prostiranje sluČajnih greŠaka u modelima merenja

15
PROSTIRANJE SLU Č AJNIH GRE Š AKA U MODELIMA MERENJA Teorija grešaka geodetskih merenja Prof. dr Branko Božić, dipl.geod.inž. Građevinski fakultet – Odsek za geodeziju i geoinformatiku Verzija 10.04.2019

Upload: others

Post on 16-Oct-2021

9 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

PROSTIRANJE SLUČAJNIH

GREŠAKA U MODELIMA

MERENJA

Teorija grešaka geodetskih merenja

Prof. dr Branko Božić, dipl.geod.inž.

Građevinski fakultet – Odsek za geodeziju i geoinformatiku

Verzija 10.04.2019

Page 2: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

• ZAKONI PRENOSA GREŠAKA

MERENJA – greška funkcije

• ODREDJIVANJE GREŠAKA

ARGUMENATA AKO JE POZNATA

GREŠKA FUNKCIJE

SADRŽAJ

Page 3: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

1. Zakon prenosa grešaka merenja –

greška funkcijePosmatrajmo jednostavnu funkciju z:

1 1 2 2z a x a x

i i i i i i i i

T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

ii ii ii ii ii ii ii ii

T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

iii iii iii iii iii iii iii iii

T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

z a (x e ) a (x e ) a x a x (a e a e )

z a (x e ) a (x e ) a x a x (a e a e )

z a (x e ) a (x e ) a x a x (a e a e )

... ... ...

i i i

1 1 2 2

ii ii ii

1 1 2 2

iii iii iii

1 1 2 2

z a x a x

z a x a x

z a x a x

...

(1)

(2)

(3)

zamenom (3) u (2):

Direktna merenja

Poznati koeficijenti

Tačna vrednost od z

Greške merenja - e1 i e2

Funkcije merenja

ZT =

Merenje -

Greška

Page 4: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

...

eaeazz

eaeazz

eaeazz

iii

22

iii

11T

iii

ii

22

ii

11T

ii

i

22

i

11T

i

n2 2

i

i 1

n e

Odnosno, zamenom (4) u (5)

:n2 i i 2 ii ii 2 iii iii 2 2

i 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 z

i 1

e (a e a e ) (a e a e ) (a e a e ) ... n

(4)

(5)

(6)

Razvojem (6) dobija se:

2 i 2 i i i 2 ii 2 ii ii ii 2

z 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2n (a e ) 2a a e e (a e ) (a e ) 2a a e e (a e ) ... (7)

odnosno:

2 2 i2 ii2 iii2 2 i2 ii2 iii2 i i ii ii iii iii

z 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2n a (e e e ...) a (e e e ...) 2a a (e e e e e e ...) (8)

Ako u (8) upotrebimo simbol zbira, dobija se sledeći izraz:

)n

e

(a)n

ee

(aa2)n

e

(a

n

1i

2

22

2

n

1i

21

21

n

1i

2

12

1

2

z

(9)

Izrazi u zagradama se mogu napisati kao:x12, x1x2, i x2

2., respektivno, tako da sledi:

2

x

2

2xx21

2

x

2

1

2

z 2211aaa2a (10)

𝜎2 =𝑒𝑖2

𝑛

Po definiciji:

Page 5: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

1 1 2

1 2 2

2

x x x 1

z z 1 2 22x x x

aK a a

a

U izrazu (10) član x1x2 je kovarijansa i označava međusobnu zavisnost promenljivih x1 i x2.

U matričnom obliku izraz (10) glasi:

(11)

gde je: zK - varijans-kovarijaciona matrica (ili kovarijaciona matrica, matrica kovarijansi ili disperziona

matrica) funkcije z.

Ukoliko je z funkcija od n nezavisnih merenja x1, x2, ..., xn, tada je:

1 1 2 1 n

1 2 2 2 n

1 n 2 n n

2

x x x x x 1

2

x x x x x 2

z 1 2 n

2nx x x x x

... a

aK a a ... a

....

a

Za skup od m funkcija n nezavisnih merenja x1, x2, ..., xn, izraz (12) izgleda:

(12)

1 1 2 1 n

1 2 2 2 n

1 n 2 n n

2

x x x x x11 12 1n 11 21 m1

2

x x x x x21 22 2n 12 22 m2

z

2m1 mn 1n 2n mnx x x x x

...a a ... a a a ... a

...a a ... a a a ... aK

. . ... . . . ... .. . ... .

a . ... a a a ... a...

