prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

14

Upload: helenice-lopes

Post on 08-Aug-2015

85 views

Category:

Education


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� �������������� ���! �"!#$��$�%&'#���#%#!�������#��� �(�) #���*$��(+�,-.-/,-..���01�2�3456�78�789�:;58<43�:6=><6?3�@�?A>6B�6�0CDE�F8:=<8�83383�:;58<43G�8H?3=85�8H6=658:=8�I>6=<4�:;58<43�J<?543�7?3=?:=43E�K8�<8=?<6<543�=<L3�:;58<43�J<?543�76�3456G�6�5@7?6�6<?=5@=?M6�3?5JB83�8:=<8�43�:;58<43�<83=6:=83�38<N�?A>6B�6�0OE�F8:=<8�43�:;58<43�<8=?<6743G�J478543�6P?<56<�I>8�4�58:4<�Q6B8�61�0�R1�S�M1�D�71�T�81�U��VWKXYKZ2[�R��VWKY\] _Y[�K865�0JG�SJG�DJ�8�CJ�43�I>6=<4�J<?543�7?3=?:=43�78:=<8�43�789�:6=><6?3G�8:=a4�0 S D 0 S D 0 S D0CD J J J 0O 0CD J J J 0DD J J J 0bUc c c d e c c c d e f f d �Y3�:;58<43�J<?543�:a4�56?4<83�I>8�0b�3a4[�SG�DG�T�8�UE�X6<6�I>8�=<L3�:;58<43�J<?543�7?3=?:=43�=8:g65�3456�0bG�8:=a4�43�J<?543�78Q85�38<�SG�D�8�TE�\4A4G�4�58:4<�:;58<4�<8=?<674�@�SE���S1�h6�P?A><6�6R6?H4G�=8543�4�385?Mi<M>B4�78�7?j58=<4�2k CM5d �8�M8:=<4�YE�K865�l�4�J4:=4�5@7?4�78�2Y�8�h�4�J4:=4�5@7?4�78�YkE�m45�M8:=<43�85�lG�Y�8�hG�=<6n65o38�D�385?Mi<M>B43�78�<6?43�?A>6?3�6�0M5�8�M4:=?743�:4�?:=8<?4<�74�385?Mi<M>B4�78�7?j58=<4�CM5�8�M8:=<4�YE�2�N<86�76�<8A?a4�345R<8676G�85� SM5 G�6�I>6B�83=N�3?=>676�:4�?:=8<?4<�74�385?Mi<M>B4�56?4<�8�8H=8<?4<�643�=<L3�385?Mi<M>B43�58:4<83G�Q6B8� �61� Dpc �R1� Spc �M1� SSpf ��71� DSpf �

Page 2: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ����������� � !"# ��$%&'(&)*+����$%&(,-./(+� �*�01�2�32�1�4567�879:1�232�;�54<2=�>�01�2�37�8�95?@1?<=7�3��35A9�B17�*C�9�D78�2�01�2�378�8�95?@1?<=78�3��35A9�B178�*(���(CE�9�D78�2�01�2�37�8�B71�?51?<=21�(FG�3�� H�9258�2�01�2�3��3758�8�49�DB78�?51?<=21�8�3�� HI�! ! ! ! ! !! J J J J � � � �& ! ! ! ! ?9! ! K K !L M L M"N "N "N "N " " "O #N # P N # O"#"# P # O #Q R Q RS T S T �����%9�<92�1�<D567�?79�2=<D78�32�F2U2=2152E�1�2=5V232�3<12DB��B7378�78�3528�3��<92�9�892�8�92D2�D7�FW$XE�28�Y1�Z<[D?528�378�2=<D78�\21B5?5\2DB�8��8B67�1�\1�8�DB2328�D2�B2:�=2�2:25]7I� �F7D853�12D37�Z<��?232�<9�378�\21B5?5\2DB�8�\1�?587<�Y2=B21��]2B29�DB��!�3528E��DB67E�1�=2B5U29�DB��27�B7B2=�3��\21B5?5\2DB�8E�2�\71?�DB24�9�3��2=<D78�Z<��Y2=B2129�D2� �Y�512�;�9258�\1_]592�3��2��Ka�:��KHa�?���ba�3���a�����!a��$%&'(&)*+�2��$%&(,-./(+�&�c2�D�7�Dd9�17�B7B2=�3��2=<D78�\21B5?5\2DB�8E��DB67�7�B7B2=�3��Y2=B28�;�!DI�(�B7B2=�3��\1�8�De28�9258�7�B7B2=�3��Y2=B28�;�54<2=�2�?5D?7�U�V�8�7�Dd9�17�3��2=<D78I�f g� �H �! K � !D D �D �K D JJP P P P P O h O i O I�,747E�2�\71?�DB24�9�3��2=<D78�Z<��Y2=B2129�D2� �Y�512�;�JJ � ! HK! KE!aJJ JJ# O j O ���

