prostiranje sluČajnih greŠaka u modelima merenja
TRANSCRIPT
PROSTIRANJE SLUČAJNIH
GREŠAKA U MODELIMA
MERENJA
Teorija grešaka geodetskih merenja
Prof. dr Branko Božić, dipl.geod.inž.
Građevinski fakultet – Odsek za geodeziju i geoinformatiku
Verzija 10.04.2019
• ZAKONI PRENOSA GREŠAKA
MERENJA – greška funkcije
• ODREDJIVANJE GREŠAKA
ARGUMENATA AKO JE POZNATA
GREŠKA FUNKCIJE
SADRŽAJ
1. Zakon prenosa grešaka merenja –
greška funkcijePosmatrajmo jednostavnu funkciju z:
1 1 2 2z a x a x
i i i i i i i i
T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ii ii ii ii ii ii ii ii
T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
iii iii iii iii iii iii iii iii
T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
z a (x e ) a (x e ) a x a x (a e a e )
z a (x e ) a (x e ) a x a x (a e a e )
z a (x e ) a (x e ) a x a x (a e a e )
... ... ...
i i i
1 1 2 2
ii ii ii
1 1 2 2
iii iii iii
1 1 2 2
z a x a x
z a x a x
z a x a x
...
(1)
(2)
(3)
zamenom (3) u (2):
Direktna merenja
Poznati koeficijenti
Tačna vrednost od z
Greške merenja - e1 i e2
Funkcije merenja
ZT =
Merenje -
Greška
...
eaeazz
eaeazz
eaeazz
iii
22
iii
11T
iii
ii
22
ii
11T
ii
i
22
i
11T
i
n2 2
i
i 1
n e
Odnosno, zamenom (4) u (5)
:n2 i i 2 ii ii 2 iii iii 2 2
i 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 z
i 1
e (a e a e ) (a e a e ) (a e a e ) ... n
(4)
(5)
(6)
Razvojem (6) dobija se:
2 i 2 i i i 2 ii 2 ii ii ii 2
z 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2n (a e ) 2a a e e (a e ) (a e ) 2a a e e (a e ) ... (7)
odnosno:
2 2 i2 ii2 iii2 2 i2 ii2 iii2 i i ii ii iii iii
z 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2n a (e e e ...) a (e e e ...) 2a a (e e e e e e ...) (8)
Ako u (8) upotrebimo simbol zbira, dobija se sledeći izraz:
)n
e
(a)n
ee
(aa2)n
e
(a
n
1i
2
22
2
n
1i
21
21
n
1i
2
12
1
2
z
(9)
Izrazi u zagradama se mogu napisati kao:x12, x1x2, i x2
2., respektivno, tako da sledi:
2
x
2
2xx21
2
x
2
1
2
z 2211aaa2a (10)
𝜎2 =𝑒𝑖2
𝑛
Po definiciji:
1 1 2
1 2 2
2
x x x 1
z z 1 2 22x x x
aK a a
a
U izrazu (10) član x1x2 je kovarijansa i označava međusobnu zavisnost promenljivih x1 i x2.
U matričnom obliku izraz (10) glasi:
(11)
gde je: zK - varijans-kovarijaciona matrica (ili kovarijaciona matrica, matrica kovarijansi ili disperziona
matrica) funkcije z.
Ukoliko je z funkcija od n nezavisnih merenja x1, x2, ..., xn, tada je:
1 1 2 1 n
1 2 2 2 n
1 n 2 n n
2
x x x x x 1
2
x x x x x 2
z 1 2 n
2nx x x x x
... a
aK a a ... a
....
a
Za skup od m funkcija n nezavisnih merenja x1, x2, ..., xn, izraz (12) izgleda:
(12)
1 1 2 1 n
1 2 2 2 n
1 n 2 n n
2
x x x x x11 12 1n 11 21 m1
2
x x x x x21 22 2n 12 22 m2
z
2m1 mn 1n 2n mnx x x x x
...a a ... a a a ... a
...a a ... a a a ... aK
. . ... . . . ... .. . ... .
a . ... a a a ... a...
(13)
Ukoliko su funkcije nelinearne, razvojem u Tejlorov red (koristi se samo prvi stepen) vrši se njihova
linearizacija. Nakon linearizacije kovarijaciona matrica funkcije z glasi:
n
m
n
2
n
1
2
m
2
2
2
1
1
m
1
2
1
1
2
xxxxx
xx
2
xxx
xxxx
2
x
n
m
2
m
1
m
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
z
x
z...
x
z
x
z......
x
z...
x
z
x
z
x
z...
x
z
x
z
σ...σσ
......