(13)

Ukoliko su funkcije nelinearne, razvojem u Tejlorov red (koristi se samo prvi stepen) vrši se njihova

linearizacija. Nakon linearizacije kovarijaciona matrica funkcije z glasi:

Page 6: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

n

m

n

2

n

1

2

m

2

2

2

1

1

m

1

2

1

1

2

xxxxx

xx

2

xxx

xxxx

2

x

n

m

2

m

1

m

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

z

x

z...

x

z

x

z......

x

z...

x

z

x

z

x

z...

x

z

x

z

σ...σσ

......

σ...σσ

σ...σσ

x

z...

x

z

x

z......

x

z...

x

z

x

z

x

z...

x

z

x

z

K

nn2n1

n2221

n1211

(14)

Izrazi (13) i (14) poznati su kao zakon prenosa varijansi - opšti slučaj

U oba slučaja, izrazi se mogu simbolično prikazati kao:

t

zK A K A

gde je Kz – matrica kovarijansi od z, a K - matrica kovarijansi merenja = Kx. Kod nelinearnog sistema

jednačina, nakon linearizacije, matrica koeficijenata A predstavlja matricu parcijalnih izvoda u odnosu na

nepoznate parametre.

Ukoliko su merenja međusobno nezavisna, matrica K je dijagonalna (nedijagonalni članovi su jednaki nuli),

a izraz (14), ukoliko postoji funkcija z sa n nezavisnih veličina x1,..., xn dobija sledeći izraz:

2

x

n

2

x

2

2

x

1

z n21 x

z...

x

z

x

z

(15)

(16)

Izrazi (16) poznat je kao zakon prenosa varijansi - specijalni slučaj

Pojedini članovi izraza (16 - izvodi funkcije po pojedinim promenljivim) reprezentuju pojedinačni doprinos

ukupnoj grešci

Page 7: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

Ako su i2 i j

2 varijanse slučajnih promenljivih xi i xj , i ako su pozitivne, tada je rij

ji

ij

ijr

koeficijent korelacije dve slučajne promenljive xi i xj.

Važi teorema:

1r1 ij

pri čemu je r = ± 1 samo ako između slučajnih promenljivih xi i xj postoji linearna veza sa verovatnoćom 1,

tj. kada je P(xj = cxi +d) = 1, gde su c i d proizvoljne konstante.

Ukoliko koficijente korelacije rij poređamo u obliku (19), dobija se korelaciona matrica R, oblika:

1...rr

......

r...1r

r...r1

R

2n1n

n221

n112

koja sledi iz odnosa:

FKFR x

t

gde je: F = diag(1/1 ... 1/ n) :

Ako je tn1 x...xx n x1 vektor slučajnih promenljivih sa kovarijacionom matricom K(x)=Kx , tada n x n

1cKP

predstavlja matricu težina slučajnih promenljivih xi (c = const).

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

matrica P oblika

Merenja (x)

Page 8: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

PRIMER1 : Neka je xi sa i2 nezavisna slučajna promenljiva definisana kao n merenja dužina

neke baze. Varijansa srednje vrednosti X=1/n(xi) glasi:

nK

za,n

1...

n

1K)x(K

22

XX

22

i

2

n2

2

12X

ZADATAK 1 : Neka je A= B + C i neka su B i C dve međusobno nezavisne veličine. Naći varijansu od A.

ZADATAK 2 : Neka su dimenzije bazena A = 40.00 m (sA = 0.05), B = 20.00 m (sB = 0.03) i C=10.00 m

(sC = 0.05). Odrediti zapreminu bazena i njeno standardno odstupanje.

REŠENJE: V=8000 m3, sV = 22 m3

ZADATAK 3 : Sa A na B meren je vertikalni ugao =3.00 sa s= 1 i kosa dužina D=1000.00 m sa

sD= 0.05 m. Sračunati horizontalnu dužinu i njeno standardno odstupanje.

REŠENJE: DH=998.63 , sD =0.052 m (1 radian =3438)

Page 9: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ

ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ

• У геодезији се често сусрећемо са случајем одређивања грешака аргумената (параметара) при познатој грешци њихове функције

• Решења овог проблема има више, али се тражи оптимално које подразумева минимизирање норме вектора стандардних грешака аргумената

• Поред оптималног решења, за приближнe прорачуне, користи се и приближно решење

Page 10: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ

ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Оптимално решење

Нека су

jn

1k

ik

i

i xn

1x n,...,2,1i

Средње вредности резултата

мерења ni различитих

променљивих реализованих у

и-том узорку.