Page 3: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ������������� !"#$�%�&'()�*�#+�,-.�/"-�-/01���0!�"-/�,�&( 2�3+4 �1���0!�"-/�,�') 523+4 6�718����#+�9-/:-�;#�,;#1$�.-<$1�-�,�0-�&'=�.18�+�>�1�?�-.�9*.�0�.�91$91/0!3#,�$1.�<�!@�0�.�01����%�$1.913:!A�+1/:1%�&(1')6��1.:�.�3-/0!BC1.%�;#�,�0-.�A�,-$1.��<�!@-�$19$1.1/:��-�A�,-$�+D/!+-�01�>?E� ����F%G�3+�<��H%G�3+�3��I%F�3+�0��I%J�3+�1��KL%G�3+��MN7>O7P&Q�3��MN7ORSTUOQ� �(-+-�V&'()�*�#+�,-.�/"-%�1/:W-�&XX(4 %�'XX)4 �1�&( ')Y 6�'? �? KF ?X >X'?�Z 'X& [ >XK2[ ?XKFKF['X &X KF K2\] ] ^ 4 ^ 4 4 _ 4 ` 4 \ �&9,!3�/0-�-�:1-$1+��01�>!:a"-$�.�/-�>?X] %�:1+-.Q�b c b c b c2 22 2 2 2 2>? >X ?X K2[ KFKF[ �LL[ GK2[ 2GF KF2G[ 52KF4 d 4 d \ 4 \ d 4 \ d �O�A�,-$�+D/!+-�01�>?�-3-$$1�;#�/0-� 2>?�*�+D/!+-%�-#�.18�%�;#�/0-��� #/BW-�;#�0$�0��3!+���:!/"1�.1#�A*$:!316�&..!+%�b c e f22gX� h 52 �2GKF KL2�KFLL GHFKF>? i KF KF�2G KLL KLLj k\ \ \l l \ \ lm n4 4 l 4 l 4l 6�R-"-%� gX� GHFKF 2��>? I%F3+KLL KLl l4 4 4 6���

Page 4: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ������������� �!�"#$%&'()%�!*+,&+'-!� ��"&- .+%*�!$*"&"/+% �& !�%0*!�$*'�!1�23424567879:7;94<==>;9?2@23A7;BC9D"$!*"�E "�!��"&�!�-%/&+!�F"�F !&�G!&+"&�$!*!.".!&�F"�H"**%�H /F'F!&�$"*$"/F'- .!*�"/+"�"�� �!��"&�!�0!&"�"�"&-%*!F!&�$%*�F%'&�-!0%&�F"�!(%�*"+'.,/"%&1�-%�%��%&+*!�!�H'I *!�!0!'#%J�K&�!.+ *!&�F!&�G!&+"&��"F"�1�*"&$"-+'L!�"/+"1�M��"+*%&�"�N��"+*%&J�O"&$*"P!/F%Q&"�!�"&$"&& *!�F%&�-!0%&1�F"+"*�'/"�!�F'&+R/-'!�F%�$%/+%�F"�'/+"*&"()%�F%&�-!0%&�S�0!&"�F!�"&- .+ *!J��!��N1N����0��N1TT���-��U1V����F��U1�T���"��U1N�����D�WXYWZK[�F��D�WY\] _Y[� �a ba a babac bKd Kd bK M bKe e f g h g �a Ka a KaKac KbO bO Kb N Kbe e f g h g �a a Kaba Kb iU a U1�-�M N Kb Kb Njf j g g gh g g J���M����� �!�*" /')%�-%��%&�$*%H"&&%*"&�F!&�-'/-%�W"(k"&�F"��/&'/%�F%�blDa�mK1�d1�b1�O1���1�L"*'H'-% Q&"�E "�nio�F%&�$*"&"/+"&�"*!��F!�W"()%�K1�N�o�F!�d1�UTo�F!�b1�Uno�F!�O�"�po�F!��J�K.I /&�$*%H"&&%*"&�F!�W"()%�K�&"�! &"/+!*!��!/+"&�F%�H'/!.�F!�*" /')%1�!.+"*!/F%�%�$"*-"/+ !.�F"�$*%H"&&%*"&�F"&&!�W"()%�$!*!�nToJ�Y�$"*-"/+ !.�*"H"*"/+"�!%�/q�"*%�F"�$*%H"&&%*"&�E "�&"�*"+'*% �"��*".!()%�!%�+%+!.�'/'-'!.�"/+"�$*"&"/+"�/!�*" /')%�r�F"�!��UTo�

Page 5: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ������������� ��!��"��#��$��%���&'()*(+,-�"��&'(*./01*-�(2345"4�62$�757 789:$5;$�<8=78�>??@�3A4B$CC4A$CD�$5;E4�<8=78�F%@�3A4B$CC4A$C�"8�($GE4�,H�($�I�3A4B$CC4A$C�"8�C$GE4�,�C$�82C$5;8A8:D�$5;E4�38CC8�8�<8=$A�J KF%@ IL �3A4B$CC4A$C�"8�($GE4�,�$:�2:�;4;89�"$�J K>??@ IL �3A4B$CC4A$CH�M4:4�4�54=4�3$A $5;289�"$�3A4B$CC4A$C�"8�C$GE4�,�N�F?�D�$5;E4�F%@ I F? O O>#@ #I O??@ OI I #@>??@ I >?? #L P P Q L P L Q PL H�,CC7:D�4�3$A $5;289�A$B$A$5;$�84�5R:$A4�"$�3A4B$CC4A$C�62$�C$�A$;7A42�$:�A$98GE4�84�;4;89�757 789:$5;$�3A$C$5;$�58�A$257E4�N�#@ #�>??@P H���S��/:8�3$C627C8�A$897T8"8� 4:�%??�89254C�"4�)A$=$C;�"4�MU&V��A$=$942�62$�>%#D�>#%�$�!>�"$CC$C�89254C�3A$;$5"$:�B8T$A� 45 2AC4�38A8�4�WU'D�4�W+,�$�8�'C 498�X8=89D�A$C3$ ;7=8:$5;$H�'98�:4C;A42D�;8:�N:D�62$�5$5<2:�"4C�$5;A$=7C;8"4C�3A$;$5"$�3A$C;8A�=$C;7�298A�38A8�8C�;AYC�75C;7;27GZ$C[�62$�=\A74C�"$9$C�B8AE4�"47C�"$CC$C� 45 2AC4C�$�62$�;4"4C�B8AE4�3$94�:$54C�2:�"$9$CH�(8�$5"4�62$�8�6285;7"8"$�"$�$C;2"85;$C�62$�B8AE4�8C�3A4=8C�38A8�4�WU'�$�4�W+,�N�7]289�84�"4�A4�"8�6285;7"8"$�"4C�62$�A$897T8AE4�8C�3A4=8C�38A8�4�WU'�$�8�'C 498�X8=89�62$D�34A�C28�=$TD�N�7]289�84�"4�A4�"4C�62$�3A$C;8AE4� 45 2AC4�38A8�4�W+,�$�8�'C 498�X8=89D�8�6285;7"8"$�"$�$5;A$=7C;8"4C�62$�B8AE4�83$58C�8C�3A4=8C�38A8�8�'C 498�X8=89�N�7]289�8�8��F�����F#� ��F?�"��%!�$��%?��&'()*(+,-� ��&'(*./01*-�

Page 6: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ������� ������� �!��"�"#$�%&�'((�&)"*&+,-"#%�-�&�.!&�"�%�-��-�&)"*&+,-"#%�-�/#*0��1&$���&)�-�!��%�-�+&-",2!$#*&-3�&)"0��4 54 54 56'789 67'79 86'9 :9 ;9 9 '(( 9 <= > = > = > > > ? @ ? A�B�C�3�#�.!#)",%#%&�%&�&)"*&+,-"#%�-�.!&�/#*0��#1&)#-�#-�1*�+#-�1#*#�#�D-E�$#�F#+#$�G�,C!#$�#�86'9 86'< :(= ? =H? A���IJ�K#%�-��-�)L�&*�-�*&#,-�#3�23�E�%,/&*&)"&-�%&�M&*��&�# 2 E (> > N 3�1#*#�.!&�#�,C!#$%#%&�6 6 6 6# 2 E # 2 E> > ? > > �-&�1*&�-&�+&*,/,.!&3�%&+&��-�"&*3�)&E&--#*,#�&)"&�#J�# 2 ;E? ? �2J�# 2 ;E? ?= �EJ�# 2? ��!�2 E? ��!�# E? �%J�# E 2;> ? �&J�# 2?=��!�2 E?=��!�# E?=��ODPQRPSTU�&��ODPRBVWXRU� 4 5 4 5 4 56 6 6 6 2E# 2 E #E# 2 E #2# 2 E #2E# 2 E # 2 E> > ? @ > > > > > > > > ?> > �; ; ; ; ; ;;#2E2E2E #E#E #2 #2 (@ > > > > > > ? �4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5;; ; ; ;2 # E #E# E 2# ;#EE ( 2 # E #E# E 2# E (@ > > > > > > ? @ > > > > > ? �4 5 4 5Y Z 4 54 54 5;# E2 #E2# E ( # E2 # 2 E (@ > > > > ? @ > > > ? �# E # 2 2 E@ ?= [ ?= [ ?=���\J�R-�"*,])C!$�-�T ��&�T K�%#�/,C!*#�-0��,-_-E&$&-�E���T T� K? ? A�P&#�D���1�)"��%&�,)"&*-&a0��%&�K�E���T�A�P&�K�G�1&*1&)%,E!$#*�#�T�3�&)"0��#�-��#�%�-�])C!$�-�b�&�bK�+#$&�

Page 7: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� �������������� �!���"# �$���%# �&���%� �'���(# ��)*+,-+./0�&��)*+-1234-0� �5# "67 778/9 "6 /89 /98 :# 6";< = < < < ; �> ?7798* :# 89/ :# :# 6 6< ; < ; ; < �> ?7 7 7/8@ /89 98* :# 6 6 :# "6< ; < ; ; < ; �> ?7�5# /8@ �5# :# "677/@8 @/8 (� 6" "; ; ;< < < < A �> ?> ?7 77 79 @ /98 /@8 :# 6 (� 6 �%�A < A < ; A A < ����#��B'C����D�EE�F'G��!�H6IJ�KL�ME$LHK��&I�NHOLI�&I�P�GIEI�QHEKILH�&IL�FL'FI�&���MKHFRH&�&'�S'LT&IKIJ�SHEKTLH��U�1HOLI�VV�W*FHKI�X�YZ[\][_ab_c\d\e[fghihjklmhlijinojipqngrslirjtlipoghuirqvgipohswrxogipliyqgsnjivozijosjxlrsjhilihlhhlrsgilhs{pojhuijqihl|guijoslrsgiliqvilhyqlrjh}i~jizosjngzigi�lkghigipohswrxogi�iplihlohivozixlrsjilitorslilhs{pojh�ipli�lkghigi�zl�grsorguivozilijosjxlrsjhilhs{pojh}i�gihqgijnzgizosjnwrlguiji��osjivlpli���c\�_\[\c[_c�[��bc\[c���_bc��i�I�K'6KIJ�S'LT&IKI�$HK��&R�E��MKHF�E�RMH&�&'E�&'�G'&H&�0�I�'EK�&HIJ�'�RHO�N'MK'���#J�5���RHN�G'KLIEJ�'�I�'E�R'MIX�-�NHKIL�N�!L�EHN'HLI�K'G�$'L$��&'��(:"�####�$'MK�G'KLIE�&'�'6K'ME�IX���MK'M&I�E'��E�G'EG�E�$IM&H��'E��DIMK�&�E�DIL�S'LT&IKIJ�I�M�G'LI�&'�&H�E�M'$'EE�LHI�D�L��D'L$ILL'L�I�NHKIL�N�!L�EHN'HLI�E'L��HFR�N���������!���%�$�����&�����'���:��)*+,-+./0�$��

Page 8: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ����������� !"#�$� %%�&'()*+, -.%/012 %12 &'()*+,'-.%/03 4 3 �%56780----92 5678.012 5678.0 &'()*+,'-.%/03 3 : �;,2,�6/5-&'()*+,'�'<,�=&>9,>>+*,'�&2�7�*+?'.�&@(<,�&2�%�*+?�'<,�=&>9,>>+*,'�6/5-&'()*+,'7 A�B''+2.�,�@C2&>,�*&�*+?'�@&9&'')>+,�=?>?�=&>9,>>&>�,�D+(,>?D�E>?'+D&+>,�'&>)�+FG?D�?�5678.0 5678.0 7-.%/0 50*+?'6/5- -.%/0 6/5-7 3 : A���%%H�I,�>&(J@FGD,�BK;L.�,'�=,@(,'�M�&�N�=&>(&@9&2�?,�D?*,�BK�&�'<,�(?+'�OG&�BM MN NK3 3 A���=,@(,�2P*+,�*,�D?*,�;L�P�,�=,@(,��A�B�*+?F,@?D�B;�+@(&>9&=(?�,'�'&F2&@(,'��M�&��N.�>&'=&9(+Q?2&@(&.�@,'�=,@(,'�R�&�SA�B�)>&?�*,�>&(J@FGD,�BK;L�2&*&� 85-92 A�B�)>&?�*,�(>+J@FGD,��RS.�&@(<,.�P�+FG?D�?� �?H� 80928 �EH� 8T092%8 �9H� 8T92 �*H� 85928 �&H� 8T092/ �����U��VB$�9������ !"#�$� %BKRM BM 8 �R TTBMRW ;�R %�R �; T �M 0;L8X X Y 3 3 3 Y 3 �

Page 9: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ����������� � ! "� ##� �$ %"� &"� "% # " '%(�) ) * + + + * + �",� ",� "- "- . ","� ## / /. .. "-" 0' #0 #01+ + 1+ * + 11 �"- ��%(&���(- �( & &#. ���( .� � 2 211+ + + 1 1 + � �",� "- ��%( ��%(/ / & # #. . . . '3 #45#0 #02 '3 '3+ 1 + 1 + + 1 + ���&�6�.7�8� 8& 8 8 & 8& 8# # # # &3' �'8� 88� 8& 8 8 & ' #''� � � �9 9 : :: : : 1 : 1+ :9 9 : 9 1: : : ;�78<=>�>�?@A>B�C7�8D�@6�!9�E6��9�46�3�C6���76�!��F".GH.I�J�7��F".HKLMNHJ� O PO P O PO P8� � # 88� � # 8 �8� 8& 8 8& 8& 8# # # # &3' �' # &## # ' &3' �8� 88� 8& 8 8& ' #'' � &� � � ' ' #'� � � � 999 9 : :: : : 1 : 1 :: : 1:+ Q +:9 9 : 9 1 : : : 9: : : �8� �8�8�# !3 '� # # 8 � � 8 !&� � �� &0 9991 RS RSQ + Q + Q 9 + Q +TU TUVW VW1 ���&#6�L5�XBYZ>�C7�@5[X>\�\7�B7Y8[Y�8Y5�B7\<@YB@8<7�7;�8@�]>B@�C7�Z@X@B�@�4>8<@;�Y7�7B@�C7�F_�233;33;�C>[\�C7A7\�Z7B47E7B@5�Y7�7\<@?@5�\75�C[8]7[B>�4>8\7Y78<7578<7;�8=>�<[8]@5�4>5>�Z@X@B�\Y@\�B7\Z74<[?@\�Z@B<7\a�b\\>�c7d�4>5�Y7�4@C@�Y5�C>\�>Y<B>\�4>8<B[EYe\\7�4>5�5@[\�F_&3;33a�H\�C>[\�@5[X>\�Y7�8=>�<[8]@5�A7?@C>�C[8]7[B>�4>5E[8@B@5�78<=>�Y7;�8>�C[@�\7XY[8<7;�4@C@�Y5�C7A7\�C7Z>\[<@B[@�8@�4>8<@�E@84fB[@�C7�Y5�C>\�Y7�Z@X>Y�@�57\5@�Y@8<[@�Y7�>\�C75@[\�]@?[@5�Z@X>;�@4B7\4[C@�C7�&3g�C7�5YA<@a�%>5�[\\>�\7B[@�4B[@C@�Y5@�4@[h[8]@�@�\7B�Y\@C@�75�cY<YB>\�784>8<B>\a��\\[5;�@�4@[h[8]@�c>[�4B[@C@�4>5�>�?@A>B�[XY@A�@�@6�F_�&#�;33�E6�F_�&�3;33�46�F_�&&3;33�C6�F_�22;33�76�F_�23;33��F".GH.I�J�@��F".HKLMNHJ�

Page 10: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ����������� !��"#$%#� �#&%'�()�* +,��- . - . /011 011 21 011 011 / 21 / / 2/1 1 / 3 4 5 3 3 4 3 5 3 3 43 �- . 21 ,��6� $7& 2/5 43 8 4 �9(�- . / 2/ / 213 4 3 4 �#&%'�(��#'#:#&�011 01214 �:*#%(;�9�$#<�:�!#�6#%=% "#�7�/012)22>/? ? 4 �:*#%(;���2@A�9��:*B��!��% ':*((���#:#��&#��*B#�+*#+:#<�6�(+#$#�CD�2E1)11;�F*:+��!%#)�#�#!&% %(+:#B,��!��+*#+:��G*H��&#��:�&�B,�)�:*!�H% !�����:*B��!��% ':*((�;�I&�6� (*J�K 6%#)�G�%��L(*:$#!���&�#�&* +��!*�E1M� �� N&*:��!*�*(�*6+#!�:*(�*��&�#6:7(6%&��!*�/EM� #�:* !#�!��*(�*+O6�<�;�P�:*!�B,���*:6* +�#<�#�:�=%&#!#� ���:*B��!��% ':*((��G�%�!*�#A�21M�LA�20)0M�6A�/1)@M�!A�/>)QM�*A�/EM��CI�R9�SPT�L��CI�9UVWX9T��*Y#&�Z��� N&*:��+�+#<�!*�*(�*6+#!�:*(�*�C�#�:* !#�% %6%#<)�* +,�� CC 2E1Z 2E1Z4 ? 5 4 ;��*Y#�R[����:*B��!��% ':*((��#�\(�#�:*!�B,�)�* +,�T�- . - . 2)/EC 2/ER[21)EZ 21)/EC R[ 2E1 2/E2)EZ 2E1?] 4 ] 5 4 4 ? 4 ;�U�'�)�#�:*!�B,���*:6* +�#<� ���:*B��!��% ':*((��G�%�2E12/E211M 20)M2E13 ? 4 ���2EA�F*:+��!%#)�F<#�!*+*�*�P<*=# !:*)��:�G*((�:*(�*&��&#�� %!#!*�!��_% %(+7:%��!#� *G*(#)�:*6*L*:#&�#<'� (�:*6�:(�(�(�L:*��:�$#(�!*��&��:�6*((��*=+*: ��!*�(*<*B,���#:#�*&%+%:��#:*6*:*(�*��(�!%$%!%:#&�* +:*�(%� #�:#H,��% $*:(#�!*�(�#(�:*(�*6+%$#(�%!#!*(T�>E�*�@1�# �(;�Z#�*=*6�B,��!*((#�+#:*G#)�#�6#�#6%!#!*���*:#6%� #<�!*�P<*=# !:*�G�%�EM�!#�!*�F<#�!*+*�*�#&L�(�#�% %6%#:#&�J�# !��*:#&�!*6�::%!�(�22>/�!��!%#)�+:#L#<"# !��% % +*::��+#&* +*�#+7�6�&�<*+Oa<#;��*�P<*=# !:*�<*$���>�"�:#(�*�>1�&% �+�(��#:#�+*:&% #:�#�(�#��#:+*)�* +,��F<#�!*+*�6�&�<*+���#��#:+*�!*<#�b(�#A�21�"�:#(�*�@E�&% �+�(;�LA�22�"�:#(;�6A�22�"�:#(�*�2E�&% �+�(;�!A�2/�"�:#(�*�2E�&% �+�(;�*A�2/�"�:#(�*�@E�&% �+�(;��CI�R9�SPT�6��CI�9UVWX9T�

Page 11: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ������������ ���!"�#$%&�&��&��'�("')*)��#�+%)�&*)�,*'�-+�"&�$��#*�$�.,*� $���/���!"�#$%&�&��&��'�("')*)��#�+%&*)�,*'�0+� �#&'��#*�$�.,*�/$1��#$2*� / 3/45 67/ 845 867 9: ; : ; : <�0�!"�#$%&�&��&��'�("')*)��#�+%)�&*)�=�,'*,*'(%*#�+��*�$�.,*�>�?�)���(�,�(%&�&��*,�'�(%*#�+<�0))%.1���'�?2*��#$'����!"�#$%&�&��&��'�("')*)���*�,'*&"$*�&��(�,�(%&�&��*,�'�(%*#�+�,�+*�$�.,*�=�(*#)$�#$�<�0))%.1� / 3/ / / 349 $ 415 4@48$ 7195$ $ 964156: ; : ; : AA :A A A <�88 88&%� B6@ 3@85.%#4B 4B: A : �C*D*1�-+�"&�$��(*.,+�$*"���,�'$��&�+��E)�3@85.%# 4@ 88@85.%#F : <���8GH�I*)�,"+.J�)1�*��'��$%#D����$�.,�'�$"'��&*�(*',*<�K��'�� �+�&*�$�.�$�.,�'�$"'��%#L�'%*'�E�&*�(*',*1��M�!"��=�'�)L'%�&*�#�)�,�'�&�)�&*�#�'%?<�-%�#$%)$�)�'��+%?�'�.�.�&%&�)�(*.�".�,�!"�#*�,M))�'*�&*�&�)�'$*���(*#(+"N'�.�!"����$�.,�'�$"'��&*��'�� �+�&*�=�".��L"#O2*�&��$�.,�'�$"'��PQRSTUVTWXYZP[TP\]XTQXT[V\][X_STUVaS_][X\SbcdP\][XeTc]XcSbf]XghUVf]&"O2*�E�i�$�.M$%(��,�'��ZS]_STUVS[VP[jkX\TXlWXZPV[_mTcTVnW�o�'��".��$�.,�'�$"'���.p%�#$��0q�.�&%&���.�D'�")�-�+)%")1�$�+�!"�� 0B7- q 67-r r 1���$�.,�'�$"'��&*��'�� �+�&*�sq�=�&�&��,*'�s 0q 315 713q: F A <�-*#)%&�'�#&*��,�#�)�*)�>�+*'�)�%#$�%'*)�,�'����>�'%M>�+�0q1���'�?2*��#$'��*�.�%*'���*�.�#*'�>�+*'�)�*p$%&*)�,�'��sq�)�'M��,'* %.�&�.�#$��%D"�+����H�8159�pH�81G5�(H�8195�&H�813G��H�B��ts�oK�q0u����ts�KCvwxKu�0B7- q 67-r r �0�L"#O2*�!"��'�+�(%*#��sq���0q�=�".��L"#O2*�('�)(�#$�<�0))%.1�*)�>�+*'�)�.N#%.*���.M %.*�&��sq�*(*''�.�,�'��0q�%D"�+���B8-���4y-<�z {s i|Iq 315 713B8 B514-: F A : �z {s i0}q 315 7134y 4y19-: F A : �z {z {s i0}s i|Iq 4y19 8159q B514: : ���89H�v.��&�)�.�%*'�)��$'�OJ�)�$"'N)$%(�)�&��-�,�&~(%��=�*�,�))�%*�&��p�+2*<�s)$�#&*�&��L='%�)�#�!"�+��+*(�+%&�&�1�0&�.�'�'�)*+>�"�(*#@�(�'�&��,�'$*����$%>%&�&�1�&%'%D%#&*�)��&��$M %��*�+*(�+�%#&%(�&*<�I*�.�).*�%#)$�#$���.�!"���>%)$��".�p�+2*��?"+�!"��%#%(%��)"��)"p%&��>�'$%(�+�(*.�>�+*(%&�&��"#%L*'.��

Page 12: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� �������������� !"�#"!�$�%&'�"(��)��*"��+,�,�*"!!�!(����)-'.,�!� ,�'&��#),'"�."!-/"' ,)(�����-!�+0"�,"�1,)0"�*"��2�)"*-�,���&'-3"!������4��� !"$�#"!�$�%&'�"5�6�(�'"��"��' "�-'-*-,)(����7&��"�1,)0"�,-'�,�$���'*"' !,2,���� �!!,(�,��-$ 8'*-,����-�,�',�."!-/"' ,)��' !��9���,!���"�1,)0"��!,����:;;��� !"$(�,���'"!��-$ 8'*-,��<-$ �' ���' !���)�$�$�!=����,>��?�;��� !"$5�1>�:;�;��� !"$5�*>�4; ?��� !"$5��>�@;?��� !"$5��>�?; ?��� !"$5��AB6CD6E9F�1��AB6DGHIJDF� �9#K$�&�� ��#"� �$�%&'�"$(�9���,!�$����$)"*"&�4 L��� !"$�#,!,�,��-!�- ,���"�1,)0"�� L��� !"$�#,!,�*-�,5�M�$$���"��' "(�"�7&,�!,�"��,��-$ 8'*-,��' !��9���,!���"�1,)0"�N�O P:: : : : :9QRQ 9QR RRQ :;;4 �; �:;; @;;;;S T S U T S U T (�"1 -�,�,�#,! -!��,�,#)-*,+0"��"� �"!��,����C- =%"!,$�'"� !-8'%&)"�9QRRQ5�9���'"!��-$ 8'*-,��' !��9���,!���"�1,)0"�"*"!!��'"�2N! -*���,�3&'+0"�7&,�!= -*,���N��,�,�#"!F�O P O P:VWM �:;; @�;@;;;;9QRQ @;;; :;�;�@�;X YU U U L LZ [S S SL 5����\>�M,�2,!-=2�)�<(�,��7&,+0"�O P O P4�< #� @< : #< � @U T U S U T U �,��- ��&�,�-'3-'-�,������$")&+]�$5�9�$"�,��"$�2,)"!�$�!�,-$��������#�N�-%&,)�,�,>�4�1>�:�*>�;��>�:U��>�4U��AB6CD6E9F�,��AB6DGHIJDF�

Page 13: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� �������� � � �� ��� !" # $ ! � # �� �! � # $! $� %�� $! # $� �!""& ' & ( & ' & ) & '& (& ' &) ' & ( ' & �*+�+�,�-./,01+�2+�!34�-43+�53,/�-�� �,2�46-�/�,�4784742,2-�2-�9+:/0;-9<�-761+�-:,�=�2,�8+3�,�> >?( @�A994�<�6-�+9B��� $! # � $ ! C � ! �$� �! ""' (D ) (& E ( F ' (G ' (H @���"IJ�K-763-�,9�,843�,64L,9�,M,4 +<�,9947,:-�,�NAOPA@�,J�P-Q,�,�/��7R�-3+�3-,:�71+�7/:+@�S761+<� ",&T @�MJ�U,3,�./,:./-3�7R�-3+�476-43+<�,�3,4V�./,23,2,�2-99-�7R�-3+�-:-L,2+�,+�./,23,2+�=�45/,:�,+�!3W!34+�7R�-3+@�XJ�U,3,�./,:./-3�476-43+<�+�9/X-99+3�2+�,76-X-99+3�2+�7R�-3+�=�+�!3W!34+�7R�-3+@�2J�A��=24,�,346�=64X,�94�!:-9�2-�2+49�476-43+9�7-5,64L+9�71+�=�7-X-99,34,�-76-�/��476-43+�7-5,64L+@�-J�Y+2+�7R�-3+�3-,:�7-5,64L+�!+99/4�47L-39+@��ZSPU[PYAB�M��ZSP[O\] [B�,J�_SZKAKSZAB�+�47L-39+�2-�/��7R�-3+�3-,:�71+�7/:+�6,�M=��=�/��7R�-3+�3-,:<�!+49�+�X+7Q/76+�2+9�3-,49�=�8-Xa,2+�-��3-:,01+�b�24L491+@�MJ�NAOPAB�X+763,c- -�!:+�� � � �$ $$ $ $& d F & e&@�XJ�_SZKAKSZAB�P-Q,�+�7R�-3+�7<�9-/�,76-X-99+3�=�� �7"& �-�+�9/X-99+3�2-99-�7R�-3+�=�� �7" " 7& '( @�2J�_SZKAKSZAB�� �� �" $ "<C$& '& (& d �-J�_SZKAKSZAB�+�47L-39+�2-�/��7R�-3+�3-,:�7-5,64L+�f-�!+3�X+79-5/476-�71+�7/:+J�6,�M=��=�/��7R�-3+�3-,:<�!+49�+�X+7Q/76+�2+9�3-,49�=�8-Xa,2+�-��3-:,01+�b�24L491+@���$>J�P-Q,�+�634g75/:+�49W9X-:-9�Ah*<�X+��A* h* iX�( ( �-�Ah $X�( @�P-Q,�K�/��!+76+�946/,2+�7,�3-6,�./-�X+76=��+�:,2+�Ah<�2-�6,:��+2+�./-�6-7a,�+9�+�!+76+�h�946/,2+�-763-�+9�!+76+9�A�-�K<�-�*K %X�( @�j-96,9�X+7240;-9<�,��-242,�2-�hK<�-��X�<�L,:-�,J���MJ�$��XJ�#�2J�C�-J�#$��ZSPU[PYAB�,��ZSP[O\] [B�A�!,3643�2+9�2,2+9�2+�-7/7X4,2+<�!+2-�+9�X+7963/43�,�845/3,�,�9-5/43B�

Page 14: Prova de matemática cmrj 2010 2011 resolvida

������������������ �������������������������� ����� ��������������� �������� ��� ��������������� ������� ������ !�"��#$%&'��!(�)�� * * * *+,-./ 0 1 / 23 / 245 6 7 8 7 8 7 ������ !�"��#$%&'��!(�)��,9-5 .�: ; : ; : ;** **<0 24 3 <0 0= <0 2 < 4> 6 6 7 8 6 7 8 67 8 7 ���