σ...σσ
σ...σσ
x
z...
x
z
x
z......
x
z...
x
z
x
z
x
z...
x
z
x
z
K
nn2n1
n2221
n1211
(14)
Izrazi (13) i (14) poznati su kao zakon prenosa varijansi - opšti slučaj
U oba slučaja, izrazi se mogu simbolično prikazati kao:
t
zK A K A
gde je Kz – matrica kovarijansi od z, a K - matrica kovarijansi merenja = Kx. Kod nelinearnog sistema
jednačina, nakon linearizacije, matrica koeficijenata A predstavlja matricu parcijalnih izvoda u odnosu na
nepoznate parametre.
Ukoliko su merenja međusobno nezavisna, matrica K je dijagonalna (nedijagonalni članovi su jednaki nuli),
a izraz (14), ukoliko postoji funkcija z sa n nezavisnih veličina x1,..., xn dobija sledeći izraz:
2
x
n
2
x
2
2
x
1
z n21 x
z...
x
z
x
z
(15)
(16)
Izrazi (16) poznat je kao zakon prenosa varijansi - specijalni slučaj
Pojedini članovi izraza (16 - izvodi funkcije po pojedinim promenljivim) reprezentuju pojedinačni doprinos
ukupnoj grešci
Ako su i2 i j
2 varijanse slučajnih promenljivih xi i xj , i ako su pozitivne, tada je rij
ji
ij
ijr
koeficijent korelacije dve slučajne promenljive xi i xj.
Važi teorema:
1r1 ij
pri čemu je r = ± 1 samo ako između slučajnih promenljivih xi i xj postoji linearna veza sa verovatnoćom 1,
tj. kada je P(xj = cxi +d) = 1, gde su c i d proizvoljne konstante.
Ukoliko koficijente korelacije rij poređamo u obliku (19), dobija se korelaciona matrica R, oblika:
1...rr
......
r...1r
r...r1
R
2n1n
n221
n112
koja sledi iz odnosa:
FKFR x
t
gde je: F = diag(1/1 ... 1/ n) :
Ako je tn1 x...xx n x1 vektor slučajnih promenljivih sa kovarijacionom matricom K(x)=Kx , tada n x n
1cKP
predstavlja matricu težina slučajnih promenljivih xi (c = const).
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
matrica P oblika
Merenja (x)
PRIMER1 : Neka je xi sa i2 nezavisna slučajna promenljiva definisana kao n merenja dužina
neke baze. Varijansa srednje vrednosti X=1/n(xi) glasi:
nK
za,n
1...
n
1K)x(K
22
XX
22
i
2
n2
2
12X
ZADATAK 1 : Neka je A= B + C i neka su B i C dve međusobno nezavisne veličine. Naći varijansu od A.
ZADATAK 2 : Neka su dimenzije bazena A = 40.00 m (sA = 0.05), B = 20.00 m (sB = 0.03) i C=10.00 m
(sC = 0.05). Odrediti zapreminu bazena i njeno standardno odstupanje.
REŠENJE: V=8000 m3, sV = 22 m3
ZADATAK 3 : Sa A na B meren je vertikalni ugao =3.00 sa s= 1 i kosa dužina D=1000.00 m sa
sD= 0.05 m. Sračunati horizontalnu dužinu i njeno standardno odstupanje.
REŠENJE: DH=998.63 , sD =0.052 m (1 radian =3438)
ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ
ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ
• У геодезији се често сусрећемо са случајем одређивања грешака аргумената (параметара) при познатој грешци њихове функције
• Решења овог проблема има више, али се тражи оптимално које подразумева минимизирање норме вектора стандардних грешака аргумената
• Поред оптималног решења, за приближнe прорачуне, користи се и приближно решење
ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ
ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Оптимално решење
Нека су
jn
1k
ik
i
i xn
1x n,...,2,1i
Средње вредности резултата
мерења ni различитих
променљивих реализованих у
и-том узорку.
Вредност функције z гласи:
)x,...,x,x(hz n21
Нека су oi стандардна одступања појединачних резултата мерења ikx
Сходно закону преноса грешака, варијансе од износе:
2
oi
i
2
in
1
(22)
(23)
(24)
Уколико закон преноса грешака применимо на (23), варијанса функције
гласи:
n
1i i
2
oi
2
i2
n
2
n
2
2
2
2
2
1
2
1
2
zn
hh...hh
i
ix
zh
(25) са
ix2
i
2
z z
𝑥11 𝑥21 𝑥31
𝑥12 𝑥22 𝑥32
… … …
𝑥1𝑘 𝑥2𝑘 𝑥3𝑘
𝑥1 𝑥2 𝑥3
Различите променљиве
ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ
ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Оптимално решење
2
oi
2
Z
poznato
poznato
2
i
inНепознато ?