Вредност функције z гласи:

)x,...,x,x(hz n21

Нека су oi стандардна одступања појединачних резултата мерења ikx

Сходно закону преноса грешака, варијансе од износе:

2

oi

i

2

in

1

(22)

(23)

(24)

Уколико закон преноса грешака применимо на (23), варијанса функције

гласи:

n

1i i

2

oi

2

i2

n

2

n

2

2

2

2

2

1

2

1

2

zn

hh...hh

i

ix

zh

(25) са

ix2

i

2

z z

𝑥11 𝑥21 𝑥31

𝑥12 𝑥22 𝑥32

… … …

𝑥1𝑘 𝑥2𝑘 𝑥3𝑘

𝑥1 𝑥2 𝑥3

Различите променљиве

Page 11: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ

ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Оптимално решење

2

oi

2

Z

poznato

poznato

2

i

inНепознато ?

Решење (25) се тражи минимизирањем броја мерења in односно minn i

Оптимално решењe варијансе највероватније (средње) вредности мерења

n

1i

ioii

2

zoi2

i

hh

Уколико су стандардна одступања појединих променљивих једнака

n

1i

ii

2

z2

i

hh 2

i

2

oi

in

oi

(26)

(27) (28)

- Стандардна одступања резултата мерења

- Стандардно одступање функције

Број мерења

Варијанса средње вредности променљиве

Број мерења у узорку за сваку променљиву

Page 12: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ

ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Приближно решење

Нека је дата функција )x,...,x,x(hz n21 аргумената n21 x,...,x,x

Проблем гласи – ако је позната вредност стандардног одступања функције

z одредити стандардна одступања n21 xxx ,...,, оцена n21 x,...,x,x

n

1i

2

i

2

i

2

n

2

n

2

2

2

2

2

1

2

1

2

z hh...hh Варијанса функције

Проблем се решава уз услов да сваки члан 2

i

2

ih

подједнако доприноси варијанси функције )0k(,n

kconsth2

z22

i

2

i

nhh

k

i

z

i

i

(29)

Број

непознатих

аргумената

функције

Page 13: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

PRIMER 1

U trouglu su mereni uglovi =35 i =68 i strana a=128 m. Naći optimalno

rešenje za greške argumanata funkcije (Perović, 1989):

sin

sinab

ako su oa=2 cm, o= o = 20 i H = b=3 cm

a

j oj

2 2 2 2

a a a oa a

2 2 2 2

o

2 2 2 2

o

i

h b / a 1.617

h (b / )ctg 0.143 cm /

h (b / )ctg 0.0405 cm /

h 6.904cm

1.61cm , 1.3 cm, n / 2.5 3

182 , 14 , n / 2.2 3

644 , 25 , n / 0.6 1

Optima ln o n 7

REŠENJE:

Ako pođemo od pretpostavke da

uglove treba meriti pri KL i KD,

onda je n=4, a n = 2, tako da bi

optimalan broj merenja trebao biti

jednak 9.

a

b

c

n

1i

ioii

2

zoi2

i

hh

Page 14: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

34/)ctgb(

1

3

cm3

h

1

3

21/)ctgb(

1

3

cm3

h

1

3

cm1.1a/b

1

3

cm3

h

1

3

uticajajednakihprincipaimenomPr

ctgb

ctgb

a

b

ctgctgab

sinlnsinlnalnbln

m207sin

sinab

b

b

a

ba

22

2

22

2

2a

22b

2222

2

a

2

b

122.043

400n

37.2144

400n

43.31.1

4n

2

2

2o

2

2

2o

2

2a

2oa

a

Na osnovu rezultata računanja može se zaključiti da ugao treba meriti četiri puta preciznije od ugla

, odnosno odabrati takvu metodu koja će to obezbediti (na primer, povećati broj merenja i sl.).

Odnos optimalnog rešenja i

rešenja po principu jednakih

uticaja

Ako pođemo od pretpostavke da

uglove treba meriti pri KL i KD,

onda je n=4, a n = 2, tako da bi

optimalan broj merenja trebao biti

jednak 10.

Rešenje po principu jednakih uticaja

nhh

k

i

z

i

i

PRIMER 2

Page 15: PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA

PRIMER 3

Prilikom svođenja ekscentrično merenih pravaca na centar tačnost određivanja ugla ne sme biti

manja od 1. Sračunati tačnost merenja elemenata ekscentriciteta, ako je emax=0.1 m, 1 km d 4 km,

a 0 i 2.

6.1457790cos1.0

1000

3

1

cos

1

3

285206261.0

1000

3

11

3

8.2520626

0001000

3

11

3

Pr

1cosmax1min,1.0maxvar1max

cos

/sinsin1cos0

sin

cos

sin

cos

sinlnlnlnsinln

sinsin

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

m

m

die

mmm

m

de

mmmm

d

uticajajednakihprincipaimenom

iikmdmezaenoostbići

d

ie

d

e

d

dieijekako

i

i

de

ide

id

e

i

d

e

ide

ide

REŠENJE:

Primenom zakona prostiranja grešaka