2√x− 2 log(1 +

√x)− z

da cui

z = 2√x− 2 log(1 +

√x) + F (2

√x+

2

3x√x− x− 2 log(1 +

√x)− y)


24

prove scritte di metodi matematici, anno 2001/02candelor/compiti/raccomet0102.pdf · (dato che...

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