Решење (25) се тражи минимизирањем броја мерења in односно minn i
Оптимално решењe варијансе највероватније (средње) вредности мерења
n
1i
ioii
2
zoi2
i
hh
Уколико су стандардна одступања појединих променљивих једнака
n
1i
ii
2
z2
i
hh 2
i
2
oi
in
oi
(26)
(27) (28)
- Стандардна одступања резултата мерења
- Стандардно одступање функције
Број мерења
Варијанса средње вредности променљиве
Број мерења у узорку за сваку променљиву
ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ
ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Приближно решење
Нека је дата функција )x,...,x,x(hz n21 аргумената n21 x,...,x,x
Проблем гласи – ако је позната вредност стандардног одступања функције
z одредити стандардна одступања n21 xxx ,...,, оцена n21 x,...,x,x
n
1i
2
i
2
i
2
n
2
n
2
2
2
2
2
1
2
1
2
z hh...hh Варијанса функције
Проблем се решава уз услов да сваки члан 2
i
2
ih
подједнако доприноси варијанси функције )0k(,n
kconsth2
z22
i
2
i
nhh
k
i
z
i
i
(29)
Број
непознатих
аргумената
функције
PRIMER 1
U trouglu su mereni uglovi =35 i =68 i strana a=128 m. Naći optimalno
rešenje za greške argumanata funkcije (Perović, 1989):
sin
sinab
ako su oa=2 cm, o= o = 20 i H = b=3 cm
a
j oj
2 2 2 2
a a a oa a
2 2 2 2
o
2 2 2 2
o
i
h b / a 1.617
h (b / )ctg 0.143 cm /
h (b / )ctg 0.0405 cm /
h 6.904cm
1.61cm , 1.3 cm, n / 2.5 3
182 , 14 , n / 2.2 3
644 , 25 , n / 0.6 1
Optima ln o n 7
REŠENJE:
Ako pođemo od pretpostavke da
uglove treba meriti pri KL i KD,
onda je n=4, a n = 2, tako da bi
optimalan broj merenja trebao biti
jednak 9.
a
b
c
n
1i
ioii
2
zoi2
i
hh
34/)ctgb(
1
3
cm3
h
1
3
21/)ctgb(
1
3
cm3
h
1
3
cm1.1a/b
1
3
cm3
h
1
3
uticajajednakihprincipaimenomPr
ctgb
ctgb
a
b
ctgctgab
sinlnsinlnalnbln
m207sin
sinab
b
b
a
ba
22
2
22
2
2a
22b
2222
2
a
2
b
122.043
400n
37.2144
400n
43.31.1
4n
2
2
2o
2
2
2o
2
2a
2oa
a
Na osnovu rezultata računanja može se zaključiti da ugao treba meriti četiri puta preciznije od ugla
, odnosno odabrati takvu metodu koja će to obezbediti (na primer, povećati broj merenja i sl.).
Odnos optimalnog rešenja i
rešenja po principu jednakih
uticaja
Ako pođemo od pretpostavke da
uglove treba meriti pri KL i KD,
onda je n=4, a n = 2, tako da bi
optimalan broj merenja trebao biti
jednak 10.
Rešenje po principu jednakih uticaja
nhh
k
i
z
i
i
PRIMER 2
PRIMER 3
Prilikom svođenja ekscentrično merenih pravaca na centar tačnost određivanja ugla ne sme biti
manja od 1. Sračunati tačnost merenja elemenata ekscentriciteta, ako je emax=0.1 m, 1 km d 4 km,
a 0 i 2.
6.1457790cos1.0
1000
3
1
cos
1
3
285206261.0
1000
3
11
3
8.2520626
0001000
3
11
3
Pr
1cosmax1min,1.0maxvar1max
cos
/sinsin1cos0
sin
cos
sin
cos
sinlnlnlnsinln
sinsin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
m
m
die
mmm
m
de
mmmm
d
uticajajednakihprincipaimenom
iikmdmezaenoostbići
d
ie
d
e
d
dieijekako
i
i
de
ide
id
e
i
d
e
ide
ide
REŠENJE:
Primenom zakona prostiranja grešaka